KỸ NĂNG sử DỤNG CASIO TRONG GIẢI TOÁN

Giải toán bằng máy tính bỏ túi CASIO đòi hỏi một quá trình rèn luyện bài bản. Bài giảng về giải toán bằng máy tính bỏ túi sẽ hướng dẫn các em đầy đủ và cơ bản về quá trình giải toán. Có hình ảnh minh họa và phương pháp rõ ràng.

KỸ NĂNG SỬ DỤNG CASIO TRONG GIẢI TOÁN THỦ THUẬT 5: THỦ THUẬT SỬ DỤNG CASIO ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HAI ẨN Bài 2: Giải Hệ Phương Trình:  x − y − = 2x −  3  y − 8x + 3y + 4y − 2x + = (đề thi thử Đại Học lần THPT Lê Văn Hưu – Thanh Hóa năm 2011)  Ý tưởng: Ta thử phân tích thành nhân tử phương trình sau: 8x + 2x − (y3 + 3y + 4y + 2) = y = 1000 Coi phương trình bậc ẩn x, ta giải phương trình  Thực hiện: y = 1000 • Gán • Vào tính giải phương trình bậc MODE EQN • Lần lượt nhập hệ số phương trình bậc 3: [8];[0];[2];  − y3 − 3y − 4y −  • Máy tính trả nghiệm: 500.5 = y +1  x1 = 500.5   x = −250.25 − 433.446I  x = −250.25 + 433.446I  (2x − y − 1) • Vì nên ta nhân tử toán • Thực phép chia đa thức ẩn dùng lim: f (x) = • Nhận thấy 8x + 2x − ( y3 + 3y + 4y + ) 2x − y − f (x) f (x) ax + bx + c tam thức bậc nên có dạng f (x)  =4 a = xlim →+∞ x  f (x) − 4x  b = lim = 2002 = 2y +  x →+∞ x  c = f (x) − x − (2y + 2)x = 1002002 = y + 2y +   với: • Vậy ta được: 8x + 2x − (y3 + 3y + 4y + 2) 2x − y − = 4x + (2y + 2)x + y + 2y + = 4x + y + 2xy + 2x + 2y + Kết luận: 8x + 2x − (y3 + 3y2 + 4y + 2) = (2x − y − 1) ( 4x + 2xy + y + 2x + 2y + )  Phân tích hướng giải: 4x + 2xy + y + 2x + 2y + = Ta giải nốt cách: 4x + 2xy + y + 2x + 2y + = (4x + y + 1) + (y + 1) + > 4 Sau sử dụng Thủ Thuật Giải Phương Trình Vô Tỷ để giải phương trình vô tỷ lại Ta xét hàm đặc trưng với toán  Cách 1: Phân tích thành nhân tử: Ta có: 8x + 2x = y3 + 3y3 + 4y + ⇔ (2x − y − 1) ( 4x + 2xy + y + 2x + 2y + ) =  2x − y − = ⇔ 2  4x + 2xy + y + 2x + 2y + = ⇔ 2x − y − = Do 4x + 2xy + y + 2x + 2y + = (4x + y + 1) + (y + 1) + > 4 x − y − = 2x − Khi phương trình trở thành: x − 2x = 2x − ( )( ) ⇔ x + + 2x − x − − 2x − =  Cách 2: Đặt ẩn phụ + Hàm đặc trưng: x= Ta đặt t +1 y=t (mục đích để ) Vậy ta có: y3 − 8x + 3y + 4y − 2x + =  t +1  t +1 ⇔ y3 −  ÷ + 3y + 4y −  ÷+ =     ⇔ y3 + 3y + 4y = t + 3t + 4t f (k) = k + 3k + 4k Xét hàm đặc trưng: với k∈¡ Khi ta có: f '(k) = 3k + 6k + > 0∀k ∈ ¡ Từ ta dễ dàng tìm x = t Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Một số tập tương tự:  x + 5y − 19x + + 2x − =  3 8x − y + 6y + 16x − 20y + 24 = 2  x − 3xy2 + 2y3 + 3x − 3y + 3x + =  2  x − y = xy +  x + y + xy =  2 2  4x − 17x y + 4y + 8x − 2xy + 4x − y = 72x − 9y3 − 112x + 55y + 60x − 113y + 67 =  2 8x + 3x + 5y = (7x + 3) x + 2y Bài 5: Giải hệ phương trình:  x + 4x + y − 4y =  2  x y + 2x + 6y = 23 (đề thi thử Đại Học lần THPT Đông Anh – Hà Nội năm 2013)  Ý tưởng: Thử phân tích thành nhân tử phương trình hệ phương trình, ta thấy không phân tích PT(1) + kPT(2) Đây dạng toán khác với tập trên, mà ta phải lấy để phân tích thành nhân tử  Thực hiện: • Sử dụng Thủ Thuật Giải Hệ Phương Trình ta tìm • Ta cần phân tích thành nhân tử biểu thức: k=2 x + 4x + y − 4y − + ( x y + 2x + 6y − 23) = • Đặt x2 = t y = 1000, gán ta làm ví dụ Kết luận: x + 4x + y − 4y − + ( x y + 2x + 6y − 23) = ( x + y + 12 ) ( x + y − )  Phân tích hướng giải: PT(1) + 2PT(2) Ta trình bày trực tiếp lời giải việc lấy phân tích thành nhân tử  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: Ta có: x + 4x + y − 4y − + ( x y + 2x + 6y − 23 ) = ⇔ (x + y + 12)(x + y − 4) = Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Một số tập tương tự:  x − 2xy + y − 2x + =  2  x − 4xy + 6y − 2x + = 2x + 2y − x − y − =  3x − xy − x − 5y + = 2  x + xy + y + x + y − =   x + 5xy − 12x − 7y + = 2  x + 4xy + 4y + 6x + 3y =  2  x − xy − 4y − 4x + 4y + = THỦ THUẬT 6: THỦ THUẬT SỬ DỤNG CASIO ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài 12: Giải Phương Trình: x + 2x − = (x + 1) x − 2x + ( x+2−2 ) (đề thi THPT Quốc Gia năm 2015)  Ý tưởng: Là thi đề thi THPT Quốc Gia, nhiều bạn bị điểm không giải trọn vẹn toán Có nhiều cách để có lời giải, thử khám phá  Thực hiện:  x + 2x − = (x + 4)(x − 2)  x+2 +2 =x−2  x + − ( Dễ dàng ta thấy )( ) x + 2x − = (x + 1) x − 2x + ⇔ (x + 4) ( ( x+2 −2 x+2 −2 )( Vậy ta được: ) ) x + + = (x + 1) ( x − 2x + 3) ( x+2 −2 ) Thứ ta cần giải giải phương trình sau: (x + 4) ( ) x + + = (x + 1) ( x − 2x + ) ⇔ (x + 1) ( x − 2x + 3) − 2(x + 4) − (x + 4) x + = ⇔ x − x − x − − (x + 4) x + = • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta được:  Phương trình  Phương trình x − x − x − − (x + 4) x + = có nghiệm x − x − x − + (x + 4) x + = có nghiệm A + B = 3∈ ¤  Thành thử ta thấy  Nghiệm phương trình ban đầu là: x= x= • Khi + 13 A + B+ ( A − B) = + 13 + 13 + 13 = = x −1 2 x+2 = Kết luận: Nhân tử toán ( ) x + − x +1 A = 3.30277563 B = −0.30277563  Phân tích hướng giải: Sẽ có rất nhiều cách giải cho toán lời giải nhanh chóng tìm ta sử dụng CASIO cách thành thạo Bạn đọc suy nghĩ thêm  Cách 1: Bình phương hai vế: Ta có: x − x − x − − (x + 4) x + = ⇔ ( x − x − x − ) = (x + 4)2 (x + 2) ⇔ ( x − 3x − 1) ( x + x + 3x + x + ) = ⇔ x − 3x − = (do x 2   27  x + x + 3x + x + =  x + − ÷ +  x + ÷ + >  9   )  Cách 2: Nhân liên hợp không hoàn toàn: Ta có: x − x − x − − (x + 4) x + = ⇔ x − x − x − − (x + 4)(x − 1) = (x + 4) ⇔ (x + 1) ( x − 3x − 1) = (x + 4) ⇔ (x + 1) ⇔ ( ( )( x + − x +1 )( ( ( ) x + − x +1 ) x + − x +1 ) x + + x − + (x + 4) ) ( ) x + − x +1 = x + − x + x + x + + (x + 1) x + =  Cách 3: Phân tích thành nhân tử: Ta có: x − x − x − − (x + 4) x + = ⇔ ( x + x + + (x + 1) x + = (Vì )( ) x + − x + x + x + + (x + 1) x + = ( )( x + +1  Cách 4: Hàm đặc trưng kiểu 1: x+2+2 )( ) x + −1 + > ) Ta đặt a = x+2 b = x +1 ( với a≥0 b ≥ −1 Ta có: ) x + + (x + 4) = (x + 1) ( x − 2x + ) ⇔ (a + 2) ( a + ) = (b + 2) ( b + )  Cách 5: Hàm đặc trưng kiểu 2: Ta có: x − x − x − = (x + 4) x + ⇔ x − x + x + = (x + 4) ( x+2 +2 ⇔ ( x − 2x + 3) (x + 1) = (x + 4) f (t) = ( t + ) (t + 2) Xét hàm số với Hàm số liên tục f        ( ¡ t∈¡ ( ) x+2+2 ) f '(t) = 3t + 4t + > 0∀t ∈ ¡ Vậy: x − ≥ + 13 x + = f (x − 1) ⇔ x + = x − ⇔  ⇔x= 2  x + = (x − 1) ) Cách 6: Đao hàm: Cách 7: Đặt ẩn phụ hoàn toàn: Cách 8: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Cách 9: Nhân liên hợp hoàn toàn: Cách 10: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình: Cách 11: Đánh giá, bất đẳng thức: Cách 12: Hàm đặc trưng kiểu 3: ? Tại lại có lời giải trên? Thực lời giải tương tự nên việc tìm mấu chốt toán đưa đến lời giải Kể Cách 4, Cách 5, Cách 12 Quan trọng bạn đọc tư cho hiệu Hãy thử động não Nếu bạn đọc tò mò kiên nhẫn xem tập ví dụ Đó cách giải hầu hết toán dạng: ax + bx + cx + d = (mx + n) px + q Để biến đổi phương trình dạng: f (ex + f ) = f Gợi ý: ex + f = ux + v ( ) ux + v ⇔ ex + f = ux + v nhân tử toán Một số tập tương tự: x − x + 3x − = (x + 8) x + 2 x − 6x + 13x − + (x + 2) x + = 4x + 12x − 13x − 21 = (32x + 36) x + 2x − 9x + 37x − 18 = (32x − 14) 2x − Sau số vấn đề mở rộng việc ứng dụng phương pháp giải phương trình vô tỷ CASIO: • • • • • • Giải bất phương trình vô tỷ Tìm biểu thức cần nhân liên hợp Bất đẳng thức Hàm đặc trưng (cách giải tổng quát cho toán THPT Quốc Gia 2015) Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Bài 21: Giải phương trình: 2x + 3x − 5x + + (5x − 7x + 2) 2x + =  Ý tưởng: Ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn để giải toán  Thực hiện: • Sử dụng máy tính cầm tay CASIO ta nhân tử toán là:   ( 2x + + x − ) ( 2x + + 2x − ) • Sử dụng máy tính cầm tay CASIO để chia biểu thức ta được: 2x + 3x − 5x + + ( 5x − 7x + ) 2x + ( 2x + + 2x − )( 2x + + x − ) = 2x + + x + 2x + = a • Từ ta đặt thì: 2x + 3x − 5x + + ( 5x − 7x + ) 2x + = (a + x + 1)(a + x − 2)(a + 2x − 3) = 2x + (5a − 5)x + ( 4a − 9a − 1) x + a − 4a + a + Kết luận: 2x + 3x − 5x + + ( 5x − 7x + ) 2x + = (a + x + 1)(a + x − 2)(a + 2x − 3)  Phân tích hướng giải: Ta cần trình bày ngược lại với làm  Lời giải: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: ĐKXĐ: x≥− Đặt a = 2x + với a≥0 thì: 2x + 3x − 5x + + ( 5x − 7x + ) 2x + = ⇔ 2x + (5a − 5)x + (4a − 9a − 1)x + a − 4a + a + = ⇔ (a + x + 1)(a + x − 2)(a + 2x − 3) = Bài 22: Giải phương trình: x − 3x + 2x − + ( x + 2x − ) x − =  Ý tưởng: Ta thử đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình  Thực hiện: • Sử dụng máy tính cầm tay CASIO ta nhân tử toán là: ( • Vậy ta đặt a = x−2 b = 3− x x −2 + x −3 ) a2 + b = suy và: x − 3x + 2x − + (x + 2x − 6) x − = (3 − b)3 − 3(3 − b) + 2(3 − b) − + ( (3 − b) + 2(3 − b) − ) a = ( b − 8b + ) a − b3 + 6b − 11b + • Hệ phương trình là: a + b − =  ( b − 8b + ) a − b + 6b − 11b + = • Vì ta có a=b 2PT(1) + PT(2) nên cần làm hệ số tự do, tức ta có lời giải 2PT(1) + PT(2) Kết luận: Lấy phân tích thành nhân tử  Phân tích hướng giải: Tuy lời giải dài hay Chúng ta thử phương pháp đặt ẩn phụ giải hệ phương trình  Lời giải: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình: ĐKXĐ: x ≥ Khi đặt a = x−2 b = 3− x với a≥0 x − 3x + 2x − + ( x + 2x − ) x − b ≤1 suy = (3 − b)3 − 3(3 − b) + 2(3 − b) − + ( (3 − b) + 2(3 − b) − ) a = ( b − 8b + ) a − b + 6b − 11b + Vậy ta có hệ phương trình: a + b − =  ( b − 8b + ) a − b + 6b − 11b + = 2PT(1) + PT(2) Lấy ta được: (b − 8b + ) a − b3 + 6b − 9b + 2a = ⇔ (a − b) ( b − 6b + + 2a ) = a = b  ⇔  a =  b = b − 6b + + 2a = (b − 3) + 2a ≥ (vì ) Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Bài 26: Giải phương trình: 5x + ( x + x ) x − 2x + + 2x + =  Ý tưởng: Ta dựa vào nghiệm phương trình để giải toán  Thực hiện: • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy phương trình 5x + ( x + x ) x − 2x + + 2x + = A = −0.6403882032 có nghiệm B = −0.1569296691 • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy phương trình 5x − ( x + x ) x − 2x + + 2x + = có nghiệm C = 0.3903882032 D = −1.593070331 E =1 và • Thấy A + C∈¤ nên A + C − (A − C) −1 − 17 A= = B + D + (B − D) −7 + 33 B= = B + D∈¤ • Thấy nên • Từ ta tìm nhân tử là: ( x − 2x + + 3x ) ( x − 2x + − 3x − ) Kết luận: Phương trình có hai nhân tử là: ( x − 2x + + 3x ) ( x − 2x + − 3x − )  Phân tích hướng giải: Ta dùng thủ thuật CASIO để chia biểu thức, ta được:  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: Ta có: 5x + ( x + x ) x − 2x + + 2x + = ⇔ ( x − 2x + + 3x )( x − 2x + − 3x − )( Bài 30: Giải phương trình: + 2x + − x = − x + + x  Ý tưởng: Ta tìm nhân tử dạng ( 1− x + a 1+ x + b ) phương trình  Thực hiện: • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy phương trình + 2x + − x = − x + + x A = 0.9921567416 A + B∈¤ ⇒ A = • Vì có nghiệm B = −0.9921567416 A + B + (A − B) = ) x − 2x + + = • Gọi nhân tử ( 1− x + a 1+ x + b ) thì: a − = a =   ⇔ ⇒ x −1 + x +1 − = 3  + a + b = b = − Kết luận: Phương trình có nhân tử (2 1− x + x +1 − )  Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự trên:  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: Ta có: + 2x + − x = − x + + x ( ⇔ 1− x + x +1 − )( ) − x + x + −1 = Bài 32: Giải Phương Trình: 15x − 32 + (7x − 8) x − + (x − 4) − x =  Ý tưởng: Ta tìm nhân tử dạng ( x−2 +a 4−x +b ) phương trình  Thực hiện: • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy phương trình 15x − 32 + (7x − 8) x − + (x − 4) − x = A = 2.133974596 có nghiệm • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy phương trình 15x − 32 − (7x − 8) x − + (x − 4) − x = B = 3.663836718 có nghiệm • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy phương trình 15x − 32 + (7x − 8) x − − (x − 4) − x = vô nghiệm • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy phương trình 15x − 32 − (7x − 8) x − − (x − 4) − x = C = 3.866025404 D = 2.096163282 A + B, A + C,A + D • Thành thử ta thấy: A + C∈¤ ⇒ A = • Gọi nhân tử ( x−2 +a 4−x +b ) có nghiệm A + C − (A − C) − = 2 thì: a = −1 −1 + + + a+b=0⇔  ⇒ x − − − x +1 = 2 b = Kết luận: Phương trình có nhân tử ( ) x − − − x +1  Phân tích hướng giải: Ta sử dụng máy tính CASIO để chia biểu thức:  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: Ta có: 15x − 32 + (7x − 8) x − + (x − 4) − x = ⇔ ( )( ) x − − − x + 3x + 4 − x x − + x − + 4 − x = THỦ THUẬT 7: THỦ THUẬT SỬ DỤNG CASIO ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải Hệ Phương Trình: 2  x − y − y − =   y + xy − x − y + =  Ý tưởng: PT(1) + kPT(2) Ý tưởng đơn giản: lấy phân tích thành nhân tử ? Làm để tìm k? Với: Có nhiều cách để tìm k Đối với dạng toán a = a1 + ka  b = b + kb có cách khác: 2  a1x + b1y + c1xy + d1x + e1y + f1 = c = c1 + kc  2  a x + b y + c xy + d x + e2 y + f = d = d1 + kd e = e1 + ke Khi đặt k nghiệm phương trình:  cde + 4abf = ae + bd + fc2 f = f1 + kf  Thực hiện: • Áp dụng công thức: cde + 4abf = ae + bd + fc 2 • Ta có: ( −1 + k ) ( −4 + 2k ) − k ( −1 − k ) = ( −1 − k ) + ( −1 + k ) k + k ( −4 + 2k ) • Ta nghiệm k = 1;k = ; k = PT(1) + PT(2) Kết luận: Ta lấy nhân tử Với: a =  b = −1 + k  c = k  d = − k  e = −1 − k  f = −4 + 2k 2PT(1) + 5PT(2) PT(1) + 3PT(2) phân tích thành ? Nếu không tìm k k lẻ sao? 99,99% tìm k Nếu k lẻ chứng tỏ toán có lẽ sai đề không phù hợp Tuy k = 2; 3; nhiên số toán cho ta áp dụng công thức  Phân tích hướng giải: Việc phân tích thành nhân tử CASIO lợi không nhỏ  Cách 1: Phân tích thành nhân tử: PT(1) + PT(2) Lấy (x − 2)(x + y + 1) = ta được:  Cách 2: Phân tích thành nhân tử: 2PT(1) + 5PT(2) Lấy (x + y − 2)(2x + 3y − 1) = ta được:  Cách 3: Phân tích thành nhân tử: PT(1) + 3PT(2) Lấy (x + 2y − 2)(x + y − 1) = ta được: Bài 2: Giải Hệ Phương Trình: 2 16x + 4xy + y = 12  8x + 4xy − 28x − 5y = −18 (đề thi Học sinh Giỏi lớp 12 – TP Hồ Chí Minh năm 2014)  Ý tưởng: Ta tìm k công thức  Thực hiện: • Áp dụng công thức: cde + 4abf = ae + bd + fc • Ta có: 4(16 + 8k)(−12 + 18k) + 140(4 + 4k)k = 25(16 + 8k)k + 784k + (4 + 4k) (−12 + 18k) • Ta nghiệm k=2 Với: a = 16 + 8k b =  c = + 4k  d = −28k e = −5k  f = −12 + 18k PT(1) + 2PT(2) Kết luận: Ta lấy phân tích thành nhân tử  Phân tích hướng giải: Ta sử dụng thủ thuật phân tích thành nhân tử ẩn để giải toán  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: PT(1) + 2PT(2) Lấy (4x + y − 4)(8x + y − 6) = ta được: Bài 3: Giải Hệ Phương Trình:  x − y3 − 3x − 15x + 18y = 36  2 2x + 2y + 2x − 6y + =  Ý tưởng: cde + 4abf = ae + bd + fc Ta tìm k không công thức x, y nghiệm giống cách giải phương trình vô tỷ mà sử dụng mối liên hệ  Thực hiện: • Tìm nghiệm hệ phương trình CASIO ta nghiệm là:  3  5 (x, y) =  − , ÷;  − , ÷  2  2 • Giả sử • Khi x = ay + b suy x = y−3  3  − = a + b a = ⇔ ⇒ x = y −3  b = −3 − = a + b  2 thì:  x − y3 − 3x − 15x + 18y − 36 = −3(2y − 3)(2y − 5)  2 2x + 2y + 2x − 6y + = (2y − 3)(2y − 5) • Suy PT(1) = −3PT(2) PT(1) + 3PT(2) Kết luận: Ta lấy phân tích thành nhân tử  Phân tích hướng giải: PT(1) + 3PT(2) Ta cần nói mà trình bày dài dòng  Lời giải: phân tích thành nhân tử: PT(1) + 3PT(2) Lấy ta được: (x − y3 − 3x − 15x + 18y − 36 ) + ( 2x + 2y + 2x − 6y + ) = ⇔ (x − y + 3) ( x + xy + y − 3y − ) = ⇔ x −y+3=0 Vì: 2x + 2y + 2x − 6y + y  3  = ( x + xy + y − 3y − ) +  x + − ÷ +  y −  4  2  29 >0 ÷ + 3 Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Bài 4: Giải Hệ Phương Trình:  x + y − x − y − xy =  2  x ( x − y ) + 12 − 9x =  Ý tưởng: Ta làm tương tự  Thực hiện: • Tìm nghiệm hệ phương trình CASIO ta nghiệm là: (x, y) = (1, 2);(2,1) • Mối liên hệ x y • Khi x = 3− y x =3− y thì:  x + y − x − y − xy = 3(y − 1)(y − 2)  2  x(x − y ) + 12 − 9x = 6(y − 1)(y − 2) • Suy 2PT(1) = PT(2) 2PT(1) − PT(2) Kết luận: Ta lấy phân tích thành nhân tử  Phân tích hướng giải: Ta sử dụng thủ thuật phân tích thành nhân tử ẩn để giải toán  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: 2PT(1) − PT(2) Lấy ta được: (x + y − 3) ( x − xy + x − 2h − ) = ⇔ x+y=3 Vì: ( x − xy + y − x − y ) 2 y 7  10  = ( x − xy + x − 2y − ) +  x − − ÷ +  y − ÷ + > 2  4 7  Lời giải chi tiết cho bạn đọc Bài 5: Giải Hệ Phương Trình:  xy − x + y =  3 4x + 12x + 9x + y = 6y +  Ý tưởng: Ta làm tương tự  Thực hiện: • Tìm nghiệm hệ phương trình CASIO ta nghiệm là:  −3 + 17 + 17  (x, y) =  , ÷ ÷   x= • Mối liên hệ x y y −1 x= • Khi y −1 thì:  xy − x + y − = ( y − y − )    4x + 12x + 9x + y3 − 6y − = (y + 1) ( y − y − )   • Suy 3(y + 1)PT(1) = PT(2) 3(y + 1)PT(1) − PT(2) Kết luận: Ta lấy phân tích thành nhân tử  Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự toán trước:  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: 3(y + 1)PT(1) − PT(2) Lấy ta được: − (x + y + 1)(2x − y + 2) = Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Bài 6: Giải Hệ Phương Trình:  x + y3 = 91  2 4x + 3y = 16x + 9y  Ý tưởng: Ta làm tương tự  Thực hiện: • Tìm nghiệm hệ phương trình CASIO ta nghiệm là: (x, y) = (4,3);(3,4) • Mối liên hệ x y x =7−y • Khi x =7−y thì:  x + y3 − 91 = 21(y − 4)(y − 3)  2  4x + 3y − 16x − 9y = 7(y − 4)(y − 3) • Suy PT(1) − 3PT(2) = PT(1) − 3PT(2) Kết luận: Ta lấy phân tích thành nhân tử  Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự toán trước:  Cách 1: Hàm đặc trưng: PT(1) − 3PT(2) Lấy ta được: x − 12x + 48x = (7 − y)3 − 12(7 − y) + 48(7 − y) f (t) = t − 12t + 48t ⇒ f '(t) = 3(t − 4) ≥ Xét hàm đặc trưng: Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc  Cách 2: Phân tích thành nhân tử: PT(1) − 3PT(2) Lấy ta được: x − 12x + 48x = (7 − y)3 − 12(7 − y) + 48(7 − y) ⇔ (x + y − 7) ( x − xy + y − 5x − 2y + 13) = 2  y 5 y 3  ⇔ (x + y − 7)   x − − ÷ +  − ÷ ÷ =  2 2 2 ÷   Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Bài 7: Giải Hệ Phương Trình: 3x + xy = 9x + y + 9y  2x = x y + 20x + 20y  Ý tưởng: Ta làm tương tự  Thực hiện: • Tìm nghiệm hệ phương trình CASIO ta nghiệm là: (x, y) = (0,0);(2, −1) x = −2y • Mối liên hệ x y • Khi x = −2y • Suy thì: 3x + xy − ( 9x + y + 9y ) = 9y(y + 1)    2x − ( x y + 20x + 20y ) = −20y(y + 1)(y − 1) 20(y − 1)PT(1) + 9PT(2) = 20(y − 1)PT(1) + 9PT(2) Kết luận: Ta lấy phân tích thành nhân tử  Phân tích hướng giải: Ta phải làm thêm hệ phương trình nữa:  Cách 1: Phân tích thành nhân tử: 20(y − 1)PT(1) + 9PT(2) Lấy ta được: (x + 2y) ( 18x − 10y + 15xy − 60x − 80y ) = 8PT(1) + PT(3) Lấy ta được: ( 3x + xy − 9x + y + 9y ) − ( 18x − 10y + 15xy − 60x − 80y ) = ⇔ (2x − y − 4)(3x − 2y) = Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc > Cách 2: Phân tích thành nhân tử: 4(2x − y + 5)PT(1) − 9PT(2) Lấy ta được: (2y + x)(3x − 2y)(2x − y − 4) = Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc [...]... trình có nhân tử là ( ) x − 2 − 4 − x +1  Phân tích hướng giải: Ta sẽ sử dụng máy tính CASIO để chia biểu thức:  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: Ta có: 15x − 32 + (7x − 8) x − 2 + (x − 4) 4 − x = 0 ⇔ ( )( ) x − 2 − 4 − x + 1 3x + 4 4 − x x − 2 + 8 x − 2 + 4 4 − x = 0 THỦ THUẬT 7: THỦ THUẬT SỬ DỤNG CASIO ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải Hệ Phương Trình: 2 2  x − y − y − 4 = 0  2  y + xy... 3) 2 + 2a ≥ 0 (vì ) Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Bài 26: Giải phương trình: 5x 2 + 4 ( x 2 + x ) x 2 − 2x + 2 + 2x + 1 = 0  Ý tưởng: Ta dựa vào nghiệm của phương trình để giải quyết bài toán này  Thực hiện: • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy phương trình 5x 2 + 4 ( x 2 + x ) x 2 − 2x + 2 + 2x + 1 = 0 A = −0.6403882032 có nghiệm B = −0.1569296691 và • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm... tích hướng giải: Ta sẽ sử dụng thủ thuật phân tích thành nhân tử 2 ẩn để giải quyết bài toán  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: PT(1) + 2PT(2) Lấy (4x + y − 4)(8x + y − 6) = 0 ta được: Bài 3: Giải Hệ Phương Trình:  x 3 − y3 − 3x 2 − 15x + 18y = 36  2 2 2x + 2y + 2x − 6y + 3 = 0  Ý tưởng: cde + 4abf = ae 2 + bd 2 + fc 2 Ta sẽ tìm k không bằng công thức x, y nghiệm giống như cách giải phương... nhân tử  Phân tích hướng giải: Ta sẽ sử dụng thủ thuật phân tích thành nhân tử 2 ẩn để giải toán  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: 2PT(1) − PT(2) Lấy ta được: (x + y − 3) ( x 2 − xy + x − 2h − 4 ) = 0 ⇔ x+y=3 Vì: 2 ( x 2 − xy + y 2 − x − y ) 2 2 3 y 7 3  10  = ( x − xy + x − 2y − 4 ) +  x − − ÷ +  y − ÷ + > 0 2 2  4 7 7  2 Lời giải chi tiết cho bạn đọc Bài 5: Giải Hệ Phương Trình:  xy... 8) x − 2 + (x − 4) 4 − x = 0 A = 2.133974596 có nghiệm duy nhất • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy phương trình 15x − 32 − (7x − 8) x − 2 + (x − 4) 4 − x = 0 B = 3.663836718 có nghiệm duy nhất • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy phương trình 15x − 32 + (7x − 8) x − 2 − (x − 4) 4 − x = 0 vô nghiệm • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy phương trình 15x −...  Phân tích hướng giải: Ta dùng thủ thuật CASIO để chia biểu thức, ta được:  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: Ta có: 5x 2 + 4 ( x 2 + x ) x 2 − 2x + 2 + 2x + 1 = 0 ⇔ 1 2 ( x 2 − 2x + 2 + 3x )( x 2 − 2x + 2 − 3x − 2 )( Bài 30: Giải phương trình: 9 + 2x + 6 1 − x 2 = 5 1 − x + 8 1 + x  Ý tưởng: Ta sẽ tìm nhân tử dạng ( 1− x + a 1+ x + b ) của phương trình trên  Thực hiện: • Sử dụng Thủ Thuật Tìm... hoặc rồi phân tích thành ? Nếu không tìm được k hoặc k lẻ thì sao? 99,99% sẽ tìm được k Nếu k lẻ thì chứng tỏ bài toán có lẽ sai đề hoặc là không phù hợp Tuy k = 2; 3; nhiên một số bài toán cho thì ta cũng có thể áp dụng công thức trên  Phân tích hướng giải: Việc phân tích thành nhân tử bằng CASIO là một lợi thế không hề nhỏ  Cách 1: Phân tích thành nhân tử: PT(1) + PT(2) Lấy (x − 2)(x + y + 1) = 0... − 11b + 2 = 0 • Vì ta luôn có a=b 2PT(1) + PT(2) nên chỉ cần làm mất hệ số tự do, tức là ta có lời giải rồi 2PT(1) + PT(2) Kết luận: Lấy rồi phân tích thành nhân tử  Phân tích hướng giải: Tuy lời giải này hơi dài nhưng cũng khá hay Chúng ta cùng thử phương pháp đặt ẩn phụ giải hệ phương trình  Lời giải: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình: ĐKXĐ: x ≥ 2 Khi đó đặt a = x−2 và b = 3− x với a≥0 x 3 − 3x... x + 2 x +1 − 3 )  Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự bài trên:  Lời giải: Phân tích thành nhân tử: Ta có: 9 + 2x + 6 1 − x 2 = 5 1 − x + 8 1 + x ( ⇔ 2 1− x + 2 x +1 − 3 )( ) 1 − x + 2 x + 1 −1 = 0 Bài 32: Giải Phương Trình: 15x − 32 + (7x − 8) x − 2 + (x − 4) 4 − x = 0  Ý tưởng: Ta sẽ tìm nhân tử dạng ( x−2 +a 4−x +b ) của phương trình trên  Thực hiện: • Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình... + 4abf = ae 2 + bd 2 + fc 2 Ta sẽ tìm k không bằng công thức x, y nghiệm giống như cách giải phương trình vô tỷ mà sử dụng mối liên hệ giữa các  Thực hiện: • Tìm nghiệm của hệ phương trình bằng CASIO ta được các bộ nghiệm là:  3 3  1 5 (x, y) =  − , ÷;  − , ÷  2 2  2 2 • Giả sử • Khi x = ay + b suy ra x = y−3  3 3  − 2 = 2 a + b a = 1 ⇔ ⇒ x = y −3  b = −3 − 1 = 5 a + b  2 2 thì: