bài giảng và bài tập về ma trận đầy đủ

Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC MA TRẬN 1.1 Đònh nghóa ma trận Một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng n cột ⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 a 22 a m2 a1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ ⎟ ⎟ a mn ⎟⎠ ( ) hay A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ , m× n a ij số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j ma trận A gọi ma trận cấp m × n , ký hiệu A = a ij m×n Tập hợp tất ma trận cấp m × n ký hiệu Mm×n Với A ∈ Mm×n , số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j , i = 1, m , j = 1, n , A ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ ij ⎛ 3⎞ Ví dụ Với A = ⎜ ⎟ ∈ M2×3 , ⎝ ⎠ [ A ]11 = 1; [ A ]12 = 2; [ A ]13 = 3; [ A ]21 = 4; [ A ]22 = 5; [ A ]23 = Chú ý việc xử lý bảng công cụ quen thuộc đời sống Chẳng hạn, để ghi số lượng bán mặt hàng ngày, ta dùng số Số lượng bán n mặt hàng ngày biểu diễn n số mà ta gọi vectơ n – chiều, hay ma trận cấp × n Số lượng bán n mặt hàng m ngày biểu diễn m vectơ n – chiều, hay ma trận cấp m × n Trong xử lý ảnh, ảnh đen trắng biểu diễn ma trận bít , Trong thống kê ứng dụng, khảo sát biến phụ thuộc theo k biến độc lập, người ta thu thập n số liệu, số liệu gồm k + số giá trò k biến độc lập giá trò biến phụ thuộc tương ứng Một số liệu tạo thành ma trận cấp n × ( k + 1) , Giống khái niệm khác toán học, ma trận biểu diễn nhiều đối tượng khác toán ứng dụng cụ thể Về mặt toán học, ta xét biểu diễn quan trọng ma trận việc khảo sát hệ phương trình tuyến tính, hệ thống gồm nhiều phương trình bậc theo nhiều ẩn số Xét hệ phương trình ⎧ x − y + z = ⎪ ⎨ − x + 2y + z = ⎪−2x + 3y + z = ⎩ (1.1) x, y, z ẩn số cần tìm Vai trò ký hiệu ẩn x, y, z ý nghóa đònh Chẳng hạn, hệ phương trình viết lại thành ⎧ x1 ⎪ ⎨ − x1 ⎪−2x ⎩ − x2 + x3 + 2x2 + x3 + 3x + x3 = (1.2) = = với ẩn x1 , x , x , Nói khác đi, hệ phương trình tuyến tính hoàn toàn xác đònh số hạng kèm theo ẩn mà ta gọi hệ số số hạng vế phải mà ta gọi hệ số tự Cụ thể, hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số hoàn toàn xác đònh ma trận cấp m × n hệ số ma trận cấp m × hệ số tự Chẳng hạn, hệ phương trình (1.1) hay (1.2) hoàn toàn xác đònh ma trận ⎛ −1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ B = ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ngoài ra, ta gom chung hai ma trận lại ma trận, gọi ma trận hệ số mở rộng ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ hay A B = ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 1.2 Ma trận Hai ma trận A B gọi chúng có cấp số hạng tương ứng chúng đôi một, nghóa ⎡⎣ A ⎤⎦ = ⎡⎣ B⎤⎦ với ij i, j Ví dụ Cho hai ma trận A, B ∈ M2×3 , ⎛p q 4⎞ ⎛1 ⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝s 2⎠ Ta có A = B p = , q = s = ij 1.3 Các ma trận đặc biệt i) Ma trận không : ma trận mà số hạng số Ma trận không cấp m × n ký hiệu m×n hay vắn tắt ⎛ 0 0⎞ Ví dụ 02×3 = ⎜ ⎟ ma trận không cấp × ⎝ 0 0⎠ ii) Ma trận vuông : ma trận có số dòng số cột Ma trận vuông cấp n × n gọi tắt ma trận vuông cấp n Tập hợp tất ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn Với ma trận vuông A ∈ Mn , số hạng ⎡⎣ A ⎤⎦ , 11 ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ gọi nằm đường chéo (chính) A Các số hạng 22 nn ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ gọi nằm đường chéo phụ A n1 n −1,2 1n Ví dụ Ma trận ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ ma trận vuông cấp Các số hạng nằm đường chéo : ⎣⎡ A ⎦⎤ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = −5 11 22 33 Các số hạng nằm đường chéo phụ : ⎣⎡ A ⎦⎤ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = 31 22 13 iii) Ma trận chéo cấp n : ma trận vuông cấp n mà số hạng không nằm đường chéo số Ví dụ Ma trận ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −7 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ma trận chéo cấp iv) Ma trận đơn vò cấp n : ma trận chéo cấp n , ký hiệu In , mà số hạng nằm đường chéo Để biểu diễn ma trận đơn vò, người ta dùng ký hiệu Kronecker : ⎧1 δij = ⎨ ⎩0 khi i= j i≠ j đó, ma trận đơn vò cấp n viết dạng ⎛1 ⎜ In = ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝0 ⎞ ⎟ ⎟ = δij ⎟ ⎟ ⎟⎠ ( ) i, j =1,n Ví dụ Ma trận đơn vò cấp cấp ⎛ 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ I2 = ⎜ ⎟ ; I3 = ⎜ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ v) Ma trận tam giác (dưới) : ma trận vuông mà phần tử phía (ở phía trên) đường chéo Ví dụ Ma trận ⎛ b11 ⎜ ⎜ B=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ b12 b22 b1n ⎞ ⎟ b2n ⎟ ⎟ ⎟ bnn ⎟⎠ ma trận tam giác ma trận ⎛ c11 ⎜ ⎜c C = ⎜ 21 ⎜ ⎜c ⎝ n1 c22 cn2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ cnn ⎟⎠ ma trận tam giác vi) Ma trận có dòng gọi ma trận dòng, ma trận có cột gọi ma trận cột Các ma trận dòng ma trận cột xem vectơ gọi vectơ dòng vectơ cột Khi đó, ma trận xem tạo nhiều vectơ dòng hay tạo nhiều vectơ cột Với ma trận A ∈ Mm×n , dòng thứ i A gồm phần tử ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ ; cột i1 i2 in i j thứ j gồm phần tử ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ , ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ 1j 2j mj Ví dụ i) Ma trận A = ( −1) ma trận dòng ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ii) Ma trận B = ⎜ ⎟ ma trận cột ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ iii) Ma trận ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ −1 ⎟ ∈ M3×4 ⎜ −1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ tạo vectơ dòng ⎡⎣C ⎤⎦ = (1 1) ; ⎡⎣C ⎤⎦ = ( −1 ) ; ⎣⎡C ⎦⎤ = ( −1 −1) , hay tạo vectơ cột ⎛1⎞ ⎛2⎞ ⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ −1 ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1.3 Các phép toán ma trận 1.3.1 Phép cộng hai ma trận nhân số với ma trận Với hai ma trận A, B ∈ Mm×n với số thực h ∈ , ta đònh nghóa : Ma trận tổng A B , ký hiệu A + B , ma trận cấp m × n xác đònh ⎡⎣ A + B ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ + ⎡⎣ B⎤⎦ với i, j ij ij ij Ma trận tích số h với A , ký hiệu hA , ma trận cấp m × n xác đònh ⎡⎣ hA ⎤⎦ = h ⎡⎣ A ⎤⎦ với i, j ij ij ⎛ 3⎞ ⎛ −1 ⎞ Ví dụ Với A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ ⎝ −1 −1 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎛2 4⎞ ⎛2 ⎞ ⎛ −4 −4 ⎞ A+B=⎜ ⎟ , 2A = ⎜ ⎟ −4B = ⎜ ⎟ ⎝3 5⎠ ⎝ 10 12 ⎠ ⎝ −4 ⎠ ∗ Chú ý : Hai ma trận cộng với chúng có cấp ma trận tổng có cấp cấp hai ma trận cho Ma trận −1 A , ký hiệu − A , ( ) gọi ma trận đối ma trận A Từ đó, ta đònh nghóa phép trừ ma trận A − B ≡ A + ( −B ) = A + ( −1) B Tính chất Với ma trận A, B, C ∈ Mm×n h, k ∈ (i) A + B = B + A (tính giao hoán), (ii) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (tính kết hợp), (iii) A + = A ( : ma trận không cấp m × n ), (iv) A + ( − A ) = , , ta có (v) h ( kA ) = ( hk ) A , (vi) h ( A + B ) = hA + hB , (vii) ( h + k ) A = hA + kA , (viii) 1.A = A Các tính chất kiểm chứng cách dễ dàng coi tập Tập hợp M m×n với hai phép cộng hai ma trận phép nhân ma trận với số thỏa tính chất nêu nên sau ta nói có cấu trúc không gian vectơ (xem chương 3) 1.3.2 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p Ta đònh nghóa ma trận tích hai ma trận A, B ma trận cấp m × p , ký hiệu AB , xác đònh ⎡⎣ AB⎤⎦ = ik n ∑ ⎡⎣ A ⎤⎦ ij j =1 ⎡⎣B⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ + ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ + + ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ jk i1 1k i2 2k in nk với i = 1, m , k = 1, p Trong công thức tính số hạng ⎡⎣ AB ⎤⎦ ma trận tích AB , số hạng ik ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ tạo thành dòng thứ i , ⎡⎣ A ⎤⎦ , ma trận A số hạng i2 in i k ⎡⎣ A ⎤⎦ , i1 ⎡⎣ B ⎤⎦ , 1k ⎡⎣ B ⎤⎦ , , ⎡⎣ B ⎤⎦ tạo thành cột thứ k , ⎡⎣ B ⎤⎦ , ma trận B Khi đó, số hạng ⎡⎣ AB ⎤⎦ 2k nk ik k tích vô hướng hai vectơ ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣B ⎤⎦ i Ví dụ 10 Cho ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ ∈ M3×2 , B = ⎜ ⎟ ∈ M2×2 − ⎝ ⎠ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ Các số hạng ma trận AB ∈ M3×2 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ ( −2) = − , 11 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ = , 12 1 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = − ⋅ + ⋅ ( −2 ) = − , 21 2 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = − ⋅ + ⋅ = − , 22 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ ( −2 ) = − , 31 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ = , 32 ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ AB = ⎜ −4 −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ Chú ý với phép nhân ma trận vậy, ta biểu diễn hệ phương trình tuyến tính phương trình ma trận Chẳng hạn, trở lại với hệ phương trình tuyến tính ⎧ x1 ⎪ ⎨ − x1 ⎪−2x ⎩ − x2 + 2x2 + 3x + x3 = + x3 = + x3 (1.3) = với ma trận hệ số ma trận hệ số tự do, ⎛ 2⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ B = ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ Gọi X = ⎜ x2 ⎟ ma trận ẩn số Phương trình (1.3) viết lại thành ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ A⋅X = B (1.4) Tính chất (i) Tính kết hợp : Với ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p C ∈ Mp×q , ta có A ( BC ) = ( AB ) C (ii) Tính phân bố : Với ma trận A, B ∈ Mm×n C ∈ Mn×p , ta có ( A + B) C = AC + BC , với ma trận C ∈ Mm×n A, B ∈ Mn×p , ta có C ( A + B ) = CA + CB (iii) Với ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p h ∈ , ta có h ( AB ) = ( hA ) B = A ( hB ) * Chú ý i) Để nhân ma trận A với ma trận B , ta cần điều kiện số cột ma trận A phải số dòng ma trận B : Số dòng ma trận tích AB số dòng ma trận A Số cột ma trận tích AB số cột ma trận B Do đó, với hai ma trận A, B cho trước, không thiết tích AB tồn tích AB tồn tại, tích BA không thiết tồn ii) Tích hai ma trận nói chung tính giao hoán, nghóa tổng quát ta có AB ≠ BA Ví dụ 11 Với hai ma trận ⎛0 1⎞ ⎛ 0⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟, ⎝ 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ta có AB = ⎜ ⎟ ≠ BA = ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝0 1⎠ Trong trường hợp hai ma trận tích AB BA tồn thỏa đẳng thức AB = BA , ta nói hai ma trận A B giao hoán với Chẳng hạn, ma trận đơn vò In giao hoán với ma trận vuông A cấp n In A = AIn = A Tổng quát, B ma trận cấp m × n , ta có Im B = BIn = B , Im , In ma trận đơn vò cấp m n Ví dụ 12 Cho ⎛ 3⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ Ta có ⎛ 0⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ I2 A = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎛1 0⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 3⎞ AI3 = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ ⎜ 0 ⎟ ⎝ 6⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 −3 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ví dụ 13 Cho A = ⎜ −1 ⎟ C = ⎜ −1 −2 ⎟ Ta có ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ A ⋅ C = C ⋅ A = ⎜ ⎟ = I3 , ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ (1.5) đó, hai ma trận A C giao hoán với Thực ra, ma trận C thỏa (1.5) nêu gọi ma trận nghòch đảo A (xem phần 3), ký hiệu A −1 Khi đó, cách nhân (bên trái) hai vế đẳng thức (1.4) cho C, ta C ( AX ) = C ⋅ B Do C ( AX ) = ( CA ) X = I3 ⋅ X = X , đẳng thức cho ⎛ −1 −3 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X = C ⋅ B = ⎜ −1 −2 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ đó, ta nhận x1 = ; x = ; x = Nói khác đi, ta giải hệ phương trình tuyến tính (1.3) 1.4 Các phép biến đổi sơ cấp dòng Xét ma trận A ∈ Mmxn với m vectơ dòng ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ Các phép biến m đổi dòng nhằm mục đích thay đổi dòng ma trận A , biến thành ma trận A ′ ∈ Mm×n ( A ′ cấp với A ) Ta có phép biến đổi sơ cấp dòng sau : ( i ) ∼ ( j) i) Phép biến đổi : Hoán vò hai dòng i j , ký hiệu A ⎯⎯⎯⎯→ A ′ , nhằm đổi chỗ hai dòng i , j ma trận A, nghóa dòng khác dòng i , j A A′ nhau, dòng thứ i A′ dòng thứ j A dòng thứ j A ′ dòng thứ i A , ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ k ≠ i, j , ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ k k i j j i Ví dụ 14 ⎛3 ⎜ A=⎜ ⎜1 ⎜⎜ ⎝ −1 ⎛1 5⎞ ⎟ ⎜ 3⎟ (1 ) ∼ ( ) ⎜ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜3 2 4⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0⎠ ⎝ −1 4⎞ ⎟ 3⎟ 5⎟ ⎟ ⎟⎠ ( i ) :=α ( i ) ii) Phép biến đổi : Nhân dòng i với số α ≠ , ký hiệu A ⎯⎯⎯⎯⎯ → A′ , nhằm nhân dòng thứ i A với α , nghóa dòng khác dòng i A A ′ nhau, dòng thứ i A ′ dòng thứ i A nhân với α , ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ k ≠ i ⎡⎣ A ′⎤⎦ = α ⋅ ⎡⎣ A ⎤⎦ k k i i Ví dụ 15 ⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ( 3):= 15 ( 3) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ A = ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ iii) Phép biến đổi : Thay dòng i dòng i cộng với α lần dòng j , ký hiệu ( ) ( ) ( ) → A ′ nhằm thay dòng thứ i A dòng cộng với α nhân A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cho dòng thứ j A, nghóa dòng khác dòng i A A ′ nhau, dòng thứ i A′ dòng thứ i A cộng với α lần dòng thứ j A, i := i + α j ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ k ≠ i ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ + α ⋅ ⎡⎣ A ⎤⎦ k k i i j Ví dụ 16 ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) : = (1 ) + ( ) A = ⎜ −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎛ −1 ( 3) := ( ) + ( 3) ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎜0 ⎝ 0⎞ ⎟ −1 ⎟ −1 ⎟⎠ Chú ý ma trận cuối có phần tử nằm phía đường chéo số nên ma trận tam giác Đối với ma trận tam giác mà phần tử nằm đường chéo khác 0, phép biến đổi sơ cấp dòng, ta biến thành ma trận đơn vò Ví dụ 17 ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ) : = − (1 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( → − 1 ⎜ −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ ⎟ ( 2):= −1.( 2) ⎜ 0 −1 ⎟ ⎜0 ⎟ (3):=−1.(3) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1):= (1) + (2) (1):= (1) + (2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ ⎟ = I3 (2):= (2) + (3) ⎜0 ⎟ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tổng quát : Ta dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để chuyển ma trận vuông ma trận tam giác phần tử đường 10 ⎛0 ⎜ ⎜0 A → ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎟ B → ⎜0 0 ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟⎠ Chú ý rằng, ma trận tam giác với số hạng nằm đường chéo khác ma trận bậc thang bậc thang chứa cột Với ma trận A cấp m × n bất kỳ, ta luôn dùng phép biến đổi sơ cấp để biến ma trận A thành ma trận bậc thang theo dòng • Giải thuật chuyển ma trận bậc thang theo dòng Để chuyển ma trận ma trận bậc thang theo dòng, người ta thay đổi cách chọn phần tử trục xoay giải thuật chuyển ma trận vuông ma trận tam giác Thay vò trí phần tử trục xoay luôn nằm đường chéo, ta chọn - Phần tử trục xoay cột nằm dòng - Nếu sau biến đổi xong cột mà phần tử trục xoay lúc khác phần tử trục xoay cột kế nằm dòng kế Ngược lại, phần tử trục xoay (và phần tử nằm 0) phần tử trục xoay cột kế nằm dòng Ví dụ 20 ⎛ −1 − ⎛1 ⎞ ( ) : = ( ) − 3( ) ⎜ ⎟ ⎜ ) : = ( ) − (1 ) ⎟ ( ⎜ −1 −1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ = − : 12 ⎜ 1 −6 −9 ⎟ ⎜ ( ) ( ) () ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 12 −2 −2 −10 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛1 ⎜ ): = ( ) − ( ) ( ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ = − : ( ) ( ) ( ) ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ −1 −2 2 5 −10 −10 10 25 −50 −1 − −10 0 0 0 ⎞ ⎟ −14 ⎟ −14 ⎟ ⎟ −70 ⎟⎠ ⎞ ⎟ −14 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ Đặc biệt, ta có liên hệ phép biến đổi sơ cấp dòng với tích ma trận sau Đònh lý Cho A ∈ Mm×n B ∈ Mn×q Nếu A ′ ma trận nhận từ A qua phép biến đổi sơ cấp dòng D ma trận A ′B nhận từ ma trận D AB qua phép biến đổi sơ cấp dòng D , nghóa A ⎯⎯⎯ → A ′ D AB ⎯⎯⎯ → A ′B 14 1.6 Ma trận chuyển vò Đònh nghóa Cho A ∈ Mm×n , chuyển vò A , ký hiệu A T , ma trận cấp n × m xác đònh ⎡ A T ⎤ = ⎡⎣ A ⎤⎦ , ∀i = 1, n , j = 1, m ji ⎣ ⎦ ij ⎛ 3⎞ Ví dụ 21 Với ma trận A = ⎜ ⎟ ∈ M2×3 , chuyển vò ⎝ 6⎠ ⎛1 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ ⎟ ∈ M3×2 ⎜ 6⎟ ⎝ ⎠ T Nhận xét Ma trận chuyển vò A nhận từ A cách biến dòng A thành cột A T (hay biến cột A thành dòng A T ) Tính chất ( ) (i) A T T = A, T (ii) ( A + B ) = A T + BT , T (iii) ( AB ) = BT A T 1.7 Ma trận đối xứng Đònh nghóa Ma trận vuông A gọi đối xứng, A = A T Từ đònh nghóa ta thấy A ma trận đối xứng A ma trận vuông phần tử nằm vò trí đối xứng qua đường chéo nhau, ⎡⎣ A ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ , ∀i, j ij ji Ví dụ 22 Ma trận ⎛ x 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ y 5⎟ ⎜ z⎟ ⎝ ⎠ ma trận đối xứng ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG Xét ma trận vuông cấp n ⎛ a11 ⎜ ⎜ ⎜ A = ⎜ a i1 ⎜ ⎜ ⎜ a n1 ⎝ a1 j a ij a nj 15 a1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ ⎟ a in ⎟ ⎟ ⎟ a nn ⎟⎠ Với số hạng a ij (số hạng nằm dòng i cột j ), ma trận vuông cấp n − nhận từ A cách bỏ dòng thứ i cột thứ j gọi ma trận bù A số hạng a ij , ký hiệu A ij ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ Ví dụ 23 Với A = ⎜ ⎟ ∈ M3 ⎜ 9⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 6⎞ ⎛1 2⎞ ⎛ 2⎞ A11 = ⎜ ⎟ , A 23 = ⎜ ⎟ , A 33 = ⎜ ⎟ ∈ M2 ⎝ 9⎠ ⎝7 8⎠ ⎝ 5⎠ 2.1 Đònh nghóa Cho A ∈ Mn Đònh thức A, ký hiệu det A hay A , số thực đònh nghóa quy nạp theo n sau Với n = , nghóa A = ( a11 ) , det A = a11 Với n ≥ 2, A = (a ij )n×n , +1 det A = ( −1) = n 1+ a11 det A11 + ( −1) 1+ j ∑ ( −1) j =1 1+ n a12 det A12 + + ( −1) a1j det A1 j (2.1) ⎛a Chẳng hạn, n = , nghóa A = ⎜ 11 ⎜a ⎝ 21 +1 det A = ( −1) a1n det A1n 1+ a11 det ( a 22 ) + ( −1) a12 ⎞ ⎟ , ta có a 22 ⎟⎠ a12 det ( a 21 ) = a11a 22 − a 21a12 ⎛a b⎞ Nhận xét Nếu A = ⎜ ⎟ det A = ad − bc ( det A nhận cách ⎝ c d⎠ lấy tích số hạng đường chéo trừ tích số hạng đường chéo phụ) Với n = , ta có công thức tính đònh thức cấp a1 a2 a3 b1 b2 b3 = a1 c1 c2 c3 b2 c2 b3 c3 − a2 b1 c1 b3 c3 + a3 b1 c1 b2 c2 = a1 ( b2c3 − b3c2 ) − a ( b1c3 − b3c1 ) + a ( b1c2 − b2c1 ) = a1 b2c3 + a b3c1 + a b1c2 − a1 b3c2 − a b1c3 − a b2c1 Trong thực hành ta tính đònh thức cấp cách dùng quy tắc Sarrus sau 16 Viết theo thứ tự hai cột sau cột thứ Ba số hạng mang dấu cộng đònh thức tích phần tử nằm đường chéo hay song song với đường chéo Ba số hạng mang dấu trừ đònh thức tích phần tử nằm đường chéo phụ hay song song với đường chéo phụ Ví dụ 24 Tính , ta có −1 −2 3 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ( −1) + ⋅ ⋅ ( −2 ) − ⋅ ⋅ ( −1) − 1.0 ( −2 ) − ⋅ ⋅ −1 −2 −1 −2 = −16 Công thức (2.1) đònh nghóa 2.1 gọi công thức tính det A cách khai triển theo dòng Thực chất, đònh thức ma trận vuông không đổi ta khai triển theo dòng hay cột ( ) 2.2 Đònh lý Cho ma trận A = a i j det A = n× n n ∑ (−1) Khi i0 + j det A = n ∑ (−1) i =1 a i j det A i 0j j =1 i + j0 a i j det A i j 0 (2.2) (2.3) (với ≤ i0 , j0 ≤ n ) Công thức (2.2) gọi công thức khai triển theo dòng i0 công thức (2.3) công thức khai triển theo cột j0 Từ đònh lý nêu trên, ta tính đònh thức cách khai triển theo dòng hay cột Trong thực tế, ta lựa chọn dòng hay cột để khai triển cho số phép tính cần thực tốt, chẳng hạn khai triển theo dòng hay cột chứa nhiều số 17 ⎛1 ⎜ Ví dụ 25 Xét A = ⎜ ⎜3 ⎜⎜ ⎝0 −2 ⎞ ⎟ −2 ⎟ 1⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ Khai triển theo dòng 4, ta có −2 det A = × −2 0 Khai triển theo dòng đònh thức vế phải, ta det A = ( −2 ) −2 = − 42 Tổng quát hơn, với ma trận A ∈ Mn với số nguyên k , < k < n , ta chọn A dòng i1 < i2 < < ik Khi đó, với k số nguyên ≤ j1 < j2 < < jk ≤ n , ma trận vuông cấp k nhận từ A cách giữ lại phần tử nằm dòng i1 , i2 , , ik cột j1 , j2 , , jk ký hiệu i ,i , ,i ; j , j , , j A k k ma trận vuông cấp n − k nhận từ A cách bỏ dòng i1 , i2 , , ik cột j1 , j2 , , jk ký hiệu A i ,i , ,i ; j , j , , j Chẳng k k hạn, với ma trận A ví dụ trên, ta có ⎛ 2⎞ ⎛ −2 ⎞ A 2,4;1,2 = ⎜ ⎟ A 2,4;1,2 = ⎜ ⎟ A ∈ Mn ⎝ 3⎠ ⎝0 ⎠ Ta công thức khai triển đònh thức theo k dòng sau 2.3 Đònh lý Laplace Với A ∈ Mn , chọn k dòng i1 < i2 < < ik Ta có det A = ( ∑ ( −1) i1 + i2 + + ik ) + ( j1 + j2 + + jk ) j1 < j2 < < jk i i ik ; j1 j2 jk det A det A i i ik ; j1 j2 jk Ví dụ 26 Với ma trận ví dụ 24, ta khai triển theo hai dòng (hai dòng nhiều số nhất), ta có det A = ( −1) ( + ) + (1 + ) ⋅ + ( −1) ( + ) + (1 + ) 0 + ( −1) (2+ ) + ( 2+ 4) 0 3 −2 ( + ) + (1+ 3) −2 −2 + ( −1) ⋅ + 0 ⋅ ( + ) + ( 2+ 3) −2 −2 + ( −1) ⋅ + 3 ⋅ ( + ) + ( 3+ ) −2 + ( −1 ) ⋅ 0 = + + + ( −1) ⋅ ⋅ + + = −42 18 2.4 Tính chất i) Với ba ma trận A, B, C ∈ Mn cho ⎡⎣C ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ + ⎡⎣ B⎤⎦ ⎣⎡ A ⎦⎤ = ⎣⎡B⎦⎤ = ⎣⎡C⎦⎤ , ∀i ≠ , 1j 1j 1j ij ij ij ta có det C = det A + det B Do đó, ma trận C nhận từ A, B cách lấy dòng A cộng với dòng B dòng khác giữ nguyên det C = det A + det B ii) Cho A ∈ Mn , h ∈ Nếu ma trận B ∈ Mn thỏa ⎡⎣ B⎤⎦ = h ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ , ∀i ≠ 1j 1j ij ij det B = h det A Do đó, ma trận B nhận từ A cách nhân dòng A cho số h, dòng khác giữ nguyên, det B = h det A Đặc biệt, det ( hA ) = h n det A , với A ∈ Mn 2.5 Đònh lý i) (i) ∼ (i ) Nếu A ⎯⎯⎯⎯⎯ → B det B = − det A ′ (i):=α (i) ii) Nếu A ⎯⎯⎯⎯⎯ → B det B = α det A iii) Ma trận có dòng tỉ lệ với có đònh thức (i) := (i) + α (i′) iv) Nếu A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → B , với i ≠ i′ , det B = det A v) Đònh thức ma trận tam giác tích số hạng nằm đường chéo ( ) vi) det A = det A T , với A ∈ Mn vii) Với A, B ∈ Mn , ta có det ( AB ) = det A.det B Đònh lý nêu ứng dụng việc tính đònh thức ma trận cách biến ma trận vuông ma trận tam giác Chú ý với giải thuật nêu phần 1.4, ta dùng phép biến đổi sơ cấp thứ (đònh thức đổi dấu) phép biến đổi thứ (đònh thức không đổi) ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ Ví dụ 27 Cho A = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ Ta có ⎛ 3⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (2) := (2) − 4(1) (3) := (3) + 4(2) A = ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ −6 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ −6 ⎟ = B (3) := (3) − 3(1) ⎜ 0⎟ ⎜ −4 −9 ⎟ ⎜ 0 −33 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 19 đó, det A = det B = ⋅ ⋅ ( −33) = − 33 Chú ý Với A, B ∈ Mn , AB ≠ BA ta có det ( AB ) = det ( BA ) ⎛1 2⎞ ⎛ 6⎞ Ví dụ 28 Cho A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ ⎝3 4⎠ ⎝7 8⎠ Ta có ⎛ 19 22 ⎞ ⎛ 23 34 ⎞ AB = ⎜ ⎟ BA = ⎜ ⎟ , det ( AB ) = det ( BA ) = ⎝ 43 50 ⎠ ⎝ 31 46 ⎠ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1 Đònh nghóa Cho A, B ∈ Mn Ta nói A, B hai ma trận nghòch đảo AB = BA = In Khi đó, ta nói A B ma trận khả nghòch Chú ý hai ma trận B1 , B2 ma trận nghòch đảo A, nghóa AB1 = B1 A = In AB2 = B2 A = In , ta có B1 = B1I = B1 ( AB2 ) = ( B1 A ) B2 = IB2 = B2 Nói khác đi, A ma trận khả nghòch ma trận B thỏa AB = BA = In ta gọi ma trận nghòch đảo A, ký hiệu B = A −1 3.2 Tính chất Nếu A1 , A , A ma trận vuông cấp n khả nghòch ( ) (i) A −1 −1 (ii) ( A1 A ) ( ) (iii) A T = A −1 −1 = A 2−1 A1−1 ( ) = A −1 Chứng minh Nếu AA −1 T A −1 ma trận nghòch đảo ma trận A −1 = A A = In Suy A −1 A = AA −1 = In , tức A −1 khả nghòch A ma trận nghòch đảo ( ) A −1 Do A −1 −1 = A Ta có ( A1A ) ( A 2−1A1−1 ) Suy ( A1 A ) −1 −1 ( ) = A1 A A 2−1 A1−1 = A1In A1−1 = A1 A1−1 = In = A 2−1 A1−1 Ta có 20 ( ) = (A A) A T A −1 Do (A ) T −1 T −1 ( ) = A −1 T = InT = In T ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ví dụ 29 Với A = ⎜ −1 ⎟ B = ⎜ −1 −2 ⎟ , ta có ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ AB = BA = ⎜ ⎟ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ Vậy A, B khả nghòch B = A −1 hay A = B−1 Khi ma trận A khả nghòch, nghóa tồn ma trận B ∈ Mn cho AB = In , ta suy det A ⋅ det B = , det A ≠ Thực ta có 3.3 Tính chất Ma trận A ∈ Mn khả nghòch det A ≠ 3.4 Giải thuật tìm ma trận nghòch đảo A −1 Phương pháp Tìm A −1 đònh thức Cho A ∈ Mn , det A ≠ Với A ij ∈ Mn −1 ma trận bù A phần tử a ij (ma trận nhận từ A cách bỏ dòng cột chứa phần tử a ij ) Đặt i+ j B = ⎛⎜ ( −1) det A ij ⎞⎟ ∈ Mn Ta có ⎝ ⎠ A −1 với bij = ( −1) i+ j ⎛ b11 ⎜ 1 ⎜ b21 T B = = det A det A ⎜ ⎜ ⎜b ⎝ n1 b12 b22 bn2 T b1n ⎞ ⎟ b2n ⎟ ⎟ , ⎟ bnn ⎟⎠ det A ij , i, j = 1, 2, , n Ví dụ 30 Tìm ma trận nghòch đảo ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ Ta có det A = , A khả nghòch A −1 tính công thức sau A −1 ⎛ b11 1 ⎜ T = B = ⎜b det A det A ⎜ 21 ⎝ b31 b12 b22 b31 21 T b13 ⎞ ⎟ i+ j b23 ⎟ , với bij = ( −1) det A ij b33 ⎟⎠ 1 +1 b11 = ( −1) 1+ = −1 , b12 = ( −1) −1 −2 1+ = −1 , b13 = ( −1) −1 −2 = 1, b21 = ( −1) +1 2+ 2+ −1 1 −1 = , b22 = ( −1) = , b23 = ( −1) = −1 , −2 −2 b31 = ( −1) +1 −1 = −3 , b32 = ( −1) 3+ 1 −1 = −2 , b33 = ( −1) −1 −1 3+ = Vậy ma trận nghòch đảo ma trận A T A −1 ⎛ −1 −1 ⎞ ⎛ −1 −3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ = ⎜ −1 ⎟ = ⎜ − − ⎟ 1⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ −3 − ⎠ ⎝ ⎠ Phương pháp Dùng phép biến đổi sơ cấp theo dòng ( ) n cột đầu ( A I ) ma trận A n cột cuối ( A I ) ma trận đơn vò I i) Lập ma trận A In ma trận gồm n dòng 2n cột, n n n ( ii) Bằng phép biến đổi sơ cấp theo dòng, ta chuyển ma trận A In ( ) ) ma trận In B B = A −1 Ví dụ 31 Cho ma trận ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ Để tìm ma trận nghòch đảo A , ta thực phép biến đổi sơ cấp dòng (A I ) ⎛ −1 ⎜ = ⎜ −1 ⎜ −2 ⎝ ⎛1 ⎛1 0⎞ ⎟ : = + ( ) ( ) ( ) → ⎜0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ ( ) : = ( ) + (1 ) ⎟ ⎜0 0 1⎠ ⎝ ( ): = ( 3) − ( ) → ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ −1 1 ⎛1 ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ( ) := ( ) − ( ) ⎜ ⎜0 ⎝ 0 0 ⎜ ⎜0 ⎝ (1):= (1) − 3( 3) −1 1 ⎛1 0⎞ ⎟ ⎜ ) : = (1 ) + ( ) ( 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜0 ⎜0 −1 ⎟⎠ ⎝ −1 −3 ⎞ ⎟ −1 −2 ⎟ = I3 A −1 −1 ⎟⎠ ( 22 ) 1 0⎞ ⎟ 1 0⎟ ⎟⎠ 0⎞ ⎟ 1 0⎟ −1 ⎟⎠ Vậy ma trận nghòch đảo A A −1 ⎛ −1 −3 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −1 −2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ * Chú ý Nếu ta biến ma trận A thành ma trận đơn vò, chẳng hạn A có cột (hay dòng) chứa toàn số ma trận A không khả nghòch, nghóa A −1 không tồn Ví dụ 32 Cho ma trận ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ ⎜ 13 −6 ⎟ ⎝ ⎠ Ta có (A I ) ⎛ −4 0 ⎞ ⎛ −4 0 ⎞ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ ⎟ : 3 = − ( ) ( ) () ⎜ = ⎜ −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 13 −6 0 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −4 0 ⎞ ⎟ −1 ⎟ ⎜ 0 −1 − ⎟ ⎝ ⎠ ( 3) : = ( ) − ( ) ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ Qua số phép biến đổi sơ cấp, ma trận A chứa dòng toàn số Vậy ma trận A không khả nghòch HẠNG CỦA MA TRẬN Ta có khái niệm đònh thức cho ma trận vuông Đối với ma trận A bất kỳ, đònh thức ma trận vuông cấp k nhận từ A cách bỏ số dòng số cột A gọi đònh thức cấp k A Ta có 4.1 Đònh nghóa Cho ma trận A ∈ Mm×n Ta gọi hạng ma trận A số nguyên r thỏa i) Mọi đònh thức A cấp lớn r 0, ii) Trong A tồn đònh thức cấp r khác Ta ký hiệu hạng ma trận A rank ( A ) hay vắn tắt r ( A ) Khi A ma trận 0, ta quy ước r ( A ) = Lưu ý ≤ r ( A ) ≤ {m, n} Ví dụ 32 i) Ma trận 23 ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 6⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ có r ( A ) = , det A = A có đònh thức ⎛1 ⎜ ⎜0 ii) Xét ma trận B = ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 2 ≠ 0 2⎞ ⎟ 4⎟ 0 1⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 ⎟⎠ Ta thấy tất đònh thức cấp cấp B có đònh thức cấp khác 0, = ≠ 0, 0 r ( A ) = 4.2 Tính chất i) Hạng ma trận không thay đổi qua phép biến đổi sơ cấp, nghóa B ma trận nhận từ A sau hữu hạn phép biến đổi sơ cấp rank ( A ) = rank ( B ) ii) Hạng ma trận không thay đổi qua phép chuyển vò, nghóa ( ) rank ( A ) = rank A T iii) Nếu A ma trận bậc thang theo dòng hạng A số dòng khác không ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ Ví dụ 33 Cho ma trận A = ⎜ −1 ⎟ Tính rank ( A ) ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ Ta có đònh thức cấp Do đó, rank ( A ) = −1 ≠ , đònh thức cấp A Chú ý Trong ví dụ trên, ta dùng đònh nghóa để tìm rank ( A ) Tuy nhiên, phương pháp sử dụng thực tế đòi hỏi phải tính nhiều đònh thức Do đó, người ta thường sử dụng tính chất iii) để tìm rank ( A ) , 24 nghóa dùng phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A dạng ma trận bậc thang theo dòng B Khi đó, rank ( A ) số dòng khác không B ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ Ví dụ 34 Cho ma trận A = ⎜ −1 ⎟ Tính rank ( A ) ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ Thực phép biến đổi sơ cấp ma trận A , ta ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) : = ( ) + (1 ) → =B ⎜ −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ ⎟ ( 3):= ( 3) − 3(1) ⎜ −3 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ma trận B ma trận bậc thang theo dòng có dòng khác không nên rank ( A ) = rank ( B ) = Bài tập ⎛ −2 ⎞ ⎛ Cho A = ⎜ ⎟ B = ⎜ ⎝ −6 ⎠ ⎝ −7 ⎛ −1 ⎞ ⎛ −2 Cho A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎝ −4 ⎠ ⎝ −1 2⎞ ⎟ Tìm 2A − 3B 8⎠ ⎛ −2 ⎞ −3 ⎞ ⎟ C = ⎜ ⎟ Tìm 3A + 4B − 2C 5⎠ ⎝ −1 −1 ⎠ ⎛ 5⎞ ⎛1 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ −1 ⎟ , B = ⎜ ⎟ C = ⎜ ⎟ Tìm 5A − 3B + 2C ⎜ 2⎟ ⎜ −3 − ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ ⎟ B = ⎜ ⎟ Tìm AB , BA ⎝ 0⎠ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 6⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ −4 ⎟ B = ⎜ ⎟ Tìm AB , BA ⎜1 2⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 5⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ −5 ⎟ B = ⎜ −1 ⎟ Tìm AB , BA ⎜ 5⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 0⎞ T T Cho hai ma trận A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ Tính 3A ± 2B , A A AA ⎝ −4 ⎠ ⎝ −3 2 ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ ⎟ , B = ⎜ ⎟ C = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 a Có thể thành lập tích cặp ma trận ma trận b Tính AB , ABC c Tính ( AB ) , Cn với n ∈ d Tìm ma trận chuyển vò A ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ 0 ⎟ Tính A A ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ 10 Cho ma trận ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −8 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ Tìm ma trận X cho 3A + 2X = I3 11 Xác đònh k cho k k = 2k 12 Tính đònh thức cấp sau a) b) sin x cos x − cos x sin x 13 Tính đònh thức cấp sau 1 a) −1 −1 − −2 −1 e) i) 1 b) 1 1 −3 −2 2 f) −2 1 −3 −1 −3 1 c) −2 −3 −2 −4 d) −1 3 g) −2 −1 h) j) −4 14 Tính đònh thức cấp sau a a) b c d 0 x 1 b) x 1 1 x 1 1 x 1 c) 1 1 1 1 26 1 0 d) 1 0 1 0 1 15 Tính đònh thức cấp sau x a b c y 0 d e z f g h k u l 0 0 v 16 Tìm ma trận nghòch đảo ma trận A , có, ⎛ 7⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) A = ⎜ 2 ⎟ b) A = ⎜ −1 ⎟ c) A = ⎜ 2 ⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜1 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎛ 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e) A = ⎜ −1 ⎟ f) A = ⎜ −2 ⎟ g) A = ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ i) A = ⎜ ⎟ j) A = ⎜ ⎟ ⎜0 1⎟ ⎜ 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 17 Tìm ma trận X cho XA = B , với ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ A=⎜ 1 ⎟ ⎜ −3 −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ d) A = ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ h) A = ⎜ −1 −1 ⎟ ⎜2 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ −8 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ 18 Giải phương trình ma trận sau ⎛1 2⎞ ⎛ 5⎞ a) ⎜ ⎟X = ⎜ ⎟ ⎝3 4⎠ ⎝ 9⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 14 16 ⎞ c) ⎜ ⎟X⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎛ 13 −8 −12 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ e) X ⎜ 12 −7 −12 ⎟ = ⎜ ⎜ −4 − ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 19 Tìm hạng ma trận ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ a) ⎜ −1 ⎟ ⎜ −3 −2 ⎟ ⎝ ⎠ 3⎞ ⎟ 6⎟ ⎟⎠ sau ⎛ −2 ⎞ ⎛ − ⎞ b) X ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝ −5 ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d) ⎜ −4 ⎟ X = ⎜ 10 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 10 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛7 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f) ⎜ −4 ⎟ X = ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜1 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎜ −1 −1 b) ⎜ ⎜5 ⎜⎜ ⎝ 10 27 1⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎟ ⎟⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ −1 −2 −3 ⎟ ⎜ c) ⎜ −1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −3 −8 ⎠ ⎛3 ⎜ d) ⎜ ⎜1 ⎜⎜ ⎝ 12 20 Biện −1 −1 −1 − −6 −2 −2 luận theo m ⎛ 1 −3 ⎞ ⎜ ⎟ a) ⎜ m ⎟ ⎜1 m ⎟ ⎝ ⎠ ⎛3 1 ⎜ m 10 c) ⎜ ⎜ 17 ⎜⎜ ⎝2 4⎞ ⎟ 1⎟ 3⎟ ⎟ ⎟⎠ ⎛ −1 −1 ⎞ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ −1 ⎟ ⎜ e) ⎜ −1 −2 −7 ⎟ −9 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ −10 ⎠ ⎝ −1 −1 ⎠ hạng ma trận sau ⎛0 ⎜ f) ⎜ ⎜3 ⎜⎜ ⎝4 −3 −5 ⎞ ⎟ −2 − ⎟ −5 12 ⎟ ⎟ 5 ⎟⎠ ⎛ m 5m −m ⎞ ⎜ ⎟ m 10m ⎟ b) ⎜ 2m ⎜ − m −2m −3m ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ −1 2 ⎟ d) ⎜ ⎜ 1 2⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −2 −1 m − ⎠ 28