Những dạng vô định trong toán tìm giới hạn của hàm số

Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 1 Gii hn dng vô đnh lƠ nhng gii hn mƠ ta không th tìm chúng bng cách áp dng trc tip các đnh lý v gii hn vƠ các gii hn c bn trình bƠy trong Sách giáo khoa. Do đó mun tính gii hn dng vô đnh ca hƠm s, ta phi tìm cách kh các dng vô đnh đ bin đi thƠnh dng xác đnh ca gii hn Trong chng trình toán THPT, các dng vô đnh thng gp lƠ : 0 , , , 0. , 1 0      Sau đơy lƠ ni dung tng dng c th. I. GII HN DNG VÔ NH 0 0 Gii hn dng vô đnh 0 0 lƠ mt trong nhng gii hn thng gp nht đi vi bƠi toán tính gii hn ca hƠm s.  tính các gii hn dng nƠy, phng pháp chung lƠ s dng các phép bin đi ( phơn tích đa thc thƠnh nhơn t, nhơn c t vƠ mu vi biu thc liên hp, thêm bt, …) đ kh các thƠnh phn có gii hn bng 0, đa v tính gii hn xác đnh. Chính các thƠnh phn có gii hn bng 0 nƠy gơy nên dng vô đnh.  tính gii hn dng vô đnh 0 0 , trc ht giáo viên cn rèn luyn cho hc sinh k nng nhn dng. 1. Nhn dng gii hn vô đnh 0 0  gii bƠi toán tìm gii hn ca hƠm s, hc sinh cn xác đnh gii hn cn tìm thuc dng xác đnh hay vô đnh. Nu gii hn đó lƠ vô đnh thì phi xét xem nó thuc dng vô đnh nƠo đ có phng pháp gii thích hp. Bi vy vic rèn luyn k nng nhn dng cho hc sinh có quan trng, giúp hc sinh đnh hng đc cách gii, tránh nhng sai xót có th mc phi. i vi dng vô đnh 0 0 , vic nhn dng không khó khn lm vì hc sinh thng gp gii hn : 0 xx f(x) lim g(x)  mƠ 00 x x x x lim f(x) = lim g(x) = 0  WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 2 Thc t hc sinh hay gp trng hp 0 xx f(x) lim g(x)  mƠ 00 f(x ) = (x ) = 0g . NgoƠi ra trong mt s bƠi toán hc sinh phi thc hin các phép bin đi đ chuyn v dng vô đnh 0 0 , sau đó mi áp dng các phng pháp kh các thƠnh phn có gii hn bng 0. Khi ging dy, giáo viên nên đa ra mt s bƠi toán đ nhn mnh cho hc sinh vic nhn dng nh : 0 xx f(x) lim g(x)  mƠ 0 xx lim f(x) 0   hoc 0 xx lim g(x) 0   Tránh tình trng hc sinh không nhn dng mƠ áp dng ngay phng pháp gii. Ví d áp dng : (Yêu cu chung ca nhng bài tp là : “ Tính các gii hn sau”). Ví d 1 : 1 2 x2 x - 2 L = lim x +1  Bài gii : 1 22 x2 = x - 2 2 - 2 L = lim 0 x +1 2 1    Ví d 2 : 2 2 x 1 - x + 2 L = lim x1  Bài gii : 2 2 x1 - x + 2 L = lim = x1   vì 1 22 1 lim(x+2) = 1+2 = 3 lim(x - 1) = 1 - 1 = 0 x x        Ví d 3 : 3 2 x 1 13 L = lim x 1 x 1       Bài gii : 2 22 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1 3 x 3x +2 L = lim lim 3 x 1 x 1 x 1 (x-1)(x 2) (x-2) 1-2 1 lim lim (x 1)(x+1) (x+1) 1+1 2                        WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 3 Dng vô đnh 0 0 đc nghiên cu vi các loi c th sau : 2. Loi 1 : 0 xx f(x) lim g(x)  mƠ f(x), g(x) lƠ các đa thc vƠ f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 Phng pháp : Kh dng vô đnh bng cách phơn tích c t vƠ mu thƠnh nhơn t vi nhơn t chung lƠ (x – x 0 ). Gi s : f(x) = (x – x 0 ).f 1 (x) vƠ g(x) = (x – x 0 ).g 1 (x). Khi đó : 01 1 0 0 0 0 1 1 x x x x x x ) ) (x - x f (x) f (x) f(x) lim lim lim g(x) (x - x g (x) g (x)     Nu gii hn 1 0 1 xx f (x) lim g (x)  vn  dng vô đnh 0 0 thì ta lp li quá trình kh đn khi không còn dng vô đnh. Ví d áp dng : Ví d 4 : 2 4 2 x2 2x - 5x +2 L = lim x +x - 6  Bài gii : Ta phơn tích c t vƠ mu thƠnh nhơn t vi nhơn t chung : x - 2 2 4 2 x 2 x 2 x2 = 2x - 5x +2 (x - 2)(2x - 1) L = lim lim (x - 2)(x + 3) x +x - 6 2x - 1 2.2 1 3 lim x + 3 2 3 5        Vy 4 3 L 5  Ví d 5 : 2 5 x2 2 x - 3x +2 L = lim - 4x + 4x  Bài gii : 2 2 5 x 2 x 2 x2 2 = x - 3x +2 (x - 2)(x - 1) L = lim lim (x - 2) - 4x + 4 x - 1 lim x - 2 x      ( Vì gii hn ca t bng 1, gii hn ca mu bng 0) Vy 4 L  WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 4 Ví d 6 : 2 2 3n * 6 3m x1 + + x+x x + +x - n L lim (m, n N ) x+x x + +x - m    Bài gii : Ta s phơn tích t vƠ mu thƠnh nhơn t vi nhơn t chung : x – 1 bng cách tách vƠ nhóm nh sau : x + x 2 + x 3 + + x n – n = (x – 1) + (x 2 – 1) + (x 3 - 1) + + (x n - 1) x + x 2 + x 3 + + x m – m = (x – 1) + (x 2 – 1) + (x 3 - 1) + + (x m - 1) Khi đó: 2 2 22 x 1 x 1 3n 3n 6 3 m 3 m 1 - 1)+( - 1) + + 1 - 1)+( - 1) lim lim (x- )+(x x + +(x - 1) x+x x + +x - n L x+x x + +x - m (x- )+(x x + +(x - 1)    x1 n-1 n-2 m-1 m-2 1 1 + (x + 1) + + ( ) 1 1 + (x + 1) + + ( ) lim (x- ) 1 (x- ) +1 x + x + + x + x + x + + x          n-1 n-2 m-1 m-2 x1 1 + (x + 1) + + (x + x + + x +1) lim 1 + (x + 1) + + (x + x + + x +1)   n-1 n-2 m-1 m-2 1 + (1 +1) + + (1 + 1 + + 1 +1) 1 + (1 +1) + + (1 + 1 + + 1 +1)  n(n + 1) 1 2 3 n n(n + 1) 2 m(m + 1) 1 2 3 m m(m + 1) 2            Vy 6 n(n + 1) L m(m + 1)  Ví d 7 : 4 3 2 7 4 3 2 1 2x - 5x +3x + x - 1 L lim 3x - 8x + 6x - 1 x  Bài gii : 32 7 32 x 1 3 2 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 x 1 x 1 x 1 = (x-1)(2x - 3x +1) L =lim (x-1)(3x - 5x +x+1) 2x - 3x +1 (x-1)(2x - x -1) = = 3x - 5x + x +1 (x-1)(3x - 2x -1) 2x - 5x +3x + x - 1 lim 3x - 8x + 6x - 1 lim lim    2 2 x 1 x 1 x 1 2x - x -1 (x -1)(2x+1) =lim =lim 3x - 2x -1 (x -1)(3x+1) 2x+1 2.1+1 3 =lim = = 3x+1 3.1+1 4    WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 5 Vy 7 3 L= 4 Kt lun: Phng pháp đ gii bƠi tp loi nƠy lƠ phơn tích đa thc thƠnh nhơn t vi nhơn t chung lƠ x - x 0 . Yêu cu đi vi hc sinh lƠ : Phi nm vng các phng pháp phơn tích đa thc thƠnh nhơn t, các hng đng thc, công thc phơn tích tam thc bc hai, đa thc bc ba thƠnh nhơn t: 2 0 0 c f(x) = ax + bx + c = (x - x ) ax - x    , ( f(x 0 ) = 0) NgoƠi các hng đng thc đáng nh, hc sinh cn nh các hng đng thc b xung lƠ : a n - b n = (a - b)(a n -1 + a n - 2 b +…+ ab n - 2 + b n - 1 ), * nN a n + b n = (a + b)(a n -1 - a n - 2 b +…- ab n - 2 + b n - 1 ), n lƠ s t nhiên l.  hc sinh d nh, cn ly các trng hp c th nh : n = 2, 3, 4 vƠ trng hp đc bit : x n - 1 = (x - 1)(x n - 1 + x n - 2 +…+ x + 1). Tu theo đc đim tng bƠi mƠ bin đi mt cách linh hot đ kh dng vô đnh. Trong quá trình thc hƠnh, nhiu khi sau các bin đi đƣ kh các thƠnh phn có gii hn bng 0 ta vn gp gii hn dng vô đnh 0 0 mi ( thng lƠ “đn gin” hn so vi gii hn ban đu). Ti đơy ta tip tc quá trình kh đn khi gii hn cn tìm không còn dng vô đnh 0 0 thì thôi. Bài tp t luyn 1) 3 4 x1 x 3x 2 lim x 4x 3    2) x0 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 lim x      3) 100 50 x1 x 2x 1 lim x 2x 1    4) n1 2 x1 x (n 1) n lim (x 1)       3. Loi 2 : 0 xx f(x) lim g(x)  mƠ f(x), g(x) cha các cn thc cùng bc vƠ f(x 0 )=g(x 0 )= 0 Phng pháp : Nhơn c t vƠ mu vi biu thc liên hp tng ng ca biu thc cha cn thc (gi tt lƠ phng pháp nhân liên hp hay dùng biu thc liên hp) đ trc các nhơn t x - x 0 ra khi các cn thc, nhm kh các thƠnh phn có gii hn bng 0. Biu thc cha cn thc có th lƠ t, mu hay c WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 6 t vƠ mu ca phơn thc cn tìm gii hn ). Lu ý lƠ có th nhơn liên hp mt hay nhiu ln đ kh dng vô đnh. Các công thc thng đc s dng khi nhơn liên hp lƠ : 33 22 33 33 ( A± B)( A B) = A - B , (A 0, B 0) ( A ± B)( A A B+ B ) =A ± B   Giáo viên cn cho hc sinh thy đc hai công thc nƠy xut phát t hai hng đng thc sau đ hc sinh d nh : 22 2 2 3 3 (a - b)(a + b) = a - b (a ± b)(a ab + b ) = a ± b Ví d áp dng: Ví d 8 : 8 2 x 2 3x - 2 - x L = lim x - 4  Bài gii : Nhơn c t vƠ mu vi biu thc liên hp tng ng, ta đc : 8 2 2 x 2 x 2 3x - 2 - x ( 3x - 2 - x)( 3x - 2 + x) L = lim lim x - 4 (x - 4)( 3x - 2 + x)   2 2 x 2 x 2 x 2 3x - 2 - x (x - 2)(-x + 1) lim lim (x - 4)( 3x - 2 + x) (x - 2)(x + 2)( 3x - 2 + x) x + 1 2 + 1 1 lim 16 (x + 2)( 3x - 2 + x) (2 + 2)( 3.2-2+2)           Vy 8 1 L= 16  WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 7 Ví d 9 : 9 1 x+2 1 L lim x+5 2     x Bài gii : 9 1 1 ( x+2 1)( x+2 1) ( x+5 2) x+2 1 L lim lim x+5 2 ( x+5 2)( x+5 2) ( x+2 1)                    xx 1 1 (x + 2 - 1)( x+5 2) (x + 1)( x+5 2) = lim lim (x + 5 - 4)( x+2 1) (x + 1)( x+2 1) xx       1 x+5 2 1 5 2 = lim 2 x+2 1 1 2 1 x          Vy L 9 = 2 Ví d 10 : n * 10 m 1 x - 1 L lim , (m, n N ) x - 1   x Bài gii : n 10 m 1 n-1 n-2 m-1 m-2 n n n n m m m m-1 m-2 n-1 n-2 m m m m n n n 1 x - 1 L lim x - 1 ( x - 1) ( x) +( x) + + x+1 ( x) +( x) + + x+1 =lim ( x - 1) ( x) +( x) + + x+1 ( x) +( x) + + x+1                     x x mm m-1 m-2 m nn 1 n-1 n-2 n (x - 1)( x + x + + x+1) =lim (x - 1)( x + x + + x+1)   x mm m-1 m-2 m nn 1 n-1 n-2 n x + x + + x+1 m =lim n x + x + + x+1   x Vy 10 m L = n Kt lun: Phng pháp dùng biu thc liên hp lƠ phng pháp ch yu đc s dng đ tính các gii hn có cha cn thc cùng bc. Có th xem đơy lƠ “ thut toán” c bn cho phép tính đc khá nhiu gii hn ca hƠm s cha cn thc, phng hng rõ rƠng, d hiu.Vic xác đnh biu thc liên hp lƠ không quá WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 8 khó khn đi vi hc sinh. Tuy nhiên giáo viên cn rèn luyn k nng xác đnh vƠ nhơn biu thc liên hp khi tính gii hn. Theo cách nƠy, nhiu bƠi toán tuy gii đc nhng phi qua các phép bin đi dƠi dòng vi biu thc cng knh. Nu dùng các gii khác nh thêm bt, đi bin s cho li gii ngn gn hn. Bài tp t luyn 1) 3 x1 x x 3 lim x1    2) 2 3 x2 x4 lim 2 3x 2    3) 22 xa x b a b lim xa      4) 3 2 3 2 x1 x 2 x x 1 lim x1       5) n x0 1 ax lim x   6) nn x0 a x a lim x   4. Loi 3: 0 xx f(x) lim g(x)  mƠ f(x) cha các cn thc không cùng bc vƠ f(x 0 )=g(x 0 )= 0 Phng pháp : S dng thut toán thêm bt đi vi f(x) đ có th nhơn biu thc liên hp. Chng hn nh : 00 mn mn 0 0 0 x x x x u(x) v(x) f(x) L= lim = lim ,( u(x ) v(x ) = 0,g(x ) = 0) g(x) g(x)    Ta bin đi : 00 00 mn mn x x x x mn x x x x u(x) - c + c - v(x) u(x)- v(x) L lim lim g(x) g(x) u(x) - c v(x) - c = lim lim g(x) g(x)               Ti đơy các gii hn 00 mn 12 x x x x u(x) - c v(x) - c L lim , L lim g(x) g(x)   đu tính đc bng cách nhơn liên hp. Ví d áp dng : Ví d 11 : 3 11 2 x 1 x+3 x+7 L lim x 3x+2     WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 9 Bài gii : x 1 x 1 x 1 x 1 33 11 22 3 22 lim lim lim lim x+3 x+7 ( x+3 2) + (2 x+7) L x 3x+2 x 3x+2 x+3 2 2 x+7 = x 3x+2 x 3x+2             2 3 3 3 2 22 33 x 1 x 1 (2 x+7) 4 2 x+7 ( x+7) ( x+3 2)( x+3+2) =lim lim (x 3x+2)( x+3+2) (x 3x+2) 4 2 x+7 ( x+7)               2 22 33 x 1 x 1 x+3 4 8 (x+7) =lim lim (x 3x+2)( x+3+2) (x 3x+2) 4 2 x+7 ( x+7)          x 1 x 1 2 33 x 1 1 x =lim lim (x 1)(x 2)( x+3+2) (x 1)(x 2) 4 2 x+7 ( x+7)           x 1 x 1 2 33 11 =lim lim (x 2)( x+3+2) (x 2) 4 2 x+7 ( x+7)          2 33 11 = (1 2)( 1+3+2) (1 2) 4 2 1+7 ( 1+7) 1 1 1 = 4 12 6             Vy 11 1 L 6  Ví d 12 : 3 12 2 0 1+2x - 1+3x L lim x x  Bài gii : 3 3 12 22 00 1+2x - (x+1) + (x+1) - 1+3x 1+2x - 1+3x L lim lim xx             xx 3 22 00 1+2x - (x+1) (x+1) - 1+3x =lim +lim xx   xx WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 10 0 2 22 3 3 3 0 2 2 2 33 1+2x - (x+1) 1+2x +(x+1) =lim x 1+2x +(x+1) (x+1) - 1+3x (x+1) ( 1) 1+3x ( 1+3x) +lim x (x+1) ( 1) 1+3x ( 1+3x)                              x x x x 23 2 2 2 2 33 00 22 33 00 (1+2x) - (x+1) (x+1) - (1+3x) lim lim x 1+2x +(x+1) x (x+1) (x 1) 1+3x ( 1+3x) - 1 x+3 lim lim 1+2x +(x+1) (x+1) (x 1) 1+3x ( 1+3x) xx xx                       22 33 - 1 0+3 1+2.0 +(0+1) (0+1) (0 1) 1+3.0 ( 1+3.0) 11 1 22           Vy 12 1 L 2  Kt lun : Phng pháp chung đ tính các gii hn ca biu thc cha các cn thc không cùng bc lƠ thêm, bt mt lng nƠo đó, tách thƠnh nhiu gii hn ri nhơn liên hp. Cn lu ý lƠ có th thêm bt mt hng s ( thng chn lƠ u(x 0 ) hoc v(x 0 )) hay mt biu thc. Vic thêm bt da trên đc đim tng bƠi vƠ phi tht tinh t. Thut toán thêm bt còn đc áp dng hiu qu đi vi các dng vô đnh khác. Bài tp t luyn 1) 3 x0 1 x 1 x lim x     2) 3 2 x2 x 11 8x 43 lim 2x 3x 2      3) nm x0 1 ax 1 bx lim x     4) 3 2 x0 2x 1 x 1 lim sinx     5) 3 4 x7 x 2 x 20 lim x 9 2      6) 3 2 x0 1 4x 1 6x lim x     5. Gii hn dng vô đnh 0 0 ca hàm s lng giác WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com [...]... WWW.MATHVN.COM cosx.cos2x cos(n-1)x(1- cosnx) x2 1- cosnx lim cosx lim cos2x lim cos(n-1)x lim x 0 x 0 x 0 x 0 x2 lim x 0 L16 12 2 22 n2 2 2 12 22 n 2 2 n2 2 n(n+1)(2n+1) 12 d ng thu t: - 1)x bi quan tr ng trong k ih nh n th y thu iv 17 : L17 1 x 2 cosx lim x 0 x2 i: L17 lim x 0 1 x 2 cosx x2 lim x ( 1 x2 0 1 x2 1 1 cosx lim lim 2 x 0 x 0 x x2 1 x2 1 lim x 0 2 x ( 1 x 2 1) 1 2 lim x x 2sin 2 lim 2 1) (1... ih n x 0 lim c sinh c n n m v ng ng c s d ng tr c ti p, 13 WWW.MATHVN.COM sinx 1, c x sin f (x) f (x) tgf (x) d ng : lim , lim , lim x x0 f (x) x x0 sin f (x) x x 0 f (x) v n d ng gi i h n lim x 0 i bi Trong khi gi d p, h n kh c ph c b c ih nv v i lim f (x) 0 b x x 0 ng th i v i m g sinx 2 sin(x 1) , lim 2 , x 1x 0 1 cosx 3x+2 lim x p t luy n i h n sau : 1) x 0 lim 1+sinx 1 sinx tgx 1 cosxcos2xco3x... 2tgy 1 tg 2 y 1 tgy 2tgy 29 WWW.MATHVN.COM 1 tgy 2tgy 2tgy lim 1 y 0 1 tgy 2tgy 1 tg 2 y 1 tgy 2tgy lim y e 0 L36 e lim 1 tgy y 1 0 1 K t lu n : V id nh 1 , vi c nh n d p, h c sinh ph i v n d ng t m t trong hai gi i h i bi t ih nc ch y cs d i v i h c sinh p t luy n 1) lim 1 x x 2 2 cot g x 0 x www.MATHVN.com 0 1 sin x x2 x2 3 3) lim 2 x x 2 5) lim(cos 2x) 1 tgx 2) lim x 0 1 sin x 3) lim 1 sin x cot . Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 1 Gii hn dng vô đnh lƠ nhng gii hn mƠ ta không th tìm chúng bng cách áp dng trc tip. WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 2 Thc t hc sinh hay gp trng hp 0 xx f(x) lim g(x)  mƠ 00 f(x ) = (x ) = 0g . NgoƠi ra trong mt s bƠi toán hc. WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Nhng dng vô đnh thng gp trong bài toán tìm gii hn ca hàm s 6 t vƠ mu ca phơn thc cn tìm gii hn ). Lu ý lƠ có th nhơn liên hp mt hay nhiu ln đ kh dng vô đnh. Các