TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN THS.PHÙNG QUYẾT THẮNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ BẬC PHƯƠNG PHÁP P.Q.T Một phương pháp mang tính ưu việt phương pháp trước Kết rõ ràng mang tính trực quan cao! HÀ NỘI, THÁNG NĂM 2016 Gv: Ths Phùng Quyết Thắng Tel: 0903259172 Face: L Toan KN Page: KỸ NĂNG LÀM TOÁN TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN Nhận luyện thi theo nhóm, lớp khu vực Hà Nội Ngõ 102, đường Trường Chinh, Đống Đa, HN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ BẬC PHƯƠNG PHÁP PHÙNG QUYẾT THẮNG I Đặt vấn đề: Xét hàm số = ( ) liên tục khả vi tập xác định Nếu f(x) phân tích thành ( ) = ℎ( ) ′( ) + ( ) g(x) phương trình qua điểm cực trị hàm số f(x) Thật vậy: giả sử f(x) tồn điểm cực đại, cực tiểu có hoành độ xCĐ, xCT Đ) ′( )=0 = ′( (1) Khi đó, thay xCĐ, xCT vào f(x) kết hợp với (1), ta được: ( Đ) = ℎ ( Đ ) ′( Đ) + ( Đ) = ( Đ) (2) )= ( ) (3) ( ) ′ ( ) = ℎ ( )+ ( Từ (2), (3) suy g(x) phương trình qua điểm cực đại cực tiểu hàm số (đpcm) Bằng cách thực phép chia đa thức / ′ ta tìm thương ℎ ( ) phần dư ( ) Đây cách làm phổ biến Áp dụng cho hàm bậc = ( )= + + + ≠ = ( )=3 + + Khi đó, g(x) h(x) có dạng hàm số bậc nhất: ( )= 2 − ℎ( ) = + + − (4) (5) Những phương pháp tìm nhanh hàm g(x) xoay quanh phép chia đa thức / ′ điển hình phương pháp lập bảng hệ số chia bậc 2, phương pháp chia máy tính Fx570 với phép gán x = 1000 (một dạng biến thể khai triển đa thức tác giả Bùi Thế Việt) Gần đây, tác giả Hoàng Trọng Tấn có chia sẻ thêm cách tìm hàm g(x) thuật toán truy hồi sau: ( )= ( + ) đó: = (0) ( )=9 − = (1) − (0) ′′ Gv: Ths Phùng Quyết Thắng Tel: 0903259172 Face: L Toan KN Page: KỸ NĂNG LÀM TOÁN TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN Nhận luyện thi theo nhóm, lớp khu vực Hà Nội Ngõ 102, đường Trường Chinh, Đống Đa, HN Cái hay phương pháp chỗ hàm g(x) tìm biểu thức ( ) − ℎ ( ) ′( ) Đây sở quan trọng phương pháp PQT muốn giới thiệu phần sau Phương pháp HTT kết hợp với máy tính Fx570 cho kết nhanh phương pháp chia đa thức áp dụng với toán chứa tham số Đây phương pháp có tính đột phá cao; nhiên hướng giải chưa phải phương án tối ưu Chính vậy, xin đề xuất phương pháp có tính ưu việt để giải toán Bởi giải vấn đề quan trọng, là: Tìm mối quan hệ hàm g(x) đạo hàm f(x) nên dạng biểu thức đơn giản ( )= hơn, dễ nhớ dễ áp dụng Mối quan hệ là: − Sử dụng toán tính giá trị biểu thức, cần phép gán = cho xác kết phương trình đường thẳng qua điểm CĐ, CT cần tìm Với toán chứa tham số, toán cho kết trực quan tốc độ xử lý nhanh phải thêm bước biên dịch lại kết II Phương pháp Phùng Quyết Thắng – Tìm phương trình đường thẳng qua điểm CĐ, CT hàm số bậc Cơ sở phương pháp Từ sở phần đặt vấn đề, hàm g(x) phương trình qua điểm cực đại, cực tiểu hàm ( ) nên ( ) hoàn toàn biểu diễn qua biểu thức ( ) − ℎ ( ) ′( ) Áp dụng cho hàm đa thức bậc 3, ta có: ( )− + ′( ) (3) Ở hàm g(x) có dạng bậc nên biểu thức (3) có dạng bậc Do đó, ta biểu diễn hàm g(x) tương tự dạng đại số số phức Đây sở cho phép ta ứng dụng số phức = vào biểu thức (3) thông qua phép gán Xây dựng công thức Từ hàm số = ( )= + + + với ≠ 0, ta dễ dàng tìm được: = ( )=3 +2 + = "( ) = + ( ) = = Biểu thức (3) hoàn toàn áp dụng vào tính toán Tuy nhiên, hàm ℎ( ) bậc có tính chất thật vi diệu Một chút nhạy cảm lúc băn khoăn làm xử lý mẫu số 18a cho công thức cải tiến phương pháp HTT, nghĩ đến y’’’ phát mối quan hệ đặc biệt này: ℎ( ) = + = + = +2 " " = = = 18 18 3.6 " ′′′ Gv: Ths Phùng Quyết Thắng Tel: 0903259172 Face: L Toan KN Page: KỸ NĂNG LÀM TOÁN TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN Nhận luyện thi theo nhóm, lớp khu vực Hà Nội Ngõ 102, đường Trường Chinh, Đống Đa, HN Quả thực, hàm ( ) có dạng đẹp Không hệ số a, đạo hàm tính thông qua hàm ( ) Và điều tuyệt vời là: ( )= − = ( ; )− ( , ) "( , ) = ( ; ) + Bạn tưởng tượng cảm giác sung sướng sau ngày vật vã với phép biến đổi vu vơ cố gắng cải tiến biểu thức phương pháp HTT Đó đột phá mãnh liệt có sức mạnh ghê gớm Tôi lúc phát điên lên, não sáng phải làm toán ngược Tấn, mà không khai triển đa thức Ý tưởng số phức đời dựa cách làm áp dụng cho toán viết phương trình tiếp tuyến điểm x0 hôm trước tìm Hôm viết thảo lần viết thứ 3, sau thảo lần đầu nhờ tác giả phương pháp tiên phong Hoàng Trọng Tấn đọc giúp Cậu sung sướng có lẽ đó, vội đăng tin chia sẻ đoạn viết trang FB cá nhân khiến có đôi chút áp lực Tôi có chia sẻ với cậu cảm nghĩ trường hợp người giới toán bị trích gần vài lỗi toán không đáng có Chính lẽ đó, niềm hạnh phúc nhân rộng nghĩ đến người đọc tác phẩm Tôi tin họ nhiều thực dành tâm huyết với Tôi muốn nói với bạn rằng, yêu bạn nhiều yêu say đắm kiêu kì em ấy! Vẻ đẹp toán học niềm cảm hứng bất tận trái tim ! Kỹ thuật Casio Fx570 tìm nhanh pt đường thẳng qua điểm CĐ, CT - Chuyển máy tính sang môi trường Mode (môi trường số phức) - Nhập vào máy biểu thức thức (ở m tham số) − " = ( ; )− ( , ) "( , ) ( ; ) - Ấn dấu = để lưu biểu thức - Ấn CALC : x = i (đơn vị số phức) ; m = 100 1000 (nếu có tham số m) - Kết trả có dạng đại số số phức z= a+bi tương ứng với y = Ex +F - Dịch kết : + Nếu hàm số bậc không chứa tham số m, kết hình kết xác Ta việc thay giá trị thành kết thực tế + Ngược lại, hàm số bậc chứa tham số m, ta phải tiến hành dịch kết số thành biểu thức chứa m sau : CALC với = 100, kết trả 10601 − 19788 ta hiểu sau : Với số 10601, ta tách từ phải sang trái chữ số thành 1|06|01 Nếu chữ số < 50 ví dụ giữ nguyên số 1|06|01 = 1|00|00 + 06|00 + 01 = (100)2 + 6.(100) +1 = +6 +1 Với số -19788, ta tách từ phải sang trai chữ số thành - (1|97|88) Nếu chữ số > 50 ví dụ lấy 100 trừ chữ số đó, số 100 ta nhớ đơn vị để đẩy sang chữ số tiếp theo, số lại số cần tìm Ở 88 hiểu 88 = 100 – 12 -12 số cần tìm, nhớ phải thêm vào chữ số Sau 88 97 phải cộng thêm thành 98, tách 98 thành 100 – số cần tìm tiếp Gv: Ths Phùng Quyết Thắng Tel: 0903259172 Face: L Toan KN Page: KỸ NĂNG LÀM TOÁN TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN Nhận luyện thi theo nhóm, lớp khu vực Hà Nội Ngõ 102, đường Trường Chinh, Đống Đa, HN theo -2m, nhớ tiếp đơn vị số cuối phải cộng thêm 2m2 Vậy -1|97|88 = - (2m2 – 2m 12) Ví dụ minh họa : = VD1 : Cho hàm số +3 − + Ta tính nhẩm nhanh (không cần ghi nháp) đại lượng: =3 + − 5; " = + 6; ′′′ = Để tìm phương trình đường thẳng qua CĐ, CT ta làm sau: BƯỚC CÁCH THỰC HIỆN MÀN HÌNH MÁY TÍNH Chuyển sang môi trường mode 2, nhập vào máy tính biểu thức: +3 −5 +1− Ấn dấu = Bấm nút CALC , gán (3 + − 5)(6 + 6) 3×6 - để lưu lại biểu thức = với đơn vị số phức, nút ENG - Kết hình trả là: 16 − 3 Tương ứng với pt qua CĐ, CT =− VD2 : Giả sử đồ thị hàm số = − 16 + 3 + ( + ) + có cực trị Khi đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình : (trích từ đề thi thức trường THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên) a) =2 + b) = −2 + +6 +6 +1 +1 c) = 2(− + d) Tất sai GIẢI Để tìm phương trình đường thẳng qua CĐ, CT ta làm sau: + 6) + +6 +1 Gv: Ths Phùng Quyết Thắng Tel: 0903259172 Face: L Toan KN Page: KỸ NĂNG LÀM TOÁN TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN Nhận luyện thi theo nhóm, lớp khu vực Hà Nội Ngõ 102, đường Trường Chinh, Đống Đa, HN BƯỚC CÁCH THỰC HIỆN MÀN HÌNH MÁY TÍNH - Chuyển sang môi trường mode 2, nhập vào máy tính biểu thức: −3 + 3( + 6) + − (3 −6 + 3( + 6))(6 − ) 3×6 - Ấn dấu = để lưu lại biểu thức - Bấm nút CALC , gán = , = 100 i nút ENG - Kết hình trả là: 10601 − 19788 - Dịch kết : 10601=1|06|01 =1.(100)2 +6.(100) + = m2 +6m +1 -19788 = -1|97|88 = - [10000 +(10000 – 300) +(100 -12)] = - (2.1002 – 2.100 – 12) = - (2m2 – 2m – 12) = 2(-m2 + m + 6) - Tương ứng với pt qua CĐ, CT Chọn ĐÁP ÁN C = 2(− + + 6) + +6 +1 III Một vài tính chất đại lượng E, F Như nói phần mở đầu, ta xem hàm ( ) hàm bậc tuyến tính với ẩn , Khi tìm cách cho giá trị x bất kỳ, ta hệ pt có dạng + + = ( ) = ( ) ( ) = − Khi đó, ta thu kết sau: a Hệ số góc = ( + 1) − ( ) = = = Với = ∈ ( ) − (− ) ≠ ( )| Trường hợp đặc biệt : đường thẳng : với = với xi giá trị = ℎì = (1) − (0) = ( )| hệ số góc tiếp tuyến (0) ( − 0) + (0) điểm có hoành độ x0 = = ℎì = (1) − (0) ta có cách tính E PP Hoàng Trọng Tấn Gv: Ths Phùng Quyết Thắng Tel: 0903259172 Face: L Toan KN Page: KỸ NĂNG LÀM TOÁN TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN Nhận luyện thi theo nhóm, lớp khu vực Hà Nội Ngõ 102, đường Trường Chinh, Đống Đa, HN b Hệ số tự F = g(0) (là cách tính F PP Hoàng Trọng Tấn) = ( ) + (− ) ≠0 c Từ biểu thức g(x) ta thấy đường thẳng qua điểm đặc biệt hàm số bậc điểm uốn, điểm cực đại điểm cực tiểu hay điểm đặc biệt thẳng hàng Gv: Ths Phùng Quyết Thắng Tel: 0903259172 Face: L Toan KN Page: KỸ NĂNG LÀM TOÁN TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN Nhận luyện thi theo nhóm, lớp khu vực Hà Nội Ngõ 102, đường Trường Chinh, Đống Đa, HN Bài tập áp dụng Bài : Viết phương trình đường thẳng qua điểm CĐ, CT hàm số bậc sau : STT ĐỀ BÀI = =− = =2 = =2 = =4 = −5 +4 +1 = −2 +1 10 11 12 −3 Trích đề thi toán Khối A-2015 +3 −2 +3 − 11 Trích đề thi toán Khối A-2013 + (1 − ) + Trích đề thi toán Khối A-2010 −9 −3 + 12 − Trích đề thi toán Khối A-2006 +1 Trích đề thi toán Khối D-2014 − 3( + 1) −3 −6 = = NGUỒN TÀI LIỆU +6 Trích đề thi toán Khối B-2013 +3 Trích đề thi toán Khối B-2012 +1 Trích đề thi toán Khối B-2008 Trích từ tài liệu phương pháp tính nhanh đường thẳng cực trị (trên mạng), tác giả Hoàng Trọng Tấn −3 +2 Như −6 +3 +4 Như 13 = −3 +4 +4 Như 14 = −2 −5 +1 Như 15 = −4 − +1 Như 16 = +3 −5 17 = +( 18 =− + + 1) +3 Như -m-1 +2 − + 3(1 − Tuyển tập hàm số, tác giả Đặng Việt Hùng ) + Như − 19 = −3 20 = −3 − +2 Như +4 Trang 86, chuyên đề h số, tác giả Trần Đình Cư Bài : Cho hàm số = + 3( −3 + 6) + 1 ( ) Tìm m để điểm A(3;5) thuộc đường thẳng qua điểm cực đại , cực tiểu hàm số (C) ( trích từ 23 tài liệu tuyển tập toán hàm só tác giả Đặng Việt Hùng) Bài : Cho hàm số = + + + 3 ( ) Tìm m để đường thẳng qua điểm CĐ, CT đồ thị hàm số (C) _|_ với đường thẳng (d) : − − = (( trích từ 19 tài liệu tuyển tập toán hàm só tác giả Đặng Việt Hùng) Bài : Tìm m để đồ thị hàm số đối xứng qua = −3 + + ( ) có cực đại cực tiểu hai điểm = /2 − 5/2 (trích từ chuyên đề hàm số, tác giả Trần Đình Cư) Gv: Ths Phùng Quyết Thắng Tel: 0903259172 Face: L Toan KN Page: KỸ NĂNG LÀM TOÁN TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN Nhận luyện thi theo nhóm, lớp khu vực Hà Nội Ngõ 102, đường Trường Chinh, Đống Đa, HN HƯỚNG DẪN – ĐÁP ÁN Bài : Viết phương trình đường thẳng qua điểm CĐ, CT hàm số bậc sau : STT ĐỀ BÀI = =− = =2 = =2 = =4 = 10 11 12 = ĐÁP SỐ −3 +3 −2 −9 −3 − 3( −3 −6 −5 = = KQ FX570VN −2 = −2 +3 − 11 + (1 − ) + = (2 =− + 12 − +6 = −( +3 +1 + = −2 +1 +2 − 3) + +3 =− 26 29 + 9 =− +1 +3 +4 = −2 + +4 +1 −6 + = −2 −3 +2 3 − 11 − 22 = − +2 +1 + 1) + 2) + 16 +1 = −2 + = −22 + 10 16 + 13 = −3 +4 +4 = 14 = −2 −5 +1 =− 38 − 9 15 = −4 − +1 =− 38 + 9 +1 Gv: Ths Phùng Quyết Thắng Tel: 0903259172 Face: L Toan KN Page: KỸ NĂNG LÀM TOÁN 16 = +3 −5 TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN Nhận luyện thi theo nhóm, lớp khu vực Hà Nội Ngõ 102, đường Trường Chinh, Đống Đa, HN + =− -m-1 17 = 18 =− +( + 1) +3 + 3(1 − + 19 20 = = −3 −3 − =− +2 − ) + 10 −3 +4 −3 − 10 =2 −( + − − 11 +2 ) − +2 = −( +4 + 2) − ( = −2 +4 − 2) ... Tìm phương trình đường thẳng qua điểm CĐ, CT hàm số bậc Cơ sở phương pháp Từ sở phần đặt vấn đề, hàm g(x) phương trình qua điểm cực đại, cực tiểu hàm ( ) nên ( ) hoàn toàn biểu diễn qua biểu thức... hình trả là: 16 − 3 Tương ứng với pt qua CĐ, CT =− VD2 : Giả sử đồ thị hàm số = − 16 + 3 + ( + ) + có cực trị Khi đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình : (trích từ đề thi thức trường... điểm A(3;5) thuộc đường thẳng qua điểm cực đại , cực tiểu hàm số (C) ( trích từ 23 tài liệu tuyển tập toán hàm só tác giả Đặng Việt Hùng) Bài : Cho hàm số = + + + 3 ( ) Tìm m để đường thẳng qua