giới hạn của hàm số.Hàm số liên tục

B. Giíi h¹n cña hµm sè. Hµm sè liªn tôc ? Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số 1. 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm Giới hạn của hàm số tại một điểm Xét bài toán: Xét bài toán: Cho hàm số Cho hàm số và một dãy bất kì và một dãy bất kì những số thực khác 2 (tức là với những số thực khác 2 (tức là với sao cho sao cho Hãy xác định các giá trị tương ứng Hãy xác định các giá trị tương ứng của hàm số và tính của hàm số và tính a. Giới hạn hữu hạn: a. Giới hạn hữu hạn: 2 2 8 ( ) 2 x f x x = 1 2 , , ., , . n x x x * n N lim ( ) n f x ? ), .(), .,(),( 21 n xfxfxf lim 2 n x = 2 n x Gi¶i :TX§: V× Do ®ã: Ta cã: { } \ 2R 2 n x ≠ 2 2( 4) ( ) 2( 2) 2 n n n n x f x x x − = = + − 1 1 2 2 ( ) 2( 2) ; ( ) 2( 2) ; ., ( ) 2( 2); . n n f x x f x x f x x= + = + = + lim ( ) lim 2( 2) 2lim( 2) 8 n n n f x x x= + = + = 1. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm 1. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm a. Giíi h¹n h÷u h¹n: a. Giíi h¹n h÷u h¹n: víi mäi n. nªn Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số Định nghĩa 1: Giả sử (a; b) là khoảng chứa điểm và f là một hàm số xác định trên . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới (hay tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong tập hợp (tức là và với mọi n) mà ta đều có Khi đó ta viết: hoặc khi { } 0 \);( xba 0 x 0 x 0 x 0 xx n { } 0 \);( xba )( n x 0 lim xx n = Lxf n =)(lim Lxf xx = )(lim 0 Lxf )( 0 xx );( bax n Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè hµm sè VÝ dô 1: T×m 0 1 lim( sin ) x x x → ? Gi¶i Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số Ví dụ 1: Tìm Giải: Xét hàm số TXĐ: Với mọi mà với mọi n và ta có . Vì và nên Do đó: 1 ( ) sinf x x x = 0 1 lim( sin ) x x x { } \ 0R ( ) n x 0 n x lim 0 n x = 1 ( ) sin n n n f x x x = 1 ( ) sin n n n n f x x x x = lim 0 n x = lim ( ) 0 n f x = 0 0 1 lim ( ) lim sin 0 x x f x x x = = ữ Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè • VÝ dô 2: T×m 2 1 3 2 lim 1 x x x x →− + + + ? Gi¶i Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số Ví dụ 2: Tìm Giải: Xét hàm số TXĐ: Với mọi và Ta có: Do đó Vậy { } \ 1R 2 1 3 2 lim 1 x x x x + + + lim 1 n x = ( ), 1 n n x x 2 3 2 ( ) 2 1 n n n n n x x f x x x + + = = + + 2 3 2 ( ) 1 x x f x x + + = + lim ( ( ) lim ( 2) 1 n n f x x= + = 2 1 3 2 lim 1 1 x x x x + + = + ?)(lim 0 = → xf xx ?)(lim 0 = → xf xx ( )f x x= ( )f x c= NhËn xÐt: 1. NÕu víi , trong ®ã c lµ h»ng sè th× víi 2. NÕu víi , th× víi ( )f x c= Rx∀ ∈ 0 x R∀ ∈ 0 lim ( ) x x f x c → = ( )f x x= x R∀ ∈ 0 x R∀ ∈ 0 0 lim ( ) x x f x x → = [...]... 2 ( x + 2) Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số 2 Giới hạn của hàm số tại vô cực: Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f xác định trên (a; + ) Ta thấy rõ ràng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dẫn đến + nếu với mọi dãy số ( xn ) trong khoảng (a; + ) (tức là xn a ) mà lim xn = + ta đều có lim f ( xn ) = L Khi đó ta viết: Các giới hạn , lim f ( x) =+ , lim f ( x) = , x + x + lim f...Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số 1 Giới hạn của hàm số tại một điểm b Giới hạn vô cực: * Định nghĩa 2: Cho (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên (a; b) \ { x0 } lim f ( x) = + ( xn ), xn (a; b) \ { x0 } x x0 mà lim xn = x0 thì lim f ( x) = (... hàm số Với mọi dãy số Ta có: f ( xn ) = 3 ( x 1) 2 3 ( x 1) 2 ( xn ) mà 3 ( xn 1)2 Vì lim3 > 0 , lim( xn 1) 2 = 0 nên xn 1 lim f ( xn ) = + Do đó và 3 lim f ( x) = lim = + 2 x 1 x 1 ( x 1) với mọi n và lim xn = 1 ( x 1) 2 > 0 với mọi n í dụ v 4 Tìm ? Giải 5 lim x 2 ( x + 2) 2 í dụ v 4 Tìm 5 lim x 2 ( x + 2) 2 Giải: Tương tự ví dụ 3 ta có: 5 lim = 2 x 2 ( x + 2) Bài 4: Định nghĩa và một số. .. dụ v 5 a lim x = + c x + b lim x = d x 1 =0 x x Nhận xét: a k lim x = + x + b lim x k x + = 1 lim c x + x k = 0 1 lim =0 d k x x nếu k chẵn nếu k lẻ 1 lim =0 x + x lim Luyện tập Tính các giới hạn sau: a 1 lim x 2 cos ữ n x x0 b 2 x2 5x + 3 lim x 1 x 1 c x2 lim 2 x + x 2 x . B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số 1. 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm Giới hạn của hàm số. một số định lí về giới hạn hàm số 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực: Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f xác định trên . Ta thấy rõ ràng hàm số f có giới hạn