Boi duong hoc sinh gioi hinh hoc 7

Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi Tốn BDHS Giỏi Hình học · Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có ·ABC = 300 BAC = 1300 Gọi Ax tia đối tia AB, · đường phân giác góc ·ABC cắt phân giác CAx D Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD E So sánh độ dài AC CE Giải: Gọi Cy tia đối tia CB Dựng DH, DI, DK vng góc với BC AC, AB Từ giả thiết ta suy DI = DK; DK = DH nên suy DI = DH ( CI nằm tia CA điểm I thuộc tia đối CA ¶ DI > DH) Vậy CD tia phân giác ICy ¶ góc ngồi tam giâc ABC suy ICy µA + B µ 300 + 1300 ·ACD = DCy · = = = 800 2 · · Mặt khác CAE = 180 − 1300 = 500 Do đó, CEA = 500 nên ∆CAE cân C Vậy CA = CE Bài toán 2: Cho tam giác ABC có BC = 10 cm Các đường trung tuyến BD CE có độ dài theo thứ tự cm 12cm Chứng minh rằng: BD ⊥ CE Giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi ta có: 2 GC = CE = 12 = ( cm ) 3 2 GB = BD = = ( cm ) Tam giác BGC có 3 2 2 2 ∆ BGC 10 = + hay BC = BG + CG Suy vng G hay BD ⊥ CE Bài tốn 3: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC CE Gọi I, K theo thứ tự giao điểm AM, AN với BE Chứng minh BI = IK = KE Giải: Do AM BD hai trung tuyến tam giác ABC cắt I nên I trọng tâm tam giác ABC, ta có: BI = BD (1) 3 Ta có K trọng tâm tam giác ACE nên EK = ED (2) 3 Mà BD = DE từ (1) (2) suy BI = EK (3) Mặt khác, ta lại có: ID = BD KD = ED suy ID = KD ( BD = ED ) nên IK = BD (4) Từ (3) (4) suy BI = IK = KE Bài toán 4: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12cm.Trung tuyến BE = 9cm trung tuyến CF = 15cm Tính độ dài BC (hính xác đến 0,1 cm) Giải: Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho DM = DG 2 2 AD = 12 = 8(cm) ; BG = BE = = 6(cm) ; 3 3 · · ∆BDM = ∆CDG (c.g c ) nên suy GCD (so le trong) nên = DBM 2 BM//CG MB = CG mà CG = CF = 15 = 10(cm) Mặt 3 2 2 khác, ta có 10 = + hay BM = BG + MG Suy ∆BGD AG = GM = vuông G Theo định lý Pythagore ta có BD = BG + GD = 62 + 42 = 52 Vậy BC = 2BD = 52 ≈ 14, 4(cm) Bài toán 5: Chứng minh tổng độ dài ba đường trung tuyến tam giác lớn chu vi nhỏ chu vi tam giác Giải: Ta có 2AD < AB + AC ; 2BE < AB + BC ; 2CF < BC + AC nên suy ( AD + BE + CF ) < ( AB + BC + CA ) hay ( AD + BE + CF ) < ( AB + BC + CA) (1) Trong tam giác BGC có: BG + GC > BC mà BG = BE 2 CG = CF nên BE + CF > BC ⇔ BE + CF > BC 3 3 Tương tự ta có CF + AD > AC ; BE + AD > AB Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta có: 2 3 ( AD + BE + CF ) > ( AB + BC + CA ) ⇔ D + BE + CF > ( AB + BC + AC ) (2) Kết hợp (1) (2) suy ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF < AB + BC + AC (đpcm) Bài toán 6: Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự trung điểm AB BC Vẽ điểm M, N cho C trung điểm ME B trung điểm ND Gọi K giao điểm AC DM Chứng minh N, E, K thẳng hàng Giải: Tam giác MND có BE = EC = CM nên ME = MB mà MB trung tuyến nên E trọng tâm suy NE trung tuyến tam giác NMD Mặt khác, DE //AC DE đường trung bình tam giác ABC hay DE // KC mà C trung điểm ME nên K trung điểm DM Nên ba điểm N, E, K thẳng hàng Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi Bài toán 7: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm BM Trên tia đối tia IA lấy điểm E cho IE = IA Gọi N trung điểm EC Chứng minh đường thẳng AM qua N Giải: Tam giác AEC có CI đường trung tuyến (vì IE = IA) nên CM = CI nên M trọng tâm tam giác AEC AM qua N Bài tốn 8: Cho tam giác ABC có AH vng góc với BC · µ Tia phân giác B µ cắt AC E BAH = 2C · a) Tia phân giác BAH cắt BE I Chứng minh tam giác AIE vuông cân b) Chứng minh HE tia phân giác ·AHC Giải: a) Chứng minh ∆AIE vng cân: · · Ta có AH ⊥ BC nên tam giác AHC vuông H nên CAH + HCA = 900 (1) Do AI phân giác 1· · · · · · = BAI = BAH ⇒ BAH = IAH BAH nên IAH mà · µ (gt) nên IAH · µ (2) Từ (1) (2) suy BAH = 2C =C · · CAH + IAH = 900 nên tam giác AIE vng A Ta có 1· ·ABI = B µ ; BAI · = BAH Do ·AIE góc ngồi tam 2 µ · · = (B + BAH ) = 900 = 450 nên tam giác AIE vuông cân giác BIA nên ·AIE = ·ABI + BAI 2 · b)Chứng minh HE tia phân giác AHC Ta có IA ⊥ AC mà AI phân giác tam giác BAH nên AE phân giác tam giác ABH A BE phân giác tam giác ABH suy HE phân giác ·AHC Bài tốn 9: Cho tam giác ABC có góc µA = 1200 Đường phân giác AD, đường phân giác C cắt AB K Gọi E giao điểm DK AC Tính số đo góc BED Giải: Tam giác ADC có hai phân giác ngồi A C cắt K nên DK phân giác ·ADC Trong tam giác BAD có AE DE hai phân giác ngồi góc A D cắt E nên BE phân giác góc B · · · · · góc ngồi tam giác BDE nên ta có EDC mà EDC EDC = DBE + DEB = ·ADE ( DE phân giác ·ADC ) suy · · EDA − ·ABD ·ADC − ·ABC BAD 600 · · · · DEB = EDC − DBE = EDA − ·ABD = = = = = 300 2 2 Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi Bài tốn 10: Cho tam giác ABC có µA = 1200 đường phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE tia phân giác tam giác ADB · b) Tính EDF Giải: a) Chứng minh DE tia phân giác tam giác ADB Tam giác BAD có AE BE hai phân giác đỉnh A B (Do µA = 1200 ) nên DE phân giác ngồi tam giác ABD · b) Tính EDF Trong tam giác ACD có AF CF hai phân giác đỉnh A C cuả tam giác ADC nên DF phân giác ngồi góc D tam giác ADC suy DE phân · giác đỉnh D nên DE ⊥ DF hay EDF = 900 Bài toán 11:Cho tam giác ABC cân A, M trung điểm BC Kẻ MH vng góc · với AB Gọi E điểm thuộc đoạn AH Trên cạnh AC lấy điểm F cho ·AEF = 2.EMH · Chứng minh FM tia phân giác góc EFC Giải: Tam giác ABC cân A có AM trung tuyến nên AM phân giác · Tam giác AEF có AM phân giác góc A nên ta phảI BAC chứng minh EM phân giác góc ngồi E tam giác AEF · · Thật vậy, Do tam giác EMH vuông H nên HEM mà = 900 − EMH · ·AEF = 2.EMH · (gt) nên ·AEF = EMH Do · · HEM = 900 − EMH = 900 − ·AEF ( 1) Mặt khác ta có 1   · · FEM = 1800 − ( ·AEF + BEM ) = 1800 −  ·AEF + 900 − ·AEF ÷ = 900 − ·AEF (2) Từ (1) (2) suy 2   · · · = FEM hay EM phân giác BEF Tia phân giác AM góc A tia EM HEM phân giác tam giác AEF cắt M nên FM phân giác ·AFE hay · FM phân giác EFC Bài toán 12: Cho tam giác ABC có đường phân giác BD CE cắt I ID = IE Chứng minh Bµ = Cµ hay Bµ + Cµ = 1200 Giải: Qua I kẻ IH ⊥ AB IK ⊥ AC , Do I giao điểm hai đường phân giác nên IH = IK ID = IE ( gt ) nên ∆IHE = ∆IKD (cạnh huyền, cạnh góc vng) nên suy ·ADB = BEC · (1) 1µ · = µA + C a) Trường hợp K ∈ AD; H ∈ BE ta có BEC ( · góc ngồi ∆AEC ) (2) BEC Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi ·ADB = C µ +1B µ ( · µ 1µ µ 1µ ADB góc ngồi ∆DBC ) (3) Từ (1); (2) (3) A + C = C + B 2 1 µ + B µ ⇒ µA = C µ +B µ ⇒ µA = µA + C µ +B µ = 1800 ⇒ µA = 600 ⇒ C µ +B µ = 1200 ⇒ µA = C 2 b) Nếu H ∈ AE K ∈ DC suy tương tự ta có Cµ + Bµ = 1200 1µ µ 1µ µ =B µ = A+ B ⇔ C c) Nếu H ∈ EB K ∈ DC µA + C 2 1 d) H ∈ AE K ∈ DA Cµ + Bµ = Bµ + Cµ ⇔ Cµ = Bµ 2 Vậy bốn trường hợp ta ln có Bµ = Cµ Cµ + Bµ = 1200 Bài tốn 13: Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc phân giác góc ngồi đỉnh A cho tam giác EBC có chu vi nhỏ Giải: Chu vi tam giác EBC nhỏ tổng EB + CE nhỏ Vẽ BH vng góc với phân giác ngồi góc A cắt AC D đường thẳng a ( đường phân giác đỉnh A) cuả tam giác ABC nên a đường trung trực BD nên EB = ED Do EB + EC = ED + EC ≥ DC với điểm E thuộc a ta có EB + EC ≥ DC xảy dấu đẳng thức E nằm D C Vậy E ≡ A chu vi tam giác EBC nhỏ Bài tốn 14: Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M cạnh BC cho vẽ điểm D, E AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME DE có độ dài nhỏ Giải: Ta có AB đường trung trực MD nên AD = AM ( 1) AC đường trung trực ME nên AM = AE (2) Từ (1) (2) suy AD = AE nên tam giác ADE cân A · · không đổi nên DE đạt nhỏ AD DAE = 2.BAC nhỏ AD = AM ≥ AH với AH ⊥ BC xảy dấu M ≡ H DE đạt giá trị nhỏ · Bài tốn 15: Cho A nằm góc xOy nhọn Tìm điểm B,C thuộc Ox, Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Giải: Vẽ D đối xứng với A qua Oy, E đối xứng với A qua Ox Nên Oy, Ox đường trung trực AD AE Khi ta có CA = CD BE = BA nên chu vi tam giác ABC là: CB + AB + CA = CB + CD + BE ≥ DE Dấu đẳng thức xảy B ≡ M ; C ≡ N Do ∆ABC có chu vi nhỏ vị trí ∆AMN Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi Bài toán 16: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tia phân giác góc · ·HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC cắt BC E Chứng minh giao điểm đường phân giác tam giác ABC giao điểm đường trung trực tam giác ADE Giải: Ta có ·ADE góc ngồi tam giác ADB nên · · · ·ADE = DBA · · Mặt khác ta có: DAC mà = CAH + HAD + BAD ·ABH = HAC · · · · ( phụ với BAH ); BAD (Do AD = DAH · · tia phân giác BAH nên ·ADC = DAC Vậy tam giác CAD cân C mà CK đường phân giác nên CK đường trung trực AD Tương tự ∆ABE cân E mà BP đường phân giác nên BP đường trung trực AE Nên M giao điểm hai đường phân giác CK BP giao điểm hai đường trung trực tam giác ADE Bài toán 17:Cho tam giác ABC cân A, điểm E D theo thứ tự di chuyển hai cạnh AB AC cho AD = CE Chứng minh đường trung trực DE qua điểm cố định Giải: Khi D ≡ B ⇒ E ≡ A Đường trung trực DE đường trung trực AB Khi D ≡ A ⇒ E ≡ C Đường trung trực DE đường trung trực AC Gọi O giao điểm hai đường trung trực AB AC Ta phải chứng minh đường trung trực DE qua O Ta có tam giác ABC cân A nên O nằm đường trung trực BC Suy AH = KC mà AD = CE (gt) nên DH = KE OH = OK nên ∆HDO = ∆KEO ( c.g c ) Do OD = OC Vậy đường trung trực DE qua điểm cố định O Khai thác toán trên: Nếu ∆ABC với AC > AB BD = CE đường trung trực DE ln qua điểm cố định nào? Tìm điểm đặc biệt: Khi D ≡ B ⇒ E ≡ C Đường trung trực DE đường trung trực BC Khi D ≡ A ⇒ E ≡ G Với G ∈ AC Đường trung trực AG (d’) cắt đường trung trực (d) BC K Vậy đường trung trực DE qua K Thật vậy, cạnh AC lấy điểm G cho AB = CG Gọi K giao điểm hai đường trung trực (d) (d’) đoạn thẳng BC AG ta có KB = KC KA = KG nên · · · ∆AKB = ∆GKC ( c.c.c ) nên suy ·ABK = GCK , hay DBK nên ∆DKB = ∆EKC ( c.g c ) suy = ECK KD = KE Vậy đường trung trực DE ln qua K (đpcm) Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi Bài toán 18: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD · Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E F cho ·ABE = CBF · Chứng minh ·ACE = BCF Giải: Vẽ K, H, I cho BC, AC, AB đường trung trực · · · KF, EH, EI Khi ta có HCE = ·ACE ; KCF = 2.FCB · Ta phải chứng minh ·ACE = BCF Ta có AI = AE = AH (vì AB đường trung trực EI) nên tam giác AHI cân A mà AE phân giác nên AD đường trung trực IH IF · · = FH (1) Ta lại có BK = BF ; IBE BI = BE nên ∆BEK = ∆BIF ( c.g c ) = FBK suy EK = IF (2) Từ (1) (2) suy EK = FH (3) Xét tam giác ∆HCF ∆ECK ta có HC = EC (4) ( AC đường trung trực EH); CF = CK (vì BC đường trung trực KF) (5) Từ (3) ,(4) (5) nên ∆HCF = ∆ECK ( c.c.c ) suy (đpcm) · · · · · · · · · HCF = ECK ⇒ HCE + ECF = KCF + FCE ⇒ HCE = KCF ⇒ ·ACE = BCF Bài toán 19: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E,I,K theo thứ tự giao điểm đường phân giác tam giác ABC, ABH, ACH Chứng minh AE ⊥ IK Giải: · · Ta có Bµ = HAC ( phụ với BAH ) µ B ·ABI = IBC · = ( Do BI tia phân giác góc B) · CAH · · · HAD = DAC = ( Do AD tia phân giác góc CAH ) · Từ đẳng thức suy ·ABI = DAC mà 0 ·DAC + KAB · · · · = 90 ⇔ ABI + KAB = 90 ⇒ ADB = 900 nên BD ⊥ AD Chứng minh tương tự ta có CE ⊥ AI Tam giác AIK có hai đường cao cắt E nên E trực tâm tam giác nên AE ⊥ IK Bài toán 20: Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ tam giác tam giác vuông cân ABD, ACE với Bµ = Cµ = 900 a) Qua điểm C vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt đường thẳng HA K Chứng minh DC ⊥ BK b) Ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy Giải: a) Chứng minh DC ⊥ BK : · · · Ta có BEC phụ với KCE = KCA · · · · · phụ với KIE nên suy KAC HKC = HBE = ECB AC = CE (gt) nên ∆KAC = ∆BCE ( g c.g ) suy KA = BC · · Mặt khác ta có BD =AB ; KAB ; KA = BC nên = DBC Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi · · · · ∆DBC = ∆BAK ( c.g c ) suy BKH HKB = DCB + KBH = 900 suy · · · DCB + KBH = 900 ⇒ BMC = 900 ( với M giao điểm DC KB) nên DC ⊥ BK M b) Trong tam giác KBC ba đường cao AH, CD, BE nên đồng quy I Bài toán 21: Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) HA + HB + HC < AB + AC b) HA + HB + HC < ( AB + BC + AC ) Giải: a) Chứng minh HA + HB + HC < AB + AC Ta kẻ NH // AC HM //AB Khi ta có HA < AM + HM = AM + AN (1) (Theo tính chất đoạn chắn) Do BH vng góc với AC mà HN //AC nên BH ⊥ HN Do BH < BN (2) Tương tự ta chứng minh đựơc HC < CM (3) Từ (1) ; (2) (3) suy HA + HB + HC < AM + AN + BN + CM = AC + AB (đpcm) b) Ta có HA + HB + HC < AB + AC ( Theo câu a) Tương tự HA + HB + HC < BC + AC HA + HB + HC < AB + BC Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta được: ( HA + HB + HC ) < ( AB + BC + AC ) ⇒ HA + HB + HC < ( AB + BC + AC ) (đpcm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N trung điểm AB, AC Kẻ NH ⊥ CM H Kẻ HE ⊥ AB E Chứng minh tam giác ABH cân HM phân giác góc BHE Giải: Từ A ta kẻ AK ⊥ CM K AQ ⊥ HN Q Hai tam giác Bài toán 22:   · vng MAK NCH có MA = NC =  AB ÷ ·ACH = MAK (cùng   phụ với góc KAC) nên ∆MAK = ∆NCH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AK = HC (1) Ta lại có · ∆BAK = ∆ACH ( c.g.c ) ⇒ BKA = ·AHC Hai tam giác vuông AQN · CHN có NA = NC ·ANQ = HNC (đ.đ) nên ∆ANQ = ∆CNH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AQ = CH (2) Từ (1) (2) suy AK = AQ nên HA tia phân giác góc KHQ suy ·AHQ = 450 ⇒ ·AHC = 900 + 450 = 1350 ⇒ ·AKB = 1350 Từ ·AKB + BKH · · · + ·AKH = 3600 ⇒ BKH = 1350 Tam giác AKH có KHA = 450 nên vng cân K ⇒ KA = KH Xét hai tam giác BKA cà BKH có BK chung ; · · · · BKA = BKH = 1350 ; AK = KH ⇒ ∆BKA = ∆BKH ( c.g c ) ⇒ KHB = MAK ; AB = BH hay tam giác BAH cân B · · · · Ta có KHB KE // CA nên ·ACH = EHM (đồng vị) ·ACH = MAK suy = MAK · · nên HM tia phân giác EHB EHM = MHB Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh hình học: Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi Bài tốn 23: Tam giác ABC có hai góc B C nhọn Kẻ AH ⊥ BC Chứng minh H nằm BC Giải: Ta thấy H, B, C ba điểm phân biệt Thật vậy, H trùng với B C Bµ = 900 Cµ = 900 Trái với giả thiết Trong ba điểm phân biệt có điểm nằm hai điểm · Giả sử C nằm B H ·ACH < 900 suy BCA > 900 trái với giả thiết Giả sử B nằm C H ·ABH < 900 suy · CBA > 900 trái với giả thiết Vậy H nằm B C µ = 600 BC = AB Bài tốn 24: a) Tam giác ABC có B Chứng minh Cµ = 90 b) Tam giác ABC có Bµ = 600 BC = 2dm; AB = 3dm Gọi D trung điểm BC Chứng minh AD = AC Giải: a) Giả sử Cµ ≠ 90 Kẻ AH ⊥ BC H khơng trùng C nên ∆ABH vuông H suy 1 · BAH = 300 nên BH = AB Theo giả thiết ta có BC = AB nên BH = BC suy H trùng 2 µ với C mâu thuẩn Nên C = 90 b) Gọi H trung điểm DC BH = 1,5dm Do BH = AB Theo câu a) ·AHB = 900 nên ∆AHD = ∆AHC ( c.g.c ) suy AD = AC Bài toán 25: Cho tam giác ABC đều, đường cao AH Trên tia HD lấy điểm C cho HD · = HA Trên nửa mặt phẳmg bờ BD không chứa điểm A vẽ tia Dx cho BDx = 150 Dx cắt AB E Chứng minh HD = HE Giải: · Giả sử HD > HE HED > 150 (1) Mặt khác HD > HE nên HA > HE ·AEH > 300 · · · (2) Từ (1) (2) BED > 450 nên ·ABD = BED + BDE > 450 + 150 = 600 TráI với giả thiết tam giác ABC Tương tự giả sử HD < HE ta chứng minh ·ABD < 600 , trái với giả thiết Nên HD = HE (đpcm) Bài toán 26: Tam giác ABC nhọn , đường cao AH, đường trung tuyến BI, đường phân giác CK cắt ba điểm phân biệt D, E, F Chứng minh tam giác DEF tam giác Giải: · · Giả sử tam giác DEF CFH = 600 nên FCH = 300 · · suy ·ACF = 300 Ta lại có CEI = 600 suy BIC = 900 Tam giác ABC có BI trung tuyến đường cao nên tam giác ABC cân B lại có ·ACB = 600 nên tam giác ABC Do AH, BI, CK đồng quy tức D, E, F trùng nhau, trái với giả thiết Vậy tam giác DEF khơng thể tam giác Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi 10 Bài toán 27: Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường phân giác AD, đường trung tuyến BM, đường cao CH đồng quy Chứng minh µA > 450 Giải: · Giả sử µA ≤ 45 Trên tia Hx lấy điểm E cho HE = HA ·AEC = EAC ≤ 450 ⇒ ·ACE ≥ 900 Ta chứng minh ·ACB > ·ACE nên trái với giả thiết tam giác ABC góc nhọn Thật vậy, ta chứng tỏ B thuộc tia Ex Gọi O giao điểm đường CH,BM,AD F giao điểm EO AC Xét tam giác EAC có EA > EC ( EA đối diện với góc AC M trung điểm AC nên M nằm A F B thuộc tia Ex Do ·ABC > ·ACE mà ·ACE ≥ 900 ⇒ ·ACB > 900 Trái với giả thiết nên µA > 450 lớn hơn) mà FE phân giác góc CEA nên AF > FC suy AF > Bài tốn 28: Cho tam giác ABC có BC = AB Gọi M trung điểm BC D trung điểm BM Chứng minh AC = 2AD Giải: Trên tia AD lấy điểm E cho AD = DE nên ta có ·ADB = EDM · (đ.đ) DB = DM nên ∆ABD = ∆EMD (c.g.c) suy BC · AB = ME ·ABD = DME Vì AB = ME = MC = nên MC = µ + BAM · ME Ta lại có ·AMC = B ( góc ngồi tổng hai góc · khơng kề tam giác ABM) mà ·ABD = DME ·BAM = BMA · (Do tam giác BAM cân B) Suy ·AMC = BME · · + BMA = ·AMC = ·AME Vậy ∆AME = ∆AMC ( c.g c ) Suy AC = AE =2AD (đpcm) Bài toán 29:Cho tam giác ABC vuông cân A M trung điểm BC Trên tia BC lấy điểm D với D khác B M Kẻ BK vuông góc với AD K Chứng minh KM phân giác phân giác tam giác BKD đỉnh K Giải: Khi D trùng với C K trùng với A Khi AM ⊥ BC M nên kết luận Từ M ta hạ MH ⊥ KB MI ⊥ KD nên MH ⊥ MI M MH //KD Do ·AMI = 900 − ·AMH = BMH · · · ·AMI = 900 − BMI = BMH Khi M nằm đoạn BD Do ∆BMH = ∆AMI ( cạnh huyền, góc nhọn) Suy MI = · MH Do M cách hai đoạn thẳng KB KD nên KM phân giác BKD Tính số đo góc tam giác Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi 11 Bài toán 30: Tam giác ABC cân A có µA = 200 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Tính ·ACD ? Cách giải 1: Vẽ tam giác BCE ( với E nằm phia với A có bờ đường thẳng BC) nên 1800 − 200 · · · ECA = − 600 = 200 Hay ECA = DAC = 200 · · Xét tam giác ∆DAC ∆ECA có DA = EC; ECA ; AC cạnh chung nên ∆DAC = ∆ECA = DAC · · · (c.g.c) suy CAE = ·ACD mà ∆AEB = ∆AEC ( c.c.c ) nên BAE = CAE = 100 Vậy ·ACD = 100 Cách giải 2: Vẽ tam giác ADE nằm tam giác ABC · CAE = 800 Do ∆CAE = ∆ABC ( c.g c ) nên CE =AC ·ACE = BAC · = 200 Nên ∆ACD = ∆ECD ( c.c.c ) suy ·ACD = ECD · = 100 Cách giải 3: Vẽ tam giác ACK ta chứng minh · tam giác CDK cân K (vì KAD = 800 , KA = AB; AD = BC nên ∆KAD = ∆ABC ( c.g c ) suy KD = · · AC = KC ) nên DKC = ·AKC − AKD = 600 − 200 = 400 suy · · · KCD = (1800 − DKC ) : = (1800 − 400 ) : = 700 ⇒ DCA = 700 − 600 = 100 Cách giải 4: Vẽ tam giác FAB với F C phía AB Nên tam giác AFC cân · A Tính FAC = 400 nên 0 ·AFC = 180 − 40 = 700 ⇒ BFC · · · · = 100 ⇒ CBF = 200 ⇒ ∆ADC = ∆BCF ( c.g c ) ⇒ ACD = BFC = 100 Chú ý : Nếu giả thiết cho ·ACD = 100 AD = BC ta xét ∆DAC = ∆ECA (c.g.c) µ =C µ = 500 Gọi K điểm tam giác Bài tốn 31: Cho tam giác ABC cân có B · · cho KBC = 100 ; KCB = 300 Chứng minh tam giác ABK cân · tính BAK ? Giải: Dựng tam giác EBC có đỉnh E A nằm nửa mặt phẳng có bờ BC Nên ∆EAB = ∆EAC ( c.c.c ) Do Bµ = Cµ = 500 nên · · EBA = ECA = 600 − 500 = 100 EA phân giác · · · BEC ⇒ BEA = CEA = 300 Do ∆EBA = ∆CBK (g.c.g) nên AB = BK hay tam giác BAK cân B · BAK = 1800 − ·ABK : = ( 1800 − 400 ) : = 700 ( ) Bài tốn 32: Tính góc tam giác ABC cân A biết cạnh AB lấy điểm D cho AD = DC = BC Giải: Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi 12 · µ = x mà tam giác ABC có µA + B µ +C µ = 1800 nên Đặt µA = x ·ACD = x Do BDC = 2x ; B x + x + x = 1800 ⇔ x = 1800 ⇔ x = 360 Vậy x = µA = 360 Nên Bµ = Cµ = ( 1800 − 360 ) : = 720 µ = 600 ; C µ = 300 Lấy điểm D cạnh AC Điểm E Bài tốn 33: Tam giác ABC có B cạnh AB cho ·ABD = 200 ; ·ACE = 100 Gọi K giao điểm BD CE Tính góc tam giác KDE Giải: Tam giác ABC có Bµ = 600 ; Cµ = 300 suy µA = 900 Do · · CEA = 900 − 100 = 800 ; BDA = 900 − 200 = 700 ; ( ) · · · · CKB = DKE = 1800 − KCB + CBK = 1800 − (200 + 400 ) = 1200 Gọi I giao điểm hai đường phân giác góc · · nên CKI · · BCK ; KBC = BKI = 600 Do · · · · · · KEA = BKE + KBE ⇔ BKE = KEA − KBE = 800 − 200 = 600 nên ∆IKB = ∆EKB ( g c.g ) suy KI = KE Tương tự ta chứng minh ∆IKC = ∆DKC ( g.c.g ) suy KI = KD Do KD = KE Tam giác KDE cân K suy · · KDE = KED = (1800 − 1200 ) : = 300 Bài tốn 34: Cho tam giác ABC góc µA ≠ 900 góc B, C nhọn, đường cao AH vẽ điểm D E cho AB đường trung trực HD , AC đường trung trực HE Gọi I, K theo thứ tự giao điểm DE với AB AC Tính góc ·AIC ·AKB Giải: Trường hợp µA < 90 Thì IB KC hai phân giác ngồi tam giác IHK Do HA phân giác Do ·AHC = 900 nên HC phân giác đỉnh H Các phân giác · cắt C nên IC phân giác góc HIK Do 180 · · · + HIC = = 900 ⇒ BIC = 900 hay ·AIC = 900 BIH Chứng minh tương tự ta có BK ⊥ KC ( phân giác KB phân giác ngồi góc K) nên ·AKB = 900 Trường hợp µA > 900 Tam giác HIK có KC, IB · · , HIK tia phân giác góc HKI KB , IC · · , HIK tia phân giác HKI nên ·AIC = ·AKB = 900 Bài toán 35: Cho tam giác ABC có AH đường cao, phân giác BD ·AHD = 450 Nêu cách vẽ hình tính ·ADB Giải: Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi 13 · *) Vẽ tam giác BHD cho BHD = 1350 , vẽ đường thẳng vng góc với BH H vẽ tia Bx cho · · cắt đường thẳng vừa vẽ điểm A Hai tia HBD = DBx AD BH cắt C, ta hình thoả mãn đề cần vẽ Xét ∆ABH ta có · HAx = ·ABH + ·AHB = ·ABH + 900 = ·ABD + 900 ( Do BD tia phân giác góc B) Ta lại có · · (vì tia BD phân giác tia HD phân giác cắt D nên HAx = 2CAx · · ⇔ ·ABD + 450 = CAx AD phân giác tam giác BHA) Vậy ·ABD + 900 = 2CAx (1) Mặt · = ·ABD + ·ADB ( ) (định lý góc ngồi tam giác ABD) Từ khác, tam giác ABD có CAx (1) (2) suy ·ABD + 450 = ·ABD + ·ADB ⇔ ·ADB = 450 Bài toán 36: Cho tam giác ABC có K giao điểm đương phân giác, O giao điểm đường trung trực, BC đường trung trực OK Tính góc tam giác ABC Giải: Do O giao điểm đường trung trực tam giác ABC nên OB = OC Suy ∆OBC cân O suy · · , Mà BC đường trung trực OK nên OBC = OCB · · · · = KBC ; OCB = BCK BO = BK ; OC = CK Do OBC K giao điểm đường phân giác nên · · · · · · OBC = KBC = KBA = OCB = BCK = KCA = α Ta lại có OA = OB · · · · nên OBA CA = OC nên OCA Do đó, = OAB = OAC · · · · BAC = BAO + OAC = ·ABO + OCA = 3α + 3α = 6α mà ∆ABC có · · · BAC + ABC + BCA = 1800 ⇔ 2α + 6α + 2α = 1800 ⇔ 10α = 1800 ⇔ α = 180 · · = 360 ; BAC = 1080 Vậy ·ABC = BCA µ = 600 ; C µ = 450 Trong góc ABC vẽ tia Bx cho Bài tốn 37: Cho tam giác ABC có B · · xBC = 150 Đường vng góc với BA A cắt Bx I Tính ICB Giải: Trên cạnh BC lấy điểm K cho AB = BK nên tam giác ABK cân B có Bµ = 600 nên tam giác ABK Do KB = KA Ta lại có tam giác ABI vuông A mà ·ABI = ABC · · − IBC = 600 − 150 = 450 nên tam giác ABI vuông cân A suy AB = AK = AI Do Bµ = 600 ; Cµ = 450 nên µA = 750 Nên · · · · KAC = BAC − BAK = 750 − 600 = 150 ; CAI = 900 − µA = 900 − 750 = 150 · · = ·ACK + ·ACI = 900 Vậy ICB Do ∆AKC = ∆AIC ( c.g c ) ⇒ ·ACK = ·ACI = 450 ⇒ ICB = 900 Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi 14 µ = 750 ; C µ = 450 Trên cạnh BC lấy điểm D Bài tốn 38: Cho tam giác ABC có B · cho BAD = 450 Đường vng góc với DC C cắt tia phân giác · ·ADC E Tính CBE Giải: µ µ · · Ta có B = 75 ; C = 45 BAD = 450 suy BDA = 600 nên ·ADC = 1200 mà DE phân giác ·ADC nên ·ADE = EDC · = 600 Ta lại có CE phân giác ∆DCE DA phân giác · EDC cắt A nên EA phân giác E · · ∆DCE vng C có EDC = 600 ⇒ DEC = 300 Do ( ) ( ) ·AED = 1800 − DEC · · : = 1800 − 300 : = 750 (do EA phân giác E) suy DAE = 450 Do ∆ABD = ∆ADE ( g c.g ) ⇒ BD = ED nên tam giác BDE cân D nên ta có · EBD = (1800 − 1200 ) : = 300 Bài toán 39:Cho tam giác ABC, vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABE; ACF Gọi I trung điểm BC, H trực tâm tâm giác ABE Tính góc cuả tam giác FIH Giải: Trên tia đối tia IH lấy điểm K cho IH = IK Gọi 0 · · BAC = α HAF = 60 + 30 + α = 90 + α ( 1) ( ∆ACF · nên FAC = 600 tam giác EAB có H trực tâm nên · HAB = 300 < α ≤ 90 ) Ta lại có: ∆BIH = ∆CIK ( c.g c ) nên ( ) · · · · suy KCI = HBI = ·ABC + 300 nên ACB = 180 − ABC + α ( ) 0 · · · Do đó: KCI + BCA + ·ACF = ·ABC + 300 + 180 − ABC + α + 60 = 270 − α ( ) ( ) · · · KCF = 3600 − KCI + BCA + ·ACF = 3600 − 2700 − α = 900 + α ( ) Từ (1) (2) suy · · · · ⇒ HFK = 600 Nên ∆AHF = ∆CKF ( c.g c ) ⇒ HF = KF ; ·AFH = CFK HAF = KCF tam giác HFK suy tam giác HFI nửa tam giác cạnh HF Các góc tam · · · = 900 ; IHF = 600 ; HFI = 300 giác HFI có số đo là: HIF · Bài toán 40: Cho tam giác ABC cân A có BAC = 200 Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ AC vẽ tia Cx cho ·ACx = 600 , tia lấy điểm D cho AB = CD Tính ·ADC Giải: Trên nửa mặt phẳng chứa B có bờ AC vẽ tia Cy cho ·ACy = 600 Tia · cắt AB E Do tam giác ABC cân A có BAC = 200 nên µ =C µ = (1800 − 200 ) : = 800 Trong tam giác BCE có B µ = 800 Góc BEC · B 0 · · góc ngồi tam giác AEC nên ta có BEC = µA + ECA = 20 + 60 = 80 Nên tam giác CEB cân C suy CE = CB Từ ta có ∆AEC = ∆ADC ( c.g.c ) ⇒ ·AEC = ·ADC = 1800 − 800 = 1000 Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi 15 Bài toán 41: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm E nằm tam giác cho tam giác EAC cân · E có góc đáy 150 Tính góc BEA Giải: Cách giải 1: Vẽ tam giác ACD · Ta có tam giác EAC cân E nên EAC = ·ACE = 150 nên · BAE = 900 − 150 = 750 · · Xét ∆BAE ∆DAE có AB = AD = AC ; BAE = DAE = 750 ; AE cạnh chung Nên ∆BAE = ∆DAE ( c.g.c ) ⇒ ·AEB = ·AED Do AD = AC EA = EC nên ED đường trung trực AC Đồng thời AE phân giác · ·AEC nên ·AED = AEC = 180 − 2.15 = 750 2 Cách giải 2: Vẽ tam giác EAK nằm tam giác AEC Ta · · · ∆ABK = ∆ACE ( c.g c ) ∆ABK = ∆BEK ( c.g.c ) ⇒ BEA = BEK + KEA = 150 + 600 = 750 Bài toán 42: Cho tam giác ABC cân A có µA = 1000 · · = 100 ; MCB = 200 Điểm M nằm tam giác ABC cho MBC Tính ·AMB Giải: 1800 − 1000 · ACB = = 400 mà Tam giác ABC cân A nên ·MBC = 200 ⇒ MCA · · Trên = 20 nên CM tia phân giác BCA tia CA lấy điểm E cho CB = CE nên · · ∆MCB = ∆MCE ( c.g c ) ⇒ ME = MB EMC = BMC = 1800 − 300 = 1500 · · ⇒ EMB = 3600 − 2.BMC = 3600 − 3000 = 600 Do tam giác BME suy BM =BE Ta có: · EAB + ·AEM = 800 + 100 = 900 nên AB ⊥ ME suy BA phân giác góc 0 · · · · · MBE ⇒ EBA = MBA = 600 : = 300 nên ∆ABM = ∆ABE ( c.g c ) ⇒ BEA = AMB = 60 + 10 = 70 Bài tốn 43: Cho tam giác cân A có µA = 800 Trên cạnh BC lấy điểm D cho · · CAD = 300 Trên cạnh AC lấy điểm E cho EBA = 300 Gọi I giao điểm AD BE Chứng minh tam giác IDE cân tính góc Giải: Ta có tam giác ABC cân A có µA = 800 nên Bµ = Cµ = 500 mà · · · CAD = 300 nên BAD = µA − DAC = 800 − 300 = 500 Khi ∆DBA cân · D suy AD = BD Trên BI lấy điểm K cho BAK = 100 · · · = 1800 − ( BAE + EBA ) = 1800 − (800 + 300 ) = 700 (1) nên BEA · · (2) KAE = ·ABC − BAK = 800 − 100 = 700 Từ (1) (2) suy ∆KAE cân K nên KA = KE Ta chứng minh tam giác AkD cân A nên AK = AD Do AD = KE (3) Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi 16 · Mặt khác, KAI = ·AKI = 400 ⇒ ∆IKA cân I nên IA = IK (4) Từ (3) (4) suy IE = ID nên ( ) · · = 1800 − IAK = 1800 − 800 = 1000 tam giác IED cân I ·AIK = DIE 1800 − 1000 · · IDE = IED = = 400 Bài toán 44: Cho tam giác ABC cân A có µA = 200 , điểm M,N theo thứ tự thuộc · · · cạnh bên AB, AC cho BCM = 500 ; CBN = 600 Tính MNA Giải: Trên cạnh AB lấy điểm D cho AN = AD DN //BC ·AND = 800 · Ta tính DNM Gọi I giao điểm BN CD tam giác IBC IDN tam · giác IBC = 600 tam giác ABC cân A Ta chứng minh MN tia · phân giác DNB Thật vậy, Trong tam giác BDC có ( ) ( ) · · · · MDI = BDC = 1800 − DBC + DCB = 180 − 800 + 600 = 400 (1) · · · = 800 ; MCB = 500 ⇒ BMC = 500 ⇒ ∆BMC cân Trong tam giác BMC có MBC B Do BM = BC mà tam giác BIC nên IB = BC suy MB = BI hay 1800 − 200 · · = 800 Do tam giác BMI cân B mà MBI = 20 ⇒ BIM = 0 0 · · · · · MID = 180 − MIB + DIN = 180 − 80 + 60 = 40 (2) Từ (1) (2) suy MDI nên ∆MDI = DIM ( ) ( ) cân M Suy MD = MI Ta lại có NI = ND nên MN đường trung trực DI suy · DNB 600 · · = = 300 MN phân giác DNB hay DNM = 2 0 · · · Vậy MNA = MND + DNA = 30 + 80 = 110 Bài toán 45: Điểm M nằm bên tam giác ABC vuông cân B cho KA: MB: MC = 1: 2: Tính ·AMB Giải: Vẽ tam giác MBK vuông cân B ( K A nằm phía BM) Đặt MA = a; MB = 2a; MC = 3a Khi ta có AB = · BC; MBC = ·ABK ; BM = BK nên ∆ABK = ∆CBM ( c.g c ) suy CM = KA = 3a Xét tam giác vuông MBK vng B ta có MK = MB + MK = ( 2a ) + ( 2a ) = 8a 2 Xét tam giác AMB có AM + MK = a + 8a = 9a = ( 3a ) = AK · ( AK = MC) nên tam giác KMA vuông M Vậy ·AMB = ·AMK + KMB = 900 + 450 = 1350 Bài toán 46: Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a + b > 5c c độ dài cạnh nhỏ 2 Giải: Giả sử c ≥ a c + c ≥ a + c > b ⇒ 2c > b ⇒ 4c > b c ≥ a ⇒ c ≥ a nên ta có 5c > a + b2 trái với giả thiết Nguyễn Văn Bình -THCS Phổ Châu- Đức Phổ - Quảng Ngãi 17 2 2 Giả sử c ≥ b c + c ≥ b + c > a ⇒ 2c > a ⇒ 4c > a c ≥ b ⇒ c ≥ b nên ta có 5c > a + b2 trái với giả thiết Vậy c độ dài nhỏ tam giác  ... DKC ) : = (1800 − 400 ) : = 70 0 ⇒ DCA = 70 0 − 600 = 100 Cách giải 4: Vẽ tam giác FAB với F C phía AB Nên tam giác AFC cân · A Tính FAC = 400 nên 0 ·AFC = 180 − 40 = 70 0 ⇒ BFC · · · · = 100 ⇒ CBF... vuông cân A suy AB = AK = AI Do Bµ = 600 ; Cµ = 450 nên µA = 75 0 Nên · · · · KAC = BAC − BAK = 75 0 − 600 = 150 ; CAI = 900 − µA = 900 − 75 0 = 150 · · = ·ACK + ·ACI = 900 Vậy ICB Do ∆AKC = ∆AIC... 14 µ = 75 0 ; C µ = 450 Trên cạnh BC lấy điểm D Bài tốn 38: Cho tam giác ABC có B · cho BAD = 450 Đường vng góc với DC C cắt tia phân giác · ·ADC E Tính CBE Giải: µ µ · · Ta có B = 75 ; C =