bài tập Toán phần hình không gian tham khảo
GV: Quốc Tân _đt:0909.913.266_Dạy từ lớp 5-12_Đặc biệt Luyện Thi Đại Học ƠN TẬP TẬP HÌNH HÌNH HỌC HỌC KHƠNG KHƠNG GIAN GIAN 11 11 ƠN I QUAN QUAN HỆ HỆ SONG SONG SONG SONG I Hai đường thẳng song song a, b ⊂ ( P ) aP b ⇔ a ∩ b = ∅ a) Đònh nghóa: b) Tính chất ( P ) ≠ (Q) ≠ ( R) ( P ) ∩ (Q) = a a, b, c đồng qui ⇒ • a P b P c ( P ) ∩ ( R) = b (Q) ∩ ( R) = c ( P ) ∩ (Q) = d d P a P b • ( P ) ⊃ a,(Q) ⊃ b ⇒ d ≡ a (d ≡ b ) a P b a ≠ b • a P c, b P c ⇒ a P b Đường thẳng mặt phẳng song song a) Đònh nghóa: d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ b) Tính chất d ⊄ (P ), d ' ⊂ ( P ) d P (P ) ⇒ d P (P ) • d P d ' • (Q) ⊃ d ,(Q) ∩ ( P ) = a ⇒ d P a ( P ) ∩ (Q) = d • (P ) P a,(Q) P a ⇒ d P a Hai mặt phẳng song song a) Đònh nghóa: (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ b) Tính chất ( P ) ⊃ a, b ( P ) ≠ (Q) (Q) P ( R) ⇒ (P ) P (Q) • ( P ) P ( R) ⇒ ( P ) P (Q) • ( P ) ∩ (Q) = a ⇒ a P b • a ∩ b = M a P (Q), b P (Q) (Q) P ( R) ( P ) ∩ ( R) = b Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng cách sau: • Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …) • Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba • Áp dụng đònh lí giao tuyến song song b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh d P ( P ) , ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d′ nằm (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng II QUAN QUAN HỆ HỆ VNG VNG GĨC GĨC II Trang Khối đa diện Hai đường thẳng vuông góc a) Đònh nghóa: Quốc Tân a ⊥ b ⇔ ( a¶ , b ) = 900 b) Tính chất r r rr • Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ⊥ b ⇔ u.v = b ⁄⁄ c • a ⊥ c ⇒ a ⊥ b Đường thẳng mặt phẳng vuông góc a) Đònh nghóa: b) Tính chất d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) a, b ⊂ ( P ), a ∩ b = O ⇒ d ⊥ (P ) • Điều kiện để đường thẳng ⊥ mặt phẳng: d ⊥ a, d ⊥ b a P b a ≠ b ⇒ (P ) ⊥ b ⇒ a Pb • • ( P ) ⊥ a a ⊥ ( P ), b ⊥ ( P ) ( P ) P (Q) ( P ) ≠ (Q) ⇒ a ⊥ (Q) ⇒ ( P ) P (Q ) • • a ⊥ (P ) ( P ) ⊥ a,(Q) ⊥ a a P (P ) a ⊄ (P) ⇒b⊥a ⇒ a P ( P) • • b ⊥ (P ) a ⊥ b,( P ) ⊥ b • Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng • Đònh lí ba đường vuông góc Cho a ⊥ ( P ), b ⊂ ( P ) , a′ hình chiếu a (P) Khi b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ Hai mặt phẳng vuông góc a) Đònh nghóa: ( ) (P) ⊥ (Q) ⇔ ·( P ),(Q) = 900 b) Tính chất ( P ) ⊃ a • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: a ⊥ (Q) ⇒ ( P ) ⊥ (Q) ( P ) ⊥ (Q) ( P ) ⊥ (Q),( P ) ∩ (Q) = c ⇒ a ⊥ ( Q ) ⇒ a ⊂ (P ) • • A ∈ (P ) a ⊂ ( P ), a ⊥ c a ∋ A, a ⊥ (Q) ( P ) ∩ (Q) = a ⇒ a ⊥ ( R) • ( P ) ⊥ ( R) (Q) ⊥ ( R) Chứng minh quan hệ vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d ⊥ a , ta sử dụng cách sau: • Chứng minh góc a d 900 • Chứng minh vectơ phương a d vuông góc với • Chứng minh d ⊥ b mà b P a • Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a • Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc Trang GV: Quốc Tân _đt:0909.913.266_Dạy từ lớp 5-12_Đặc biệt Luyện Thi Đại Học • Sử dụng tính chất hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …) b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) • Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P) • Chứng minh d // a a ⊥ (P) • Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q) • Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) (R) ⊥ (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ⊥ (Q) • Chứng minh ( (·P ),(Q) ) = 900 III GĨC GĨC –– KHOẢNG KHOẢNG CÁCH CÁCH III Góc a) Góc hai đường thẳng: Chú ý: 00 ≤ ( a¶ , b ) ≤ 900 a//a', b//b' ⇒ ( a¶ , b ) = ( a· ', b ' ) b) Góc đường thẳng với mặt phẳng: • Nếu d ⊥ (P) d· ,( P ) = 900 ( ( ) ) • Nếu d ⊥ (P ) d· ,( P ) = ( d· , d ' ) với d′ hình chiếu d (P) Chú ý: 00 ≤ d· ,( P ) ≤ 900 ( ) ( ) a ⊥ ( P ) ¶, b ) ⇒ (·P ),(Q ) = ( a b ⊥ (Q ) c) Góc hai mặt phẳng a ⊂ ( P), a ⊥ c • Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng ⇒ (·P ),(Q) = ( a¶, b ) b ⊂ (Q), b ⊥ c Chú ý: 00 ≤ (·P ),(Q) ≤ 900 ( ( ) ) d) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ diện tích hình chiếu (H′) (H) (Q), ϕ = (·P ),(Q) Khi đó: S′ = S.cosϕ ( ) Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo bằng: • Độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng • Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng Trang Khối đa diện Quốc Tân song song với đường thẳng thứ • Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng IV NHẮC NHẮC LẠI LẠI MỘT MỘT SỐ SỐ CƠNG CƠNG THỨC THỨC IV TRONG HÌNH HÌNH HỌC HỌC PHẲNG PHẲNG TRONG Hệ thức lượng tam giác a) Cho ∆ABC vuông A, có đường cao AH • AB + AC = BC • AB = BC.BH , AC = BC CH • 1 = + 2 AH AB AC • AB = BC.sin C = BC cos B = AC.tan C = AC cot B b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p • Đònh lí hàm số cosin: a =b + c – 2bc.cosA; b = c + a − 2ca.cos B; c = a + b − 2ab.cos C a b c = = = 2R • Đònh lí hàm số sin: sin A sin B sin C • Công thức độ dài trung tuyến: b2 + c2 a2 c + a2 b2 a2 + b2 c − ; mb2 = − ; mc2 = − 4 Các công thức tính diện tích a) Tam giác: 1 1 1 • S = a.ha = b.hb = c.hc • S = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc • S= • S = pr • S = p ( p − a) ( p − b) ( p − c) 4R 2S = AB AC = BC AH • ∆ABC vuông A: ma2 = • ∆ABC đều, cạnh a: b) Hình vuông: c) Hình chữ nhật: d) Hình bình hành: a2 S= S = a2 (a: cạnh hình vuông) S = a.b (a, b: hai kích thước) · S = đáy × cao = AB AD.sinBAD · S = AB.AD.sinBAD = AC.BD e) Hình thoi: S = ( a + b ).h f) Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) S = AC BD g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: KHỐI ĐA ĐA DIỆN DIỆN KHỐI VÀ THỂ THỂ TÍCH TÍCH CỦA CỦA CHÚNG CHÚNG VÀ Trang GV: Quốc Tân _đt:0909.913.266_Dạy từ lớp 5-12_Đặc biệt Luyện Thi Đại Học Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật Thể tích khối chóp: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích công thức • Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … • Sử dụng công thức để tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính thể tích cách bổ sung Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích d) Tính thể tích công thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có: VOABC OA OB OC = VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC ' * Bổ sung • Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên • Diện tích toàn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Góc mặt bên mặt đáy α (450 < α < 900) Tính thể tích hình chóp HD: Tính h = 1 a tan α ⇒ V = a3 tan α Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a Một mặt phẳng (P) qua AB vuông góc với mp(SCD) cắt SC SD C′ D′ Tính thể tích khối đa diện ADD′.BCC′ HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' khối SABCD 5a3 ⇒V= Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, cạnh lại Tính thể tích hình chóp theo x y Trang Khối đa diện Quốc Tân HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC AIBC (I trung điểm SA) xy − x − y2 ⇒V= 12 Bài Cho tứ diện ABCD có cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể tích tứ diện theo a, b, c HD: Trong mp(BCD) lấy điểm P, Q, R cho B, C, D trung điểm PQ, QR, RP Chú ý: VAPQR = 4VABCD = AP AQ AR ⇒V= (a2 + b2 − c2 )(b2 + c2 − a2 )(c2 + a2 − b2 ) 12 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ⊥ (ABC).Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM HD: VSAMN VSABC 3a3 SA SM SN SA 16 ⇒ V = = = = ÷ 50 SA SB SC SB ÷ 25 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB = cm Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB = cm, AC = 4cm Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng đáy SA = 5cm Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) b) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy góc 450 diện tích ∆ABC′ 49 cm2 Tính thể tích lăng trụ Bài 10 Cho hình vuông ABCD cạnh a, nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) phía mặt phẳng Trên Bx Dy lấy điểm M, N gọi BM = x, DN = y Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB =a, AD = a , SA ⊥ (ABCD) Gọi M,N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ⊥ (ABC) Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài 13 (A–08) Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC cosin góc đường thẳng AA’ B’C’ Trang GV: Quốc Tân _đt:0909.913.266_Dạy từ lớp 5-12_Đặc biệt Luyện Thi Đại Học HD: V= a3 ; cos ϕ = Bài 14 (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a (SAB) vuông góc mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN cosin góc hai đường thẳng SM DN HD: V= a3 ; cos ϕ = 5 Bài 15 (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điềm BC Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách đường thẳng AM, B′C HD: 2a3 V= ; d= a 7 Bài 16 (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM ⊥ BP tính thể tích khối CMNP HD: 3a3 96 V= Bài 17 (B–07): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA; M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN ⊥ BD tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC HD: d= a Bài 18 (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với ·ABC = ·BAD = 900 , BC = BA = a, AD = 2a SA⊥(ABCD), SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ H đến (SCD) HD: d= a Bài 19 (A–06): Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O′, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO′AB HD: V= 3a3 12 Bài 20 (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD, SC; I giao điểm BM AC Chứng minh (SAC) ⊥ (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB HD: V= a3 36 Trang Khối đa diện Quốc Tân Bài 21 (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ⊥ (ABC) Gọi M, N hình chiếu vuông góc A SB, SC Tính thể tích hình chóp A.BCMN HD: V= 3a3 50 Bài 22 (Dự bò A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A 1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA = 2a ·BAC = 1200 Gọi M trung điểm CC Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách d từ A đến (A1BM) HD: d= a ( ) Bài 23 (Dự bò A–07): Cho hình chóp SABC có góc ·(SBC ),( ABC ) = 600 , ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC) HD: d= 3a 13 Bài 24 (Dự bò B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD) AB = a, SA = a Gọi H, K hình chiếu vuông góc A SB, SD Chứng minh SC⊥(AHK) tính thể tích tứ diện OAHK HD: V= 2a3 27 Bài 25 (Dự bò B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đường tròn cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với ( ) (P) A lấy điểm S cho ·(SAB),(SBC ) = 600 Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Chứng minh tam giác AHK vuông tính thể tích tứ diện SABC HD: R3 V= 12 Bài 26 (Dự bò D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A 1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA BC1 Chứng minh MN đường vuông góc chung AA BC1 Tính thể tích tứ diện MA1BC1 HD: V= a3 12 Bài 27 (Dự bò D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A 1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA Chứng minh BM ⊥ B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B1C HD: d= a 30 10 Bài 28 (Dự bò A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, a ·BAD = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh A'D' A'B' Chứng minh AC' ⊥ (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN AA' = Trang GV: Quốc Tân _đt:0909.913.266_Dạy từ lớp 5-12_Đặc biệt Luyện Thi Đại Học HD: V= 3a3 16 Bài 29 (Dự bò A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = Tính thể tích khối chóp S.BCNM HD: V= a Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N 10 3 a 27 Bài 30 (Dự bò B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ·BAD = 600 , SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi C' trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC' song song với BD, cắt cạnh SB, SD B', D' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D' HD: V= a3 18 Bài 31 (Dự bò B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b Gọi α góc hai mặt phẳng (ABC) (A'BC) Tính tanα thể tích khối chóp A'.BB'C'C HD: 2 2 tanα = 3b − a ; V = a 3b − a a Bài 32 (Dự bò D–06): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt phẳng (SBC) b Tính thể tích khối chóp S.ABCD HD: a3b V= a − 16b Bài 33 (Dự bò D–06): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC′ cho CK = a Mặt phẳng (α) qua A, K song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện HD: V1 = a3 ; V2 = 2a3 Bài 34 (Dự bò 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a SB ⊥ (ABC) Tam giác ABC có BA = BC = a, góc ABC 1200 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Bài 35 (Dự bò 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a HD: S∆ AMB = 2 a Trang Khối đa diện Quốc Tân ƠN TẬP TẬP KHỐI KHỐI ĐA ĐA DIỆN DIỆN ƠN Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD, có cạnh đáy a ·ASB = α a) Tính diện tích xung quanh hình chóp b) Chứng minh chiều cao hình chóp a α cot − 2 c) Tính thể tích khối chóp HD: a) Sxq = a cot α c) V = α a cot − Bài Cho hình chóp SABC có mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với đáy Đáy ABC tam giác cân đỉnh A Trung tuyến AD = a Cạnh bên SB tạo với đáy góc α tạo với mp(SAD) góc β a) Xác đònh góc α, β b) Chứng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2 c) Tính diện tích toàn phần thể tích khối chóp HD: a) ·SBA = α ; ·BSD = β a2 a sin β (sin α + sin β ) + c) Stp = cos2 α − sin β cos2 α − sin β V= a3 sin α sin β 3(cos2 α − sin β ) Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác vuông góc với đáy Gọi H trung điểm AB M điểm di động đường thẳng BC a) Chứng minh SH ⊥ (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tìm tập hợp hình chiếu S lên DM c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a x = CM HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK = a a − 4ax + x 2 a2 + x Bài Trên đường thẳng vuông góc A với mặt phẳng hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B′, D′ hình chiếu A lên SB SD Mặt phẳng (AB′D′) cắt SC C′ Tính thể tích khối chóp SAB′C′D′ HD: VSAB′C ′ VSABC = 16a3 ⇒ VSAB′C′D′ = 15 45 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD A′, B′, C′, D′ Chứng minh: SA SC SB SD + = + SA′ SC′ SB′ SD′ HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp Bài Cho tứ diện SABC có cạnh a Dựng đường cao SH a) Chứng minh SA ⊥ BC b) Tính thể tích diện tích toàn phần hình chóp SABC Trang 10 GV: Quốc Tân _đt:0909.913.266_Dạy từ lớp 5-12_Đặc biệt Luyện Thi Đại Học c) Gọi O trung điểm SH Chứng minh OA, OB, OC đôi vuông góc với a3 ; Stp = a 12 Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 60 cạnh đáy a a) Tính thể tích khối chóp b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo (P) hình chóp HD: b) V = a3 a2 b) S = Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h góc đáy mặt bên α a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối chóp theo α h b) Cho điểm M di động cạnh SC Tìm tập hợp hình chiếu S xuống mp(MAB) HD: a) V = HD: a) Sxq = 4h tan α ; h3 V= 3(tan α − 1) tan α − Bài Trên cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 ≤ x ≤ a) nửa đường thẳng Ax vuông góc A với mặt phẳng hình vuông, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0) a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) (SBC) vuông góc b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC) c) Tính thể tích khối chóp SABCM d) Với giả thiết x2 + y2 = a2 Tìm giá trò lớn thể tích với SABCM e) I trung điểm SC Tìm q tích hình chiếu I xuống MC M di động đoạn AD 1 x a HD: b) d = c) V = ay( x + a) d) Vmax = 24 Bài 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc α hợp với mặt bên SAB góc β a2 a) Chứng minh: SC = cos2 α − sin β b) Tính thể tích khối chóp HD: b) V = a3 sin α sin β 3(cos2 α − sin β ) Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SA =2a vuông góc với mặt phẳng đáy a) Tính diện tích toàn phần hình chóp b) Hạ AE ⊥ SB, AF ⊥ SD Chứng minh SC ⊥ (AEF) Bài 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA = SB = SC = SD = a Tính diện tích toàn phần thể tích khối chóp S.ABCD Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, Trang 11 Khối đa diện Quốc Tân AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ⊥ (ABCD) SD = a a) Chứng minh ∆SBC vuông Tính diện tích ∆SBC b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ⊥ (ABCD), SD = a Từ trung điểm E DC dựng EK ⊥ SC (K ∈ SC) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a chứng minh SC ⊥ (EBK) Bài 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D Biết AB = 2a, AD = CD = a (a > 0) Cạnh bên SA = 3a vuông góc với đáy a) Tính diện tích tam giác SBD b) Tính thể tích tứ diện SBCD theo a Bài 16 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B Cạnh SA vuông góc với đáy Từ A kẻ đoạn thẳng AD ⊥ SB AE ⊥ SC Biết AB = a, BC = b, SA = c a) Tính thể tích khối chóp S.ADE b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB) Bài 17 Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′, cạnh đáy a, đường chéo mặt bên BCC′B′ hợp với mặt bên ABB′A′ góc α a) Xác đònh góc α HD: a) ·C ′BI ′ với I′ trung điểm A′B′ a3 b) Chứng minh thể tích lăng trụ là: sin 3α sin3 α Bài 18 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A′B′C′D′, chiều cao h Mặt phẳng (A′BD) hợp với mặt bên ABB′A′ góc α Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ HD: V = h tan α − , Sxq = 4h tan α − Bài 19 Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′, đáy ABC vuông A Khoảng cách từ AA′ đến mặt bên BCC′B′ a, mp(ABC′) cách C khoảng b hợp với đáy góc α a) Dựng AH ⊥ BC, CK ⊥ AC′ Chứng minh: AH = a, ·CAC ′ = α, CK = b b) Tính thể tích lăng trụ c) Cho a = b không đổi, α thay đổi Đònh α để thể tích lăng trụ nhỏ HD: b) V = ab3 2 c) α = arctan 2 sin 2α b − a sin α Bài 20 Cho lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ cạnh đáy a Góc đường chéo AC′ đáy 600 Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ HD: V = a3 ; Sxq = 4a2 Bài 21 Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên h Từ đỉnh vẽ đường chéo mặt bên kề Góc đường chéo α Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ − cos α cos α Bài 22 Cho lăng trụ tam giác ABc.A′B′C′, cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC′) hợp với mp(BCC′B′) góc α Gọi I, J hình chiếu A lên BC BC′ HD: Sxq = 4h2 Trang 12 GV: Quốc Tân _đt:0909.913.266_Dạy từ lớp 5-12_Đặc biệt Luyện Thi Đại Học a) Chứng minh ·AJI = α b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ HD: 3a3 b) V = ; Sxq = 3a2 tan α − tan α − Bài 23 Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy tam giác cạnh a, AA′ = A′B = A′C = b a) Xđ đường cao lăng trụ vẽ từ A′ Chứng minh mặt bên BCC′B′ hình chữ nhật b) Đònh b theo a để mặt bên ABB′A′ hợp với đáy góc 600 c) Tính thể tích diện tích toàn phần theo a với giá trò b tìm 2 a2 c) Stp = (7 + 21) 12 Bài 24 Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ABB′A′ hình thoi cạnh a, nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt bên ACC′A′ hợp với đáy góc nhò diện có số đo α (0 < α < 900) a) Chứng minh: ·A′AB = α HD: b) b = a b) Tính thể tích lăng trụ c) Xác đònh thiết diện thẳng qua A Tính diện tích xung quanh lăng trụ d) Gọi β góc nhọn mà mp(BCC′B′) hợp với mặt phẳng đáy Chứng minh: tanβ = tanα HD: b) V = a3sinα c) Sxq = a2(1 + sinα + + sin α ) Bài 25 Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A′ lên mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC) Cho ·BAA′ = 450 a) Tính thể tích lăng trụ a 2 ) Bài 26 Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy ABC tam giác nội tiếp đường tròn tâm O Hình chiếu C′ lên mp(ABC) O Khoảng cách AB CC′ d số đo nhò diện cạnh CC′ 2ϕ a) Tính thể tích lăng trụ b) Gọi α góc mp(ABB′A′) (ABC) (0 < α < 900) Tính ϕ biết α + ϕ = 900 2d tan3 ϕ HD: a) V = b) tan α = ; ϕ = arctan tan ϕ − tan ϕ − HD: a) V = b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ b) Sxq = a2(1 + Bài 27 Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ có đáy tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Mặt bên ABBA′ hình thoi, mặt bên BCC′B′ nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt hợp với góc α a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC′B′) Xác đònh góc α b) Tính thể tích lăng trụ HD: a Gọi AK đường cao ∆ABC; vẽ KH ⊥ BB′ ·AHK = α 3a3 b) V = cot α a) Trang 13 Khối đa diện Quốc Tân Bài 28 Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′, đáy hình thoi Biết diện tích mặt chéo ACC′A′, BDD′B′ S1, S2 a) Tính diện tích xung quanh hình hộp b) Biết ·BA′D = 1v Tính thể tích hình hộp HD: a) Sxq = S12 + S22 S1S2 b) V = S − S2 Bài 29 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, đường chéo AC′ = d hợp với đáy ABCD góc α hợp với mặt bên BCC′B′ góc β a) Chứng minh: ·CAC ′ = α ·AC ′B = β b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sinα.sinβ cos(α + β ).cos(α − β ) c) Tìm hệ thức α, β để A′D′CB hình vuông Cho d không đổi, α β thay đổi mà A′D′CB hình vuông, đònh α, β để V lớn d3 α = β = 300 (dùng Côsi) 32 Bài 30 Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D’ có đáy hình thoi ABCD cạnh a, µA = 600 Chân đường vuông góc hà từ B′ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy Cho BB′ = a a) Tính góc cạnh bên đáy b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp HD: c) 2(cos2α – sin2β) = ; Vmax = 3a3 HD: a) 60 b) V = ; Sxq = a2 15 Bài 31 Cho hình hộp xiên ABCD.A′B′C′D′, đáy ABCD hình thoi cạnh a ·BAD = 600; A′A = A′B = A′D cạnh bên hợp với đáy góc α a) Xác đònh chân đường cao hình hộp vẽ từ A′ góc α Tính thể tích hình hộp b) Tính diện tích tứ giác ACC′A′, BDD′B′ ( ABB′A′, ABCD ) Tính α biết α + β = π4 c) Đặt β = · HD: a) Chân đường cao tâm tam giác ABD a2 17 − b) SBDD′B′ = ; SACC′A′ = a2tanα c) α = arctan sin α Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu Trang 14 [...]... Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng đáy a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp b) Hạ AE ⊥ SB, AF ⊥ SD Chứng minh SC ⊥ (AEF) Bài 12 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = SB = SC = SD = a Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình. .. β a) Chứng minh: ·CAC ′ = α và ·AC ′B = β b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sinα.sinβ cos(α + β ).cos(α − β ) c) Tìm hệ thức giữa α, β để A′D′CB là hình vuông Cho d không đổi, α và β thay đổi mà A′D′CB luôn là hình vuông, đònh α, β để V lớn nhất d3 2 khi α = β = 300 (dùng Côsi) 32 Bài 30 Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, µA = 600 Chân đường vuông góc hà từ B′ xuống... tích ∆SBC b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ⊥ (ABCD), SD = a 3 Từ trung điểm E của DC dựng EK ⊥ SC (K ∈ SC) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ⊥ (EBK) Bài 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D Biết rằng AB = 2a, AD = CD... BB′ ·AHK = α 2 3a3 b) V = cot α 2 a) Trang 13 Khối đa diện Quốc Tân Bài 28 Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′, đáy là hình thoi Biết diện tích 2 mặt chéo ACC′A′, BDD′B′ là S1, S2 a) Tính diện tích xung quanh hình hộp b) Biết ·BA′D = 1v Tính thể tích hình hộp HD: a) Sxq = 2 S12 + S22 S1S2 2 b) V = 2 4 2 S − S2 2 1 Bài 29 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, đường chéo AC′ = d hợp với đáy ABCD một góc α... biệt Luyện Thi Đại Học c) Gọi O là trung điểm của SH Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau a3 2 ; Stp = a 2 3 12 Bài 7 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0 và cạnh đáy bằng a a) Tính thể tích khối chóp b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp HD: b) V = a3 6 a2 3 b) S = 6 3 Bài 8 Cho hình chóp tứ giác... cạnh bên và đáy b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp HD: c) 2(cos2α – sin2β) = 1 ; Vmax = 3a3 HD: a) 60 b) V = ; Sxq = a2 15 4 Bài 31 Cho hình hộp xiên ABCD.A′B′C′D′, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ·BAD = 600; A′A = A′B = A′D và cạnh bên hợp với đáy góc α a) Xác đònh chân đường cao của hình hộp vẽ từ A′ và góc α Tính thể tích hình hộp b) Tính diện tích các tứ giác ACC′A′, BDD′B′ ( ABB′A′,... Sxq = 3a2 3 tan α − 3 4 tan α − 3 Bài 23 Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy là tam giác đều cạnh a, AA′ = A′B = A′C = b a) Xđ đường cao của lăng trụ vẽ từ A′ Chứng minh mặt bên BCC′B′ là hình chữ nhật b) Đònh b theo a để mặt bên ABB′A′ hợp với đáy góc 600 c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trò b tìm được 2 2 7 a2 c) Stp = (7 3 + 21) 12 6 Bài 24 Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy... thể tích khối chóp theo α và h b) Cho điểm M di động trên cạnh SC Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB) HD: a) V = HD: a) Sxq = 4h 2 tan α ; 4 h3 V= 3(tan 2 α − 1) tan 2 α − 1 Bài 9 Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 ≤ x ≤ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0) a) Chứng minh hai mặt... tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên đoạn AD 1 1 3 x 2 a 3 HD: b) d = c) V = ay( x + a) d) Vmax = 6 24 2 Bài 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc α và hợp với mặt bên SAB một góc β a2 2 a) Chứng minh: SC = cos2 α − sin 2 β b) Tính thể tích khối chóp HD: b) V = a3 sin α sin β 3(cos2 α − sin 2 β ) Bài. .. là α Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ 1 − cos α cos α Bài 22 Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A′B′C′, cạnh đáy bằng a Mặt phẳng (ABC′) hợp với mp(BCC′B′) một góc α Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC′ HD: Sxq = 4h2 Trang 12 GV: Quốc Tân _đt:0909.913.266_Dạy từ lớp 5-12_Đặc biệt Luyện Thi Đại Học a) Chứng minh ·AJI = α b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ HD: 3a3 b) V = ;