PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KỲ THI HỌC SINH GIỎI THCS GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2016 – 2017 Ngày thi: 28/10/2016 ĐÁPÁNĐỀ CHÍNH THỨC (Đáp án có: 06 trang) Chú ý: Những kết chữ số phần thập phân làm tròn đến chữ số phần thập phân Với có yêu cầu trình bày lời giải phần trình bày lời giải 1,5 điểm, phần kết 0,5 điểm Nếu kết sai chữ số cuối thiếu chữ số cuối thừa chữ số cuối phần thập phân trường hợp trừ 1/4 số điểm Nếu kết sai hai chữ số cuối thiếu chữ số cuối thừa chữ số cuối phần thập phân trường hợp trừ 1/2 số điểm Nếu sai dấu “=” “≈” kết có đơn vị mà thiếu đơn vị trừ 1/4 số điểm Nếu giải học sinh giải cách khác nguyên điểm Điểm toàn làm tròn đến 0,25 điểm Đề Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: Kết x+2 x +3 x + 2 x A= − − ÷: − ÷ với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ a) A = x + x −3 x + 1 x−4 x−5 x +6 2− x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = 17 + 12 + 17 − 12 2 Điểm 1,5 b) A ≈ -1,20711 0,5 a) B ≈ 0,27682 b) C ≈ 0,22089 1,0 Bài 2: (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: − 3 sin 90 + cot 30 + cos 45 tan 60 + sin 30 cos 60 sin 40 cos 20 0 b) C = cot 55 + tan 108 a) B = Bài 3: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = 12cm, Bˆ = 460 , Cˆ = 300 AB ≈ 6,18368 cm AC ≈ 8,89634 cm Tính độ dài cạnh lại tam giác a1 = 2; a2 = 4; Bài 4: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; thỏa mãn: a3 = 6; a4 = 8; 55969 = a1 + 24984 a5 = 10; a6 = 12 a + 1,0 1,0 1,0 2,0 a3 + Bài 5: (2,0 điểm) Cho bốn số nguyên, cộng số ta Số nhỏ 28 số 2188, 2189, 4061, 4177 Số lớn 2017 Tìm số lớn số nhỏ bốn số Bài 6: (2,0 điểm) Tại siêu thị, tivi có giá gốc 10900000 đồng Nhân dịp ngày lễ, siêu thị giảm giá hai lần, lần thứ a = giảm 1a % so với giá gốc, lần thứ hai giảm 2b % so với giá b = giảm lần thứ Do đó, giá tivi lúc 6867000 đồng Tìm a, b 1,0 1,0 1,0 1,0 Nội dung Bài 7: (2,0 điểm) Viết số phương liên tiếp 2, 22, 32, …, 20162 liền ta số D = 1491625…4064256 a) Tìm số chữ số D b) Tìm số dư phép chia D cho Tóm tắt cách giải: 2 a) Từ đến có số phương có chữ số Từ 42 đến 92 có số phương có chữ số Từ 102 đến 312 có 22 số phương có chữ số Từ 322 đến 992 có 68 số phương có chữ số Từ 1002 đến 3162 có 217 số phương có chữ số Từ 3172 đến 9992 có 683 số phương có chữ số Từ 10002 đến 20162 có 1017 số phương có chữ số Vậy D có 3.1 + 6.2 + 22.3 + 68.4 + 217.5 + 683.6 + 1017.7 chữ số Kết quả: D có 12655 chữ số Điểm 1,0 b) Số dư phép chia D cho số dư phép chia tổng chữ số D cho 9, số dư phép chia tổng S = 12 + 22 + 32 + + 20162 cho Nhóm S thành 224 nhóm, nhóm có số hạng S = (12 + 22 + 32 + + 92) + (102 + 112 + 122 + 182) + + (20082 + 20092 + 20102 + 0,5 + 20162) Số dư phép chia nhóm cho Vậy số dư phép chia S cho số dư phép chia 224.6 cho 0,5 Kết quả: Số dư phép chia D cho Bài 8: (2,0 điểm) Tìm chữ số a, b, c để 11a8b1987c chia hết cho 504 Tóm tắt cách giải: Ta có: 504 = = 8.9.7 Để 11a8b1987c chia hết cho ba số tận phải chia hết cho Vì 87c = 800 + 7c 0,5 nên để 11a8b1987c chia hết cho c = Số cần tìm có dạng 11a8b19872 Muốn 11a8b19872 chia hết cho tổng chữ số phải chia hết cho 9, nghĩa là: + + a + + b + + + + + = 36 + (a + b + 1) chia hết cho Muốn a + b + chia hết cho Vậy a + b + = a + b + = 18 Do a + b = a + b = 17 0,75 Ta lập bảng xét tất trường hợp xảy ra: Số dư phép chia a b Kết luận 11a8b19872 11a8b19872 cho 504 1108819872 216 Không thỏa mãn 1118719872 144 Không thỏa mãn 0,75 1128619872 72 Không thỏa mãn 1138519872 Thỏa mãn 1188019872 144 Không thỏa mãn 1188919872 Thỏa mãn 1198819872 432 Không thỏa mãn Kết quả: ( a, b, c ) ∈ { ( 3,5,2 ) ; ( 8,9,2 )} Bài 9: (2,0 điểm) Cho hai đa thức: P( x ) = x − x − 12 x + ax + Q( x ) = x + bx − a) Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) b) Với a tìm được, giải phương trình P( x) = Tóm tắt cách giải: a) Ta có: P( x ) = Q( x ).( x − ( + 6b ) x + 7b + 6b ) + ( a − 6b − 7b − 12b − 14) x + 12b + 14b + P( x ) Q( x ) ⇔ ( a − 6b − 7b − 12b − 14 ) x + 12b + 14b + = với ∀x a − 6b − 7b − 12b − 14 = ⇔ 12b + 14b + = (1) ( 2) Giải phương trình (2) ta hai nghiệm b = −1 b = − Thay b = −1 vào (1) ta a = 0,75 73 vào (1) ta a = 6 73 a= a = Kết quả: ; b = −1 b = − Thay b = − 0,25 b) Với a = ta có P(x) = 6x4 – 7x3 – 12x2 + 3x + Giải phương trình: 6x4 – 7x3 – 12x2 + 3x + = ta được: x1 = 2; x2 = −1; x3 = 0,5; x4 ≈ −0,33333 0,5 73 73 Với a = ta có P(x) = 6x4 – 7x3 – 12x2 + x + 6 73 Giải phương trình: 6x4 – 7x3 – 12x2 + x + = ta được: 0,5 x1 ≈ 1,14550; x2 ≈ −1,33333; x3 ≈ −0,14550; x4 = 1,5 Bài 10: (2,0 điểm) Cho dãy số: U n = (1 + ) + (1 − ) + , với n số tự nhiên khác a) Tính số hạng dãy b) Tìm công thức tổng quát tính Un+1 theo Un Un-1, với n ≥ Tóm tắt cách giải: n n a) Nhập hàm (1 + ) + (1 − ) + vào máy sử dụng lệnh CALC với x 1, 2, 3, 4, ta số hạng dãy Kết quả: U = 3;U = 7;U = 15;U = 35;U = 83 b) Giả sử có Un+1 = a.Un + b.Un-1 + c n n 1,0 7 a + 3b + c = 15 Theo câu a, ta có: 15a + 7b + c = 35 35a + 15b + c = 83 Giải hệ phương trình ta a = 2, b = 1, c = –2 Vậy công thức tổng quát: Un+1 = 2Un + Un-1 – 1,0 Bài 11: (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: (2 x − y − 2) = 7( x − y − y − 1) 2 Tóm tắt cách giải: Kí hiệu: ( x − y − ) = ( x − y − y − 1) (1) (1) ⇔ ( x − y − ) = 14( x − y − y − 1) ⇔ ( x − y − ) − ( x − y − ) + ( y + y ) = (2) Đặt t = x − y − (ĐK t ∈ Z ) phương trình (2) trở thành: 2t − 7t + ( y + y ) = (3) Nếu y = −1 , thay vào phương trình (1) ta được: 0,5 11 + 105 x = (không thoả mãn x ∉ Z ) ( x − 1) = x ⇔ x − 11x + = ⇔ 11 − 105 x = Nếu y ≤ −2 y ≥ y + y = y ( y + 3) ≥ Từ phương trình (3) suy 2t − 7t ≤ ⇔ t ( 2t − ) ≤ Suy ≤ t ≤ (do t ∈ Z ) Mặt khác, theo phương trình (3) t phải chia hết t =0 Suy y ( y + 3) = ⇒ y = x = Thử lại, ta thấy thoả mãn phương trình (1) y = x = Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên là: y = 0,5 0,5 0,5 x − y = x + y Bài 12: (2,0 điểm) Tìm số hữu tỷ x, y thỏa mãn: 6 x − 19 xy + 15 y = Tóm tắt cách giải: − y = y • Nếu x = thay vào hệ ta được: (hệ vô nghiệm) 15 y = x − 2t x = x + 4tx x − 2t = + 4t y = tx ⇔ • Nếu x ≠ , đặt hệ trở thành: (*) 6 x − 19tx + 15t x = x 15t − 19t + = 1 + 4t = ⇔ 62t − 61t + 5t + = (**) Suy − 2t ≠ 0; 15t − 19t + ≠ − 2t 15t − 19t + 15 + 13 15 − 13 Giải phương trình (**) ta được: t1 = (loại); t = (loại); t = 62 62 (thỏa mãn, x, y ∈ Q ⇒ t ∈ Q ) Thay t = vào (*) suy x = ⇒ x = ±2 ⇒ y = ±1 x = x = −2 Kết quả: ; y = y = −1 ( ( ) ) 0,5 0,75 0,25 0,5 Bài 13: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BAC = 1100, AB = 18,123cm, AC = 21,678cm a) Kẻ CH vuông góc với AB Tính CH diện tích tam giác ABC b) Kẻ phân giác AD tam giác ABC (D thuộc BC) Tính DB, DC Tóm tắt cách giải: · a) Ta có: CH = AC sin CAH = 21,5678 sin 700 ≈ 20,37066(cm) CH AB ≈ 184,58871 (cm2) Kết quả: CH ≈ 20,37066cm; S ABC ≈ 184,58871 cm2 S ABC = 0,5 0,5 b) Ta có: AH = AC cos 700 Suy ra: BH = AH + AB = AC cos 700 + AB Tam giác BHC vuông H, áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: BC = CH + BH ( ) BC = AC sin 70 + cos 70 + AB AC cos 70 + AB Tam giác ABC có đường phân giác AD, áp dụng tính chất đường phân giác tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: DB AB DB DC DB + DC BC = ⇒ = = = DC AC AB AC AB + AC AB + AC AB.BC ≈ 14,87450 (cm) Do đó: DB = AB + AC Suy ra: DC = BC − DB ≈ 17,79227 (cm) Kết quả: DB ≈ 14,87450 cm; DC ≈ 17,79227 cm 1,0 Bài 14: (2,0 điểm) Qua điểm nằm tam giác ABC kẻ đường thẳng song song với cạnh tam giác Các đường thẳng chia tam giác thành phần, có tam giác với diện tích S1 = 28,10216cm2, S2 = 31,12017cm2, S3 = 62,11954cm2 Tính diện tích tam giác ABC Tóm tắt cách giải: Ta có: S1 S ABC Tương tự: Từ Suy NP = hay BC S2 S ABC = S ABC 0,5 NP = BC S3 DF BN EF CP = ; = = BC BC S ABC BC BC S1 + S + S S ABC S1 = 0,5 NP + BN + CP =1 BC 0,5 S ABC = S1 + S + S Hay S ABC = ( S1 + S + S ) = ( 28,10216 + 31,12017 + 62,11954 ) ≈ 351,98591 (cm2) Kết quả: S ABC ≈ 351,98591 cm2 2 0,5 Bài 15: (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD, có AB = 12cm, AB vuông góc với mặt (BCD), BC = 7cm, CD = 9cm, CBD = 520 Tính thể tích diện tích toàn phần tứ diện ABCD Tóm tắt cách giải: Tam giác BCD, có: CD = BC + BD − BC.BD cos 52 Hay BD − (14 cos 52 ) BD + − = Suy ra: BD = cos 52 − 49 cos 52 + 32 (loại, BD < 0) BD = cos 52 + 49 cos 52 + 32 Diện tích tam giác BCD là: S BCD = BC.BD sin 52 Thể tích tứ diện ABCD là: S BCD AB ≈ 125,99923 (cm3) = BD AB ; 1,0 V = S ABC = BC AB ; S ABD Mặt khác, ta có: AC = BC + AB = 193 (cm); AD = BD + AB AC + CD + AD p ( p − AC )( p − CD )( p − AD ) Nữa chu vi tam giác ACD là: p = Diện tích tam giác ACD là: S ACD = Vậy diện tích toàn phần tứ diện ABCD là: S = S BCD + S ABC + S ABD + S ACD ≈ 204,54227 Kết quả: V ≈ 125,99923 cm3; S ≈ 204,54227 cm2 (cm2) 1,0