bài giảng và bài tập về ma trận đầy đủ

Về mặt toán học, ta xét một biểu diễn quan trọng của ma trận trong việc khảo sát các hệ phương trình tuyến tính, một hệ thống gồm nhiều phương trình bậc nhất theo nhiều ẩn số.. Cụ thể, m

a chỉ số hạng nằm ở dòng thứ i , cột thứ j của ma trận A

Tập hợp tất cả các ma trận cấp m n× được ký hiệu là Mm n× Với A M∈ m n× , số hạng nằm ở dòng thứ i , cột thứ j, i 1, m= , j 1,n= , của A còn được ký hiệu là ij

Chú ý rằng việc xử lý bằng bảng là một công cụ quen thuộc trong đời sống

Chẳng hạn, để ghi chú số lượng bán một mặt hàng trong một ngày, ta dùng một số

Số lượng bán n mặt hàng trong một ngày được biểu diễn bằng n số mà ta còn gọi là

một vectơ n – chiều, hay một ma trận cấp 1 n× Số lượng bán n mặt hàng trong m

ngày được biểu diễn bằng m vectơ n – chiều, hay một ma trận cấp m n× Trong xử lý ảnh, một bức ảnh đen trắng có thể biểu diễn bằng một ma trận các bít 0, 1 Trong thống kê ứng dụng, khi khảo sát một biến phụ thuộc theo k biến độc lập, người ta thu thập n bộ số liệu, mỗi bộ số liệu gồm k 1+ số chỉ giá trị của k biến độc lập và giá trị của biến phụ thuộc tương ứng Một bộ số liệu như vậy tạo thành một ma trận cấp n×(k 1+ ),

Giống như các khái niệm khác trong toán học, ma trận có thể biểu diễn nhiều đối tượng khác nhau trong từng bài toán ứng dụng cụ thể Về mặt toán học, ta xét một biểu diễn quan trọng của ma trận trong việc khảo sát các hệ phương trình tuyến tính, một hệ thống gồm nhiều phương trình bậc nhất theo nhiều ẩn số

Xét hệ phương trình

trong đó x, y, z là các ẩn số cần tìm

Vai trò ký hiệu của các ẩn x, y, z là không có ý nghĩa quyết định Chẳng hạn,

hệ phương trình này có thể viết lại thành

với các ẩn là x1, x2, x3,

Nói khác đi, một hệ phương trình tuyến tính được hoàn toàn xác định chỉ

bằng các số hạng đi kèm theo các ẩn mà ta gọi là các hệ số và các số hạng vế phải

mà ta gọi là các hệ số tự do Cụ thể, một hệ phương trình tuyến tính gồm m

phương trình theo n ẩn số được hoàn toàn xác định bằng ma trận cấp m n× các hệ

số và ma trận cấp m 1× các hệ số tự do Chẳng hạn, hệ phương trình (1.1) hay

(1.2) được hoàn toàn xác định bởi các ma trận

Ngoài ra, ta có thể gom chung hai ma trận này lại một ma trận, gọi là ma

trận các hệ số mở rộng

1.2 Ma trận bằng nhau

Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các số

hạng tương ứng của chúng bằng nhau từng đôi một, nghĩa là

1.3 Các ma trận đặc biệt

i) Ma trận không : là ma trận mà mọi số hạng của nó đều là số 0 Ma trận

không cấp m n× được ký hiệu là 0m n× hay vắn tắt là 0

0 là ma trận không cấp 2 3×

ii) Ma trận vuông : là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau Ma trận vuông

cấp n n× được gọi tắt là ma trận vuông cấp n Tập hợp tất cả các ma trận vuông

cấp n được ký hiệu là Mn Với ma trận vuông A M∈ n, các số hạng

là một ma trận vuông cấp 3

Các số hạng nằm trên đường chéo chính là :

Các số hạng nằm trên đường chéo phụ là : ⎡ ⎤⎣ ⎦A 31 = 2, ⎡ ⎤⎣ ⎦A 22 = 6, ⎡ ⎤ =⎣ ⎦A 13 3

iii) Ma trận chéo cấp n : là ma trận vuông cấp n mà mọi số hạng không nằm

trên đường chéo chính đều là số 0

là một ma trận chéo cấp 3

iv) Ma trận đơn vị cấp n : là ma trận chéo cấp n , ký hiệu là In, mà mọi số hạng nằm trên đường chéo chính đều bằng 1 Để biểu diễn ma trận đơn vị, người ta còn dùng ký hiệu Kronecker :

( )

1 0 0

0 1 0I

v) Ma trận tam giác trên (dưới) : là ma trận vuông mà các phần tử ở phía dưới

(ở phía trên) đường chéo chính đều bằng 0

là một ma trận tam giác dưới

vi) Ma trận chỉ có một dòng được gọi là một ma trận dòng, ma trận chỉ có một cột được gọi là một ma trận cột

Các ma trận dòng và ma trận cột còn được xem như là các vectơ và được lần

lượt gọi là các vectơ dòng và vectơ cột Khi đó, một ma trận có thể xem như được

tạo bởi nhiều vectơ dòng hay tạo bởi nhiều vectơ cột Với ma trận A M∈ m n× , dòng thứ i của A gồm các phần tử ⎡ ⎤A i1, ⎡ ⎤A i2, , ⎡ ⎤A in và được ký hiệu là ⎡ ⎤A i; cột thứ j gồm các phần tử

1jA

⎡ ⎤ ,

2jA

⎡ ⎤ , ,

mjA

1.3 Các phép toán trên ma trận

1.3.1 Phép cộng hai ma trận và nhân một số với một ma trận

Với hai ma trận A, B M∈ m n× và với số thực h ∈ , ta định nghĩa :

Ma trận tổng của A và B , ký hiệu A B+ , là ma trận cấp m n× xác định bởi

∗ Chú ý : Hai ma trận chỉ có thể cộng với nhau khi chúng có cùng cấp và ma

trận tổng có cấp bằng cấp của hai ma trận đã cho Ma trận ( )−1 A, ký hiệu −A,

được gọi là ma trận đối của ma trận A Từ đó, ta định nghĩa được phép trừ các ma

trận bởi

A B A− ≡ + −B = A+ −1 B

Tính chất. Với mọi ma trận A,B,C M∈ m n× và h, k ∈ , ta có

(i) A B B A+ = + (tính giao hoán),

(ii) (A B+ )+C A= +(B C+ ) (tính kết hợp),

(iii) A+ =0 A (0 : ma trận không cấp m n× ),

(iv) A + −( )A =0 ,

không gian vectơ (xem chương 3)

1.3.2 Phép nhân hai ma trận

Cho hai ma trận A M∈ m n× , B M∈ n p× Ta định nghĩa ma trận tích của hai ma trận A,B là ma trận cấp m p× , ký hiệu AB, xác định bởi

⎡ ⎤

⎣ ⎦ của ma trận tích AB, các số hạng

i1A

⎡ ⎤

⎣ ⎦chính là tích vô hướng của hai vectơ ⎡ ⎤A i và ⎡ ⎤B k

Chú ý rằng với phép nhân ma trận như vậy, ta có thể biểu diễn một hệ

phương trình tuyến tính bằng một phương trình ma trận Chẳng hạn, trở lại với hệ

Gọi

1 2 3

và với mọi ma trận C M∈ m n× và A,B M∈ n p× , ta có

C A B+ =CA CB+ (iii) Với mọi ma trận A M∈ m n× ,B M∈ n p× và h ∈ , ta có

h AB = hA B A hB=

* Chú ý

i) Để có thể nhân ma trận A với ma trận B , ta cần điều kiện là số cột của

ma trận A phải bằng số dòng của ma trận B và khi đó :

Số dòng của ma trận tích AB bằng số dòng của ma trận A

Số cột của ma trận tích AB bằng số cột của ma trận B

Do đó, với hai ma trận A, B cho trước, không nhất thiết tích AB tồn tại và khi tích AB tồn tại, tích BA không nhất thiết tồn tại

ii) Tích của hai ma trận nói chung không có tính giao hoán, nghĩa là tổng quát

ta có AB BA≠

Ví dụ 11. Với hai ma trận

0 1A

Trong trường hợp cả hai ma trận tích AB và BA tồn tại và thỏa đẳng thức

AB BA= , ta nói hai ma trận A và B giao hoán với nhau Chẳng hạn, ma trận đơn

vị In giao hoán với mọi ma trận vuông A cấp n và I A AIn = n = A

Tổng quát, nếu B là ma trận cấp m n× , ta có I B BIm = n =B, trong đó Im, Inlần lượt là các ma trận đơn vị cấp m và n

và do đó, hai ma trận A và C giao hoán với nhau Thực ra, ma trận C thỏa (1.5) nêu

trên được gọi là ma trận nghịch đảo của A (xem phần 3), ký hiệu A− 1

Khi đó, bằng cách nhân (bên trái) hai vế của đẳng thức (1.4) cho C, ta được

1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Xét ma trận A M∈ mxn với m vectơ dòng ⎡ ⎤A 1, ⎡ ⎤A 2, , ⎡ ⎤A m Các phép biến

đổi trên dòng nhằm mục đích thay đổi các dòng của ma trận A , biến nó thành ma

trận mới A′ ∈Mm n× ( A′ cùng cấp với A ) Ta có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng

như sau :

i) Phép biến đổi 1 : Hoán vị hai dòng i và j, ký hiệu ( ) ( )i j

A⎯⎯⎯⎯→∼ A′, nhằm đổi chỗ hai dòng i , j trong ma trận A, nghĩa là mọi dòng khác các dòng i , j của

A và A′ bằng nhau, dòng thứ i của A′ bằng dòng thứ j của A và dòng thứ j của

A′ bằng dòng thứ i của A ,

ii) Phép biến đổi 2 : Nhân dòng i với một số α ≠ 0, ký hiệu ( )i : ( )i

A⎯⎯⎯⎯⎯→=α A′, nhằm nhân dòng thứ i của A với α, nghĩa là mọi dòng khác dòng i của A và A′ bằng nhau, dòng thứ i của A′ bằng dòng thứ i của A nhân với α,

Đối với ma trận tam giác trên mà mọi phần tử nằm trên đường chéo đều khác

0, thì cũng bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta có thể biến nó thành ma trận đơn vị

Ví dụ 17

( ) ( )( )2 :1 : 1 21 1( )(3): 1.(3)

chéo chính của ma trận tam giác này khác không, ta có thể tiếp tục biến đổi về ma trận đơn vị

• Giải thuật biến ma trận vuông thành ma trận tam giác trên

Để chuyển một ma trận vuông về một ma trận tam giác trên, ta duyệt các cột, từ cột đầu đến cột cuối :

Trên mỗi cột, chọn một phần tử mà ta gọi là phần tử trục xoay Sau đó, dùng

các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến các phần tử nằm phía dưới phần tử trục xoay về số 0 Đối với giải thuật chuyển ma trận vuông về ma trận tam giác trên, phần tử trục xoay trên từng cột được chọn nằm trên đường chéo Khi đó, ta có các khả năng sau :

Khả năng 1. Phần tử trục xoay bằng 0 và các phần tử ở phía dưới phần tử trục xoay cũng bằng 0 : Chuyển qua cột kế

Khả năng 2. Phần tử trục xoay bằng 0 và có một phần tử ở phía dưới nó khác

0 : Hoán vị hai dòng thích hợp để đưa phần tử khác 0 này về vị trí phần tử trục xoay Chuyển qua khả năng 3

Khả năng 3. Phần tử trục xoay khác 0 : Thay các dòng dưới phần tử trục xoay bằng dòng đó cộng với một hằng số thích hợp nhân với dòng chứa phần tử trục xoay để biến các phần tử phía dưới trục xoay thành 0 Chuyển qua cột kế

Ví dụ 18

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Nhân dòng chứa phần tử trục xoay với một hằng số thích hợp để biến phần tử trục xoay thành 1,

Thay các dòng phía trên phần tử trục xoay bằng dòng đó cộng với một hằng số thích hợp nhân với dòng chứa phần tử trục xoay để biến các phần tử phía trên phần tử trục xoay thành 0

Chẳng hạn, với ma trận nhận được ở ví dụ 18, ta biến đổi tiếp tục

( ) ( )1 ( ) ( ) ( )

2

3 1

1 2 1

1 2

1

2 1 : 1 43

Nhận xét rằng khi ta thực hiện các phép biến đổi trên dòng cho ma trận các hệ số mở rộng của một hệ phương trình tuyến tính, ta đã thay đổi thứ tự các phương trình trong hệ, nhân hai vế của một phương trình cho một số khác 0 hay thay một phương trình bằng phương trình đó cộng cho một hằng số nhân cho một phương trình khác Do các sự thay đổi như vậy không làm thay đổi tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính nên sau khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng cho ma trận các hệ số mở rộng, ta nhận được một ma trận các hệ số mở rộng của một hệ phương trình tuyến tính mới, tương đương với hệ phương trình tuyến tính ban đầu, nghĩa là tập nghiệm của chúng bằng nhau Chẳng hạn, trở lại với hệ phương trình

A = A B sao cho ma trận các hệ số A trở thành ma trận tam giác trên,

ta được x3 =3, x2 = −8 2x3 =2 và x1 = +2 x2 −x3 =1 Phương pháp giải hệ phương

trình tuyến tính này được gọi là phương pháp Gauss

Hơn nữa, nếu ta biến đổi tiếp A′ = (A B′ ′) để chuyển A′ về ma trận đơn vị,

hệ phương trình tuyến tính này được gọi là phương pháp Gauss-Jordan Các

phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính sẽ được khảo sát một cách có hệ thống trong chương sau

1.5 Ma trận bậc thang theo dòng

Định nghĩa Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận mà ứng với hai dòng bất

kỳ, số hạng khác 0 đầu tiên của dòng dưới luôn luôn nằm bên phải số hạng khác 0 đầu tiên của dòng trên

Chẳng hạn, với các ma trận trong ví dụ 19, các số hạng bằng 0 đầu tiên trên mỗi dòng có dạng

Chú ý rằng, ma trận tam giác trên với các số hạng nằm trên đường chéo khác

0 cũng là một ma trận bậc thang và khi đó mỗi bậc thang chứa đúng một cột

Với một ma trận A cấp m n× bất kỳ, ta luôn luôn có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp để biến ma trận A thành ma trận bậc thang theo dòng

• Giải thuật chuyển về ma trận bậc thang theo dòng

Để chuyển ma trận bất kỳ về ma trận bậc thang theo dòng, người ta thay đổi cách chọn phần tử trục xoay trong giải thuật chuyển ma trận vuông về ma trận tam giác trên Thay vì vị trí phần tử trục xoay luôn luôn nằm trên đường chéo, ta chọn

- Phần tử trục xoay của cột 1 nằm ở dòng 1

- Nếu sau khi biến đổi xong một cột mà phần tử trục xoay lúc đó khác 0 thì phần tử trục xoay của cột kế nằm ở dòng kế Ngược lại, nếu phần tử trục xoay bằng 0 (và mọi phần tử nằm dưới nó cũng bằng 0) thì phần tử trục xoay của cột kế nằm ở cùng dòng

Ví dụ 20

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1.6 Ma trận chuyển vị

Định nghĩa. Cho A M∈ m n× , chuyển vị của A , ký hiệu AT, là ma trận cấp

n m× xác định bởi T

ji ij

Nhận xét. Ma trận chuyển vị của A nhận được từ A bằng cách biến dòng của

A thành cột của AT (hay biến cột của A thành dòng của AT)

Định nghĩa. Ma trận vuông A được gọi là đối xứng, nếu A A= T

Từ định nghĩa ta thấy nếu A là ma trận đối xứng thì A là ma trận vuông và các phần tử nằm ở vị trí đối xứng nhau qua đường chéo đều bằng nhau,

là một ma trận đối xứng

2 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG

Xét ma trận vuông cấp n

Với mỗi số hạng a (số hạng nằm ở dòng i và cột j), ma trận vuông cấp ij

n 1− nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận

bù của A đối với số hạng a , ký hiệu là ij A ij

Cho A M∈ n Định thức của A, ký hiệu det A hay A , là số thực được định

nghĩa bằng quy nạp theo n như sau

Với n 1= , nghĩa là A =( )a11 , thì det A a= 11

det A = −1 + a det a + −1 + a det a = a a −a a

Nhận xét. Nếu A a b

Viết theo thứ tự hai cột 1 và 2 sau cột thứ 3

Ba số hạng mang dấu cộng trong định thức là tích các phần tử nằm trên

đường chéo chính hay song song với đường chéo chính

Ba số hạng mang dấu trừ trong định thức là tích các phần tử nằm trên đường

chéo phụ hay song song với đường chéo phụ

khai triển theo dòng một Thực chất, định thức của một ma trận vuông không đổi

khi ta khai triển theo một dòng hay một cột bất kỳ

2.2 Định lý Cho ma trận A ( )ai j n n

Công thức (2.2) gọi là công thức khai triển theo dòng i0 và công thức (2.3) là

công thức khai triển theo cột j0

Từ định lý nêu trên, ta có thể tính được định thức bằng cách khai triển theo

một dòng hay một cột bất kỳ Trong thực tế, ta lựa chọn các dòng hay cột để khai

triển sao cho số các phép tính cần thực hiện càng ít càng tốt, chẳng hạn khai triển

theo dòng hay cột chứa nhiều số 0 nhất

Ta được công thức khai triển định thức theo k dòng như sau

2.3 Định lý Laplace Với A M∈ n, chọn k dòng i1 < i2 < i< k Ta có

ta có det C det A det B= +

Do đó, nếu ma trận C nhận được từ A,B bằng cách lấy một dòng của A cộng với một dòng của B và các dòng khác giữ nguyên thì det C det A det B= +

ii) Cho A M∈ n, h ∈ Nếu ma trận B M∈ n thỏa

i) Nếu A⎯⎯⎯⎯⎯(i) (i )∼ ′ →B thì det B = −det A

ii) Nếu A⎯⎯⎯⎯⎯(i):=α(i) → B thì det B= α det A

iii) Ma trận có 2 dòng tỉ lệ với nhau thì có định thức bằng 0

iv) Nếu A⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯(i) : (i)= + α(i )′ →B, với i i′≠ , thì det B det A=

v) Định thức của ma trận tam giác bằng tích các số hạng nằm trên đường chéo chính

vi) det A det A= ( )T , với mọi A M∈ n

vii) Với A,B M∈ n, ta có det AB( ) =det A.det B

Định lý nêu trên được ứng dụng trong việc tính định thức của một ma trận bằng cách biến một ma trận vuông về một ma trận tam giác trên Chú ý rằng với giải thuật nêu trong phần 1.4, ta chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp thứ 1 (định thức đổi dấu) và phép biến đổi thứ 3 (định thức không đổi)

do đó, det A det B 1 1= = ⋅ ⋅ −( )33 = −33

Chú ý. Với A,B M∈ n, có thể AB BA≠ nhưng ta vẫn có det AB( )=det BA( )

3.1 Định nghĩa Cho A,B M∈ n Ta nói A,B là hai ma trận nghịch đảo của nhau

nếu AB BA I= = n Khi đó, ta nói A và B là các ma trận khả nghịch

Chú ý rằng nếu hai ma trận B , B1 2 cùng là các ma trận nghịch đảo của A,

nghĩa là AB1 = B A I1 = n và AB2 = B A I2 = n, ta có

B = B I B AB= = B A B = IB =B Nói khác đi, nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa AB BA I= = n là

duy nhất và ta gọi nó là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu B A= −1

A A − = A A− −

Ta có

Vậy A,B khả nghịch và B A= −1 hay A B= −1

Khi ma trận A khả nghịch, nghĩa là tồn tại ma trận B M∈ n sao cho AB I= n,

ta suy ra det A det B 1⋅ = , và do đó det A 0≠ Thực ra ta có

3.3 Tính chất Ma trận A M∈ n khả nghịch khi và chỉ khi det A 0≠ .

3.4 Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo A−1

Phương pháp 1. Tìm A− 1 bằng định thức

Cho A M∈ n, det A 0≠ Với Aij∈Mn 1− là ma trận bù của A đối với phần tử ij

a (ma trận nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng và cột chứa phần tử a ) Đặt ij