bất đẳng thức

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Chủ đề : Bất đẳng thức A) Định Nghĩa: Bất đẳng thức là biểu thức có dạng: A>B; A<B; .; BABA B) Các tính chất: Quan hệ >; < . 1. Có tính chất bắc cầu. Nghĩa là: a) a>b và b>c thì a>c. b) a<b và b<c thì a<c. c) ba và cb thì ca . d) ba và cb thì ca . 2. Có tính chất phản xạ. Nghĩa là: ;: aaa hoặc aaa : . 3. Có tính chất phản xứng. Nghĩa là: a) ba và ab thì a=b. b) ba và ab thì a=b. C) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1. abba <> 2. mbmaba >> 3. a + c > b a > b c. 4. dbca dc ba +>+ > > . 5. a > b << >> 0 0 cbcac cbcac 6. . 0 0 bcac dc ba > > > 7. *) * ,0 + >> Znbaba nn . *) * ,0 <> Znbaba nn 8. *) .,0 * 22 Nnbaba nn >> *) ., * 1212 Nnbaba nn >> ++ 9. *) a >1 nm aa > với m > n ; m,n * N *) 0<a<1 nm aa < với m > n ; m,n * N 9. a>b và ab>0 ba 11 < . 10. *) .,0 2 Raa *) .0&,0 2 > aRaa 11. *) .,0 + Raa *) .,0 * + > Raa D) Các bất đẳng thức th ờng gặp : 1. abbaRba 2:, 22 + Dấu bằng khi a=b 2. Bất đẳng thức Cauchy. Với a 1 ,a 2 ,, a n + R : n nn aaanaaa 2121 +++ hoặc n n n aaa n aaa . . 21 21 +++ Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 1 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Hoặc . 21 21 n n n aaa n aaa +++ Dấu bằng khi a 1 =a 2 ==a n . 3. Bất đẳng thức Bunhiacốpki. 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 ) .() .)( .( nnnn babababbbaaa +++++++++ Với a 1 ,a 2 ,, a n ,b 1 ,b 2 ,, b n R . Dấu bằng khi: n n b a b a b a === . 2 2 1 1 4. Bất đẳng thức Bernonlly. Với .,1)1(:1, + ++ ZnnaaaRa n Dấu bằng khi và chỉ khi a = 0. E) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức có dấu giá trị tuyệt đối: 1. = 0 0 a a a a a 2. *) .,0 Raa *) .,0 * Raa > *) aaa với Ra . Dấu bằng ở vế (1) khi a 0, ở vế (2) khi a 0 . 3. baba ++ Dấu bằng khi ab 0. 4. baba Dấu bằng khi ab 0. 5. baba + Dấu bằng khi ab 0. 6. ababba = Dấu bằng khi ab 0. 7. *) aX với a > 0 aXa . *) aX < với a > 0 aXa << . 8. *) aX với a > 0 aX aX . *) aX > với a > 0 > < aX aX . F) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức trong hình học: 1. Với ba điểm A,B,C tuỳ ý thì: AB + BC AC. Dấu bằng khi: A,B,C thẳng hàng. 2. Với mọi ba, : baba ++ Dấu bằng khi: ba, cùng phơng. 3. Với mọi ba, : baba ++ Dấu bằng khi: ba, cùng phơng. Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức $1: Phơng pháp dùng định nghĩa. Để chứng minh: A B Ta lập hiệu A B và chỉ ra A B 0 hoặc B A 0. Từ đó kết luận: A B. Dấu bằng khi: A=B. VD 1 CMR: 2 + a b b a với ab > 0 . VD 2 CMR: ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 22 với ab > 1. VD 3 CMR: 2233 abbaba ++ với ba, 0. Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 2 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức VD 4 CMR: 3344 abbaba ++ với ba, R . VD 5 Cho x,y .,; * RbaR CMR: (ax+by)(bx+ay) (a+b) 2 xy. VD 6 Cho a,b .2; + baR CMR: a 3 +b 3 a 4 +b 4 . VD 7 Cho a,b>0.CMR: ba a b b a ++ . $2: Phơng pháp chứng minh trực tiếp. Để chứng minh: A B Ta biến đổi: A =A 1 =A 2 ==B + C 2 Do C 2 0 Nên: A B. Dấu bằng khi: C=0. VD 1 CMR: 134 2 + aa với Ra . VD 2 CMR: 1 )1( 1 . 3.2 1 2.1 1 < + +++ nn với * Nn . VD 3 CMR: 21 < ++ + ++ + ++ + ++ < bad d adc c dcb b cba a với a,b,c,d > 0. $3: Phơng pháp chứng minh bằng so sánh. Để chứng minh A B Ta biến đổi : A=A 1 =A 2 ==A n . B=B 1 =B 2 ==B n Nếu A n B n thì A B. VD 1 CMR: 200 300 > 300 200 $4: Phơng pháp chứng minh bằng tính chất bắc cầu. Để chứng minh A B. Ta đi chứng minh A C và C B A B. Dấu bằng khi A=C=B. VD 1 CMR: a 2 a + 1 > 0 với Ra . VD 2 CMR: a 2 ab + b 2 0 với Rba , . VD 3 CMR: a 2 > 2(a-1) với Ra . VD 4 Cho a,b,c * + R . CMR: . ba c ac b cb a ac c cb b ba a + + + + + < + + + + + $5: Phơng pháp chứng minh bằng dùng giả thiết. VD 1 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). VD 2 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: a) (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) abc. b) a 3 +b 3 +c 3 +3abc a(b 2 +c 2 )+b(c 2 +a 2 )+c(a 2 +b 2 )> a 3 +b 3 +c 3 +2abc. VD 3 Cho a,b,c [ ] 2;1 và a+b+c=0 CMR: a 2 + b 2 + c 2 6. VD 4 Cho các số nguyên dơng: a,b,p,q,r,s Thoả mãn các điều kiện qr ps =1 Và s r b a q p << .CMR: b q + s. VD 5 Cho a,b,c R và a 2 +b 2 +c 2 = 1. CMR: 0 abc + 2(1 +a +b +c +ab +bc +ca). VD 6 Cho a 1 ,a 2 ,, a n [ ] 1;1 và 0 . 33 2 3 1 =+++ n aaa CMR: a 1 + a 2 ++a n 3 n . VD 7 Cho a,b,c [ ] 2;0 và a+b+c=3 CMR: a 2 + b 2 + c 2 5. $6: Phơng pháp chứng minh bằng phân tích số hạng. VD 1 CMR: )11(2 1 . 3 1 2 1 1 +>++++ n n với * Nn . VD 2 CMR: 2 )1( 1 . 23 1 2 1 < + +++ nn với * Nn . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 3 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức VD 3 CMR: 2 1 . 2 1 1 1 222 <+++ n với * Nn . $7: Phơng pháp chứng minh bằng quy nạp. B 1 Thử trực tiếp với n nhỏ nhất ( có trong bài toán ) bài toán đúng. B 2 Giả xử bài toán đúng với n=k ( với k lớn hơn n đã thử ). PCM: Bài toán đúng với n=k+1. a) Đẳng thức. VD 1 CMR: 1+2+3++ n = 2 )1( + nn . Với n * N VD 2 CMR: 1 2 +2 2 +3 2 ++ n 2 = 6 )12)(1( ++ nnn . Với n * N b) Bất đẳng thức. VD 1 = = = n i i n i i n i i i a m a m 1 1 2 1 2 )( Với mọi a i ,m i >0,n * N VD 2 = = = n i k i n i k i n i k i k i a m a m 1 1 1 1 1 )( )( Với mọi a i ,m i >0,k * N VD 3 = = = n i i k n i k i n i i k i an m a m 1 2 1 1 )( Với mọi a i ,m i >0,k * N . $8: Phơng pháp chứng minh bằng phản chứng. Để chứng minh A B Ta giả sử A < B từ đây biến đổi dẫn đến trái với giả thiết của bài toán hoặc trái với một điều đã biết trớc đó. Kết lận A B đúng. VD 1 CMR: 2 + a b b a với ab > 0 VD 2 Cho a,b,c >0 và abc=1 CMR: a + b + c 3. VD 3 Cho a,b thoả a+b=2 Chứng tỏ ab<1 và a 4 +b 4 2. $9: Phơng pháp chứng minh bằng h m s A) S d ng miền giá trị . Để chứng minh B < f(x) < A Đặt y=f(x) xác định trên D Khi đó với mọi x thuộc D thì phơng trình f(x) y = 0 có nghiệm. Từ đó suy ra điều kiện: ( ) ABy ; hay B < f(x) < A. VD 1 CMR: 3 1 1 3 1 2 2 + ++ aa aa với a > 0, a R . VD 2 CMR: 3 1 12 12 2 2 > ++ + aa aa với a R . B) S d ng nh lý Lagrange . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 4 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Nếu y=f(x) liên tục trên [ ] ba; và có đạo hàm trên ( ) ba; thì: ( ) ab afbf cfbac = )()( )(:; , Bài toán I: Chứng minh bài toán: vế(I)<vế(II)<vế(III) mà vế(II) có thể viết thành: ab afbf )()( PP: Chỉ ra y=f(x) liên tục trên [ ] ba; và có đạo hàm trên ( ) ba; thì: ( ) ab afbf cfbac = )()( )(:; , hay a<c<b thì vế(I)<vế(II)<vế(III) C) S d ng tính đơn điệu của hàm số . hàm số y=f(x) XĐ trên (a;b) nếu: *) ( ) baxxf ;0)( , thì hàm số không giảm trên (a;b) (số điểm có f , (x)=0 là môt số hữu hạn ) *) ( ) baxxf ;0)( , thì hàm số không tăng trên (a;b) (số điểm có f , (x)=0 là môt số hữu hạn ) *) ( ) baxxf ;0)( , = thì hàm số không đổi trên (a;b) Bài toán II: Chứng minh bài toán: f(x)>0 );( bax PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra [ ) Dba ; Tính f(a) chỉ ra f(a) 0 Tính f , (x) và chỉ ra f , (x)>0 );( bax suy ra f(x)>f(a) );(0 bax D) S d ng Y min ;Y Max của hàm số. Bài toán III: Chứng minh bài toán: f(x) 0 1 Dx PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra DD 1 Tìm Y min với x D 1 Chứng tỏ 0 min Y từ đó suy ra 0)(: min1 = YxfyDx E) S d ng tính chất của hàm số lồi,lõm(BĐT JENSEN) . *) Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 f ,, (x)>0 );( bax thì );(; .;; 21 baxxx n ta có: +++ +++ n xxx nfxfxfxf n n . )( .)()( 21 21 Dấu = khi x 1 =x 2 = .=x n *) Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 f ,, (x)<0 );( bax thì );(; .;; 21 baxxx n ta có: +++ +++ n xxx nfxfxfxf n n . )( .)()( 21 21 Dấu = khi x 1 =x 2 = .=x n Bài toán IV: Để CM: kxfxfxf n +++ )( .)()( 21 với );(; .;; 21 baxxx n Hoặc Để CM: kxfxfxf n +++ )( .)()( 21 với );(; .;; 21 baxxx n PP: Chỉ ra hàm số y=f(x) trên (a;b) thỏa mãn: f ,, (x)>0 );( bax hay f ,, (x)<0 );( bax và k n xxx nf n = +++ . 21 Bài tập 1: CMR 2 1 1 1 2 + + < xx x Bài tập 2: CMR 3 1 4 cos 1 2 cos1cos1cos2 22 2 + + + + x x x x Bài tập 3: CM các BĐT sau: a) 2 3 2 sin 2 sin 2 sin ++ CBA với A,B,C la số đo các góc trong của 1 tam giác b) a ab a b b ab << ln với 0<a<b c) ) 2 ;0(222 1tansin + + x xxx Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 5 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Bài tập 4: CMR ne xx n 2 1 1 < với n )1;0(, * xN ,e = x x x + + 1 1lim Bài tập 5: CMR a) * ;0;, 22 NnbaRba baba nn n + + + HD xét y=x n +(c-x) n với c>0 b) Rxqpxx ++ 0 4 khi và chỉ khi 43 27256 pq với Rqp , c) Nếu 43 27256 pq với Rqp , thì Rxpxqx ++ 01 34 d) ! . !2 1 2 n xx xe n x ++++> với n 0, * > xN ,e = x x x + + 1 1lim e) xx x xx <<> sin 6 :0 3 Bài 6: CMR nếu n là số tự nhiên chẵn và a là số lớn hơn 3 thì (n+1)x n+2 -3(n+2)x n+1 +a n+2 =0 VN Bài 7: m>0;a,b,c bất kỳ thỏa 0 12 =+ + + + m c m b m a thì ax 2 +bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) $10: Phơng pháp chứng minh bằng biến đổi tơng đơng. VD 1 Cho a,b,c R . CMR: a 2 + b 2 + c 2 ab+bc+ca. VD 2 Cho a,b,c,d R . CMR: a 2 + b 2 + c 2 +d 2 +1 a+b+c+d. VD 3 Cho a,b,c R . CMR: 4 2 a + b 2 + c 2 ab-ac+2bc. VD 4 Cho a,b,c R . CMR: a 2 + b 2 + c 2 +1 2a( ab 2 -a+c+1). VD 5 Cho a,b,c R . CMR: a 2 + b 2 + c 2 3 1 . Với a+b+c=1. VD 6 Cho a,b,c R . CMR: 3 2 a + b 2 + c 2 ab+bc+ca. Nếu abc=1 và a 3 >36. VD 7 Cho a,b R . CMR: ba ba + 22 2 2 . Nếu ab=1 và a>b. VD 8 Cho a,b R . CMR: a 2 + b 2 + 1 ab+a+b. VD 9 Cho a,b,c [ ] 1;0 . CMR: a 2 + b 2 + c 2 1+a 2 b+b 2 c+c 2 a. VD 10 Cho a,b,c [ ] 2;0 và a+b+c=3. CMR: a 2 + b 2 + c 2 5. $11: Phơng pháp chứng minh bằng hình học-vộc t. bài 1: 222222 2)()( zxzyxzyx +++++ HD: a (x+y;z); );( zyxb .Với: x,y,z R. Bài 2: mymxymx 2)()( 2222 ++++ HD: a (x-m; y); );( ymxb .Với: x,y,m R. Bài 3: 2 21 2 21 2 2 2 2 2 1 2 1 )()()()()()( bbaaybxaybxa ++++ Với: x,y,a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 R. HD: A(x;y), B(a 1 ;b 1 ), C(a 2 ;b 2 ). Bài 4: 222222 )()( dbcadcba ++++++ Với: a,b,c,d R HD: );(),;( dcvbau . Bài 5: 222222 )()( dbcadcba ++++ Với: a,b,c,d R HD: );(),;( dcvbau . Hoặc A(a;b), B(c;d) và có: OA+OB AB. Bài 6: 2222 . dbcacdab +++ Với: a,b,c,d R . HD: ).;(),;( dbvcau và có: vuvu . . Bài 7: Tìm giá trị N 2 của y= 2222 2222 qqxxppxx +++ Với: p,q R và p<0; q>0. HD: A(p;p); B(q;q); M(x;0) và có: MA+MB AB. Từ đó Miny= 2 (q-p) khi: M O. Tổng quát: Với: p,q R.Đặt A(x-p; )p , B(x-q; )q . Thì: OA+OB AB= 22 )()( qpqp + . Bài 8: Tìm giá trị LN & NN của: y= 2 14 x x + Với : x [ ] 2;0 HD: ).2;(),22;1( xxvu ta có: cos23),cos( 2 14 ==+= vuvu x xvu .Max y=3 2 khi: 9 2 22 2 1 = = x xx . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 6 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức khi đó vu // còn Min y= 2 khi đó v cùng phơng Ox hay 1- 0 2 = x 2 = x . Bài 9: )1(5383 22 ++ xxx HD: ).2;1(),4;3( 2 xxvu Và có: vuvu . Bài 10: Tìm giá trị N 2 của y= 13cos6cos2cos2cos 22 ++++ HD: A(1;1-cos ); B(3;4), C(1;0). 201 +=++= CBOCABOAy Bài 11: Chứng minh rằng: 2sinsincoscos 2244 +++ . )sin;0(),;(sin),cos;(cos: 2222 wovuHD và có: wvuwvu ++++ Bài 12: Chứng minh rằng: 2)(sinsinsin4)(sincoscos4 222222 +++ yxyxyxyx HD: M(2cosxcossy;sin(x-y)), N(-2sinxsiny;-sin(x-y)) và có: OM+ON MN . Bài 13: Chứng minh rằng: 1111 22 <+++< xxxx HD: M(x;0), ) 2 3 ; 2 1 (A , ) 2 3 ; 2 1 ( B và có: 1 = ABMBMA bằng khi OM//AB loại. Bài 14: Chứng minh rằng: 222222 zyzyzxzxyxyx +++++++ HD: ) 2 3 ; 2 (), 2 3 ; 2 ( z z xvy y xu + khi đó: VT= VPzy zy vu =++ + 22 )( 4 3 ) 2 ( Bài 15: Chứng minh rằng: 3 222 222222 + + + + + ca ca bc bc ab ab Với: a,b,c>0 và ab+bc+ca=abc HD: ) 2 ; 1 (), 2 ; 1 (), 2 ; 1 ( ac w cb v ba u và: wvuwvu ++++ = 3) 111 (2) 111 ( 22 =+++++ cbacba Bài 16: Cho: x,y,u,v R và: x 2 +y 2 =u 2 +v 2 =1 chứng minh: 2)()(2 ++ vuyvux HD: );(),;( vuvubyxa + thì: VT= 2)()( 2222 =+++ vuvuyxba =VP Bài 17: Cho: a,b,c R và: >> > 0cb bca Chứng minh rằng: abcbccac + )()( HD: );(),;( ccavcbcu và có: abccacbcvuvu =++= Bài tập rèn luyệ n Bài 1: Cho a,b,c * + R . CMR: 6 + + + + + b ac a cb c ba . Bài 2: Cho a,b,c * + R . CMR: .9) 111 )(( ++++ cba cba Bài 3: Cho a,b * + R . CMR: . 411 baba + + Bài 4: Với x>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + x 3 . Bài 5: Cho a,b * + R . CMR: 222 3322 bababa + + ì + . Bài 6: Cho .0 ba . CMR: 11 + + b b a a . Bài 7: Cho a,b R . CMR: b b a a ba ba + + + + 111 . Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x +3)(5-x). Với 53 x . Bài 9: Với x>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + 1 2 x . Bài 10: Cho a,b,c R và a 2 +2b 2 +9c 2 =3. CMR: .692 ++ cba Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 7 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số: f(x) = xx + 41 . Bài 12: a) Cho a,b,c R . CMR: ).(3)( 2222 cbacba ++++ b) Cho a,b,c,d R v b<c<d c hoặc d<c<b. CMR: ).(8)( 2 bdacdcba +>+++ Bài 13: Cho a,b,c + R . CMR: .) 4 ( 4 abcd dcba +++ Bài 14: Cho a,b R và a 2 +b 2 =1. CMR: .2 + ba Bài 15: a) Cho a,b R và 4a - 3b = 15. CMR: .9 22 + ba b) Cho a,b R và 3a + 5b = 7. CMR: . 34 49 22 + ba c) Cho a,b R và 4a + b = 1. CMR: 5 1 4 22 + ba . Bài 16: Cho a,b R và 1,1 << ba . CMR: .1 abba +<+ Bài 17: a) Cho a,b + R . CMR: b b a a ba ba + + + ++ + 111 . b) Cho a,b + R và ab 1. CMR: ba ab + + + + 1 1 1 1 1 2 . c) Cho a,b,c,d>0, dcba và 1 bd .CMR: dcba abcd + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 . Bài 18: CMR: 2 1 2 1 . 2 1 1 1 >++ + + + nnn với * Nn . Bài 19: Cho a,b,c + R . CMR: .cabcabcba ++++ Bài 20: Cho a,b,c R . CMR: ).( 222222 cbaabcaccbba ++++ Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x x 1 + . Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 1 2 2 2 + + x x . Bài 23: Cho a R . CMR: 4 2 6 2 2 + + a a . Bài 24: a) Cho a,b,c * + R . CMR: .9 2 1 2 1 2 1 222 + + + + + abccabbca b) Cho a,b,c * + R . CMR: . 2 111 222 abc cba abccabbca ++ + + + + + c) Cho a,b,c * + R . CMR: . 1111 333333 abc abcacabccbabcba ++ + ++ + ++ d) Cho a,b,c,d * + R . CMR: . 11111 444444444444 abcd abcdbadabcdbacabcddcbabcdcba +++ + +++ + +++ + +++ e) Tổng quát cho bài toán trên. Bài 25: Với x> -2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + 2 2 + x . Bài 26: Với x>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x 2 + x 1 . Bài 27: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (2-x)(2x+1). Với: -0,5< x < 2. Bài 28: Cho a,b 0 . CMR: a) 42 )()(16 babaab + . b) (1+a+b)(a+b+ab) 9ab. c) 3a 3 +7b 3 9ab 2 . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 8 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Bài 29: Cho a,b R và a+b =2. CMR: .2 44 + ba Bài 30: a) Cho a,b * + R . CMR: 2 + a b b a . b) Cho a,b,c * + R . CMR: .3 ++ a c c b b a c) Tổng quát bài toán trên. Bài 31: a) Cho a,b * + R . CMR: 4) 11 )(( ++ ba ba . b) Cho a,b,c * + R . CMR: .9) 111 )(( ++++ cba cba c) Tổng quát bài toán trên. Bài 32: Cho a,b,c * + R và a+b+c = 1. CMR: c c b b a a + + + + + 1114 3 . Bài 33: a) Cho a,b,c 4 3 và a+b+c=3. CMR: .34343473 +++++ cba b) Cho a,b,c 4 1 và a+b+c=1. CMR: .14141421 +++++ cba Bài 34: Cho a,b R và a+b 0 . CMR: )(4))()(( 995533 babababa ++++ . Bài 35: a) Cho a,b,c R . CMR: 444 )( cbacbaabc ++++ . b) Cho a,b;x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR: 4444 )()()()3(3 z b a y b a x b aba ++++++ . Bài 36: Cho a,b,c,d R . CMR: a) 2222 ))(( dcbadcba +++++ . b) (a 2 +1)(b 2 +2)(c 2 +4)(d 2 +8) (ac+2) 2 (bd+4) 2 . Bài 37: a) Cho a,b * + R . CMR: 2 22 ) 2 ( 2 baba + + . b) Cho a,b,c * + R . CMR: .) 3 ( 3 2 222 cbacba ++ ++ c) Tổng quát bài toán trên. Bài 38: Cho a,b,c + R . CMR: .8))()(( abcaccbba +++ Bài 39: a) Cho a,b,c * + R . CMR: 2 3 + + + + + ba c ac b cb a . b) Cho a,b,c,d * + R . CMR: 2 + + + + + + + ba d ad c dc b cb a . c) Cho a,b,c * + R . CMR: cbabaaccb ++ + + + + + 9222 . d) Cho a,b,c,m * + R và m>1. CMR: cbaba m ac m cb m xxxxxx ++ + + + + + 9222 133221 . e) Cho a,b,c,m,n * + R . CMR: nmnbma c namc b ncmb a + + + + + + 3 . Bài 40: Cho a,b,c * + R . CMR: 2 15 + + + + + + + + + + + ba c ac b cb a b ac a cb c ba . Bài 41: a) Cho a,b,c * + R . CMR: 2 222 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + . b) Cho a,b,c * + R . CMR: 2 222333 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 9 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức c) Cho: a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR: 2 9111 + + + + + baaccb . Bài 42: a) Cho a,b,c * + R . CMR: cba c ab b ca a bc ++++ . b) Cho a,b,c * R . CMR: b c a b c a c b b a a c ++++ 2 2 2 2 2 2 . c) Cho a,b,c * R . CMR: a c c b b a c b b a a c ++++ 2 2 2 2 2 2 . Bài 43: Cho a,b,c,d 0 . CMR: .6))(())(())(( 4 abcdcbdadbcadcba ++++++++ Bài 44: Cho a,b + R . CMR: .)1()1)(1( 2 abba +++ Bài 45: Cho a,b,c + R . CMR: .)1()1)(1)(1( 3 3 abccba ++++ Bài 46: a) Cho a,b,c R . CMR: .6)1()1()1( 222222 abcaccbba +++++ b) Cho a,b,c R . CMR: .0)()()( 222 ++ acaccbcbbaba Bài 47: a,b,c là độ dài của ba đoạn thẳng thoả mãn: a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 > 2 1 (a 4 +b 4 +c 4 ). CMR: Ba đoạn thẳng đó có thể dựng đợc một tam giác. Bài 48: CMR: n n n <+ ) 1 1( . Với: n N và n > 2. Bài 49: CMR: nn nn <+ + 1 1 . Với: n N và n 2. Bài 50: CMR: 3) 1 1(2 <+< n n . Với: n N và n 2. Bài 51: Cho a 1 ,a 2 >0; a 1 c 1 2 1 b và a 2 c 2 2 2 b . CMR: (a 1 +a 2 )(c 1 +c 2 ) (b 1 +b 2 ) 2 . Bài 52: Cho: a 1 ,a 2 ,,a n 0 và a 1 +a 2 ++a n 2 1 .CMR: (1-a 1 )(1-a 2 )(1-a n ) 2 1 . Với: n N . Bài 53: Cho: a 1 ,a 2 ,,a n 0 . CMR: (1+a 1 )(1+a 2 )(1+a n ) n n aaa .2 21 . Với: n N . Bài 54: a) Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.CMR: 64) 1 1) .( 1 1)( 1 1( +++ cba . b) Cho: a 1 ,a 2 ,,a n 0 và a 1 +a 2 ++a n =1. CMR: n n n aaa )1() 1 1) .( 1 1)( 1 1( 21 ++++ . Với: n N . Bài 55: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi . a) CMR: .3pcpbpapp ++< b) CMR: 8(p-a)(p-b)(p-c) abc. c) CMR: cbacpbpap 222111 ++ + + . Bài 56: Cho a,b * + R và a 3 +b 3 =a-b . CMR: a 2 +b 2 <1 . Bài 57: Cho a,b,c * + R . CMR: 3 22 2 22 2 22 2 cba acac c cbcb b baba a ++ ++ + ++ + ++ . Bài 58: Cho a i ,bi,i= n,1 ; a i * , + RbR i và n n b a b a b a <<< . 2 2 1 1 CMR: n n n n b a bbb aaa b a < +++ +++ < . . 21 21 1 1 . Bài 59: Cho a i , i= n,1 ; a i + R và a 1 +a 2 ++a n =1.CMR: 2 1 113121 +++++ n aaaaaaaa nnn Bài 60: CMR: 1.3.5(2n-1) n n Với: n N Bài 61: Cho x,y,z + R và x+y+z=a. CMR: .8))()(( xyzzayaxa Bài 62: a) Cho a>b>0.CMR: 3 )( 1 + bab a . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 10 [...]...Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức 4 3 ( a b)(b + 1) 2 1 2 2 c) Cho a>b>0.CMR: a + b( a b) 2 b) Cho a>b 0.CMR: a + d) Cho a,b R, a 1 a 2 a 3 +1 & > 1 CMR: 3 4b( a b) 2 b e) Cho a1>>an>0 và 1 k N CMR: a1 + Bài 63: CMR:... n2 n(n +1) + + + = 1.3 3.5 ( 2n 1)(2n +1) 2( 2n +1) b) CMR: 12 22 32 100 2 + + + + < 26 1.3 3.5 5.7 199.201 Lu hành nội bộ 11 với n N * Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức 1 1 1 n + + + = 1.5 5.9 ( 4n 3)(4n + 1) 4n + 1 1 1 1 1 + + + < CMR: 1.5 5.9 (4n 3)(4n + 1) 4 Bài 82: a) CMR: b) với n N * Bài 83: a) CMR: 1.1!+2.2!+3.3!++100.100! 3 4 > > n 1 n > n n + 1 với n N * Bài 100: a) Cho a,b R; a + b 0 CMR: Lu hành nội bộ a3 + b3 a+b 3 ( ) 2 2 12 Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức b) Cho a,b R+ CMR: a +b a+b n ( ) 2 2 n n n Bài 101: CMR: (n + 1)(2n + 1) (n!) < 6 Bài 102: Gọi x2, x2 cx1 dx2 = 0 là nghiệm của hệ: x1 + x2 = 1 2 với n N với: c, d >0 CMR: x1x2... f(x,y)=(x-2y+1)2+(2x+ay+5)2 tuỳ theo a R Bài 118: Cho a,b,c,d R và a2 +b2 +c2 +d2 =1 CMR: (t2+at+b)2+(t2+ct+d)2 (2t2+1)2 Lu hành nội bộ 13 Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức ab c 2 + bc a 3 + ca b 4 1 1 1 * + + < 0,9 Bài 119: Cho a,b,c,d R+ và a 3, b 4, c 2 CMR: abc 2 2 Bài 120: Cho a,b,c là ba cạnh của ABC vông tại A CMR: an>bn+cn với n N , n > 2 Bài 121:... f(x,y,z)= ( x + y + z) 6 xy 2 z 3 c) Cho x1,x2,,xn >0 Tìm Min f(x1,x2, ,xn)= Lu hành nội bộ 14 ( x1 + x 2 + + x n )1+ 2+ + n 2 3 n x1 x 2 x3 x n Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Bài 138: a) CMR: A=sin2xcosx 2 3 9 b) CMR: A=sinmxcosnx m m n n ( m + n) m + n Với mọi 1 m, n N 1 m 1 ) < (1 + ) n với mọi m < n N m n 2 +1 3 3 +1 n +1 + + + n < n + 1 với n N * Bài... p2+q2-a2-b2-c2-d2>0.CMR: (p2-a2-b2)(q2-c2-d2) (pq-ac-bd)2 2 2 2 2 Cho ai,bi với i= 1, n ; ai,bi R và a1 a 2 a3 a n > 0 Lu hành nội bộ 15 Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2 CMR: (a1 a 2 a n )(b1 b2 bn ) (a1b1 a 2 b2 a n bn ) 2 e) Cho a,b R CMR: (a+b)2-ab+1 (a + b) 3 f) Cho a,b,c,d R CMR: (a2 -b2)(c2 d2) (ac bd ) 2 g) Cho tam giác... 167: Cho a,b,c R+ CMR: + 2 2+ 2 2 + + 2 2 b +c c + a a +b b+c c+ a a+b Bi 168: a) Cho tam giác ABC CMR: a4+b4+c4 16S2 16 Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức 2 2 2 b) Cho tam giác ABC CMR: a b(a-b) +b c(b-c) +c a(c-a) 0 a1 a 2 a3 (1 a1 )(1 a 2 )(1 a 3 ) 1 Bi 169: a) Cho a1,a2,a3 0; CMR: (a1 + a 2 + a3 ) 2 (3 a1 a 2 a 3 ) 2 2 a1 a 2 a... Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Từ đó suy ra điều kiện: y ( B; A) hay B < f(x) < A 1 a2 + a +1 VD1 CMR: 3 với a > 0, a R 3 a2 a +1 2a 2 a + 1 1 VD2 CMR: với a R > 2a 2 + a + 1 3 Chủ đề: Bất đẳng thức B) S dng nh lý Lagrange f (b) f (a ) ba f (b) f (a ) Bài toán I: Chứng minh bài toán: vế(I)3 thì (n+1)xn+2-3(n+2)xn+1+an+2=0 VN Bài 7: a) a,b,c bất kỳ thỏa 4a+3b+3c=0 thì ax2+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;2) b) a,b,c bất kỳ thỏa 2a+3b+6c=0 thì ax2+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) c)m>0;a,b,c bất kỳ: a b c + + = 0 thì ax2+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) m + 2 m +1 m d) CMR: với mọi a,b,c,d acos4x+bcos3x+ccos2x+dcosx=0 . Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Chủ đề : Bất đẳng thức A) Định Nghĩa: Bất đẳng thức là biểu thức có dạng: A>B; A<B; .; BABA . .,0 + Raa *) .,0 * + > Raa D) Các bất đẳng thức th ờng gặp : 1. abbaRba 2:, 22 + Dấu bằng khi a=b 2. Bất đẳng thức Cauchy. Với a 1 ,a 2 ,, a n + R