Những Dạng Vô Định Thường Gặp Trong Bài Toán Tìm Giới Hạn Của Hàm Số

www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số Giới hạn dạng vô định giới hạn mà ta tìm chúng cách áp dụng trực tiếp định lý giới hạn giới hạn trình bày Sách giáo khoa Do muốn tính giới hạn dạng vô định hàm số, ta phải tìm cách khử dạng vô định để biến đổi thành dạng xác định giới hạn Trong chƣơng trình toán THPT, dạng vô định thƣờng gặp :  , ,   , 0., 1  Sau nội dung dạng cụ thể I GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 giới hạn thƣờng gặp toán tính giới hạn hàm số Để tính giới hạn dạng này, phƣơng pháp chung sử dụng phép biến đổi ( phân tích đa thức thành nhân tử, nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp, thêm bớt, …) để khử thành phần có giới hạn 0, đƣa tính giới hạn xác định Chính thành phần có giới hạn gây nên dạng vô định Giới hạn dạng vô định Để tính giới hạn dạng vô định , trƣớc hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ nhận dạng 0 Để giải toán tìm giới hạn hàm số, học sinh cần xác định giới hạn cần tìm thuộc dạng xác định hay vô định Nếu giới hạn vô định phải xét xem thuộc dạng vô định để có phƣơng pháp giải thích hợp Bởi việc rèn luyện kỹ nhận dạng cho học sinh có quan trọng, giúp học sinh định hƣớng đƣợc cách giải, tránh sai xót mắc phải Nhận dạng giới hạn vô định Đối với dạng vô định , việc nhận dạng không khó khăn học sinh thƣờng gặp giới hạn : f(x) f(x) = lim g(x) = mà xlim x  x g(x) x x x lim www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số f(x) mà f(x0 ) = g(x0 ) = Ngoài g(x) Thực tế học sinh hay gặp trƣờng hợp xlim x số toán học sinh phải thực phép biến đổi để chuyển dạng vô định , sau áp dụng phƣơng pháp khử thành phần có giới hạn Khi giảng dạy, giáo viên nên đƣa số toán để nhấn mạnh cho học sinh việc nhận dạng nhƣ : f(x) f(x)  lim g(x)  mà xlim x  x g(x) x x x lim Tránh tình trạng học sinh không nhận dạng mà áp dụng phƣơng pháp giải Ví dụ áp dụng : (Yêu cầu chung tập : “ Tính giới hạn sau”) Ví dụ : L1 = lim x 2 x-2 x +1 Bài giải : L1 = lim x 2 Ví dụ : L2 = xlim 1 x-2 2-2 = 0 x +1 22 1 x+2 x2 - Bài giải : L2 = lim x 1  = 1+2 = x+2  lim(x+2) x =   lim(x - 1) = 12 - = x2 -   x   Ví dụ : L3 = lim    x  1 x 1 x 1  Bài giải :  x  3x +2    L = lim     lim   x1 x 1 x 1  x 1  x 1   (x-1)(x  2)  (x-2) 1-2  lim   = lim   x 1  (x 1)(x+1)  x 1 (x+1) 1+1 www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số Dạng vô định đƣợc nghiên cứu với loại cụ thể sau : f(x) mà f(x), g(x) đa thức f(x0) = g(x0) = 0 g(x) Loại : lim x x Phương pháp : Khử dạng vô định cách phân tích tử mẫu thành nhân tử với nhân tử chung (x – x0) Giả sử : f(x) = (x – x0).f1(x) g(x) = (x – x0).g1(x) Khi : (x - x )f1 (x) f (x) f(x)  lim  lim lim x x0 g(x) x x0 (x - x )g (x) x x0 g (x) 1 f1 (x) ta lặp lại trình khử đến dạng vô định 0 g1 (x) Nếu giới hạn lim x x không dạng vô định Ví dụ áp dụng : Ví dụ : L4 = lim x 2 2x - 5x +2 x +x - Bài giải : Ta phân tích tử mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : x - 2x - 5x +2 (x - 2)(2x - 1)  lim  x +x - x 2 (x - 2)(x + 3) 2x - 2.2 1   = lim x 2 x + 23 L4 = lim x 2 Vậy L4  Ví dụ : L5 = lim x 2 x - 3x +2 x - 4x + Bài giải : x - 3x +2 (x - 2)(x - 1)  lim  x 2 x - 4x + x 2 (x - 2)2 x-1 = lim  x 2 x - L5 = lim ( Vì giới hạn tử 1, giới hạn mẫu 0) Vậy L4   www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số Ví dụ : L6  lim x 1 x+x +x3 + +x n - n (m, n  N* ) m x+x +x + +x - m Bài giải : Ta phân tích tử mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : x – cách tách nhóm nhƣ sau : x + x2 + x3 + + xn – n = (x – 1) + (x2 – 1) + (x3 - 1) + + (xn - 1) x + x2 + x3 + + xm – m = (x – 1) + (x2 – 1) + (x3 - 1) + + (xm - 1) Khi đó: x+x +x3 + +x n - n  lim (x- 1)+(x - 1)+(x3 - 1)+ +(x n - 1)  L6  xlim x 1 (x- 1)+(x - 1)+(x - 1)+ +(x m - 1) 1 x+x +x3 + +x m - m  lim x 1 (x- 1) 1 + (x + 1) + + (x n-1+ x n-2 + + x +1)   (x- 1) 1 + (x + 1) + + (x m-1+  x m-2 + + x   +1)  + (x + 1) + + (x n-1+ x n-2 + + x +1)  x 1 + (x + 1) + + (x m-1 + x m-2 + + x +1)  lim + (1 +1) + + (1n-1+ 1n-2 + + +1)   + (1 +1) + + (1m-1 + 1m-2 + + +1) n(n + 1)     n n(n + 1)        m m(m + 1) m(m + 1) Vậy L6  n(n + 1) m(m + 1) Ví dụ : L7  lim x 2x - 5x3 +3x + x - 3x - 8x3 + 6x - Bài giải : 2x - 5x +3x + x - (x-1)(2x - 3x +1) L7 = lim = lim x 3x - 8x + 6x - x  (x-1)(3x - 5x +x+1) 2x - 3x +1 (x-1)(2x - x -1) = lim = lim x  3x - 5x + x +1 x  (x-1)(3x - 2x -1) 2x - x -1 (x -1)(2x+1)  = lim = lim x  3x - 2x -1 x  (x -1)(3x+1) 2x+1 2.1+1 = lim = = x  3x+1 3.1+1 www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số Vậy L7 = Kết luận: Phƣơng pháp để giải tập loại phân tích đa thức thành nhân tử với nhân tử chung x - x0 Yêu cầu học sinh : Phải nắm vững phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đẳng thức, công thức phân tích tam thức bậc hai, đa thức bậc ba thành nhân tử:  c  f(x) = ax + bx + c = (x - x )  ax  , ( f(x0) = 0) x0   Ngoài đẳng thức đáng nhớ, học sinh cần nhớ đẳng thức bổ xung : an - bn = (a - b)(an -1+ an - 2b +…+ abn - 2+ bn - 1), n  N* an + bn = (a + b)(an -1- an - 2b +…- abn - 2+ bn - 1), n số tự nhiên lẻ Để học sinh dễ nhớ, cần lấy trƣờng hợp cụ thể nhƣ : n = 2, 3, trƣờng hợp đặc biệt : xn - = (x - 1)(xn - 1+ xn - 2+…+ x + 1) Tuỳ theo đặc điểm mà biến đổi cách linh hoạt để khử dạng vô định Trong trình thực hành, nhiều sau biến đổi khử thành phần có giới hạn ta gặp giới hạn dạng vô định ( thƣờng “đơn giản” so với giới hạn ban đầu) Tới ta tiếp tục trình khử đến giới hạn cần tìm không dạng vô định Bài tập tự luyện (1  x)(1  2x)(1  3x)  x 0 x x  3x  1) lim x 1 x  4x  2) lim x100  2x  3) lim 50 x 1 x  2x  x n 1  (n  1)  n 4) lim x 1 (x  1) f(x) mà f(x), g(x) chứa thức bậc f(x0)=g(x0)= 0 g(x) Loại : xlim x Phương pháp : Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp tƣơng ứng biểu thức chứa thức (gọi tắt phương pháp nhân liên hợp hay dùng biểu thức liên hợp) để trục nhân tử x - x0 khỏi thức, nhằm khử thành phần có giới hạn Biểu thức chứa thức tử, mẫu hay www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số tử mẫu phân thức cần tìm giới hạn ) Lƣu ý nhân liên hợp hay nhiều lần để khử dạng vô định Các công thức thƣờng đƣợc sử dụng nhân liên hợp : ( A ± B)( A  B) = A - B , (A  0, B  0) ( A ± B)( A  A B+ B2 ) =A ± B Giáo viên cần cho học sinh thấy đƣợc hai công thức xuất phát từ hai đẳng thức sau để học sinh dễ nhớ : (a - b)(a + b) = a - b2 (a ± b)(a  ab + b2 ) = a ± b3 Ví dụ áp dụng: 3x - - x x2 - Ví dụ : L8 = xlim 2 Bài giải : Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp tƣơng ứng, ta đƣợc : L8 = lim x 3x - - x ( 3x - - x)( 3x - + x)  lim x x -4 (x - 4)( 3x - + x) 3x - - x (x - 2)(-x + 1)  lim  lim  x  (x - 4)( 3x - + x) x  (x - 2)(x + 2)( 3x - + x) x+1 2 +  lim   x  (x + 2)( 3x - + x) 16 (2 + 2)( 3.2-2+2) Vậy L8 =  16 www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số Ví dụ : L9  lim x  1 x+2  x+5  Bài giải : ( x+2  1)( x+2  1)  ( x+5  2)   lim   x+5  x 1 ( x+5  2)( x+5  2)  ( x+2  1)   x+2  L9  lim x  1 = xlim  1 = lim x 1 (x + - 1)( x+5  2) (x + 1)( x+5  2)  xlim  (x + - 4)( x+2 1)  1 (x + 1)( x+2 1) 1   x+5   2 1  1 x+2 1 Vậy L9 = n Ví dụ 10 : L10  xlim 1m x -1 , (m, n  N* ) x -1 Bài giải : n L10  lim m x = lim x -1  x -1 ( n x - 1) ( n x ) n-1 +( n x ) n-2 + + n x +1 ( m x ) m-1 +( m x ) m-2 + + m x +1 ( x - 1) ( m x ) m-1 +( m x ) m-2 + + m x +1 ( n x ) n-1 +( n x ) n-2 + + n x +1 x m (x - 1)(m x m-1 +m x m-2 + +m x +1)  x (x - 1)( n x n-1 + n x n-2 + + n x +1) = lim m = lim x Vậy x m-1 +m x m-2 + +m x +1 m  n n-1 n n-2 x + x + + n x +1 n L10 = m n Kết luận: Phƣơng pháp dùng biểu thức liên hợp phƣơng pháp chủ yếu đƣợc sử dụng để tính giới hạn có chứa thức bậc Có thể xem “ thuật toán” cho phép tính đƣợc nhiều giới hạn hàm số chứa thức, phƣơng hƣớng rõ ràng, dễ hiểu.Việc xác định biểu thức liên hợp không www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,  www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số khó khăn học sinh Tuy nhiên giáo viên cần rèn luyện kỹ xác định nhân biểu thức liên hợp tính giới hạn Theo cách này, nhiều toán giải đƣợc nhƣng phải qua phép biến đổi dài dòng với biểu thức cồng kềnh Nếu dùng giải khác nhƣ thêm bớt, đổi biến cho lời giải ngắn gọn Bài tập tự luyện x3  x  x 1 x 1 x2  x 2  3x  1) lim 2) lim xb  ab 3) lim x a x2  a2 x   x2  x  4) lim x 1 x2 1  ax 5) lim x 0 x ax n a 6) lim x 0 x n Loại 3: lim x x n f(x) mà f(x) chứa thức không bậc f(x0)=g(x0)= g(x) Phương pháp : Sử dụng thuật toán thêm bớt f(x) để nhân biểu thức liên hợp Chẳng hạn nhƣ : m u(x)  n v(x) f(x) = lim ,(m u(x )  n v(x ) = 0,g(x ) = 0) x  x g(x) x  x0 g(x) L= lim Ta biến đổi :  m u(x) - c  + c - n v(x)  u(x)- n v(x)     lim  L  lim x  x0 x  x0 g(x) g(x) m u(x) - c n v(x) - c  lim = lim x  x0 x  x0 g(x) g(x) m Tới giới hạn L1  lim x x m u(x) g(x) -c , L2  lim x  x0 n v(x) - c tính đƣợc g(x) cách nhân liên hợp Ví dụ áp dụng : Ví dụ 11 : L11  xlim 1 x+3  x+7 x  3x+2 www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số Bài giải : x+3  x+7 ( x+3  2) + (2  x+7)  lim  L11  lim x x x  3x+2 x  3x+2 x+3  2  x+7  lim  = lim x  x  3x+2 x  x  3x+2 (2  x+7)   x+7  ( x+7)  ( x+3  2)( x+3+2) = lim  lim x  (x  3x+2)( x+3+2) x (x  3x+2)   x+7  ( x+7)2  x+3   (x+7) lim   x  (x  3x+2)( x+3+2) x (x  3x+2) 4  x+7  ( x+7)  = lim x 1 1 x  lim  x  (x 1)(x  2)( x+3+2) x  (x 1)(x  2) 4  x+7  ( x+7)2  = lim  = lim x  (x  2)( =  1  lim   x x+3+2) (x  2) 4  x+7  ( x+7)2    1   (1  2)( 1+3+2) (1  2) 4  1+7  ( 1+7)2    1 =   12 Vậy L11   1+2x - 1+3x Ví dụ 12 : L12  lim x0 x2 Bài giải :  1+2x - (x+1)  + (x+1) - 1+3x  1+2x - 1+3x     lim  L12  lim 2 x 0 x  x x =lim x0 1+2x - (x+1) (x+1) - 1+3x  +lim x0 x2 x2 www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số  1+2x - (x+1)   1+2x +(x+1)    = lim  x0 2  x 1+2x +(x+1)   (x+1) - 1+3x  (x+1)2  ( x  1) 1+3x  ( 1+3x )2    +lim  x0 x (x+1)2  ( x  1) 1+3x  ( 1+3x )2    (1+2x) - (x+1)2 (x+1)3 - (1+3x) lim   2 3 x 0 x 0     x  1+2x +(x+1)  x (x+1)  (x  1) 1+3x  ( 1+3x )  -1 x+3  lim  lim  x 0 1+2x +(x+1) x0 (x+1)2  (x  1) 1+3x  ( 1+3x )2  lim -1 0+3   1+2.0 +(0+1) (0+1)  (0  1) 1+3.0  ( 1+3.0) 1   1  2  Vậy L12  Kết luận : Phƣơng pháp chung để tính giới hạn biểu thức chứa thức không bậc thêm, bớt lƣợng đó, tách thành nhiều giới hạn nhân liên hợp Cần lƣu ý thêm bớt số ( thƣờng chọn u(x0) v(x0)) hay biểu thức Việc thêm bớt dựa đặc điểm phải thật tinh tế Thuật toán thêm bớt đƣợc áp dụng hiệu dạng vô định khác Bài tập tự luyện 1) lim x 0 1 x  1 x x  ax  m  bx 3) lim x 0 x n 5) lim x 7 x   x  20 x9 2 Giới hạn dạng vô định 2) lim x 2 x  11  8x  43 2x  3x  2x   x  4) lim x 0 sin x 6) lim x 0  4x   6x x2 hàm số lượng giác www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 10 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số Vậy L19 = 2x  x Ví dụ 20 : L20  lim x x  Bài giải : 2x  x (2x  4)  (x  4)  lim  x x  x x 2 L20  lim 4(2x 2  1) (x  2)(x+2) 2x  x2   lim  lim  lim  x x  x x  x x x 2 x 2 2x    lim  lim (x+2)  4ln  x x  x  lim Vậy L20 = 4ln2 -  x  e2x Ví dụ 21 : L21  xlim 0 ln(1+x ) Bài giải : ( 1 x 1)  (e2x 1) 1 x  e2x L21  lim  lim  x x ln(1+x ) ln(1+x ) 2 ( 1 x 1)  (e2x 1)  lim x ln(1+x ) e2x 1  x 1  lim   lim x  ln(1+x ) x  ln(1+x )  e2x 1 2x  1 x 1)( (1 x )2   x  1)   lim  lim   x x   2x 2 2 ln(1+x ) ( (1 x )   x  1)ln(1+x )   ( x2 2x e2x 1 lim  lim  lim  2 x ( (1 x )2  1 x  1)ln(1+x ) x 2x x ln(1+x ) x2 2x e2x  lim lim  lim   lim x x  ln(1+x ) x  2x x  ln(1+x ) (1  x )   x  1  1.(2)  3 Vậy L21  Kết luận : www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 16 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số Để tính giới hạn dạng vô định hàm số mũ lôgarit, học sinh thực phép biến đổi để áp dụng giới hạn Yêu cầu học sinh phải thành thạo phép toán luỹ thừa lôgarit Để sử dụng giới hạn bản, cách thêm, bớt, nhân liên hợp, … học sinh phải biến đổi hàm số cần tìm giới hạn dạng : ln 1+f(x)  loga 1+f(x)  a f(x) 1 ef(x) 1 với lim f (x)  lim , lim , lim , lim x  x0 x  x0 f(x) x  x f(x) x  x0 x  x0 f(x) f(x) Bài tập tự luyện Tính giới hạn sau : 2) lim 1) 9x  5x x  4x  3x 3x  cosx 3) lim x x2 4) xlim 0 (1  ex )(1  cosx) 2x3  3x 1 1 x  5) lim  ln  x  x   x   6) xlim 0 esin2x  esinx 5x + tg x II GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH Giới hạn dạng vô định L  lim f(x) x  x0 g(x) (x   )    có dạng :  : lim f(x)  lim g(x)   x x x x (x  ) (x ) Để khử dạng vô định này, phƣơng pháp thông thƣờng chia tử mẫu f(x) cho luỹ thừa bậc cao tử mẫu phân thức Cụ thể nhƣ sau : g(x) 1) Nếu f(x), g(x) đa thức có bậc tƣơng ứng m, n ta chia f(x), g(x) cho xk với k = max{m, n} a m x m +a m1x m1 + +a1x+a với a m ,bn  0, m,n  N* n 1 x   b x n +b + +b1x+b0 n n 1x L  lim Khi xảy ba trƣờng hợp sau : www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 17 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số +) m = n (bậc tử mẫu nhau), chia tử mẫu cho xn ta a a a a m + m1 + + n11 + 0n x x  lim a m  a m x đƣợc: L  xlim  x  b b b b bn n bn + n 1 + + n11 + 0n x x x +) m > n (bậc tử lớn bậc mẫu, k = m), chia tử mẫu cho x ta đƣợc : m a a m1 a + + m11 + m0 x x  lim a m   x L  xlim  b bn 1 b1 b0 x  bn n + + + + x mn x xm x mn x mn+1 am + +) m < n (bậc tử nhỏ bậc mẫu, k = n), tƣơng tự nhƣ ta có : a0 a m1 am n m  n m+1   n x x 0 x L  xlim  b b bn  n 1   0n x x Học sinh cần vận dụng kết : 1  0, lim f (x)   lim  lim f (x)    lim x x x  x f (x) x x x x f (x) 0 0 Sau xét ba trƣờng hợp này, học sinh cần tự rút nhận xét kết giới hạn cần tìm dựa vào bậc tử mẫu Lƣu ý chia tử mẫu cho xh với h min{m, n} 2) Nếu f(x), g(x) biểu thức có chứa thức ta quy ƣớc lấy giá m ( k bậc thức, m số mũ cao số hạng k thức) bậc thức Bậc tử ( mẫu) đƣợc xác định bậc cao biểu thức tử ( dƣới mẫu) Sau ta áp dụng phƣơng pháp khử nhƣ với trƣờng hợp f(x), g(x) đa thức Qua học sinh dễ dàng  phán đoán kết giới hạn dạng cần tìm  trị Ví dụ áp dụng : Ví dụ 22 : L22  xlim  2x3  3x 1 5x3  www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 18 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số Bài giải : Chia tử mẫu cho x3 ta đƣợc :   2x  3x 1 x x  L22  xlim  lim  x  5x3  5 x Vậy L22  Ta trình bày theo cách sau :  1 x3     2  x x 2x  3x 1    lim x x   lim L22  xlim x x        5x  5 x3    x x    3x (2x 1)(3x  x+2)   4x  2x+1  Ví dụ 23 : L23  xlim     Bài giải :  3x (2x 1)(3x  x+2)  12x  (2x+1)(3x  x+2) L23  xlim lim      2  x     2x+1 4x 4x (2x+1)      4x  5x  x+2 x x x3      lim  lim x  x  8x3  4x 8+ x Vậy L23   Ví dụ 24 : L24  xlim  (x 1)(x  2)(x  3)(x  4)(x  5) (5x 1)5 Bài giải : (x 1)(x  2)(x  3)(x  4)(x  5)  x  (5x 1)5 L24  lim  lim x  Vậy L24         1  1  1  1   1   x  x  x  x   x     1 5   x  55 55 www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 19 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số x+3 x 1 Ví dụ 25 : L25  lim x  Bài giải : Chia tử mẫu cho x ta đƣợc : 1+ x+3 x  lim L25  xlim  x  2 x 1 x 1 x Vì phải đƣa x vào bậc hai nên ta xét hai trƣờng hợp : *) x    x >  x  Khi : lim x +  1+ x2 1+ 1+ x  lim x  lim x 1 x +  x +  x 1 x 1 1 12 x x x2 *) x    x <  x   x Khi đó, ta có : lim x  Vì lim x  1+ 1+ 1+ x  lim x  lim x  1 x  x  x 1 x 1  1 x x  x2 x+3  1, lim x+3  1 nên không tồn lim x+3 x  x  x 1 x 1 x 1 Ví dụ 26 : L26  xlim  9x   x  4 16x   x  Bài giải : Chia tử mẫu cho x ta đƣợc : 9x  x   9x   x  x x L26  lim  lim  5 x  x  4 16x   x  16x  x 7  x x 9x    x x x  lim x  4 16x    x x x5 Tƣơng tự Bài 25, ta xét hai trƣờng hợp : www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 20 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số *) x    x >  x  x2 , x  x4 9x  9 3    x x  0  x x x  lim x Khi : L+26  lim x  16x  x 16    16    x x5 x x x5 x4 *) x    x <  x   x , x   x Khi ta có : 9x  9x  4    9     x x x x x  lim  x x x  x L26  lim  lim x  16x  x 16x  x  16        x4 x x5 x x x5 x x5  x4 1  9   x x   0  x  lim x   16   16    x x x Vì L+26  L26 nên ta có : L26  Kết luận : So với dạng vô định  , dạng vô định “dễ tìm” Học sinh cần xác  định dạng cần quan tâm đến bậc tử mẫu để từ phán đoán  kết giới hạn cần tìm Chú ý giới hạn dạng hàm số có chứa  thức ta không nhân liên hợp Đây điểm khác biệt cân phân biệt để tránh nhầm lẫn Với giới hạn x   , cần lƣu ý hai khả x   x   phép lấy giới hạn có chứa bậc chẵn Nếu học sinh không để ý đến vấn đề dễ mắc phải sai lầm Hơn trƣờng hợp liên quan tới toán tìm tiệm cận hàm số chứa thức Bài tập tự luyện  2x  3  4x+7  1) xlim  3x 110x 9  (2x  3)20 (3x+2)30 2) xlim  (2x+1)50 www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 21 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số 3) lim x  (x+1)(x  1) (x n  1) (nx)n  1   5) xlim  n+1 x5 1  x  x 1  x3  x  2x  3x 4) lim x  4x   x+2 6) xlim  ln(1  x  x) ln(1  x  x) III GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH    Dạng tổng quát giới hạn : lim f(x)  g(x) lim f(x)  lim f(x)   x x x x x x  (x  ) 0 (x ) (x ) Phƣơng pháp chủ yếu để khử dạng vô định biến đổi chúng dạng  vô định , cách đổi biến, nhân liên hợp, thêm bớt, …  Ví dụ áp dụng : Ví dụ 27 : L27  lim x   x2  x  x  Bài giải : Nhân chia biểu thức liên hợp tƣơng ứng : x  x +x , ta đƣợc : L27  lim x    lim x   ( x  x  x)( x  x +x)  x  x  x +x x  x  x  lim x2  x  x2 x  lim x  x +x x x  x +x Vì x   nên chia tử mẫu cho x ta có : lim x  Vậy L27  x x  x +x  lim x  1  1 1 x Trong ví dụ này, cách nhân liên hợp, ta chuyển giới hạn cần tìm  từ dạng    sang dạng  www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 22 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số Ví dụ 28 : L28  lim  x+ x  x  x    Bài giải : L28  lim  x+ x  x   lim x    x x+ x  x x  lim  x+ x  x x x+ x  x  lim x  x 1  lim  ( chia tử mẫu cho x ) x+ x  x x 1+  x  lim x  Vậy L28  ( x+ x  x)( x+ x  x)  x+ x  x Ví dụ 29 : L29  lim  x  x   x  x    Bài giải : Trong ví dụ cần lƣu ý x  cần xét hai trƣờng hợp x  x  +) Khi x  : x  x     x  x   x    x  x   x    Do xlim     +) Khi x  giới hạn có dạng   Ta khử cách nhân liên hợp bình thƣờng ( x  x   x)( x  x   x) lim  x  x   x   lim  x     x   x x 3 x 1  x2  x   x2 x  x  lim  lim  lim x   x   x   2 x x 3 x x x 3 x x  x 3 1 x Khi x  x < 0, x   x www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 23 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số 3 1  1 x x  lim   x   2 x2  x     1 1 x x x 1  lim x    x2  x   x   Vậy lim  x  x   x    , xlim     x    Qua ví dụ lần nhấn mạnh cho học sinh ý với giới hạn x  cần xét x  x  hàm số chứa thức bậc chẵn Ví dụ 30 : L30  lim  x3  3x  x  2x  x    Bài giải : Vì hàm số cần tìm giới hạn chứa thức không bậc nên ta thêm bớt để nhân liên hợp L30  lim  x3  3x  x  2x   lim ( x3  3x  x )  ( x  2x  x)   x    x    x  3x  x   lim  x  2x  x   G  G  xlim    x    +) G1  lim  x  3x  x   lim x    x   xlim    x  3x  x 3 x  3x 3 x  3x  x x  3x  x x  x 2  xlim  x  3x  x   3  1   1 1 x x   1 x  2x  x 2    x  2x  x  xlim +) G  xlim     x  2x  x  lim x  2 x  2x  x x  lim x  2 2   1 2 1 1 x Vậy L30 = G1 - G2 = n   m  , (m, n  N* ) Ví dụ 31 : L31  lim  n  x 1  x m 1 x   Bài giải : www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 24 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số  m n    n   m      L31  lim  lim      x 1  x m  x n  x1   x m  x    x n  x       m  n  lim    lim      G1  G m n x 1  x  x  x 1   x  x    m  (1  x  x   x m1 )  m +) G1  lim      lim x 1  x m  x  x 1  xm  (1  x)  (1  x )   (1  x m1 )  lim  x 1  xm  lim (1  x) 1  (1  x)   (1  x   x m2 )   (1  x)(1  x   x m1 )  (1  x)   (1  x   x m2 )    m  m   lim   x 1  x   x m1 m x 1 Tƣơng tự ta tính đƣợc G  Vậy L31  G1  G  n 1 m 1 n 1 m  n   2 Trong tập ta sử dụng thuật toán thêm, bớt để tách giới hạn cần tìm thành hai giới hạn tính giới hạn cách biến đổi dạng Việc thêm bớt biểu thức phải tinh tếvà phụ thuộc vào đặc điểm Kết luận : Đối với dạng vô định    , ta phải tuỳ vào đặc điểm mà vận dụng linh hoạt kỹ thêm bớt, nhân liên hợp, phân tích thành nhân tử để biến đổi khử dạng vô định Ta thƣờng chuyển chúng dạng vô định dễ  tính ,  Bài tập tự luyện   1) lim  x  x  x  x  x    2) lim  (x  1)2  (x  1)  x      3) lim  x  x  x  x  x  x  4) lim  x   x  x  x      www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 25 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số 5) lim ln(5x  8)  ln(3x  5) 6) lim  (x  1)(x  2) (x  5)  x x  x  IV GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0. Dạng tổng quát giới hạn : lim f (x).g(x)  lim f (x)  0, lim g(x)   x  (x x ) x  (x x ) x  (x x ) Để khử dạng vô định này, ta thƣờng tìm cách chuyển chúng dạng giới  cách nhân liên hợp, thêm bớt, đổi biến … hạn khác dễ tình nhƣ ,  Ví dụ áp dụng : Ví dụ 32 : L32  lim  x  x     x2   x   Bài giải : Ta khử dạng vô định cách nhân liên hợp để  đƣa dạng vô định  L32  lim  x x      x( x   x)( x   x)  x   x  lim   x x2   x www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 26 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số x(x   x )  lim x2   x x   lim x  x    x >  x  Do : lim x  Vậy L32  x2   x x  lim x  5x x2   x  lim x  x2   x x x2 5  1 1 x Ví dụ 33 : L33  lim(1  x)tg x 1 x Bài giải : Đặt t   x ta có : x 1  t  (1  t)     t     lim  t.tg      L33  lim  t.tg  t 0  t 0   2    t t  t 2   lim  t.cotg   lim  lim  t 0  t 0 tg t  t 0 tg t   2 Vậy L33   Bài tập tự luyện 1) lim  x x    3) lim  x x       4x   2x   2) lim  x x      3x   3x        4x   8x   4) lim  tg2x.tg   x    x  4  x   5) lim  a  x  tg  x a 2a     1x   6) lim  x  e  e x    x     V GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 1 Dạng tổng quát giới hạn : www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 27 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số lim f (x) g(x) , lim f (x)  1, lim g(x)   x x x x x x Hai giới hạn thƣờng đƣợc sử dụng tính giới hạn dạng vô định 1 : x  1 +) lim 1    e (1) x  x  +) lim 1  x  x  e (2) x  Trong trình vận dụng, học sinh biến đổi dạng   lim 1   x x  f(x)  f(x) f (x)    e xlim x 0 lim 1  g(x)  g(x)  e x x lim g(x)  x x Để biến đổi giới hạn cần tìm, học sinh vận dụng mệnh đề sau (dựa vào tính liên tục hàm số mũ) “ Nếu hai hàm số f(x), g(x) thoả mãn điều kiện : 1) lim f (x)  a  x x 2) lim g(x)  b x x lim f (x) g(x) x x  ab ” Hai giới hạn mệnh đề sở để tính giới hạn dạng vô  định Ví dụ áp dụng Ví dụ 34 : L34  lim 1+ sin2x  x x Bài giải : x L34  lim 1+ sin2x   lim 1+ sin2x  x x sin 2x sin 2x x    lim 1+ sin2x  sin 2x  x   sin 2x x www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 28 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số Ta có : lim 1+ sin2x  sin 2x  e ( để học sinh dễ hiểu nên đặt t = sin2x) x sin 2x sin 2x  2lim 0 x 0 x 0 x 2x lim  Do : L34  lim 1+ sin2x  x  sin 2x   sin 2x x  x 1  Ví dụ : L35  lim   x  x     e2 43x Bài giải : Để sử dụng giới hạn ta biến đổi : x 1 1 (x  2) x2  x 1  L35  lim   x  x    43x    lim 1   x   (x  2)   (x  2)  (x  2)    e  lim 1    x   (x  2)  Vì    3x 3x   x 3  lim  lim  xlim x  x  x   (x  2) 1  x     Bài 36 : L36  lim  tg   y   t 0   4 43x  (x  2) nên L35  e3   tg2  y  4    Bài giải : Đặt y  x  , x   y  Ta có : 4    L36  lim  tg   y   t 0   4   tg2  y  4   2tgy   lim 1   t 0   tgy  1 tg y 2tgy   tgy   lim   t 0  tgy   1 tg y 2tgy   2tgy   lim 1  t 0   tgy     1 tgy  2tgy      2tgy 1 tg y 1 tgy 2tgy www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 29 www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh giáo viên Trung Học Phổ Thông Những dạng vô định thường gặp toán tìm giới hạn hàm số  1 tgy  2tgy  2tgy Vì lim 1   e  y0  tgy    2tgy  tg y  lim     lim  1  tgy   1 y0   tgy 2tgy  y0 nên L36  e1 Kết luận : Với dạng vô định 1 , việc nhận dạng không khó khăn học sinh Tuy nhiên, để làm đƣợc tập, học sinh phải vận dụng tốt kỹ để đƣa giới hạn cần tìm hai giới hạn (1) (2) Hai kỹ chủ yếu đƣợc sử dụng đổi biến thêm bớt Bài tập tự luyện 1) lim 1  x  2 cot g x x 0  x2   3) lim   x  x    5) lim(cos 2x) x 0 x2 x2   tgx  sin x 2) lim   x 0  sin x   3) lim 1  sin x  cot gx x 1 1  6) lim  sin  cos  x  x x  x www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán, 30