GIỚI HẠN DÃY SỐ

GIỚI HẠN DÃY SỐ http://e-learning.hcmut.edu.vn/ DÃY SỐ THỰC Dãy số tập hợp số đánh số từ nhỏ đến lớn tập hợp số tự nhiên N VD: 1/ xn = n2, n = 0, 1, 2, … 2/ xn = 1/n, n = 1, 2, … 3/ {xn} cấp số cộng: a, a+d, a+2d, … Các cách cho dãy số 1/ Dạng liệt kê: VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/2, 1/3,… 2/ Dạng tường minh: {xn} cho dạng biểu thức giải tích biến n VD: xn = n , xn = / n 3/ Dạng quy nạp: Số hạng sau tính theo số hạng trước VD: dãy x1 = 1, xn +1 = xn2 − xn + xn −1 − xn dãy x1 = 1, x2 = 1, xn +1 = Dãy đơn điệu {xn} dãy tăng ⇔ xn ≤ xn+1, với n đủ lớn {xn} dãy giảm ⇔ xn ≥ xn+1, với n đủ lớn Bỏ dấu “ = “ định nghĩa ta gọi tăng (giảm) ngặt Dãy tăng dãy giảm gọi chung dãy đơn điệu Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu: 1.Xét hiệu số: xn+1 – xn (so với “0”) 2.Xét thương số: xn+1/xn (so với “1”) (dùng cho dãy số dương) 3.Xét đạo hàm hàm số f(x), với f(n) = xn Ví dụ 1 a / xn = + + K + : n xn +1 − xn = > ⇒ tăng n +1 1  1  b / xn = 1 − ÷K 1 − ÷:  2  n xn +1 = 1− ⇒ giảm xn n +1 2n − c / xn = : 3n − Biểu thức giống hàm số, xét đạo hàm 2x − f (x) = , ⇒ f ′( x ) = >0 3x − (3x − 4) ⇒ f(x) tăng ⇒ {xn} tăng Dãy bị chặn {xn} dãy bị chặn ⇔ ∃M : xn ≤ M, ∀ n ≥ N0 {xn} dãy bị chặn ⇔ ∃m : xn ≥ m, ∀ n ≥ N0 {xn} bị chặn ⇔ {xn} bị chặn bị chặn VD: Xét tính bò chặn dãy { } a/ n n b/ { } { n } c / ( −1) n DÃY CON Cho {xn}, chọn số hạng từ dãy 1cách tùy ý theo thứ tự số tăng dần ta dãy {xn} VD: { xn } = { x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ,L, xn ,L} {x–2n1}} {x2n {x2n-1} = {x1, x3, x5, …} {x2n} = {x2, x4, x6, …} •Các số dãy kéo dài ∞ GiỚI HẠN DÃY SỐ Định nghĩa đơn giản: {xn} có giới hạn a n ∞ tức xn ≈ a n đủ lớn Định nghĩa chặt chẽ: Dãy hội tụ ⇔ ∃a hữu hạn : lim xn = a n→∞ ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N0 ∈ N : xn − a < ε , ∀ n ≥ N0 ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N0 : a − ε < xn < a + ε ∀ n ≥ N0 a x3 x 2a −ε xN0 a +ε x x n (n > N ) GIỚI HẠN CƠ BẢN α > ⇒ lim nα = ∞  n →∞ 1/ Lũy thừa: α α < ⇒ lim n =0  n →∞ a > ⇒ lim a n = ∞ n →∞ 2/ Hàm mũ:  n − < a < ⇒ lim a =0  n →∞ / lim n nα = 1, ∀α ln p n / lim α = 0, ∀α > n →∞ n nα lim n = 0, ∀a > n →∞ a an lim = 0, ∀a > n →∞ n ! n →∞ / lim n a = 1, ∀a > n →∞ ln p n = nα = a n Ví dụ a / lim n = ∞ n →∞ n c / lim = +∞ n →∞ n e / lim n n →∞ −2 =1 b / lim = lim n −1 = n →∞ n n →∞ n 1  d / lim  ÷ = n →∞   n f / lim n = n →∞ DẠNG VƠ ĐỊNH • Đối với phép tốn cộng, trừ, nhân, chia: ∞ ∞ − ∞,0 ×∞, , ∞ • Đối với dạng mũ ∞ ,0 , ∞ ( an ) bn Ví dụ tổng hợp n! / lim n n →∞ n n ! ×2K n 0< n = ≤ →0 n ×nK n n n n sin n n 0≤ ≤ →0 n +1 n +1 n sin n / lim n →∞ n + n 1000   / lim  ÷ n→∞  n  n Với n ≥ 2000: n 1000     0 2, xk +1 = +1 > +1 = 2 − xn • Đơn điệu: xn +1 − xn = xn + − x