BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN HÌNH HỌC - Dònh cho Hậ lớp 10 ôn tập & nang cao kĩ năng làm bời
- Chuổn bị cho các kì thi quốc gia do Bộ GD&.ĐT tổ chức
Trang 2
Vắ dụ 21: Cho hai diém P, Q nằm ngoài đường tron
Vẽ đường tròn ( bất kì đi qua P, Q Chứng mình rằng trục d phương của (ử) và ( đi qua một điểm cố định
Gidi: (Cc)
Goi (ẹ) là đường tròn cố định có tâm O
va di qua P, Q Do I không thuộc đường
trung trực của PQ nên trục đẳng phương A của (¡) va (I) không song song với PQ, chúng phải cắt nhau 6 J Giả sử ( là đường tròn bất kì đi qua P Ể) cố định với TP z và Q, ta có jJ thuộc trục đẳng phương PQ của (ẹ) va (@) nén: ẹy,ằ)=6 TG) Ma J thuéc truc dang phương Ủ của Ce) va (I) nén: Cs@)= PUD
Do đó: 2? xo = P sp, hay J thudc truc dang phuong cua (@) va (1): dpcm
Chi ầ: Diém J là tâm ding phuong của ba đường tròn trê ên
HAB bằng nhau
Giả:
Goi R, Bị, Ra, Rs lần lượt là bán kắnh các đườ ng tròn ngoai tiếp các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB Áp dụng định lắ sin trong tam gidc ABC, HBC Ở Ở=2R=R = ỞỞỞ sinA | 2.sinA a 2R>R = 5 sin BHC 2 sinBHC Mà 2 góc AÁ và BHC bù nhau nên sinA = sin BHC => Ri =R Tuong tu Re = R, Rg = R # Lt, 2 an cde c bán kắnh của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, HBC, HCA, HỆ Vắ dụ 2: Các đường cao AA', BB, CC' của tam giác ABC c&t nhau tại HH Chứng minh HA.HA'= HB.HB' | Ga bi: / Tứ giác ABATH' nội tiếp trong đường ờ: đó: suy ra = HC.HC' 2 9 Ộ OF? = R* Ở 2Rr 3 ^ z 2 A
greg ) sete "3 anne on T ệ #ậ 7 ỘTY ae Ộet SOK WEEE BG Đá Ộng re R I KHLLV Fa CÀ ad VLC, va ao UiẲ{/ = 2TV81 inỞ sy hộ 6Ế Bs Ởs TT ae số SE Ừ tS a OU a 2% oR Ệ as ặ ằ % Ys 3ẹỢ iv i fot 5.33 EE #2 - + pe cố Ộern = BAY = A ours +Ừ2 2 Vel ob j PA T == 7ì chỪ ^ (CTL 24c VỆ == Dy 2 ĐHỆ W4 cỞm ng 3% C3 V 5iả1 ỞỞ Lak & ss - at TL, 4 biad?ver cr or TA q Wee ay ee cee AR al ỳỞ Ộs Ư3 L77ự1ử ming Vane: ứ VÌ = ; a L ặ2 ặỂỂĐ9 #3 ẹ D CO5 ẹ ẹ S31 ÔỐ 22/02 4# 6Ế La CO SABC ` 2 ~~ & == RURFA OMAR rT MeMAGC Xở ~ SRR AS 4 Ộ = A + A 1, Ane By FR ee Ẵ 3 cơ 3S NNG fs VI meg oe yy ặ3 => Ởoc = ỞAV.c.sing + > AM b.sin(90Ẽ Ở Ủ) as és Ấ 8 RỂ : 3 => be = AM(esina + bcosa) Si
Vắ dụ 5: Cho tam giác ABC Chứng rainh rằng điề
Trang 5OM.ON = OPỢ = EBồ
b) Ba điểm i, FE, O 2 thể ng hang k khi ồ trùng với dj hay ÀƯJ = KR Do đó : OÀ.OB =OM.ON
Do AJ.AD = AAỖ nén AAỢ = 2R hay AA'= R2 Suy ra hai tam giác ONGH, Đà M Mt dong dạng nên góc ONB = 90ồ
Vắ dụ 16: Cho hai đường tròn (O; R3 và (O'; R) không có điểm chung, và ở Do A cố định, R là hăng số nên B cế định
là trục đẳng phương của chúng Gọi I là raột điểm thay đổi trên d Từ ỉ Vì vậy tập hợp điểm N là đường zh ron đường kắnh OH
kẻ các tiếp tuyén IM, IN, IMỖ, IN' téi hai dudng tron - 1-22 ce foe ee oe + ; yt ^ ` * 4A Ẹ Đ) Ta c6 Pyyo,) = Ộ4O, = = MP? nên MB là trục đẳng phương của (O¡) và (O2)
a) Chứng mình ane điểm M, N Ừ M,N năm trên đường tròn có lâm : Gọi C là giao điểm thứ hai của (Ơi) và (O;) ta có C thuộc đường thẳng
I, ta kắ hiệu đường tròn dé la (1) | _ MB và MB.MC = MP? = MN.MO Suy ra bốn điểm B, C, O, N thuộc
b) Với điểm Í _mãm trên d tương tự có chàng tròn () Chứng mình Tông đường tròn đường kắnh OB = đpem
Ừạ thane OO' 1A trục đẳng hương của hai ổi Ộan (1) va (1 :
điểm cố định xã ? He qua P cat (O) tại hai diém A va B Cac tiép tuyén cua (QO) tai A va B
` hệ ee | cat nhau 6 M Ke MH i PO
a) Ta cé P yo) = IM? = IN?, Py pe 2 67 ớ MAO =e - IN? | b) Chứng minh rằng H là điểm cố định khi đường thẳng PAB tha ay doi, a) Chứng mình rằng năm điểm O, A, B, M, H nam trén mot đường tròn
Vi M nằm trên trục đẳng ph tượng của hai đường tròn (Ở) và (O) nên ; từ đó suy ra quỹ tắch của điểm M
2 MG) Ỏ 2 MoỈ, Suy ra IM = IN = IMỖ = INỖ Vay bốn điểm M,M,N c) Gọi I là trung điểm của AB và N là giao điểm của MỸ với AB,
N' cùng nằm trên đường tròn (D Chứng minh rằng PA.PB = PIL.PN; IP.IN = IAỖ
b) Ta cé: o8) = Foy = R7 | | Gigi:
Tuong tu Pom = Pow) = Rệ - a) Ba điểm A, B, H đều nhìn đoạn thẳng MO dưới góc vuông
Vậy đường th hang QO' là trục đẳng phương Ạ của hai đường tròn (1); (7) cho nên năm điểm O, A, B, M, H cùng nằm trên một Ậ
cì: Gọi H là giao điểm của đ va OOỖ | | đường tròn (C)
Vì hai đường tròn (O) và (O) không có điểma chung nên H nằm ngoài (Ở) bỳ Phương tắch của ĐP đối với đường tròn (C) là / +
và (O) Néu IM là tiếp tuyến cua (O) thì: IM" = = 10? Ở R* > IOỖ ~ OH? > IHỢ PH.PO = PAPB Nhung PA.PB khéng déi af Lb
Vay IM > TH Suy ra đường tròn ( cắt OO' tại hai điểm P, Q Chọn (bằng phương tắch của P đối với đường tròn P ~Vo )
đường tròn (ỳ) cố định thì d) cũng di qua P, vi () va (ỳ) cố trục (O)) Vậy H là điểm cố định Quỹ tắch M là XS
đẳng phương là OO' Vậy raọi đường tròn Ể) luôn luôn đi qua hai điểm đường thẳng A vuông góc với PO tại HH
cô định P, @ c) Vì OIE 1 AB, MH IL PO nên tứ giác OINH nội tiép đường tron: Suy ra
Wi dụ 17: Cho đường thẳng d khéng cit đường tròn (O; R) Kẻ OA vuông PI PN = PH.PO Nhưng PHPO=PAPB nén: PA.PB = PILPN
góc với d, Xét điểm M đi động trên d MP và MP' là các tiếp tuyến với _ Vi PA = PI-IA, PB = PI+IB=PI+IA
(ẹ) PP' cắt OM và OA theo thứ tự ở N va B nén PA.PB = (PI Ở IA)(PI + IA) = PIỖ Ở 1AỖ
a) Ching minh rang: OA.OB = OM.ON = R? Ty suy ra điểm B cố Ở> pl? Ở IA? = PLPN = PIỖ Ở PLPN = IAỖ
định Tầm tập hợp điểm N Ở> PI(PI - PN) = LA? Vay PLIN = IAỖ
b) Gọi (OƯ) và (Oz) là các đường tròn đi qua B và lần lượt tiếp xúc với Vắ dụ 19: Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R) với ỳÌ là giao
(O) tại P và P', Chứng minh rằng giao điểm thứ hai C của (O;) và điểm hai đường chéo AC và BD Đặt AB = a, BƠ = b, CD = c, DA = đ,
(Oy) năm trên đường tròn đường kắnh OB MS _Ở AC = x, BD = y va géc AID = a Tit C vé đường thẳng song song với
Giải: NT oS BD, đường thẳng này cắt (O) ở E
Trang 718 Cho tứ giác lôi ABCD, gọi 1l, j là trung điểm AC va BD Hp a 2 f 2 "yd ~ ể a) (Chứng mình: ABỢ + BC? + CDỢ + DA? = AC? + BDÊ + 4122 ra di rà đủ để
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để một tứ giác là hình bình hành
14 Hình thang ABCD có hai đáy AB = a, CD =b, 2 cạnh bên
AD =c, BC = dva 2 dudng chéo AC = p, BD = q
Chitng minh: p* + 9% = c* + d? + 2ab
e `
HUD dung dinh lắ cosin và chú ý hai góc cùng bù nhau
tam giác ABC có a +c= 9b
b2 | | hed
rsd 2A a ey + `
16 Tắnh diện tắch tam giác ABC trong mỗi trường hợp:
a)a=5,b= 7, C=i85ồ % bba=2,b=8,c=4 C) Ạ = 30ồ, B = 120ồ, c= 12 DS a) 2592 4) ầ185 joes = oy a ồ 6./3 4 A 20v 1⁄, Cho bara giác ABC với A = 605 bán kắnh đường tròn ngoại tiếp bằng " v3 và bán kắnh đường tròn nội tiếp bằng v8 Tinh S va chu vi tem giác DS S=10V3, 2p = 20 18 Cho tam giác ABC Chứng n minh: h,h,h, = 8Rồsinệ Asin? Bsin? C HH) dùng định lắ diện tắch, định lắ sin 2 2 3
19 Cho tam giác ABC Chứng mình: S= + _ỞỞ_.1
3 cot A + cotB + cotC 4
fe - ồ oy ồ + 5
20 Cho tam gidc ABC Ching minh: S = 7 (a2 sin 2B + bỲ gin 2A)
apg re LA a ồ a 2
21 Các đường phân gidc trong của rnột tam giác ABC kéo đài cắt đường tròn oe ng
ngoai tiép tam gidc ằ cac diém L, M, N Ching minh: Sutin = 4 5 P- R
22, Cho một điểm M tuỳ ý ở trong một tam giác ABC Đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt BC, CA, AB tai AỖ _B, CỖ
Ching minh: ỞỞỞ+ Me + Me =] AA BB` CC!
HUD ding ti sé dién tich
23 Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên cạnh BC
Dat BAM = ề,CAM =8 Ching minh: AM =e Sin(@ + C sin Ủ + bsin B Hs Cho bam giác ABC Chứng mình các bất đẳng th 2 +-
_94 Các đường phân giác trong của tam giác ABC cất các cạnh đôi diện bại
các điểm Ay, Bi, Ci
Tim dién tich A,B,C, theo a, b, c vA dién tich S cua ABC _ HD dùng tỉ số điện tắch a) a? +b? 4% < 2(ab+ be + ca) b) aệ : 6 , da b lại ww cw : _ a ^ =Ởe) Sư b + < 9 a) : +~ Ở + 23 | b+c c+a a+b b+c=a c+a-b a+b~ece e) (a+bỞc)\(ồỏ+ecỞa)e+aỞb) < abe Đ H + 1 ỷ` 34.3, 2 + + aon be Ộp-a p-b p-c a b ec HD Dùng phép so sánh và bất đẳng thức Cési sẽ Cho tam giác ABC có cạnh a a <b<c Chứng mình: J1 Í 1 a) b(Ở+Ở)+Ởfate <(Ở+-\ate) a cb a ec b) hạ +- by a Be Ở.- -_-Ở Dy h, , Ba | h, bh, wb, ~ h, h, he ce) ab(bỞc)+b3(cỞa)+c%(a Ởb) <0 d) (a+b+c)? <Sbe
MD dùng biến đổi tương đương
7 Cho tam gidc ABC Ching minh bat dang r+b+e b) hi, +h, +h, 2 9r 47 Ẽ thú Set 3 a) qgierb+o<m, +m, +m, <a+ c) a? +b? +c? < OR? d) at +b* +cằ* > 16SỢ
28 Chứag minh tam giác ABC cân nếu:
sm 8 = 2cos b) sin Acosệ B = sin Bcosệ A
sin A
29 Ching minh tam giác ABC có góc 1202 nếu đồng 3 cạnh J3, M2, C6 Ở ⁄2)/ 2
30 Ching minh tam gidc ABC déu nếu:
dang với tam giác có Ởrrereeiirexerererrrrmrrmremmr TT EY 8) b+ec-a b) m =ỞỞ= mã Ỏm a b_ c 4sinBsinC=3 31 Trong các tam giác có chu vi cho trước thì tam giác nào có điện lớn nhất?
HD dùng công thức Hêrông và dùng định lắ diện tắch
39 Cho tam giác ABC và đường tròn CV) Tìm M thuộc (CV) để tổng bình #ừ M đên 3 đỉnh tam giác bé nhất
Trang 10
"Vi dụ 1 Viết phương trình tổng quát của:
a) Đường thẳng Ox b) Đường thang Oy
Ởe) Các đường phân giác của góc xOy _ YA | Gidi: N ⁄ ` & -a) Đường thẳng Ox đi qua gốc O và cé VT 1 =(0; 1) nên có phương trình: | ` Of Ở 0) + l{y - 0) ẹ y =Ô |
b) Dudng thang Oy di qua géc O va cé6 VIPT i = (1; 0) Ở nên có phương trình: I(x - 0) + 0(y-0)=0<x=0_
e) Phân giác của góc phần tư thứ I, II đi qua gốc O và hợp với trục hoành góc nhọn 45Ợ nên có hai phương trình:
= (tan45ồ).x=xeox-y=0 ẹ và y = (tana135đồ).x = Ởx ẹ x + y = ỷ
Vi du 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Di qua M(x,; y.) và song song với Ox b) Di qua M(x; y,.) và vuông góc với Ôx c) Di qua M(x; y,) khac géc O va diém O
Giải:
a) Đường thẳng di qua M(x; y,.) và song song với Ôx cố VTPT j = ẹ; 1) nên có phương trình: 0( Ở xe) + l{Ữ Ở yo) = ỷ ẹ y Ở yo = O véi điều
kiện M ềặ Ox <> yạ z 9
b)ạ Đường thẳng đi qua M và vuông góc với Ox có VIPT ¡ = (1; 0) nên có phương trình: 1% Ở xe) + 0.Cy Ở yo.) = 0 ox-x, =0
c) Đường thẳng OM di qua O nên có phương trình dạng: ax + by = 0, aồ +bỖ #0
Dudng thang qua M(x, y,.) nén ax, + by, = 0
Chon a = yo, b = Ở x, thoa diéu kién a? + bể = x Ộ+ ya #0
nén cé phuong trinh: yox Ở Xoy = O
Vắ dụ 3: Cho hai điểm Mi(x1; yi) va Molxe; yo) Lap phương trình tổng
quat cua:
a) Đường thang qua My, Me È
b) Đường trung trực của đoạn thẳng M:MƯ,
Gidis
VTCP: uc = M, MM, = (xe Ở Zi, Yo VỊ)
Trang 11Ở YY Xo Ở Xy Yo Ở ầi1 b) Đường trung trực của MịMƯ; di qua trung điểm M, [= + Xe yị ty | | 2 2 và có vectơ pháp tuyến là M,M, nên có phương trình: X, +X ' (Xa -x)(x- 22%) 0, -yp[y-Ộầ2) O J 2
hay 2(X2 Ở XỊ)x + 2(yaƯ Ở Vl)y Ở xã + xi + Vắ Ở Vs = 0
Vắ dụ 4: Chứng mình rằng đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) voi a # 0, b # 0 cé phương trình theo đoạn chắn Ế ta =1 a " _ Giải: 3 AB = (-a; b) nén vecto n = (b; a) vuéng góc với AB là VTPT Đường thẳng cần tìm có phương trình b(x Ở a) + a(y Ở O0) =Q hay bx + ay = ab x Chia ca hai vé cho ab ta duoc Ở + =], ` a ob
Vắ dụ 5: Cho đường thẳng A có phương trình Ax + By + C = 0 va diém | M(xo; yo) Viết phương trình đường thẳng di qua M, va:
a) Song song với đường thẳng A b) Vuông góc với đường thẳng A
trở: a) Acé6 VTPT n = (A; B)
Vi A'//A nén chon VTPT n'=n =(A;B)
AỔ: A(x Ở x4) + Bly - y,) = 0 <> Ax + By Ở (Ax, + By,) = O
b) Vi A" Anén chon VTPT n " = (B; ỞA)
A": Bx Ở x.) - Ay Ở y.) = 0 <= Bx Ở Ay Ở (Bx, Ở Ay,) = 0 Vắ dụ 6: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng
a) d qua M(3; 4) và có vectơ pháp tuyến n = (Ở2; 1) b) d qua M(2; Ở-3) và có vectơ chỉ phương a = (4; 6)
Gidi:
a) Đường thẳng d đi qua M(3; 4) và có vectơ pháp tuyến n = (Ở2; 1)
Phương trình tổng quát của d có dạng: Ax + By +ẠC =0 Thay A = -2; B = 1 vào ta có: -2x + y + =0 Med>-64+4+C=0>C=2 Vậy phương trình tổng quát của d là: +2=0 hay 2x-y-2=0 p) Đường thẳng d đi qua M(2; -3) và có vectơ chỉ phương a = (4; 6) nén VTPT n = (6; Ở4) hoặc (3; -2) : 3(x Ở 2) Ở- 2(y + 3) = 0 Phương trình tổng quát cua d la: 3x - 2y - 12 = 0 Vi
du 7: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) qua A(2; 0) va B(O; Ở3)
b) qua M(-5; -8) và có hệ số góc k = -3
Gidi:
a) Phương trình theo đoạn chắn : si nn =] o3x-2y-6=0 b) Phuong trinh theo hé sé géc: y= kx +m = -3x+m
Đường thẳng qua M(-5; Ở8) nên -8 = lỗ +m Ở=m = -23 Do đó phương trình tổng quát: y = Ở3x Ở- 23 = 3x + y + 23 =0
Vắ du 8: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d a) Qua M(-1; Ở4) và song song với đường thẳng 3x + đy Ở 2 = 0 b) Qua N1; 1) và vuông góc với đường thẳng 2x + 3y + 7 = 0
Gia:
a) Vectơ pháp tuyến của d cũng là vectơ pháp tuyến của đường thang
3x + đy Ở 2 =0 nên phương trình của d là: 3x + 5y +ec= 0Ô Vì đ đi qua điểm M(-Ở1; -4) nên Ở3 Ở 20 + c= 0 =>c= 23
Vậy phương trình tổng quát d: 3x + 5y + 23 =0 7
b) Dudng thang d vuông góc với đường thẳng 2x + 3y + 7 = 0 nên lay VTCP
(3; -2) làm VLEPT' của d
đ: 3(x Ở 1) Ở 23(y Ở- i1) = O0 <> 3x Ở 2y - L=O
Vắ dụ 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d:
a) Qua hai điểm A(2; 1), B(-4; 5)
b) an Nn e) x-5 _ ytl
y=2-t Ở2 7
Gigi:
a) d qua A, Bnéncé VTCP AB = (-6; 4), chon VIPT n = (2; 3)
Vậy d: 2x Ở- 2) + 3(y Ở 1) = ỷ <> 2x + 3y-7=0 b) đ qua I(-3; 2) và có VFCP u =(5đ;-1) => VTPTn =(1;5) Vậy ở: 1(x + 3) + 5(y Ở- 2) =O<>x+đ5y-/=0 Cách khác: Khử tham số của hệ: x+5y=-34+5ằ4+52-t)=7>x+5y-7=0 x-5 yl 47
; Viét phuong trinh tham số của đường thang qua
Trang 13Vắ dụ 16: Lập phương trình tham số, chắnh tắc, tổng quát của đường | thẳng: a) qua A(Ở4; 1) va B(1; 4) b) qua A(4; 1) va BC4; 2) ' Gidi: ỞA a) VTCP AB = (5; 3) nén cé phường trình tham số Jx=-4+õi y=l+8t Vì a, b z O0 nên có phương trình chắnh tắc xá =# 5 t VTPT: n = (3; ~5) nén cé phương trìnH tổng quát: 3(x + 4) Ở 5Ạy Ở l1)= O <> 3x - ỗy + 17 =0 b) VTCP AB = (O; 1) nén cé phuong trình tham số ụ : v=1+ Lat Vì a= VTPT n = (1; 0) nén cé phương trình tổng quát: 1x - 4) + 0(y Ở 1)=0<>xỞ-4=0
Vắ dụ 17: Cho điểm A(Ở5; 2) và đường thang d: O nên không có 6 phương trình chắnh tác
x3 a ỘTT -#Ởồ 3 Viết phương -
_2 `
trình đường thẳng d':
a) qua À và song song với d, b) qua À và vuông góc với d (tú: a) dcó VECP u = (1; -2) cũng là VFPCP của đi Vậy d: x+5 = y-2 1 _2 b) dđ vuông góc với d nên có VEPCỂP là (2; 1) ~ =4 Ở Vay, X?9_.vy =2 2 1
Vắ dụ 18: Viết phương trình các đường trung trực của tarma giác ABC biết
M(-1; 1); N1; 9); P9; 1) là các trung điểm của ba cạnh tam giác
Gidi:
Gia su M, N, P theo thứ tự là trung diém cia các cạnh AB, AC, BC của
tam giác ABC
Ta có: MN =(2;8), NP = (8; -8), MP = (10; 0) thường trung trực của canh BC di qua P
và nhận MN làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 9) + 3Ể - l1) = 0 hay x + 4y - 13=0 a được phương trình các đường trung trực của các cạnh AP, lượt là: x Ở y + 2=O0,x-Ở-1=0
Vi du 19: Một đường thẳng đi qua điểm M(5; Ở3) c&t truc Ox va Oy tai A và B sao cho M là trung điểm của AB Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đó | Giai: Gia si A = (a; 0), B = (0; b) Vi MG; Ở3) 14 trung diém cia AB nén: p= 240 30+ 2 2 42 10,b=-6 Phuong trình của đường thang di qua A, Bla 1o + 5 =] hay 3x Ở 5y Ở 30 = 0
Vắ dụ 29: Cho điểm MỚI; 2) Hãy lập phương trình của đường thẳng di
qua M và chắn trên hai trục toạ độ hai đoạn có độ dài bằng nhau
Gidi:
Xét d qua gốc O thi d: y=kx > y = 2x 4
Xét d không qua gốc O thi a, b + O NI
d: ~ +2 = | 2 oo
Theo giả thiết thì la| = |b| LY | -
Nếu b = a thì d: x + y = a LO O 1 AN |
Vid qua M(1; 2) néna=3dod6d:x+y=3 Néu b = Ởathid:x-y=a
Vì d qua M(1; 2) nên a = ỞÌ, do đó xỞ Ữy = Ởỳ
Vậy có 3 đường thẳng: 2x - y =0,x+y-3=0,xỞ-y+1=0
Vắ dụ 21: Viết phương trình đường thẳng đi qua M2; 5) và cách đều hai điểm P(-1; 2), Q5; 4) \M d Giai: I~ Xét d/⁄/PQ thì thoả mãn cách déu P va Q | " x=2+3E J \ON
VTCP PO = (6: 2) nên đ: y=ort ` pỞỞỞA \ đ' >Q
Xét đ' không song song với PQ, để d cách đều P, Q thì đ đi qua trung điểm 12; 3) của PQ
VTCP MI = (0; Ở2) nén d': {os
y=5-2t
Vắ dụ 232: Đường thẳng d: 2x Ở- y + 8 =0 cắt các trục Ox và Oy lần lượ các điểm A và B Gọi M là điểm chia đoạn AB theo tỉ số -3
phương trình đường thẳng di qua M và vuông góc với dở
Gigi:
Cho x=Ó Ở> y= 8; y=0 => x= -4 Do dé A(-4; 0), BO; 8)
Trang 15Vắ dụ 1: Xét vị trắ tương đối và tìm giao điểm nếu a)2x-5y+3 =0 và5x+2y-3=0 b)x-3y+4=0 va 0,5x-1,5y+4=0 c) 10x + 2y-3=0 và đx+y-1,5=0 Giải: 2 Ở=đ
a) Ta có: 5 z > nên 2 đường thẳng cắt nhau
Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ ! 9 2x-đy+3=0 ye ề |*~ 39 29 5đx+2y-3=0 _ 21 29 vay hai đường thẳng cắt nhau tại ¡ MS 2.41 Ệ (29Ỗ 29 1 -3 4 | os b) Vi 05 = ỘLs zặ q nén hai đường thẳng song song 10 2 -3 nea | c) Vì Ở=_Ở= nên hai đường thẳng trùng nhau 5 1 -1,5 | Vắ du 2: Xét vị trắ tương đối và tìm giao điểm nếu có của cặp đường thẳng: x=-1-5t =Ở Ộ aa: y=2+4t va d': * 6+ 5E y=2-4t' x=1-4t b) d: ĐT an và ở: 2x + 4y - 10 =0 a d': | Ở = Íx = Ở9 oc) die FTE và a,x y3 y=u2+ 2t 1 Ở2 Gidi: Ta chuyển các đường thẳng về dạng tổng quát a) d: 4x + 5y -6= 0 và đ: 4x + đy + 14= 0 đa có: Tra nên d, d' song song b) d:x+2y-5=0;d': 2x+4y-10=0 pa co: 2-2 5ồ 4" Ởệ non a aỖ tram cho , hg nhau, h c) d:x+y-2=0Ovàd:2x+y-3=0 frend z 1 a ⁄ Ta có 5 x 1 nên đ, d' cắt nhau ụ điểm là nghiệm của hộ:| Ix+y-2=0 2x+y-3=0 có của 2 đường thẳng : <= y=.Ỗ ay I(1; 1) x= Vay Id: 1 db) d có VTCPu = (1; 2); Vi du 8: Xét vị trắ tương đối và tìm giao điểm nếu có của 2 đường thẳng: =4Ở9t =8+6t' a) d * và d': * y=B+t y=4-ảL =đõ+t Ở 7 b) d:4Ỏ y =-3+4 2t va dgỖ: STS 2 a UES 3 | =5+t | , ai} Vy: ợ và d':ix+y-4=0 Gidi: -a) đ qua A(4; 5) và có VTCP u = (-2; 1) đ' qua A8; 4) và có VFCP u' = (6; -3)
Vì hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đã cho có cùng phương nên hai đường thẳng đó song song hoặc trùng nhau Mà ÁÀ không thuộc
đ' nên 2 đường thẳng song song
đ có VTCP u '= (2; 3)
Vì hai vectơ chỉ phương của chúng không cùng phương nên 2 đường thẳng cắt nhau
_ỘB+t-4 -3+2t+7
Thế x, y theo ặ vào phương trình d: 7 = 5 => E=Ở5
Vậy giao điểm là M(0; Ở13)
c Thếx =5 +t,y=Ở1- È vào phương trình d:
(54t)+Ci-t)-4=0<0.t = 0: ding véi moi t
_ Vay 2 đường thẳng trùng nhau
Vắ dụ 4: Biện luận theo tham số m vị trắ tương đối của hai đường thẳng: Ộmx+y+2=0và x+ my +m_Ở1=0 Giới: 2=0 rnax + Ữ = Ở2 Xéthệ 4X J7 = yee x+my+m-1=0 x+ my =Ởm + Ì Ta lập các định thức: D= =m*Ở1=(m- i)(m + 1) 1m 1 Ở 2 | D, = | =m+1l m -m-+l D, = =-mỘ +rn+ 2= -(m + l)Ểm - 2) jl Ởm +i}
Vậy: Nếu m # 1, m # Ở1 thì D z0: hai đường thẳng cắt nhau
ứếu m =f?:thì D =0, DẤ z 9: hai đường thẳng song song
thi D = D, = Dy = 0: hai đường thẳng trùng nhau
Trang 16
Vắ dụ đ: Với giá ýrị nào của tham sế ra thì hai đường thể | ể |
ts mae on Oe = NƯẢ , SLA KSÃ, slice tie set) ặ8h weed al OtTOI)ử thang Sau In: va A à là ae > 2 ` xã
BÓC Ai:rnx +y + 8= Ô và As:xỞy +m=0 ie i = v ^2: X 3 m= & MONS SAL GAY NUON Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Ax + By + C = Olan (A; B)
> 5 -
X3, Vay dé hai đường thẳng song song trước hết cần có M,M, =O
G20: Ay 8 8 ite
Ai có vectơ pháp tuyến là n, = {m; 1) > A(xƯ Ở xị) + B(ya Ở y¡) = Ôỷ
As có vecbơ pháp tuyến là nẤ 2 04 A) <> Ax; + By; = Axe + Bye <> Ax, + By + C = Axo + Byo + C |
, mo Mặt khác, điểm Mj(xi; yy) khôn nằm tr ên Ax + By + C = 0 nên
đa có Ai L AƯ << n,.n, =0 J1=0 7 ầ _
x4 _ n8 Am ỞỞỞ Axi + By¡ + C #0: đpcm |
vi du 6: Tìm ma để ba đường thẳng sau đây đồng quy: | 2 op os ỞỞ Ấ|xg=93-8t Be oe
di: Ox 4yvỞ4 l: 2# ty =4 =0; do: đx Ở 4y + 3 = 0; dạ: mx + ảy - 2 = 0 = : Cho đường thắng d có phương trình tham số | : co TỐ CƠN cà = | và B2; 1) ắ
Toa dé giao diém của d; vA de 1A neh; Lae a) Tim toạ độ giao điểm của d với hai trục Ox và Ôy
2 GC G2CỉH của dị và dạ là nghiệm củ ~ ? BENG TH CUA AE é b) Tim trén d diém M sao cho đoạn BM ngắn nhất
5 |
Zk +y = 4 i 6 - 5 98) : a Gia: _
5x Ở2y =-3 =1 2G Vay tS: 3) a) Choy =0 > t=0>x=2: a cit Ourtal MG, 0)
h iy = aN $ h - 2 ⁄ 3 eee ? :
7 9 nà Chox=0=t= 2 y= 5:d oft Oy tai N(; 5)
tl ort Fl Bae Seth ars a BS - oe + | & Cy, C1, Ca, Ag, cg do ụ guy Ữa phải có ỳ 1 thuộc dạ Ạl tO@j>ẹ Livy Ca Xổ Ề b) ViM e đ nên toạ độ của M có dạng (2-3; t) A A 2 + ặ SS yy po Ở= 9 Ở ử ee , | Ở : ` vả | 7 om rye se ems 12, BM = (Ở3t; t-1) va d' cd VPCT u = (-8; 1) | a oe GAR) es, 1 2, c X =X, +ct' Ta có: BM ngắn nhất o> BM Lu @9t+t-1=O0ct=- nang dị 4 wa dy: : Ở | | | | 10 Y =Ữ¡ +ồt (Y= Vo +rdt 17 1
(#1, X 1 là các hãi AY To GIA Trân nhac 7 a2 ể Vậy điểm M
G 1 me 7 yo la các hăng SỐ) Tìm điều kiện của a, b, c, d để hai đường J lộ: a): |
cn Ings G1 Va Os: | '
2) (ise whe 3 cM , hả ẤÒ.JX x=8+9tL x=Tt
a; al nnau b) Song song Vắ dụ 10: Cho hai đường thắn
c) Trùng nhau ho lê) D) Vuông góc 23 LOLS Cc VCl NOaAw với nh ST 5 ly=~4+t ~ y=-10+t >
Giỏi: a) Viết phương trình tổng quát của mỗi đường thẳng trên k ee _ 7 dị đi qua Maa; y1) và có vectơ chỉ phương u (a; b), dy di qua Mo Xo: yo) by Tim giao điểm của hai đường thẳng z : " eee | Gidt: cé vecto chi phuong v ` d) | 1, pdt sẽ )ạ Khử tt hệ ph trình J ~ 82 dug
) dy cét d a 7 ad xứ È trong hệ phương trình ba QƯỢC:
a) dị Cất dạ Lea va vo ông cùng phương <= ad Ở bc ề O a eee 5 ly =-4+t oo
b) di/ dz u,v cùng Ừ phuone va MiGa; ype de xỞ3
<ẹ> ad Ởb 7 =y+4hayx-2y-11=0
| Ầ ad Ở be = 0 va d(x Ở x2) # e(y1 ~ yo)
c dị =dạ ẹu và v cùng phương và Mi; vị) Ủ dạ _ Tương tự đối với đường thang thit hai ta duge x - y- 10 = 0 <=> ad Ở be = 0 va d(x; Ở x2) = ely: Ở yo) b) Giao diém hai đường thang đã cho là à nghiệm của hệ: -
d) dị Lda ẹu Lv @ac+bd=0 JxỞ2y 11 =0 ẤJx=Đ9 - a
tan 8: Cho đường thẳng d di qua hai diém phân biệt MỂm; y1 và MaGỂe; ya) Ọ x-y-10=0 z ca - iy=-l Ly |
Chứng minh rang điều kiện cần và đủ để đường thang Ax + By + C = 0 Vậy giao aiém la 1(9; =1) Con f+~
song song véi d la: Ax 8 8 1+ Đyi + C = Axa + ByƯ + C #0 = Ủ Cách lhác: Xét hệ | - ể a J3+2t=t ini ee I2t-t' _ =8 |t=3 ồ _
Giai: [-4+t=-l0+t \t-t'=-6 [t'=9
Trang 17a) Tìm điểm M nằm trên đường thẳng đó và cách điểm A(O; 1) một khoảng bằng 5 b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thang đó đối VỚI đường thẳng xx+~y+l=Qẹ ` tái: a) Điểm M thuộc đường thẳng đã che nên M =(2 + 2t; 3 + t) Ta có: AM = 5 J(24+2tỞ0)? 4#34+t-D2 =5 %14+20 +(31 26.92 Bt + 18 AT = 0, <>Ật= Í hay ằ = = Vay có hai điểm M (4; 2: va M' = b) Thé x = 2 + 2t; y = 34+ +t vao phuong trinh: x+y+1=0 24+ 2t+3+t+1=O0ot=-2.Dod6x=-2;y=1
Vay toạ độ giao điểm N = (-2; 1)
Vắ dụ 12: Cho hai đường thẳng: ỉ
Ai: Ểm + 1)x Ở 2y Ởm Ở =0; ỘAi x +(mỞ Dy Ở inỢ 0
a) Tim toa d6 giao điểm của Ai wa Ao | | 2
b) Tìm điều kiện của m để giao điểm đó nằm trên trục Oy il tát: a) Tacé: pm?! 2 =m2+ 1 1 mm Ở Ì Ở2 Ởm Ở Ì _ _ 9 2 De= | _m? = 3mếỞ Í Ởm ỞÌ rmm+Í 3 2 D_ = =mồ +m* Ở m Ở Í Ỷ m 2 1 _ 2 4,* Ợ A ` Ở vỘ | 2 Vi D =m" + 1 # 0 véi mọi m nên A, va Ag luén cdt nhau vA giao điểm I [ D, 3mỖ*-1 HH của chúng có toạ độ : D m+1 [yỞ Ty - mÙ + Ởm =1: | D m? +1 3mỢ Ở1 20 4 | b) Te Oyo TT ỞỞ=0ẹ8mồ~1=0 em =+-7Ở mế +Í 3
Vắ dụ 13: Lập phương trình của đường thẳng d đi qua giao điểm của hai
đường thẳng 2x - y +5 =0, 3x+ 2y Ở 3= 0 và thoả một trong các điều
kiện sau: | |
a) d di qua diém A( 3; Ở2)
b)d cùng hương với đường thẳng x + y+ 9= 0 ng góc với đường thẳng x + 3y +1 =0 1+3 8+2 | đ cùng phương với đường thẳng x + y + 9= 0 nên phương trình của d Gidi: 2xỞy+5=Ô = =Ởl
Toa dé giao diém MỂx; y) là nghiệm của hệ: Ổons +2y-3=0 y=3
Vay ta cé giao diém M(-1; 3) |
d di qua hai diém A(3; -2) và M(-Ở1; 3) nên có phương trình là: " - V+" 2 5x-ay+11=0
có dạng: x+ y +C =0, d đi qua M(-1; 3)>C=-2
Vay phuong trinh cia duéng thang d la: x + y- 2 = 0
đd vuông góc với đường thẳng x + 3y + 1 = 0 nên phương trình của d có đạng: -3x + y + =0
d di qua M(-1; 3) > C = -6 |
Phương trình của đường thẳng d là: 3xỞy+ 6= 0
Ặ dụ 14: Cho đường thẳng d: xỞ 2y + 4= 0 và điểm A(4; 1) a) Tim toa d6 hinh chiéu vuông góc của À lên d
b) Tầm toa dé điểm A' đối xứng với À qua d
| Gidi: |
Phương trình a qua A, vuông góc với d có dạng: 2x + y + = 0
Trang 187ắ dụ 16: Tìm hình chiếu của điểm P(; -2) lân maỗi đường thẳng: _a)gđ: (2 b) d: - = Ủ) d: 5x Ở 12v + 1ỷ =O - les Giải: | a) Phương trình dđ: y - 1l =0 :
Gọi H là hình chiếu của P trén d thi H là giao điểm của đ và d, trong
đó đ' là đường thang di qua d' 1 d |
Phương trình của d là: l(x Ở fe + oy + 2 = s @x-3=0 4 Vậy H(3; 1) x= 1 + 3t | y = Ở4t Đường thẳng d' di qua P va vưông góc vdi d cé phuong trình: 3(x Ở 3) - 4Ể + 2) =0 ẹ 3x- 4y - 17 = 0
Thay vào ta được: ể
Toa độ EHÍ là nghiệm của hệ J
b) Viết phương trình của đ dưới dang tham số:
3Ể + 3Đ) Ở 4(-4t) ~ 17 = 0 23 35% Ở 14 = 0 =t= =
Vậy toạ độ hình chiếu của P là (Bt, 86)
: : 25 25
c) Gọi d' là đường thẳng đi qua P và vuông góc với d Do đ' vuông góc với d nên d có vectơ chỉ phương u = (5; -12) Ở S9 Phương trình tham số của ở' là: x=3+ St | y =-2-12t Thay x= 3 + 5t va y = -2 = 12t vao phuong trình của d, ta duge: 5(3 + St) Ở 12(- ~2 -12t)+10= 0 <> 169% + 49 =0 c>t= TS 169 kẻ Vậy toạ độ hình chiếu của P la C= 259) 169` 169)Ợ
Vắ dụ 17: Với điều kiện nào thì các diém Mx; yi) vA N(xo; yo) đối xứng
với nhau qua đường thẳng A: ax + by +c= 0?
| Gidi:
Hai điểm MĨ và N đối xứng với nhau qua A khi và chỉ khi có hai điều kiện:
Ở Trung điểma ỳ của MỊN nằm trên A rae ~ Vecta MN là vectơ pháp tuyến của A Vắ dụ 18: Tìm toạ độ đối xứng với điểm ỳ(x,; yo) qua đường thẳng d: Ax + By + C= 0 Gidi:
Giả sử ỳ = (x; y) là điểm đối xing vdi Ix; y.) qua d: Ax + By + C = 0
Khi đó vectơ Il' phải cùng phương với vectơ pháp tuyến n = (A; B) _ của đường thẳng d tức là x' = x, + At; y' = y + Bt Mat khác, trung
diém H cia II' phải thuộc d nên: | (=> }* B2} )*e=02A[x eye Bly, +B) +C=0 t(A? +B?) : | 2(Ax, + By, + ẹ) <ẹ>ỞỞỞỞỞ+ Ax, +By, +C =O St= A? a B2 Do dé: ; | 2A(Ax, +By,+C) (-A?+B?Ỗ)x, -2ABy, Ở2AC x' =x, + At=x,- 5 5 = 5 5 A* +B A* +B ; 2B(Ax, +By,+C) -2ABx, + (A? +BỢ)y, -2BC y =Yo+ Bt=yo- 5 = 5 A* +B A? +B
Vắ dụ 19: Cho đường thẳng A: 2xỞ y + =0 và điểm 11; 2) Tìm phương
trình đường thắng A' đối xứng với A qua diém I
Gidis
Lay một điểm M nằm trên đường thẳng A: 2x Ở y + 1 = 0, chang han on (O0; 1) Điểm M' đối xứng với M qua điểm I = (1; 2) cé toa độ
= (2; 3) Đường thẳng A' đối xứng với A qua Ì là đường thẳng di qua điểm M' và song song với A, tức là có vectơ pháp tuyến n = (2; Ở1) Vậy phương trình của A' là 2(x Ở 2) Ở- y(y Ở 3) = 0 hay 2x Ở y Ở 1= Ô
ắ dụ 90: Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng
Ax + By + C = 0 qua diém I(x; y))
Giai:
Lấy một điểm M nằm trên đường thang: Ax + By + C = 0, chang han
nếu A z 0 có thể lấy M = CC: 0)
Gọi điểm M' = (xì; y¡) đối xting véi M qua diém I(x); y.) thi: `
2Xo = XI Ở e va 2y, = yi nén MỖ' = (2x, + Ở; 2y,)
A AỖ
Đường thẳng đối xứng với đường thẳng đã cho phải đi qua M' va song
SOng vỚI đường thẳng đó, nên nó có Ki trình:
A(x Ở 3xeỞ =) + Bly - 2yo) =
y- GÀx, + 2By, + C) = hay Ax#ếT
Trang 19Vắ
Vi
đụ 21: Cho hai đường thẳng dị: x + y Ở 1 = 0 va de: xỞ3y+ 3= : 0 Hãy lập phương trình của đường thẳng d; đối xứng với dị qua de Giải: s có toạ độ là nghiệm của hệ phương CHao điểm M(x; y) của dị va | trinh: | | 3 x+y-1=0 Sey x=0 + x-3y+3=0 y=l Vay MO; 1) |
Lấy A(1; O) thuộc di, phương trình đường thắng AH_ vuông góc với dạ: 3% Ở 1) + ly Ở-0)=0_ ẹ 3x + y-3=Q Toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trình: ắ hi 8x+y-3=0 <> 5 (3 é) | = BỊ Ở;Ở] (2,22) x-3y+3 =0 Als 5 5Ỗ 5 rr: Phuong mình đường thang MB hay đường thẳng đa là: (xỞ on =~ I)-(y- Ine Ở0)= G9 1 QD Om tx-y+t= 0 dụ 22: Cho đường thắng A: ax +by +ec= 8 Viết phương trình đường a) Qua trục hoành a) Cc) thẳng A' đối xứng với đường thẳng A: b) Qua trục tung | Gidi::
Xét điểm Mtxm; ym) tuy ý thuộc A
Gọi NỂxN; yN) là điểm đối xứng với M qua Ox
Khi đó { ~ "Mey ( CĂN
| JN = 7YầM YM = ~Yn
Do đó: M ằ AS axy + byy +c = 0
<> axy - byn+c=0QN eA; oS ax-Ởby+c=0
Vậy phương trình đường thang đối xứng với A qua Ox la: ax Ở by +c = 0 c) Qua gốc toạ độ Gọi PỂp; yp) là điểm đối xứng với M qua Oy = Xa Ở= Ở ` Y khi đó Èba có: [Xp = a | ệ lyp = = Yu LYM = Yp
Do đó: M e A <> axu + byy +c=O0 <-Ởaxp + byp + c=0- ẹ axp Ở bypỞẠẹ=ử <>PeAa<>ax-by-c=0
Vậy phương trình đường thẳng đối xứng với A qua Oy là: ax ~ by Ởc = 0 ề Ợ ` 3x BAe z re 7 Goi P(g; ầq) la diém d6i xting v6i M qua O | - ae J q9 T*w ay = He Khi d6 ta cé: @ = @ vq ỲM ym Ộ ~Ỳq
Đo đó: M e A <> axw + byw +c= 0 ẹ= -axa Ở bya +c= 0 ẹ axa Ở bya-c=0 <>QQcAs<>ax+by-c=0 |
Vậy phương trình đường thang đối xứng với A qua Oy là: ax + by Ởc= 0,
Vắ du 1: Cho tam giác ABC có phương trình 3 cạnh: _ |
AB: 2x -3y-1=0; BC: x+3y+7 =0, CA: 5xỞ-2y+1=0
Viết phương trình đường cao BH Giai: Toa độ của điểm B là nghiệm của hệ phương trình =-9 Í2x -8y Ở1 =0 x+3y+7=0 y==S ZN st sy OR L ; pe Đường thẳng AC có VTPTn =(5;-3) = VTCP u =(2;5) BH vuông góc với AC nên có VTPT (2; đ), do đó phương trình BH: R 2(x + 2) + đ(y + 3) =0 <> 6x + iby +37 =0 Vay B(-2; -> =)
Vi du 2: Cho tam giác Apo biét AC; 4); BG; =1), C; 2) a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, CA
b) Lập phương trình đường cao AH và phương trình trung tuyến AM Giat:
nh đường thắng AB có VLCP AB = (3; Ở5)
Trang 20
Gigi
x-1l y-4
2 -5 ox + ZyỞ 13 = 0 Hai trung tuyến đã cho không qua Â
Phương trình đường thẳng BƠ có VTCP BỞ = (3; 3) hay (1; 1) Dat BM: 2x-y+1=0,CN:x+y-4=0 x-3 ytl eox-y-4=0 B ềằ BM = Bt; 1 + 2t) _ Trung điểm của AB là NCTỢ; 2 + ẹ thuộc CN p 2 2 _2 Phương trình đường thẳng CA Ề có VTCP CA = (5; -2) = aos <> 2x + By Ở 22 = 0
b) AH L BC nên AH có phương trình dạng: x+y+C=0
AH di qua A nén thay toa độ điểm A vào phương trình của AH ta
được: 1 +4+C=0=C=-đ |
Vậy phương trình đường cao AH la:x+yỞ-5= 0 Toa dé trung điểm M của BC:' =SỘ+z+t-4= 0t = 2 nên BQ2; 5) Tuong ty C ằ CN => Cá; 4 Ở t) Trung điểm M của AC thuộc BM ta tìm được C3; 1)
Tir 3 dinh A(Ở2; 3), BQ; 5), C@; 1) ta lập phương trình 3 cạnh
AB:xỞ- 2y +8= 0, BC: 4x + y Ở 13 =0 và CA: 2x + đy Ở 11 =9
Cách khác: Tìm trọng tâm G 1A giao điểm của BM, CN và từ BG; 1+ 9Đ
_*p +txXc 9, J ần +Ye _ va C(t'; 4 Ởt') suy ra dugct, t *M 7 2 ã 2 , YM = ke Ở 4 , ad 2 A ` ~ ` ở i Vi du 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(3; 5) và phương trình a =) hay (1; -1) AB: 2x Ở 3y + 1 = 0; AC: 4x + y Ở 5 = 0 Tim cdc dinh Gidi: 1=0 ể [2x 3y [4x+y- 5 =0 + ẹ4ỢỢ, y=1 Vậy AQ1; 1) | Gọi B = (x1; yi), C = (XƯ; V2) wc e Ay va C ẹ Ao nén: 2x, Ở 3yi + 1= 0 va 4%2 + y2Ở 5 = 0: G(3; 5) là trọng tâm của tam giác ABC nén: Phương trình AM có VTCP AM = (si Ở x-l y-4
Vắ dụ 8: Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x ~ 3y + 11=0,, đường cao AH: 3x + 7y Ở- 15 = 0, đường cao BH: 3x Ở 5y + 13 = 0 Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác Gidi: A Ta có: A là giao điểm của AB và AH fs <ẹx+yỞ-5=(Q | Toa dé A là nghiệm hệ: l+x,+x - l+ + xỞ 3y = 1l x=Ở9 sgỞỞ_ỞỘ1"^2và g=ỞỞ= 3x+7y=15 ly =3 y oe Ứ Ở=xịi+xƯỞ8=0và y¡+ya - l4= 0 | Bs "ể | Vay A(-2; 3) Bé Sa ể Ộ^ 61 438 ( 5 Bd Vi AC L BH nên AC có đạng 5x + 3y +c= 0, ta có: Giải hệ bốn phương trình ta được: B= & 3): C= (-2:3) Ae ACS -10+94+ằc=04c=1 | b 1
Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh ÁC: đx + 3y + 1 =0 Cách khác: Gọi B (b; 2+ ) và a Cle; 5~e)
Ta có B là giao điểm của AB và HH: | x-38y =-I1l1 x=4 <> Vay B 4; 5 pin: ng ay BC } Vi BC | AH nên BC có dạng 7x - 3y +Ạc = Ô ta CÓ: BeBC<>28- l5+c=0<>c =-l3
Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh BC: 7x Ở 3y - 13 = 0
Cho tam giác ABC có A(-2; 3) và hai đường trung tuyến:
0 và x+y-4=0 Hãy viết phương trình ba đường thẳng Ẽ
inh cua tam giác
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra B, C
Vắ du 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm MC-2; -4) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OAB là tam giác vuông cân
Gidi:
Goi A = (a; 0), B = (0; b) Vi OA = OB nen lal = [bl hay a = +b
Phuong trinh đường thẳng AB: = + sel, 1, đi qua điểm M(-2; -4) nêm
Trang 21
2 ) | Néu a = b thi ~-~-Ở=] có a TS , vậy a Ở b = =6, và ta được phương a | | | b) AB = 2NM : n~i=24-0) xu =3 ị B ể Vay BCS; 2)
trinh -& + Ộ5 =] hay X+Y + 6 7 Oo Ở Ở = 2C: 2) YB TT |
| ge gk 4 " Đường thẳng chứa cạnh AB di qua hai điểm AQ; 1) va B(3; 2) nên có
ỔNéu a= -b thi hay mg Bay T ead = ~~ +Ở=1 > a= Ởb = 2, va ta Ở2-4 242 Sp ge phương trình: xỞ 2y + 1= 0 |
Đường thẳng chứa cạnh BC ổi qua hai điểm BG: 2) va MQ; 3) nén có
Ở
được phương trình 1st 5 =1 hay % ỞYW Ở~2=06
_ phương trình: x+ Ay -11=0
ắ dụ ử: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 2x+ 6y +3=0;
el | K=2-t và trung điểm của BƠ là M(-1; 1) Lập phương trình Vi du 7: Cho tam giác ABC với AQ: 4), B4; 8), Ca 3; 2)
Viết phương trình đường phân giác trong của góc À | Gidi: _ đa có AB = l(4 Ở 2)? + 8= 4)" = v3 20 / LY = : 5 | Ở BL SC canh BC AC = J(13 Ở2)Ộ +(23Ở A)? = ; 125 a : D Giới: Chân phân giác ; trong AD, chia Ộđoạn BC theo tỉ số k k =-25 = = nên "ha có: Be AB=> B(bi-2 =3) có toạ đệ: - _ ty vn C 6c ÁC Ở C(2-t; t) 5 | rể An : 18+-Ở.4 | = M c trung điểm BC nên : Xp=ỞỞTỪỞ _ 46 Ấ + y | asda 44 DT Ht eu 5 " : a 2 2 -PĐ_-1,t-2Ộ?|-ab+6t=15ỘỢ] 7 Đường phân giác AD có phương trình: j2 s It 4 xỞ2 = y-4 h ay x Ở 2 + Đồ = Ò) 6=0 | : 46 2 44 y Do dé B(-2;4] v a o(3; 2 7 7 a ể 4 4 7 4
Vắ dụ 8: Cho tam giác ABC, biết đỉnh A(1; 1) và toạ độ trọng tâm G(1; 2) Vậy phương trinh BC: = = ry 5 t -
Cạnh AC và đường trung trực của nó lần lượt có phương trình là x + y - 2 = O và Ởx + yỮ -2 = 0 Các điểm M và N lân lượt là trung điểm Ề của BC và AC a) Hay tim toa độ các điểm M và N
Vi du 10: Lap phuong trình 3 cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4; 3) và trung tuyến AM: 4x + 13y Ở 10 = 0; phan giac AD: x + By Ở 5 = 0
GiGi: :
b) Viét phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh AB v va ỔBC A
Giới: Ta tìm điểm đối xứng của Ở qua phân giác AD ự
a) Theo tinh chất trong tam , ta có: Phương trình CÍ vng góc ÀD 7 : | 7 Ở2(Éx - 4) + ly - 3) =0 ẹ2x-y-=5=0 AM = Ba as *M 1 ts s- 1) _ *M =1 Ở Bo Hình chiếu ỳ có tọa độ: tố 2 => 5- Vay M(1; 2} x+2yỞ5=0 x=8 / | | (pat B⁄ "ở Ở _3 24) YM = > YM 1 2 2 Do | 2 2x-y-5=0 Do đó I(3; 1) nên điểm đối xứng K(2; Ở1) 4x+13y-10=0 <> (x=9 x+2yỞ 5= =O A-
Diém N(x; y) thuộc AC và thuộc trung trực
Trang 22Ta có B c AB => B(5-7b; b) và trung điểm M Ga Vì M c AM nên 4 Ở=Ợ 13 Ộga 10= O>bel 3+b Do đó B(C12; 1) nên phương trình BC: xỞ 8y + 20 = 0
Vậy phương trình BC qua B, C:x + y-7=0
Vi du 11: Cho tam giác ABC với A(-2; 0), BQ; 4), C(4; 0)
a) Viết phương trình các đường trung trực của tam giác Xác định toa độ tâm I va ban kắnh R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b) Viết phương trình của các đường cao Từ đó suy ra toạ độ của trực
tâm tam giác ABC :
c) Chứng tổ rằng ba điểm H, + G thang hang với Ể là trọng tâm của tam giác ABC
+ : Giải:
a) Toa độ trung điểm của AB là M(O; 2), của BC là N3; 2), của CA la
as 0) 4
= (4; 4) la vecto phap tuyến của đường trung trực đị của AB a 4(x - 0) + 4(y - 2) = 9 hay x+ yỞ2=0
Tương tự ta viết được các đường trung trực da, dạ của ĐC, CA BC = (2; Ở4) => de: 2Ủ - 3) - 4Ể - 2=0<x-9y+ 1=0 AC = (6; 0) => ds: 6(ề Ở 1) = 0<>x-1=0 _ Tâm I la giao cia dj, đa và có toạ độ là nghiệm hệ : x+y-2=0 x=1 << x-1=0 y=l1 Vậy 1(1; 1) và R=IC= 4-1 +(Ở Đ = 10 b)_ Phương trình của đường cao: AH: 2% + 2) Ở-4(yỞ-0) =0 >x oy 42= 0 BH: 6(x - 2) + O(y Ở 4) =0 >x_Ở-2=0 CH: 4(x - 4) + 4(yỞ0)=0<>x+y-4=0
Suy ra trực tâm H có toạ độ H(2; 2) | c) Tacé toa dé cua trong tam G: | |
s( Si ) Ở- a( 4, 3)
3 3 3 3/7
Ta có H(2; 2), I(1; 1) nên H, I, G đều thuộc đường thẳng y = x
Vắ dụ 12: Cho hình bình hành ABCD có A(4; -1) và phương trình 2 cạnh BC: x Ở 3y = 0, CD: 2x + 5y + 6 = 0 Tim các đỉnh còn lại | Giải: A B Can jua Á và song song với CD _ | / 4) + BÉ + 1)=0 ẹ 2x+đy-3=0 | / Toa do Bla nghiệm của hệ: 9 2x+5y-3=0 x= aT OY <> 1Ì, Vậy B1 xỞ3y =0 | oe ae a) 11 11 | Canh AD qua A va song song BC: 1.(x Ở- 4) - 3(y + 1)=0<>x_-3y-7=0 | | 17 : Toạ độ D là nghiệm hệ: 4Ộ Ợ*ỢĐỲ7 * 2x+5y+6=0 |Ộ 11T eos 11 | g Jey x-Ở3y-7=0 SS | y _ 20 1T Vay p( 75-20 11Ỗ i1 | Ý 18 3 0 Ở 1+1 Toa độ C là nghiệm hệ: eT ey = 1 , 2x+5y+6= aoỢ ể 11 Vắ dụ 3: Cho hình bình hành có tâm đối xứng I3; 5) và phương trình 2 cạnh: x + 3y Ở 6 = 0; 2x Ở- By - 1 =0 Lập phương trình 2 cạnh còn lại Giải: Đặt AB: x+3y-6= 0, AD: 2xỞ 5y =1 =0 Toạ độ A là nghiệm hệ: A | b +3y-6=0 > ụ = 3 + 2x Ở5y -1=0 y=
Ila trung diém cia AC nén C(3; 9)
Canh BC qua C, song song AD:
_2(x Ở 3) - B(y -9) =0 <4 2x -5y +39 =0
Canh CD qua C, song song AB:
1(x Ở 3) + 3(y Ở 9) =O <>x + ảy Ở 30 = 0
Vắ dụ 14: Cho hình bình hành AOBC với AÁ(Ở3; 0) va giao điểm 10: 2) cua hai đường chéo AB và OC
a) Viết phương trình các đường thẳng chứa các đường chéo 7
b) Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh Vay AG; 1) Giai: Ở
a) Ta có toạ độ của điểm C(O; 4) và BQ3; 4) ; | (Lư Phương trành đường thẳng đi qua các đường chéo 3 ⁄
Trang 23b)
Vi du 15: Cho diém A(-1; 3) và đường thẳng A'có phương trình x Ở 2y + 2 =0,
: Lập phương trình các đường thẳng chứa bốn cạnh của hình 1 x +Ở y =1 + 2t+ 2t+ 3 =0<>b=_ỞỞ : = + 2 Ở Ở- Ý 3+3 4-0 * oy FE 0 ee 2 a 4
OC: x=0 Vay I = (-2; 1) Vi I la trung diém cha AC, nén C = (-Ở3; 0)
ABCD là hình vuông nên 1D = [B = LA Do He A nén B = (-1 + 2t; ~2t)
IB? = TA? = (-1 + 2t + 2)? + -2t- 1)? = C1 + 2)? + (2-1)
(2t + 1)?= 1ề<>t=0 hoặc t=-Ở1
-8uy ra B = (1; 0) hoặc B = (3; 2)
Néu B = (-1; 0) thi D = (3; 2), néu B = (-3; 2) thi D = (1:0)
Từ toạ độ bốn đỉnh của hình vuông ABCD, ta viết được Phượng trình
bốn cạnh của hình vuông là: | |
x+1=0; _y=0;x+3= =0; _ y=2=0
Từ 4 đỉnh AÁCS; 0), 0(0; 0), BOS: 4), C(O: A)
ta có: Phương trình đường thẳng chứa các cạnh:
AO:y=0; BC:y=4,OB:4x-3y=0 |
ACG: r1 ẹ 4x - 3y + 12 =0
Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B, Ở nằm trên A vA cdc toa độ của đỉnh C đều đương Tìm toạ độ các đắnh B, C, D Gia: Đường thẳng d qua A va vuông góc với À có phương trình: 2(x+ 1)+yỞ-83=0 hay 2x + y Ộ1 = 0 Tđoạ độ của B là nghiệm của hệ: | ÍxỞ-ửy+2 =0 bor 2x+yỞ-1=0 y=l Vay B=(0;1) vA AB = V12 +2? =J5 nên CB= SE
ws dụ Í: Tìm điển M trên đường thẳng Ề d: x Ở y +9 = 9, cách đều hai
- điểm E(0; 4) và E(4;-9) ~ | Giải: M thuộc d:x-y+2=0 nén M(t; 2 +t) | _ Điều kiện ME = ME ẹ tỲ + ( - 2)Ợ = Ể ~ 4)Ợ + (11+ ĐỂ xỞ2y+2=0 2 5 2 2 Toạ độ của C là nghiệm của hệ | | otr+t Ở-4ằ+4= tỞ- 8t+164+ 121+ 22t+t 2- Vx? +(y-1)? = V5 c> 18t + 188 =0 cb= TÓC - Xe = Ở2 Xo = 4 | Gidi hé nay ta du x" Be 4C Th t hi : ye oe \-
Giải hệ này a oc fre =0 hoặc ne sa eo giả hiết, ng tiệm Vậy toạ độ của điểm M là [ể 18 aa
dau bi loaido yc =0 Vay C = (2; 2) pee Ss : Thôi
x=-2-2t |
Do ABCD 1a hinh vuéng nén CD = BA Vắ dụ 2: Cho đường thẳng A: ụ Ộ1 at và điểm M(; 1)
a) Tìm điểm A trên A sao cho Á cách M một khoảng bằng V13
b) Tìm điểm B trên A sao cho đoạn MB ngắn nhất _ Giải:
x Ở2=Ở]ỞQ =]
Suy ra | D hay *D Vậy D = (1; 4)
vuông ỘABCD biét dinh A(-1; 2) va phuong trình của một đường chéo là AcA = AC-2-2 t142 Đ =ỞÌ+ at | = Ở9Ẩ y= | , ` ofl nỘ , Ta có: AM = V13 > (3 +24 2)? + (1+ 26? Giới cát: oe ` aS = 8Ú + 20t + 12 =0 Ủt =1, trổ 2
ViA Ạ A: XE + vàn DeA_ " : too IỖ - Từ đó có hai điểm A¡(O; -1), AƯ(1; Ở2)
ly =Ở2t me | | ằ ) MB nhỏ nhất khi B trùng với hình chiếu vuông góc H của M trê ^,
Trang 24ắ dụ 3: Cho hai điểm AQ3; 1 B(Ở1; -2) và đường thẳng d có phương trình x + 2y + Í = 9 ở :
a) Tìm toạ độ điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC lạ
tam giác cân tại C ì :
b) Tìm toạ độ của điểm M trên đường thẳng d sao cho tam giác AM vuông tai M Do đó MP + MQ bé nhất khi M là giao điểm của đường thẳng P'Q với trục hoành | oo Ẽ SA ể.,JX=l+2t P Q =,; 6) nên phương trình P'Q: Ổy 94 6ằ Choy=0=Ở>t= + =x= Pov Va ay M(S 5 0), Gidi: 3 30 |
a) Goi CC; y) Ạ d nên C(-2y-1; y)
Tam giác ABC can tai C khi va chi khi
CA =CB <= CA? = CBỖ |
<> (3 + 2y +197 +(-1-y)*= C1+9y+ĐỢ + 2-yv)?
ẹ (4 + 2y) + (1 + y)Ê = 4y? + 2+ @ lay = -18 Vi du 6: Chứng tổ rằng họ đường thẳng | -_ (m + 1I)x Ở- 2(m Ở Ìl)y + 3= 0 luôn đi qua một điểm cố định, Giai: Goi M(x,; y.) 1a diém cé dinh: (m + 1)x, Ở 2Qm + Dy, + 3 = 0, Vm - sỞ 2%, Ấ+9y,+3 =0, Vn nên y= =1 1= x= ỞC Về zy o(-ặ;-38), ỷ=cỂ YoM + Xo + Zyo + ồ m xX, =
b) Xét diém M(Ở2t-1; t) trén (a) ta có: {* Ở 3Yo =0 = 2
AMB =90ồ ẹ AM? + BM? = AB? Xo + 2y,+8=0 ly C
ẹ (4 + 2t)? + 1 +t)Ợ + 4t7 4 (24)? = 4
<> 10ằ? * 22t+4=0< 5t?4+11t+2= 0 o _ Vay ho đường thẳng đi qua điểm cố định m8; =)
et=-5 hay t = Ở2 Do d0x=Ở9 hay x3 vi du 2: Cho: đường thẳng Am: (m Ở 23)x + (m Ở l)y + 2m -Ở Í = 0 va điểm
A(2; 3) Tì để kh h từ điể m A đến đường thẳng Am la lớn
Vậy có hai điểm thoả rnãn đề bài là MS: -) va M;(3: Ở2) ( ) Ộdim mde oaing các e g
nhất
Gidi:
Am luén đi qua điểm cố định Mo; Vo) v6i
moi m khi va chi khi: |
(m Ở 23x, + Gm - Ủy, + 2m Ở1<0, Vm <ẹ (xo + yo + 2)m Ở 2x, Ở yoỞ 1= 0, Vm |
= \* +y,+2=0 of! A
|[-2x,-y, ~1=0 Yu=-3 |
Vậy AẤ luôn đi qua điểm cố định M1; Ở-3) với mọi m
Hạ AH L Am Ta có AH < AM với mọi m Vậy AH lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay AM L Aa
Ta có: AM =(Ở1; Ở6), AẤ có vectơ chỉ phương u =(1-m;m-Ở2) Vắ dụ 4: Cho hai điểm P(1; 6); Q(-3; -4) va đường thls A: 2x-y-1=0
Tìm toạ độ điểm N trên A sao cho |NP Ở NGi1ớn nhất Giải: Ta có INP Ở NQ| < PQ Dau "=" xay ra khi va chi khi N, P, Q thang hàng và N ở ngoài đoạn PQ VTCP BQ = (-4;-10) hay (2; 5) nên phương trình PQ of x=14+2t =6+ 5t
vào phương trình A thi duoc t = Ở5
Vậy giao điểm của đường thẳng PQ và A là N = C9; Ở19) Ộvì XN < Xp, xạ, nên N là điểm phải tìm | Vi du 5: Cho điểm P(1; 2) và Q3; 4) Tìm đểmM v4 Q
trên trục hoành đề MP + M@ bé nhật +" AM L An AM.W@ =0-10-m)-6m~2)=0m=Ở
a > Gốc: _ | | ol a Vậy với m = it thi khoang cach từ A đến AẤ là lớn nhất Ta có P, Q là hai điểm cùng phắa đối với trục hoành l, 5
Lay 6 đối xứng P qua trục hoành là P(1; -2)Ẽ ể | | Vắ dụ 8: Cho hai diém A(-1; 3) va B(4; -2) Tim tap hợp các điểm M sao
+ MQ =MP' +MQ>P\Q: Không đổi _ cho MA MB? = 3
Trang 25
dụ 11: Cho hai điểm A(a; 0) và B(O; b) cố định với a, b z0 Đường tròn
(C) thay đổi luôn di qua A, B va cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các
điểm thứ hai CỂx; 0) va D(0; y) Goi I va K tuong ting la trung diém
_ của các đoạn AB, oD Gigi: Goi MGs y) ta 6: MA* Ở MB? = 3 @ (x + 1)? + (yỞ 3)? Ở (ề Ở 4ồ - (y + 22 <> 10x Ở l1Ô0y Ở 10 = 3 < 10x Ở 10y - 18 =0 Vậy tập hợp M là đường thẳng có phương trình: 10x Ở 10y - ~13 = 0
Vi 4 du 9 2 Cho hai điểm cế định tA và B Tìm tập hợp các điểm M thoả : a) Chứng minh: Ở = x va OI vuông góc với CD
MAỢ - MHỘ = kắ với k là độ đãi không đổi cho trước : 5 a y
Gidi: - ov b) Tim tập hợp các điểm K khi (C) thay đổi Ạ
Gidie
Chon đường thẳng AB làm trục hoành và
a) Tứ giác ABDC noi ¡ tiếp nên Ậa có:
đường trung trực của AB làm trục tung Đặt AB = 22a, ta có: Á(-a; 0); Bla; 0) ỞỞỞỞỞỞ ỞỢmHỞ+>x OA OC = = OB.OD Goi MGs; y) ta ằ6: | A OF og > , 2 | | Do dé: ax =by oa 2=% Ừ MAỢ - MBỢ = k S [G + a)? + yỲ] Ở [Qx = a)? + yỲ] = kể ba te OP k? : | a _ bÀ oe ẹ 4ax = kỢỔ ẹ x= : 5: OL = = = |3:Đ1 và = (Cx:
4a 3 s làn rào, Ol = 5 (OA Ấ OB) & 2 va CD : (Ởx; yỪ
Vậy: Ỳ Tập hợp các điểm M là đường p hop 2 nem ờng th thăng đ vuông góc với AB tai điểm d a ab rus Oỳ CŨ = ax by = +y ~ ax) =0 + |
H với OH = z.AB ; n 2 2 #2 ồ _
2AB Vậy OI 1L CD
Tương tự ta chứng mình dude: OK 1 AB Vay tập hợp điểm | K la đường thẳng di qua O và vuông góc với AB cố định
Vắ dụ 12: Cho hai điểm A, B trên trục Ox lần lượt có hoành độ a, b thoả
0<a<b và trên trục Oy cho điểm M di động có tung dé m ầ 0
a) Lập phương trình các đường thẳng đ; và da lần lượt vuông góc với
MA tại A và vuông góc với MB tại B _
b) Tìm toạ độ giao điểm P của dị và dạ Tìm tập hợp điểm P
Giải Ở |
a) MA = (a; Ởm) la vectơ pháp tuyến của đường thẳng dị đi qua A va Vắ dụ 10: Cho điểm P = (1; 1) Mot đường thẳng di thay đổi luôn đi qua P
cắt trục Ox, Oy lân lượt tại A¡ và Bị Một đường thẳng da thay đổi, _ khác dị, luôn luôn đi qua P, cắt trục Ox, Oy lần lượt tại Ao va Bo Tim
quỹ tắch giao điểm Q của hai đường thẳng AiBa và AzB¡ Gidi: Đường thẳng dị đi qua P có phương trình aẬỂ& Ở 1) + bị(y - 1) = O, vì dị cắt cả hai trục Ox va Oy nén ai, bị z0 Vì d¡ cắt Ox và Oy tại A¡ và Bị nên: +b ( | A, = [2 6) và Bị= L0 ane ay bị vuông góc với MA, nên phương trình của dị là: Ay- ` 2 oy Ở me P Tương tự đường thẳng dạ có phương trình asỂỦ Ở 1) + bạ(y Ở 1) = 0 và cắt Ox, di: ax Ở a) my 0) = 0, hay là: | , ` ~, a + Do ` ao +b ax Ở~ my aỢ : | M3
Oy tai As và Ba, thi: Ag = cac nh: = AnỢ 0] và Đa = ắ 0; Sethe | Tương tự MB = (b; -m), nên phương
_ 2- | : \ _ 2 | trình của dz Ila: ` 3 ` | 07ỎỞLY
Phương trình duc ha À % Ở y | 1 ` | wlan Ở>
xương trinh đưỡng thăng À¡Ba là + =1 : dạ: b(x Ở b) Ở m(y Ở 0) = 0 hay là: GC A B Ở A
| a, +b, a Ag + be ẹ b | i Ị bx - my Ở b* =0- 2 | | | | |
1 2 Ỉ b) Giao diém P(x; y) của dy và đạ có toạ độ là nghiệm của hệ phương + trình:
Phương trình của đường thẳng AsBị là: có 5 - _Ở` =1 ~ ot fe : lax - my Ở-a? =0 Íx=a+b _ |
Trang 26
u 15; Cho diém MG; G) Viết phương trình của đường thẳng đi qua M và
Vắ dụ 13: Trên hai cạnh của góc vuông xOy lần lượt lấy hai cặp điểm A -
Pe các truc Ox, Oy theo thứ tự tại A(a; 0) và B(O; b) với a, b > 0 sao cho:
_A' và B, B' sao cho OA.OA' = OB.OB' Chứng mình rằng đường trun: tuyển của tam giác ABO cũng là đường cao của tam giác A'HO > Gica Ộ $s Ổ `
Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình v vẽ _ | *
Dat A = (a; 0), A'=(a'; 0), * | | B ,
B(O; b), B'= (0; b') | ể a bak.) z = 4g Say piabrke x oy -
Ta c6 OA.OA' = OB.OB' = aa' = bbỖ 7 | M Phương trình của đường thẳng đi qua A(a; 0), BC; b) có dạng a te 1 vi Goi M 1a trung diém AB thi: | _.ậ | QT " phương trình đi qua điểm M4; 6) nên a | ) Ở + Ở = l1 <ẹ 6a + 4b = a 4.6, 6a + 4b = ab hệ ~aa' bbỖ oan = 60 = ab = 120 b = ao nên OM.A'B' + = 0 = OM _L A'B' (đpem) Do dé: 6a + 4b = 120 <> 38a + 2b = 60 | 8a+2 120 _ 60 & 8a? Ở 60a + 240 = 0 G a? Ở 20a + 80 = 0 a
Vi du 14: Cho hai diém A, A' nim trén truc Ox, hai diém B, Bi nằm trên
trục Oy sao cho hai đường: thẳng AB và A'B' cắt nhau tại điểm Q Chứng mình rằng trung điểm các đoạn thẳng OQ, AB' và A'B nằm trên một đường thẳng .~ ai = 25 + V5); ae = 2 Ở V5) Ty do suy ra: by = 3(5 Ở V5) va be = 3(5 + V5) : Ta nhận được hai une thang thoa man dieu kién: | x : =1 + do: dị 2545) 3(5 Ở `) * 26 Ở ỘJB *sgì v8 Giải:
Giả sử A = (a; 0), AỖ = (a'; 0), B= (0: b); B' = (0; Độ
Các đường thẳng AB và A'B! lần lượt có phương trình: Ở+ - = Ỉ và ể + <i = - M(4; 6) là trung điểm của Ala; 0) va B(O; b) nên: a+0 O0+b Giải hệ gồm hai phương trình trên ta tìm Ỉ được toạ độ điểm: 2` 4, 2 6 <>a= 8;b= 12 x =bồ-b)aa` _(a-a)bb' y a" (a b-ab) "Ộ= (a 'b-ab ) _ Vay phuong trinh: Ở = + 19:7 - - Gọi Q' là trung điểm của đoạn thang OQ thì toạ độ Q' là (b Ở b')aa' _ (a-a)bb' _ Xq: = Sq ==
2(a'bỞab')Ỗ ~ 8a! bỞab')
và gọi M, N lần lượt 1A trung diém AB' va A'B thì:
Ta có 5 = = ab Ta tìm a, b > 0 thoả mãn 6a + 4b = ab sao cho tắch ab bé nhất Áp dụng bất đẳng thức Côsi: M= (3:2) va n(352] ab = Ga + 4b > 2V6a4b =4/6Vab = Jab > 4V6 = ab = 96 21A 86G -_ Ta có: | | Ở | : Vay ab nhỏ nhất bằng 96 = 6a = 4b = Ộ> = 48 a= 8; b= 12
MQ = ee 2a'b-ab) 2)2a'b-ab) 2) \2a'bỞabỖ)Ỗ Xa'bỞab) a, (a=a)bb_ -2)- (a-a)bb_ ab(bỞb) _Ở Vậy điện tắch tam giác OAB bé nhất khi M là trung điểm cia AB 6 - ể
NM = (2 =aỖ be ồ] -0 BÀI LUYỆN TẬP cạn
a 2 1 Cho tam gide ABC véi A(1; -2) ; B(2; 3); C3: 1)
Từ đó suy ra MQ'=kNM, với k= ỞAb _ ; a) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB
| 2 a b-ab b) Lập phương trình chắnh tắc của trung tuyến ÂM
ơng trình tổng quát của duéng cao AH iém Q', M, N thang hang
# + 2y Ở 1= 0
Trang 272 Chuyển qua dạng phương trình khác biết đường thẳng d : ` x3 y +2 x=-8+ỗt Ổa) ss b 4 5 3>Ộ G) Tx + sy ~61=0 đ) x =-9 ờ tham số, quy đồng, Ox ,Oy 4 =8 - tần trong các trường hợp: a) Ala trung diém MN b) OM = ON | c) Somn = 16 DS a) 2x + +y-8=0 _bìy= 2x, yV=x+32,y=Ởx+G6 Đ Cho A(Ở1; 3) và ' cách đều B DS 4x ty 41= 0,x+ 3y Ở 5s 0 Cho ÁC-1; 3), B2; 5), C4; Ở8) Tìm quy tắch các điểm M mà MA? - MB? = BCỢ DS Ốx + 4y Ở 87 =0 | -
7 Cho tam giác ABC với A(Ở1; 4) , B(2; 0) , C(O: 4) |
a) Tim VTCP cua phan giác trong AD Lập phương trình AD b) Tìm chân phân giác trong AD Lập phương trình AD
@
c) Xác dinh AB, AC, AM véi M(x,y) thuéc AD Suy ra lại phuong trin phan gue trong AD DS b) DS: 10) e+ 2y-7=0 =2+2 8 Cho d: [x vat ly=3+t
a) Lap phuong trinh duéng thang qua A(7; -1) vuông géc với d
b) Tim M trên d cách B(O; 1) một đoạn bằng 5 ~ DS a)2x+yỞ13=0 " Cho tam giác ABC với A(1;1) và 2 đường cac BH :-2x+y-8=0, CH : Bx + By - G6 =0 a) Tìm trực tâm H b) Lap phuong trinh 3 canh cua tam giác ABC
HD tìm mệt điểm và VTCP k Hoặc VTPT, cach khác là khử tham sé, | ds Lập phương trình đường thẳng qua 2 hinh chiéu cua điểm K(4;-3) lạ
Lập phương trình đường thẳng qua A(2; 4) và cắt Ox, Oy tai M Ì
, BE; 5), ; Cb =3) Lập phương trình đường thẳng qua;
SƠ Ệ | | /
Cho A(O; 5), B(4; 1) vA d: x - 4y + 7= 0
a) Lập phương trình đường thẳng qua K(-1, 1) chia đoạn AB theo tỉ -2
b) Lbập phương trình tham số của d Tìm M thuộc d mà tam gidc MAB
- cân tại M | |
DS b) MCI; 2)
Tim 3 đỉnh tam giác ABC biết phương trình 3 cạnh:
:xỞY -2=0, BC:3x-y-5=90 và CÁ:x-4y -1 =Ô
ỘHD Giải hệ phương trình toạ độ giao điểm | :
, Tìm 3 đắnh tam giác ABC và phương trình BC biết L' phương trình AB: bx Ở2y +6 = 0,AC: 4x + Ty -21 = 0 va tryc tam la O
DS A(; 3), B4; Ở7),
Lập phương trình các cạnh còn lại của hình thoi ABCD biết dinh A(0; 1), "cạnh AB: x + 7y Ở 7= 0, đường chéo BD: x+2y-7=0 Tinh dién
tắch hình thoi
DS x+y-10=0,x+y-7=0,x+7y-37=0
, Cho hinh chit nhat ABCD véi A(5;1) , C(0;6) và 1 cạnh
_x+2yỞ 12=0 Lập phương trình các cạnh còn lại pS x+2y-7=0, 2x-y-9=0,2x-y+6= 0 đ Lập phương trình đường thẳng đối xứng của d: x ~ 2y Ở 5 = 0 qua: : a) trục Ox b) truc Oy c) gốc O ỷ điểm A@, 1) e) Phân giác thứ ỳ: y=x_ : DS a)x+2y-5=0 b)x+2y+5=0 Ox By + B= 0 d)xỞ-2y+5=0 e) 2x-y+5=0
6 Cho tam giác ABC vuông tại A , canh BC: 3x Ở y- v3 = 0, hai dinh
- A,B thuộc trục hoành và có bán kắnh đường tròn nội tiếp r= 2: Tim
_ toa dé trong tam G |
pS SỈ +43 6+ 2/3 ) (SS = S|
3 3 J 3 3
7 Tìm điểm mà họ đường thẳng: y= (2m + 1)x - mỢ không đi qua Từ đó _ chứng minh các đường thẳng luôn tiếp xúc với 1 paraber cố định
DS y=x*+x _
8 Xét vị trắ tương đối của 2 đường thẳng, khi cắt nhau hãy Ề chỉ ) ra giao điểm:
Trang 28rye 8 Ộ%
i i
il
HC hoac dung quan hé VTCP, VTPT
ử9 Biện luận vị trắ tương đối của 2 đường thẳng:
a) rax + Ữy + 3m -2 = ỷ và x + my + 2= 0 b) ụ =8 TS và 6y + (a4 by Ở1 =0
yuort |
c) ax + dy Ở 8= 0 và 4x + by 4 20= 0
HOD gidi va bién luận hệ phương trình
20 Tim tham sé dé cdc duéng thẳng :
a) (3 + n)x -5y + 4 = 0 va đx - (4- m)y Ở 5 = 0 trùng nhau b) 3x + 2y Ở 10 =0, 7x -2y -Ở10=0 , 2mx + 3y Ở 7 =0 đồng qui DS abn=-7,m= Ở 21 Cho A(3; 1), BC1; 2) và điểm, M (a; a) lưu động a) Lập phương trình MA, MB: Ỷ Ấ0 b) Đường thẳng MA cất Ox tại P và MB cắt Oy tại Q Chứng minh đường thẳng ee di qua 1 diém cé định DS b) I(1; =)
22 Cho tam giác ABC với iA (1; 3); B(O: 1) ; C(-4; ~1) a) Tìm hình chiếu H của A lên BC
b) Tinh duéng cao AH
c) Tầm điểm đối xứng của A qua BC DS b) AH = ae | 23 Lập phương trình đường thẳng đối xứng của : a) d: 4x -8y+6=Oqua A: 27x -99y + 28 =0 b)d:x-2y-5=0 qua A: 3x+y+4=0 DS a)5x+12y+10=0 24 Cho tam giác ABC với B3; 5) ; C(4; 3), phân giác trong AD :x+2y-8=0 | a) Lap phương trình 3 cạnh của tam giác b) Tắnh điện tắch và r HĐ đỉnh ÁC-2; 5)
25 Cho tam giác ABC biết trọng tâm G3; -1) va 2 cạnh -
AB: 4x +y+15=0, AC: 2x+5y+3=0 a) Tim đỉnh A va trung diém I cia BC b) Tìm 5B, C và phương trình BC | B(-3; -3), C(1; -1), ĐC: x Ở 2y Ở 3=0
26 Lập phương trình 3 cạnh tam giác ABC biết C(-3; 1), đường cao AHH : Ởx+ 7y +32 =0 và phân giác trong AD: x + 3y + 12 = 0
HD tìm điểm đối xứng cuả C qua phan giác AD
9g 7 Lap phương trình 3 cạnh tam giác ABC biết B(Ở4; 0), du@ng cao AH: , wax + Sy + 2 = 0 va trung tuyén CM: 4x+y+3=0
Lap phuong trinh đường thang qua I(-1; 1) va cắt 2 đường thẳng:
2x+yvỞ8=0,xểỞy+đ=0tạiP,Q mà: |
-a) Ì là trung điểm PQ
b) Tam gidc MPQ can tai giao điểm M của 2 đường thẳng đã cho
ẦĐS a)xỞ 4y +5=Q
29 Lap phương trình đường thẳng qua giao điểm của 2 đường thang:
Ở_a)2xỞy+đ=0,83x+ 2y Ở-3 = 0 va qua A(-3; -2)
_b) 3x y= 0 x4 4y- 2 =0 và vuông góc với d: 2x + 7y Ở Ì = Đ
HH tìm giao điểm trước |
30 Cho 2 đường thẳng dị : kxỞ y + k= 0, dạ: ỞkỢ) x+2ky-i-kệ =0
-a) Biện luận sự tương giao |
b) Chứng minh các giao điểm nằm trên 1 đường tròn
_e) Chứng minh khoảng cách từ O đến dị không quá 1
/ DS b)x*4+y%=1
81 Cho đị: rax + y - 3= 0, dạ: x + my Ở 2m Ở 1= 0
a) Tìm điểm cố định của dị, đạ,
Trang 29ant puons thing x Ở Sy + 1 0.06 Vier Os _- 2)(-8)| 10 = = 45 Ji6+4/1+9 20.10 Ộ35 Đường thang J/3xỞy+1=0c6 VIPT (43; Ở1) Đường thẳng x = O0 có VTPT (1; 0) ý3.1+Đ.0|- a = sn => 0 = 80" J3+1/i+0 2 Đường thẳng 3x Ở 2y - 1 =0 có VTPT (3: Ở2) 3) -Đườn g thẳng 2x + 3y Ở 8= 0 có VIET (2; 3) cosỦ 3.2+(-2).3 COS@ = 3.2 +(Ở2).5 -0 >0=90ồ J9 + 4 ^/4 +9 dụ 3: lắnh góc giữa 2 đường thang x= - Íx=Ởl+8t a) và 4 y=3+ 2b Ly=t % = =4 Ở 2È : b) set và 3x Ởy+6=Q Giai ve Đường thắng có VPOGP (1; 2) Ly =3+ 2t x= Ở-1+ 3t' Đường thắn CÓ VPCGP (3; 1) y=E | os 3+ 21 5 => @ = 45ồ COSO = = - = = Ji+4J9+1 V5Vi0 V2 #=Ở4Ở 2t ) Duong thang } có VEỂGP (2; 1) => VIPT (1; 2) y=t Đường thẳng 2x Ở y + 6G = 0 có VTPT' (2; Ở1) [1.2 + 2(-1) 2080 = =0 =o=090Ợ _ ; J1+4V4+1 |
3 , Pal viet duel dang trinh tông quái id _dụ 8: Cho hai đường thang: - xẻ"
Vắ dụ 1: lìm góc giữa hai đường thẳng: | dh: Gn Ở 1)x + (m + l)yỞ-5=Đ0; dgemxe+y+2=0
a) 4x Ở 2y +G6= Ovà xỞ 3y + 1=0, a) Chứng tỏ rằng dị và dạ luôn cắt nhau với mọi giá trị m
b) /3xỞy+ l1=Ovàx=0, b) Tắnh góc giữa dị và đạ
Ạ) 3x Ở 2yỞ-1=O0 va 2x+3y-8=0 ae | | : TH ed aye mắ
CLES 2 2 Ộa HT * ứm
2 Great: - a) To siao diém lA nghiém của hệ: +
Trang 30b)
Vắ dụ 5: Cho tam giác A
_đụ 6: Tìm các góc của một tam giác biết phương trình các cạnh ta Ở1 +1 Ta có: D=[Ợ m = 1 = (m Ở 1) Ở m(m + 1) = Ở(mỂ + 1) Vi D # O véi moi m nén d; va dz luén cat nhau mứmỞ1)+(a+|) Ở mồ2+l v2 ẹ Ểa-1ồ+(Ểm+1)ồ.jmẺ+1 (mM? + DV2 Vay ọ = 45ồ với mọi m COSQO =
Vắ du 4: Cho hai đường thẳng d: xỞ 2y+5=O0vàd:3xỞ-y=0
Tìm giao điểm và tắnh góc giữa d và ở | Giải: ` Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình: xỞ-2y+5=0 x=1 <> - vậy đ cắt d' tai M(1; 3) ox Ở y= O y= 3 VTPT (1; Ở-9), đ' có VTI 5713 ~1) nên: |laƯaa+b,b.| 12 2 1| a Ở | 3.2 | Ở Đ =ỞỞ Ở> ẹ = 45ồ daậ + bộ ala? +b? t+ 4N941 5⁄2 42 | d có COS( = góc giữa 2 đường thẳng AB, AC Giải: Ta cé AB = (Ở7; 3), AG =(-3: 7) cosA = cos(AB, ACG) = = => A x 32ồ36' Các đường thẳng AB,
AC) < 90ồ nên: (AB, AC) = (AB, AG) = 43ồ86'
giác đó là: x x+ 2y =Ơ; 2x+y=0;x+y=Ì
/ | Gidi:
Xét tam giác ABC với phương trình các cạnh của tam giác như đã cho : khi đó, toạ độ các đỉnh của tam giác là nghiệm của các hệ:
NN: jeer ae
2x+y=0 x+y-1=0 x+y-1=0
Giải các hệ này ta được toạ độ các đỉnh tam giác, giả sử A(0; 0), B2; Ở1), C(Ở1; 2) Suy ra: AB = (2;Ở1), AC = (Ở1; 2), B = (Ở3; 3) AB = AC = 45 nên tam giac ABC can tai A cos(AB, AG) = _ẾCP+CĐ2 _ Ý_  Ấ 143ồ8' J2+1VjJ12+2Z2 5 cosA BC có ACA; Ở1), B83; 2), Cd; 6) Tinh gốc  v AC lần lượt có vectơ chỉ phương AB, AC mà (AB aN => B=C ~ 18ồ26 Vi dụ Z7: Tìm giá trị của m để đường thẳng mx + y + Í = O hợp với đường thẳng 2x Ở y + 9 = 0 góc 30ồ Gidi: Đường thẳng rax + y + 1 =O có VTPT (m; 1) Đường thẳng 2x Ở y + 9 = 0 có VTPT (2; T1) Điều kiện: cos30Ợ = coso : v3s |J2m-1 3_ (ôm Ở 1P | 2 Im?a1J4a1 4 (m? +195 _ ẹmỢ- l6m- 19=0Ạm=8+345 (dụ 8: Xác định các giá trị của a để góc bạo bởi hai đường thẳng: x= 2 + at | và 3x + 4y + 12 = 0 bang 45ồ y=lỞ-2t x= 2+ at , Đường thẳng Ai: có vecbơ chỉ phương u (a; Ở2), đường thang y=l-2t Ae: 8x + 4y + 12 = 0 có vectơ chỉ phương v (4; Ở3) Góc giữa Ai và Áa bằng 45ồ khi và chỉ khi: | |4a + GÌ Ổeee nner 1 Ở_ |4a+G| cos45ồ = Ở = =_ 1S Va? +9? 42 + 3? J2 B4a2 +4 <> 9đ(a2 + 4) = 2(4a + 6)? 7aỢ + 96a Ở 28 = O ` Q
Tư đó có hai giá trị cần tìm là a = 7 và a = ỞÌ4
Trang 31Vắ dụ 10: tắnh khoảng cách từ Gi ém Ở5) dén cdc đường thẳng Vắ dụ 14: Tìm gid tri m dé khodng cdch tty AC; 1) dén đường thẳng x = 4t _Ở_ mx + (23m Ở l)yỞ3=0 bằng 2 | a) y=2+3t > 8 Fat ot 2 Ta 06: d(A; A) = 2 Giải: "bie _Ở [m+@m-1)-3 ` a) Khử tặ, ta có phương trình tổng quát là 3x Ở 4y +8=0 nên I3.4+4.5+8 | a(M; A) = | _ 40 v3? +4? 5 | | b) Dutng thang đã cho có phương trình tổng quát là: 3xỞ 2y + 4 =0 , I3.44+2.5+4 2 nén d(M; A) = ỞỞ 1| _ 26 - 2/13 V2? + 3? v13 et ỞỞỞỞ = 2 <> [8m Ở 4| = 25m? Ở 4m + 1 ymỢ + (2m Ở1)? SH HH bột RE = ậ <> 9m* + 16 Ở 24m = 20m? ~ 16m +4 <> llm* + 8m Ở 12 = 0 Vay m = ỞỞỞ Vi du ii: Tim ban kinh cia dường | tròn tâm C(-2, _0)- và tiếp XÚC Với đường thẳng A: 5x + 12y Ở 10 =0 | Giáp Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng mên bán kắnh R= d(C: A) = |5(-2) + 12-2 Ở10| _ 44 95 +144 18
_dụ 12: Đường thẳng A: 2x Ở đy + 9= 0 cắt 2 trục toa dé tai i A, B Tắnh chiều cao OH của tam giác OAB
Gia: |
Chiều cao OH của tam giác vuông OHIB là khoảng cách từ gốc O đến
đường thẳng A |
OH = a(0; ay = 20-5049) 9 J4 + 25 29 - ể
Vắ dụ 18: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
a) Ai: 48x + 14y - 21 =0; As:24x+ 7y 28=0_
b) Ai: Ax + By + C= 0; Ag: Ax + By +ẠẹC =9
Giới: - |
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm của đường thẳng này đến đường thẳng kia Ẽ | a) Ag: 24x 4+ 7y Ở 28 = 0 | Chox=O>y=4=> AQ; 4 & Ag 48.0+14.4-Ở 21 đ(A; Ap) = (A: Ay) = | + lệ |_ 7 Vắ du 1l: lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai _ đường thẳng _a) Ai: 2x+4y+ 7=O0và AsixỞ2yỞ3=0 b) Ai: x= 0 va Ag: y = 0 Gidi: Phương trình hai đường phân giác của các góc giữa Ay va Ao la: J 2 2 10 | Qx+4y+7 x-2y-38 |2x+4y+7~ 2x Ở 2y Ở 3) =Ò V48Ộ + lá - ỘỞỞỞỞ +: ỞỞỞ =0
b) Lay M.(x3 yo) Ạ Ai: Ax + By + C = 0 => Ax, + By, +O=0 Jv4+16 vi+4 ' lox 4 4y +74 2(xỞ2y 3) =0
7 | Axx, + By, +C} nó ân <ẹ Sy + 18 =0 hay 4x + l1 = 0
UAr, A2) ~ (Mo; Aa) = JA? +B? ) Phuong t inh hai đường phân giác của góc giữa Ai và Aal la:
+ By, +C+C-C | |C Ở CỊ -ỌỞ=0eẹx+y= 0 hay xỞ y =0 | |
JA? + B2 /A2 4 BR? ồ
Trang 32(tú?: Phương trình đường thẳng qua gốc bọa độ có dạng: Ax+ By=0<>A?+B7z0 Khoảng cách từ A(2; 2) và B(4; 0) đến đường thẳng đó bằng nhau nên: đA+2B| Ở |4A| VA?+B? VA? +B? Ở_ ẹ@Ax+B=+2Ae>B=A hoặc B=_-3A | -_ Với B= A, chọn A = B = 1 thì có d:x+y= 0
Với B =Ở8A, chon A = 1, B = Ở8 thi cé d':x Ở 3y = 0
Vi du_7: Lap phương trình đường thang qua POO; 2) và cách đều hai điểm _Ở A(3; 0) và B5; 4) ¡ dụ 3: Tìm quỹ tắch các điểm cách đều hai đường thẳng: a) 5x + 3y Ở 3 = 0ỷ và đx + 3y + 7= 0 b) 4x Ở- 3y + 2= ỷ và y Ở 3 = 02 Giải: | a) Diém M(x; y) cách đều hai đường thẳng đã cho khi và chỉ khi: |đx+3y-3|_ |ỗx+ 3y + 7| v52 + 3ồ V5? +3? <> 5x + 3y + 2= O 4
Vậy quỹ tắch là đường thẳng 5x + 3y + 2= 0
b) Diém M(x; y) cach déu hai duéng thang da cho khi va chi khi: |4x Ở 8y + 2| V4" +3? Vậy quỹ tắch là 2 dường thẳng: ` 4xỞ 8y + l7 = 0 và 4x + 2y Ở 13 = 0 Vắ đụ 4: Tùm quỹ tắch các điểm cách đường thẳng Ở2x + đy Ở l= 0 mot khoang _ cách bằng 3 : <> 5x + 3y = 3 = +(5x + 3y + 7) Giải: Gọi A là đường thẳng đi qua P và có vectơ pháp tuyến là n = (a; b), a? + b* #0 thì: A: a(x Ở 1) + bly Ở 2) = 0 oS ax + by Ở 10a-Ở 2b=0 Ở7a Ở 2b| |~15a + 2b| (A; A) = d(B: A) = [7a - 2b| _ |-15a + 2b| as Ja? +b? Ja* +b? 7a +2b =15aỞ2b esl 2a Ởb =0 : 7a+2b=-15a+2b a=0 Ở Với 2aỞb= 0, chọn a = 1, b = 2 thì A: x + 2y Ở 14 = ĐÔ Với a = 0, chọn b = 1 thì A: y Ở 2= 0
Vi du 8: Cho hai điểm A(1; 1) và B3; 6) Viết phương trình đường thẳng
- đi qua A và cách B một khoảng bằng 2 Gidi:
Đường thẳng A di qua A(1; 1) có phương trình:
a(x Ở 1) + b(y Ở 1) = O hay ax + byỞaỞb= 0 (a2 +b? #0) Ta có d(B; A) = 2 3a+6b~a~H og | (9a + 5b? =4@2 + b2) Va? +b" =ly ~ 8] <> 4x Ở ảy + 2 = +BÚ Ở 8) Giai: "Điều kiện điểm M(x; y) cach đường thang Ở2x + 5y ~1=0 mot | khoang bang 3: |-2x + 5y - 1| 422 +5? <>~2x+đyỞ 1=3429 ;Ở2x + By Ở 1=-Ở3429 Vậy quỹ tắch là hai đường thẳng song song có phương trình _Ở2x + By Ở1Ở 829 = 0 và -2x + đy - 1 + 3/29 =0
Vắ dụ đ: Lập phương trình đường thẳng song song và cách đường thắn
ax + by +c = 0 một khoảng bằng h cho trước Gidi: = (x; y) thuộc đường thẳng song song và cách đường thang da cho me khoang bang h: =h Ủ |ax + by + c| = ha? +b? <> |7a + 2b| = [15a Ở 2b| =| =3 ẹ |-2x + 5y -1| = 8/89 <> batb +208) =0 => ồ _ | 21b + 20a = 0
Với b = 0, chọn a = 1, ta được đường thẳng Ai: x Ở 1= = 0
Với 21B + 20a = 0, chọn a = 21,b =-Ở20 ta được đường thẳng
Ag: 21x Ở 20y Ở 1 = 0 7
ax + by +e-hVaỢ + bỂ = _Ở Vắ dụ 9: Cho tam giác ABC có A(2; 6), B(-3; -4), C(5; 0) Lập phương
_ vậy tập hợp các điểm M là hai đường shine có phương trình trên trình các phân giác AD, BE _
Trang 33AC = (3; Ở6) > AC = 34/5 M(x: y) ằ AD = cos(AB, AM) = cos(AC, AM) ẤẤ -đỂ-2)- 10(y Ở6) _ 3Ủ - 2) - 6(y - 6) N SỐ CONC (i NNN xỞ2= 0 Vậy AD: xỞ 2= 02 B DĐ C Tương tự MỂỀ; y) e BE <>xỞy-1=0 x.- Vậy BE: x Ở y Ở Ì= 0
Vắ dụ i19: Viết phương trình phân giác d của góc nhọn tao bởi 2 đường
thang ai: x x-~-2y-5= 0, Ce: 2xỞy+ 2= 0
GiGi: | |
| [x-2y-5=0 jx=-8
Toa độ điểm T là nghiệm của hệ: <>
|ay y+2=0 |y=-4
Do đó I(Ở3; Ở4) Lay A(B 0) ề c = dk, B(-1; 0) c
Ta cé: IA.IB = 8.244 A = = 325 :Đ nên góc Are nhon |
Mx; y) thuéc phan gidc d cua ; góc nhọn tạo bởi dị và đa _
cos( TA , IM) = cos(IB ,IM)'
va 8Gx + 3) + 4(y +4) _ 2+3) +4(y +⁄9
~ 4/5 95
ox-y- -1=0 Vậy d:xỞy Ở_ J1 =0
Chú ý: Nếu góc ATB tù thì M e d khi: cos( iB, IM) = Ởeos( IA, IM) ắ đụ 11: Viết phương trình các đường phân giac trong va ngoài xuất _ phát từ đỉnh AÁ của tam giác ABC, biết A(1; 1), B(10; 13), CC18; 6) - Giai: _ ` ` 2 _ #ỞÌ y1 Phương trình đường thẳng AC : -ỞỞỞ=ỞỞ_Ở~ <>Bx_Ở l12y + 7= O0 13-1 6-1 xỞ-i you - 1 : Ở= => 4x Ở dy Ở L=Đ
Phuong trinh đường thẳng AB : ỘTÔCT 1321 | Vy
Hai đường phân giác của góc  có phương trình -
5x Ở 2y + 7 4 AR sy-l |
V5? +12 J4? +3?
Từ đó ta có: phân giác dị có phương trình: or |
Íx; y) = 9x + 7y Ở 16 =0, phân giác đa có phương trình
B(x; y)= 7x-9y+2=0 |
Ta cần xác định dị là phân giác trong hay ngoài của góc A
Thay toạ độ B = (10; 13), C(13; 6G) vào: | f(10; 18) = 9.10 + 7.13 Ở16>0 16) = 9.18 + 7.16 Ở 16 > 0Ô ` C cùng phắa đối với dị Vậy dị là phân giác ngoài và do đó giác trong 118; 7ắ dụ 12 : Biết các cạnh của tam giác ABC có phương trình: < AB: xỞ=y+4= 0; ĐC: 3x + By +4=0; ÁC: ix +y 12 ~0
Ở_a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A
: b) nay cho biét géc toa dé O nim trong ney} nằm ngoài tam giác ABC ae ` Gidi: : ) Giải các hệ phương trình, ta tìm được toa độ các đỉnh của tam giác _ ABC là: A(1; 5), B3; 1), C2; -2) Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc A là: *x-yt4,/x+y-12 _Ấ| PỂ~y +4) = 7x + y Ở12 | [x+8y-16=0 @ = | | |3x-y+2=0 (2) Thay lần lượt toạ độ của B và Ạ vào vế trái của phương trần được: Ở~8 + 3 Ở 16 = Ở16 ; 2~6Ở 16 = Ở90
uy ra B và C ở cùng phắa đối với đường thẳng có phương trình (i) Vậy phương trình đường phân giác trong ằ cua góc A là:
_3xỞy+23=0O0
"Thay lần lượt toạ độ của gốc O vào vế trái phương trình của BC, AC,
ỘAB ta được: 4> 0 Ở 12<ẹQ: 4>0O |
Thay toa dé A, B, C 1An lượt vào vế trái phương trình của BC, AC, AB
ta được: 3 + 5.5 + 4= 32 >0, 73) + 1Ở 12=-32<0,2+2+4=8>0 Ở Như vậy: O và A nằm cùng phắa đối với BC ; O và B nằm cùng phắa đối với : AC; O va C nam cing phia déi với AB Vậy O nằm trong tam giác ABC,
_ Vắ du 18: Cho điểm M2; 5đ) và đường thẳng đ: x + 2y Ở 2= 0
a) Tim toa dé diém M' déi xting véi M qua d
b) Viết phương trình đường thẳng đ đối xứng với đ qua M
nh (1) ta
Giai: Sa
Gọi toạ độ cua M' la M' = (x; y) Khi đó MM' = (x Ở 2; y Ở 5) va trung
điểm I của MM' có toạ độ r= (=? y+s a) J Nếu M là điểm đối xứng VỚI 2 M qua d thì vectơ MM ' vuông góc với d và điểm ỳ nằm trên d, tức là: xỞ 2 _y T5 5 1 2 Ale 2 yts Ở~2=0
Giải hệ phương trình trên ta được M' = (Ở2; Ở3) | _
tơ d phải song song với d nên dđ' có phương trình x + 2y +C=0
Khoang cach từ M tới dvà d "Phat bang nhau
Trang 34_ 2+ 2.5 + CỊ Vi+ 2? Vv1+ 2?
Chon C = Ở22 Vậy d có phương trình x + 2y Ở 22 = 0
Vắ dụ 14: Viết phương trình đường thang qua A(Ở2; va tao bởi đườn
thẳng d: x + 3y Ở 3 = 0 mét géo 45ồ
Gigi:
Đường thẳng A đi qua A(Ở2; 0) có phương trình: a(x + 2) + by = 0 hay ax + by + 2a = 0 (a" +b? #0) A tạo với d géc 45ồ ề> 12+ C| = 10 12+ C=+10 |a + 3b| |a + 3b| - Ja? + b2./10 Ja? + b2./10 Ở v2 = <> cos45ồ = <> a=2b 1 ẹ B(a? + bỲ) = (a + 8b)? ẹ 2aỢ:Ở 3ab Ở 2b = 0 ẹ 5b b Ở Ở
Với a = 2b, chọn b = 1, a = 2 ta được đường thẳng Ai: 2x+ y +4=0 Với a = -Sb, chọn b = Ở2, a = 1, ta được đường thẳng A;: x Ở 2y + 2 =0
¡dụ 15: Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; Ở1) và phương trình cạnh : 0 Lập phương trình hai đường chéo của hình AB là x + 2y Ở Ì =
vuông -
Giải: A B
Hai đường chéo AC, BÌ là hai đường thắng qua [|
hợp với AB một góc 45ồ Phương trình 2 đường i chéo: a(x Ở 4) + béy + 1)= 0 tý lễ Với u = (a; b) là VTCP, a 2 4b? +0 Đường thẳng AB: x+2yỞ-2=0 có VTCP v (2 1) 2a-b| 3 Ja2+b2VJ4+1 2- <> 2(2a Ở b) = B(a? + b?) ẹ 3a? Ở 8ab Ở 3b = 0
<ẹ (a Ở 3b)(3a + b) = 0 < a = 3b hay b =-ảa : Với a = 3b, chọn b = 1, a = 3 ta có đd: 3x + yỞ l11=0
Với b = Ở3a, chọn a = 1, b=_Ở3, ta có d:xỞ 3y Ở/=0
Ta co: |cos(u , v )| = cos45ồ &
Vắ dụ 16: Viết phương trình đường thẳng d di qua P(3; i) cat 2 Ộđường + 2yỞ3=0,A;: 3xỞ y +2 = 0 tai A, B sao cho d tao véi | h tam giác cân có đường thẳng AB @ z4 2 Ay Gigi: Giả sử đường thẳng đ cắt Aj, Ag IAn lượt
ở A, B Gọi ỳ là giao điểm của Ai và Aa
thì tam giác IAB là tam giác cân bại aa
SN
dinh I khi A vuông góc với đường phân ẤAE BNA,
giác trong của géc AIB |
Phuong trinh hai đường phân giác là: xi3, 3x-y+2 =0 v5 v10 ẹ (42 - 3)x +(22 + 1)yỞ 342 -2=0, (42 +3)x + (24/2 Ở- 1)y~ 34/2 +2=0 Vậy hai đường thẳng cần tìm qua P và lần lượt vuông góc với phân giác, có phương trình chắnh tắc: X3 _ y-Ì , x3 y-i ) 42-3 2/241Ỗ J2+3 22-1
Cách khác: dùng góc cos(d; Ai) = cos(d; Aa) |
ắ dụ 12: Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình các đường thẳng
AB, BC lần lượt là x + 2y Ở 1 = 0 vA 3x Ở y +5 =0 Viết phương trình
đường thẳng AC biết rằng đường thang AC di qua diém M(1; Ở3) Gidi:
Đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến nụ (1; 2), đường thang BC có
-_ vectơ pháp tuyến nọ (3; Ở1) Đường thẳng AC qua M nên có phương
trình a(x Ở 1) + b(y + 3) = 0 (a7 +b? + 0)
Tam giác ABC cân tại đỉnh A nén ta cé: |3Ở 2 I3a Ở bị _ cos(AB;BG) = = cos(AC,BC) = Ở =ỞỞ M1? +22 2/32 +12 Ja? +b? /9? + 22 2 Va* +bỖ = M5 |3a - bị <ẹ aỢ + bỲ= đ(3a Ở bì? a=Ởhb <> 22aỲ Ở 1Bab + 2b =0 c> _ 2y 11
Với a = Sb, chon b = 2, a = 1 ta được đường thẳng AC: x + 2y + 5= 0 Trường hợp này bị loại vì khi đó đường thẳng AC song song với đường thang AB
Trang 35
đường thẳng A Tìm điểm ở đối xứng của Ô qua A b) Tầm điểm M ặ An even OS een, trên a 2 8 CFLCite Ỳ a) Thế tọa độ A và ỷ vào vế trái của A_ và ZA la có: 2 Ở ỷ + 2= 4 > Ô; O-Ở- Ô - a = 2Z> % Vay Ava O nằm về cùng một phắa đối với đường thẳng A
3ọi đ là đường thẳng di qua O và
vuông gốc với A bại Eị : S
Phuong trinh tham sé cia d la: Vi H ề dnén HG; Ởt)
2 LY =
Thế vào phương trình A thi duge t = -1 = HC1; D > O'C2; 2)
A sao cho độ đài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất, t0:
ỘĐiểm M năm cùng raội phắa với điểm ỳ đối với đường thẳng thứ nhất
và đường thẳng thứ hai khi và chỉ khi: (Aix + Bry + Cy)(Aix, + Bury, + Ci) > 0 và (Aox + Boy + Co)(Acx, + Boy, + Co) > 0
Phương trình hai đường phân giác của góc tạo thành bởi hai đường AyxX+Biy+C, | Aox+Boy+C, c1ựo: + Ci} JA? +B? JA? + B} bọn đấu "+" hay "=" để được phân giác i e đối đỉnh của nó) | |
mia tri Sy = Aux, + Bịy, - Oy 1 VA S25 Aoệ + Bevo & Co
Nếu ổ liểm M = (x; vy) nim trong góc chứa điểm I thi:
Aue + Biy + Cy cling dau vdi Si và à Ax Boy + Co cờnag dấu với Sa tức lƯ
Cry) (Aox Boy -+ Co) cung đấu VỚI 1 3a
Nếu điểm a M(x: y) năm trong góc đối đỉnh với cóc có chứa điểm I ằ Aix + B¡iy + ;¡ khác dấu với Sị và Aazx + Bay + Cạ khác đấu với Sa cho nên (À¡x + Bịy + C¡)(Aax + Bay + CƯ) cùng đấu với Ss.S:
b) Ta có độ dài đường gấp khúc OMA Như vậy đường phân giác của góc có chứa điểm ỳ và góc đối đỉnh với
OM + MA = MO + MA = MO' + MA > O 'A: Không đổi nó có phương trình (1) với đấu "+" néu S; = | Aix, + Biyo + Ci va
Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thang O'M: Se = Azxo + Bay, + CƯ có cùng dau, và với dấu "Ở" nếu S¡ và S;Ư khác
x + 3y Ở 2= 0 với A dấu
Toa độ của MỂx; y) là nghiệm của hệ phương trình dụ 4: Các cạnh của bam giác được cho bởi các phương trình sau:
ắ 2 AB: x+y = 4; BC: 8x Ở y = 0; CA: x-3yỞ-8=0
; x Z4 ~ Ở : 4 2 2 +2
:
[x-~y+2=0 - A a) Tắnh các góc của tarn giác
Ổ - 2 = 0 Ở A vay M2 3) b) Tắnh chu vị và diện tắch của tam giác
(tt 4y ess lý =Ở poe k kì 3 e) Tắnh độ đài các bán kắnh r, R của đường tròn nội tiếp và đường trò
- og ` ngoại tiếp tai m giác
Vắ dụ 2: Cho đường thắng Am: (ắa Ở 2)X + (mn Ở vy +2mỞ1= 0 va 2 diem Giải:
Trang 36Oo SoresỢ Vi du_3: Cho hai dugng thang song song AL ax+by+c=0 và Agi ax + by + d= 0 Chứng minh rằng: = 2 2 Ho, * c ~~ dị a) Khoảng cách giữa Ai và As ban | = a* +b b) Phương trình đường thẳng soig song và cách đều Ai và Aa là: ; c+d ax + Dy + ỞỞ =0 Ưậ Giai: a) Lay M(x; y.) thuộc AI, suy ra ax, + by, + c = 0 Ta có ACM: As) I Khi đó ta có: : 2? Z * ~ > ^ Z a khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Ai va Ag | jax, +by, +d cỞd dCAi; A2) = dỂM; Aas) = jaxỪ + by, + dl = _E=d_ | Ja? +b? Va? +b? b) Phương trình đường thẳng Aa song song với A; va A, cé dang: axZ + by +e=0(ezc,ezd) hn dune chu ay p ung ằ Call a) ta co: d{Ay; Aa) (Ar As) = ZS gà, Jaz +b? Aa= | ? d(Aa; Aa) a3 1 b2
Aa cách đều hai duong thang A; va Ag khi va chi khi
d1; A3) = d(As; As) <> le Ở el = ld |
c=d Cloai viA, //A,)
<> e=Ở .e+d 2
^ > ` c+d
Vậy phương trình của Aa la ax + by + = 0
Vắ du 6: Chứng minh rằng khi m thay đổi các đường thẳng sau đây luô
tiếp xúc với một đường tròn cố định:
A: (1 Ở m)x + 2my + mÊỞ 4m + 3= 0 (rút:
tò) và R là tâm và bán kắnh của đường túc với mọi m, ta có: dỂI, A) =R, Vm Gọi [Gx tròn cố định mà <- Vann ey Koch Ấim V > tmỖ Ở4m+ 3 =R, Vm JQ - m?)? + 4m? |m (1 Ở xƯ) + ra(2y, Ở 4) + 3 + xe] ét: ra 2C Ở xe) + m(2y, - 4) +3 +x, = R(m? + 1), Vm = R(m* + 1), Vm mồ(L ~ x0 Ở R) + m@yo~ 4) + 3 + xo Ở R= 0, Vm By, -4=0 &> Yo =a [8+x,-R=0 R=2 : z | Xét: ra 201 Ở x,) + m(2y Ở 4) + 3+ x, = ỞR(m* + 1), Vim e> m1 Ở x) +R) + my Ở 4) + 3+X,+ R= 0, Vm oy, -4=0 =R=-2<0: loại
luôn biếp xúc với đường tròn cế định
Tắnh khoảng cách từ A(2; 1) đến đường thẳng có phương trình : a) 3x Ở Ây + +6 =0 b)x=6 | [x= 34+ 2t cy +4=0 d) : Ly =1-3t : 8 | , 3 DS a) Ở b)3 c)5 dđd) ỞỞ 18 Cho tam giác nó ÓC? VỚI ACL: 1); B-2; 4) ; a) Tắnh cosA, Tắnh diện tắch S b) Lập nhường trình cạnh BÓ G(Ở-4; Ở3).: đường cao AHÍ, Suy ra lại diện tắch 27 S b) 7x - 2y + 22 = 0, AT =-2= ,o=Ở ot 2
'ho 3 đường thắn Bo ae me!
CA: 4x Ở y Ở19 = 0 cắt nhau tạo thành 1 tam giác ABC
a) Tim A,B,C Chứng mình tam giác ABC cân
Trang 37h) thuộc ở: x Ở 2y + 1 = O0 và cách đường thẳng: 3x + ấy Ở l2 =0Ôm
đoạn có đệ dài bằng 1
DS a) M(O:; 15) hode (0: -=) F tee
` faa iow, `
Tìma các đỉnh của hình chữ nhật ABCT) có tâm MS: O), phương trình
đường thẳng AB: x Ở 2y + 2 = 0 và cạnh AB = 2AD Biết rằng đỉnh A có hoành độ âm
ĐS AC2;0), B1; 2), C(3; 9), D(C-1; -2) | %
"Tìm các đỉnh của hình vuông ABCD biết A, B e ở: y = x + 8 và C,
De(Ể):y = XÃ | |
HD dùng quan hệ song song và quan hệ vuông góc
Litp phương trình đường thẳng:
a) qua K2; 5) và cách #G; 1) một đoạn bằng 3
bì qua giao điểm 2 đường thẳng: 3x + 2y Ởl = ỷ, x Ở y + 3= O0 và các
A(3; 4) một đoạn bằng 2/10 3
DS aj)x= 2, 7x + 24y Ở 134 = 0 ồ 5 Cho tam giác ABC có điện tắch S = Ế và A@; =3) ; BG, Ở 2) và trọng
6 Lập phương trình đường thẳng đ cách A1; 1) một đoạn bằng 2 và các : 2
B; 3) mét đoạn bằng 4
DS y+i=0, 4x+ 3y+3=.0
7, Cho f(x,y) = Ax + By + C va;2 diém IGu, yi), J(xs, ye) Chimg minh diém I, J khac phia déi véi d: xy) = O khi f(x, y1).f(xe, ye) < O
8 Tìm quỹ tắch các điểm M: ì
a) Cách đều 2 đường thẳng: x+2y Ở3=0 ,2x+yỞ8=0 b) Cách đầu 2 đường thẳng: 5x + 3y Ở 9=0, 5x +3y+5=0 Ủ) Cách đường thẳng: 3x +2y Ở1 =0 một đoạn bằng 6 ĐS b)đx+3yỞ2=0 | | 9, LAp phuong trinh 2 phan giác của góc hợp bởi 2 đường thẳng: ajx+3y-7=0 và 3x+y+42=0 b) 4x -3y+2=Ũ và vy=3 IDS b) 4x Ở Sy + 17 =0, 4x + Zy Ở 13 =0 OW tâm G c d:3xỞyỞ8=0 Tìm G và C.Góc Á nhọn hay tù? DPS G(1; Ở5) hoặc G(2; Ở2) 6 Cho M(a, b) e đ:xỞ 2y + 2= 0 Chứng minh : a) A(a Ở 3)? + (bỞ 5)? Ở J(aỞ 5)? + (b- 7)Ợ < 2V2 bp) Ja Ở3)? +b Ở 5)? + JaỞ5)? +- 7" 26 HD dùng tổng, hiệu hai khoảng cách 7 Tắnh góc giữa 2 đường thẳng : Ở a) 4x - 2y +6 =0 và xỞ 3y + 12=0 b) xx~+y+ 7 =OvàxỞy-2=Ô e)x=2và 4J3xỞy+4=0 BS a) 45ồ b)902 c) 30ồ [2x + y > 2 8 Tắnh góc giữa 2 đường thẳng: 10 Tìm tập (ỂH) các điểm M(x,y) thoả hệ: +x+3yỞ9<0 a) 3x SỞ 4y Ở 11= 0 và eo 1-4t x>Đ0,y>0 y=34+3t b) x + (V6 + Dy-2=0 và 5x -(4/6 Ở L)y + 27 =0 DS b) 90ồ | 9 Lập phương trình đường thẳng qua A(2; 1) va hop \ với đường thẳng ở: 3x Ở 2y + 9= 0 một góc 45ồ DS xỞ5y+3=0,5x+y-Ở11=0 0 Cho M (-1; 3) ; N1; 1) Lap phuong trình dudng thang qua A(3; 5) hợp với MN góc 45ồ DS 3x Ở 7yỞ13 = 0, 7x + 3y Ở 36 = 0
1 Lập phương trình 3 cạnh tam giác ABC biết A(1; 3); B(1; 5) và Tinh dién tich CH) pS s=22 2 11 Chứng minh đường thẳng 5x Ở 12y + 29 = 0 tiếp xúc với đường trò có tâm I2; 0) va R = 3 HO dùng định nghĩa 12 Cho đường thang: (m Ở 3)x + (1 + 2m)y + 14 = 0 và điểm A(3, 5) a) Tắnh khoảng cách từ A đến đường thẳng b) Tìm điểm cố định K Từ đó suy ra khoảng cách lớn nhất từ A dé
đường ường _Ở thả thăng cosA Ở :cosB _SỞ sA= a ; = ae
DS KG; -2),m= Ở 2 Cho d: Ở-yỞ-2=O0vadỖ: 2x+4yỞ7=0
a) Lap ; iong trình 2 phân giác giữa d và đ
Trang 38
b) Lập phương trình đường thẳng qua A(3,1) và tạo với 2 đường thần
đã cho thành 1 tam giác cân tại giao điểm 2 đường thẳng đó
HID b) dùng kết quả câu a)
23, Cho tam giác ABC với AB : 4x#-Ở y + 2= 0,
ĐC: xỞ 4y Ở8 =0, CA : x+4yỞ8=0
a) Chứng mình tam giác vuông bại A,
b) Lập phương trình 2 phân giác góc B và C Suy ra tâm dường trò nội tiếp I DS b) tam I(Ở;0 0Ủ|@ ~ 24 Tìm tham sé m dé 2 đường thẳng: mx + y Ở 28 = ỷ và 2x Ở Ữ + 7= hợp với nhau góc 307, DS m=8 +35 25 Cho A(3, 3) va BO, 2) Tim didn M thuộc d: x + y Ở 4 = 0 nhin doa AB dưới góc: | a) 90ồ | by as?
HUD Goi MG; 4 Ở t) thuộc d
26 Cho tam giác ABO cân tại A có ó phương trình 2 cạnh BC: 2xỞ3yỞB=
AB: x+y + i =0 và cạnh AC qua M(1; 1)
Lap phuong trinh canh AC DS 17x + 7y Ở 24 = 0
297, Lap phuong trinh 4 cạnh hình vuông ABCD biết: A(-4; 5) và mộ
đường chéo là: 7xỞ y + 8 =0, |
28 Lập phương trình 3 cạnh tam giác đều ABC "biế t AG; 1), dinh thuộc đường thẳng y = 3 và Ơ thuộc trục hoành
HH Phối hợp góc và khoảng cách oo!
29, Cho dị: (3+ a)xỞ By + 4=0;da:đxỞ(4+b)yỞ-B=0 a) Tìm a, b để dị trùng dạ b) Khi dị // da, tắnh khoảng cách giữa dị và đạ c) Tim a, b để dị cắt dạ Tắnh cos @ \ " 41 Ds alas ỞT,b=Ở Ở- 20 Cho 2 đường thang : 1x Ở Ữy + j Ởm = 0 và x + ray Ở 5 =0 a) Tìm các điểm cố định oe ; b) Chứng mình 2 đường thẳng luôn vuông géc nhau Suy ra quy tick các giao điểm : | _- DS a) A(1; 3) va BO; 0) a) (xỞ1)*?+(y +2)? =5 b) (x + 2)% + (y Ở 5)? = 16 c) 2Ủ Ở 3)? + 2y + UÊ=9 ẹ Giải:
Trang 39Or; b) Tim tap hop tam của các đường tròn (%Ư) khi mà thay đối sẻ, Gigi: ỘPhương trình của (%Ấ) có thể viết thành: c2 Ở 3)Ợ + 2Ể + L = 9 Ủ (Ủ%xỞ 3)Ợ +(y + UỲ= Ọ là đường tròn tâ IG;Ở19, R= (độc: Vắ du 2: Tìm tâm và bán kắnh các đường tròn: a) x ty Ở 2x Ở 2y Ở 2=0 b) x? +yỖỞ4x-ỞG6y+2=0 c) xỢ + y7 Ở ạx + 8y + 30 =0 "` Ể Ở 2m)? + (y ~ ĐỂ = 4m? 4m + 1, mee TH Vie 4m? Ở 4m +1 = (2m Ở 1) > 0 nên (Gm) là đường tròn có tâm là I(2m; 1) Ộvà bán kắnh là Rứ = | 2m Ở Ì | | Gidi: 1 x = 2m
a) x+y" Ở 2x Ở Qy Ở 2=0cóa=-l;b=r-l;c=-2 Wim +2, ta có tâm TÍ =
=> a2 + bẦ Ở e = 4 > 0 nên là phương trình đường tròn tâ Ti - y - a - " ,
Vay tap hep tam I cua cac đường tròn (#4) là đường thắng y = 1, bo id; D, ban kinh R = 2
b) x? ty Ở 4x By + 2 = 0 c6 a = Ở2; b= Ở3;c= 2
=>aỖ+b*Ở~c=11>0nén đà 2 Phuong trình đường tròn tâm I(2; 3), bị
kắnh R= vH, |
ce) xỢ + Ở 6x + By + 30 = 0 có a=~3; b=4;c= 30
>aỖ +b*Ở-c=-Ở5 <0 nén không là phương trình đường tròn Vắ dụ 3: Tìm târa và bán kắnh của các đường tròn:
Ộđiểm A(1; 1)
74 dụ 5đ: Cho (%n): x?+ y? +max Ở 2Ển + l)y + 1= 9
a) Với m nào thì (4) là đường tròn
b) Tìm tập hợp các tâm khi m thay đổi
Giải:
) (Ấ) là phương trình đường tròn khi
_a) 16xẺ + 16yỢ + 16x Ở 8y = 11 b) 7x? + Oy" Ở 4x + 6yỞ1=0 22 +bẾỞc>0c> TỔ Ư(ma+12Ở1>0
c) 2xỢ + 2yỢ Ở Bđx Ở 4y + 1 + mÊ= 0 4 na
Giat: <> 5mỖ? + 8m >0 cm<_-Ế hoặc m > ỷ
a) 16x? + 16y? + 16x Ở 8y = 11 ẹx?+yẼ2+xỞ ty Uo Soe! | oO m
1 4 11 2 6 , ) Tâm đường tròn có toa độ: L 9
có a= Ở=;b= Ở;c= b=-Ở =aF+bỞ-c= 2ồ 4` 1>0 nên là phươn y =m+l
| Ủ ừ hệ trên ta được 2x + y Ở Ì = 0
trình đường tròn tâm 1C ; ~), R = 1 Khử _ mm từ hệ trên ta được 2x + y 8 8
2 ể so : Giới hạn: m<-7 =ST2K< TC Skee
b) 7x + 9yỘ Ở 4x + Gy Ở l1 = 0 Vì hệ số của xỢ, y7 khác nhau nên ở 5
không phải là phương trình đường tròn Cc) 2x? + 2y? Ở- 5x Ở 4y + 1 +m2=0 ra > O => Ở2x > O =>x<Ô0 Vậy tập hợp tâm của các đường tròn là phân đường thẳng 2x + y Ở l1 = Ô 4 ẹx?2+yồỞ- ỷxỞ-2y+ l+m`_0eóa= _Ố; Ỉ b=ỞÌ; c= ttm? co hoanh d6 x < 0 hoge x > Ở 2 " 2 AS 2
Ở a2? + bề _ 33Ở8mỢ ắ dụ 6: Cho phương trình: x2 + y Ở 2mx Ở 2m Ở l)y + 4m =0 (1)
5 7T 16 _ a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của một đường tròn
_b) Chứng minh rằng các đường tròn (1) luôn ởi qua hai điểm cố định Với điều kiện a7 + bỄỞc >0 <>33 Ở- 8m2> 0
GiGi:
om < 83 6 |m |< |3 thì phương trình cho là phương trìn
8 8 ) Viết (1) dưới dạng: 5
` ` eA ,o 1 : (Gx Ở m)Ỗ + ( m Ở 1)? = m? + (m+ 1)Ợ Ở 4m = mỖ + (m Ở 1)
đường tròn có tam I(Ở; 1), R= ỞV33 - 8m?Ỗ x as
5 ` 4 ) 4 = Vì mỀ + (m Ở 1) > O với mọi m nên (1) là phương trình đường tròn với
1
Vi du 4: Cho đường cong (Gn): x" + yỢ Ở 4mx Ở 2y + 4m = 0,1m z 5ồ moi m
Trang 40Biến đổi đẳng thức trên theo m, ta cé:
2m(2 Ở xo Ở Yo + Xã +2 Ở 2yo= 0 với mọi ra Ộuy, z +1 (fy, =x, +1 ? c6
Vay tập hợp các điểm trong mặt | Ộ
"phẳng toạ độ mà họ (44) không bao M Z) >
giờ ổi qua với mọi giá tri cua m là | 41 O1 x
đường thẳng A có phương trình
xỢ + yỢ + (m + 2)xTỞ m + 4)y +ia+1=0 y=x +1, b6 di hai diém M;(-1; 0) a) Chitng minh rang (@,) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m và Mạ(1; 2) Đó là 2 điểm cố định
b) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn (%) luôn ắ dụ 8: Cho tam giác ABC với các đường thẳng qua các cạnh
ỞAB: 2x Ở 3y + 7 =0; BC: 2xỞ y+l1=0;CAÁ:xỞ-y+3=Q9
"Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn: MAỢ + MEỢ + MCỸ = 44 Ẽ Từ đó suy ra: 2 Ở Xe Ở y, = 0 và KA + YS Ở~2y,=0 Giải ra la có hại
cặp số (Ì; 1) vA (0; 2) là nghiệm Vậy đường tròn (1) luôn di qua hai we điểm cố định A(1; 1) và B(0; 2}
¡ dụ 27: Cno đường tròn (%%Ấ) có phương trình:
qua hai điểm cố định
c) Tìm những điểm trong mặt phẳng toạ độ mà họ (%2) không di qua
dù m lấy bat ki giá tr1 nào Gidi:
: 5 + 2 A Ộak = = =2 a ằ
of ,Giải: Toa dé A la nghiệm của hệ: x- sy +7= 0 2, Ù Vay A (Ở2; 1)
a) Phuong trinh (@,) cé6 dang x* 2w yỢ + 2ax + 2by +c= 0 x-yt3s=0 y= a _ Ẽ ` ` > ^ Ở Ổ 7 =Đ a Ổ v6ia = m+ ba -mié Ộegm+l Tọa độ B là nghiệm của hệ: 2x Ở dy + * Vậy B (1; 3) 2 2 cử 2xỞvy+i1=Q y= , "ể yates Ộ ; 5 a ( ệ Ở Ở Ở s2 A
Ta có 2 2 Tọa độ C là nghiệm của hệ: Độ y t0 <> |x Vậy C (2; 5)
a2 + bể Ở = (mr?) '(ệỌẼ) Ở(m (m +1) mì +4mm+8 4 Se , V6i moi m ới i mM cố Ề Koy tes ) Ly =e
~ (37 2 ) 2 , Goi toa d6 cua M la (x; y), thi: MAZ = (x + 2) + (y Ở 1) MB? = (x Ở 1)* + (y Ở 8)Ợ MC? = (x Ở 2)? + (y Ở 5)Ợ 'Ta có: MA? + MB + MCZ = 44 ẹ xỢ + y Ở s*~ 6y = 0 ` 1Ỳ 2 > [x-3) +(yỞ 3) = S2 v32 > ể 1 TY Ấ
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tam Ms 3) có ban kinh R = Ộ3 - Vay (Gn) 1a đường tròn với mọi giá trị của m
b) Goi M(x; y.) 1A diém cố định mà họ (%Ấ) luôn đi qua Khi đó ta có: x; +y2 +m + 2)xƯ Ở ắm + 4)y, +m + 1= 0, Vm : <S> (Xo Ở Yo + Im + x5 +y3 + 2X%,Ở- Vo + l= 0, Vm J5 (5 -VYo t1=0 @) = 2 (XƯ+Ữá +t2xƯ 4y ,+ri1i=0 (2
Ti (1) suy ra Xo = y,- 1, thay vao (2), ta được:
(yvo-1) + y- + Wy5 1) Ở Ay, 4 =0 <2y2 Ở 4yo =Đ Vắ du 9: Cho hai diém A(1; 1) va BO; 7)
r Ề [ Y, =O a) Tim quỹ tich cdc diém M sao cho MA? + MB? = 90