đề học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án

đề học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án tham khảo

PHềNG GIO DC- O TO K THI CHN I TUYN HC SINH GII LP NM HC 2013 -2014 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt Cõu 1: a Tớnh giỏ tr ca biu thc: A = + 14 b Tỡm x; y tha món: x + y xy x + = Cõu 2: a Gii phng trỡnh nghim nguyờn: x + y x y 85 = P = ( x + 2012 ) + ( y 2013) + ( z + 2014 ) b Cho x ; y ; z l cỏc s nguyờn v S = x + y + z + 2013 Chng minh rng P chia ht cho 30 v ch S chia ht cho 30 Cõu 3: Cho ba s x, y, z khỏc v tho món: x + y + z = 1 1 = 2+ 2+ 2+ x y z xyz 1 + + >0 x y z ( Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = y 2009 + z 2009 ) ( z 2011 + x 2011 ) ( x 2013 + y 2013 ) Cõu 4: a Cho tam giỏc nhn ABC cú trc tõm H, trng tõm I; Giao im ng trung trc l O, trung im ca BC l M Tớnh giỏ tr biu thc: IO + OM IH + HA2 ã b Cho gúc xOy Mt ng thng d thay i luụn ct cỏc tia Ox; Oy ti M v N Bit giỏ tr biu thc 1 + khụng thay i ng thng d thay i OM ON Chng minh rng ng thng d luụn i qua mt im c nh Cõu 5: a Cho cỏc s x; y; z khụng õm, khụng ng thi bng v tha món: 1 + + x +1 y + z + Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x + y + z + x+y+z b Cho cỏc s dng x, y, z tho iu kin: xy + yz + zx = 671 Chng minh rng: x y z + + x yz + 2013 y zx + 2013 z xy + 2013 x + y + z Ht -H v tờn thớ sinh SBD phòng giáo dục-đào tạo đức thọ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán Năm học: 2008-2009 Thời gian: 150 phút Bài 1: Chứng minh m thay đổi, đờng thẳng có phơng trình: (2m - 1) x + my + = qua điểm cố định Bài 2: 1/ Cho S = 1.2008 + 2.2007 So sánh S với + + k.(2008 k + 1) + + 2008.1 2008 2009 2/ Cho a; b; c số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008 Chứng minh rằng: 2008a b c + + =1 ab + 2008a + 2008 bc + b + 2008 ca + c + Bài 3: Cho x = + Tính giá trị P = x2009 3x2008 + 9x2007 9x2006 + 2009 ( Bài 4: Giải phơng trình: x + 2009 + x )( ) 2009 + x x = 2009 Bài 5: Cho 00 < < 900 Chứng minh rằng: sin 2008 + cos2009 < Bài 6: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ( 2a + b ) ( 2a + c ) + ( 2b + c ) ( 2b + a ) + ( 2c + a ) ( 2c + b ) ab + bc + ca Bài 7: Tìm tất đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + với x R Bài 8: Cho ABC có ba cạnh a, b, c, có chu vi 2p diện tích S; r bán kính đ ờng tròn nội tiếp; bán kinh đờng tròn bàng tiếp góc A tam giác Chứng minh: p(p a) tg A = S Bài 9: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB M chuyển động nửa đờng tròn Xác định vị trí điểm M để MA + MB đạt giá trị lớn Bài 10: Cho dãy số { a n } đợc xác định theo công thức: a1 = Chứng minh với số nguyên tố p dãy a n = 3a n + 2n 9n + 9n 3; n = 2,3, tổng tơng ứng a1 + a2 + ap chia hết cho p - Hết - Hớng dẫn chấm Bài 1: (2 đ) Từ (2m - 1) x + my + = m(2x + y) + x = 2x + y = x = Với m x = y = Bài 2: (3 đ) 1/ Ta chứng minh: ab 1đ 1đ a+b 0,5đ áp dụng BĐT đợc: S 2 2008 + + + = 2009 2009 2009 2009 1đ 2/ Từ abc = 2008 suy a; b; c khác Thay abc = 2008 ta có: 0,5đ 2008 b bc bc + b + 2008 + + = =1 bc + b + 2008 bc + b + 2008 bc + b + 2008 bc + b + 2008 1đ ( ) Bài 3: (2 đ) Từ x = + x + = x = x x3 3x2 + 9x = 1đ P = x2009 3x2008 + 9x2007 9x2006 + 2009 = x2006 (x3 3x2 + 9x 9) + 2009 = 2009 1đ Bài 4: (2 đ) ĐK: x 0,5đ Ta có 2009 ( 2009 + x x = 2009 ) 2009 ( 2009 + x + x = 2009 ) Cộng (1) (2) suy ra: x = ( ( ) 0,5đ ) 0,5đ 2009 + x x (1) 2009 + x + x (2) x hay x = x = Bài 5: (2 đ) Ta dễ chứng minh đợc sin; cos < với < 900 Nên sin2008 < sin2 cos2009 < cos2 nên sin 2008 + cos2009 < Bài 6: (2 đ) ( 2a + b ) ( 2a + c ) = bc bc ( 2ac + bc ) ( 2ab + bc ) ( ab + bc + ca ) (Cauchy) 0,5đ 1đ 1đ 1đ ca ab Tơng tự 2b + c 2b + a ; ( )( ) ( ab + bc + ca ) ( 2c + b ) ( 2c + a ) ( ab + bc + ca ) 0,5đ Từ suy BĐT cần chứng minh Dấu = xảy a = b = c 0,5đ Bài 7: (2 đ) Ta có P(x + 1) + x2 = p(x) + x2 + 2x + P(x + 1) (x + 1)2 = P(x) x2 Đặt Q(x) = P(x) x2, Q(x) = Q(x + 1) 0,5đ 0,5đ Cho x = 0; 1; 2; nhận đợc Q(0) = Q(1) = Q(2) = = Q(n) = 0,5đ Suy phơng trình Q(x) Q(0) = có vô số nghiệm Do Q(x) Q(0) P(x) x2 = Q(0) = P(0) Vậy P(x) = x2 + a với a số tuỳ ý Thử lại ta thấy thoả mãn toán Bài 8: (2 đ) Chứng minh đợc S = (p a)ra = p tg S = p(p a) tg A 1,5 đ A 0,5đ ã Bài 9: (2 đ) Chứng minh đợc AMB = 900 Theo Pitago: MA2 + MB2 = AB2 = R2 áp dụng BĐT: ax + by Dấu = xảy 0,5đ (a )( ) + b x + y ta có MA + MB 4R 0,5đ 1đ = 600 MA = MB hay M vị trí cho A 0,5đ 3 Bài 10: (1 đ) Theo giả thiết a n + n = a n + ( n 1) = a n + ( n ) = n = ( a1 + 1) = 3n Vậy nên an = 3n n3 với n N* 0,5đ Với p = a1 = M ( ) p 13 + 23 + + ( p 1) Với p > a1 + a2 + ap = + + + p Do k + ( p k ) Mp + + + = PHềNG GIO DC V O TO p Mp nên a1 + a2 + ap M p ( ) 0,5đ K THI CHN HC SINH GII HUYN K ANH LP THCS NM HC 2002 2003 Mụn Toỏn Thi gian lm bi : 150 phỳt xy x y2 Bi (6) Cho biu thc : A = y x 2xy + y a) Rỳt gn biu thc A b) Tớnh giỏ tr ca biu thc A x = ; y = -1 Bi (4) a) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : M = - x2 + x + b) Gii phng trỡnh : x 4x + + 9y 6y + = Bi (2) Cho cỏc s t nhiờn : a, b, n , bit rng : (kn a) chia ht cho (k b) vi mi k nguyờn dng, k b Chng minh : a = bn Bi (5) Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R v mt ng thng d c nh nm ngoi (O) ; M l mt im di ng nm trờn ng thng d T M k cỏc tip tuyn MA, MB vi ng trũn (O).(A, B l cỏc tip im) Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O trờn d, dõy cung AB ct OH, OM ti I v K Chng minh rng: a) OI.OH = OK.OB = R2 ; b) ng thng AB luụn i qua mt im c nh M di ng trờn d Bi (3) Cỏc ng cao ca tam giỏc ba gúc nhn ABC ct ti O, trờn cỏc ã C = AC ã B = 90o Chng minh rng: AB1 on OB, OC ly im B1 v C1 cho AB 1 = AC1 HT PHềNG GIO DC V O TO K ANH K THI CHN HC SINH GII HUYN LP THCS NM HC 2003 2004 Mụn Toỏn Thi gian lm bi : 150 phỳt x x 3x + x + 1ữ ữ: ữ x x ữ x +3 x Bi (6) Cho biu thc: A = a) Rỳt gn A b) Tỡm x A < c) Tỡm giỏ tr nh nht ca A Bi (5) Gii cỏc phng trỡnh tỡm cỏc nghim nguyờn x , y: a) 2xy x + y = b) y2 = + x 4x Bi (1,5) S no ln hn : (27112003!)2 hay 2711200327112003 ? ( n! = 1.2.3.4n) Bi (6) Cho ng trũn tõm O, ng kớnh AB, d v d l cỏc ng thng vuụng gúc vi AB ln lt ti A v B Trờn d ly mt im M A ng thng qua O vuụng gúc vi MO ct d v d ln lt ti K v N a) Chng minh rng : MKN cõn b) Chng minh: MN l tip tuyn ca (O) c) Gi H l tip im ca (O) v MN ; I l giao im ca MB v AN Chng minh: HI song song vi BN Bi (1,5) Cho t giỏc li ABCD Xột hai t giỏc li F1 v F2 m mi t giỏc mi ny cú hai nh i din l trung im cỏc ng chộo v hai nh l trung im cỏc cnh i ca t giỏc ABCD Bit rng din tớch ca F1 v F2 bng Chng minh rng : Mt hai ng chộo ca t giỏc ABCD chia din tớch ca nú thnh hai phn bng HT PHềNG GIO DC V O TO K ANH K THI CHN HC SINH GII HUYN LP THCS NM HC 2004 2005 Mụn Toỏn Thi gian lm bi : 150 phỳt Bi : Cho biu thc A = x +1 x +1 : x x +x+ x x x a) Rỳt gn A b) Tỡm cỏc giỏ tr ca x A Â Bi : a) Tớnh giỏ tr ca biu thc A = + + x2 +1 = x2 +1 b) Gii phng trỡnh: x o Bi 3: Cho ABC (A = 90 ) , ng cao AH, v ng trũn (A ; AH) T B v C k cỏc tip tuyn ti ng trũn vi cỏc tip im tng ng l E, F a) Chng minh : EF l tip tuyn ca ng trũn i qua qua A, B, C b) Gi I l chõn ng vuụng gúc h t H xung EF ; CE ct BF ti K Chng minh: K l trung im HI Bi : Cho t giỏc ABCD, cho AB > AD v nh C nm trờn ng phõn giỏc ca gúc A Chng minh : AB + CD > AD + CB Bi : a) Vi x > Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s f(x) = x2 x +1 x b) Cho s t nhiờn m v n Bit m.n = 20032004 Hi m + n cú chia ht cho 2004 hay khụng? HT PHềNG GIO DC V O TO K ANH K THI CHN HC SINH GII HUYN LP THCS NM HC 2005 2006 Mụn Toỏn Thi gian lm bi : 150 phỳt Cõu 1: Vi giỏ tr no ca x thỡ biu thc : x2 cú cn bc hai; A x B x C x D x hoc x Cõu 2: Giỏ tr ca biu thc A = ữ s l: A + B C 1+ D Khỏc Cõu 3: Cho ABC vuụng ti A, bit: AC = 2AB; AM l ng cao T s MC s l: MB A B C.4 D.5 E Mt kt qu khỏc Cõu 4: a) Phõn tớch a thc thnh nhõn t: A = (x + x + 2004)(x2 + x + 2006) + b) Gii phng trỡnh: 3(x2 x + 1) = (x + x )2 a2 a 2a a 2(a 1) + Cõu 5: Cho biu thc: M = a + a +1 a a a) Rỳt gn M b) Tỡm giỏ tr nh nht ca M c) Tỡm giỏ tr ca a P(a) = a M Â Cõu 6: Cho ABC u, M l mt im thuc cnh BC Gi E, F ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn AB v AC, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn BC a) CMR: ME + MF = AH b) Gi I l trung im AM T giỏc HEIF l hỡnh gỡ?Vỡ sao? Cõu 7: Cho ABC vuụng ti A, k phõn giỏc AD Chng minh rng: a) 1 + = AB AC AD 1 + HT 2 AB AC AD b) PHềNG GIO DC V O TO K ANH K THI CHN HC SINH GII HUYN LP THCS NM HC 2006 2007 Mụn Toỏn Thi gian lm bi : 150 phỳt I PHN TRC NGHIM Cõu : Giỏ tr ca biu thc : M = ( + ) l : A B C D Cõu : Kt qu rỳt gn biu thc A = (x + 2) 8x + l : A 2x + B x C x D x v x Cõu : Tam giỏc ABC cú s o din tớch v chu vi bng thỡ bỏn kớnh ng trũn ni tip l : A B C D.4 ú sinx l : Cõu : Gúc nhn x cú tagx = A B C D II PHN T LUN Cõu 5: Cho biu thc A(x) = x x2 + 2x 3x a) Tỡm cỏc giỏ tr ca x A(x) xỏc nh Rỳt gn A(x) b) Chng minh nu x > thỡ A(x).A(-x) < Cõu : a) Gii phng trỡnh : x = x 3x + 1 b) Cho ax3 = by3 = cz3 v x + y + z = (x , y, z 0) Chng minh : ax + by + cz = a + b + c Cõu 7: Cho tam giỏc ABC cõn ti A, gúc A nhn, k ng cao BM Chng minh: AC 2.AB2 = MC BC Cõu : Cho hỡnh vuụng ABCD Trờn cnh AD, CD ln lt ly M, N cho : DM = DA, DN = DC Chng minh rng MN l tip tuyn ca ng trũn tõm B bỏn kớnh AB Cõu : Cho a, b, c v a + b + c 27 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: a b c + + b c a HT PHềNG GIO DC V O TO THCH H K THI CHN HC SINH GII HUYN LP THCS NM HC 2006 2007 Mụn Toỏn Thi gian lm bi : 150 phỳt 2a + + a3 a a ữ ữ Bi : Cho biu thc : P = ữ ữ a a + a + + a a) Rỳt gn P b) Xột du ca biu thc : P a Bi : Cho hm s y = m.x m + a) Xỏc nh m th ct trc honh ti im cú honh bng b) Chng minh rng : Khi m thay i thỡ th hm s luụn i qua mt im c nh c) Khi m = ( 15 + 12 ) ( 14 + 13 ) thỡ hm s ng bin hay nghch bin? Bi : Chng minh rng : 2+ + 2+ + = Bi : Cho ABC vuụng ti A Qua A v ng thng d vuụng gúc vi trung tuyn AI Cỏc tia phõn giỏc ca cỏc gúc AIB v AIC ct d ln lt D v E a) Chng minh: BCED l hỡnh thang ; b) Chng minh: BC2 = 4.BD.EC ; c) Mt ng thng x di ng qua trng tõm G ca tam giỏc ct AB M, ct bAC N Chng minh rng : 1 + 2 AM AN BC Bi : Tỡm tt c cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh: xy = 3(x + y) HT PHềNG GIO DC V O TO CAN LC K THI CHN HC SINH GII HUYN LP THCS NM HC 2006 2007 Mụn Toỏn Thi gian lm bi : 150 phỳt Bi : Rỳt gn cỏc biu thc sau: a) A = + b) B = a + a(a + 1) + a a a Bi : Gii cỏc phng trỡnh sau : a) 10 11x = 2006 b) x x x(1 x ) x(1 x) = a Bi : Cho hỡnh thang ABCD cú ng cao AB = a, ỏy nh AD = ; ỏy ln BC =2a; AC ct BD ti O a) Chng minh : AC v BD vuụng gúc vi ; b) Gi M l im i ng trờn AB Xỏc nh v trớ ca im M MCD cú chu vi t giỏ tr nh nht Tỡm giỏ tr nh nht ú theo a Bi : Cho AOB im M thuc cnh AB, k MP, MQ ln lt song song vi OB, OA ( P OA, Q OB ) a) Chng minh: OP OQ + =1 OA OB b) Gi I l giao im ca AQ v BP Chng minh : Din tớch t giỏc OPIQ bng din tớch tam giỏc AIB Bi : Cho x, y, z l cỏc s tha : xy + yz + zx = 2006 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x4 + y4 + z4 HT phòng gd - đt đức thọ đề thi olympic huyện năm học 2010 - 2011 Môn toán lớp 9; Thời gian làm 120 phút Bài 1: Cho biểu thức: P = 15 x 11 + x x +3 x + x x x +3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn P Bài 2: Giải phơng trình sau: a) x = x b) x + x + = ( x + 3) x + Bài 3: Cho phơng trình: x 2(m + 1) x + 2m + = (Trong m tham số ) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x thoả mãn ( x1 x ) = b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với tham số m Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) I điểm cung AB (Cung AB không chứa C, D) Dây ID, IC cắt AB lần lợt M N a) Chứng minh tứ giác DMNC nội tiếp b) Đờng thẳng IC AD cắt E ; đờng thẳng ID BC cắt F Chứng minh FE song song với AB Bài 5: Cho x, y thoả mãn: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 P = x + + y + y x Lu ý: Học sinh không đợc sử dụng loại máy tính bỏ túi - Hết THI HC SINH GII CP HUYN Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) Cõu 1: (5im) Rỳt gn biu thc: a A = + 1 + vi a > a (a + 1) b Tớnh giỏ tr ca tng B = + 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + 2 3 99 100 2 Cõu 2: (4im) Cho x + x + 2005 y + y + 2005 = 2005 2 a Chng minh y + y + 2005 = x x + 2005 ; (2im) b Tớnh S = x + y (2im) Cõu 3: (3im) Gii phng trỡnh + 2x = x Cõu 4: (3,5im) Tỡm giỏ tr nh nht ca A= a2 b2 vi a > 1, b > + a b Cõu 5: (4,5im) Cho ng trũn tõm O, im K nm bờn ngoi ng trũn K cỏc tip tuyn KA, KB vi ng trũn (A, B l cỏc tip im) K ng kớnh AOC Tip tuyn ca ng trũn (O) ti C ct AB E Chng minh rng: Cỏc tam giỏc KBC v OBE ng dng kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp cấp huyện Đề thức đề thi môn toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Cõu 1: (4 im) a Chng minh rng vi mi s t nhiờn n thỡ An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ l s chớnh phng b Tỡm cỏc s nguyờn x x3 - 2x2 +9x - chia ht cho x2 + Cõu 2: (4 im) x x5 x3 3x + = a Tớnh giỏ tr ca biu thc A = vi x + x +1 x + x + 11 2 b Cho ba s thc dng a, b, c tho món: a b + b c + c a = 2 Chng minh rng: a + b + c = Cõu 3: ( im) Gii phng trỡnh: x + x + 12 + x + x + = x + Cõu 4: (7 im) T im P nm ngoi (O;R) k hai tip tuyn PA v PB vi A v B l cỏc tip im Gi H l chõn ng vuụng gúc h t A n ng kớnh BC ca ng trũn a Chng minh rng PC ct AH ti trung im ca AH b Tớnh AH theo R v PO = d c ng thng a i qua P cho khong cỏch t O n ng thng a bng R , ng thng vuụng gúc vi PO ti O ct tia PB ti M Xỏc nh v trớ ca im P trờn ng thng a din tớch POM t giỏ tr nh nht Cõu 5: (2 im) Cho ba s dng a, b, c tho abc = Chng minh rng: 10 Bài 4: (2 đ) ĐK: x 0,5đ Ta có 2009 ( 2009 + x x ) = 2009 ( ) 2009 + x x (1) 0,5đ 2009 ( ) 2009 + x + x = 2009 ( ) 2009 + x + x (2) 0,5đ Cộng (1) (2) suy ra: x = x hay x = x = 0,5đ Bài 5: (2 đ) Ta dễ chứng minh đợc sin; cos < với < 900 1đ Nên sin2008 < sin2 cos2009 < cos2 nên sin 2008 + cos2009 < 1đ bc bc Bài 6: (2 đ) ( 2a + b ) ( 2a + c ) = ( 2ac + bc ) ( 2ab + bc ) ( ab + bc + ca ) (Cauchy) 1đ ca ab 2 Tơng tự ( 2b + c ) ( 2b + a ) ( ab + bc + ca ) ; ( 2c + b ) ( 2c + a ) ( ab + bc + ca ) 0,5đ Từ suy BĐT cần chứng minh Dấu = xảy a = b = c 0,5đ Bài 7: (2 đ) Ta có P(x + 1) + x2 = p(x) + x2 + 2x + P(x + 1) (x + 1)2 = P(x) x2 0,5đ Đặt Q(x) = P(x) x2, Q(x) = Q(x + 1) 0,5đ Cho x = 0; 1; 2; nhận đợc Q(0) = Q(1) = Q(2) = = Q(n) = 0,5đ Suy phơng trình Q(x) Q(0) = có vô số nghiệm Do Q(x) Q(0) P(x) x2 = Q(0) = P(0) Vậy P(x) = x2 + a với a số tuỳ ý Thử lại ta thấy thoả mãn toán 0,5đ Bài 8: (2 đ) Chứng minh đợc S = (p a)ra = p tg A 1,5 đ 73 S = p(p a) tg A 0,5đ ã Bài 9: (2 đ) Chứng minh đợc AMB = 900 Theo Pitago: MA2 + MB2 = AB2 = R2 0,5đ áp dụng BĐT: ax + by (a )( + b2 x2 + y2 ) ta có MA + MB 4R 1đ = 600 Dấu = xảy MA = MB hay M vị trí cho A 0,5đ 3 Bài 10: (1 đ) Theo giả thiết a n + n = a n + ( n 1) = a n + ( n ) = n = ( a1 + 1) = 3n Vậy nên an = 3n n3 với n N* 0,5đ Với p = a1 = M p 3 Với p > a1 + a2 + ap = ( + + + ) + + + ( p 1) Do k + ( p k ) Mp + 32 + + 3p = p Mp nên a1 + a2 + ap M p ( ) 0,5đ đề thi HS giỏi huyện - môn toán lớp năm học 2006-2007 Câu Rút gọn biểu thức: ( y y y + y )( ) y y Câu Tìm nghiệm nguyên phơng trình: y = 17 x Câu Cho đa thức: P(x) = x5 + a x4 + b x3 + c x2 + d x + e, biết: P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4 ) = 16; P(5) = 25 e) Tìm P(6) ? f) Tìm hệ số a, b, c, d, e đa thức P(x) ? 1 + ) Trong x > y > x + y 2x + y a2 b2 + b)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b + (a + b ) a + (a + b ) Câu a) Chứng minh: (3x + 3y)( Trong a b số thực khác không 74 Câu Cho tam giác vuông ABC (góc A = 900), đờng cao AH, có cạnh AB = cm, đoạn HC = cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tam giác ABD e) Tính diện tích tam giác ABC f) Chứng minh: CD = AC + BC đáp án thi HS giỏi huyện - môn toán lớp năm học 2006-2007 y + y )( ) y y Giải: Điều kiện xác định toán: y 0; y ; Câu Rút gọn biểu thức: ( y y y + y (1 y) 1 y y + y y y = y (1 + y ) y (1 y )(1 + y ) = (1 y)(1 + y ) y (1 + y ) = (1 y )(1 + y ) (1 y )(1 + y ) =1 Câu Tìm nghiệm nguyên phơng trình: y = 17 x Giải: y = 17 x ; Do > 17 x nên y < 10 Vì y nguyên => = 17 x x = y = Vậy nghiệm phơng trình là: (1; 3); (1; -3); (-1; 3); (-1; -3); => y = Câu Cho đa thức: P(x) = x5 + a x4 + b x3 + c x2 + d x + e, biết: P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4 ) = 16; P(5) = 25 g) Tìm P(6) ? h) Tìm hệ số a, b, c, d, e đa thức P(x) ? Giải: Xét hiệu: g(x) = P(x) x2 ta có: g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = =>1, 2, 3, 4, nghiệm g(x) Vì hệ số x5 nên g(x) có dạng: g(x) = (x 1) (x 2) (x 3) (x 4) (x 5) => P(x) = (x 1) (x 2) (x 3) (x 4) (x 5) + x2 a) P(6) = + 36 = 156 b) P(x) = (x2 3x + 2)(x2 7x + 12)(x-5) + x2 = (x4 7x3 + 12 x2 3x3 + 21x2 36x + 2x2 14x + 24)(x - 5) + x2 = (x4 10x3 + 35 x2 - 50x + 24)(x - 5) +x2 = x5- 10x4 + 35x3 - 50x2 + 24x - 5x4 + 50x3 - 175x2 + 250x 120 + x2 = x5- 15 x4 + 85 x3 224x2 + 274x 120 => a = -15; b = 85; c= -224; d = 274; e = -120 Câu a) Chứng minh: (3x + 3y)( 1 + ) Trong x > y > x + y 2x + y 75 Giải: Ta có: [ ( x + y) + (2x + y)]( 1 + ) ( x + y)(2x + y) x + y 2x + y ( x + y)(2 x + y) = => P Dấu xẩy x = y (Điều phải chứng minh) a2 b2 + b)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b + (a + b ) a + (a + b ) Giải: Q Trong a b số thực khác không Ta có: (a + b)2 2(a2 + b2) nên: a2 b2 a2 b2 + = + b + 2(a + b ) a + 2(a + b ) 2a + 3b 3a + 2b a + 2a + 3b b + 3a + 2b 1 + = 3(a + b )( + ) 2 2 2a + 3b 3a + 2b 2a + 3b 3a + 2b 1 (2a + 3b ) + (3a + 2b ) ( + ) = 2a + 3b 3a + 2b 12 (2a + 3b )(3a + 2b ) = 2 2 5 (2a + 3b )(3a + 2b ) 12 2 => Q = Vậy Q Dấu xẩy a = b 5 Q+2 [ ] Câu Cho tam giác vuông ABC (góc A = 900), đờng cao AH, có cạnh AB = cm, đoạn HC = cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tam giác ABD g) Tính diện tích tam giác ABC h) Chứng minh: CD = AC + BC Giải: c) Đặt BH = a > 0, AH = h > Trong tam giác ABC, Ta có: h2 = 3.a Trong tam giác ABH, Ta có: h2 = a2 => a2 + 3a = (a 1)(a + 4) = a = a = - (loại) => h2 = => h = Hay BH = (cm); AH = (cm) => BC = + = 4(cm) => góc ACB = 300 (1) AH.BC = = (cm2) SABC = A D B C H d) Vẽ tam giác BCE tram giác ABC DBC = ABE (c.g.c) => DC = AE ACE = ACB + BCE = 300 + 600 = 900 => AE = AC + CE => DC = AC + BC (Điều phải chứng minh) E 76 đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán Năm học 2005-2006 Thời gian làm 90 phút Câu I Tìm tập hợp số hữu tỷ x để x + số hữu tỷ ? Câu II x, y, z số thực dơng thoả mãn x + y + z = Hãy tìm giá trị nhỏ A = x + y + z Câu III Giải phơng trình: 81x4 + = 3 102 x3 + 12 x Câu IV Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên a số nguyên lớn không vợt a, kí hiệu: [ a ] Tìm x thoả mãn: 15 x 5x + = Câu V Cho hình vuông ABCD, đờng chéo AC lấy điểm M; I, Q trung điểm AM MC Qua M vẽ đờng thẳng song song với AD, đờng thẳng cắt AB N, cắt CD K Chứng minh: IB.AK = DQ.CN Đáp án Câu I (3 điểm) Đặt x + = x + t (x; t Q; x + t 0); t2 t2 Ta có: x +4 = (x + t) x + t > nên +t 2t 2t +t2 t2 t > 0; Vậy x = ( t > 0; t Q) 2t 2t Câu II x= (4 điểm) Ta có: 1+ + = x+ x y+ z y z áp dụng BĐT Bunhiacốpki ta có: ( + + ) ( + + )( x + y + z ) x + y + z 36 x y z Dấu xẩy khi: 1+ + : x= : y= : z = = = = = x y z x y z x + y + z 36 => x = 6; y = 12; z = 18 Câu III (4 điểm) Nhận xét: 81x4 + > => 33 108 x + 12 x > 33 12 x(9 x + 1) > x > 77 áp dụng BĐT Côsi cho số dơng: 6x; 9x2 + 1; ta có: 3 102 x3 + 12 x = 33 x.(9 x + 1).2 9x2 + 6x + => 81x4 + 9x2 + 6x + 81x4 - 9x2- 6x + (3x-1)2(9x2 + 6x + 2) (3x-1)2 Vì 9x2 + 6x + > x => x = Thoả mãn Câu IV (4 điểm) Giả sử x0 thoả mãn đ/k toán, ta có: 15 x0 + x0 15 x0 15 x0 + x0 15 x0 < < 5 => 120x0 - 56 25 + 30x0 25 + 30x0 < 120x0 - 16 => 90x0 - 81 < 90x0 - 41 => 6(15x0 - 7) 39 -1 < 6(15x0 - 7) 15 x0 39 15 x => < 30 30 39 15 x 15 x 0 Hay < ; Vì nguyên => 30 30 5 15 x0 15 x0 = => x0 = = => x0 = 15 5 A F D Qua M vẽ đờng thẳng NK cắt BC DA E F Ta có: IN ME NB = = = ; NIB = NMC = 1350 NM MC MC M K IB = (1) => INB NMC => NC Q QK MF KD = = = ; QKD = KMA = 1350 MK MA MA E QD C = ( 2) => QKD KMA => KA IB QD = Từ (1) (2) => => IB.KA = QD.NC ( Đpcm) NC KA I N B đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9, Năm học 2007-2008 Thời gian làm 120 phút Câu Tìm x, y N* cho: x+y = x + y2 Câu Cho số dơng a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6abc 1 g) Chứng minh + + a b c a) xy - 3x + y = 20; b) 78 a b c + + b3 c3 a Câu a) Tìm phần d R(x) chia đa thức P(x) = x2007 + x207 + x27 + x7 + x + cho đa thức Q(x) = x3 - x b) Tìm đa thức f(x) = 2x2 + ax + b biết x [ 1,1] f (x) h) Tìm gía trị nhỏ biểu thức: Câu Giải phơng trình: 3x + 12x + 16 + 4x + 16x + 25 = x 4x > 900) B =C = , H trung điểm BC Kẻ Câu Cho tam giác cân ABC ( A HD vuông góc với AC (D AC) Đờng thẳng AI vuông góc với BD (I BD) cắt HD O Chứng minh: g) Sin2 = sin cos h) O trung điểm HD Hớng dẫn chấm toán 9(07 08) Câu (4 điểm, câu điểm) Tìm x, y N * cho: b) xy - 3x + y = 20; xy - 3x + y -3 = 17 x(y 3) + (y -3) = 17 (y 3)(x + 1) = 17 x + = x = (loại) ; Hoặc y = 17 y = 20 x + = 17 x = 16 y = y = Vậy cặp số x, y thỏa mãn đ/k toán là: (16, 4) b) x+ y = 2 x +y Vì vai trò x y nh nên giả sử x y Ta có: 5(x + y) = 3(x2 + y2) x(5 3x) = y(3y - 5) Vì x, y dấu nên 3x 3y dấu 5 y > => y > x vô lý 3 5 + Nếu 3x < 3y < => x > y < => y =1, x = 2; 3 + Nếu 3x > 3y > => x < Vậy cặp số (x,y) thoả mãn đ/k toán (1, 2); (2, 1) Câu (4 điểm, câu điểm) Cho số dơng a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6abc i) Chứng minh 1 + + a b c áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có: 1 + a b ab 1 1 1 1 a+b+c + => + + + + = =6 b c bc a b c ab bc ca abc 1 + c a ac 79 a + b + c = 6abc 1 Vậy + + Dấu xẩy 1 => a = b = c = a b c a = b = c 2 a b c j) Tìm gía trị nhỏ biểu thức: + + b c a áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có: a + b ab b b + c3 bc c c + a ac a => a b c 1 a b c + + + ( + + ) 12 Vậy + + b c a a b c b c a Dấu xẩy khi: a = b = c = Câu (4 điểm, câu điểm) a) Tìm phần d R(x) chia đa thức P(x) = x2007 + x207 + x27 + x7 + x + cho đa thức Q(x) = x3 - x R(x) có dạng: ax2 + bx + c ; P(x) = Q(x) M(x) + R(x) = x(x 1)(x + 1) M(x) + ax2 + bx + c P(0) = = c; P(1) = = a + b + c; P(-1) = - = a b + c => a = 0; b = Vậy R(x) = 5x + c) Tìm đa thức f(x) = 2x2 + ax + b biết x [ 1,1] f ( x ) Thay x = 0; x = 1; x = -1 vào đa thức f(x) = 2x + ax + b ta có: b ( 1) => a + b ( 2) ( 3) a + b Cộng vế theo vế (2) và(3) ta đợc b , kết hợp với (1) => b = f (0) = b f (1) = + a + b f (1) = a + b Thay b = vào (2) => -2 a 0; Thay b = vào (3) => a => a = 2 2 => f(x) = 2x2 Ta có: x 2x 2x 2x Vậy đa thức phải tìm f(x) = 2x2 Câu (3 điểm) Giải phơng trình: x + 12 x + 16 + x + 16 x + 25 = x x 3(x + 2) + + 4(x + 2) + = (x + 2) mà 3(x + 2) + ; 4(x + 2) + (x + 2) x Từ phơng trình cho có nghiệm hai vế nhận giá trị hay (x + 2) = => x = - Vậy nghiệm phơng trình x = -2 Câu (5 điểm, câu 2,5 điểm) 80 Cho tam giác cân ABC ( àA > 90 ) àB = àC = H trung điểm BC Kẻ HD vuông góc với AC (D AC) Đờng thẳng AI vuông góc với BD (I BD) cắt HD O Chứng minh: i) Sin2 = sin cos j) O trung điểm HD Lời giải c) H trung điểm BC nên AH BC Vẽ BE AC (E đờng thẳng AC) ãEAB = 2ABC ã (góc tam giác ABC) Ta có: E BE BE.AC 2SABC ã A = = Sin EAB = (1) AB AB.AC AB AH BH AH.BC 2SABC ã ã CosABH =2 = = 2Sin ABH (2) AB AB AB2 AB2 Từ (1) (2) => Sin2 = sin cos ã ã ã d) Ta có: AHD ( Cùng phụ với HAD ) = ACH B CB CE = => CBE : HAD => HA K (3) HD D I O H C Gọi K giao điểm BD với AH ã ã ã ã CBD + BKH = 1v, HAI + AKD = 1v ã ã ã ã Mà BKH (đđ) nên CBD = HAI = AKD CB CD = => CBD : HAO => HA Từ (3) (4) (4) HO CE CD = mà CE = CD (HD đờng trung bình tam giác BEC) HD HO Nên HD = 2HO => O trung điểm HD Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau P = 2009 + 2008 2009 2008 ( 2008 Q= )( ) 2014 20082 + 4016 2009 2005.2007.2010.2011 10a 3b + ab = 2a b 5b a + = Bài 2: Biết Chứng minh rằng: 3a b 3a + b b > a > Bài 3: Chứng minh với < 450, ta có sin2 = 2sin cos ã Bài 4: Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c hai độ dài cho trớc) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC đợc gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC a/ Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn 81 Tính diện tích lớn b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thớc kẻ compa Tính diện tích hình vuông Bài 5: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 19b - a 19c3 - b 19a - c3 + + 3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c ac + 5a Hết Hớng dẫn chấm Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau P = 2009 + 2008 2009 2008 = Q= ( 2008 Q= ( )( ) 2014 20082 + 4016 2009 2005.2007.2010.2011 x x x + 2x ( x + 1) )( ) ( x ) ( x 1) ( x + ) ( x + ) = ( ) ( 2008 + 2008 ) =2 Đặt x = 2008, ( x + ) ( x ) ( x + ) ( x 1) ( x + ) =x+1= ( x ) ( x 1) ( x + ) ( x + ) 2009 Bài 2: Ta có 10a2 - 3b2 + ab = 3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 2a - b = b = 2a (2a - b)(5a + 3b) = 5a + 3b = 5a = -3b (loai) Với b = 2a 2a b 5b a 2a 2a 10a a 9a + = + = = 3a b 3a + b 3a 2a 3a + 2a 5a = Kẻ trung tuyến AM, đờng cao AH = 900; C Bài 3: Xét ABC có A ã AMH = a Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m = A c b h ; cos = ; sin2 = a a m c b 2bc 2ah 2h h Do 2sin cos = = = = = = sin2 a a a a a m B Ta có sin = H Bài 4: a/ Đặt AM = x (0 < x < c) C M A MN AM ax = MN = Ta có: BC AB c ( c - x) MQ = BM.sin60 = x M N Suy diện tích MNPQ là: S= ax ( c - x ) 2c = a x ( c - x) 2c B 60 Q P C 82 a+b a+b ab ab + Ta có bất đẳng thức: ữ (a > 0, b > 0) áp dụng, ta có: x = c-x x = c2 x+c-x x(c - x) = Dấu đẳng thức xảy khi: ữ c Suy ra: S cạnh AB c a c2 ac ac Vậy: S max = x = hay M trung điểm = 2c 8 b/ Giả sử dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC Nối BF, đoạn BF lấy điểm F Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' (E' AB;G', H' BC) Ta có: E'F'// EF F'G'// FG, nên: E'F' BE' BF' F'G' = = = EF BE BF FG E'F' = F'G' Do E'F'G'H' hình vuông + Cách dựng chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC F Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta có EF = FG, suy EFGH hình vuông BH' = cotg60 = ; E'H' BG' BH' + H'G' BH' ã cotgF'BC = = = +1 = +1 F'G' F'G' E'H' + Ta có: A Suy ra: Tia BF' cố định E' di động AB, cắt AC điểm F E' Vậy toán có nghiệm hình F E F' EF AE ax = EF = ; B H' H G' G BC AB c (c - x) HE = ( c - x ) sinB = ax (c - x) c2 x= EFGH hình vuông, nên EF = EH = c 2a + c 2 3a c S = EF = Suy diện tích hình vuông EFGH là: 2a + c + Đặt AE = x Ta có ( C ) Bài 5: Ta có a2 + b2 - ab ab (a + b)(a + b - ab) ab(a + b) a + b ab(a + b) 83 a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a 19b - a 4b - a ab + 5b Tơng tự với a, b, c > thì: 19c3 - b 19a - c3 4c b; 4a - c cb + 5c2 ac + 5a Từ ta có BĐT cần chứng minh Dấu = xảy a = b = c phòng giáo dục đào tạo đức thọ Đề thi học sinh giỏi lớp năm học 2009-2010 Môn: Toán Thời gian: 150 phút Bài 1: Cho biểu thức P = a a +a + a a +1 ( : a2 a ) a) Tìm a để biểu thức P có nghĩa b) Rút gọn P Bài 2: Tính giá trị biểu thức: A = ( 3x3 + 8x + ) Bài 3: 2009 với x = 94 5 + 14 ( +2 ) Cho tam giác ABC nhọn Gọi AH, BI, CK đờng cao tam giác Chứng minh S HIK = cos2 A cos2 B cos C S ABC Bài 4: Giải phơng trình x 2x + + x2 4x + = + 20092 + 20092 + 2009 2010 2010 Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC Trung tuyến AM BK cắt I Hai trung trực cạnh BC AC cắt O a) Chứng minh ABH đồng dạng với MKO b) Chứng minh IO3 + IK + IM = IA + IH + IB Bài 6: Cho a, b, c ba số thực dơng Chứng minh rằng: ab + bc + ca 3 (a + b)(b + c)(c + a) Lu ý: - Giám thị không đợc giải thích thêm - Học sinh không đợc sử dụng loại máy tính bỏ túi 84 - Hết Biểu điểm đáp án chấm thi HS giỏi môn toán lơp (09-10) a a a > a a a 0;a a Bài 1: (3đ) a) Biểu thức P có nghĩa b) Rút gọn P = a (a + a + 1) a +1 a ( a 1) = a + a +1 a +1 Bài 2: (4 đ) Rút gọn = Khi : x = 5 +3 ( ( a 1)(a + a + 1) ( + 2) = ) = a +1 a = a = 2; 14 = 1 Nên 3x + 8x + = + + = A = 32009 27 Bài 3: (4 đ) Lu ý học sinh không vẽ hình không chấm điểm Ta có : S HIK = S ABC S AKI S BHK S CIH S HIK S S S = AKI BHK CIH S ABC S ABC S ABC S ABC A BI.AC AB.AC.sin A = Ta có SABC = 2 AK.AI.sin A Tơng tự SAKI = S AKI AK.AI AK AI S = AC.AB = AC AB = cosA cosA = cos2A ABC B Tơng tự Vậy I K S BHK BH BK S CI CH = = cos2 B; CIH = = cos2 C S ABC AB BC S ABC CB CA H C S HIK = cos2 A cos2 B cos2 C S ABC Bài 4: (4 đ) Biến đổi vế phải ta có: 20102 = ( 2009 + 1) = 20092 + 2.2009 + + 20092 = 2010 2.2009 20092 2009 2009 2009 + 2009 + + = 2010 2.2009 + + 20102 2010 2010 2010 2 2009 2009 2009 2009 = 2010 + = 2010 + = 2010 ữ 2010 2010 2010 2010 85 PT đa về: x + x = 2010 ( *) Xét trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếu x < ta có ( * ) 2x = 2010 x = 2007 (thỏa mãn) * Trờng hợp 2: Nếu x < ta có ( * ) 0x + = 2010 (PT vô nghiệm) * Trờng hợp 3: Nếu x ta có ( *) 2x = 2010 x = Kết luận: PT có nghiệm x1 = 2013 (thỏa mãn) 2007 2013 ; x2 = 2 A Bài 5: (4 đ) a) Ta có MO // HA (cùng vuông góc với BC) OK // BH (cùng vuông góc với AC) ã ã KOM = BHA (góc có cạnh tơng ứng song song) MK // AB (M, K trung điểm BC AC) ã ã HAB = OMK (góc có cạnh tơng ứng song song) ABH đồng dạng với MKO b) Từ ABH đồng dạng với MKO K H I B MO MK = = AH AB O C M MO MI ã ã = = OMI = HAI (so le trong) AH AI IO IO IM IK = = = = AIH đồng dạng với MIO IH IH IA IB IO3 IM IK IO3 + IM + IK IO3 + IM + IK 3 = 3= = 3= = IH IA IB IH + IA3 + IB IH3 + IA + IB Xét AIH MIO có Bài 6: (1 đ) Theo bất đẳng thức CauChy cho số ta có: ab + bc + ca ab + bc + ca (abc) abc ữ (1) Và a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) a + b + c 3(ab + bc + ca) (2) Mặt khác: (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) abc ab + bc + ca 3(ab + bc + ca)(ab + bc + ca) ữ ữ (ab + bc + ca) ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a) ab + bc + ca 3 (a + b)(b + c)(c + a) Dấu "=" xảy a = b = c 86 87 [...]... c,Cho bit AB = 6cm, AC = 8cm Tớnh di on thng DE? đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn : Toán lớp 9 Năm học 2010-2011 ( Thời gian làm bài 150 phút ) Câu 1: ( 2,5 điểm ) 1 So sánh : 2008 20 09 + 2 Cho biểu thức B = 20 09 và 2008 1 1 + 1 2 + 2008 + 20 09 1 3 + + 1 2010 Chứng minh rằng B > 86 Câu 2: (1,0 điểm ) Chứng minh biểu thức : P = ( x 3 4 x 1) 2010 có giá trị là một số tự nhiên với x= 3 10 + 6... DQ.CN Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2008 - 20 09 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau P = 20 09 + 2 2008 20 09 2 2008 ( 2008 2 Q= )( ) 2014 20082 + 4016 3 20 09 2005.2007.2010.2011 10a 3b 2 + ab = 0 2a b 5b a 9 + = Bài 2: Biết Chứng minh rằng: 3a b 3a + b 5 b > a > 0 Bài 3: Chứng minh rằng với < 450, ta có sin2 = 2sin cos ã Bài 4: Cho tam giác ABC có. .. cựng ca M Chỳ ý: Thớ sinh khụng c s dng mỏy tớnh phòng giáo dục-đào tạo đức thọ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán9 Năm học: 2008-20 09 Thời gian: 150 phút Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình: (2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định Bài 2: 1/ Cho S = 1 1.2008 + So sánh S với 2 1 2.2007 + + 1 k.(2008 k + 1) + + 1 2008.1 2008 20 09 2/ Cho a; b; c là các... = x20 09 3x2008 + 9x2007 9x2006 + 20 09 ( 2 Bài 4: Giải phơng trình: x + 20 09 + x )( ) 20 09 + x x = 20 09 Bài 5: Cho 00 < < 90 0 Chứng minh rằng: sin 2008 + cos20 09 < 1 Bài 6: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 1 + 1 1 + ( 2a + b ) ( 2a + c ) ( 2b + c ) ( 2b + a ) ( 2c + a ) ( 2c + b ) 1 ab + bc + ca Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với x R Bài 8: Cho ABC có ba... + 16 + 4x 2 + 16x + 25 = 1 x 2 4x à > 90 0) B à =C à = , H là trung điểm của BC Kẻ HD vuông góc Câu 5 Cho tam giác cân ABC ( A với AC (D AC) Đờng thẳng AI vuông góc với BD (I BD) cắt HD tại O Chứng minh: a) Sin2 = 2 sin cos Câu 4 Giải phơng trình: 17 b) O là trung điểm của HD Phòng gd-đt đức thọ đề thi học sinh giỏi đợt i Năm học 2006-2007 môn toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1 Rút gọn... abc = P , pcm (Du = xy ra a = b = c = 1 ) 4 2 2 2 4 Tng t, ta cú: Ht _ sở giáo dục và đào tạo hà tĩnh kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 thcs năm học 2011-2012 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút đề thi chính thức Bài 1: a) Rút gọn biểu thức: A = 5 3 29 12 5 3 2 = 7 20 3 b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn a+b 3 ab 3 Bài 2: a) Giải phơng trình: x 2 x + 12 1 x = 36 ( x + 1) (... rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các 3 2 a n = 3a n 1 + 2n 9n + 9n 3; n = 2,3, tổng tơng ứng a1 + a2 + ap 1 đều chia hết cho p - Hết đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán Năm học 2005-2006 Thời gian làm bài 90 phút Câu I Tìm tập hợp số hữu tỷ x để x 2 + 4 là số hữu tỷ ? Câu II x, y, z là các số thực dơng thoả mãn 1 4 9 + + = 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + y x y z +z Câu... Tính diện tích của hình vuông đó 19b 3 - a 3 19c3 - b 3 19a 3 - c3 Bài 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: + + 3(a + b + c) ab + 5b 2 cb + 5c2 ac + 5a 2 Hết 2 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9, Năm học 2007-2008 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1 Tìm x, y N* sao cho: a) xy - 3x + y = 20; b) x+y 3 = x 2 + y2 5 Câu 2 Cho các số dơng a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6abc a) Chứng minh... Chng minh rng: x y z 1 + 2 + 2 x yz + 2013 y zx + 2013 z xy + 2013 x + y + z 2 Ht phòng gd - đt đức thọ đề thi olympic huyện năm học 2011 - 2012 Môn toán lớp 9; Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: a) Rỳt gn biu thc: M= (5 + 2 6 )( 49 20 6 ) 5 2 6 9 3 11 2 b) Cho x= 3 182 + 33125 + 3 182 33125 Chng minh x l mt s t nhiờn x - (m + 3)y = 0 Câu 2: Cho h phng trỡnh: (m - 2)x +... 2 Du = xy ra a b c = = x y z ( 1 + 1 + 1) = 1 1 1 9 p dng vi a = b= c = 1 ta cú 1 + + x +1 y + 2 z + 3 x + y + z + 6 x + y + z + 6 => x + y + z + 6 9 => x + y + z 3 2 ( Cú th chng minh BT trờn nh ỏp dng BT Bunhicopski ) p dng BT Cụsi cho 2 s dng ta cú: 1 8(x + y + z) x + y + z 1 8.3 x+ y+z 1 10 P = x+ y+ z+ = + + + 2 = x+ y+ z 9 9 x+ y+ z 9 9 x+ y+z 3 Du = xy ra khi v ch khi cỏc s x; y; z khụng