Mối liên hệ giữa các mạng trong không gian topo

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2022 − 2023 MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC MẠNG TRONG KHÔNG GIAN TOPO Sinh viên thực hiện: Trần Nam Tiến - Lớp 19ST2 Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng, 05/2023 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2022 − 2023 MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC MẠNG TRONG KHÔNG GIAN TOPO Sinh viên thực hiện: Trần Nam Tiến - Lớp 19ST2 Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng, 05/2023 LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận tốt nghiệp, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình học tập việc hồn thành đề tài Tuy gặp khơng khó khăn thực đề tài nhờ động viên từ quý thầy cơ, gia đình bạn bè, em nỗ lực tìm tịi học hỏi nhiều kiến thức bổ ích cho thân hồn thành khóa luận tốt nghiệp Dẫu vậy, hạn chế kiến thức, khả lý luận thời gian nghiên cứu nên khóa luận tốt nghiệp cịn thiếu sót, em mong nhận dẫn góp ý từ q thầy để khóa luận tốt nghiệp em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Trần Nam Tiến MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian topo, tập hợp mở 1.2 Lân cận 1.3 Tập hợp đóng 1.4 Bao đóng tập hợp 1.5 Phần tập hợp 11 1.6 Cơ sở, sở lân cận không gian topo 13 1.7 Một số tiên đề tách 15 1.8 Không gian compact 15 1.9 Sự hội tụ, điểm tụ, điểm cô lập không gian topo 16 CHƯƠNG Mối liên hệ mạng không gian topo 17 2.1 Siêu không gian Pixley-Roy 17 2.2 Mối liên hệ mạng không gian topo siêu không gian Pixley-Roy 23 2.3 Một số tính chất liên quan đến tập mở tiên đề tách siêu không gian Pixley-Roy 40 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào mùa xuân năm 1969, Hội nghị topo tổ chức hàng năm Đại học Auburn, Hoa Kỳ, kết thú vị trình bày Carl Pixley Prabir Roy đưa cấu trúc topo hồn tồn ví dụ Lý thuyết không gian Moore Sau nhiều năm nghiên cứu, người ta khẳng định cấu trúc topo mà Carl Pixley Prabir Roy đưa thực quan trọng việc nghiên cứu không gian Moore Đến năm 1978, D J Lutzer thức đưa khái niệm topo Pixley-Roy tập PR[X] bao gồm tất tập khác rỗng hữu hạn không gian topo X, sau người ta gọi PR[X] siêu không gian Pixley-Roy Tác giả thu nhiều kết quan trọng tính đếm được, mối liên hệ tính chất topo X với tính chất topo PR[X] Từ đó, sức hút topo Pixley-Roy ngày lớn, nhà toán học dành nhiều thời gian để nghiên cứu nó, nhiều kết hấp dẫn thu khơng gian con, tính khả metric, tính compact, tính paracompact, Trong năm gần đây, nhà toán học dành nhiều nghiên cứu mối liên hệ tính chất topo khơng gian topo X với tính chất topo siêu khơng gian Pixley-Roy PR[X] Đặc biệt, mối liên hệ tính chất mạng không gian topo chủ đề thu hút nhiều quan tâm đưa ra, bật năm gần kể đến X Liu, C Liu, S Lin, Khám phá mẻ này, với mong muốn hiểu sâu siêu không gian Pixley-Roy, nghiên cứu tính chất mạng khơng gian topo X siêu không gian Pixley-Roy PR[X] tương ứng nó, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Mối liên hệ mạng không gian topo” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu tính chất mạng khơng gian topo X siêu không gian Pixley-Roy PR[X] tương ứng Đưa kết mở rộng số kết tác giả trước Đối tượng nghiên cứu Các tính chất mạng, siêu không gian Pixley-Roy PR[X] Phạm vi nghiên cứu Mối liên hệ tính chất mạng khơng gian topo X siêu không gian Pixley-Roy PR[X] tương ứng Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức topo đại cương liên quan đến đề tài khóa luận • Thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan đến mối liên hệ tính chất mạng khơng gian topo siêu khơng gian PR[X] • Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài • Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài trình bày hai chương Ngồi ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương dành cho việc trình bày số kiến thức topo đại cương nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết Chương Chương 2: Mối liên hệ mạng không gian topo Trong chương này, nghiên cứu siêu không gian Pixley-Roy đưa kết mối liên hệ tính chất mạng khơng gian topo siêu khơng gian Pixley-Roy Sau đó, nghiên cứu tiên đề tách siêu khơng gian Pixley-Roy Mục 2.1, trình bày siêu khơng gian Pixley-Roy Mục dành cho việc trình bày chứng minh chi tiết lại số khái niệm kết liên quan đến siêu không gian Pixley-Roy tác giả trước Mục 2.2, trình bày số kết tính chất mạng khơng gian topo Trong mục này, đưa số kết mối liên hệ mạng không gian topo X siêu không gian Pixley-Roy PR[X] tương ứng Mục 2.3, trình bày số tính chất liên quan đến tiên đề tách siêu không gian Pixley-Roy Trong mục này, đưa số kết tiên đề tách (T0 -không gian, T1 -không gian, T2 -không gian T3 -không gian) CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương dành cho việc trình bày số kiến thức topo đại cương Các khái niệm tính chất trình bày chương lấy [6] nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau Trong chương này, ký hiệu N = {1, 2, 3, } 1.1 Không gian topo, tập hợp mở Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp τ họ gồm tập X thỏa mãn điều kiện sau: 1) ∅, X ∈ τ ; 2) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , S Uα ∈ τ ; α∈Λ 3) Nếu U, V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ Khi đó, ˆ τ gọi topo X ˆ Cặp (X, τ ) gọi không gian topo ˆ Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở ˆ Mỗi phần tử X gọi điểm Nhận xét 1.1.2 Đối với khơng gian topo (X, τ ), ta có: 1) ∅, X tập hợp mở X 2) Hợp tùy ý tập mở X tập mở X 3) Giao hữu hạn tập mở X tập mở X Tuy nhiên, giao tùy ý tập mở X khơng mở X Chứng minh (1), (2) Được suy trực tiếp từ định nghĩa topo (3) Giao hữu hạn tập mở X tập mở X Điều suy trực tiếp từ định nghĩa topo Bây giờ, ta chứng minh giao tùy ý tập hợp mở X khơng tập hợp mở X Thật vây, giả sử R tập số thực với topo thông thường Ta đặt   1 với n ∈ N An = − , n n Khi đó, ˆ An tập mở R, với n ∈ N T ˆ An = {0} n∈N Thật vậy, {0} ⊂ An với n ∈ N nên {0} ⊂ T An n∈N Bây giờ, giả sử x ∈ T An , n∈N ≤ |x| < với n ∈ N n Qua giới hạn n → +∞ ta suy x = Do đó, T n∈N ˆ {0} không tập mở R Như vậy, nhận xét chứng minh An ⊂ {0} 32 Hơn nữa, ta có h i P ∩ B = P ∩ (A \ {x}) ∪ (X \ V ) h i h i = P ∩ (A \ {x}) ∪ P ∩ (X \ V ) = P ∩ (A \ {x}) ⊂ P ∩ A Do đó, P ∩ A vô hạn x ∈ P ⊂ U Điều chứng tỏ P mạng Pytkeev chặt X Định lí 2.2.11 ([3]) Giả sử (X, τ ) khơng gian topo Khi đó, cp-mạng cn-mạng X Chứng minh Giả sử P cp-mạng X, x ∈ X U lân cận x X Ta cần chứng minh V = S {P ∈ P : x ∈ P ⊂ U } lân cận x X, nghĩa cần chứng minh x ∈ intV Thật vậy, giả sử ngược lại x ∈ / intV Khi đó, x∈ / X \X \V, kéo theo x ∈ X \ V Mặt khác, ta có x ∈ V, suy x ∈ / X \ V Do đó, x ∈ X \ V \ (X \ V ) Hơn nữa, P cp-mạng X nên tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U P ∩ (X \ V ) tập vô hạn X Điều mâu thuẫn với P ⊂ V Như vậy, P cn-mạng X Định lí 2.2.12 ([1]) Giả sử (X, τ ) T1 -khơng gian Khi đó, mạng Pytkeev chặt cn-mạng X 33 Chứng minh Giả sử P mạng Pytkeev chặt T1 -không gian X U lân cận x X Đặt V = S {P ∈ P : x ∈ P ⊂ U } Ta cần chứng minh V lân cận x Thật vậy, giả sử ngược lại V không lân cận x Khi đó, W ̸⊂ V với lân cận mở W x, nghĩa tồn y ∈ W \ V Do đó, với lân cận mở W x, ta có W ∩ (X \ V ) = W \ V ̸= ∅, / X \ V , kéo theo kéo theo x ∈ X \ V Mặt khác, x ∈ V nên x ∈ X \ V = (X \ V ) \ {x} Do đó, x ∈ X \ V = (X \ V ) \ {x} Hơn nữa, theo Bổ đề 2.2.9, X T1 -khơng gian nên x điểm tụ X \ V Bởi P mạng Pytkeev chặt X nên tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U P ∩ (X \ V ) vô hạn Lại P ⊂ V nên P ∩ (X \ V ) ⊂ V ∩ (X \ V ) = ∅, nghĩa P ∩ (X \ V ) = ∅ Điều mâu thuẫn với P ∩ (X \ V ) vô hạn Như vậy, P cn-mạng X Định lí 2.2.13 ([1]) Giả sử (X, τ ) T1 -không gian P họ gồm tập X Với F ∈ PR[X], ta đặt (P)F = {P ∈ P : P ∩ F ̸= ∅}; B= n S  o F, F : F ∈ PR[X] F họ (P)F 34 Khi đó, P mạng Pytkeev chặt X, B mạng Pytkeev chặt PR[X] Chứng minh Giả sử P mạng Pytkeev chặt X, U lân cận F PR[X] F điểm tụ A PR[X] Khi đó, theo Định lí 2.2.12, P mạng Pytkeev chặt X nên P cn-mạng X Mặt khác, U lân cận F PR[X] nên tồn V ∈ τ cho F ⊂ V F ∈ [F, V ] ⊂ U Do đó, với x ∈ F, tồn Px ∈ P cho x ∈ Px ⊂ V, S {P ∈ (P)x : P ⊂ V } lân cận x X Bây giờ, ta đặt F = {P ∈ (P)F : P ⊂ V } = S {P ∈ (P)x : P ⊂ V } x∈F Suy với x ∈ F, S F lân cận F X Do đó, tồn U ∈ τ cho F ⊂U ⊂ S F ⊂ V, kéo theo F ∈ [F, U ] ⊂ [F, Điều chứng tỏ W = [F, thỏa mãn S S F] ⊂ [F, V ] F] lân cận F PR[X] W ∈ B F ∈ W ⊂ U Hơn nữa, F điểm tụ A PR[X] nên W ∩ A vô hạn Như vậy, B mạng Pytkeev chặt PR[X] 35 Định nghĩa 2.2.14 Giả sử (X, τ ) không gian topo, x ∈ X P họ gồm tập X Khi đó, P gọi điểm-đếm X (P)x = {P ∈ P : x ∈ P } đếm Định lí 2.2.15 ([3]) Giả sử (X, τ ) không gian topo thỏa mãn tiên đề đếm thứ P họ gồm tập X Với F ∈ PR[X], ta đặt (P)F = {P ∈ P : P ∩ F ̸= ∅} Khi đó, P cs-mạng điểm-đếm X, PR[X] có mạng Pytkeev chặt điểm-đếm Chứng minh Giả sử P cs-mạng điểm-đếm X, U lân cận F PR[X] F điểm tụ A PR[X] Khi đó, X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên x ∈ X, tồn sở lân cận giảm đếm được: Bx = {Bn (x) : n ∈ N} Ta đặt (B)F = S Bx , (B)F đếm Bây giờ, ta chứng minh x∈F n S   S  B = F, F ∩ F, V : F ∈ PR[X], F họ hữu hạn (P)F , V họ hữu hạn (B)F o mạng Pytkeev chặt điểm-đếm PR[X] Ta chứng minh hai khẳng định sau Khẳng định 1: B mạng Pytkeev chặt PR[X] 36 Thật vậy, P cs-mạng điểm-đếm X nên x ∈ X, ta có (P)x = {P ∈ P : x ∈ P } S đếm Mặt khác, F tập hữu hạn X nên (P)F = (P)x x∈F đếm Do đó, {F ⊂ (P)F : F hữu hạn} = {Fm : m ∈ N} Ta chứng minh với x ∈ F, tồn n, mx ∈ N cho Bn (x) ⊂ S Fm x Thật vậy, giả sử ngược lại tồn x0 ∈ F thỏa mãn Bn (x0 ) ̸⊂ S Fm , với n, m ∈ N Suy với n, m ∈ N, tồn xn,m ∈ Bn (x0 ) \ S Fm Bây giờ, ta cho n ≥ m đặt yk = xn,m với k =m+ n(n − 1) Gọi W lân cận x0 X Khi đó, Bx0 mạng x0 X nên tồn n0 ∈ N cho x ∈ Bn0 (x0 ) ⊂ W Xét n ∈ N, n ≥ n0 m ∈ N, ta thu dãy {yk } hội tụ đến x0 X Thật vậy, Bn+1 (x0 ) ⊂ Bn (x0 ), với n ∈ N nên Bn (x0 ) ⊂ Bn0 (x0 ), với n ≥ n0 , kéo theo {xn,m } ⊂ Bn0 (x0 ), với n ∈ N, n ≥ n0 , m ∈ N hay {yk } ⊂ Bn0 (x0 ) Điều chứng tỏ tồn k ′ ∈ N cho {x0 } ∪ {yk : k ≥ k ′ } ⊂ Bn0 (x0 ) ⊂ W, nghĩa dãy {yk } hội tụ đến x0 X Hơn nữa, P cs-mạng X nên tồn P ∈ P k0 ∈ N cho 37 {x0 } ∪ {yk : k ≥ k0 } ⊂ P ⊂ Bn0 (x0 ) Do đó, tồn m0 ∈ N cho P ∈ Fm0 , kéo theo {x0 } ∪ {yk : k ≥ k0 } ⊂ P ⊂ S Fm Tuy nhiên, ta lấy k ≥ k0 cho k đủ lớn, tồn n ≥ m0 thỏa mãn yk = xn,m0 ∈ S Fm0 Điều mâu thuẫn với xn,m0 ∈ Bn0 (x0 ) \ S Fm0 Như vậy, với x ∈ F, tồn n, mx ∈ N cho Bn (x) ⊂ F= S S Fmx Ta đặt {Fmx : x ∈ F } Khi đó, F họ hữu hạn (P)F , h S i  S  F ∈ F, Bn (x) ⊂ F, F x∈F  S  Suy F, F lân cận F PR[X] Mặt khác, U lân cận F PR[X] nên tồn V ∈ τ cho F ⊂ V   F ∈ F, V ⊂ U, kéo theo V lân cận mở x X, với x ∈ F Do đó, với x ∈ F, tồn V (x) ∈ (B)F cho x ∈ V (x) ⊂ V Ta đặt V = {V (x) : x ∈ F }  S  Khi đó, V họ hữu hạn (B)F F, V lân cận F PR[X] thỏa mãn 38  S  F, V ⊂ [F, V ] ⊂ U Điều chứng tỏ  S   S  W = F, F ∩ F, V lân cận F PR[X] cho W ∈ B F ∈ W ⊂ U Hơn nữa, F điểm tụ A PR[X] nên W ∩ A tập vô hạn PR[X] Như vậy, B mạng Pytkeev chặt PR[X] Khẳng định 2: B điểm-đếm PR[X] Thật vậy, ta lấy H ∈ PR[X] W ∈ B cho H ∈ W Khi đó, tồn G ∈ PR[X], họ hữu hạn F ⊂ (P)G họ hữu hạn V ⊂ (B)G S S cho G ⊂ H ⊂ F, G ⊂ H ⊂ V  S   S  W = G, F ∩ G, V Mặt khác, F ⊂ (P)G , V ⊂ (B)G nên F ⊂ (P)H , V ⊂ (B)H Do đó, n {W ∈ B : H ∈ W} ⊂ [G, S F] ∩ [G, S V] : G ⊂ H , o F họ hữu hạn (P)H , V họ hữu hạn (B)H Hơn nữa, {G : G ⊂ H} hữu hạn nên n S S [G, F] ∩ [G, V] : G ⊂ H , F họ hữu hạn (P)H , V họ hữu hạn (B)H o đếm được, kéo theo {W ∈ B : H ∈ W} đếm Điều chứng tỏ B điểm-đếm PR[X] Ví dụ 2.2.16 ([3]) Giả sử (X, τ ) không gian topo P phủ gồm tập X Khi đó, tồn P cho 39 1) P mạng X, P không cn-mạng X 2) P mạng X, P không mạng Pytkeev X 3) P mạng X, P không mạng Pytkeev chặt X 4) P mạng X, P không k -mạng X 5) P mạng X, P không tựa-k -mạng X Chứng minh Xét X = R tập số thực với topo thông thường τ Ta đặt n o P = {x} : x ∈ X Đầu tiên, ta chứng minh P mạng X Thật vậy, giả sử x ∈ X U lân cận x X Khi đó, theo cách đặt P , tồn P = {x} ∈ P cho x ∈ P ⊂ U Do đó, P mạng X (1) P không cn-mạng X Thật vậy, giả sử x ∈ X U lân cận x X Khi đó, S {P ∈ P : x ∈ P ⊂ U } = {x} = [x, x], S {P ∈ P : x ∈ P ⊂ U } không lân cận x X Do đó, P khơng cn-mạng X kéo theo (2) P không mạng Pytkeev X Thật vậy, giả sử U lân cận x X A ⊂ X có điểm tụ x Khi đó, với P ∈ P , ta có P tập hữu hạn P ∩ A ⊂ P Do đó, P ∩ A tập hữu hạn, với P ∈ P Như vậy, P không mạng Pytkeev X (3) P không mạng Pytkeev chặt X Thật vậy, giả sử ngược lại P mạng Pytkeev chặt X Khi đó, theo Định lí 2.2.2(2), suy P mạng Pytkeev X Điều mâu thuẫn với Ví dụ 2.2.16(2) Do đó, P khơng mạng Pytkeev chặt X 40 (4) P không k -mạng X Thật vậy, giả sử K tập compact X cho K ⊂ U ∈ τ Ta xét K tập vơ hạn, với x ∈ K, tồn {x} ∈ P thỏa mãn x ∈ {x} ⊂ U Bây giờ, ta đặt n o F0 = {x} : x ∈ K Lúc này, rõ ràng F0 vô hạn họ P thỏa mãn K= S F0 ⊂ U Do đó, với họ F ⊂ P cho K ⊂ S F ⊂ U, ta có F0 ⊂ F Điều chứng tỏ F họ vô hạn P , với F ⊂ P thỏa mãn K⊂ S F ⊂ U Như vậy, P không k -mạng X (5) P không tựa-k -mạng X Thật vậy, giả sử ngược lại P tựa-k -mạng X Khi đó, theo Định lí 2.2.5(1), suy P k -mạng X Điều mâu thuẫn với Ví dụ 2.2.16(4) Như vậy, P không tựa-k -mạng X 2.3 Một số tính chất liên quan đến tập mở tiên đề tách siêu không gian Pixley-Roy Trong mục này, đưa chứng minh chi tiết số kết tập mở tiên đề tách siêu không gian Pixley-Roy, thể Định lí 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4 Hệ 2.3.5 Các kết trình bày hai báo [1], [2] Định lí 2.3.1 [1] Giả sử (X, τ ) khơng gian topo Khi đó, U S tập mở PR[X], U tập mở X 41 S Chứng minh Giả sử U tập mở PR[X] x ∈ U, tồn F ∈ U cho x ∈ F Bởi F ∈ U nên tồn V ∈ τ cho F ⊂ V F ∈ [F, V ] ⊂ U Hơn nữa, x ∈ V nên ta cần chứng minh V ⊂ y ∈ V, lúc S U Thật vậy, lấy F ⊂ {y} ∪ F ⊂ V, kéo theo {y} ∪ F ∈ [F, V ] ⊂ U Do đó, [ y ∈ {y} ∪ F ⊂ U S S Điều chứng tỏ V ⊂ U Như vậy, U tập mở X S Định lí 2.3.2 ([1]) Tồn T1 -không gian X cho A mở X A không mở siêu không gian Pixley-Roy PR[X] Chứng minh Giả sử X tập vô hạn với topo Zariski τ = {A ⊂ X : A = ∅ X \ A hữu hạn} Khi đó, X T1 -khơng gian Thật vậy, giả sử a, b ∈ X cho a ̸= b Ta đặt A = X \ {b}, B = X \ {a} Lúc này, a ∈ A, b ∈ B Hơn nữa, X \ A = {b}, X \ B = {a} nên X \ A X \ B tập hữu hạn X, suy A, B ∈ τ Do đó, A B lân cận mở a, b X thỏa mãn a ∈ / B b ∈ / A Điều chứng tỏ X T1 -không gian Bây giờ, ta đặt A = {{x} : x ∈ X} 42 S Rõ ràng A = X tập mở X Tuy nhiên, A không tập mở PR[X] Thật vậy, giả sử ngược lại A mở PR[X] Bởi {x} ∈ A nên tồn V ∈ τ cho {x} ∈ [{x}, V ] ⊂ A Mặt khác, {x} = ̸ ∅ X \ {x} vô hạn nên {x} ∈ / τ Hơn nữa, V ∈ τ x ∈ V nên V ̸= {x}, tức tồn y ∈ V \ {x} Lại {x} ⊂ {x, y} ⊂ V nên {x, y} ∈ A, mâu thuẫn Như vậy, A không tập mở siêu khơng gian Pixley-Roy PR[X] Định lí 2.3.3 ([2]) Giả sử (X, τ ) không gian topo Khi đó, PR[X] T0 -khơng gian Chứng minh Giả sử A, B ∈ PR[X] cho A ̸= B Khi đó, X ∈ τ nên U = [A, X] lân cận mở A V = [B, X] lân cận mở B PR[X] Ta xét trường hợp sau: Trường hợp A ⊂ B, A ̸= B nên B ̸⊂ A, kéo theo A ∈ / V Trường hợp B ⊂ A, A ̸= B nên A ̸⊂ B , kéo theo B ∈ / U Trường hợp A ̸⊂ B B ̸⊂ A, kéo theo A ∈ / V B ∈ / U Như vậy, PR[X] T0 -khơng gian Định lí 2.3.4 ([2]) Giả sử (X, τ ) không gian topo Khi đó, X T1 -khơng gian PR[X] T1 -không gian Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X T1 -không gian A, B ∈ PR[X] cho A ̸= B Ta chứng minh tồn lân cận mở U A V B PR[X] cho A∈ / V, B ∈ / U 43 Thật vậy, X T1 -khơng gian nên tập điểm {x} tập đóng X, với x ∈ X Do đó, X \ {x} tập mở X, với x ∈ X • Nếu A ⊂ B , tồn x0 ∈ B \ A, kéo theo A ⊂ X \ {x0 } ∈ τ Ta đặt U = [A, X \ {x0 }], V = [B, X] Khi đó, ta có U , V lân cận mở A, B PR[X] thỏa mãn A∈ / V B ∈ / U • Nếu A ̸⊂ B , tồn y0 ∈ A \ B , kéo theo B ⊂ X \ {y0 } ∈ τ Ta đặt U = [A, X], V = [B, X \ {y0 }] Khi đó, ta có U , V lân cận mở A, B PR[X] thỏa mãn A∈ / V B ∈ / U Như vậy, PR[X] T1 -không gian Điều kiện đủ Giả sử PR[X] T1 -không gian Ta chứng minh X T1 -không gian Thật vậy, giả sử x, y ∈ X cho x ̸= y Khi đó, PR[X] T1 -không gian {x}, {x, y} ∈ PR[X], {x} = ̸ {x, y} nên tồn lân cận mở U {x} V {x, y} PR[X] cho {x, y} ∈ / U, {x} ∈ / V Ta lấy U, W ∈ τ cho {x} ∈ [{x}, U ] ⊂ U; {x, y} ∈ [{x, y}, W ] ⊂ V 44 Do đó, {x, y} ∈ / [{x}, U ]; {x} ∈ / [{x, y}, W ] Bởi {x} ⊂ {x, y} {x, y} ∈ / [{x}, U ] nên {x, y} ̸⊂ U Mặt khác, x ∈ U nên y ∈ / U Do đó, tồn lân cận mở U x cho y ∈ / U Tiếp theo, hoàn toàn tương tự cặp điểm {y}, {x, y} ∈ PR[X] ta tìm lân cận mở V y cho x ∈ / V Như vậy, với x, y ∈ X mà x ̸= y, tồn lân cận mở U x V y cho y ∈ / U x ∈ / V Do đó, X T1 -không gian Hệ 2.3.5 ([2]) Giả sử (X, τ ) khơng gian topo Khi đó, X T1 -khơng gian, PR[X] T3 -khơng gian Do đó, PR[X] T2 -khơng gian Chứng minh Giả sử X T1 -khơng gian Khi đó, theo Định lí 2.3.4, ta suy PR[X] T1 -khơng gian Hơn nữa, theo Định lí 2.1.3, ta có PR[X] khơng gian quy, kéo theo PR[X] T3 -khơng gian Do đó, PR[X] T2 -khơng gian 45 KẾT LUẬN Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, đề tài thu kết sau 1.1 Trình bày chứng minh chi tiết số kết tác giả trước siêu khơng gian Pixley-Roy tính chất mạng không gian topo 1.2 Đưa chứng minh số kết mạng Pytkeev chặt, mạng Pytkeev chặt điểm-đếm siêu không gian Pixley-Roy số mối liên hệ mạng không gian topo, thể Định lí 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.11, 2.2.12, 2.2.13, 2.2.15 Ví dụ 2.2.16 1.3 Đưa chứng minh số kết liên quan đến tập mở tiên đề tách siêu không gian Pixley-Roy thể Định lí 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4 Hệ 2.3.5 Các kết đề tài lấy [1], [2], [3] Hướng phát triển đề tài Thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau 2.1 Nghiên cứu bảo tồn tính chất như: mạng Pytkeev đếm được, mạng Pytkeev chặt đếm siêu không gian Pixley-Roy mối liên hệ mạng không gian topo 2.2 Quan tâm đến việc trả lời toán mở đặt tác giả trước 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lương Quốc Tuyển, Huỳnh Thị Oanh Triều, Trần Nam Tiến (2022), Một vài nhận xét siêu khơng gian Pixley-Roy, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ - Đại học Đà Nẵng, Vol 20, No 9, tr 58-61 [2] Phan Thị Quỳnh Như, Trần Nam Tiến, Lương Quốc Tuyển (2022), Một vài nhận xét siêu khơng gian Pixley-Roy, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ - Đại học Đà Nẵng, Vol 20, No 11.1, tr 29-32 [3] Lương Quốc Tuyển, Trần Nam Tiến, Một số kết mối liên hệ mạng không gian topo (đang chỉnh sửa) Tiếng Anh [4] A V Arhangel’skii (1963), Some types of factor mappings and the relations between classes of topological spaces, Dokl Akad Nauk SSSR 153, 743–746 [5] T Banakh (2015), B0 -spaces, Topology and its Applications 195, 151–173 [6] R Engelking (1989), General Topology, Heldermann Verlag, Berlin [7] D J Lutzer (1978), Pixley-Roy topology, Topology Proc 3, 139-158 [8] X Liu, S Lin (2018), On spaces defined by Pytkeev networks, Filomat 32, 6115-6129 [9] X Liu, C Liu, S Lin (2019), Strict Pytkeev networks with sensors and their applications in topological groups, Topology and its Applications 258, 58–78 [10] S Lin, X Liu (2020), Notes on pseudo-open mappings and sequentially quotient mappings, Topology and its Applications 272, 107090