• HÌNH BÌNH HÀNH 1. Cho tứ giác ABC, gọi E, F là trung điểm của AB và CD; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AF, CE, BF và DE. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành. 2. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc được chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng: a. M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. b. EMFN là hình bình hành. 3. Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD = 2AB. Kẻ CE vuông góc với AB. Gọi M là trung điểm của AD, nối EM, kẻ MF vuông góc với CE; MF cắt BC tại N. a. Tứ giác MNCD là hình gì ? b. Tam giác EMC là tam giác gì ? c. Chứng minh rằng ∧ BAD = 2 ∧ AEM 4. Chứng minh rằng tứ giác có tổng các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện bằng nửa chu vi của nó thì tứ giác là hình bình hành. 5. Cho hình thang vuông ABCD, có ∧ A = ∧ B = 90 o và AD = 2BC. Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD). Gọi I là trung điểm của HD. Chứng minh rằng: CI ⊥ AI 6. Chứng minh rằng: "Trong một tứ giác lồi, các đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện và đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo đồng qui tại một điểm". 7. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng qui. 1 • ĐỐI XỨNG TÂM 1. Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác, I là giao điểm các đường trung trực. Gọi H' là điểm đối xứng với điểm H qua trung điểm của đoạn BC. Chứng minh rằng H' đối xứng với Q qua I. 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trên AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho AE = CF. a. Chứng minh E đối xứng với F qua O b. Từ E dựng Ex // AC cắt BC tại I, dựng Fy // AC cắt AD tại K. Chứng minh rằng: EF = FK; I và K đối xứng với nhau qua O. 3. Cho tam giác ABC gọi A' là điểm đối xứng với A qua C, B' là điểm đối xứng của B qua A; C' là điểm đối xứng của C qua B. Gọi BM là trung tuyến của tam giác ABC; B'M' là trung tuyến của tam giác A'B'C'. a. Chứng minh rằng ABM'M là hình bình hành b. Gọi G là giao điểm của BM và B'M'. Chứng minh rằng G là trọng tâm của hai tam giác ABC và tam giác A'B'C'. • HÌNH CHỮ NHẬT 1. Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD, trên tia đối của EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và AD. Chứng minh rằng: a. Tứ giác AHFK là hình chữ nhật b. AF song song với BD và KH song song với AC c. Ba điểm E, H, K thẳng hàng. 2. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn HA, HB và HC. a. Chứng minh rằng các tứ giác MNFD và MEFP là các hình chữ nhật. b. Để các đoạn MD, ME và DP bằng nhau thì ∆ABC phải là tam giác gì? 2 3. Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BK vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AK, N là trung điểm của CD. Chứng minh BM ⊥ MN. 4. Cho tam giác ABC vuông tại A và AC = 3AB. Trên cạnh góc vuông AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EC. Tính ∧ ACB + ∧ AEB • HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG 1. Hình thoi ABCD có ∧ A = 60 o . Trên AD và CD lấy các điểm M, N sao cho AM + CN = AD. Gọi P là điểm đối xứng của N qua BC, MP cắt BC tại Q. Tứ giác MDCQ là hình gì ? Vì sao ? 2. Cho P là một điểm chuyển động trong tam giác ABC sao cho ∧ PBA = ∧ PCA . Hạ PM ⊥ AB; PN ⊥ AC (M ∈ AB; N ∈ AC). Gọi K, S là hai đỉnh khác của hình thoi KMSN. Chứng minh KS đi qua một điểm cố định. 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AH, BK. Phân giác của góc HAC cắt BK tại M, BC tại N. Tia phân giác của góc KBC cắt AH tại P và AC tại Q. a. Chứng minh rằng AN vuông góc với BQ. b. Tứ giác DMQN là hình gì ? Vì sao ? 4. Cho tam giác đều ABC có H là trực tâm, đường cao AD lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC, gọi E và F thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC, gọi I là trung điểm của AM. a. Xác định dạng của tứ giác DEIF. b. Chứng minh rằng MH, ID, EF đồng qui 5. Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD và ∧ D = 70 o . Gọi H là hình chiếu của B trên AD, M là trung điểm của CD. Tính góc HMC. 6. Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABCD và ACEF. Gọi Q, N lần lượt là giao điểm các đường chéo của ABCD và ACEF; M, P lần lượt là trung điểm BC và DF. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông. 3 7. Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABCD và ACEF. Vẽ đường cao AH kéo dài HA gặp DF tại E. Chứng minh rằng DI = IF. 8. Cho hình vuông ABCD. Trên CD lấy M. Tia phân giác của ∧ ABM cắt AD ở I. Chứng minh rằng BI ≤ 2 MI 9. Cho hình vuông ABCD. Lấy E thuộc đường chéo AC. Kẻ EF ⊥ AD; EG ⊥ CD a. Chứng minh rằng EB = FG ; và EB ⊥ FG b. Chứng minh rằng: Các đường thẳng BE, AG, CF đồng qui 10. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG, vẽ hình bình hành EAGH. Chứng minh rằng: a. AK = BC b. AH ⊥ BC c. Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui • ĐA GIÁC 1. Tính số cạnh của một đa giác biết rằng tất cả các góc của đa giác bằng nhau và tổng của tất cả các góc ngoài với một trong các góc của đa giác có số đo bằng 468 o . 2. Cho ngũ giác lồi ABCDE. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng HK // AE và HK = 4 AE (M, N, P, Q thứ tự là trung điểm AB, CD, BC, ED) 3. Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, DE và I là giao điểm của AM và BN. a. Tính ∧ AIB b. Tính ∧ OID (O là tâm của lục giác đều) 4 • KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH MIỀN ĐA GIÁC 1. Cho hình chữ nhật ABCD, E là điểm tuỳ ý trên AB. Chứng minh rằng: S ABCD = 2 SECD . 2. Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của ∧ A và ∧ C cắt đường chéo BD tại E và F. Chứng minh rằng hai đa giác ABCFE và ADCFE có diện tích bằng nhau. 3. Cho lục giác đều ABCDEF, gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CD và DE. L là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABL bằng diện tích tứ giác LMDN. Tính độ lớn của góc giữa AM và BN. 4. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC. Lấy E và F lần lượt trên AB và AC. a. Chứng minh rằng: S IEF ≤ 2 1 S ABC b. SIEF đạt giá trị lớn nhất khi nào ? • DIỆN TÍCH ĐA GIÁC 1. Cho hình vuông ABCD có cạnh a tâm O. Một góc vuông xOy sao cho tia Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F. Tính diện tích tứ giác OEBF. 2. Cho tam giác ABC có diện tích bằng S. Trên cạnh AB lấy một điểm E và trên cạnh AC lấy một điểm F sao cho AE = 2BE; AF = 3CF. Gọi I là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích AIB theo S. 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BH, CK. Gọi B', C' là hình chiếu của B, C trên đường thẳng HK. Chứng minh rằng: a. B'K = C'H b. S BKC + S BHC = S BB'C'C 4. Một điểm D thuộc cạnh AB của tam giác ABC. Dựng qua D một đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. 5 5. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua trung điểm của đường trung bình và cắt hai đáy hình thang sẽ chia hình thang thành hai đa giác có diện tích bằng nhau. 6. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD = 15, đáy nhỏ BC = 7. a. Tìm điểm M thuộc AD sao cho CM chia hình thang thành hai hình có diện tích bằng nhau. b. Gọi I là trung điểm cạnh AB, chứng minh rằng IM // CD 6 . giác DMQN là hình gì ? Vì sao ? 4. Cho tam giác đều ABC có H là trực tâm, đường cao AD lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC, gọi E và F thứ tự là hình chiếu của. lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EC. Tính ∧ ACB + ∧ AEB • HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG 1. Hình thoi ABCD có ∧ A = 60 o . Trên AD và CD lấy các điểm M, N