bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 10 tập 1 - lê hoành phò

Ví dụ 3: Cho tam giác Ane Tim diém M thoả mãn điều kiện Vậy M cách điểm A mot đoạn bằng BC không đổi nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R = BC.. Vậy M cách đều hai điểm

& nang cao kĩ năng làm bời

- Chuổn bị cho các kì thi quốc gia

do Bộ GD&.ĐT tổ chức

: Quy lắc về hiệu của hai vecto:

Vi du 4: Goi O là tâm của tam gidc déu ABC

C

Ví dụ 4: Cho bai vectơ a và b_ Trong trường hợp nào đẳng thức sau đây

Vi du 4: Cho a, b là các vectơ khác 0 vA a # b Chttng minh

a) Nếu a và b cùng phương thì a + b cùng phương với a b) Néu a va b cùng hướng thì a + b cùng hướng voi a

Giai:

Pala = AB, B= BE ima «b= AC

J_—_———

= AC vA a = AB có cùng giá, vậy chúng cùng phương

23

Ví dụ 3: Cho tam giác Ane Tim diém M thoả mãn điều kiện

Vậy M cách điểm A mot đoạn bằng BC không đổi nên tập hợp các

điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R = BC

Vậy M cách đều hai điểm A và C nên tập hợp các điểm M là đường

trung trực của đoạn AC

Ví dụ 4: Cho hai diém A va B Tim tap hợp các điểm M thoa man diéu

Gigi:

Vé hinh binh hanh AMBN

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo, ba có:

b) Sai vi AB, AC khéng cimg hudng c) Ding vi cac dé dai bằng nhau là cạnh của tam giác đều ABC

Vi du 2: Cho tam giác ABC Cac cach viét nao sau day 1a sai?

đ) Sai vì vectơ không có so sánh hơn kém

e) Sai vi | AB + BC | la dé dai cdn AC 1a vecto

f) Sai vi vé trai la sé 0

Ví du 3: Một vectơ có được xác định duy nhất không nếu chỉ cho:

Gigi:

a) Khong, vi có AB, BA

b)_ Không, vì có vô số vectơ khác nhau mà có cùng độ dài

c) Không, vì có vô số vectơ khác nhau có cùng hướng

d) Được, vì một vectơ được hoàn toàn xác định khi biết hướng và độ dài

Vi du 4: Cho ba diém O, A, B không thẳng hàng Với điều kiện nào thì vectơ

Đường chéo OI là phân giác của góc AOB khi š

và chỉ khi OATP là hình thoi, tức là OA = OB

Ví du 5: Cho hinh binh hanh ABCD Dung AM = BA, MN = DA, NP = DC,

: Cho hinh binh hanh ABCD va ABEF với A, D, F khéng thang

hàng Dung cdc vecto EH va FG bang vectơ AD Chứng minh tứ giác

đường chéo AC Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của

hình bình hành Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và

N, cắt AD và BC lần lượt tại E và F Chứng minh rằng:

Đo đó tứ giác CAT)B là hình chữ nhật

CD khi va chi khi trung điểm của 2 đoạn

Ví dụ j1: Cho sáu diém A, B, C, D, E, F Chting minh:

AD + BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD+ CE

GiGi:

Lấy một diém O nào đó, ta phân tích mỗi vectơ thành hiệ

có điểm đầu là O, ta được:

b) Do vectơ đối của b + c là -b —e

c) Do vectơ đối của b —c la—b +c

Ví dụ 14: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC = b lấy

hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC, BE cat trung tuyến AM tai N

Tinh d6 dai vecto u = AK + AF + AN + MN

Ví dụ lŠ: Cho n điểm trên mặt phẳng, một người đặt tên là

Ai, Àa, , An và người khác đặt tên là Bị, Bạ, , B„

Chimy minh A,B, + A,B, + +A,B, =0

Lấy điểm gốc O bat ki , theo gia thiét thi cé:

Nén: (OBi— OA) + (OB,— OA) + + (OB,— OA,) = 0

OA, nén ghép theo các bổng này thì vecto u co gia ta auong thẳng

se Zl vecto

hai vectơ AB và AC cùng hướng ? ngược hướng?

IND: X6ét thứ tự của ba điểm

# Cho tam giác ABC

ĐC, CÁ Tìm: trên hình vẽ các vectơ bằng PQ,QR RE

4 Cho tam giác đều ABC Các đẳng thức sau đây đúng hay sai ?

28: a) đúng b) sai c) đúng |

5 Cho bén diém A, B, C, D Ching minh: AB —~ DG = AD — BC

HH: Biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi tương đương, biến

| so sánh với biểu thức thứ ba hoặc dùng gốc O bat ki

6 Chứng rainh nếu AB = CD thi AC+DB=0

@ Cho O ia tarn cia hinh binh hanh ABCD

9 Cho bam giác ABC Về phía ngồi tam giác vẽ các hình bình hàn

THỊ): dùng quy tắc ba điểm

_10 Cho lục giác đều ABCDEEF Chứng mình với mọi điểm M thì

MA + MƠ + ME - MB = MD + ME

Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB,

m phân biệt A, B, C, D, E Cĩ thể xác định được bao Cho ba điểm A, B, C phan biét va thang hang Trong trường hợp nào

Cho hai luc F; = 30N, F¿ = 40N, cĩ điểm đặt tại O và tạo với nhau gĩc

90° Tim cường độ lực tổng hợp của hai lực ấy

Cho hai luc F,; = E¿ = 1OON, cĩ điểm đặt bại O và tạo với nhau gĩc

1200 Tìm cường độ lực tổng hợp của hai lực ấy

15 Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH Tính:

[AC , |AB+AH!I , |AB-AHI

14

HD: Xác định vectơ trước rồi tính độ dài sau

16 Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G Tính:

ivé nay thành vế kia hoặc biến đổi tương đương, biến đổi

= Tye a7 BAP s a’ ` ` an’ * ~ © At we + 2 Ae we

InOD: Bién d6éi vế này thành vế kia hoặc biến đổi tương đương, biến đổi

so sánh với biểu thức thứ ba hoặc đùng gốc O bất kì

+1 Cho tam giác ABC, Dựng các vecbEơ AB+AC,BA+CA,AB-_ À

HD: Dùng quy tắc ba điểm, quy tắc trừ

19 Cho tam giác ABC Tìm điểm M thoả một trong các điều kiện sau

21 Cho ba vectơ a,b,c tuỳ ý Chứng minh:

Nêu bài tốn tổng quát

DS: Dau bang xay ra khi ba vecto cùng hướng

23

Néu © là trung điểm của đoạn Ái B thì

Vi du_3: Goi G là trọng tâm cua tam gidc ABC Hay biểu điễn các vectơ

AB, GC, BC, CA theo a = GA, b = GB

Ví đụ 5: Điểm M được gọi là điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số kz 1 Ví du 8: Chứng mình rằng với ba vecto tuy ¥ a, b , c luôn luôn có ba số

Néu hai vecto a, b không cùng phương thì có các số œ, B sao cho

Ví dụ 6G: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một Ví dụ 9: Cho tam giác OAB Goi M, N lần lượt la trung điểm của cạnh

DF =n.DC (m,n > 0) Hay biéu dién DM qua DB và m, m

Từ đẳng thức trên, ta thấy G trùng G' khi và chỉ khi GG' = 0 tức là

AA'+ BB'+ CC'=0

điểm đối xứng với B qua C và C' là điểm đối xứng với C qua Á Chứng minh rằng các tam giác ABC và A'B©' có chung trọng tâm

a) Với mọi điển M thì MA + MB + MC =3MG CMQ có cùng trọng tâm

b) Áp dụng câu a) nên MA + MB + MƠ =0 =3MG =ÔÖ = 0 + AC + 5 CA + 3 CA = AC + CA = 0 A ©

Vi dw 2: Hai tam giác ABC và ÄA'HB©G' lần lượt có trọng tâm là G và G Ví dụ ð: Cho lục giác ABCDEEF Gọi M,N,P, Q,R, S lần lượt là trung

a) Tim diém K sao cho KA + 2KB = CB

b) Tim diém M sao cho MA + MB +2MC =

_=2MI + 2MC c0 @ M là trung điểm của IC

|—

enema aeons

ect

OG = =(OA + OB + OC + OD) Diém G nhu thé goi la trong tam

la trong tam cac tam gidc BCD, ACD, ABD va AB

a)

b) c)

inh rằng G cũng là trọng tâm của tứ giác A'B'C'D’

í{ dụ 10: Cho n diém Aj, As,

Ki 3 + ko +

Giai:

Vì G là trọng tâm tứ giác ABCD nên: GA + GB + GỠ + GD =0

Mà A' là trong tam tam gidc BCD nén: GB + GC + GD =3GA'

Do dé: GA = —3GA' nén G, A và A' thẳng hàng

Ching minh tuong tu: GB = -3GB', GC =-3GC', GD =-3GD'

Nên G, B, B' thang hang, G, C, C' thang hàng và G, D, D' cũng thang hang Vay G la điểm chung của bốn đoạn AA', BB', CC' và DD'

Từ kết quả trên ta có điểm G chia các đoạn AA', BB, CC' và DD' theo

tỉ số k = —3

Ta có: GA +GB+GC+@GD = -(GÁ + GB' + GC'+ GD) =0

nén GA'+ GB'+ GG'+ GD' Vậy GŒ cũng là trong tam tit gidc A'B'C'D'

- “ka=kzOQ

a) Chứng mình rằng có duy nhất một điểm G sao cho:

k,GA, +k GA, + + k, GA, = Điểm G như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A;¡, gắn với các hệ số

kị Trong trường hợp các hệ số kị bằng nhau (và do đó có thể xem các kị đều bằng 1) thì G gọi là trọng tâm của hệ điểm Ai

2

Ở câu a) thì với mọi đi

(k,OA, + k,OAQ + +k, OA, )

O bat ky, ta c6:0G = *:

Giai:

Ta lấy một điểm O nao do thi: k,GA, + k,GA, +

<= k,(OA, — OG) +k( OA, — OG)+

.+k, GA, =

+k,(OA, — 0G)=0

= 0G = = (i, 0A, + k,OA, + +k,0A,), vi k #0

Vậy điểm G hoàn toàn xác định va duy nhất

uy từ câu a)

b) Vi ABCD 1a hinh binh hanh nén AB + AD

AB +2AG + AD =(AB + AD) + 2AC

vì M và N lần lượt là trung điểm AB va CD

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có 3 trung tuyến AM, BN, CP

Vi M, N, P 1a trung diém 3 canh nén:

ác: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì:

a trung điểm của đoạn AB Chứng minh với điểm O bất N

thang nay cat cdc canh bén AD và BC theo thứ tự tại M và Chứng

vậy

e

c ACM Béi

a +

+ see nm aneneitenegeien nninne

= ——zls +kb +(k-Da +k(k -De —kb ~k’a |

Ví du 9: Cho ngũ giác ABCDE, Gọi M,MN,P, Q lần lượt là trung điểm các

canh AB, BC, CD, DE, Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP

CAB: Ta có:OH¡ = OA + OB + OC;=

ïay ba điểm Hị, Hạ, Hạ thẳng hang

GÀ 2

là tam giác có ba đỉnh lấy trong năm điểm đó, hai điểm còn lại Xác:

luôn di qua mét diém cé dinh

trọng tâma tam giác Ava M

+ IC + ID + Th = 3IG +2IM

tam của hệ năm điểm đã cho thì Ï là điểna cố định và 31G + 2TM = Ô.,

Gigi:

Gọi Ð là trung điểm của BC thì:

nhu sau: MB = 3MC, NG =3NA, PA =83PB

a) Ching minh 20M = 30C — OB vé6i moi diém O

b) Chứng rmainh hai tam gidc ABC va MNP cé cùng

" GiGi:

Goi O 14 giao điểm của hai đường thẳng AD

khi dé OC =kb (vi AB/DC) Gid st OM = ma

Ta xác định điểm N trên BC sao cho AN // CM

Vay ON = — b.Titrdé DN = ON — OD = — b —ka

Vậy BM và DN cùng phương và B không thuộc đường thẳng DN né

ĐÀN / BÀI

Do: AC,= OB, AB, = OC

nên: AC, + ABi= OB + OC = OAi = ATH

Vi vay AC,HB, la hinh binh hành và do AH.L

suy ra AHI là trung trực của ¡Bị

Tương tự ta chime minh được BH, CH lần lượt là trung trực của A¡Ci¡

“HBIÁ¡ Điều đó chứng tổ THÍ là tầm đường tròn ngoại tiếp tara giác A,B,C

ˆ Lấy 1, J thuộc tia MA,, MB,

_ sao cho MICJ là hình bình hành

“= Swan MC = ~Sync MA — Sues MB = pom

BC, AWC thoả mãn AA'+ BƠ '+ CB' = mình hai tam giác có cùng trọng tam

): ding hé thie AA'+ BB'+ CC’ = GG'

Cho tam giác ABC, sọi Ñ B, C7 lần 3 là trung điểm của BƠ, CA, AB a) Chứng minh AA'+BB'+CC'

b) Dat BB’ =u,CC'=v, tinh BC, OR AB

BCD Goi M, N lân lượt là

etaiemaieesintaniche

CD Ching minh: 2MN = AG — DB = : dùng quy tắc cộng và quy tắc trừ

Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm và H là điểm đối

a) Chiing minh: AH = [AC -=AB va CH = -=(AB + AC)

xứng của B qua

BC Chitng minh: Mi =

b) Goi M 1A trung diém = KC _ 2 AB

Cho ba diém A, B, C Chú ting minh diéu kiện cần và đủ để A, B,

thẳng hàng là: OỞ = mOAÁ +nOD,m +n =1 với O bất kì

9 "Tam giác ADOG có ba đường phân giác AA’, BB’, ce Chứng mình n

Cho tam giác ABC trọng tâm Œ Qua điểm M trong tam giác vẽ

3 Ching minh: MI + Mỹ J+ - MK = = 5 MG

va cac tam giác:

lí Cho tam giác Â

`B© có trực tâm H Chứng minh hé thức: cờ

HD : dùng quy tắc hình bình hành để phân tích một vectơ theo

vectơ không cùng phương

19 Cho bến điểm A, B, C, D Gọi I và ở lần lượt là trung điểm của AB

CD Gọi G là trung điểm IJ Chimg minh: GA +GB + GƠ + GD = 0

AĐC trọng tâm G Đường thẳng d qua G cắt đoạn GA, GB

Chứng minh v= MÃ + - 8MB - 4MC không phụ thuộc vào vị trí của

Dung D sao cho CD =v

15 Cho tam giác ABC có điểm O thoả mãn:

OA +OB- 20C| = lOA — oB Chứng minh ABC là tam giác vuông

_ 14 Cho tam giác ¿ AI

HD: đưa về tam giác có một trung tuyến bằng nửa cạnh đài

16 Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CT = 3BI, gí

jJ là điểm trên BC kéo dai sao cho 5JB = 2JC

tên AL, AJ theo AB, AC

ĐC thành các hình bình ha

ho tam giác ABC, goi I, J la 2 điểm dinh bởi: TẢ = 21B | và 8JA + 25C = 0

) Biéu dién IJ theo AB, AC

'b) Chứng minh lJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

9 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tam O Cac đường thẳng

€ ong song đi qua A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại các điểm thứ hai Ay, Bi, Cy Chứng mình các trực tâm của các tam giác

) Cho tứ giác ABCD và 2 điểm M, N sao cho: AM = - AB, DN = kDØ _ Ching minh 3 trung diém cia AD, MN, CB thang hang _

1 Cho tam giác ABC và số k khác (0; —1) Hai điểm E, F xác định bởi

_ Tính tỉ số I chia đoạn BC

Cho hình binh hanh ABCD Ba diém M, N, K xác định bởi AM = kAB

AN = mAC; AK = pAD Tim diéu kién k, m, P để M, N, K thang hang

a) Ching minh MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

b) Gọi P là trung điểm của CN, chúng minh MP di qua mét điểm cố dinh khi M thay déi j

“HD: dùng tâm tỉ cự Ï của biểu thức vế phải

24, Cho géc xOy, trên Ox lấy lần lượt các điểm A, B,C sao cho: OA: AB:

BC = 1: 2: 3, trên Oy lấy lần lượt các điểm A”, B’, C’ sao cho OA’: AB’:

BƠ =3:3:2 Chứng mình 3 đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng QUY

25 Cho điểm M thay đổi trong tam giác đều ABC Gọi D, E, E là hình chiếu của M lên 3 cạnh tam giác ABC Gọi G 1A trong tâm tam giác DEF chúng minh MG ởi qua một điểm cố định

A

2, DS:

M

49

26 Cho điểm M thay déi trong tam gidc déu ABC Goi D, E, F 1a hin

chiéu cua M lên 3 cạnh tam giác ABC Tìm tập hợp các trọng tâm tam

giác DEF khi M lưu động mà ! MB + ME + MFI = k khong đổi

ĐS: đường tròn có tâm là tâm của tam giác đều ABC

27 Cho hình bình hành ABCD, M tuỳ ý Trong mỗi trường hợp hãy tìm số

và điểm cố định Ì sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả với mọi điểm M

c) 4MA+MB+MD=k.MI

HD: ding tam ti cu cua biểu thức vế trái (chèn Ï)

28 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

29 Cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a) ! MA + MB + MỀ I = 1 MB + MGI

d) |4MA+ MB+MCi =312MA+ MB-MCI

30 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho;

31 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a) MA+k.MB=k.MC,(k « R) b) MA+(1-k)MB-—kMC = 0,(k € R)

d) 2MA+(3—k)MB+kMCG =0

DS: a) duong thang qua A , song song véi BC

32 Cho A ABC có AB = c, BC = a, CA =b Với mỗi điểm M nằm ngoai A ABC

và trong góc “ BÁC, đặt các diện tichS, = S(BMC), S, = S(AMC)

S = S(AMB) Chứng minh: -S, MA +S, MB+S,MC =0

HD: dang biểu điễn vectơ theo 2 vectơ không cùng phương

33 Cho tam giác ABC và đường thẳng d

Goi toa dé của I 1a x thì toạ độ IB lAb—xva IA là a— x

_dụ 2: Trên trục x'Ox cho hai điểm A và B có toạ độ lần lượt là a và b

a)

C)

Ví du 3: Cho các điểm A, B, C trên trục (O, ¡ ) c6 toa độ lần lượt là B5; —3;

— Tính độ đài đại số của AB, BA, AC, BC

a) Tim toa độ x của điểm M sao cho MA =kMB ,kz1 :

b) Tim toạ độ trung điểm I cia doan AB

c) Tim toa dé x cua điểm M sao cho 2MA =-5MB

du 5: Trên trục toạ độ xOx cho ba điểm A, B,C lần lượt có toa độ là

—5; 2; 4 Tìm toạ độ điểm M thoả mãn một trong các điều kiện:

a) MA + MB + MC =0 b) 2MA +3MC +4MB

Gidi:

a) MA + MB + MG =O <c>-B—-x+2—x+ 4 —~x=0ox=2= ~ Vay MCS) b) 2MA +3MC +4MB =0

3 => > 2-5 — x) + 3(4 — x} + AQ ~ x) =Ũ<>x= Tà Vậy 1 MC)

Vi dụ 6: Trên truc x'Ox cho ba điểm A, B, M có toạ độ tương ứng la 8, —2, 5

ấï trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D Goi 1, J, K, L lần lượt là

ì của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD Chứng minh rằng:

Goi toa độ các điểm A, B„ «C, D lan lượt là a, b, C, đ và toa độ cua I,

° AB AC AD

dụ 10: Cho a, b, c, d theo thứ tự là toạ độ của các điểm A B, C, D trén

a) Ching minh ring khi a + b ¥ c + d thi luén tim duge diém M sao

áp dụng: Với a = —2, b = 1ð, c= 3, d= ~1, ta thấy a+bxzc + d

: Theo câu a) điểm M được xác định và ta có:

Vi du _ 1: Viết toạ độ của các vecto sau:

_dụ ð: Cho ba vectơ a =(3;-1), b =1; —2), C.,5 (—1; 7) Hãy biểu

Giải:

Dat c =xa yd el: D= : (8x, x), + ợ, _ay)

a) Tim toa d6 cua vecto u = 2a ~ 3b + Cc

Ví dụ 1: Cho điểm M(x; y) Tim toa d6 cdc điểm

a) M, déi xittng cua M qua truc Ox

b) Ma đối xứng của M qua truc Oy

e) Mạ đối xứng của M qua gốc O

A = (xa; ya), B = (xp; ys), C = (Xe; yo)

Tim toa độ trung điểm I của AB va trong tam G

Đ Tác ĐÃ + GB + Had = OG = MOK + OB + ĐỔI nêm

so +*Xp +Xe ,VA +Ÿnp tYc

Ví dụ 3: Trên mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A(—2

a) Tim boạ độ trọng tâm của tam giác OAPH

Ví dụ 4: Cho ba điểm A(aj; ae), Btbi; be) vA Ceci; cg) Tinh toa dé dinh D

của hình bình hành ABCD và tính toa độ tâm của hình bình hành ấy

vi du 5: Cho tam gidc ABC véi A = (2; 3),

toạ độ của đỉnh D của hình bình hành:

a) ABCD b) ACBD

B = (1; 4, C = (1; 1) Tim cac c) CABD

a) Tìm điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD

b) Tìm điểm E sao cho ABCE là hình bình hành

Gọi E (x; y) Ta có ECG= (2 — x; —-2 — y) Tứ giác ABCE là hình bình

hành khi và chỉ khi AB = EC | | |

59

| Mi + 2(1Á — 31B + 21C)| = | Mi | = MI

Vi I cé định và M thuộc trục Ox nên TT bé nhất khi M là hình chiếu I“

lên Ox Vậy M(4; O)

; Cho ba điểm A(2; 5) B(1; 1), C@; 3) a) Tim toa dé diém D sao cho AD =3AB —2ACG

b) Vì AB =—2AC nên A chia đoạn thẳng BC theo tỉ số —2

Vi du 2: Trén mat phang Oxy, cho tam gidc ABC biét AC; 2), BC;

C(—1; —9) Các điểm C', A', B' lần lượt chia các doan thang AB, BC, CA

OD fuse

a) Tim toa dé cia A’, B', C' b) Chiing minh A’, B', C' thang hang

b) Tìm điểm D sao cho A là trung điểm BD

e) Tìm điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hang

.) Vi E nim trén Ox nén E = (x; 0) Khi đó AE = (x + 3; —4) Ba điểm A,

—_B, E thẳng hang khi và chỉ khi AE cùng phương với AB(4; —3) hay

_ b) Tim diém D sao cho AD =-—3BC

« c) Tìm điểm E sao cho O 1a trong tam tam giác Al

Gidi:

Đ

Ta có AB = (5; —1), BC = (—1; 3) Vi ¬ x “3 nên hai vectơ AB và

— BỞ không cùng phương, tức là ba điểm A, B, C không thẳng hàng

và trọng tâm Œ nằm trên trục Ox Tìm toạ độ đỉnh C

= (2; 6G) và AB không cùng phương vì = z

63

Gidi:

Ta dùng phương pháp toa dé: dat toa dé cia A, B, >, D lần lượt là:

(a1; a2), Cbị; bạ), (e145 Ga), (dị; da) thì:

Vay AB va CD song song

Vi du 8: Cho hinh thoi ABCD tam Océ AC = 8, BD = 6 Chon hé toa qd

(O; 1; j) sao cho ¡ và j cùng hướng OB và OC

a) Tinh toạ đệ các đỉnh của hình thoi

b) Tìm toạ độ trung điểm I của BC và trọng tâm G của tam giác ABC,

c) Tìm toạ độ điểm đối xứng Ì của Ï qua tâm O Chiing minh A, I’, D

) nên chúng có cùng trung điểm

Vay AD =2AlT' Suy ra ba diém A, I', D thẳng hàng

Ví dụ 9: Cho lục giác đều ABCDEE Chọn hệ toạ độ (O; i › 1 ) tro ng đó Q

là tâm của lục giác đều, hai vecto i vA j cing huéng OD va EC

1, Trén truc x’Ox cho 2 điểm A, B có toạ độ lần lượt là 7, —2

_b) Tim toạ độ trung điểm Ï của AB

c) Tim toa độ x của M sao cho SMA +2MB =0

“HD: Vecơ AB có toạ độ trên trục là xg — xa

ni “Trên trục xÒx cho 3 điểm A, B, C có toạ độ lần lượt là 3, —5, 9

a) Tìm toạ độ trung điểm E của AC

Trên trục x’Ox cho 3 diém A, B, C cé toa độ lần lượt là a, b, c

Tim diém M sao cho xMA + yMB +zMC =0 véi x,y,z cho trudc

Trén truc x’Ox cho 3 diém A, B, C có toạ độ lần lượt là 7, 3, —4

Tim dé dai dai sé cia cdc vecto AB; BC; AB + AC

HD: độ dài đại số của một vectơ là toạ độ vectơ đó

` Cho A,B,C,D thuộc trục A Chitng minh:

- ĐA?.BÖ + DB*.CA + DC? AB + BCGA.AB = 0 HD: Goi toa dd A(a), Bib), C(c), D(d) Cé thé chon D lam géc

Viét toa dé cla cdc vecto sau:

Dựa vào tính chất đối xứng thì có G đỉnh:

A(-6; 0), D(6; 0), BC-3, 32/3),

C, 3.3), F3; -32/3), E@, -3 V3 )

Vi du 10: Cho bén điểm A, B, C, D Gọi Ï và 3J lần lượt là trung điểm củ

b) Gọi G là trung điểm của UJ Chitng minh:

65

Ví dụ 3: Với những giá trị của góc œ (0° <œ < 180”) thi:

<> 0 <a< 90° hay 90° <a< “180°

Vi du 8: Cho tam gidc ABC Xét đấu:

Ví dụ 4: Cho cosœ = —— Hãy tính sina, tana, cota

Chứng raiïinh 2sin15°.cos15° = sin309.,

/q „ /2 sua ð: Cho cosx = io tinh Q = 3sinx + 4cosx

sina+ cosa

Gridize 3S8in &@ — COs a

3sin* a+ 2ccs”

œ _ 3/2 —1

Độ Vì cosœ >—1, Vx nên A/1+cosoœ luôn xác định

cos180ồ = Ở1, tan180ồ = 0, cot180ồ không xác định

Vắ dụ đ: Tinh theo hàm số lượng giác của các góc bé hơn 909:

sini60ồ, cosi70ồ, tan103ồ45', Ưot124ồ15'

Gidi:

sini00ồ = sin(180ồ Ở 100ồ) = sin8oồ

sini60ồ = sin(180ồ ~ 160ồ) = sin?0ồ

cot124ồ15' = Ởcot(180ồ Ở 124ồ15') = -cotB5ồ45'

A= 2sin30ồ + 8cos45ồ ~ sin60ồ

B = 2cos30ồ + 3sin45ồ ~Ở cos60ồ

a) asinOệ + bcos0ồệ + csin90ồ =bee

b) acos90ồ + bsin90ồ + csini&80ồ = b

a)s sinx + cosx khi x bang 0ồ, 135ồ, 120ồ

b) 2sinx + cos2x khi x bAng 60ồ; 45ồ: 30ồ

c) sin*x + cos*x khi x bằng 30ồ; 75ồ; 90ồ; 145ồ: 180ồ

{ dw 10: Tinh: a) cos"12ồ + cosỖ78ồ + cosỢ1ồ + cosỢ89ồ

b) sin?3ồ + sin?15ồ + sinệ75ồ + sinỖ87ồ

Giải:

a) cos712ồ + cos778ồ + sos2lồ + cos89ồ

Ở = 8in 78ồ + cos778ồ + sinỖ89ồ + cosỢ89ồ= 1+ 1=2_

Ởb) sin23ồ + sin715ồ + sin27B5ồ + sin?87ồ

= cosỢ87ồ + cosỢ7Bđồ + sinỢ7Bồ + sin 87ồ= 1+1 =2

i du ii: Tinh: AÁ = cosO0Ợ + cos107 + cos207 + + cos1807

B =sinỢ1ồ + sinỢ2ồ + sinỢ3ồ + + sin790ồ

C = taniồ tan3Ợ.tan5Ợ btan89Ợ

Gidi:

` dụng 2 góc bù nhau để ghép cặp:

= (cos0Ợ + cos180ồ) + (cos10ồ + cos170Ợ) + +

Sử vụng 2 góc phụ nhau để ghép cặp:

= (sin21ồ + sin289ồ) + (sinỢ2ồ + sin788ồ) +

thi 2sinx + cos@x = Zsin45ồ + cos9Qồ = 2

Chon cosx = ———-—— thì sinx = —————

Ví dụ 13: Biét sinx + cosx = m

%

a) Tim cosx khi sinx = =

bo) Tim cosx va sinx khi sinx — cosx =

(uá¿:

5) tan®’a + cot®a = = (han! a + cot*a)” - 3tan’a cot?a(tan*a + cot’a)

= (k? — 2)8 — 30k? — 2) = Œ - 2)Œ” — 4k” + 1)

mà |tan a | + | cot a | guy ra ltan a + cot al >2 hay dk |

dẫn đến tan7a — ktan a + 1= 0

tan a

Vay tan a là nghiệm của Na trình x?—- kx+ =0

—_ nên A=k?—- 4>0 hay |kÌ >

Vy | dwu_15:; Giai cac phuong — sau, trong đó x là Ẩn, còn a là một góc

cho trước: a) xổ — (sina + cosa)x + sina.cosa = O

b) x” — (tana + cota)x + 1 = 0

Cach 2: Thay cota =

Gia:

Ta lập A hoặc biến đổi thành tích số để giải:

la) (x — sina)(x — cosa) = Ö nên xị = Sina, xạ = cosa b) (x — tana)(x — cota) = Ö nên xị = tanx, Xạ = coba

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = cos2x — cos”x + sin7x b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: Q = sin'x — sin7x + cos*x

Giải:

a) P= cos*x — cos’«x + sin’x = cos*x — cos*x + (1 — cos*x)

= cos*x — 2cos*x + 1 = (cos*x — 1)” = sin*x Vậy Ð có giá trị lớn nhat 1A 1 khi sinx = 1, tie x = 90°

-b) @ = sin*x — sin’x + cos*x = sin*x — Qsin*x + 1 = (sin’x — 1)” = cos*x Vậy Q có giá trị nhỏ nhất là 0 khi cosx = 0, tite x = 90°

Mi da i: Đơn giản các biểu thức:

B= vI+cosx.l—cosx =vl—cos? x = Vsin x = sin x| = sin x

Zí du 3: Đơn giản các biểu thức:

Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức: me sin(90° — x) cos(180° — x)

EF’ = cos(90° — x) sin(180° — x) y0

#2 = sin(90° — x).cos(180° — x) = cosx(—cosx) = —cos*x

BE = cos(90° — x).sin(180° — x) = sinx.sinx = sin*x

a) Nếu x là gĩc nhọn thi theo định lý Pitago: sin7x + cos2x = R? =

Nếu x = 0° hoặc x = 90° thì theo định nghĩa:

sin?0° + cos?0°=O0+ 1 =1

sin“90° + cos?90°= 1+ 0=1

n°X + cos*x = sin”t + (—cost)” = sin*t + cos*t = 1

i dụ ð: Chứng rạinh cơng thức hơn kém 907

d) cot(x + 90°) = -tanx

_ Giải: |

5) sin(x + 90°) = sin(180° — G + 90°)) = sin(90° — x) = cosx 4) cos(x + 90°) = —cos(180° — (x + 90°)) = —cos(90°—x) = —sinx

a) sin(x + 90°) = cosx c) tan(x + 90°) = —cotx

‘Vi du 6: Chứng minh: a) (sinx + cosx)® = 1 + 2sinx.cosx

c) sin*x + cos*x = 1 — 2sin x.cos2x

Gidi:

(sinx + cosx)” = sin’x + cos’x + Zsinx.cosx = 1 + 2sinx.cosx

25 4 cos’x — 2sinxcosx = 1 — 2sinxcosx (sinx — cosx)” = sin

sin*x + cos“x = (sin*x)? + (cos*x)? + 2sin®xcos*x — 2sin’xcos*x

: Ví dụ 2: Chứng rainh: a) siax.cosx(H + banx)(Í + cotx) = 1 + 2sinx.cosx

b) 1 — (sin®x + cos®x) = 3sin*xcos’x

= sin®x + cos°x + 3sin^xcos2x(sin”x + cos’*x) — (sin®x + cos®x)= 3sin*xcos*x