Nhằm nâng cao khả năng chứng minh các điểm thẳng hàng trong chuyên đề toán hình lớp 8, bồi dưỡng cho các học sinh giỏi và khá giỏi, bộ tài liệu gồm những kiến thức chứng minh cơ bản và các bài tập nâng cao ( có lời giải ) để giúp các bạn học tập tốt hơn.
Trang 1Chuyên đề
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
I.CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Phương pháp:
1)Chứng minh điểm M nằm trên đường thẳng AB (hay ba điểm M A B, , thẳng hàng)
Cách 1 M∈AB⇐Các tiaMA MB, đối nhau⇐GócAMBlà góc bẹt
(Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau)
Cách 2 M∈AB⇐Các tiaMA MB≡ ⇐∠xMA= ∠xMB
Cách 3 M∈AB⇐Các tiaMA MB, cùng song song với một đường thẳng cho trước (Tiên đề về đường thẳng song song)
Cách 4 M∈AB⇐AB đi qua M hoặc BM đi qua A hoặc AM đi qua B
Sử dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật
Cách 5 Phương pháp thêm điểm.
Cách 6 Sử dụng diện tích tam giác tạo bởi ba điểm bằng 0.
Lớp 7.
VD1.Cho ABC∆ với D E, lần lượt là trung điểm củaAC AB, Vẽ các điểmM N, sao cho
E là trung điểm của CM và D là trung điểm của BN
Chứng minh ba điểm M A N, , thẳng hàng
VD2 Bài 32(70).Cho ABC∆ Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnhB và C nằm trên tia phân giác của góc A
VD3.Bài 40(73) Cho ABC∆ cân tại A với G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác
và cách đều ba cạnh của tam giác đó Chứng minh ba điểm A G I, , thẳng hàng.
VD4.Bài 46(76) Cho ba tam giác cânABC DBC EBC, , có chung đáy BC
Chứng minh ba điểmA D E, , thẳng hàng
VD5 Bài 55-56(80).Cho ABC∆ vuông tạiA Các đường trung trực của các đoạnAB,
AC cắt AB , AC lần lượt tại I ,K GọiD là giao điểm của hai đường trung trực đó 1)Chứng minh ba điểmB D C, , thẳng hàng;
2)Sử dụng kết quả trên để chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác
Trang 2BÀI TẬP ÁP DỤNG
LỚP 7
1.Cho ABC∆ cân tạiA Tia phân giác của gócA cắt đường trung tuyến BD tại K Gọi I là trung điểm củaAB Chứng minh ba điểm I K C, , thẳng hàng.
2.Cho ABC∆ vuông tạiA Kẻ AH ⊥ BC Các tia phân giác của các gócHAC AHC, cắt nhau ở I Tia phân giác của gócHAB cắt BC ở D Chứng minh rằng, CI đi qua trung
điểm củaAD
3 Cho ABC∆ cân tạiA Các đường trung trực của các đoạnAB , AC cắt nhau tại O
Lấy điểmD AB E AC∈ , ∈ sao cho BD CE= Chứng minh rằng, đường trung trực của
DE đi qua O
4.Gọi H là trực tâm của ABC∆ nhọn có ∠ =A 600và M N, thứ tự là giao điểm của các đường trung trực của BH CH, với AB AC, Chứng minh ba điểm M N H, , thẳng hàng.
LỚP 8.
1 Cho ABC∆ với D E, lần lượt là trung điểm củaAB , BC Vẽ các điểm M N, sao cho C
là trung điểm củaEM , B là trung điểm của DN Gọi K là giao điểm của DM và AC
Chứng minh ba điểmN E K, , thẳng hàng
2 Cho ABC∆ với đường trung tuyếnAM Gọi I là trung điểm của BM, lấy điểm E sao cho Ilà trung điểm củaAE Gọi N là trung điểm của EC
Chứng minh đường thẳngAM đi qua điểm N
3 Trên cạnh BC của hình vuông ABCD lấy điểm M Qua A vẽ AN ⊥ AM ( N thuộc tia đối của tia DC ) Chứng minh ba điểm B I D, , thẳng hàng
4 Chứng minh rằng, chân của các đường vuông góc kẻ từ Avà các trung điểm của các cạnhAB AC, của ABC∆ là 6 điểm thẳng hàng
5 Chứng minh rằng, các hình chiếu của chân đường caoAA của ABC1 ∆ lên các cạnh ,
AB AC và lên hai đường cao BB CC là bốn điểm thẳng hàng.1, 1
6 Cho ABC∆ với các đường caoAD BE CF, , Gọi P Q H, , theo thứ tự là hình chiếu của
Etrên BC CF AB, , Chứng minh P Q H, , là ba điểm thẳng hàng.
7 Cho ABC∆ vuông tạiA với đường caoAD GọiE F, thứ tự là hình chiếu củaD trên ,
AB AC và I là trung điểm củaAD Chứng minh ba điểmE I F, , thẳng hàng
Thử năng lực
Trang 38.Cho ABC∆ nhọn vớiM là điểm nằm trong tam giác Kí hiệuHlà hình chiếu củaM trên cạnh BC và P Q E F, , , lần lượt là hình chiếu củaHtrên các đường thẳng
, , ,
MB MC AB AC Giả sử bốn điểm P Q E F, , , thẳng hàng.
1) Chứng minh rằngM là trực tâm của ABC∆
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp Chuyên ĐHKHTN vòng 2.2010.
9 Cho hình thangABCD AB CD Gọi O là giao điểm hai đường chéo và( / / ) O O lần 1, 2 lượt là giao điểm các đường trung trực của các tam giácOAB OCD,
Chứng minhO O O là ba điểm thẳng hàng., ,1 2
10 Cho tứ giác ABCD có∠ = ∠ =B D 900 KẻAH ⊥BD, lấyK∈BD sao choBH =DK
Vẽ hình bình hànhDABE Chứng minhE C K, , cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này vuông góc với BD
LỚP 9.
Bài 1 Trên đường tròn( )O , vẽ hai dây AB // CD AC , BDcắt nhau tạiM Hai tiếp tuyến của( )O tại A B, cắt nhau tại N Chứng minh ba điểm M O N, , thẳng hàng
Bài 2 Cho ABC∆ với trực tâmH nội tiếp đường tròn( )O đường kính AD GọiM là
trung điểm của BC Chứng minh ba điểm H M D, , thẳng hàng.
Bài 3 Cho nửa( )O đường kính AB với C là điểm chính giữa »AB và điểm
»
M∈BC Kẻ đường cao CH của ACM∆
1) Chứng minh HCM∆ vuông cân và OH là tia phân giác của góc COM
2) Gọi giao điểm của OH CB, làI Kẻ BD⊥OI Chứng minh ba điểm M I D, , thẳng hàng
Bài 4 Cho đường tròn( )O và dây AB với C là điểm chính giữa »AB Trên dây AB lấy điểm I sao choIA IB> CI cắt( )O tại D Tiếp tuyến với( )O tại DcắtABtại K, lấy điểm E sao choK là trung điểm của IE, ED cắt( )O tại F
Chứng minh ba điểm C O F, , thẳng hàng.
Bài 5 Cho nửa đường tròn( )O đường kính AB vớiC là điểm chính giữa »AB và điểm
K là trung điểm đoạn BC , AK cắt( )O tại M Kẻ CH ⊥AM , OH cắt BC tại N và MN
cắt( )O tại D Chứng minh ba điểmB H D, , thẳng hàng.
Bài 6 Cho nửa đường tròn( )O đường kính ABvớiC AB CA CB∈ ( < )vàM là điểm thuộc nửa đường tròn đó Đường thẳng quaM vuông góc với MC cắt tiếp tuyến qua A tạiM 1
Trang 4Chứng minh ba điểm M M M thẳng hàng., 1, 2
Bài 7 Bài 42(Tr 79) SBT T9 tập 2 Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P Gọi các
giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C Từ một điểm D (khác P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đường tròn (PAB) và (PAC) lần lượt tại M
và N
Chứng minh ba điểmM A N, , thẳng hàng.
Thử năng lực
1 Trên đường tròn( )O đường kính AB và dây CD Gọi M là giao điểm của các tiếp tuyến tạiC D, của( )O , N là các giao điểm của các dây cung AC BD,
Chứng minh MN vuông góc với AB T5/231
2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp( )O Vẽ các tia, Ax AD⊥ cắt BC tại E, Ay⊥ AB cắt CD
tạiF Chứng minh E F O, , thẳng hàng.
3 Cho ABC∆ với trực tâm H Vẽ các tiếp tuyếnAM AN, với đường tròn đường kính BC
Chứng minhM H N, , thẳng hàng.
4 Cho ABC∆ với trực tâm H nội tiếp( )O M là điểm bất kì trên cung BC không chứa
A GọiN E, lần lượt là điểm đối xứng củaM quaAB AC,
Chứng minhN H E, , thẳng hàng.
5 Cho ABC∆ nội tiếp( )O Trên dây AC lấy điểm D, đường thẳngBDcắt( )O tại F Đường thẳng quaA vuông góc vớiABvà đường thẳng qua F vuông góc với FC cắt
nhau tạiP Chứng minhP D O, , thẳng hàng.
CÁC BÀI TẬP KHÔNG THỂ BỎ ĐƯỢC
1 Chứng minh rằng, trong một hình thang trung điểm của hai cạnh bên, trung điểm của
hai đường chéo là bốn điểm thẳng hàng;
2 Cho ABC∆ có gócA tù Chứng minh rằng chân của các đường vuông góc kẻ từ A
xuống các đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnhB C, và các trung điểm của các cạnhAB AC, là sáu điểm thẳng hàng.
3 Chứng minh rằng trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là
ba điểm thẳng hàng
4 Chứng minh rằng, trong một hình thang có hai đáy không bằng nhau thì giao điểm hai
đường chéo, giao điểm hai cạnh bên và trung điểm hai đáy là bốn điểm thẳng hàng
5 Chứng minh rằng
Trang 5II.CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Phương pháp:
Cách 1 Lợi dụng định lí về các đường đồng quy trong tam giác
1.Sử dụng định lí ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm
Lớp 7.
Bài1 Cho ABC∆ với đường caoAH Vẽ ra phía ngoài ABC∆ các tam giác, ACE vuông cân tại C và ABDvuông cân tại B.Trên tia đối của tiaAH lấy điểmK sao cho AK =BC
Chứng minh rằng
1) BE⊥CK 2)Ba đường thẳngAH BE CD, , đồng quy tại một điểm.
Bài 2 Bài 170 NC T7.Cho hai đoạn thẳngAC BD, cắt nhau GọiA B C D′ ′ ′ ′, , , theo thứ tự
là trọng tâm của các tam giácBCD ACD ABD ABC, , , Chứng minh rằng
, , ,
AA BB CC DD′ ′ ′ ′ đồng quy tại một điểm.
2.Sử dụng định lí ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác.
VD2 Cho hai đường thẳng a b, cắt nhau tại O , trên đường thẳng a , lấy ba điểm
, ,
A B C sao cho OA AB BC= = , trên đường kia ta lấy ba điểm L M N, , sao cho
LO OM= =MN Chứng minh rằngAL BN CM, , đồng quy tại một điểm.
3.Sử dụng các định lí:
a.Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm.
b.Giao điểm của hai đường phân giác ngoài nằm trên đường phân giác trong của góc thứ ba.
VD3 Cho ABC∆ với đường caoAH Vẽ các điểm D E, sao choAB AC, thứ tự là các đường trung trực của đoạnHD HE, Gọi M N, lần lượt là giao điểm củaDE với
,
AB AC Chứng minh rằng, ba đường thẳngAH BN CM, , đồng quy tại một điểm.
4.Sử dụng định lí ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm.
VD4 Cho ABC∆ với điểmM nằm trong tam giác GọiH K L, , theo thứ tự là hình chiếu vuông góc củaM trênBC CA AB, , Các đường thẳngh l k, , lần lượt quaA B C, , và vuông góc với KL LH HK, , Chứng minh rằng, ba đường thẳng h l k, , đồng quy tại một điểm.
Bài 5(117) tháng 1.2013
Cách 2 Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường của của
hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
Trang 6Bài 1 Nếu một hình bình hành nội tiếp trong một hình bình hành khác thì bốn đường
chéo gặp nhau tại một điểm
Bài 2 Cho ABC∆ và điểm P nằm trong tam giác đó Gọi M N Q, , thứ tự là trung điểm của các cạnh AB AC BC, , GọiA B C lần lượt là điểm đối xứng của1, ,1 1 P quaM N Q, , . Chứng minh rằng AA BB CC đồng quy tại một điểm.1, 1, 1
Bài 3 Cho ABC∆ và điểm O nằm trong tam giác đó Gọi L M N, , thứ tự là trung điểm của OA OB OC, , vàD E F, , lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA AB, , .
Chứng minh rằng DL EM FN, , đồng quy tại một điểm.
Bài 4.Chứng minh rằng trong một tứ giác có hai cạnh đối diện không song song, các
đường thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện và các trung điểm của đường chéo cắt nhau tại một điểm
Bài 5 Cho ABC∆ với trực tâmH vàA B C theo thứ tự là giao điểm các đường trung 1, ,1 1 trực của các tam giácHBC HCA HAB, , Chứng minh rằng AA BB CC đồng quy tại một 1, 1, 1 điểm
Cách 3 Lùi về quen thuộc, chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc giao điểm của hai
đường nằm trên đường thẳng thứ ba.
Lớp 8.
Bài 1 Cho ABC∆ với trung tuyếnAM Trên các cạnhAC AB, thứ tự lấy các điểmD E, sao choAB=3AE AC, =3AD Chứng minh rằng,AM BD CE, , đồng quy tại một điểm.
Bài 2 Cho tứ giác ABCD , người ta kẻ hai đường thẳng song song với đường chéo AC
cắt cạnhBA BC, lần lượt tạiG H, Cắt các cạnhDA DC, thứ tự tạiE F, .
Chứng minh rằngGE HF BD, , đồng quy tại một điểm.
Bài 3 Cho hình thangABCD AB CD với( / / ) M N, thứ tự là trung điểm củaAB CD, Trên các cạnh AD BC, lần lượt lấy các điểmE F, sao choEF/ /BC ( EFkhông là đường trung bình của hình thang) Chứng minh rằngEM BD FN, , đồng quy tại một điểm.
Bài 4 Cho hình bình hành ABCD Qua điểm S ở trong hình bình hành kẻ hai đường
thẳng song song vớiAB AD, ; lần lượt cắtAD AB BC CD, , , tạiM N P Q, , , .
Chứng minh rằngAS BQ DP, , đồng quy tại một điểm.
Bài 5.a) Lấy điểmM , trên đường chéoBD của hình vuông ABCD Kẻ
,
ME⊥AB MF ⊥ AD Chứng minh rằngBF CM DE, , đồng quy tại một điểm.
b)Cho hình vuông ABCD với điểm M nằm trên đường chéoBD Vẽ MN ⊥BC,
MP CD⊥ , MH ⊥NP Chứng minh rằngBF CM DE, , đồng quy tại một điểm
Trang 7Bài 6 Cho ABC∆ nhọn không cân tạiAvới đường caoAH VẽHM ⊥AB HN, ⊥AC Kẻ / / , / /
HE AC HF AB Chứng minh rằngEF MN BC, , đồng quy tại một điểm.
Lớp 9.
Bài 1 Bài 67(138) Cho ( )O và( )O′ cắt nhau tại A và B Kẻ các đường kính AOC,
AO D′ Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB⊥CD
Bài 2 Bài 69(138) Cho( )O và( )O′ cắt nhau tại A và B, trong đó O′nằm trên( )O
a)Chứng minh CA, CB là các tiếp tuyến của( )O
b)Đường vuông góc với AO′ tại O′cắt CB ở I Đường vuông góc với AC tại C cắt O B′ ở
K Chứng minh ba điểm O, I, K thẳng hàng
Cho( )O
Bài 3 Ở bên ngoài ABC∆ , vẽ các tam giác đềuABC BCA CAB Chứng minh rằng1, 1, 1
1, 1, 1
AA BB CC đồng quy tại một điểm.(Tứ giác nội tiếp)
Bài 4 Chuyên ĐHKHTN Vòng 1.2014
Cho∆ABC AB( <AC)phân giácAD Vẽ các tiaCx AD cắt đường trung trực cạnh AC tại/ /
E,By/ /AD cắt đường trung trực cạnhABtạiF Chứng minh rằng: 1) ABF∆ : ∆ACE; 2)AD BE CF, , đồng quy tại điểm G
3)Đường thẳng qua G song song với AEcắt BFtại Q, QEcắt đường tròn ngoại tiếp
GEC
∆ tại Pkhác E Chứng minhA P G Q F, , , , cùng thuộc một đường tròn.