CH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ MÔN TOÁN 8 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Qua quá trình giảng dạy môn toán học,tôi nhận thấy một số điểm đáng chú ý như sau: • Một số HS có hoàn cảnh gia đình khó khăn nên chỉ chú trọng đến các công việc gia đình, còn việc học thì lơ là không quan tâm lắm. • Ý thức học tập của một số học sinh chưa cao, chưa xác định được tầm quan trọng của việc đọc trước bài và làm bài tập ở nhà. • Trong môn toán thì các tranh ảnh mô hình quá ít,chưa tạo được sự thích thú của HS. • Học sinh có tâm lí không yêu thích môn toán học, vì nó quá khó và khá khô khan và đây là một môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả năng lập luận tốt, đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng tượng, suy xét và tư duy logic. • Phần lớn học sinh bị hổng kiến thức về phân môn này, không vận dụng được các định nghĩa, tính chất, phương pháp …. vào việc giải các bài tập nói chung,chưa nắm được các phương pháp phân tích một đa thức thành nhân tử,một cách có hệ thống và nhất là còn mơ hồ khi không biết nên sử dụng phương pháp nào phù hợp cho từng bài toán. • Đôi khi, do sẵn có tâm lí ngại học hay sợ môn toán học nên càng khiến việc giải một bài toán trở nên khó khăn hơn.Học sinh không biết bắt đầu từ đâu, bắt đầu như thế nào? Trình bày ra sao? Lập luận như thế nào? Thậm chí có cả những em học sinh khá giỏi vẫn mắc không ít lỗi trong cách lập luận. Để khắc phục vấn đề này thì vai trò của người giáo viên giảng dạy lúc này rất quan trọng.Giáo viên là người hướng dẫn, phân tích giúp học sinh định hướng các bước giải cho bài toán một cách có hệ thống, giúp học sinh tìm phương pháp phù hợp với bài toán đó, từ đó hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức và trình bày lời giải. Giúp HS phát triển tư duy và khả năng lập luận. Đồng thời đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học. Với những lý do khách quan và chủ quan nêu trên, bản thân tôi đã mạnh dạn chọn cho mình giải pháp “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” để làm đề tài nghiên cứu trong năm học 2015 – 2016. II.TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: 1. Cơ sở lí luận: Trong trường THCS môn toán được coi là môn khoa học luôn được chú trọng và cũng là môn có nhiều khái niệm trừu tượng. Đặc biệt là phân môn đại số kiến thức trong bài tập lại rất phong phú rất nhiều so với nội dung lý thuyết mới học. Bên cạnh đó yêu cầu bài tập lại cao, nhiều bài toán ở dạng đòi hỏi phải suy diễn chặt chẽ lôgic và có trình tự. Để có được cách giải cho một bài toán, người giáo viên cần đưa ra các bước giải bài toán một cách cụ thể, có hệ thống từ việc tìm hiểu đề bài đến phân tích tìm cách giải, cách trình bày bài giải và kiểm tra, sử dụng kết quả. Trong các bước giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử thì bước tìm tòi phương pháp phù hợp cho bài toán là bước quan trọng và khó khăn nhất, vì vậy cần phải lựa chọn một phương pháp thích hợp nhất cho bước này. Trong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì phương pháp nào cũng đóng vai trò quan trọng nhưng các em phải tìm cho được phương pháp phù hợp với bài mình cần giải. Từ đó giúp các em hệ thống lại kiến thức đã học có liên quan. 2. Nội dung và biện pháp thực hiện đề tài: Để phân tích được đa thức thành nhân tử thì học sinh cần phải nắm vững các phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các hạng tử; phối hợp nhiều phương pháp. Ngoài ra, đối với học sinh khá, giỏi có thể giới thiệu thêm một số phương pháp phân tích : Tách một hạng tử; thêm bớt cùng một hạng tử……Vì vậy, giáo viên phải thực hiện được một số việc sau: • Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử. • Củng cố các phương pháp phân tích cơ bản.Bằng cách cho học sinh ghi nhớ kiến thức liên quan hoăc sử dụng bản đồ tư duy để củng cố các phương pháp • Tìm tòi thêm cho các em các cách giải mới hay có nhiều cách giải cho một bài toán.Đối với các em khá giỏi có thể giới thiệu thêm một số phương pháp khác • Tìm ra các sai lầm thường gặp của học sinh và biện pháp khắc phục các sai lầm của các em • Trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử cần nêu cho các em những chú ý quan trọng để trong quá trình làm bài các em không bị vấp phải sai lầm hoặc vấp lại các sai lầm mà các em đã từng vấp phải
CH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ MÔN TOÁN I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Qua trình giảng dạy môn toán học,tôi nhận thấy số điểm đáng ý sau: • Một số HS có hoàn cảnh gia đình khó khăn nên trọng đến công việc gia đình, việc học lơ không quan tâm • Ý thức học tập số học sinh chưa cao, chưa xác định tầm quan trọng việc đọc trước làm tập nhà • Trong môn toán tranh ảnh mô hình ít,chưa tạo thích thú HS • Học sinh có tâm lí không yêu thích môn toán học, khó khô khan môn học đòi hỏi độ xác cao, khả lập luận tốt, đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng tượng, suy xét tư logic • Phần lớn học sinh bị hổng kiến thức phân môn này, không vận dụng định nghĩa, tính chất, phương pháp … vào việc giải tập nói chung,chưa nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử,một cách có hệ thống mơ hồ nên sử dụng phương pháp phù hợp cho toán • Đôi khi, sẵn có tâm lí ngại học hay sợ môn toán học nên khiến việc giải toán trở nên khó khăn hơn.Học sinh đâu, bắt đầu nào? Trình bày sao? Lập luận nào? Thậm chí có em học sinh giỏi mắc không lỗi cách lập luận Để khắc phục vấn đề vai trò người giáo viên giảng dạy lúc quan trọng.Giáo viên người hướng dẫn, phân tích giúp học sinh định hướng bước giải cho toán cách có hệ thống, giúp học sinh tìm phương pháp phù hợp với toán đó, từ hình thành kĩ phân tích, tổng hợp kiến thức trình bày lời giải Giúp HS phát triển tư khả lập luận Đồng thời đáp ứng nhu cầu đổi phương pháp dạy học Với lý khách quan chủ quan nêu trên, thân mạnh dạn chọn cho giải pháp “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” để làm đề tài nghiên cứu năm học 2015 – 2016 II.TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: Cơ sở lí luận: Trong trường THCS môn toán coi môn khoa học trọng môn có nhiều khái niệm trừu tượng Đặc biệt phân môn đại số kiến thức tập lại phong phú nhiều so với nội dung lý thuyết học Bên cạnh yêu cầu tập lại cao, nhiều toán dạng đòi hỏi phải suy diễn chặt chẽ lôgic có trình tự Để có cách giải cho toán, người giáo viên cần đưa bước giải toán cách cụ thể, có hệ thống từ việc tìm hiểu đề đến phân tích tìm cách giải, cách trình bày giải kiểm tra, sử dụng kết Trong bước giải toán phân tích đa thức thành nhân tử bước tìm tòi phương pháp phù hợp cho toán bước quan trọng khó khăn nhất, cần phải lựa chọn phương pháp thích hợp cho bước Trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đóng vai trò quan trọng em phải tìm cho phương pháp phù hợp với cần giải Từ giúp em hệ thống lại kiến thức học có liên quan Nội dung biện pháp thực đề tài: Để phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần phải nắm vững phương pháp như: Đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm hạng tử; phối hợp nhiều phương pháp Ngoài ra, học sinh khá, giỏi giới thiệu thêm số phương pháp phân tích : Tách hạng tử; thêm bớt hạng tử……Vì vậy, giáo viên phải thực số việc sau: • Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử • Củng cố phương pháp phân tích bản.Bằng cách cho học sinh ghi nhớ kiến thức liên quan hoăc sử dụng đồ tư để củng cố phương pháp • Tìm tòi thêm cho em cách giải hay có nhiều cách giải cho toán.Đối với em giỏi giới thiệu thêm số phương pháp khác • Tìm sai lầm thường gặp học sinh biện pháp khắc phục sai lầm em • Trong trình phân tích đa thức thành nhân tử cần nêu cho em ý quan trọng để trình làm em không bị vấp phải sai lầm vấp lại sai lầm mà em vấp phải 2.1.Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử: 2.1.1) Các phương pháp bản: * Phương pháp đặt nhân tử chung: Phương pháp: - Viết hạng tử thành dạng tích có thừa số nhân tử chung - Đặt nhân tử chung dấu ngoặc phần ngoặc nhân tử lại dạng tích hạng tử Theo công thức: A.B + A.C = A.(B + C) Cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên: - Hệ số ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử - Các lũy thừa chữ có mặt hạng tử với số mũ lũy thừa số mũ nhỏ Ví dụ 1: Phân tích đa thức 3x2 – 9x thành nhân tử Giáo viên đưa hệ thống câu hỏi: Hoạt động giáo viên Hoạt động hs - Tìm nhân tử chung hệ số 3, Nhân tử chung hệ số hạng tử trên? ƯCLN(3,9 ) = -Tìm nhân tử chung biến x2 Nhân tử chung biến x2 x x x ? Nhân tử chung đa thức 3x -Khi nhân tử chung đa thức bao nhiêu? Giải: 3x2 – 9x = 3x.x – 3x.3 = 3x.(x – 3) Ví dụ 2: (Bài 39e sgk/19 ) Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Hoạt động giáo viên Hoạt động hs - Tìm nhân tử chung hệ số 10, Nhân tử chung hệ số hạng tử trên? ƯCLN(10;8)= -Tìm nhân tử chung của: x(x – y) y(y – x) ? Nhân tử chung x(x – y) y(y – x) - Sau giáo viên hướng dẫn thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích –8y(y – x) để có nhân tử chung (x – y) (y – x)? Cách 1: Nếu đổi dấu tích 10x(x – y)= -10x(y - xy) nhân tử chung đa thức (y –x) Cách 2: Nếu đổi dấu tích -8y(y –x)= 8y(x – y) nhân tử chung đa thức (x – y) Giải: Cách 1: 10x(x – y) – 8y(y – x) = -10x(y –x) – 8y(y –x) = (y –x)(-10x – 8y) Cách 2: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x –y) + 8y(x-y) = (x – y ) (10x + 8y) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử * Phương pháp dùng đẳng thức : Phương pháp: Biến đổi đa thức dạng vế đẳng thức quen thuộc Nhưng trước làm tập giáo viên nên cho học sinh viết lại đẳng thức viết lại dạng điền khuyết: A2 + + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = A2 – B2 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = A3 + B3 = A3 – B3 = ………… Giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ năng: - Xác định hạng tử dạng đẳng thức - Sử dụng công thức đẳng thức tương ứng để biến đổi đa thức thành dạng tích Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 + 6x + Hoạt động giáo viên Hoạt động hs - Đa thức có nhân tử chung không? - Không -Đa thức có dạng đẳng thức - Có dạng A2 + 2AB + B2 = (A + B )2 không? - GV hướng dẫn viết : x2 + 6x + = x2 + 2.x.3 + 32 để em thấy rõ có dạng A2 + 2AB + B2 - Yêu cầu hs làm bài: Giải: x2 + 6x + = x2 – 2.x.3 + 32 = (x + 3)2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Hoạt động giáo viên - Đa thức có nhân tử chung không? 8x3 - Hoạt động hs - Không -Đa thức có dạng đẳng thức - Có dạng: không? A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) - Chỉ rõ đâu A đâu B - Hãy viết :8x - dạng A3 – B3 - Yêu cầu hs làm bài: - Ta có : A=2x , B= 1 8x - = (2x)3 – ÷ 2 Giải: 1 8x - = (2x)3 – ÷ 2 3 1 = (2x) – ÷ 2 1 = (2x - )( 4x + x + ) * Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp: Nếu hạng tử đa thức nhân tử chung dạng đẳng thức ta dùng tới phương pháp nhóm cách: - Sử dụng tính chất giao hoán , kết hợp phép cộng ta nhóm hạng tử đa thức cần phân tích cách hợp lý cho nhóm xuất nhân tử chung đẳng thức - Phân tích nhóm hạng tử thành nhân tử - Đặt nhân tử chung đa thức thu Nhóm hạng tử nhằm xuất nhân tử chung: Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 – xy +x –y thành nhân tử Hoạt động giáo viên Hoạt động hs - Đa thức có nhân tử chung không? - Không -Đa thức có dạng đẳng thức - Không không? - GV hướng dẫn nhóm : -Nhân tử chung (x – y) : (x – xy )+(x –y) có nhân tử chung (x2 – xy )=x (x – y ) không ? - Yêu cầu hs làm bài: Giải: x2 – xy +x –y = (x2 – xy )+(x –y) = x (x – y ) + (x –y) = (x – y) ( x + 1) Nhóm nhằm xuất đẳng thức: Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 + 6x + – y2 thành nhân tử Hoạt động giáo viên Hoạt động hs - Đa thức có nhân tử chung không? - Không -Đa thức x2 + 6x + có dạng đẳng - Có dạng : A2+2AB+B2=(A+B)2 thức không? - GV hướng dẫn nhóm : Vậy : 2 2 x + 6x + – y = (x + 6x + 9) – y x2 + 6x + – y2 = (x2 + 6x + 9) – y2 -Biểu thức (x+3)2– y2 có dạng = (x+3)2– y2 đẳng thức nào? - có dạng :A2 - B2 =(A – B)(A + B) - Chỉ rõ đâu A đâu B - Với A = x+3, B =y ta có : x2 + 6x + – y2 = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x+3)2– y2 = (x+3 – y)(x+3 +y) Lưu ý: - Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm trình phân tích thành nhân tử không thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại - Có đa thức ta có nhiều cách nhóm mà phân tích Ví dụ : Phân tích đa thức 2xy + 3z + 6y +xz thành nhân tử Giáo viên cho em lên nhóm theo cách khác em khác lớp thấy có có nhiều cách nhóm khác chúng đưa kết Giải: HS1 : HS2 : 2xy + 3z + 6y +xz 2xy + 3z + 6y +xz = (2xy + 6y) + (3z + xz) = (2xy + xz) + (3z + 6y) = 2y(x + ) + z (3 + x ) = x(2y + z ) + (z + 2y ) = (x + ) (2y + z ) = (x + ) (2y + z ) * Phối hợp nhiều phương pháp : Phương pháp: - Nếu hạng tử đa thức có nhân tử chung nên đặt nhân tử chung dấu ngoặc,sau phân tích tiếp đa thức ngoặc phương pháp nhóm nhiều hạng tử hay dùng đẳng thức - Trường hợp hạng tử đa thức nhân tử chung xét xem đa thức có dạng đẳng thức không ?nếu có ta thực phân tích tiếp dạng đẳng thức ta suy nghĩ tới phương pháp nhóm Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 + 2x2y + xy2 - 9x Hoạt động giáo viên Hoạt động hs - Đa thức có nhân tử chung - Nhân tử chung x không? x3 + 2x2y + xy2 - 9x = x(x2 + 2xy + y2 - 9) Đa thức ngoặc ta phân - Nhóm hạng tử xuất đẳng thức tích hay không ? dạng : A2+2AB+B2=(A+B)2 dạng A2 – B2 = ( A- B )(A+B) Vậy : x3 + 2x2y + xy2 - 9x = x(x2 + 2xy + y2 - 9) = x[(x2 + 2xy + y2) – 9] = x[(x+y)2 – 32] = x(x+y – 3)(x+y + 3) Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2xy – x2 – y2 + 16 Hoạt động giáo viên Hoạt động hs - Đa thức có nhân tử chung không? - Không - Nhóm đa thức ? Gợi ý : sử dụng tính chất giao hoán 2xy – x2 – y2 + 16=16 –( x2 – 2xy + y2) kết hợp phép cộng - Trong ngoặc có phân tích - Trong ngoặc có dạng đẳng thức không ? A - 2AB+B2=(A - B)2 2xy – x2 – y2 + 16=16 –( x2 – 2xy + y2) = 42 - ( x – y)2 - Biểu thức 42 - ( x – y)2 có dạng - Có dạng A2 – B2 = (A – B) ( A + B) đẳng thức Chỉ rõ đâu A đâu B - Với A = B = (x – y ) - Yêu cầu hs giải tiếp Giải : 2xy – x2 – y2 + 16=16 –( x2 – 2xy + y2) = 42 - ( x – y)2 = (4 - x + y) (4 + x - y) 2.1.2 Củng cố phương pháp : Để học sinh nắm vững phương pháp phân tích cách tổng quát giáo viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm (4 học sinh) tóm tắt lại phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử dạng sơ đồ tư cho học sinh trình bày lại.Sau ví dụ minh họa cách tóm tắt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.1.3 Một số dạng toán : Ngoài việc vận dụng phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử phải vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo vào dạng toán như: - Dạng tính nhanh giá trị biểu thức: +Ở dạng giáo viên cần hướng dẫn em không nên thay x vào tính giá trị liền rối mà nên phân tích đa thức thành nhân tử trước + Sau thay x vào để tính giá trị phép tính gọn gàng Ví dụ : Tính nhanh giá trị biểu thức P = x2- y – 2y – x = 93 y = Gợi ý: Phân tích đa thức P = x2- y – 2y – thành nhân tử thay số vào tính Giải: P = x2- y – 2y – = x2 –( y2 + 2y + 1) = x2– (y + 1)2= (x– y + 1)(x + y + 1) Thay x = 93 y = vào biểu thức P ta được: P = (93- + 1) (93+ + 1) = 88.100 = 8800 - Dạng toán tìm x (dạng phương trình đưa dạng phương trình tích): + Đưa hạng tử sang vế trái(hoặc phải) cho vế lại + Phân tích vế trái (Phải) thành nhân tử + Khi biểu thức có dạng pt tích : A B = + Đi giải A= B= để tìm x Ví dụ : Tìm x biết: x3 − x = Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử 1 1 1 x − x = ⇔ x( x − ) = ⇔ x x − ÷ x + ÷ = 4 2 1 ⇔ x = x − ÷ = 2 ⇔ x = x = 1 x + ÷= 2 1 x = − 2 - Dạng toán rút gọn phân thức đại số : + Phân tích tử mẫu thành nhân tử(nếu có) để có nhân tử chung + Chia tử mẫu cho nhân tử chung x + 14 x + Ví dụ : Rút gọn phân thức 3x + 3x Gợi ý: Phân tích tử mẫu thành nhân tử Giải: x + 14 x + 7( x + x + 1) 7( x + 1) 7( x + 1) = = = 3x + 3x x( x + 1) x( x + 1) 3x - Bên cạnh đó, học sinh khá, giỏi giáo viên cần giúp em tìm tòi cách giải hay, khai thác toán cách triệt để giới thiệu cho học sinh số phương pháp khác: 2.2 Một số phương pháp dành cho hs – giỏi : * Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác : Tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết học sinh giải toán Ví dụ : (Bài tập 53a sgk/24) Phân tích đa thức x2 – 3x + thành nhân tử Giải: Cách : (tách hạng tử : –3x = –x–2x) x2 – 3x + = x2 – x – 2x + = x(x – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)(x – 2) Cách : (tách hạng tử : = - + ) x2 – 3x + = x2 – 3x – + = (x2 – ) – (3x – 6) = (x- ) (x + 2) – (x – ) = (x – ) (x+ – 3) = = (x – ) (x- 1) * Phương pháp thêm bớt hạng tử: Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Ta phân tích: Cách 1: Thêm x2 bớt x2 : (làm Cách 2: Thêm x bớt x:(làm xuất xuất đẳng thức) đẳng thức nhân tử chung) Giải: Giải: x4 + x2 + = x4 + x2 + x2 +1 – x2 x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = x4 + 2x2 +1 – x2 = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = x(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + 1)2 – x2 = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Gợi ý: Thêm 4x2 bớt 4x2 : (làm xuất đẳng thức) Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2 + – 2x)(x2 + + 2x) * Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách nhẩm nghiệm Phương pháp dùng để hỗ trợ em làm tập trắc nghiệm nhanh em giải toán qua mạng Khi học phần phân tích đa thức thành nhân tử em chưa học phương trình em giỏi giáo viên trình bày phương pháp cách cho em sử dụng máy tính làm thao tác giải pt bậc 2;bậc ẩn để tìm nghiệm (các loại máy tính cầm tay thông dụng (fx500A, fx500MS, fx570MS, fx500ES, fx570ES)) * Phương trình bậc hai bậc có dạng: ax2 + bx + c = ; Giải phương trình dạng máy tính FX 570MS PLUS hệ Ta ấn vào mode mà hình máy các dòng :COMP :CMPLX :STAT :BASE-N :EQN :MATRIX :TABLE :VECTOR Ta ấn chọn để giải phương trình bậc chọn Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 - 3x + Ấn MODE 1lần hình thị chọn chọn 3 để giải pt bậc Ấn tiếp hệ số = ; hệ số -3 = ; hệ số = Ta x1 = 2, ấn tiếp = , ta x2 =1 Khi đa thức x2 - 3x + 2sẽ phân tích đươc : x2 - 3x + 2= (x- 2)(x – 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3 + x2 – x – Cách làm tương tự Ta x1 = 1, ấn tiếp = , ta x2 =1 ấn tiếp = , ta x3 = -1 Khi đa thức x3 + x2 – x – phân tích đươc : x3 + x2 – x – = (x- 1)(x – 1)(x+1) =(x- 1)2(x+1) 2.3 Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán: Trong tính toán, học sinh chưa nắm rõ phương pháp phân tích nên học sinh thường nhầm lẫn Từ đó, dẫn đến kết tính toán sai mà học sinh không phát * Sai lầm 1: Sử dụng sai tính chất phân phối: Ví dụ : Khi phân tích đa thức 3(x - y) + 5x(x - y)thành nhân tử học sinh làm sau: 3(x - y) + 5x(y - x) = 3(x -y)+5x(x -y) =(x -y)+ (3+5x) Sai lầm học sinh chưa biết phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức cho thành tích đa thức Khi đặt nhân tử chung xong em dùng phép tính nên đặt đại dấu “+” dấu “–” Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh đặt nhân tử chung phép tính phép nhân Lời giải đúng: 3(x - y) + 5x(y - x) = 3(x -y)+5x(x -y) =(x -y)(3+5x) * Sai lầm 2: Bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung Ví dụ : Phân tích đa thức x + 10 x y + xy thành nhân tử x + 10 x y + xy = x(2 xy + y ) (kết dấu sai bỏ sót số 1) Lời giải sai: Sai lầm học sinh là: Sau đặt nhân tử chung hạng tử thứ có 5x nên đặt nhân tử chung 5x hạng tử Giáo viên nên hướng dẫn học sinh trường hợp nên phân tích 5x = 1.5 x đặt nhân tử chung 5x học sinh nhìn thấy số lại Lời giải đúng: x + 10 x y + xy = 1.5 x + 10 x y + xy = x(1 + xy + y ) * Sai lầm 3: Thực thiếu dấu ngoặc trình phân tích: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 8x3 - Lời giải sai: 1 8x = 2x – 3 1 (thiếu dấu ngoặc (2x) ÷ ) 2 2 1 1 = (2x - )( 2x + x + ) (thiếu dấu ngoặc(2x)2 ÷ ) 2 2 1 = (2x - )( 2x2 + x + ) ( kết sai) 2 Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc dẫn đến kết sai Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức ? (HS: có dạng A3 – B3) Chỉ rõ đâu A đâu B.Giáo viên nhấn mạnh cho hs A,B đa thức cần phải phải dùng dấu ngoặc để ngoặc đa thức lại tránh sai dấu Lời giải đúng: 1 1 1 8x = (2x)3 – ÷ = (2x - )[( 2x)2 + x + ÷ ] 2 2 1 = (2x - )( 4x2 + x + ) Ở trường hợp này, giáo viên nên rèn cho học sinh cách trình bày từ học đẳng thức Nếu A B có từ hai nhân tử từ hai hạng tử trở lên phân số dùng đẳng thức nên bỏ vào dấu ngoặc * Sai lầm 4: Phân tích chưa triệt để : Ví dụ : (?2 sgk, trang 22, toán 8, tập 1) Khi thảo luận nhóm, bạn đề bài: Hãy phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Bạn Thái làm sau: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) Bạn Hà làm sau: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – 9)= (x – 9)(x3 + x) Bạn An làm sau: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 + x2)– (9x3 + 9x) = x2 (x2 + 1)– 9x (x2 + 1) = (x2 + 1)(x2– 9x) = x(x– 9) (x2 + 1) Hãy nêu ý kiến em lời giải bạn Giáo viên cho học sinh nêu ý kiến Sau giáo viên chốt lại nêu sai lầm mà Thái Hà mắc phải phân tích chưa triệt để bạn An phân tích triệt để Ví dụ: Bạn Thái Lời giải chưa triệt để x – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) Lời giải hoàn chỉnh x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x– 9)]= x(x – 9)(x2 + 1) Bạn Hà Lời giải chưa triệt để x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)= x3(x – 9) + x(x – ) = (x – 9)(x3 + x ) Lời giải hoàn chỉnh x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)= x3(x – 9) + x(x – ) = (x – 9)(x3 + x ) = (x – 9).x.(x2 + 1) Ở trường hợp giáo viên cần rèn cho học sinh cách đặt nhân tử chung cách triệt để Nên tìm hết nhân tử chung hạng tử dừng lại công việc phân tích không phân tích * Sai lầm 5: Không biết cách đổi dấu : Ví dụ: Phân tích đa thức x(x – 1) – y(1 – x) thành nhân tử Lời giải sai: x(x – 1) – y(1 – x) = (x – 1) (x – y) Sai lầm học sinh là: Các em cho (x – ) = (1 – x) Lời giải đúng: x(x – 1) – y(1 – x) = x(x – 1) + y(x – 1)= (x – 1) (x + y) Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: - Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) - Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích Lưu ý: (A – B)2 = (B – A)2 (A- B) ≠ (B-A) ý tới tính chất A = -(-A) * Sai lầm 6: Đổi dấu sai đặt ngoặc để nhóm hạng tử : Ví dụ : Phân tích đa thức 3x2y – 27y – 5x y+ 15y2 thành nhân tử Lời giải sai: 3x2y – 27y – 5x + 15 = (3x2 y– 27y) – (5x+ 15) (đặt dấu sai) = 3x(x2 – 9) – 5(x + 3) = 3x(x – 3)(x+3) – 5(x + 3) = (x+3)[3x (x-3)-5]= (x+3)[3x2 -9x -5)] Sai lầm học sinh là: Khi đặt ngoặc nhóm hạng tử đẳng trước ngoặc dấu trừ mà không đổi dấu Lời giải đúng: 3x2y – 27y – 5x + 15 = (3x2 y– 27y) – (5x - 15) = 3x(x2 – 9) – 5(x - 3) = 3x(x – 3)(x+3) – 5(x - 3) = (x- 3)[3x (x+3)-5]= (x+ 3)[3x2 + 9x -5)] Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm Cách nhóm hạng tử đặt dấu: - Nếu nhóm hạng tử đặt dấu “+” trước dấu ngoặc giữ nguyên dấu tất hạng tử mang vào - Nếu nhóm hạng tử đặt dấu “–” trước dấu ngoặc phải đổi dấu tất hạng tử mang vào * Sai lầm 7: Vận dụng đẳng thức chưa thành thạo Ví dụ : Phân tích đa thức x2 – 10xy + 25y2 thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 10xy + 25y2 = (x- 25y)2 Sai lầm học sinh là: dùng đẳng thức A2 – 2AB + B2 chưa thấy rõ đâu B đâu B2 ( B2 = 25y2 = (5y)2 B = 5y) Lời giải đúng: x2 – 10xy + 25y2 = x2 – x 5y + (5y)2= (x- 5y)2 Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Khi vận dụng đẳng thức A2 – B2 , A3 – B3 , A3 – B3… cần phân tích đưa hạng tử dạng Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải khó khăn trình giải toán phân tích đa thức thành nhân tử III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : Qua thực tế giảng dạy,Việc rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử kết nhận là: - Học sinh từ chỗ “sợ” bắt đầu tập từ đâu trở nên biết cách giải toán qua bước cụ thể, có hệ thống - Phương pháp giúp học sinh nhận vấn đề rõ ràng Biết tìm hướng giải cho toán cụ thể góp phần nâng cao chất lượng học toán nói chung môn Đại số nói riêng - Giúp em giải toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua đó, tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em - Số liệu thống kê trước sau thực đề tài : IV.ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG: Qua thực tế giảng dạy, Khi rèn kĩ dể giải toán Phân tích đa thức thành nhân tử, nhận thấy có số ưu điểm bật sau: - Phân tích đa thức thành nhân tử thành thạo giúp học sinh có “chìa khoá” để “mở” hầu hết toán phân môn đại số - Xây dựng phương pháp khoa học, logic, không sót yếu tố liên quan - Phương pháp tìm tòi lời giải cho toán sử dụng rộng rãi với nhiều loại toán khác Khi thành thạo Phân tích đa thức thành nhân tử nhiều không cần phải ghi rõ bước trung gian mà tư đầu, tiến hành việc trình bày lời giải để tiết kiệm tối đa thời gian cần thiết - Qua rèn kĩ để phân tích toán toán giúp học sinh rèn kĩ phân tích, tổng hợp, tư logic kĩ trình bày giải Để giải toán Phân tích đa thức thành nhân tử cách hiệu cần lưu ý số điều sau: *Đối với giáo viên: -Nghiên cứu kĩ tài liệu, chuẩn bị trước tập về: Kiến thức có liên quan, phương pháp giải, hệ thống câu hỏi, cách giải khác …… -Có thể phân loại đối tượng HS để có phương pháp hướng dẫn hệ thống câu hỏi phù hợp -Trong trình giảng dạy, cần tạo cho HS yêu thích, động để tìm cách giải toán -Phát huy tính tích cực, động, sáng tạo HS *Đối với HS: -Nắm kiến thức bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức … có liên quan đến toán -Đồ dùng học tập đầy đủ, ghi chép cẩn thận, ý học -Có thể tham khảo thêm dạng tài liệu có liên quan Khi viết đề tài, cố gắng nghiên cứu thực trạng môn Đại số học sinh trường THCS Vĩnh Tân Song không tránh khỏi thiếu sót kinh nghiệm lực hạn chế Rất mong quý thầy cô đóng góp để đề tài hoàn thiện V TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán Tập I, II - Phan Đức Chính (Chủ biên) – NXB Giáo dục – năm 2004 Sách giáo viên Toán Tập I, II - Phan Đức Chính– NXB Giáo dục – năm 2004 Vở Bài tập Toán Tập I, II-Nguyễn Văn Trang – NXB Giáo dục–năm 2004 Sách Thiết kế giảng Toán - tập I, II - Nguyễn Hữu Thảo - NXB Hà Nội – năm 2004 Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS môn Toán - Bộ Giáo dục Đào tạo – năm 2004 Tài liệu tập huấn “Dạy học, kiểm tra đánh giá theo chuẩn kiến thức, kĩ chương trình giáo dục phổ thông môn Toán cấp THCS – năm 2010” Bộ Giáo dục đào tạo Sách thiết kế đồ tư dạy – học môn Toán – Trần Đình Châu – Đặng Thị Thu Thủy – NXB Giáo Dục Việt Nam Toán nâng cao tự luận trắc nghiệm đại số - Nguyễn Văn Lộc – NXB Giáo dục Việt Nam Toán nâng cao – Vũ Thế Hữu - NXB Giáo dục Việt Nam 10 SỞ DG&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Tân Độc lập – Tự – Hạnh phúc Vĩnh Tân, ngày tháng năm 2015 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015 – 2016 Tên sáng kiến kinh nghiệm: RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thương , Đơn vị (Tổ): Toán - Tin Lĩnh vực: Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học môn : Toán Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác Tính - Có giải pháp hoàn toàn - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có Hiệu - Hoàn toàn triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu Khả áp dụng - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt Khá Đạt - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào thực tiễn: Tốt Khá Đạt - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Kí tên ghi rõ họ tên) Phòng GD & ĐT Vĩnh Cửu Trường THCS Vĩnh Tân Tổ Toán - Tin THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Kí tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập – tự – Hạnh phúc PHIẾU ĐÁNH GIÁ CHUYÊN ĐỀ / SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Họ tên giáo viên: Nguyễn Thị Thương Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Tân Tên đề tài: RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐÁNH GIÁ Các mặt Yêu cầu Điểm Có thể áp dụng cho nhiều bài, nhiều chương, Phạm vi đề tài chương trình (Tối đa 1.5 điểm) Trình bày đẹp, bố cục hợp lý, diễn đạt mạch Hình thức lạc (Tối đa 1.5 điểm) Nội dung Có tính khoa học, xác (tối đa điểm) Tính sáng tạo ( Tối đa điểm) Có thực tiễn, hiệu dụng cao (Tối đa điểm) Tổng điểm:…… /10 Xếp loại:……… Giám khảo (Chữ ký, họ tên) Giám khảo (Chữ ký, họ tên) Giám khảo (Chữ ký, họ tên) ……………………… ………………………… ……………………… [...]... - y) + 5x(x - y )thành nhân tử học sinh làm như sau: 3(x - y) + 5x(y - x) = 3(x -y)+5x(x -y) =(x -y)+ (3+5x) Sai lầm của học sinh ở đây là chưa biết phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đã cho thành tích của những đa thức Khi đặt nhân tử chung xong các em không biết dùng phép tính gì nên đặt đại dấu “+” hoặc dấu “–” Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi đặt nhân tử chung thì phép... bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử, tôi nhận thấy có một số ưu điểm nổi bật sau: - Phân tích đa thức thành nhân tử thành thạo giúp học sinh có “chìa khoá” để “mở” hầu hết các bài toán trong phân môn đại số - Xây dựng phương pháp khoa học, logic, không sót các yếu tố liên quan - Phương pháp tìm tòi lời giải cho bài toán có thể được sử dụng rộng rãi với nhiều loại bài toán khác nhau Khi đã thành. .. Độc lập – Tự do – Hạnh phúc Vĩnh Tân, ngày tháng năm 2015 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015 – 2016 Tên sáng kiến kinh nghiệm: RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thương , Đơn vị (Tổ): Toán - Tin Lĩnh vực: Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn : Toán Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác 1 Tính mới - Có giải pháp hoàn toàn mới... Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) - Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích Lưu ý: (A – B)2 = (B – A)2 còn (A- B) ≠ (B-A) và chú ý tới tính chất A = -(-A) * Sai lầm 6: Đổi dấu sai khi đặt ngoặc để nhóm hạng tử : Ví dụ : Phân tích đa thức 3x2y – 27y – 5x y+ 15y2 thành nhân tử Lời... đa thức x4 + 4 thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Gợi ý: Thêm 4x2 và bớt 4x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức) Giải: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2 + 2 – 2x)(x2 + 2 + 2x) * Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhẩm nghiệm Phương pháp này dùng để hỗ trợ các em khi làm bài tập trắc nghiệm nhanh và khi các em giải các bài toán qua mạng Khi học phần phân tích đa. .. phép nhân Lời giải đúng: 3(x - y) + 5x(y - x) = 3(x -y)+5x(x -y) =(x -y)(3+5x) * Sai lầm 2: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung Ví dụ : Phân tích đa thức 5 x + 10 x 2 y + 5 xy 2 thành nhân tử 5 x + 10 x 2 y + 5 xy 2 = 5 x(2 xy + y 2 ) (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1) Lời giải sai: Sai lầm của học sinh là: Sau khi đặt nhân tử chung hạng tử thứ 1 chỉ có 5x nên khi đặt nhân tử chung là 5x thì hạng tử. .. tích đa thức thành nhân tử thì nhiều khi không cần phải ghi rõ các bước trung gian mà có thể tư duy trong đầu, rồi tiến hành ngay việc trình bày lời giải để tiết kiệm tối đa thời gian cần thiết - Qua rèn kĩ năng để phân tích một bài toán một bài toán sẽ giúp học sinh rèn kĩ năng phân tích, tổng hợp, tư duy logic và kĩ năng trình bày bài giải Để giải được bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử một... cho học sinh: Khi vận dụng các hằng đẳng thức A2 – B2 , A3 – B3 , A3 – B3… cần phân tích đưa các hạng tử về đúng dạng Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những khó khăn trong quá trình giải bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : Qua thực tế giảng dạy,Việc rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì kết quả nhận được là: - Học sinh từ... :TABLE 8 :VECTOR Ta ấn 5 rồi chọn 4 để giải phương trình bậc 3 và chọn Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 - 3x + 2 Ấn MODE 1lần màn hình hiện thị chọn 5 chọn 3 3 để giải pt bậc 2 Ấn tiếp hệ số 1 = ; hệ số -3 = ; hệ số 2 = Ta được x1 = 2, ấn tiếp = , ta được x2 =1 Khi đó đa thức x2 - 3x + 2sẽ phân tích đươc là : x2 - 3x + 2= (x- 2)(x – 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3... nhóm các hạng tử và đặt dấu “+” ở trước dấu ngoặc thì giữ nguyên dấu tất cả các hạng tử mang vào - Nếu nhóm các hạng tử và đặt dấu “–” ở trước dấu ngoặc thì phải đổi dấu tất cả các hạng tử mang vào * Sai lầm 7: Vận dụng hằng đẳng thức chưa thành thạo Ví dụ : Phân tích đa thức x2 – 10xy + 25y2 thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 10xy + 25y2 = (x- 25y)2 Sai lầm của học sinh là: dùng hằng đẳng thức A2 – 2AB