Không gian tôpô bất khả quy

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ MAI HƯƠNG LÊ THỊ MAI HƯƠNG KHÔNG GIAN TÔ PÔ BẤT KHẢ QUY KHÔNG GIAN TÔ PÔ BẤT KHẢ QUY ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC VÀ TƠ PƠ MÃ SỐ: 60.46.01.05 Học viên: Lê Thị Mai Hương Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu Quang LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2019 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BỘ GIÁOĐẠI DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG HỌC VINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ MAI HƯƠNG LÊ THỊ MAI HƯƠNG KHÔNG GIAN TÔ PÔ BẤT KHẢ QUY KHÔNG GIAN TÔ PÔ BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC CHUN NGÀNH : HÌNH HỌC VÀ TƠ PƠ CHUN NGÀNH : HÌNH HỌC VÀ TƠ PÔ MÃ SỐ: 8.46.01.05 MÃ SỐ: 60.46.01.05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TIẾN SỸ NGUYỄN HỮU QUANG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC NGHỆ AN - 2019 PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN - 2019 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành Luận văn này, xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Hữu Quang, người đặt toán hướng dẫn thực việc nghiên cứu đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy tổ Bộ mơn Đại số Hình Học, Ngành Tốn Trường Đại học Vinh giúp tơi hồn thành tất học phần khóa học, nâng cao trình độ kiến thức chuyên môn phương pháp học tập hữu ích; giúp tơi hồn thành học trình, đặc biệt luận văn tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn quan tâm lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Nghệ An, Ban Giám Hiệu trường THPT Quỳnh Lưu 2, toàn thể quý đồng nghiệp, bạn khóa học, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Chân thành cảm ơn! Nghệ An, tháng năm 2019 Tác giả Lê Thị Mai Hương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp Kết cấu luận văn CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Iđêan nguyên tố A 1.2 Iđêan A 1.3 Tập đại số n 12 1.4 Iđêan tập đại số 16 CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN TÔ PÔ BẤT KHẢ QUY 19 2.1 Không gian tôpô Zariski n 19 2.2 Tập đại số bất khả quy 23 2.3 Không gian tôpô bất khả quy 26 KẾT LUẬN 32 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học đại số lĩnh vực tốn học dùng cơng cụ đại số để nghiên cứu hình học afin hình học xạ ảnh Phần lớn hình khơng gian biểu diễn tập nghiệm hệ phương trình đa thức Vì vậy, để nghiên cứu tính chất hình học ta quy nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình đa thức Hiện nay, hình học đại số phát triển thành ngành toán học đại Do đó, có nhiều nhà khoa học nước ngồi nước nghiên cứu Trên n bên cạnh tơpơ thơng thường cịn có nhiều tơpơ khác tơpơ rời rạc, tôpô Zariski Tôpô Zariski tôpô mà tập mở phần bù tập nghiệm hệ phương trình đa thức Rất nhiều hình hình học phổ thông tập đại số Zariski đường thẳng, mặt phẳng, đường trịn, hypebol, parabol, elip…Tơpơ Zariski cho phép nghiên cứu tính chất hình học thơng qua cơng cụ đại số nhóm, vành, iđêan Tập bất khả quy không gian tôpô bất khả quy khái niệm hình học đại số Do đó, luận văn chúng tơi tìm hiểu số tính chất, ứng dụng tập bất khả quy không gian tôpô bất khả quy với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Luận văn mang tên: “ Không gian tôpô bất khả quy” Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: tôpô Zariski tập bất khả quy n - Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu tập bất khả quy không gian bất khả quy n Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tính chất tập bất khả quy không gian bất khả quy tôpô Zariski - Nghiên cứu số ứng dụng tập bất khả quy không gian bất khả quy tôpô Zariski Phương pháp nghiên cứu - Cơng cụ đại số nhóm, vành, iđêan - Cơng cụ tơpơ Dự kiến đóng góp - Trình bày hệ thống vấn đề nói trọng đến tính chất, ví dụ tốn khơng gian tơpơ bất khả quy - Tìm cách mở rộng, khái quát số kết quả, tính chất không gian tôpô Zariski, tập đại số bất khả quy không gian tôpô bất khả quy Kết cấu luận văn Tên đề tài: “ Không gian tôpô bất khả quy” Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày hệ thống định nghĩa, tính chất, ví dụ iđêan nguyên tố, iđêan căn, tập đại số iđêan tập đại số Chương 2: Không gian tôpô bất khả quy Chương nội dung luận văn Trong đó, trình bày định nghĩa, khái niệm số tính chất khơng gian tôpô Zariski, tập đại số bất khả quy không gian tôpô bất khả quy CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất iđêan nguyên tố, iđêan căn, tập đại số iđêan tập đại số Giả sử, A = trường số thực [x1, x2,…., xn ] vành đa thức n biến x1, x2,…., xn với phép tốn cộng, nhân đa thức thơng thường Mỗi f  A , f =  r r  r  d r r r ar , r , , r x1 x2 xn n , ri  , ( tập hợp số n n tự nhiên) Như ta biết, vành A giao hốn có đơn vị f  Một iđêan I  A , tập hợp I  A và; f  g  I ; f , g  I ; f g  I , f  I , h  A 1.1 Iđêan nguyên tố A 1.1.1 Định nghĩa Iđêan I vành A gọi iđêan nguyên tố fg  I f  I gI 1.1.2 Ví dụ 1/ Iđêan vành đa thức  X  trường iđêan nguyên tố; 2/ I  x  A   x iđêan nguyên tố A ; ( I  x iđêan sinh x) Thật vậy: f g  I với f , g   x  Khi đó, f g chia hết cho x nên f  I g  I 1.1.3 Mệnh đề [2] i/ f  A, f bất khả quy Khi I  f , I iđêan nguyên tố; ii/ I iđêan nguyên tố A   X  Khi đó, I iđêan cực đại (iđêan I gọi cực đại I không bị chứa iđêan thực khác) Chứng minh i/ Giả sử g , h  A g.h  I Ta có g.h chia hết cho f Do f bất khả quy nên g chia hết cho f h chia hết cho f Vậy g  I h  I ii/ Để chứng minh (ii) ta cần sử dụng bổ đề sau:  x Khi I  Bổ đề: Giả sử I iđêan A  Thật vậy: Ta xét f đa thức bậc bé I Khi đó: g  I  g  f h  r ,  r  g  fh  I Do f f , f A deg r  deg f deg r  deg f bậc bé nên r  Do g  f h Vậy I  f Bây giờ: Ta sử dụng bổ đề để chứng minh (ii) Giả sử có iđêan J A với J  I , I  J Khi J  g I  f  f  J f g  gI  I  J (mâu thuẫn với I  J ) Vậy I iđêan cực đại Giả sử I iđêan A   x1, , x n  Ta kí hiệu V  I   P | P iđêan thực nguyên tố chứa I  ; S P  A  V  I  | I iđêan A 1.1.4 Mệnh đề i/  V  I1   V  I2    S P  A ;   ii/   V  I j    S P  A  , j tập số  iJ  Chứng minh: i/  V  I1   V  I2    V  I1.I2  Thật vậy:  I  I1 I2 iđêan A P   V  I1   V  I2    P  V  I1  P  V  I2   P chứa I1 I2  P  V  I1  I2   P   V  I1.I2    P   I1.I2  Giả sử I1  P I2  P Khi f  I1 ; f  P g  I2 , g  P Nhưng f g  I1.I2  f g  P  f  P g  P (Do P nguyên tố), (Điều mâu thuẫn) Vậy P chứa I1 I2 Do P   V  I1   V  I2   ii/ Ta đặt    I j Khi  iđêan A j   Ta chứng minh   V  I j    V    iJ  Thật vậy:   P    V  I j    P  V  I j  ; j  J  P  I j ; j  J  iJ   P   Ij jJ Ngược lại:   P  V     P  V    P      I j  jJ    P  I j ; j  J    P    V  I j    iJ  1.1.5 Mệnh đề [4] Giả sử I iđêan cực đại A Khi I iđêan nguyên tố Chứng minh: Ta lấy f , g  A f g  I Giả sử f , g  I Ta xét iđêan J  I , f Khi J  I, I  J Do I cực đại, nên J  A  1 J     f h;  I , h  A  g   g  f g.h  gI (Mâu thuẫn với g  I ) Vậy f  I g  I nên I iđêan nguyên tố 1.1.6 Nhận xét i/ Nếu I    V  I   S P  A  , (vì iđêan nguyên tố chứa 0); ii/ Nếu I iđêan cực đại A V  I   I (vì iđêan cực đại iđêan nguyên tố); iii/ Nếu I  A V  I    (vì khơng có iđêan thực chứa A ; mặt khác khơng có iđêan ngun tố lớn chứa I  J ); iv/ Giả sử I1, I2 iđêan A I1  I2 , đó: V  I1   V  I2  CHƯƠNG KHÔNG GIAN TÔPÔ BẤT KHẢ QUY Chương nội dung luận văn Trong đó, trình bày định nghĩa, khái niệm số tính chất khơng gian tôpô Zariski, tập đại số bất khả quy không gian tôpô bất khả quy n 2.1 Không gian Tô Pô Zariski Trong mục này, ta ký hiệu: TZ  U  k n A A tập đại số 2.1.1 Mệnh đề [4] TZ Tôpô n n  Chứng minh: U' tập đại số n Vì ∅ ; n \  n Giả sử U i  n iI Do iI nên U  n \ n    Tz  Tz với Ai , i  I tập đại số \ Ai Ui  Ta có: n iI  n \ Ai   n n   \  Ai   iI    Ai tập đại số nên  Ui   Tz  iI  Gỉả sử U1 ,U  Tz ;U1  số n U1 U  ( n A1 ,U  n A2 Trong A1 , A2 tập đại Ta có: n \ A2 )  n \ ( A1 A2 ) Do A1 , A2 tập đại số n nên A1 A2 tập đại số n Do đó, U1 U Tz 2.1.2 Định nghĩa Tz gọi Tôpô Zariski n n với Tôpô Zariski Tz gọi không gian Tôpô Zariski Chú ý: 19 n i/ Tập Ui  TZ gọi tập mở Zariski ; ii/ Mỗi tập đại số Ai gọi tập đóng Zariski 2.1.3 Ví dụ Tơpơ Zariski Tz Trong A  ; A  Tập hợp U  ( 2 gồm tập hợp có dạng U  \ A; hay A tập hữu hạn điểm  / A , với A  ( x, x ) x   , tập mở không gian tôpô , Tz ) 2.1.4 Mệnh đề [8] Cho không gian Tôpô ( , Tz ) Ta ký hiệu: D( f )  n Z ( f ) \, với f ∈ f  X  Khi đó:   D( f ) f   X  sở Tz n Chứng minh:  Với f  Z ( f )   , Do D( f )  n D( f )  Vì n f R[ x ]  Giả sử U  Tz , U có dạng U  Rn \ Z (S ); Trong S hệ đa thức  X  Vì vành đa thức  X  vành Noether nên iđêan S iđêan hữu hạn sinh Giả sử  f1 , , f m  hệ sinh hữu hạn iđêan S Ta có: U n Z (S ) = n = n Z  f1 , , f m  m Z ( f i ) fi)) i 1 m = D( fi ) i 1 Như vậy, tập mở U theo Tôpô Zariski Tz tập  20 n hợp (hữu hạn) 2.1.5 Mệnh đề [1] Giả sử U1 ,U Tz ;U1   Khi U1 U   Chứng minh:  x  Ta có Giả sử f , g  đa thức Z ( f ) Z ( g )  Z ( f g )  n Do f g  Từ suy D( f ) D( g )  ( Giả sử U1  m n n \ z( f ) ( D( f i ); U  i 1 \ Z (g)  n \ Z ( f g )   l D( g j ) j 1    l D( f i )   D( g j )   i 1   j 1  Ta có U1 U   m  D( f ) = i D( g j )    i, j 2.1.6 Nhận xét i/  n ; Tz  không gian liên thơng ( theo mệnh đề (2.1.5) n phân tách thành hợp hai tập mở rời nhau) ii/ Với tập U   tập mở n (vì với ∀x ∈ n n theo Tơpơ Zariski Tz U trù mật , ta ln có Ux ∩ U = ∅ ) 2.1.7 Mệnh đề [1] Mọi tập không gian Tôpô Zariski ( n ;TZ) tập compact Chứng minh: Giả sử A tập không gian Tôpô ( n ; TZ) họ {Ui= D(fi)}i∈M (M tập số) phủ A ta có : A Ui iM = ( n \ Z(fi)) = n \( iM Z ( fi)) iM Gọi I iđêan R[x] sinh {fi}i∈M Do vành đa thức R[x] vành Noether nên iđêan hữu hạn sinh Không tính tổng quát, ta giả sử I  f1 , , f h Khi ta có: 21 h A n Z ( fi)) \( j 1 Từ suy h A ( n \ Z(fi)) j1 Hay A  h U i Như phủ {Ui}i∈M có phủ hữu hạn {U1,….,Uh} phủ j 1 A Vậy A tập compact 2.1.8 Mệnh đề [4] Cho V ≠ ∅ tập không gian Tơpơ ( n , Tz) Khi đó: i/ V  Z ( I v ) ii/ IV  I v Chứng minh: i/ Ta có Z( IV ) ={a ∈ n | f(a) = ; với f ∈ IV } Do Z( IV )  V Vì Z( IV )  V Ngược lại, giả sử V  Z ( s ) , với f ∈ s ta có f (a)  với a V Từ suy với f ∈ S ta có f (a)  với a ∈ V Điều có nghĩa S  IV Do đó, V  Z (S )  Z ( I v ) ii/ Do V  V nên ta có IV  IV Ngược lại, giả sử f ∈ IV ; Thế từ V  Z ( I v ) ta có f (a)  với a V Do f ∈ IV Như IV  IV 2.1.9 Nhận xét i/ Không gian Tôpô Zariski ( n , TZ ) T1 không gian Chứng minh: 22 n Giả sử a  (a1 , , a2 )  R Khi a nghiệm hệ đa thức x1  a1; x2  a2 ; ; xn  an  Do tập a tập đóng ii/ Khơng gian Tơpơ Zanski ( n n Vậy ( n ; TZ) T1 _ không gian , TZ ) không T2_ không gian 2.1.10 Mệnh đề [5] Giả sử Y tập n Khi Z(IY) = Y Chứng minh: Rõ ràng Y  Z( IY) , Vì Y  Z ( IY ) Ngược lại, giả sử Y đóng chứa Y Thế Y  Z ( I ) với I iđêan [X] Như Z ( I )  Y Do I Z ( I )  IY , suy I  IY I  I Z ( I ) Từ Z ( I )  Z ( IY ) Vậy Y  Z ( IY ) 2.2 Tập đại số bất khả quy 2.2.1 Định nghĩa Tập đại số V   n gọi tập đại số bất khả quy khơng phân tích thành hợp hai tập đại số nhỏ thực V  V , với V , V tập đại số Nghĩa V  V1  V2   V  V2 2.2.2 Ví dụ Tập V  {a}  Rn , a = ( a1, a2, …., an) V tập nghiệm họ n đa thức {f1  x1  a1; f2  x2  a2 ; ; f n  xn  an } nên V tập đại số Vậy tập điểm tập đại số bất khả quy f ( x, y)  ax  by  c, a2  b2  0,V  Z ( f ) 23 Thật : V  V1 V2 V  Z ( f1 ) Z ( f )  Z ( f1 , f ) Mặt khác khơng có f1, f2 để f1.f2 = f ( f đa thức bậc nhất) Vậy đường thẳng tập đại số bất khả quy Toàn Rn tập đại số bất khả quy Thật vậy: Rn \ Z ( f  0) ; Nếu có Z (f1 f )  R n  f1 f   f1  f  Suy Z (f1 ) khơng đóng thực Z (f) , Z (f ) không đóng thực Z (f) Ta xét R2 Z ( f  xy ) Suy ra: Z  Z1 ( f1  x)  Z ( f  y) Vậy Z tập đại số không bất khả quy 2.2.3 Mệnh đề [4] Tập đại số V bất khả quy IV iđêan nguyên tố Chứng minh Nếu V bất khả quy mà IV khơng ngun tố I v  I1 I với I1 I2 iđêan thực lớn I Khi V  Z ( I v )  Z ( I1 I )  Z ( I1 ) Z ( I ) Vì  Z(I )  Z(I )  V=  , suy I = I V 1 I = I V  , mâu thuẩn Đảo lại, giả sử V khơng bất khả quy V = V1 V2 với V1 , V2 tập đại số thực bé V Khi đó, ta có IV1 IV2 iđêan thực lớn IV nên tồn f  IV1 \ IV g IV2 \ IV Khi fg IV1 IV2 = IV nên IV iđêan nguyên tố 2.2.4 Nhận xét Không phải iđêan nguyên tố R[x] iđêan tập đại số bất khả quy 24 Thật vây: Iđêan I nguyên tố chứa f  x2  Z I   2.2.5 Mệnh đề [ 5] Mọi tập đại số V phân tích thành hợp số hữu hạn tập bất khả quy không bao hàm Các tập bất khả quy xác định cách chúng tập bất khả quy tối đại V Chứng minh:  Sự phân tích được: Do V tập đại số nên iđêan IV iđêan vành đa thức R[x] I v  I1 I I k Trong I1, I2, …., Ir iđêan nguyên tố tối tiêu chuẩn chưa IV không bao hàm Đặt V j  Z ( I j ); j  1, , k Thì Vj tập đại số Với tập đại số V ta có: V  Z (Iv )  Z ( I1 )  Z ( I )   Z ( I k )  Z ( I1 )  Z ( I )   Z ( I k )  V1 V2  Vk Từ suy ra: IV  IV1 V2  Vk  IV1  IV2   IVk Vì IV1 IV2 IVr  I1 nên tồn iđêan IV  I1 Suy I j  I1 Tính cực tiểu iđêan nguyển tố I1 dẫn đến j=1 IV  I1 Tương tự ta có IVj  I j với j=2, … ,k 25 Vậy V1, V2, … , Vk tập bất khả quy Vì iđêan I1, I2, …, Ik không bao hàm iđêan nguyên tố cực tiểu IV nên tập V1, V2, …, Vk không bao hàm tập bất khả quy tối đại V  Tính phân tích Giả sử V có phân tích khác thành hợp hữu hạn tập bất khả quy không bao hàm V  U1 U  U s Trong U1, U2, … , Us tập đại số bất khả quy, tới đại, không bao hàm Khi đó: IV  IU1 U  U s  IU1  IU   IUs Do Ui bất khả quy nên iđêan IU iđêan nguyên tố Vì vậy: i IV  IU1  IU   IU s Là phân tích iđêan IV thành giao iđêan ngun tố khơng bao hàm Ta có iđêan nguyên tố I1, I2, …, Ik tập bất khả quy U1, U2, …, Uk phải V1, V2, …, Vk Các tập bất khả quy tối đại tập đại số V gọi thành phần bất khả quy V 2.3 Không gian tô pô bất khả quy n Trong mục này, ta ký hiệu M không gian tôpô tùy ý không gian tôpô Zariski Các không gian cho M ( n ) có tôpô cảm sinh từ tôpô M ( Tôpô Zariski TZ) 2.3.1 Định nghĩa Giả sử Y tập khác rỗng không gian tôpô M Y gọi bất khả quy Y biểu diễn thành hợp hai tập thực đóng Y 26 Nếu Y = ∅ , ta quy ước Y bất khả quy Khái niệm tập bất khả quy mở rộng khái niệm tập đại số bất khả quy 2.3.2 Ví dụ Trong khơng gian tơpơ với tơpơ tự nhiên tập Y = [a, b], với a ≠ b, không tập bất khả quy (  a, b   a, c   c, b ; a  c  b ) Trong không gian tôpô với tơpơ Zariski TZ tập Y = {1,2,3} khơng tập bất khả quy ( Y  1  2  3 ) Tập thực bất khả quy không gian tôpô Zariski ( , TZ ) tập gồm điểm Tập n n tập bất khả quy Thật vậy, giả sử n không bất khả quy,  Y1  Y2 , Y1  Z ( I1 ); Y2  Z ( I ) I1  , I   Khi đó: n  Z ( I1 )  Z ( I )  Z ( I1I ) Do I1I ≠ {0} nên Z(I1I2) ≠ n , điều mâu thuẫn Vậy n bất khả quy 2.3.3 Định nghĩa Không gian Tôpô M gọi không gian Noether dãy tập đóng lồng nhau: Y1  Y2   Yr  , dừng, nghĩa tồn i để Yi= Yi+1 = … 2.3.4 Ví dụ Khơng gian tơpơ n khơng gian Noether Thật vậy, giả sử ta có dãy tập đóng Y1  Y2   Yr  Trong Yj = Z(Ij) Thế ta có dãy tập đóng lồng Z ( I1 )  Z ( I )   Z ( I r )  Từ ta có dãy iđêan R[x] : I1  I   I r  27 Do R[x] vành Noether nên dãy tang iđêan dừng, nghĩa có i để Ii = Ii+1= … Vì dãy {Yj}j dừng i 2.3.5 Mệnh đề [6] Giả sử M không gian Tôpô Noether Y tập đóng khác rỗng M Khi Y phân tích thành hợp hữu hạn tập đóng bất khả quy Y  Y1 Y2  Yr Nếu ta yêu cầu Yi Y j với i  j phân tích Chứng minh:  Trước hết ta chứng minh Y Nếu Y bất khả quy Y=Y Nếu Y khơng bất khả quy Y= Y1 ∪ Y2 , với Y1, Y2 đóng Y Y1, Y2 đóng M Y  Y1  Y11   Y1r  Do M không gian tôpô Noether nên dãy dừng I Ta tiếp tục phân tích tập đóng cịn lại Y ( có hữu hạn tập đóng cịn lại) Cuối ta biểu diễn: Y  Y1 Y2  Yr Trong Yj tập đóng bất khả quy Y  Bây ta giả sử Y có phân tích thứ hai Y  Y1'  Y2'   Ys' Với Yi≠Yj với ∀ i≠j ; Ym'  Yl ' với m≠l Ta có: Y  Y  Y1  Y2   Yr  r ' (Yl '  Yi ) i 1 ' ' ' Do Y1 bất khả quy nên có số j để Y1  Y1  Y j 28 ' Do Y1  Y j Khơng tính tổng quát, giả sử j =1 Như Y1'  Y1 Ta ký hiệu: Z  Y2  Y3   Yr  Y2'  Y3'   Ys' Tiếp tục chứng minh giống trên, ta có Y2  Y2' , cuối ta có r=s Yi  Yi ' với i  1, 2, , r 2.3.6 Mệnh đề Giả sử U tập mở khác rỗng n Khi U tập bất khả quy n Chứng minh: n Giả sử U không bất khả quy Khi U= U1∪ U2 với U1, U2 tập đóng U Giả sử U1  U1  U , U  U  U , U , U tập đóng U1  U tập đóng Từ suy Vì hai tập mở n n n \ (U1  U ) tập mở không chứa U, ( U  U1  U ) n \ (U1  U ) U có giao với nhau, điều mâu thuẫn 2.3.7 Định nghĩa Mỗi tập đóng bất khả quy khơng gian tôpô n gọi đa tạp afin Một tập mở đa tạp afin với tôpô cảm sinh gọi đa tạp tựa afin 2.3.8 Chú ý Mỗi điểm x  ( , TZ ) , đường thẳng a  ( , TZ ) đa tạp afin 2.3.9 Mệnh đề Mọi phẳng n đa tạp afin Chứng minh: Giả sử A phẳng n xác định hệ phương trình tuyến tính 29  a1 x1   a1n xn  a1    a x   a x  a  mn n m  m1 Ta đổi sang hệ tọa độ (y1, … , yn) với  y1  a11 x1   a1n xn  a1    ym  am1 x1   amn xn  am  ym1  xm1    yn  xn  Khi A xác định hệ phương trình  y1    y   m Tập A đóng A  Z ( y1 , , ym )  Z ( I ) với I   y1 , , ym  Để chứng minh A bất khả quy ta cần chứng minh I iđêan nguyên tố Thật vây, giả sử f.g∈ I, đó: f  f1 y1   f m ym  f o ( ym 1 , , yn ) g  g1 y1   g m ym  g o ( ym 1 , , yn ) Từ f.g(0, … , 0, ym+1, … , yn)= 0, với (ym+1, … , yn) Suy fo(ym+1, …, yn) go(ym+1, … , yn) = 0, với (ym+1, … , yn) Do fogo = Vì fo= go= Điều có nghĩa f ∈ I g ∈ I Vậy I iđêan nguyên tố, A bất khả quy 30 31 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày nội dung sau: Chứng minh chi tiết số tính chất iđêan nguyên tố A , iđêan A , tập đại số n iđêan tập đại số ( Mệnh đề 1.1.5, 1.1.8, 1.2.5…) Nhận xét ( Nhận xét 1.1.6, 1.2.3…) Chỉ số ví dụ iđêan nguyên tố A , iđêan A , tập đại số n iđêan tập đại số ( Ví dụ 1.1.2, 1.1.7, 1.3.2…) Phát biểu chứng minh tính chất SP(A) ( Mệnh đề 1.1.4) Chứng minh chi tiết số tính chất không gian tôpô Zariski, tập đại số bất khả quy không gian tôpô bất khả quy ( Mệnh đề 2.1.1, 2.1.4, 1.2.8…) Nhận xét ( Nhận xét 2.1.6, …) Chỉ số ví dụ không gian tôpô Zariski, tập đại số bất khả quy không gian tôpô bất khả quy ( Ví dụ 2.1.3, 2.3.2…) Phát biểu chứng minh tính chất khơng gian tơpơ bất khả quy ( Mệnh đề 2.3.6, 2.3.9) 32 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân, Nguyễn Hữu Quang, Nguyễn Văn Dũng, Nguyễn Ngọc Bích (2016), Giáo trình tơpơ đại cương, Đại học Vinh [2] Nguyễn Thị Ngọc Diệp (2018), Bài giảng hình học đại số, CH hình học tô pô 25_Đại học Vinh [3] Ngô Bảo Châu (2003), Giáo trình hình học đại số, http:/www.vietmaths.com [4] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Nhập mơn hình học đại số, Viện nghiên cứu phát triển công nghệ Nghệ An [5] R.Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Spring - Verlag.Bertand [6] Ngô Việt Trung (2009), Nhập mơn đại số giao hốn hình học đại số, http:/www.vietmaths.com.Viện tốn học Hà Nội [7] Hồ Thị Thúy Vinh (2013): Luận văn‘‘Tập đại số không gian chiều thấp Iđêan chúng’’ Đại học Vinh [8] Đặng Thị Tươi (2012): Luận văn‘‘ Tô pô Zariski’’ Đại học Vinh 33 ... KHÔNG GIAN TÔPÔ BẤT KHẢ QUY Chương nội dung luận văn Trong đó, trình bày định nghĩa, khái niệm số tính chất không gian tôpô Zariski, tập đại số bất khả quy không gian tôpô bất khả quy n 2.1 Không. .. tên: “ Không gian tôpô bất khả quy? ?? Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: tôpô Zariski tập bất khả quy n - Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu tập bất khả quy không gian bất khả quy n... vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tính chất tập bất khả quy không gian bất khả quy tôpô Zariski - Nghiên cứu số ứng dụng tập bất khả quy không gian bất khả quy tôpô Zariski Phương pháp nghiên cứu - Công