luận văn độ đo trên không gian tôpô

LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoa Toán −Lý −Tin, phòng khảo thí đảm bảo chất lượng, phòng đào tạo đại học, thầy cô tổ môn Giải tích, đặc biệt thầy giáo Vũ Việt Hùng, người định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, động viên có thêm nghị lực hoàn thành đề tài Nhân dịp xin cảm ơn tới người thân bạn sinh viên lớp K53 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên thầy cô bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2015 Nhóm sinh viên thực Lường Văn Văn Vũ Thị Lan MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết độ đo nội dung kiến thức giải tích đại Đây sở để nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng giải tích nói chung Ở học phần lý thuyết độ đo chương trình học sinh viện năm thứ ba đại học sư phạm toán nay, lý thuyết độ đo trình bày dạng Vì vậy, việc trình bày chi tiết vấn đề liên quan đến độ đo số không gian đo đặc biệt giúp cho sinh viên có hiểu biết sâu sắc thêm định hướng, làm quen dần với nội dung kiến thức chuyên sâu cần thiết cho nghiên cứu vấn đề Mặt khác nội dung kiến thức độ đo nội dung quan trọng giải tích nói chung giải tích đại nói riêng Việc xây dựng độ đo xuất phát từ vấn đề: Trên đường thẳng, có tập gán số không âm gọi độ dài, chẳng hạn độ dài đoạn thẳng Nhưng có tập mà trực quan ta độ dài xác định nào, chẳng hạn tập số hữu tỉ đoạn [0, 1] Người ta xây dựng lý thuyết độ đo để đo tập Về vấn đề tích phân giải tích cổ điển, biết tích phân Riemann, tích phân có số hạn chế Với tích phân này, nhiều vấn đề giải tích không giải cách thỏa đáng, chẳng hạn vấn đề qua giới hạn dấu tích phân, Đây vấn đề học chương trình năm thứ ba bậc đại học Khoa Toán Lý - Tin Mặt khác, chương trình năm thứ bậc đại học, nghiên cứu lý thuyết không gian tôpô học phần trước học phần độ đo - tích phân với đó, học học phần đại số đại cương, nơi mà lý thuyết nhóm nghiên cứu đầy đủ Đồng thời, biết, ngày môn toán học có xu hướng hòa quyện vào nghiên cứu, hướng chủ đạo nghiên cứu lớp đối tượng toán học đại mà có cấu trúc đại số (có phép toán đại số) có cấu trúc tôpô, nơi có sẵn cấu trúc tôpô cho phép ta nghiên cứu tính liên tục hàm chúng, Hơn nữa, biết kết quan trọng giải tích đại định lý biểu diễn Riesz không gian Hilbert, nơi có sẵn tích vô hướng Kết thật tuyệt vời phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert biểu diễn thông qua tích vô hướng có Điều làm cho việc nghiên cứu phiếm hàm cho diễn thực thuận lợi Tuy nhiên thấy không gian Hilbert không gian đẹp có nhiều điều kiện ngặt nghèo Chính lý đó, đặt vấn đề tiến hành nghiên cứu vấn đề tương tự không gian (có cấu trúc đại số, tôpô) Hilbert Kết trả lời cho câu hỏi biết độ đo sinh phiếm hàm tuyến tính dương không gian hàm số thực liên tục có giá compact, điều ngược lại có không ? Điều khẳng định định lý biểu diễn Riesz Xuất phát từ lí mạnh dạn chọn đề tài "Độ đo không gian tôpô " để nghiên cứu Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới hạn phạm vi nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu độ đo không gian tôpô,và lý thuyết biểu diễn Riesz liên hệ độ đo phiếm hàm tuyến tính liên tục Từ đưa số ứng dụng lý thuyết giải tích đại 2.2 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài độ đo không gian tôpô 2.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích trên, đặt nhiệm vụ tìm hiểu trình bày lại vấn đề kiến thức có liên quan cách có hệ thống lôgic Từ trình bày cách chi tiết độ đo không gian tôpô 2.4 Phương pháp nghiên cứu Do đặt nhiệm vụ đặc thù môn, chọn phương pháp sưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn, nhóm nghiên cứu Từ hệ thống lại kiến thức theo nội dung đề tài 2.5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu nghiên cứu vấn đề độ đo không gian tôpô Bố cục Từ mục đích nhiệm vụ đặt bố cục đề tài xếp sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Hệ thống nội dung kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu nội dung đề tài chương như: Lý thuyết độ đo, hàm đo được, đặc biệt định lý cấu trúc hàm đo Tiếp trình bày số kiến thức sở không gian tôpô số lớp không gian tôpô cần dùng sau Cuối chương 1, dành cho việc trình bày số kiến thức không gian định chuẩn, không gian Hilbert sơ lược toán tử tuyến tính không gian Chương Độ đo không gian tôpô Trình bày lý thuyết việc xậy dựng độ đo không gian tôpô, đặc biệt không gian tôpô Hausdroff compact địa phương Tiếp theo đó, trình bày Định lí biểu diễn Riesz-Markov Định lý Lusin Cuối chương trình bày vấn đề liên quan đến giá độ đo Chương Phiếm hàm tuyến tính liên tục định lý biểu diễn Riesz Trình bày kết đề tài, Định lý biểu diễn Riesz Phần cuối đề tài dành cho việc xây dựng độ đo Haar Đóng góp đề tài Đề tài trình bày cách có hệ thống kiến thức liên quan tôpô lý thuyết độ đo, phiếm hàm tuyến tính không gian định chuẩn Kết đề tài trình bày định lý biểu diễn Riesz cho không gian định chuẩn, khác với kết tương tự không gian Hilbert học chương trình đại học sinh viên Đề tài tài liệu tham khảo chuyên sâu hữu ích cho sinh viên chuyên ngành toán lĩnh vực đề tài nói riêng tài liệu tham khảo cho sinh viên Khoa Toán – Lý – Tin trường Đại học Tây Bắc thư viện nhà trường nói chung Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Đại số σ-đại số tập hợp 1.1.1 Đại số tập hợp 1.1.2 σ-đại số tập hợp Độ đo đại số tập hợp 10 1.2.1 Hàm tập hợp 10 1.2.2 Độ đo đại số tập hợp 10 1.2.3 Các tính chất độ đo 11 1.2.4 Độ đo 11 1.2.5 Độ đo đủ 13 1.3 Độ đo Rk 13 1.4 Hàm đo 14 1.4.1 Định nghĩa điều kiện tương đương 14 1.4.2 Các phép toán với hàm đo 14 1.4.3 Các định lí hàm đo 15 1.5 Cấu trúc hàm đo 16 1.6 Không gian tôpô 17 1.6.1 Tôpô tập hợp 17 1.6.2 Một số không gian tôpô quan trọng 18 Không gian tuyến tính định chuẩn 18 1.7 1.8 1.9 1.7.1 Không gian tuyến tính 18 1.7.2 Không gian tuyến tính định chuẩn 19 Phiếm hàm tuyến tính 20 1.8.1 Định nghĩa toán tử tuyến tính 20 1.8.2 Phiếm hàm tuyến tính 21 Không gian Hilbert 21 1.9.1 Không gian tiền Hilbert 21 1.9.2 Không gian Hilbert 22 ĐỘ ĐO TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ 23 2.1 Tích phân Lebesgue 23 2.2 Độ đo không gian tôpô 31 2.2.1 Phân hoạch đơn vị 31 2.2.2 Hàm tuyến tính dương 35 2.3 Định lí biểu diễn Riesz-Markov 45 2.4 Định lí Lusin 47 2.5 Giá độ đo 52 PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 54 3.1 Liên hợp không gian Lebesgue 54 3.2 Liên hợp không gian Cc (X) 60 3.3 Định lí biểu diễn Riesz 63 3.4 Độ đo Haar 66 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 79 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số kiến thức sở đại số, độ đo, hàm đo không gian tôpô, không gian tuyến tính định chuẩn, phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert 1.1 Đại số σ-đại số tập hợp 1.1.1 Đại số tập hợp Định nghĩa 1.1 Cho X tập tùy ý khác rỗng Ta gọi C tập X đại số X thỏa mãn tính chất sau: a) X ∈ C b) Nếu A ∈ C CA ∈ C c) Nếu A, B ∈ C A ∪ B ∈ C Ngoài ta kiểm tra C đại số tập X dựa vào bổ đề sau Bổ đề 1.2 C đại số tập X C thỏa mãn điều kiện sau: a) X ∈ C b) Nếu A ∈ C CA ∈ C c) Nếu A, B ∈ C A ∩ B ∈ C Chứng minh Giả sử C đại số tập X Theo định nghĩa C thỏa mãn điều kiện a),b) Nếu A, B ∈ C, theo b) ta có CA, CB ∈ C, lại theo c) ta có (CA) ∪ (CB) ∈ C đó, theo b) ta có A ∩ B = C(CA ∪ CB) ∈ C Ngược lại chứng minh tương tự Bổ đề 1.3 Giao họ tùy ý đại số tập X đại số tập X Cho A họ tùy ý tập X Bao tồn đại số tập X chứa A, chẳng hạn đại số P(X) tất tập X Kí hiệu C(A) giao tất đại số tập X chứa A, C(A) đại số gọi đại số tập X sinh A 1.1.2 σ-đại số tập hợp Định nghĩa 1.4 Cho X tập tùy ý khác rỗng Một họ F tập X gọi σ-đại số X thỏa mãn điều kiện: a) X ∈ F b) Nếu A ∈ F CA ∈ F ∞ An ∈ F c) Nếu {An }n∈N∗ ⊂ F n=1 Ta kiểm tra F σ- đại số tập X dựa vào bổ đề sau Bổ đề 1.5 F σ- đại số tập X F thỏa mãn điều kiện sau: a) X ∈ F b) Nếu A ∈ F CA ∈ F ∞ c) Nếu {An } n∈N∗ ⊂ F An ∈ F n=1 Bổ đề 1.6 Giao họ tùy ý σ-đại số tập X σ-đại số tập X Cho A họ tùy ý tập X Kí hiệu F(A) giao tất σ-đại số tập X chứa A, F(A) σ-đại số gọi đại số tập X sinh A 1.2 Độ đo đại số tập hợp 1.2.1 Hàm tập hợp Định nghĩa 1.7 Cho X = ∅, C- họ tập X Hàm µ :C → R = R ∪ {−∞; +∞} A → µ(A) Khi ta nói hàm µ hàm tập hợp Hơn ta gọi i) µ có tính chất cộng tính ∀A, B ∈ C, A ∩ B = ∅ ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) ii) µ gọi có tính chất σ- cộng tính ∀{An }n∈N∗ ⊂ C cho ∞ An ∈ C Ai ∩ Aj = ∅(i = j), n=1 ∞ ∞ µ An µ(An ) n=1 n=1 1.2.2 = Độ đo đại số tập hợp Định nghĩa 1.8 Một hàm tập µ đại số C- tập X Khi µ gọi độ đo nếu: (i) µ(A) ≥ 0, ∀A ∈ C (ii) µ(∅) = (3i) µ có tính chất σ- cộng tính Khi ta gọi µ(A) độ đo A, ∀A ∈ C 10 E ∈ B(X), tồn Kk compact νk mở cho Kk ⊂ E ⊂ νk νk (Vk ) − ≤ νk (E) ≤ νk (Kk ) + Khi K := k1 ∪ k2 ⊂ E ⊂ V := V1 ∩ V2 , K compact, V mở từ tính đơn điệu độ đo dương ν(V ) − ≤ ν1 (V1 ) + ν2 (V2 ) − ≤ ν(E) ≤ ν1 (K1 ) + ν2 (K2 ) + ≤ ν(K) + Giả sử biểu diễn (1) với độ đo phức quy µ1 µ2 Khi X f dµ = với f ∈ Cc (X), với µ = µ1 − µ2 Chúng ta cần µ = (nghĩa µ = 0) Từ |µk | độ đo Borel dương hữu hạn quy, nên độ đo Borel dương ν := |µ1 | + |µ2 | quy Viết dµ = hd|µ|, h hàm Borel với |h| = (Định lí 1.24) Từ ν quy từ Hệ 2.30 tồn dãy {fn } ⊂ Cc (X) hội tụ tới h theo khoảng cách L1 (ν) Từ hh = 1, |µ| = |µ1 − µ2 | ≤ |µ1 | + |µ2 | := ν X fn hd|µ| = X fn dµ = 0, ta thu µ := |µ|(X) = fn hd|µ| − X ≤ |fn − h|d|µ| ≤ X (fn − h)hd|µ| hhd|µ| = X X |fn − h|dν = fn − h L1 (ν) →0 X n → ∞ Do µ = Nhận xét 3.5 Nếu S = supp |µ| (Định nghĩa 2.35), ta có φ = µ := |µ|(X) = |µ|(S) f dµ (f ∈ L1 (|µ|)) f dµ = X S Công thức thứ hai sau suy từ Định lí 1.24 Định nghĩa 2.35-(2) Thật vậy, viết dµ = hd|µ| h hàm đo Borel với |h| = X (Định lý 1.24) Khi với f ∈ L1 (|µ|), ta có (Định nghĩa 2.35-(2)) f dµ := X f hd|µ| = X f hd|µ| := S 65 dµ S 3.4 Độ đo Haar Phần cuối đề tài, trình bày áp dụng kết Định lí biểu diễn Riesz-Markor với hàm tuyến tính dương (Định lí 2.27) đề tài cho việc xây dựng phép tịnh tiến bất biến cho độ đo dương nhóm tôpô compact địa phương tùy ý Trước hết hiểu nhóm tôpô nhóm G với tôpô Hausdorff G mà với tôpô phép toán (phép hợp thành toán tử toán tử ngược) liên tục Từ đó, với phần tử cố định a ∈ G, phép tịnh tiến trái (phải) x → ax(x → xa) đẳng cấu G đến Với lân cận mở V phần tử đơn vị e nhóm, tập aV (V a) lân cận mở a Bây ta giả sử G compact địa phương f, g ∈ Cc+ := Cc+ (g) := {f ∈ Cc (G); f ≥ 0, f Cố định < a < g không đồng 0} := g u Khi tồn a ∈ g cho g(a) > α∀x ∈ aV Từ tính compact supp f , tồn x1 , · · · , xn ∈ G cho supp f ⊂ ∪nk=1 xk V Đặt sk := ax−1 k với x ∈ xk V, sk x ∈ aV ta có g(sk x) ≥ α Nếu x ∈ supp f , tồn k ∈ {1, · · · , n} cho x ∈ xk V , (với k) f f (x) ≤ f ≤ g(sk x) ≤ α n ci g(si x), (1) i=1 f ∀i = 1, · · · , n Do (1) tầm thường (supp f )c , ta α thấy tồn n ∈ N (c1 , · · · , cn , s1 , · · · , sn ) ∈ (R+ )n × Gn cho ci = n f (x) ≤ ci g(si x) (x ∈ G) (2) i=1 Kí hiệu Ω(f : g) tập khác rỗng hàng (với n biến thiên) cho n ci (f : g) = inf i=1 66 (*) cận (inf) thực tất (c1 , · · · , cn ) cho (c1 , · · · , cn ) ∈ Ω(f : g) với n si Chúng ta biến đổi số thuộc tính sơ cấp hàm (f : g) với g cố định Lấy fs (x) := f (x) với s ∈ G cố định (fs gọi s-tịnh tiến trái f ) Nếu (c1 , · · · , cn , s1 , · · · , sn ) ∈ Ω(f : g) fs (x) = f (sx ) ≤ i cj g(si sx ) với n x ∈ G, (c1 , · · · , cn , s1 s, · · · , sn s) ∈ Ω(fs : g), (fs : g) ≤ ci i=1 Lấy cận tất hàng, ta (fs : g) ≤ (f : g) Nhưng (f : g) = ((fs )s− : g) ≤ (fs : g) ta kết luận (fs : g) = (f : g) (3) với tất s ∈ G (tức hàm ( : g) phép tịnh tiến trái bất biến) Trong lập luận sau đây, kí hiệu số dương tùy ý Nếu c>0 (c1 , · · · , cn , s1 , · · · , sn ) ∈ Ω(f : g) thỏa mãn i cci g(si x) ci < (f : g)+ (cf )(x) ≤ với x ∈ G, (cf : g) ≤ i cci < c(f : g) + c Từ tính tùy ý suy (cf : g) ≤ c(f : g) Áp dụng bất đẳng thức cho hàm cf số (thay cho f c tương ứng), ta thu bất đẳng c thức ngược lại Do (cf : g) = c(f : g) (c > 0) (4) Cho x0 ∈ G thỏa mãn f (x0 ) = maxG f (do f liên tục với giá compact, điểm x0 tồn tại) Khi với (c1 , · · · , cn , s1 , · · · , sn ) ∈ Ω(f : g), f = f (x0 ) ≤ ci g(si x0 ) ≤ g i ci i Do f ≤ (f : g) g (5) Tiếp theo, xét ba hàm f1 , f2 , g ∈ Cc+ Nếu f1 ≤ f2 ta Ω(f2 : g) ⊂ Ω(f1 : g) f1 ≤ f2 thỏa mãn (f1 : g) ≤ (f2 : g) 67 (6) Tồn (c1 , · · · , cn , s − 1, · · · , sn ) ∈ Ω(f1 : g) (d1 , · · · , dm , t1 , · · · , tm ) ∈ Ω(f2 : g) cho ci < (f1 : g) + dj < (f2 : g) + Khi với x ∈ G, n+m f1 (x) + f2 (x) ≤ ci g(si x) + j i ck g(sk x), dj g(tj x) = k=1 ck = ck , sk = sk với k = 1, · · · , n ck = dk−n , sk = tk−n với k = n + 1, · · · , n + m Như (c1 , · · · , cn+m , s1 , · · · , sn+m ) ∈ Ω(f1 + f2 : g) Và n+m (f1 + f2 : g) ≤ n ck = k=1 m ck + dj < (f1 : g) + (f2 : g) + j=1 k=1 Để chứng minh (f1 + f2 : g) ≤ (f1 : g) + (f2 ; g) Lấy (c1 , · · · , cn , s1 , · · · , sn ) ∈ Ω(f : g) (d1 , · · · , dm , t1 , · · · , tm ) ∈ Ω(g : h) f, g, h ∈ Cc+ 68 (7) Khi với x ∈ G, f (x) ≤ ci g(si x) ≤ ci i i dj h(tj si x) = j ci dj h(tj si x), i,j tức (ci dj , tj si )i=1,··· ,n;j=1,··· ,m ∈ Ω(f : g) (f : h) ≤ ci dj = ( ci )( dj ) i,j Lấy cận phía bên phải tất hàng, ta kết luận (f : h) ≤ (f : g)(g : h) (8) Với g cố định, kí hiệu Λh f := (f : h) (g : h) (9) Bởi Λh bội số không đổi (f : h), hàm f → Λf thỏa mãn (3),(4),(6) (7) Do (8), Λh f ≤ (f : g) Đồng thời (g : f )Λh f = (g; h) (f : h) (g : h) ≥ = (g; h) (g : h) Do ≤ Λh f ≤ (f : g) (g; f ) (10) Từ (10), Λh điểm không gian compact Hasdorff ,f : g g:f ∆ := f ∈Cc+ Xét họ V tất lân cận mở phần tử đơn vị Với V ∈ V, lấy bao đóng ∆ tập Λh ; h ∈ tất h ∈ Cc+ với giá V Khi CV+ V , i=1 V i Vi CV+ ⊂ Vi Đặc biệt, họ tập compact { chất giao hữu hạn = ∅ V ∈V V 69 := CV+ (G) V bao gồm tập compact không n rỗng ∆ Nếu V1 , · · · , Vn ∈ V V := ⊂ CV+ V;V + i CVi ∈ V} có tính Cho Λ điểm giao, mở rộng hàm Λ tới Cc := Cc (G) theo cách Λ0 = 0, Λf = Λf + − Λf − với f ∈ Cc Λ(u + iv) = Λu + iΛv với u, v ∈ Cc Chúng ta có kết sau Định lý 3.6 Λ hàm tuyến tính dương bất biến với phép tịnh tiến trái, khác không Cc Chứng minh Từ Λ ∈ ∆ ta có Λf ∈ , (f : g) (g : f ) với tất f ∈ Cc+ , đặc biệt Λf > Λ không đồng không Với V ∈ V, ta có Λ ∈ V, với sở lân cận N Λ ∆ giáo với tập Λh , h ∈ CV+ Nhớ lại N = N (Λ; f1 · · · , fn : ) := {Φ ∈ ∆|Φfi − Λfi | < ; i = · · · , n} fi ∈ Cc+ Như với V ∈ V f1 , · · · , fn ∈ Cc+ , tồn h ∈ CV+ cho |Λh fi − Λfi | < (i = 1, · · · , n) (11) Cho f ∈ Cc+ c > 0, áp dụng (11) với f1 = f f2 = cf ) Từ tính chất (4) với Λh ta có |Λ(g) − c∆f | ≤ |Λ(cf ) − Λh (cf ) + c|Λh f − ∆f | < (1 + c) , Λ(cf ) = cΛf với tùy ý Lập luận hoàn toàn tương tự (sử dụng hệ thức (3) cho Λh ) ta Λfs = Λf với f ∈ Cc+ s ∈ G Để chứng minh tính cộng tính Λ Cc+ , ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 3.7 Cho f1 , f2 ∈ Cc+ (G) > Khi tồn V ∈ V cho Λh f1 + Λh f2 ≤ Λh (f1 + f2 ) + với h ∈ CV+ (G) 70 Chứng minh Cho f = f1 + f2 cố định k ∈ Cc+ (G) cho k = {x ∈ G; f (x) > 0} Với g cố định trên, đặt δ := 4(k : g) ; 4(f : g) η := , Như 2η(f : g) ≤ 2η ≤ 1, 2δ(k : g) ≤ (12) fi , F := f + δk(hi = điểm mà F = 0) F Hàm hi định nghĩa, liên tục với giá compact Khi đó, tồn V ∈ V Với i = 1, cho hi := cho |hi (x) − hi (y)| < η (i = 1, 2) với x, y ∈ G cho y −1 x ∈ V (liên tục hi ) Lấy h ∈ CV+ (G) (c1 , · · · , cn , s1 , · · · , sn ) ∈ Ω(F : h) x ∈ G Nếu j ∈ {1, · · · , n} thỏa mãn h(sj x) = sj x ∈ V |hi (x) − hi (s−1 j )| < η với i = 1, Vậy −1 hi (x) ≤ |hi (x) − hi (s∗j )| + hi (s−1 j ) < hi (sj ) + η Do đó, với i = 1, 2, fi (x) = F (x)hi (x) ≤ cj h(sj x)hi (x) {j,h(sj x)=0} n cj [hi (s−1 j ) ≤ ciJ h(sj x) + η]h(sj x) ≤ j=1 {j,h(sj x)=0} cxj := cj [hi (s−1 j + η] Do (fi : h) ≤ i j cj từ h1 + h2 = f /F ≤ 1, ta (f1 : h) + (f2 : h) ≤ cj (1 + 2η) j Lấy cận bên phải tất hàng Ω(F : h), ta kết luận (f1 ; h) + (f2 : h) ≤ (F : h)(1 + 2η) ≤ [(f : h) + δ(k : h)](1 + 2η) từ (7) (4) = (f : h) + 2η[f : h) + δ(1 + 2η)(k : h) 71 Chia hai vế cho (g : h), ta thu Λh f1 + Λh f2 ≤ Λh f + 2ηΛh f + δ(1 + 2η)Λh k Từ (10) (12), số hạng thứ hai bên phải ≤ 2η(f : g) ≤ Số hạng thứ ba ≤ 2δ(k; g) ≤ , yêu cầu Ta bắt đầu chứng minh định lí Do > f1 , f2 ∈ Cc+ , V ∈ V chọn bổ đề với h ∈ CV+ , ta có (bởi (7) cho Λh ): |Λh (f1 + f2 ) − (Λh f1 + Λh f2 )| ≤ (13) Áp dụng (11) cho hàm f1 , f2 f3 = f := f1 + f2 , với V bổ đề, với h (11), từ (13) ta thấy |Λf − (Λf1 + Λf2 )| ≤ |Λf − Λh f | + |Λh f1 + Λh f2 )| + |Λh f1 − Λf1 | + |Λk f2 − Λf2 | < tính chất cộng tính Λ Cc+ suy từ tính tùy ý ) Cuối cùng, tính chất yêu cầu Λ Cc suy từ phép chúng minh Định lí 3.3 Kết sau cho thấy tính sai khác hệ số dương Λ Định lý 3.8 Nếu Λ hàm tuyến tính dương bất biến với phép tịnh tiến trái Cc (G) Λ = cΛ với số c ≥ Chứng minh Nếu Λ = 0, lấy c = Do ta giả thiết Λ = Từ Λ Λ xác đinh giá trị chúng Cc+ (từ tính tuyến tính), ta cần chứng minh Λ /Λ không đổi Cc+ Thật vậy, lấy f, g ∈ Cc+ , ta phải Λ f /Λf = Λ g/Λg Cho K giá (compact) f , từ G compact địa phương, tồn tập mở W với bao đóng compact cho K ⊂ W Với x ∈ K, tồn Wx ∈ V cho x- lân cận xWx chứa W Bởi tính liên tục phép toán nhóm, tồn Vx ∈ V cho Vx Vx ⊂ Wx Từ tính compact 72 n K, tồn x1 , · · · , xn ∈ K cho K ⊂ n xi Vxi Lấy V1 = i=1 Vxi Khi i=1 V1 ∈ V n KV1 ⊂ n n x i Vx i V1 ⊂ i=1 x i Vx i V x i ⊂ i=1 xi Wxi ⊂ W i=1 Tương tự, tồn V2 ∈ V cho V2 K ⊂ W Cho > 0, từ tính liên tục f , tồn V3 , V4 ∈ V cho, với x∈G |f (x) − f (sx)| < với s ∈ V3 , |f (x) − f (xt)| < Lấy U := với t ∈ V4 Vj V := U ∩ U −1 (ở U −1 := x−1 ; x ∈ U ), V ∈ V j=1 có tính chất KV ⊂ W ; |f (sx) − f (xt)| < V K ⊂ W; V −1 = V với x ∈ G, s, t ∈ V (14) (15) Chúng ta cần kết hợp (15) với x G Bởi số không khả tích (trừ G compact), ta cố định hàm k ∈ Cc+ cho k = W Ta phải có f (sx) = f (sx)k(x) f (xs) = f (xs)k(x) (16) với x ∈ G s ∈ V Điều hiển nhiên với x ∈ W k = W Nếu x ∈ / W , x ∈ / KV x ∈ V K từ (14) Nếu sx ∈ K với số s ∈ V S −1 ∈ V x = s−1 (sx) ∈ V K, mâu thuẫn Do sx ∈ / K, tương tự sx ∈ / K, với s ∈ V Do hệ thức (16) suy = x ∈ / W s ∈ V Từ (15) (16) |f (xs) − f (sx)| ≤ k(x) với x ∈ G s ∈ V 73 (17) Cố định h ∈ CV+ cho h(x) := h (x) + h (x−1 ) Lấy µ, µ độ đo dương liên kết với Λ Λ tương ứng (Định lí 2.27) Do h(x−1 y)f (y) ∈ Cc (G × G) ⊂ L1 (µ × µ ), ta có Định lí Fubini 2.8 hệ thức h(x−1 y) = h(y −1 x): h(y −1 x)f (y)dµ (x)dµ(y) = h(x−1 y)f (y)dµ(y)dµ (x) (18) Từ phép tịnh tiến trái bất biến trái Λ , vế trái (18) h(y −1 x)dµ (x) f (y)dµ(y) = h(x)dµ (x)f (y)dµ(y) = Λ hΛf (19) Từ phép tịnh tiến trái bất biến Λ, vế trái (18) h(y)f (xy)dµ(y) dµ (x), Λ hΛf tích phân sau Mặt khác, từ phép tịnh tiến trái bất biến Λ , h(y)f (yx)dµ (x) dµ(y) = h(y) = h(y) f ()dµ (x) dµ(y) f (x)dµ (x)dµ(y) = ΛhΛ f Từ h giá V , ta kết luận từ với (17) |Λ hΛf − ΛhΛ f | = h(y)[f (xy) − f (yx)]dµ(y)dµ (x) x∈G y∈V ≤ (20) h(y)k(x)dµ(y)dµ (x) = ΛhΛ k x∈G y∈V Tương tự vậy, thay g f , k liên kết với g k với f , ta thu |Λ hΛg − ΛhΛ g| ≤ ΛhΛ k Từ (20) (21) chia tương ứng ΛhΛf ΛhΛg, ta có Λk Λh Λf − ≤ Λh Λf Λf 74 (21) Λh Λg Λk ≤ − Λh Λg Λg Do Λk Λk + Λf Λg Λf Λg ≤ − Λf Λg kết luận Λ f /Λf = Λ g/Λg dựa vào tùy ý Từ kết trên, tới định nghĩa sau Định nghĩa 3.9 Hàm tuyến tính dương (không kể tới sai khác hệ số không đổi) bất biến phép tịnh tiến trái Λ Cc (G) gọi hàm Haar (trái) G Độ đo µ tương ứng với Λ xác định thông qua Định lí 2.27 gọi độ đo Haar G Nếu g compact, độ đo Haar trái (hữu hạn Định lí 2.27 (2)) chuẩn hóa, tức độ Haar trái G Một cách hoàn toàn tương tự lập luận trên, tồn (sai khác hệ số số dương) độ đo dương bất biến với phép tịnh tiến phải (như Định lí 2.27) λ G f t dλ = G f dλ (f ∈ Cc (G); t ∈ G) (22) G f t (x) := f (xt) Bây giời ta lấy hàm Haar trái A G t ∈ G, ta xác định hàm Λt Cc Λt f := Λf t Khi Λt hàm tuyến tính dương bất biến với phép tịnh tiến trái (vì Λt (fs ) = Λ(fs )t = Λ(f t )s = Λ(f t ) := Λt f ) đó, từ Định lí 3.8 Λt = c(t)Λ (23) với số dương c(t) Hàm c(.) gọi hàm modular G Do Λt )s = (Λ)st , ta có c(st)Λ = (Λ)st = c(s)Λt = c(s)c(t)Λ tức c(.) đồng cấu G nhóm nhân số thực dương Ta nói G modular đơn vị c(.) = Nếu G compact, áp dụng (23) 75 tới hàm ∈ Cc (G), ta c(.) = Nếu G nhóm abel, ta có f t = ft , Λt f = Λ(ft ) = Λf với f ∈ Cc c(.) = Như nhóm compact (compact địa phương) nhóm abel là modular đơn vị Nếu g modular đơn vị, hàm Haar trái Λ có phần tử nghịch đảo bất biến, tức f˜(x) := f (x−1 ), ta Λf˜ = Λf với f ∈ Cc Thật vậy, ˜ Λf ˜ = Λf (f ∈ Cc ) Λ ˜ hàm tuyến tính dương định nghĩa Λ khác không Cc , bất biến với phép tịnh tiến trái (f˜s (x) = fs (x−1 ) = f (sx−1 ) = f ((xs−1 )−1 ) = f˜(xs−1 ) = (f˜)s−1 (x), từ (23) ˜ s = Λ(f˜s = Λs−1 f˜ = c(s−1 )Λf˜ = Λf ˜ Λf ˜ = αΛ Bởi f = f˜˜ Từ Định lí 3.8 tồn số dương α cho Λ ˜˜ = Λ, α2 = ta Λ ˜ = Λ với f , ta có Λ Trong trường hợp độ đo Haar µ, nghịch đảo bất biến Λ có công thức xác định sau f (x−1 )dµ(x) = G f (x)dµ(x) (f ∈ Cc (G)) G với moclular đơn vị (compact địa phương) nhóm G 76 (24) KẾT LUẬN Trong khả điều kiện cho phép, bước đầu đề tài giải vấn đề đặt ra: Thứ nhất, đề tài trình bày nội dung kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu nội dung đề tài chương như: Lý thuyết độ đo, hàm đo được, đặc biệt định lý cấu trúc hàm đo (Định lý 1.28) Tiếp trình bày số kiến thức sở không gian tô pô số lớp không gian tôpô cần dùng sau Cuối chương 1, dành cho việc trình bày số kiến thức không gian định chuẩn, không gian Hilbert sơ lược toán tử tuyến tính không gian Thứ hai, trình bày lý thuyết việc xậy dựng độ đo không gian tôpô, đặc biệt không gian tôpô Hausdroff compact địa phương, kết cho Định lý 2.10 Tiếp theo đó, trình bày Định lí biểu diễn Riesz-Markov 2.27 Đây kết quan trọng cho việc nghiên cứu chương Tiếp theo đó, trình bày tính chất thú vị, thể Định lý Lusin, ý nghĩa định lý ta xấp xỉ hàm đo hàm liên tục, điều quan trọng việc tính tích phân hàm đo Cuối chương trình bày vấn đề liên quan đến giá độ đo, khái niệm dùng phục vụ cho nghiên cứu chương 3, đặc biệt trường hợp giá compact Thứ ba, nói kết đề tài, trình bày Định lý biểu diễn Riesz 3.4 Kết cho thấy liên hệ chặt chẽ độ đo phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian định chuẩn, khác với kết tương tự tiếng biết không gian Hilbert Phần cuối đề tài dành cho việc xây dựng độ đo Haar dựa vào kết đạt trước (Định lý 3.6) Do thời gian nghiên cứu có hạn kiến thức chuyên môn chưa tích lũy nhiều nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót, 77 mong nhận đóng góp, giúp đỡ, góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để đề tài đầy đủ hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! 78 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2010), Giáo trình Giải tích hàm, Nxb ĐH Sư phạm [3] Phạm Minh Thông (2007), Không gian tôpô, Độ đo-Tích phân , Nxb Giáo dục [4] Phạm Kỳ Anh-Trần Đức Long (2001), Giáo trình Hàm thực Giải tích hàm thực , Nxb ĐHQG Hà Nội [5] S Kantorovitz (2003), Introduction to Modern Analysis, Oxford University Press Inc., New York 79 [...]... ta có định nghĩa độ đo đủ sau 12 1.2.5 Độ đo đủ Định nghĩa 1.14 Ta nói độ đo µ trên σ-đại số F là độ đo đủ nếu với mọi tập con của một tập bất kì thuộc F có độ đo bằng không đều đo được 1.3 Độ đo trong Rk Trong phần này ta sẽ áp dụng lý thuyết tổng quát để xây dựng độ đo Lebesgue trên Rk Xây dựng độ đo m trên đại số C(J) các gian trong R Gọi I là khoảng trong J, có đầu mút a và b Gọi độ dài của I là... minh xem tài liệu [5]) 2.2 Độ đo trên không gian tôpô Trong mục này, chúng tôi sẽ xây dựng không gian đo (X, M, µ) trên không gian tôpô X Trước hết chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về tôpô 2.2.1 Phân hoạch đơn vị Chúng ta biết rằng một không gian Hausdorff (T2 không gian) là một không gian tôpô (X, τ ) với các điểm phân biệt có các lân cận mở rời nhau Và một không gian Hausdorff X là compact... + β(z, x) = α(x, y) + β(x, z) 2) Nếu X là không gian tiền Hilbert thì X là không gian định chuẩn 21 1.9.2 Không gian Hilbert Từ không gian tiền Hilbert ta có định nghĩa không gian Hilbert sau Định nghĩa 1.47 Không gian Hilbert X là không gian tiền Hilbert với chuẩn sinh bởi tích vô hướng làm cho X là một không gian Banach 22 Chương 2 ĐỘ ĐO TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương này, trước hết chúng tôi... định một độ đo trên C(J) Ta có thể mở rộng độ đo dựa vào định nghĩa sau Định nghĩa 1.15 Áp dụng định lý mở rộng độ đo của Caratheodory thác triển độ đo m trên đại số C = C(J) ta thu được độ đo đủ µ mở rộng của độ đo m tới σ-đại số L ⊃ F(C) ⊃ C Ta gọi mỗi tập A ∈ L là tập đo được Lebesgue trên R hay gọn hơn là L -đo được Vì F(J) là σ-đại số Borel trong R mà F(J) ⊂ F(C) ⊂ L nên mọi tập Borel là L -đo được... một không gian tôpô Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập mở trong X đối với tôpô τ Ví dụ 1.30 Cho X là tập tùy ý khác rỗng Khi đó τ = {∅; X} là một tôpô trên X Tôpô này là tôpô yếu nhất trên X, được gọi là tôpô thô Ví dụ 1.31 Cho X là tập tùy ý khác rỗng Khi đó τ = P(X)-họ tất cả các tập con của X là một tôpô trên X Tôpô này là tôpô mạnh nhất trên X, được gọi là tôpô rời rạc 17 1.6.2 Một số không gian. .. ∀E ∈ A thì f = 0 Định lý 1.23 Cho (X, A, µ) là σ -không gian đo hữu hạn xác định dương, g ∈ L1 (µ) Cho λ là độ đo phức sao cho dλ := gdµ thì d|λ| = |g|dµ Định lý 1.24 Cho µ là độ đo phức trên không gian đo (X, A), thì tồn tại một hàm đo được h sao cho |h| = 1 trên X và dµ = hd|µ| Bổ đề 1.25 ( Bổ đề về giá trị trung bình) Cho (X, A, σ) là một σ -không gian đo hữu hạn dương và g ∈ L1 (σ) sao cho ∀E ∈ A,... đề quan trọng của không gian tôpô là Bổ đề Uryson Đó là điều kiện để không gian tôpô X là không gian chuẩn tắc Bổ đề 1.37 (Uryson) .Không gian tôpô X là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu với hai tập đóng rời nhau F1 , F2 bất kì trong X và với mọi đo n [a, b] ⊂ R, (a < b) đều tồn tại hàm liên tục g : X → [a, b] sao cho g(F1 ) = a và g(F2 ) = b 1.7 1.7.1 Không gian tuyến tính định chuẩn Không gian tuyến tính Định... gian tôpô quan trọng T1 -không gian và T2 -không gian Định nghĩa 1.32 Ta nói (X, τ ) là T1 -không gian nếu ∀x, y ∈ X : x = y thì đều tồn tại hai lân cận tương ứng Ux , Uy : x ∈ / Uy , y ∈ / Ux Định nghĩa 1.33 Ta nói (X, τ ) là T2 -không gian (không gian tách hausdorff) nếu ∀x, y ∈ X : x = y đều tồn tại hai lân cận tương ứng Ux , Uy : Ux ∩ Uy = ∅ Nhận xét 1.34 X là T2 -không gian thì X là T1 -không gian. ..Định nghĩa 1.9 Cho µ là một độ đo trên đại số các tập con của X Ta nói a) Độ đo µ là hữu hạn nếu µ(X) < +∞; b) Độ đo µ là σ- hữu hạn nếu tồn tại một dãy {Xn }n=1,∞ ⊂ C sao cho ∞ X= Xn và µ(Xn ) < +∞ với mọi n ∈ N∗ n=1 1.2.3 Các tính chất cơ bản của độ đo Các tính chất cơ bản của độ đo được thể hiện ở trong định lí sau Định lý 1.10 Giả sử µ là một độ đo trên đại số C các tập con của X Khi đó... rộng độ đo của Caratheodory, đây là kết quả quan trọng trong việc thác triển độ đo từ đại số lên σ- đại số Định lý 1.12 (Caratheodory 1) Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X và L là họ tất cả các tập con A của X thỏa mãn: µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) với mọi E ⊂ X Khi đó: a) L là một σ- đại số; b) µ = µ∗ |L là một độ đo trên L Độ đo µ = µ∗ |L , tức là µ(A) = µ∗ (A) với mọi A ∈ L, được gọi là độ đo cảm