CHUYEN DE TICH PHAN

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất định :  0dx  C n  x dx   dx  x  C x n 1  C n  1 n 1  x dx  ln x  C ax C ln a  cos xdx  sin x  C x  a dx  x x  e dx  e  C  sin xdx   cos x  C  cos  sin dx  tan x  C dx   cot x  C x x u( x) 1 xa  u( x) dx  ln u( x)  C  x2  a dx  2a ln x  a  C x a 2  x  adx  x  a  ln x  x  a  C Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục đoạn a; b có nguyên hàm F (x) Giả sử u (x) hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  ,   có miền giá trị a; b ta có :  f u( x).u' ( x)dx  F ( x)u( x)  C BÀI TẬP Tính tích phân sau : a) I1   e e x dx ex  xdx x2  b) I   c) I   1  ln x dx x Bài làm : a) Đặt t  x   dt  xdx  xdx  dt x   t  x   t  Đổi cận :  2 xdx dt 1 Vậy : I1      ln t  ln x 1 t 2 1 b) Đặt t  e x   dt  e x dx Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang x   t  e  Đổi cận :  x   t  e  1 x e dx  x e  Vậy : I   e2 1  e1 e2 1 dt  ln t  ln(e  1) t e1 x c) Đặt t   ln x  tdt  dx x   t  x  e  t  Đổi cận :  e I3    ln x dx   t dt  t  (2  1) x 3 Tích phân lượng giác :  Dạng : I   sin mx.cos nxdx  Cách làm: biến đổi tích sang tổng  Dạng : I   sin m x cos n x.dx  Cách làm : Nếu m, n chẵn Đặt t  tan x Nếu m chẵn n lẻ Đặt t  sin x (trường hợp lại ngược lại)  Dạng : I    dx a sin x  b cos x  c Cách làm : 2t  sin x   x 1 t2 Đặt : t  tan   2 cos x   t  1 t2  a sin x  b cos x dx Dạng : I   c sin x  d cos x  Cách làm : Đặt : a sin x  b cos x B(c cos x  d sin x)  A c sin x  d cos x c sin x  d cos x Sau dùng đồng thức  Dạng 5: I    a sin x  b cos x  m dx c sin x  d cos x  n Cách làm : Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang Đặt : a sin x  b cos x  m B(c cos x  d sin x) C  A  c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n Sau dùng đồng thức BÀI TẬP Tính tích phân :   2 cos xdx (sin x  1) a) I1    b) I   cos xdx c) I   tan xdx 0 Bài làm : a) Đặt : t  sin x   dt  cos xdx x   t  Đổi cận :    x   t   2 cos xdx dt   3t (sin x  1) t Vậy : I1    24 b) Đặt : t  sin x  dt  cos xdx x   t  Đổi cận :    x   t   Vậy : 0     I   cos xdx    t dt    t  2t dt 1  t5      t  t    15 0 c) Đặt : t  tan x  dt  (tan2 x  1)dx x   t  Đổi cận :    x   t   t dt   I   tan xdx     t  t 1 dt t  1 0 t 1 0 Vậy :   t5 t3  13      t    du   15 5 0 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang Tính tích phân sau :   a) I1   sin x cos x a sin x  b cos x cos x b) I   dx  cos x dx Bài làm : a) Đặt : t  a sin x  b cos x  dt  2(b  a ) sin x.cos xdx x   t  a Đổi cận :   x   t  b  Nếu a  b  Vậy : sin x cos x dx  2 b  a2 a sin x  b cos x I1    t b  a2 b  a2  ab b a 2  b2  a2 dt t ab Nếu a  b   Vậy : sin x cos x I1   a sin x  b cos x   sin x cos xdx a dx    2 1 sin xdx   cos x   2a 4a 2a b) Đặt : t  sin x  dt  cos xdx x   t  Đổi cận :   x   t    Vậy : I   cos x  cos x dx   dt  2t   dt t 3 cos u  dt   sin udu 2   t   u  Đổi cận :  t   u    Đặt : t  Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang I2   Vậy :  dt t   2   sin udu  cos u     1  du  2   u  Tính tích phân sau :   sin x  cos x  dx sin x  cos x  2 dx a) I   sin x  cos x  b) I   Bài làm : x x  2dt   dt   tan  1dx  dx  2  t 1  x   t  Đổi cận :    x   t  1 dt  t I1   dt   2 2t 1 t 0 t  1   Vậy : 1 t2 1 t2 a) Đặt : t  tan 1   t2 sin x  cos x  cos x  sin x C  A B  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  Dùng đồng thức ta được: A  , B  , C  b)Đặt :  Vậy : I2    sin x  cos x  cos x  sin x   dx   1   dx sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x   0   x  ln sin x  cos x   02  I1    ln  Bạn đọc tự làm :   a) I1    cos x dx sin 2x  b) I   cos3 x sin xdx dx sin x  c) I   Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang    sin x  cos x  dx d) I   dx d) I   sin x  cos x  sin x  cos x  0 sin x dx c) I   cos x  2 Tính nguyên hàm,tích phân hàm hữu tỷ dx 1   C với a, n  C  N  0,1 ta có : n n  x  a n1 x  a  dx Nếu n  , a  R ta có : I    ln x  C xa  ,  , a, b, c  R x   Dạng : I   dx :  n ax  bx  c   b  4ac  Dạng : I     * Giai đoạn :   ,làm xuất tử thức đạo hàm tam thức ax2  bx  c , sai khác số : I  2a 2ax  b  2a  ax   bx  c b  n dx   2a  ax 2ax  b  bx  c  n dx    2a dx   b   n 2a    ax  bx  c  * Giai đoạn : Tính I   dt  4a    dx    n      2a ax b  t ax  bx  c t dx  n    n  * Giai đoạn : Tính I   Dạng : I   t  1 Pm x  dx Qn x  n dt tính hai phương pháp , truy hồi đặt t  tan Pm x  am x m   a1 x  a0 Ta có :  Qn x  bn x n   b1 x  b0 Nếu : degP  degQ ta thực phép chia phân số Rr  x  có degR  degQ Qn  x  Pm x  R x   Am  n  x   r Qn x  Qn x  Nếu : degP  degQ ta có qui tắc sau : Pm x  A1 An 1 An    n 1 x  a  x  a  x  a  x  a n n Pm x  Ai  Vdụ 1a : n i  i  x   i1 x  *Qt 1: n  i 1 Vdụ 1b : Pm x  A B C D     ( x  a)( x  b)( x  c) x  a x  b x  c x  c 2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang Pm x  An1 x  Bn1 An x  Bn A1 x  B1    n 1 2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c m n Pt x  Ai Ai x  B1 *Qt 3:     n i m x    ax  bx  c i 1 x    k 1 ax  bx  c i Pt x  A Bx  C Vdụ :   ( x   ) ax  bx  c x   ax  bx  c Pt x  B1 x  C1 B2 x  C2 A Vdụ :    2 x    ax  bx  c x    ax  bx  c ax  bx  c *Qt 2':     n             n        BÀI TẬP Tính tích phân sau : a) I1   dx x  3x  b) I   dx x  3x   Bài làm : dx dx       a) I1   dx x  1x  2  x  x   x  3x  1  ln x   ln x  0  ln 1   dx b) I   dx      dx 2 x  2 x  1x  2 x  x     x  1 1       2ln x   ln x    OK  x 1 x  0 Tính tích phân sau : a) I1   dx x  3x  b) I   4x  dx x  x  2   Bài làm : dx x  arctan  C với a  x a a a dx  1     dx 2 x 1 x   x 1 x   a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh I   1 dx I1    x  3x  0     1 x     arctan x  arctan   92 2 30  Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang với   4x  A Bx  C x  A  B   x2 B  C   2C  A    x  2 x  x  x  x  2 x  A  B   A  2  Do ta có hệ : 2 B  C   B  2C  A  C    b) Đặt :  Vậy : I       4x  2 2x   dx     dx  x  x  x  x  2        ln x   ln x   2 ln  ln  ln  ln  ln Bạn đọc tự làm : a) I1   2 c) I   x 1 dx x x  1 b) I   x 1 dx 4x3  x d) I  2 dx x  2x  x x dx  3x  HD: A B x 1 A B C b)     2 x 1 x  2x  x 1 x  x x  1 x x  x 1  x4 x A B C D  d) c)  1      x  x  x2 x  12 x  1  x  3x  x  x  x  x  a) Đẳng thức tích phân : Muốn chứng minh đẳng thức tích phân ta thường dùng cách đổi biến số nhận xét số đặc điểm sau * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận + cận dưới, … Chúng ta cần phải nhớ đẳng thức nầy xem bổ đề áp dụng BÀI TẬP 1 0 Chứng minh :  x m 1  x n dx   x n 1  x m dx Bài làm : Xét I   x m 1  x n dx Đặt : t   x  dt  dx  dx  dt Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang x   t  x   t  Đổi cận :  1 Vậy : I   x 1  x  dx   1  t  t dt   1  t m t n dt (đpcm) n m m n Chứng minh f (x) hàm lẻ liên tục đoạn  a, a : a I  f x dx  a Bài làm : a I  f ( x)dx  a Xét  a  f x dx a f x dx   f x dx 1 Đặt t   x  dt  dx  dx  dt a  x  a  t  a x   t  Đổi cận :  V ậy :  a a a 0 f x dx   f  t dt    f t dt Thế vào (1) ta : I  (đpcm) Tương tự bạn đọc chứng minh : Nếu f (x) hàm chẳn liên tục đoạn  a, a a I  a a f x dx  2 f x dx Cho a  f x  hàm chẵn , liên tục xác định R Chứng minh :   f x  f x  f x  dx   x dx   x dx x 1 a  a   Xét   a  f x   a x  dx  0 f x dx  Bài làm : 1 f x  dx Đặt t   x  dt  dx  dx  dt x 1  a   x    t   x   t  Đổi cận :  Vậy : f x  f  t  at f t  dx  dt   a x  0 a t  0 at     Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang f x  a x f x  f x  Thế vào (1) ta :  x dx   x dx   x dx   f x dx (đpcm) a 1 a 1 a 1   0    Cho hàm số f x  liên tục 0,1 Chứng minh :   x f sin x dx    0 f sin x dx Bài làm :  Xét  x f sin x dx Đặt t    x  dt  dx  dx  dt x   t   x    t  Đổi cận :     Vậy :  x f sin x dx     t  f sin   t dt     t  f sin t dt 0   0    f sin t dt   t f sin t dt    2 x f sin x dx    f sin x dx 0      x f sin x dx   f sin x dx 0 Từ toán , bạn đọc mở rộng toán sau Nếu hàm số f x  liên tục a, b f a  b  x  f x Thì ta có : b  x f x dx  a  ab f x dx 0 Cho hàm số f x  liên tục,xác định , tuần hoàn R có chu kì T a T  Chứng minh : T f x dx   f x dx a Bài làm : a T  f x dx   f x dx  T a T a a T  Vậy ta cần chứng minh Xét T a T T f x dx   f x dx   f x dx  a a a T T  f x dx  f x dx   f x dx a  f x dx Đặt t  x T  dt  dx Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 10    Vậy : J   e cos xdx  e sin x   e x sin xdx   I x x 0 Thế vào (1) ta : I1  e   I1  e  u  x  du  dx b) Đặt :  dv  dx  v  tan x  cos x      x   Vậy : I   dx  x tan x 04   tan xdx   ln cos x  04   ln cos x 4 0  u  cosln x   du   sin ln x dx c) Đặt :  x  dv  dx  v  x e e Vậy : I   cosln x dx  x cosln x 1   sin ln x dx  e  1  J e 1  u  sin ln x   du  cosln x dx Đặt :  x  dv  dx  v  x e e Vậy : I   sin ln x dx  x sin ln x 1   cosln x dx   I e 1 Thế vào (1) ta : I  e  1  e   I3   Bạn đọc tự làm : ln e b) I   1  ln x 2 dx a) I1   x.e dx x c) I    1   dx ln x ln x  e   d) I   ln x   x dx  e) I   sin x ln tan x dx  e f) I   cos ln x dx   g) I   x cos x   sin x x e dx  cos x h) I    Tích phân hàm trị tuyệt đối, , max : b Muốn tính I   f x  dx ta xét dấu f x  đoạn a, b , khử trị tuyệt đối a Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 13 b Muốn tính I   max  f x , g x dx ta xét dấu f x  g x đoạn a, b a b Muốn tính I    f x , g x dx ta xét dấu f x  g x đoạn a, b a Tính tích phân sau : b) I1   x  x  dx a) I1   x  dx Bài làm : x a) x-2 - +   x2   x2 Vậy : I1   x  dx   2  x dx   x  2dx  2 x      x 1   2 1     4  2      8  8  2  4     4 b) Lập bảng xét dấu x  x  , x  0,2 tương tự ta     I1   x  x  dx    x  x  dx   x  x  dx 2  x   x  I1  3x  x     3x  x    0  1  3 Tính I a   x x  a dx với a tham số : Bài làm : x x-a  a -  + (Từ bảng xét dấu ta đánh giá ) Nếu a  1 I a   x x  a dx   0  x ax  a x  ax dx       0 3   Nếu  a  Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 14 a     I a   x x  a dx    x  ax dx   x  ax dx a a  ax x   ax x  a a3           0  a 2  Nếu a   x ax  a I a   x x  a dx    x  ax dx        0 3 0 1   Tính : a) I1   1, x dx   I   max x , x dx 0 Bài làm : a) Xét hiệu số : 1  x  x  0,2   2 x3  x1  Vậy : I1   1, x dx   x dx   dx  3 0 2 b) Xét hiệu số : xx  1 x  0,3 tương tự ta có   1 3 x2 x3 55 I   max x , x dx   xdx   x dx    31 0 2 Bạn đọc tự làm :  3 a) I1   x, x  3dx b) I   max sin x, cos x dx c) I   sin x  cos x dx 2 0 d) I   max x ,4 x  3dx d) I     x  x   x  x  dx 2   Nguyên hàm , tích phân hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta nghiên cứu trường hợp đơn giản tích phân Abel   Dạng 1:  R x, ax  bx  c dx ta xét dạng hữu tỷ a      2ax  b    ax  bx  c    1    4a          Rx,  ax  bx  c dx   S t, axb t    t dt Tới , đặt t  tan u a      2ax  b    ax  bx  c  Dạng 2:    1   4a         Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 15  Rx,    S t, ax  bx  c dx  t  t dt Tới , đặt t  sin u axb   a    2ax  b  Dạng 3:   ax  bx  c    1  4a          Rx, t t  dt Tới đây, đặt t  axb dx ax  bx  c Một số cách đặt thường gặp : 2 đặt x  a cos t  S x, a  x dx   S x,  S x, a2   x dx  a dx đặt x  a tan t sin u   x    Dạng (dạng đặc biệt) :   S t, ax  bx  c dx    t x   dt t  t   0t    t   2 a  đặt x  t   k x2 cos t 2  ax  bx  c  xt  c ; c   2  S x, ax  bx  c dx đặt  ax  bx  c  t x  x0  ; ax0  bx0  c   ax  bx  c   a x  t ; a0   ax  b ax  b  ; ad  cb  đặt t  m  S  x, m cx  d  cx  d   Tính : I   x dx  4x   Bài làm :  x dx  4x     t  x2 t dt  3 Đặt : t  tan u  dt  3tan u  1du    tan u  du  cos udu tan u 3 tan u  1 t x2  sin u  C  C  C 2 3 t 1 x  4x  Ta có I  tan u    Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 16 Tính : a) I   xdx b) I   x2  x  dx x x2  2x  Bài làm : xdx a)  I x  x 1 2  3t   t2 1 x 1 t xdx 1  x    2  dt   3t   x 1 t t2 1 dt   t   ln t  t   C 2 1    ln  x   x  x    C 2   dt b)Đặt : x   dx   t t dx dt t 1 I      arcsin C 2 x x  2x 1  t  1 x  x2  x   t 1 x 1   arcsin x  C   arcsin C 2 Tìm nguyên hàm sau dx 1 x  1 x a) I   b) I   dx x 1 x 1 Bài làm : a)Đặt : t   x  t   x  6t 5dt  dx Vậy : I   dx t dt      t  t 1 dt   t 1  t t 1 x  1 x t 6 1 x t 6 1 x   2t  3t  6t  ln t   C   x  33  x  66  x  ln  x   C b) I    Xét   dx 1 x  x 1   x 1  dx    x  1dx   dx  x x 1 x 1 x  1 x 1 x x   dx 2 x x 1 dx x Đặt : t  x 1 x 1  x 2t  dx   dt t 1 t 1   Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 17 Vậy : x 1 dx  2 x  t t dt  t  12  OK x 1 x Tìm nguyên hàm sau : a) I   x x  9dx b) I  16 x x  4dx Bài làm : a)Đặt : x2   x  t   t2     t2   .  I1      2t   2t  Vậy :       162 6561   t4 6561    162 ln t    C t   dt      16  t t  16  4t    x  x2    16   b)Đặt : t2  t2   dx  dt 2t 2t 2 t2  t  81 dt    dt 4t 16 t5 x   162 ln x  x2   x  t   x x2   t2  2t t2  4  t2  4 t2  .  I  16    2t   2t  4t   C  x x 9   dx  dt    t 6561   t2  dt 2t   16 dt t5 t4 36 256  64      t   dt     36 ln t    C t t  t   4   x  x2        36 ln x  x    C  x  x2    64  Tính tích phân sau : 8 dx dx x  x 3 a) I1   x  x dx b) I   Bài làm : I1   1 x  x dx    2 x  1 dx 21 2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 18 Đặt : x   sin t  dx  cos tdt   x   t  Đổi cận :  x   t       12 1 Vậy : I1   cos tdt   1  cos 2t dt  1  sin 2t  40 80 8 0           0  0     16 b) Đặt : t   x   2tdt  dx  x  3  t   x  8  t  Đổi cận :  8 3 dx tdt dt dx  2  2 1 t t 1 t 3 x  x 2 Vậy : I     t 1     ln   ln  ln 1  ln t 1   Bạn đọc tự làm : a) I1   dx x x2  d) I    x dx b) I   x  x dx d) I 5    x2  1  x2 1 c) I   dx d) I 6  x dx 4  1  x2  dx Bất đẳng thức tích phân : b Nếu f x   x a, b   f x dx  a b b Nếu f x   g x  x a, b   f x dx   g x dx a a b Nếu m  f x   x a, b  mb  a    f x dx  M b  a  a Trong trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và bước chặn sinx,cosx BÀI TẬP Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 19 Chứng minh bất đẳng thức sau : a)  x1  x dx  b)   x dx  x 1 c)    x   x dx  Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có :  x  1  x  x1  x     x  0,1    1 1 Vậy :  x1  x dx   dx  (đpcm) 40 b) Xét hàm số : f x   x x  1,2 x 1 Đạo hàm : f  x    x2 x  1 x  f  x      x  1   f 1  Ta có :   f 2    x   x  1,2 x 1 2 2 x Vậy :   dx   dx   dx 51 x 1 21 2 x   dx  x 1 Áp dụng Bunhicopxki ta có :  x   x  12  12  x   x  x  0,1 Vậy :    x   x dx  21  0    x   x dx  (đpcm) Chứng minh : e  x sin x  1 x  dx  12e Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 20 Bài làm :     x  1  e  x  x  1,  e  x sin x  2 x 1 e x 1  Xét  ex  e x e sin x  dx  x 1  ex 1  dx 1  dx 1 Đặt : x  tan t  dx  tan t  1dt    x   t  Đổi cận :  x   t      tan t  1dt  dt   Do :  etan t  1  e 12 3   Từ ta đpcm Bạn đọc tự làm : Chứng minh : a)  16   dx    cos x 10  b)  sin x  dx   x   c)   d ) Cho hàm số liên tục :  x2  x3   6 * dx f : 0,1  0,1 ; g : 0,1  0,1 1 1  Chứng minh :  f x .g x dx   f x dx. g x dx 0 0  Một số ứng dụng tích phân thường gặp : 1)Tính diện tích : Cho hai hàm số f x & f x  liên tục đoạn a, b Diện tích hình phẳng giới hạn đường : x  a x  b ;    y  f x   y  g x  Được tính sau : b S   f x   g x  dx a 2)Tính thể tích : Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 21 Nếu diện tích S x  mặt cắt vật thể mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , hàm số liên tục đoạn a, b thể tích vật thể tính : b V   f x dx a Nếu hàm số f x  liên tục a, b (H) hình phẳng giới hạn đường: x  a , x  b   y  f x  Ox  Khi (H) quay quanh Ox ta vật thể tròn xoay Lúc thể tích tính : b V     f x  dx a Tương tự ta tính thể tích vật thể quay quanh oy 3)Tính giới hạn : b n  xi 1   i  x lim  f  i .xi   f x dx  n i 1 a  x  xi  xi 1 Từ ta xây dựng toán giới hạn sau : n i Viết dãy số thành dạng : S n   f   sau lập phân hoạch 0,1 , chọn i 1  i  xi  n n n i i f     f x dx ta có lim  n n n i 1 n 4)Tính độ dài cung đường cong trơn: Nếu đường cong trơn cho phương trinh y  f x  độ dài đường cung tính sau : b l     y  dx với a, b hoành độ điểm đầu cung a 4)Tính tổng khai triển nhị thức Newton Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau dùng đồng thức, bước cuối tính tích phân Hình1a hình1b Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 22 hình1c hình1d BÀI TẬP Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R Bài làm : (hình 1a) Phương trình đường tròn có dạng : x2  y  R2  y   R2  x2 R Do tính đối xứng đồ thị nên : S  4 R  x dx Đặt : x  R sin t  dx  R cos tdt x   t  Đổi cận :    x  R  t  Vậy : x   t      x  R  t    2 S   R  sin t R cos tdt  R  1  cos 2t dt 0   2  R  x  sin 2t   R 2  0 dvdt Xét hình chắn phía Parabol y  x , phía đường thẳng qua điểm A(1,4) hệ số góc k Xác định k để hình phẳng có diện tích nhỏ Bài làm (hình 1b) Phương trình đường thẳng có dạng y  k x  1  Phương trình hoành độ giao điểm x  k x  1   x  kx  k   Phương trình có hai nghiệm , giả sử x1  x2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 23 Vậy diện tích : S x1 x2  x3 k  k x  1   x dx    x  4  k x    x1  x2       x2  x1  x2  x1 x2  x12  k x2  x1   4  k     x2  x1  k  Với :  x2 x1  k   x2  x1 2  x 2  x 21  x2 x1  k  4k  4 Thế vào * ta :   S  k  4k  16  k  4k   k  4  k     k  4k  16 k  4k  16 3 1 k  22  12   k  4k  16  6 Vậy : S  k        *     Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : ax  y  ay  x Bài làm : (hình 1c) Do tính chất đối xứng đồ thị mà ta cần xét a  ax  y x  y x  y  a     Xét : ay  x  ay  x a  a    Với x  y ta : x  y  x  a n   ay  x    x  l  a   Với x  y  a  ta :  x  ax  a  x  y  a   x  a   ay  x  ay  x x  a  a    n  l  Ta lại có : Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 24  y   ax ax  y   x2  ay  x   y  a a    a   Vậy diện tích cần tính : a a   x2  x2  S    ax  dx    a x  dx a a 0 0 a 3 x3    ax    a2 3a  2 dvtt  Bạn đọc tự làm : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : x  y    a)  x  y   x    y  x2  b)  y  x y   x  y  c)  x  y  0 y    x2 y2  1 d)  a b a , b   Hình vẽ tương ứng ↓↓↓ hình a hình b hình c hình d Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 25 Với số nguyên dương n ta đặt : 15  25  35   n Sn  n6 Tính lim S n n Bài làm : Sn  n       n                n    n   n   n  i     i 1 n  n  n Xét hàm số f x   x   0,1 Ta lập phân hoạch 0,1 với điểm chia :  x0  x1  x2  .xn1  xn  chiều dài phân hoạch l  xi  xi 1  n n i i Chọn  i  xi  ta có lim  xi  xi1  f  i      n   n i 1 i 1 n  n   lim S n  lim S n   x dx  l 0 n n Với số nguyên dương n ta đặt : Sn  1 1     n 1 n  n  nn Tính lim S n n Bài làm :    1 1   Sn       n n  1 1 1    n n n n       i  i 1 n    1 n  n   0,1 x 1 Ta lập phân hoạch 0,1 với điểm chia : Xét hàm số f x    x0  x1  x2  .xn1  xn  chiều dài phân hoạch l  xi  xi 1  n Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 26    1  i  xi  xi1  f  i    i  Chọn  i  xi  ta có lim  n n  i 1 i 1 n    1 n  1 dx  lim S n  lim S n    ln x   ln x 1 l 0 n n n Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Văn – Sinh – Anh – tốt nhất! Trang 27 ... n   b1 x  b0 Nếu : degP  degQ ta thực phép chia phân số Rr  x  có degR  degQ Qn  x  Pm x  R x   Am  n  x   r Qn x  Qn x  Nếu : degP  degQ ta có qui tắc sau