CHỦ ĐỀ : PHÉP NHÂN ĐƠN THỨC - ĐA THỨC A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT: 1.Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A(B + C) = AB + AC 2.Quy tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD B.VÍ DỤ: *Ví dụ 1: Thực phép nhân: a) (- 2x)(x3 – 3x2 – x + 1) b) (- 10x3 + 1 y - z )(− xy) *Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: x(x – y) + y(x + y) x = - y = *Chú ý 1: Trong dạng tập thế, việc thực phép nhân rút gọn thay giá trị biến vào làm cho việc tính tốn giá trị biểu thức dễ dàng thường nhanh *Chú ý 2: HS thường mắc sai lầm trình bày sau: Ta có: x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = (- )2 + 32 = Trình bày khơng đúng, vế trái biểu thức, vế phải giá trị biểu thức giá trị cụ thể biến, hai bên khơng thể *Ví dụ 3: Tính C = (5x2y2)4 = 54 (x2)4 (y2)4 = 625x8y8 *Chú ý 3: Lũy thừa bậc n đơn thức nhân đơn thức cho n lần Để tính lũy thừa bậc n đơn thức, ta cần: - Tính lũy thừa bậc n hệ số - Nhân số mũ chữ cho n *Ví dụ 4: Chứng tỏ đa thức sau khơng phụ thuộc vào biến: a) x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) b) 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1) *Ví dụ 5: Tìm x, biết: a) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5) b) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP: *Bài tập 1: Thực phép tính sau: a) 3x2(2x3 – x + 5) b) (4xy + 3y – 5x)x2y c) (3x2y – 6xy + 9x)(d) - xy) xz(- 9xy + 15yz) + 3x2 (2yz2 – yz) e) (x3 + 5x2 – 2x + 1)(x – 7) f) (2x2 – 3xy + y2)(x + y) g) (x – 2)(x2 – 5x + 1) – x(x2 + 11) h) [(x2 – 2xy + 2y2)(x + 2y) - (x2 + 4y2)(x – y)] 2xy = Bài tập 2: Chứng minh đẳng thức sau: a) a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = - 2bc b) a(1 – b)+ a(a2 – 1) = a(a2 – b) c) a(b – x) + x(a + b) = b(a + x) Nhận xét: -Để chứng minh đẳng thức ta thực việc biến đổi biểu thức vế (thường vế phức tạp hơn) đẳng thức để biểu thức biểu thức vế -Trong số trường hợp , để chứng minh đẳng thức ta biến đổi đồng thời vế đẳng thức cho chúng biểu thức thứ ba, lấy biểu thức vế trái trừ biểu thức vế phải biến đổi có kết chứng tỏ đẳng thức cho chứng minh *Bài tập 3: Chứng minh đẳng thức sau: a) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (3a + 2b – 1)(a + 5) – 2b(a – 2) *Bài tập 4: Cho đa thức: f(x) = 3x2 – x + g(x) = x – a)Tính f(x).g(x) b)Tìm x để f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = Đs a) 3x3 – 4x2 + 2x – b) x = *Bài tập 5: Tìm x, biết: a) 6x(5x + 3) + 3x(1 – 10x) = b) (3x – 3)(5 – 21x) + (7x + 4)(9x – 5) = 44 c) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x2(x + 8) = 27 Các dạng tốn thường gặp D¹ng 1/ Thùc hiƯn phep tÝnh: -3ab.(a2-3b) (x2 – 2xy +y2 )(x-2y) (x+y+z)(x-y+z) 4, 12a2b(a-b)(a+b) 5, (2x2-3x+5)(x2-8x+2) D¹ng 2:T×m x 1/ 1 x − ( x − 4) x = −14 2 2/ 3(1-4x)(x-1) + 4(3x-2)(x+3) = - 27 3/ (x+3)(x2-3x+9) – x(x-1)(x+1) = 27 D¹ng 3: Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: 1/ A=5x(4x2-2x+1) – 2x(10x2 -5x -2) víi x= 15 2/ B = 5x(x-4y) -4y(y -5x) víi x= −1 ; y= − 2 3/ C = 6xy(xy –y2) -8x2(x-y2) =5y2(x2-xy) víi x= ; y= 2 4/ D = (y2 +2)(y- 4) – (2y2+1)( y – 2) víi y=2 D¹ng 4: CM biĨu thøc cã gi¸ trÞ kh«ng phơ thc vµo gi¸ trÞ cđa biÕn sè 1/ (3x-5)(2x+11)-(2x+3)(3x+7) 2/ (x-5)(2x+3) – 2x(x – 3) +x +7 D¹ng 5: To¸n liªn quan víi néi dung sè häc Bµi T×m sè ch½n liªn tiÕp, biÕt r»ng tÝch cđa hai sè ®Çu Ýt h¬n tÝch cđa hai sè ci 192 ®¬n vÞ Bµi t×m sè tù nhiªn liªn tiÕp, biÕt r»ng tÝch cđa hai sè ®Çu Ýt h¬n tÝch cđa hai sè ci 146 ®¬n vÞ §¸p sè: 35,36,37,38 D¹ng 6:To¸n n©ng cao Bµi1/ Cho biĨu thøc : M = 1 432 ( + )− − 229 433 229 433 229.433 TÝnh gi¸ trÞ cđa M Bµi 2/ TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : N = 1 118 − − + 117 119 117 119 117.119 39 Bµi 3/a) CMR víi mäi sè nguyªn n th× : (n2-3n +1)(n+2) –n3 +2 chia hÕt cho b) CMR víi mäi sè nguyªn n th× : (6n + 1)(n+5) –(3n + 5)(2n – 10) chia hÕt cho D.BÀI TẬP NÂNG CAO: *Bài tập 1: Nếu (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) = x bao nhiêu? *Bài tập 2: CMR a) 817 – 279 – 913 chia hết cho 405 b) 122n + + 11n + chia hết cho 133 *Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức: M = x10 – 25x9 + 25x8 – 25x7 + … - 25x3 + 25x2 – 25x + 25 với x = 24 Đ/S: M=1 *Bài tập 4: Cho a + b + c = 2p CMR 2bc + b2 + c2 – a2 = 4p(p – a) *Bài tập 5: Cho x số gồm 22 chữ số 1, y số gồm 35 chữ số CMR: xy – chia hết cho *Bài tập 6: Cho biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a)Rút gọn biểu thức 7A – 2B b)CMR: Nếu số ngun x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 9x + 7y chia hết cho 17 *Bài tập 7: Tính giá trị biểu thức sau: a) A = x3 – 30x2 – 31x + , x = 31 Đ/S: A = b) B = x5 – 15x4 + 16x3 – 29x2 + 13x , x = 14 Đ/S: B = - 14 CHỦ ĐỀ 2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT Cho A B biểu thức Ta có số đẳng thức đáng nhớ sau: 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 3) A2 – B2 = (A + B)(A – B) 4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) *Chú ý: Các cơng thức 4) 5) viết dạng: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) - Từ cơng thức 1) 2) ta suy cơng thức: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC (A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC (A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC B.VÍ DỤ: *Ví dụ 1: Khai triển: a) (5x + 3yz)2 b) (y2x – 3ab)2 c) (x2 – 6z)(x2 + 6z) d) (2x – 3)3 e) (a + 2b)3 g) (x2 + 3)(x4 + – 3x2) h) (y – 5)(25 + 2y + y2 + 3y) *Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A = (x + y)2 – (x – y)2 b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 *Ví dụ 3: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac *Ví dụ 4: Chứng minh: a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) Áp dụng: Tìm tổng lập phương hai số biết tích hai số tổng hai số – b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b) *Ví dụ 5: Tính nhanh: a) 1532 + 94 153 + 472 b) 1262 – 152.126 + 5776 c) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) d) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + C Các dạng tập : *Dạng 1: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng hay hiệu: a) x2 + 5x + 25 b) 16x2 – 8x + c) 4x2 + 12xy + 9y2 d) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + e) x2 + y2 + 2x + 2y + 2(x + 1)(y + 1) + g) x2 – 2x(y + 2) + y2 + 4y + h) x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + *Dạng 2: Viết biểu thức sau dạng lập phương tổng hay hiệu: a) x3 + 3x2 + 3x + b) 27y3 – 9y2 + y - 27 c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 d) (x + y)3(x – y)3 *Dạng 3: Rút gọn biểu thức: a) (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 b) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) c) (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 d) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2 *Dạng 4: Điền đơn thức thích hợp vào dấu * a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3 c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3 *Dạng 5: CMR với giá trị biến x ta ln có: a) – x2 + 4x – < b) x4 + 3x2 + > c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + > *Dạng 6: So sánh: a) 2003.2005 20042 b) 716 – 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1) *Dạng 7: Bài Cho a – b = m ; a.b = n Tính theo m, n giá trị biểu thức sau: a) (a + b)2 b) a2 + b2 c) a3 – b3 Bài tập 2: Cho a + b = p ; a – b = q Tìm theo p,q giá trị biểu thức sau: a) a.b = ? b) a3 + b3 - D.BÀI TẬP NÂNG CAO: *Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) M = x2 – 4x + b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49 c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 *Chú ý GTNN GTLN biểu thức: Cho biểu thức A, ta nói số k GTNN A ta c/m điều kiện: a) A ≥ k với giá trị biến biểu thức A b) Đồng thời, ta tìm giá trị biến cụ thể A để thay vào, A nhận giá trị k Tương tự, cho biểu thức B, ta nói số h GTLN B ta c/m điều kiện: a) B ≤ h với giá trị biến biểu thức B b) Đồng thời, ta tìm giá trị biến cụ thể B để thay vào, B nhận giá trị h * Có hai loại sai lầm thường gặp HS: 1) Khi chứng minh a), vội kết luận mà qn kiểm tra điều kiện b) 2) Đã hồn tất a) b), nhiên, tốn đòi hỏi xét tập số thơi, tức thêm yếu tố ràng buộc, mà HS khơng để ý giá trị biến tìm bước b) lại nằm ngồi tập cho trước *Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A = (x2 + 1)2 + Giả sử lời giải : Vì (x2 + 1)2 ≥ nên A ≥ Vậy GTNN biểu thức Kết luận GTNN mắc phải sai lầm loại 1), tức qn kiểm tra điều kiện b) Thực A 4, ta phải có (x2 + 1)2 = , điều khơng thể xảy với giá trị biến x *Ví dụ 2: Cho x y số hữu tỉ x ≠ y Tìm GTNN biểu thức B= (x – y)2 + 2 Giả sử lời giải sau: Vì (x – y)2 ≥ nên B ≥ 2 Mặt khác thay x = y = 1, B nhận giá trị Vậy GTNN biểu thức B đây, kết luận GTNN mắc phải sai lầm loại 2), tức qn kiểm tra điều kiện ràng buộc x ≠ y *Bài tập 2: Tìm GTNN biểu thức sau: a) A = x2 – 4x + b) B = x2 – x + c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) *Bài tập 3: Tìm GTLN đa thức: a) M = 4x – x2 + b) N = x – x2 c) P = 2x – 2x2 – *Chú ý: Dạng tốn tương tự dạng : Chứng minh biểu thức ln dương, ln âm, lớn hơn, nhỏ số *Bài tập : Tìm x , biết rằng: a) 9x2 – 6x – = b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = *Bài tập : Tìm x, y, z biết rằng: x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = *Bài tập : Cho a + b = Tính a3 + 3ab + b3 * Bài tập : Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị dương với giá trị biến: a) A = x2 – x + b) B = (x – 2)(x – 4) + c) C = 2x2 – 4xy + 4y2 + 2x + *Bài tập : Chứng minh đẳng thức sau: a) (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a + b)2(a – b)2 b) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2 c) a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)2 d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a) *Bài tập : Giải phương trình sau: a) x2 – 4x + = 25 b) (5 – 2x)2 – 16 = c) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15 *Bài tập 10 : Tính giá trị biểu thức: a) A = 49x2 – 56x + 16 , với x = b) B = 27x3 + 54x2 + 36x + , với x = - c) C = (x – 1)3 – 4x(x + 1)(x – 1) + 3(x – 1)(x2 + x + 1) + 3(x – 1)2 , với x = - *Bài tập 11 : CMR tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương CHỦ ĐỀ 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT: * CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ: 1)Phương pháp đặt nhân tử chung: AB + AC = A(B +C) 2) Phương pháp dùng đẳng thức Vận dụng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích nhân tử lũy thừa đa thức 3)Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Dùng tính chất giao hốn, kết hợp phép cộng đa thức ta kết hợp hạng tử đa thức thành nhóm thích hợp dùng phương pháp khác phân tích thành nhân tử theo nhóm phân tích chung nhóm - Khi nhóm hạng tử cần ý: + Làm xuất nhân tử chung + Hoặc xuất đẳng thức 4) Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử 5)Phương pháp thêm bớt hạng tử a) Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương b) Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung 6)Phương pháp đổi biến (Hay phương pháp đặt ẩn phụ) Trong số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp VD: phân tích thành nhân tử Đặt ta có: 7)Phương pháp hệ số bất định Phương pháp hệ số bất định ( phương pháp đồng hệ số) có sở sau: Hai đa thức ( dạng thu gọn) đồng hệ số đơn thức đồng dạng hai đa thức phải VD: ax2 + bx + c = 2x2 + 5x + Từ suy a = 2; b = 5; c = 8)Phương pháp xét giá trị riêng * Để phân tích đa thức thành nhân tử ta phải vận dụng linh hoạt phương pháp nêu thơng thường ta phải phối hợp nhiều phương pháp B.VÍ DỤ : *Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (Dùng phương pháp đặt nhân tử chung) a) 5x(x – 2) – 3x2(x – 2) b) 3x(x – 5y) – 2y(5y – x) c) y2(x2 + y) – zx2 – zy *Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (Sử dụng đẳng thức) a) 16x2 – (x2 + 4)2 b) (x2 + xy)2 – (y2 + xy)2 c) (x + y)3 + (x – y)3 *Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (Sử dụng phương pháp nhóm số hạng) a) 5x2 – 5xy + 7y – 7x b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 c) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) d) a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) *Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (Phối hợp phương pháp trên) a) a3 + b3 + c3 – 3abc *Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: (sử dụng phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử) c) 3x2 – 8x + b) 4x2 – 4x – *Nhận xét: Qua hai tập trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích: - Làm xuất hệ số tỉ lệ, nhờ đo mà xuất nhân tử chung (cách 1) -Làm xuất hiệu hai bình phương (cách 2) Với đa thức có từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hệ số tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm nghiệm đa thức *Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – 6x + b) x4 + 2x2 – *Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: (Sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử) a) x4 + 64 b) x5 + x4 + *Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: (Sử dụng phương pháp đặt biến phụ) a) (x2 + 2x)(x2 + 2x + 4) + b) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 10 14 ≥ (8 + x + x)(20 − x − x) => 196 ≥ (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) Dấu = xẩy 8+ x2 + x =20 – x2 –x => x= x= -3 Hay Hx ≤ 196 Vậy GTLN Hx = 196 ,với x=2 x = -3 V Tìm GTLN, GTNN biểu thức chứa nhiều đại lượng Ví dụ 11 : Tìm giá trị m, p cho A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Lời giải: Ta có A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2 + ( p – 1)2+27 + 10(m – 2p) Đặt X = m-2p ta có A = X2 + 10 X +( p-1)2 + 27 = (X+5) + (p-1)2+ Ta thấy (X+5) ≥ ; (p-1)2 ≥ với m, p A đạt GTNN X+ 5=0 p-1=0 Giải hệ điều kiện ta p= , m= -3 Vậy GTNN A = với p= 1, m=-3 Ví dụ 12 : Tìm giá trị x, y cho F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Lời giải: Ta có F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 = ( x-5y)2+ (y-3)2 +14(x-5y)+50 Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7)2 + (y- 3)2 +1 ≥ Dấu = xẩy Z+7=0 y-3 = giả hệ điều kiện ta x=8 y= Vậy GTNN F = với x=8, y=3 Ví dụ 13 : Tìm giá trị x, y,z cho P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 Đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Lời giải: Ta có P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 = ( 9x2+ 36xy + 36y2) + (18y2- 24yz +8z2) + (8x2 – 16xz + 8z2) + 2x2 + hay P = 9(x+2y)2 + 2(3y – 2z)2 + 8(x- z )2 + 2x2 + Ta thấy (x+2y)2 ≥ ; (3y – 2z)2 ≥ 0; (x- z )2 ≥ 0; 2x2 ≥ với giá trị x, y, z Vậy GTNN P = đạt x+2y = 3y- 2z =0 x- z =0 x=0 Giải hệ phương trình ta x= y =z = VI Tìm GTLN,GTNN phương pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacơpski *Bất đẳng thức Buanhiacơpski ( a1b1 + a2b2 + anbn)2 ≤ (a12 + a22 + +an2)(b12 + b22 .bn2) a1 a2 an Dấu xẩy b = b = = b n *Các ví dụ : Ví dụ 14 : Tìm giá trị x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P = x2 + y2 +z2 Tìm giá trị nhỏ biết : x+y+z = 1995 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho ba số : 1, 1, x, y, z ta có : (x.1 + y.1 + z.1)2 ≤ (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2) Hay : ( x + y +z )2 ≤ 3.(x2 + y2 + z2 ) Từ ta có : P = x + y2 + z2 ≥ ( x + y + z ) 1995 = ( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995) 3 65 Vậy GTNN P = 1995 dấu = xẩy x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z = 1995 Ta có x= y =z =665 Ví dụ 14 : Cho biểu thức Q = x + y + 5.z Trong x,y,z đại lượng thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 169.Tìm GTLN Q Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho ba số : 2, 4, x, y, z ta có : (2x + 4y + z)2 ≤ { 22 + 42 + ( )2}( x2 + y2 + z2) Hay Q2 ≤ { 22 + 42 + ( )2}( x2 + y2 + z2) x2 + y2 + z2 = 169 nên Q2 ≤ 25.169 x y z Vậy GTLN Q= 65 , dấu = xẩy = = x2 + y2 + z2 = 169 từ tìm x= 26 26 ;− 5 y= 52 52 ;− 5 z= 13 13 ;− 5 VII Các tập áp dụng : Tìm GTLN Q 4x − 4x + 2x + Bài 2: Biểu thức : P = có giá trị lớn khơng ? x +2 Bài 1: Cho biểu thức : Q = Hãy chứng tỏ khẳng định x2 + x +1 Với x ≠ -1 , x >0 Hãy tìm GTNN A x + 2x + x − x + 14 Bài 4: Cho biểu thức : B= Tìm GTLN B x − x + 12 x + 15 x + 16 Bài 5: Cho biểu thức: F = Với x >0 Hãy tìm GTNN F 3x x2 Bài 6: Cho biểu thức: A = Hãy tìm GTLN A 1+ x4 ( x + 2)( x + 8) Bài 7: Cho biểu thức: Y = Với x > Hãy tìm GTNN Y x x3 + 2x − 2x − Bài 8: Cho biểu thức: Y = Tìm GTNN cua Y x −1 Bài 3: Cho biểu thức : A = VIII Hướng dẫn giải đáp số : 3 Bài 1:Ta có : Q = (2 x − 1) + ≤ Vậy GTLN Q = , với x= 0,5 ( x − 1) ( x − 1) ≥ với x nên P ≤ Vậy GTLN P= Bài 2: Ta có P = - Vì x +2 x +2 x=1 66 1 Bài 3:Ta có : A= - x + + Để A đạt giá trị nhỏ x + + đạt GTLN muốn x x 1 x+ + phải đạt GTNN Mà x> nên > áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số x x 1 dương x ta có : x + ≥ x = Dấu = xẩy x x x x = => x= 1; x = -1 (Loại ) x Vậy GTNN A = - = , với x= 4 2 x − x + 14 Bài 4: Ta có : B= = 1+ ( x − 3) + Ta thấy B có GTLN ( x − 3) + x − x + 12 phải đạt giá trị lớn , (x-3)2 + phải đạt giá trị nhỏ , với x = 3 x 16 x + 15 x + 16 Bài 5: Ta có F = Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = + + x > 3x 3x x 16 x 16 x 16 ≥2 Nên > 0; > áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : + = ; Dấu = 3x 3x 3 3x 23 xẩy x = Vậy GTNN F = + = ; với x = 3 1 x2 Bài 6: Ta có : A = với x ≠ A = + x A đạt GTLN + x2 nhỏ x 1+ x x2 , ta thấy x2 hai số dương nên theo bất đẳng thức Cơsi ta có: x 1 x2 + ≥ x = Dấu = xẩy x4 = => x= 1; x = -1 x x Vậy GTLN A = , với x= 1; x = -1 ( x + 2)( x + 8) 16 16 Bài 7: Ta có : Y = Với x > Y = x + + 10 ≥ x + 10 = 18 x x x 16 ( Theo bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương x ) Dấu = xẩy x = x Ta có (x- 3)2 + ≥ với x Vậy GTLN B = Vậy GTNN Y = 18; với x = 5 x3 + 2x − 2x − ( với x ≠ 1) Y = ( x + )2 - ≥ − 4 x −1 Dấu = xẩy x = - Vậy GTNN Y = - ; với x = - Bài 8: Ta có : Y = ĐỀ I TRẮC NGHIỆM (5 điểm) – Mỗi câu 0,5 điểm 67 Câu (2 điểm) Điền dấu “X” thích hợp vào ô Đúng Sai tương ứng với phát biểu sau: Nội dung Đúng Sai 3 (x – y) = (y – x) Phép chia đa thức 6x3 – 17x2 + 11x – cho đa thức 6x2 – 5x + có thương x – Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với hình thoi Nếu chiều dài chiều rộng hình chữ nhật tăng lên lần diện diện tích hình chữ nhật tăng lên lần Câu (3 điểm) Mỗi câu 0,5 điểm Khoanh tròn vào chữ in hoa đầu câu trả lời nhất: Kết phép nhân 3x2y(2x3y2 – 5xy + 1) bằng: A 6x5y3 + 15x3y2 + 3x2y B 6x5y3 – 15x3y2 + 3x2y C 6x5y3 – 5xy + D Kết khác Giá trò biểu thức x2 – 5x + xy – 5y x = 2010; y = - 2011 bằng: A 2015 B – 2015 C 2005 D – 2005 Giá trò x thỏa mãn x2 + 6x + = là: A x = B x = - C x = D x = - x + x2 − 25 = Đa thức M đẳng thức là: 3x M A 3x2 – B 3x2 + C 3x2 – 15x D 3x2 + 15x Cho hình thang ABCD (AB // CD) có A$ = 1000 thì: A D$ = 800 B C$ = 1000 C B$ = 800 D B$ = 1000 Cho tam giác MNQ vuông M, có MN = 8cm, NQ = 10cm Diện tích tam giác vuông MNQ bằng: A 48cm2 B 40cm2 C 24cm2 D 12cm2 II TỰ LUẬN (5 điểm) Bài (2 điểm) Thực phép tính sau: 3x + 15y x + 5y a) x3 − y3 : x − y ; − x x3 − x x − ÷ b) x − + x + x − 2x + x − Bài (2 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, AC, CD, DB a) Tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao? b) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ hình vuông? x − x + 2011 Bài (1 điểm) Cho biểu thức A = với x > x2 68 Tìm giá trò x để biểu thức A đạt giá trò nhỏ Tìm giá trò nhỏ MƠN : TỐN LỚP ( Thời gian làm : 90 phút – khơng kể thời gian phát ĐỀ I: I Phần trắc nghiệm: (3đ) Câu 1: (1đ) Điền chữ Đ chữ S vng tương ứng với phát biểu sau: a ( a + )( a – ) = a2 – b x3 – = (x – ) ( x2 + x + ) c Hình bình hành có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo d Hai tam giác có diện tích Câu 2: (2đ) Khoanh tròn chữ trước câu trả lời nhất: Đa thức x2 – 6x + x = có giá trị là: A B C D 25 Giá trị x để x ( x + 1) = là: A x = B x = - C x = ; x = D x = ; x = -1 Một hình thang có độ dài hai đáy cm 11 cm Độ dài đường trung bình hình thang : A 14 cm B cm C cm D Một kết khác Một tam giác cạnh dm có diện tích là: A dm2 B dm2 C dm2 D 6dm2 II Phần tự luận: (7đ) Bài 1: (3đ) 9x 3x 6x : : 11y 2y 11y x − 49 +x−2 b x−7 1 + + + c − x + x + x + x4 a Bài 2: (3đ) Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành b) Khi hình bình hành ABCD hình chữ nhật; hình thoi EFGH hình gì? Chứng minh Bài 1: (1đ) Cho số x, y thoả mãn đẳng thức 5x + 5y + 8xy − 2x + 2y + = Tính giá trị biểu thức M = ( x + y) 2007 + ( x − 2) 2008 + ( y + 1) 2009 Đáp án: I Trắc nghiệm: 69 Câu 1: (1điểm) Chọn điền chữ thích hợp, kết 0,25 điểm a S b Đ C Đ d S Câu 1: (2điểm) Mỗi kết 0,5 điểm B D C A II Tự luận: Bài 1: (3điểm) a) Biến phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo rút gọn Kết quả: 9x 2y 11y =1 11y 3x 6x (1điểm) b) Thực kết quả: x − 49 + x − = x + + x − = 2x + x−7 (1điểm) c)Vận dụng tính chất kết hợp phép cộng phân thức, qui đồng mẫu thức thu gọn kết quả: = 2 4 + + = + = 2 4 1− x 1+ x 1+ x 1− x 1+ x − x8 (1điểm) Bài 2: (3điểm)- Vẽ hình (0,5điểm) - a) Từ tính chất đường trung bình tam giácH nêu được: EF // AC EF = AC (0,5điểm) A D E B F G C GH // AC GH = AC Chỉ EF // GH Và EF = GH kết luận ÈGH hình bình hành (0,5điểm) - b) Khi hình bình ABCD hình chữ nhật EFGH hình thoi (0,25điểm) Khi hình bình ABCD hình thoi EFGH hình chữ nhật (0,25điểm) C/m: * Vẽ lại hình với ABCD hình chữ nhật ABCD hình chữ nhật có thêm AC = BD Do EF = EH => ĐPCM (0,5điểm) * Vẽ lại hình với ABCD hình thoi Khi hình bình ABCD hình thoi, có thêm AC ⊥ BD · Do EF ⊥ EH ; FEH = 900 => ĐPCM (0,5điểm) Bài 2: (1điểm) Biến đổi ⇔ ( x + 2xy + y ) + ( x − 2x + 1) + ( y + 2y + 1) = ⇔ ( x + y ) + ( x − 1) + ( y + 1) = 2 70 x = −y Lập luận: Đẳng thức có x = y = −1 tính M = ( x + y ) (0,5điểm) 2007 + ( x − 2) + ( y + 1) 2008 2009 = +1+ = D.BÀI TẬP NÂNG CAO: *Bài tập 1: Tìm số ngun x, y, z thỏa mãn đồng thời đẳng thức sau: x – y + z = (1) 2x2 – xy + x – 2z = (2) Giải: Ta có: x – y + z = ⇒ z = – x + y Thay vào (2) ta có: 2x2 – xy + x – 2(2 – x + y) = 2x2 – xy + x – + 2x – 2y – = 2x2 – xy + 3x – 2y – = ⇒ y(x+2) = 2x2 + 3x – x + 3x − x + x − x − + = x+2 x+2 x ( x + 2) − ( x + 2) + 3 y= = 2x −1 + x+2 x+2 ⇒ y= y số ngun x + ước Ư(3) = { - 1; 1; 3; -3 } + Với x + = -1 ⇒ x = - ; y = -6; z = - + Với x + = ⇒ x = - ; y = ; z = + Với x + = ⇒ x = ; y = 0; z = + Với x + = - ⇒ x = - 5; y = -10 ; z = -3 1 *Bài tập 2: Cho xyz =1 Tính: M = + x + xy + + y + yz + + z + zx Từ xyz =1 ⇒ z = xy Thay vào M ta có: 1 + + + x + xy + y + y 1 + + x xy xy xy 1 M= + + + x + xy x + xy + xy + + x x xy x xy M= + + + x + xy + x + xy + x + xy + x + xy M= =1 + x + xy M= 71 *Bài tập 3: a +1 b +1 − = (*) a −1 b −1 Từ 2b = + ab ⇒ 2b – ab = ⇒ b = Thay vào vế trái (*) ta được: 2−a 1+ − a +1 a +1 − a a +1 VT = − = − 2−a 1− + a a −1 −1 a −1 2−a 2−a a + − a − a a + a − 2(a − 1) = − = + = = = VP a −1 − a a −1 a −1 a −1 a −1 a +1 b +1 − =2 Vậy: 2b = + ab a −1 b −1 a −c b−a c −b a+b b+c c+a + + = Chứng minh: + + =4 b) Cho b+c c+a b+a b+c c+a a+b a−c b−a c−b a −c b−a c −b + 1÷+ + 1÷+ + 1÷ = + + =1 ⇒ Từ b+c c+a b+a b+c c+a b+a a+b b+c c+a ⇒ + + =4 b+c c+a b+a a b c x y z x2 y2 z c) Cho x + y + z = 0; a + b + c = Chứng minh: + + = a b c x2 y2 z x y z xyz a b c xy yz zc Ta có: + + = + + ÷ − + + ÷ = − + + ÷= a b c abc x y z a b c ab bc ca a) Cho 2b = + ab Chứng minh: 72 I) Nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc: Lun tËp vỊ quy ®ång vµ céng ph©n thøc Bµi 1: Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau a, +2x , ; 10 x y x y xy b, HD a, x −4 x −3 ; x( x + 3) x( x +1) +2 x , ; 10 x y x y xy MTC 120x4y5 +2 x (3 +2 x )12 y 12 y (3 +2 x) = = 10 x y 10 x y.12 y 120 x y 5 5.15 x y 75 x y = = 8x2 y x y 215 x y 120 x y 2.40 x 80 x = = xy xy 40 x 120 x y c, x −1 − x x +1 x+2 x−y x3 x ; ; d , ; ; e , ; ; ; f , ; 2 2 2 2 2x + 6x x − x − x − 4x + 2x 2x x − y y − 2x x − x y + xy − y y − xy Gi¸o viªn ch÷a hoµn chØnh c©u f x −x = y −xy xy −y 2 x −3 x y +3 xy −y =( x −y )3 xy −y =y ( x −y ) Ta cã: MTC : y ( x −y ) x3 x3 x3 y = = x −3 x y +3 xy −y ( x −y )3 y ( x −y )3 x −x −x −x ( x −y ) = = = y −xy xy −y y ( x −y ) y ( x −y ) Bµi 2: Céng c¸c ph©n thøc sau −2 x +2 y x −4 + + a, 3 6x y 6x y x3 y 73 HD: −2 x +2 y x −4 + + = 3 6x y 6x y x3 y −2 x +3 + y +2 x −4 2y = = 3 6x y 6x y 3x Cho häc sinh lµm c¸c bµi t¬ng tù x +1 x2 −6 x b, + x − x +1 x − x +1 x +38 x + 3x −4 x −2 11 x −3 x +1 c, + ;d, + + ; e, + + x +17 x +1 x +17 x +1 x y 12 xy xy x x −1 x −2 x Bµi 3: Dïng quy t¾c ®ỉi dÊu ®Ĩ t×m MTC råi thùc hiƯn phÐp céng a, 5x − + + x + x − − x2 x −6 = + + x +2 x −2 −x −2 5x − 4(2 − x) − 2(2 + x) + x − − x − − x + x − −x − + + = = = x + 2 − x (2 − x)(2 + x) (2 − x)(2 + x) (2 − x)(2 + x) (2 − x)(2 + x) −( x + 2) −1 = = (2 − x)(2 + x) − x −3 x x −2 x −2 1 x b, + + ;d, + + 2 2x x −1 x −4 x x +6 x +9 x −x −9 x −9 x +2 x x xy c, + + ; e, + + x −1 x +x +1 −x x −2 y x +2 y y −x Bi 10 Lun tËp vỊ Chương 1: 74 Bài 15 Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) Gọi AH đường cao M, N, K trung điểm AB, AC, BC a) Chứng minh tứ giác BMNK hình bình hành b) Gọi D điểm đối xứng H qua M Chứng minh tứ giác ADBH hình chữ nhật c) Gọi I trung điểm NK Chứng minh ba điểm C, M, I thẳng hàng d) Tìm điều kiện ∆ABC để tứ giác AMKN hình chữ nhật B.TỰ LUẬN :( điểm ) Câu 1: (1,5 điểm)Cho hình thang ABCD (AB // CD) cân, I K trung điểm AD BC Biết AB = cm, CD = cm, đường cao AH = cm.Tính HK Câu 2: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD, gọi E,F,G,H trung điểm AB,BC,CD,DA a.Tứ Giác EFGH hình ? Vì sao? b Nếu hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD vng góc với tứ giác EFGH hình ? Vì sao? c Nếu hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD tứ giác EFGH hình ? Vì sao? Câu 3: (1,5 điểm) cho tam giác ABC, vẽ phía tam giác hình vuông ABEF ACPQ, đường cao AH tam giác ABC cắt QF I cmr :FI=IQ ĐỀ 1: µ = 850 , G µ = 1300 , Câu 1: (1điểm) Cho hình Tính số đo x Biết Fµ = 750 , D Câu 2: (2điểm) Cho hình Tính độ dài x Câu 3: (3điểm) Cho tứ giác ABCD có BC =2AB, gọi E, F trung điểm BC, AD Chứng minh ABEF hình vng? Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB, E điểm đối xứng với M qua D 75 a) b) c) d) Chứng minh tứ giác AEBM hình thoi Cho AB =3 cm, AC = cm Tính chu vi hình thoi AEBM Tứ giác AEMC hình gì? Vì sao? Gọi I trung điểm AM Chứng minh E, I, C thẳng hàng 1.Hình thoi ABCD có µA = 600 Kẻ đường cao BE, BF Tam giác BÈ tam giác ? Vì ? Ta có: ∆AEB = ∆CFB (cạnh B huyền – góc nhọn) 23 ⇒ BE = BF A C ⇒ ∆BEF cân B E F µ µ ,E=900 ∆ABE có A=60 D µ =300 ⇒ B µ = 1800 − µA = 1800 − 600 = 1200 Tương tự ta có: Bµ3 = 300 Mà µA + Bµ = 1800 ⇒ B 2.Cho hình thoi ABCD, O giao điểm đường chéo AC BD Gọi E, F, G, H chân đường vng góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình ? Vì ? Hình thoi ABCD GT OE ⊥ AB, OF ⊥ BC A C OG ⊥ CD OH ⊥ AD H G D KL EFGH hình ? Vì ? C/m: Ta có OE ⊥ AB, OG ⊥ CD mà AB//CD nên điểm E, O, G thẳng hàng C/m tương tự ta có H, O, F thẳng hàng Điểm O thuộc tia phân giác góc B nên cách cạnh góc Do OE = OF TIÊT Cho tam giác ABC vng A, đường phân giác AD Gọi M, N theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ D xuống AB, AC C/mr tứ giác AMDN hình vng B ∆ABC, µA = 900 GT D∈ BC, DM ⊥ AB DN ⊥ AC M KL AMDN hình ? c/m A D C 76 N Xét tứ giác AMDN có ¶ ,N µ ) nên hình chữ nhật góc vng ( µA, M Mặt khác hình chữ nhật AMDN lạ có AD phân giác góc A nên hình vng Cho tam gi¸c ABC vu«ng gãc t¹i ®Ønh A, kỴ ®êng cao AH vµ trung tun AM ®êng ph©n gi¸c cđa gãc A c¾t ®êng trung trùc cđa c¹nh BC t¹i ®iĨm D Tõ D kỴ DE vu«ng gãc víi AB vµ DF vu«ng gãc víi AC Chøng minh AD lµ ph©n gi¸c cđa gãc HAM 2, Ba ®iĨm E, M, F th¼ng hµng 3, Tam gi¸c BDC lµ tam gi¸c vu«ng c©n ®Ĩ c/m AD lµ ph©n gi¸c cđa gãc HAM ta c/m nh thÕ nµo?®Ĩ c/m ®iĨm E, M, F th¼ng hµng ta c/m nh thÕ nµo? ®Ĩ c/m tam gi¸c BDC vu«ng c©n ta c/m nh thÕ nµo? CM: ®Ĩ c/m AD lµ ph©n gi¸c cđa gãc HAM ta c/m gãc HAD = gãc HAM Hs ta cã gãc BAH = ACH (cïng phơ víi gãc B) vµ goc BAD = gãc DAC nªn gãc HAD = gãc DAM suy AD lµ ph©n gi¸c cđa gãc HAM §Ĩ c/m ®iĨm E, M, F th¼ng hµng ta c/m ®iĨm E, M,F cïng n»m trªn ®êng trung trùc cđa ®o¹n th¾ng AD ®Ĩ c/m tam gi¸c BDC vu«ng c©n ta c/m EBD = FCD BD = DC vµ gãc EDF = gãc BDC tõ ®ã suy tam gÝc BDC vu«ng c©n TIÊT Bµi tËp Cho h×nh vu«ng ABCD Gäi M, N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ BC C¸c ®êng th¼ng DN vµ CM c¾t t¹i I Chøng minh tam gi¸c AID c©n ®Ĩ c/m tam gi¸c AID c©n ta c/m nh thÕ nµo ? c/m BMC = CND suy gãc BCM = gãc CDN CM ⊥ DN (1) Tø gi¸c AKCM lµ h×nh b×nh hµnh nªn AK // CM (2) tõ vµ suy AK ⊥ DN mµ H lµ trung ®iĨm cđa ID nªn tam gi¸c AID c©n tai A CM 77 ®Ĩ c/m tam gi¸c AID c©n ta c/m AK võa lµ ®êng cao võa lµ ®êng trung tun ( K lµ trung ®iĨm cđa CD) Bµi tËp Cho h×nh vu«ng ABCD vµ E lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AB Ph©n gi¸c cđa gãc ECD c¾t AD t¹i F Chøng minh : BE + DF = CF Gv híng dÉn hs c¸ch c/m : Trªn tia ®èi cđa tia BA lÊy ®iĨm G cho BG = DF ⇒ DCF = BCG ⇒ gãc FCD = gãc BCG chøng minh tam gi¸c CEG c©n t¹i E suy EC = EG = EB + BG = EB + DF Híng dÉn vỊ nhµ : xem l¹i c¸c bµi tËp ®· gi¶i Gv thªm bµi tËp cho hs x − x + 2x + c) C = , x = - x + x + x +1 78 x ( x − 1) + 2( x + 1) ( x + 1)( x − x + 2) ( x + 1)( x + 1)( x − x + 2) x − 2x + = = = x ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1)( x + 1) ( x + 1)( x + 1)( x − x + 1) x2 − x +1 25 + 10 + 37 = Tại x = - ta có:C = 25 + + 31 C= 4.Các phép tính phân thức đại số: + Quy đồng mẫu thức + Phép cộng phân thức + Phép trừ phân thức + Phép nhân phân thức + Phép chia phân thức B.VÍ DỤ: 79 [...]... lồi ( tổng bốn góc của tứ giác ) 3/ Hình thang : a) Định nghĩa : hình thang ; hình thang vng b) Tính chất hình thang có cạnh bên song song c) Hình thang cân : +) Định nghĩa hai cạnh bên bằng nhau hai đường chéo bằng nhau +) Tính chất hình thang : +) Dấu hiệu nhận biết hình thang là hình thang cân : hình thang có hai góc kềmột đáy bằng nhau hình thang có hai đường chéo bằng nhau 4/ Định nghĩa... các hằng số a và b sao cho : a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 – x + 1 b) ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho x2 + 3x – 10 *Bài 3: Rút gọn biểu thức: x 2 y ( y − x) − xy 2 ( x − y ) A= , với x = -9; y = 2005 3 y 3 − 3x 2 y (8 x 3 + y 3 )(4 x 2 − y 2 ) 1 b) B = ; y =2 2 2 ; với x = (2 x + y )(4 x − 2 xy + y ) 2 17 CHỦ ĐỀ:PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Phân thức đại số: - Một phân thức đại số (hay... a) 60 0 b) 80 0 c) 900 d) 1000 µ = 80 0 ; B µ = 130 0 ;C µ −D µ = 10 0 Câu 2: Cho tứ giác ABCD , có A Số đo của góc C và góc D là: µ = 60 0 và D µ = 50 0 µ = 70 0 và D µ = 60 0 a) C b) C µ = 80 0 và D µ = 70 0 µ = 90 0 và D µ = 80 0 c) C d) C Câu 3:Cho hình thang cân có một trong các góc bằng 600 và các đáy có độ dài 15 cm và 49 cm Chu vi hình thang cân là : a) 1 28 cm ; b) 130 cm ; c) 132 cm ; d) 134... x − 2 y ) 5x = = d) 3 3 2(2 y − x) − 2( x − 2 y ) − 2( x − 2 y ) 2 80 x 3 − 125 x 5 x(16 x 2 − 25) 5 x (4 x − 5)(4 x + 5) 5 x(4 x + 5) = = = e) 3( x − 3) − ( x − 3) (8 − 4 x) ( x − 3)(3 − 8 + 4 x ) ( x − 3)(4 x − 5) x−3 2 9 − ( x + 5) (3 − x − 5)(3 + x + 5) − ( x + 2)( x + 8) x +8 = = =− f) 2 2 2 x+2 x + 4x + 4 ( x + 2) ( x + 2) 32 x − 8 x 2 + 2 x 3 2 x (16 − 4 x + x 2 ) 2x = = g) 3 2 x + 64 ( x + 4)(... một tổng, quan hệ giữa bội và ước…Ví dụ: Bài 1:Chứng minh các phân thức sau là tối giản: a) n−3 −n + 4 b) 6 + 8n + 15n 2 (Với n ngun dương) 13 + 21n + 30n 2 c) 2n + 1 (Với n là số tự nhiên) 2n 2 − 1 Bài 2:Chứng minh phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n: 12n + 1 a) 30n + 2 n 3 + 2n b) 4 n + 3n 2 + 1 *Một số bài tập vận dụng cho dạng tốn: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên... : 5(a – b) 15 *Bài tập 6: Điền vào dấu *: a) (18x4y3 + * - * ) : 3x2y2 = * + 2x3 – 5xy2 b) (7u2v5 + * + * ) : * = 14uv2 + 6u2v + 10uv c) (5xy2 – 11x3y + 6x2y2) : * = 5y - * + * *Bài tập 7: Tìm điều kiện của số tự nhiên n để phép chia sau đây là phép chia hết: a) (13x3y3 + 15x3y2 + 18x2y3) : 7xnyn + 1 b) (12x3y7 + 9x4y5 – 3x5y8) : 3xn + 1 yn + 3 *Bài tập 8: CMR giá trị của biểu thức sau khơng phụ thuộc... tính số đo một góc của đa giác đều d) Tính số đường chéo xuất phát từ một đỉnh của đa giác 2) Diện tích : a) Khái niệm b) Ba tính chất của diện tích đa giác c) Cơng thức tính diện tích : hcn ; hình vng ; hình tam giác vng ; S tam giác B/ PHẦN TRẮC NGHIỆM : µ = 1100 , B µ = 700 Gọi E là giao điểm của các phân giác CÂU 1: Cho tứ giác ABCD có A · trong của góc A và góc B Số đo của góc AEBlà: a) 60 0 b) 80 0... thøc råi tÝnh gi¸ trÞ cđa chóng −3 2 a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) víi a = b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 víi x = 2,1 víi a = -0,2 d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) víi b = 1 2 Bµi tËp n©ng cao Bµi 3 TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: a) P(x) = x7 - 80 x6 + 80 x5 - 80 x4 +….+ 80 x + 15 víi x = 79 14 13 12 11 2 b) Q(x) = x - 10x + 10x - 10x + …+ 10x - 10x + 10 víi x = 9 c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x... n: a) 3n + 1 5n + 2 b) 3n 2 + 5n + 1 8n 2 + 7 n + 1 c) 2n − 1 4n 2 − 2 4 Dạng tốn tìm giá trị ngun của biến để phân thức có giá trị ngun: Bài 1:Tìm giá trị ngun của x để phân thức sau có giá trị là một số ngun: a) 2 x−3 b) 3 x+2 c) −5 2x + 1 : Bài 2:Tìm giá trị ngun của x để phân thức sau có giá trị ngun: a) x 4 − 3x 3 + 5 x−3 b) 2x3 + x 2 + 2x + 8 2x + 1 *Một số bài tập vận dụng cho dạng tốn: Tìm... cho dạng tốn: Tìm các giá trị ngun của x để phân thức sau có giá trị là một số ngun: a) 3x 3 − 4 x 2 + x − 1 x−4 b) 3x 2 − x + 3 2x3 − 6x 2 + x − 8 c) 3x + 2 x−3 d) x 4 − 16 x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 − 16 x + 16 5 Dạng tốn tính giá trị của phân thức tại một giá trị của biến: 21 Bài 1:Tính giá trị của biểu thức: a) 3x 2 − x tại x = -8 9x 2 − 6x + 1 b) Bài 2:Tính giá trị của biểu thức: x + y − (1 + 2 xy ) tại ... liên quan với nội dung số học Bài Tìm số chẵn liên tiếp, biết tích hai số đầu tích hai số cuối 192 đơn vị Bài tìm số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số đầu tích hai số cuối 146 đơn vị Đáp số: ... c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - với x = 2,1 với a = -0,2 d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) với b = Bài tập nâng cao Bài Tính giá trị biểu thức: a) P(x) = x7 - 80 x6 + 80 x5 - 80 x4 +.+ 80 x + 15 với x = 79... Bài tập nâng cao Bài Số 350 + có tích hai số tự nhiên liên tiếp không ? HD: Trớc hết chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp chia cho d Thật nêu hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho tích