CHƯƠNG 6. ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC1. Khái niệm2. Mô men tĩnh Trọng tâm3. Mômen quán tính4. Mômen quán tính của các hình đơn giản5. Công thức chuyển trục song song6. Công thức xoay trụcHệ trục quán tính chính là hệ trục có MMQT ly tâm bằng không
CHƯƠNG ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC GVC.Ths Lê Hoàng Tuấn NỘI DUNG Khái niệm Mô men tónh - Trọng tâm Mômen quán tính Mômen quán tính hình đơn giản Công thức chuyển trục song song Công thức xoay trục KHÁI NIỆM ♦ Thanh để đứng (H.a) chòu lực tốt để nằm (H.b) ♦ Có đại lượng phụ thuộc vào hình dáng, vò trí mặt cắt ngang, ảnh hưởng đến làm việc P P x z y a) x z y b) ♦ Đó Đặc trưng Hình Học mặt cắt ngang 2 MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM Xét hình phẳng biểu diễn mặt cắt ngang A (mặt cắt A) Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy M(x,y) điểm hình Lấy chung quanh M diện tích vi phân dA y0 y y0 y yC M C x0 O xC A dA x0 x x MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM ♦ Mômen tónh : Mômen tónh A trục x (hay y) là: S x = ∫ ydF , S y = ∫ xdF F y0 y y0 y F x, y âm dương nên Sx , Sy < > Thứ nguyên mômen tónh [(chiều dài)3] yC M C x0 O xC A dA x0 x x MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM ♦ Trọng tâm : Trục Trung tâm trục mà mômen tónh A Trọng tâm giao điểm trục trung tâm y0 y y0 y Mômen tónh trục qua trọng tâm yC M C x0 O xC A dA x0 x x MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM y0 y ♦ Cách xác đònh Trọng tâm C : Xác đònh xC yC Dựng hệ trục x Cy song song hệ trục xy 0 y0 y x = xC + xo ; y = yC + yo yC A O A Vì Sxo = nên: Sx = y C A Tương tự: Sy = x C A C x0 Sx = ∫ (y C + y o )dA = y C ∫ dA + ∫ y o dA = y C A + Sxo A M xC = xC Sy A Sx yC = A A dA x0 x x MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM Tính chất 1: (quan trọng) y • C x • C • Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trục đối xứ ng t cắt có hai trục đối xứng, • Mặ trọng tâm giao điểm hai trục đối xứng y • C x MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM y Tính chất : xC A1 Mômen tónh hình x1 phức tạp tổng mômen tónh hình đơn giản • C1 C Thí dụ 6-1 Đònh trọng tâm • y1 mặt cắt chữ L gồm chữ nhật C2 • Kết quả: O x2 Tọa độ trọng tâm Sy Sx x1 A + x A ; yC = C hình là: x C = = A A1 + A yC y2 x A2 y1 A + y A = A A1 + A MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM y 1- Mômen quán tính (MMQT) ♦Mômen quán tính độc cực (MMQT điểm) A điểm O: I = ∫ ρ2 dA p y O A ♦ Ip = Ix + Iy ♦ Ip , Ix , Iy > I = ∫ y dA ; I = ∫ x dA x y A dA ρ x ♦Mômen quán tính A trục y x : M A A ♦ Thứ nguyên - [chiều dài]4 x MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM y ♦Mômen quán tính ly tâm (MMQT hệ trục xy) I xy = ∫ x.y.dA A Thứ nguyên - [chiều dài]4 Ixy >< y O M A dA ρ x ♦Tính chất: MMQT mộät hình phức tạp tổng mômen quán tính hình đơn giản x MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM 2- Hệ trục trung tâm ♦ Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm y hệ trục không O gọi hệ trục quán tính y M A dA ρ x ♦ Hệ trục quán tính trung tâm có gốc trọng tâm ♦ MMQT trục quán tính trung tâm gọi MMQT trung tâm I = ∫ y dA ; I = ∫ x dA x y A A x MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM 2- Tính chất 3- quan trọng ♦Trục đối xứng mặt cắt trục vuông góc với qua trọng tâm hợp thành hệ trục trung tâm y dA1 dA2 A1 A2 O ♦Chứng minh: I xy = ∫ yxdA = A ∫ A1 + A2 yxdA = ∫ ( xy − yx)dA1 = A1 x MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 1- Hình chữ nhật: Hệ có hai trục đối xứng x, y hệ trục QTCTT I = ∫ y dA = x A bh I = x 12 hb I = y 12 h 2 y ∫ bdy h − dA = b.dy y dy h/2 O h/2 b y x MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP y 2- Hình tròn: dA = 2πρ.dρ R Hệ có hai trục đối xứng x, y hệ trục QTCTT O ρ dρ Tính Ip : D 2 I = ∫ ρ dA = ∫ ρ2 2πρ.dρ p A πD I = p 32 Ip Tính Ix , Iy : I = I = x y D πD I =I = x y 64 x MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Hình vành khăn: Tính Ip : 4 π D π d I = I D − Id = − p p p 32 32 πD I = (1 − η4 ) p 32 Tính Ix , Iy : I = I = I p x y πD I =I = (1 − η4 ) x y 64 y d O D η= d D x CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG I X = ∫ Y dA = ∫ ( b + y) dA A y A I = ∫ y dA + b ∫ y.dA + ∫ b dA X A A A I = I x + bSx + b A X I = I y + 2aSy + a2 A Y y Y 1- Lập công thức: Tính IX , IY , IXY : I XY Y b M O A dA x O' a x X X = I xy + aSx + bSy + abA CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG I = Ix + b A X Cách nhớ: MMQT trục MMQT trục cũ cộâng diện tích nhân khoảng cách hai trục bình phương y Y 2- Trường hợp thường dùng: Khi trục cũ (xy) hệ trục trung tâm : y Y b M O x O' a A dA x X X MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Thí dụ 3: I BB' bh I BB' = 12 h = I x + A. 2 y h/2 h bh + bh = 2 O h/2 B b x B' MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Thí dụ 4: Đònh MMQT trung tâm Giải: - Trọng tâm: Sx 24.4.2 + 2(4.12.10) y = = = 6cm C A (24.4) + 2(4.12) + I + I3 I = I - MMQT: X X X X 24.4 I1 = + (24.4).4 X 12 12 I = I3 = + (4.12).4 X X 12 y8 12 x 10 X y C X IX=4352cm4 x CÔNG THỨC XOAY TRỤC 1- Lập công thức: Tính Iu , Iv , Iuv : u = y.sinα+x.cos α v = y.cosα-x.sin α Iu = ∫A v2 dA; Iv = ∫A u2 dA Ta có: Iuv = ∫A uv.dA y V M y Ix + Iy Ix − Iy Iu = + cos 2α − I xy sin 2α I2x − I y I uv = sin 2α + I xy cos 2α dA U v O A u x α x CÔNG THỨC XOAY TRỤC 2- Hệ trục (HTC): Hệ trục quán tính hệ trục có MMQT ly tâm không Tìm HTC, cho Iuv=0 tg2α = − y V M y 2I xy Ix − Iy dA U v O A u x ⇒ có góc α0 sai biệt 90 nghóa có trục vuông góc α x CÔNG THỨC XOAY TRỤC MMQT cực trò M dIuv Cho =0 dα Cũng tg2α = − 2I xy Ix − Iy MMQT cực trò MMQT trục I max,min = Ix + Iy y V y ± (I x − I y )2 + 4I 2xy dA U v O A u x α x [...]... I xy = ∫ yxdA = A ∫ A1 + A2 yxdA = ∫ ( xy − yx)dA1 = 0 A1 x 4 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 1- Hình chữ nhật: Hệ có hai trục đối xứng x, y cũng là hệ trục QTCTT I = ∫ y 2 dA = x A bh 3 I = x 12 hb 3 I = y 12 h 2 2 y ∫ bdy h − 2 dA = b.dy y dy h/2 O h/2 b y x 4 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP y 2- Hình tròn: dA = 2πρ.dρ R Hệ có hai trục đối xứng x, y cũng là hệ trục QTCTT O ρ dρ Tính... QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM y ♦Mômen quán tính ly tâm (MMQT đối với hệ trục xy) I xy = ∫ x.y.dA A Thứ nguyên - [chiều dài]4 Ixy >< 0 y O M A dA ρ x ♦Tính chất: MMQT của mộät hình phức tạp bằng tổng mômen quán tính của các hình đơn giản x 3 MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM 2- Hệ trục chính trung tâm ♦ Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm y đối với hệ trục đó bằng không O được gọi là hệ trục quán... trục đối xứng x, y cũng là hệ trục QTCTT O ρ dρ Tính Ip : D 2 2 I = ∫ ρ dA = ∫ ρ2 2πρ.dρ p A 0 πD 4 I = p 32 Ip Tính Ix , Iy : I = I = x y 2 D πD 4 I =I = x y 64 x 4 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Hình vành khăn: Tính Ip : 4 4 π D π d I = I D − Id = − p p p 32 32 πD I = (1 − η4 ) p 32 4 Tính Ix , Iy : I = I = I p x y 2 πD I =I = (1 − η4 ) x y 64 4 y d O D η= d D x 5 CÔNG THỨC CHUYỂN... Trường hợp thường dùng: Khi trục cũ (xy) là hệ trục chính trung tâm : y Y b M O x O' a A dA x X X 4 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Thí dụ 3: I BB' 3 bh I BB' = 12 h = I x + A. 2 y 2 h/2 2 3 h bh + bh = 3 2 O h/2 B b x B' 4 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Thí dụ 4: Đònh MMQT chính trung tâm Giải: - Trọng tâm: Sx 24.4.2 + 2(4.12.10) y = = = 6cm C A (24.4) + 2(4.12)