Phương Trình – Bất Phương Trình – Hệ Phương Trình Trong Đề Thi Đại Học (2010 – 2015) Câu Giải phương trình : x 2 x x 1 x2 x x tập số thực (2015) ĐK : x -2 ( x )( x ) x2 ( x 1) x 2x x2 2 x x4 x 1 (1) x2 2 x 2x ( ) ( x )( x ) ( x )( x 2x ) ( x )( x ) ( x ) 2 ( x )2 ( ) Đặt f(t) = ( t )( t ) t 2t 2t với t R f '( t ) 3t 4t f(t) đồng biến Vậy (2) x 1 x x 13 13 Vậy x = hay x = x 2 x 2x x x 12 y y(12 x ) 12 Câu Giải hệ phương trình (x, y số thực) x 8x y (Khối A – 2014) x 12 y y(12 x ) 12 x 8x y (1) (2) Điều kiện xác định: ≤ y ≤ 12; 12 – x² ≥ Áp dụng Cauchy: x 12 y ≤ |x| 12 y ≤ (x² + 12 – y)/2 y(12 x ) ≤ (y + 12 – x²)/2 (a) (b) Từ (a) (b) → x 12 y y(12 x ) ≤ 12 (c) Do phương trình (1) có nghiệm khi đẳng thức (c) xảy x = 12 y y = 12 – x² với ≥ x ≥ Thay vào phương trình (2) ta x³ – 8x – = 10 x (d) Để phương trình (d) có nghiệm x³ – 8x – ≥ → x³ ≥ 8x + > 8x → x > 2 Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Xét hàm số f(x) = x³ – 8x – – 10 x f ’(x) = 3x² – + 2x 10 x > với x > 2 mà f(3) = nên x = nghiệm (d) Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S = {(3; 3)} (1 y) x y x (x y 1) y Câu Giải hệ phương trình 2y 3x 6y x 2y 4x 5y (x, y số thực) (Khối B – 2014) (1 y) x y x (x y 1) y Giải hệ phương trình: (1) 2y 3x 6y x 2y 4x 5y (2) Điều kiện: x ≥ 2y ≥ 0; 4x ≥ 5y + (*) Đặt a = x y b = y (a, b ≥ 0) phương trình (1) tương đương (1 – b²)a + a² + b² = + (a² – 1)b a(1 – b²) + (a² – 1) + (b² – 1) – (a² – 1)b = (1 – b²)(a – 1) + (1 – b)(a² – 1) = (1 – b)(a – 1)(2 + b + a) = b = a = (do a + b + > 0) y = x = y + Với y = → – 3x = x – 4x x = Với x = y + 1, điều kiện (*) ≤ y ≤ phương trình (2) trở thành 2y² + 3y – = y 2(y² + y – 1) + y – y = (y² + y – 1) (2 + y = ) = y² + y – = y 1 y 1 1 y = (loại) 2 Vậy tập nghiệm hệ phương trình S = {(1; 3), ( 1 ; )} 2 Câu Giải bất phương trình (x 1) x (x 6) x ≥ x² + 7x + 12 (Khối D – 2014) Điều kiện x ≥ –2 (x + 1) x + (x + 6) x ≥ x² + 7x + 12 (x + 1)( x – 2) + (x + 6)( x – 3) ≥ x² + 2x – (x 1)(x 2) (x 6)(x 2) – (x – 2)(x + 4) ≥ x2 2 x 7 3 x 1 x6 (x – 2) [ (*) (x 4)] ≥ x2 2 x 7 3 Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh x 1 x6 x4 x22 x 7 3 x 1 x6 x x 2x –1 Suy ra: (*) x – ≤ x ≥ –2 –2 ≤ x ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình [–2; 2] x x y y Câu Giải hệ phương trình x 2x(y 1) y 6y (x, y R) (Khối A – 2013) x x y y Giải hệ phương trình: x 2x(y 1) y 6y (1) (2) Điều kiện x ≥ 1; từ (2) suy 4y = (x + y – 1)² → y ≥ Đặt u = x ≥ 0; (1) Xét hàm số f(t) = u u y4 y (3) 2t t t với t ≥ → f ’(t) = t4 > với t ≥ Do phương trình (3) f(u) = f(y) u = y x = y4 + Thay vào (2) ta 4y = (y4 + y)² y[y(y³ + 1)² – 4] = y = y(y³ + 1)² = (4) Xét g(y) = y(y³ + 1)² với y ≥ → g’(y) = (y³ + 1)² + 6y³(y³ + 1) > (với y ≥ 0) mà g(1) = nên y = nghiệm phương trình (4) Với y = x = 1; với y = x = Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S = {(1; 0); (2; 1)} 2x y2 3xy 3x 2y (x, y R) Câu Giải hệ phương trình 2 4x y x 2x y x 4y (Khối B – 2013) 2 2x y 3xy 3x 2y Giải hệ phương trình sau 2 4x y x 2x y x 4y điều kiện 2x + y ≥ x + 4y ≥ (1) x² – 2xy + y² + x² – xy + 2x – 2y + x + = (x – y)² + 2(x – y) + + x(x – y + 1) = (x – y + 1)² + x(x – y + 1) = (x – y + 1)(2x – y + 1) = y = x + y = 2x + Với y = x + 1: (2) 3x² – x + = 3x 5x 3x² – 3x + (x + 1) – 3x x 5x = (x x)(3 x 3x Toán Tuyển Sinh Group (1) (2) (điều kiện x ≥ –1/3) ) =0 x 5x www.facebook.com/groups/toantuyensinh x² – x = x = V x = Khi hệ phương trình có nghiệm (0; 1) (1; 2) Với y = 2x + 1: (2) trở thành – 3x = 3x + 4x 9x = x(3 + 4x 9x 4 ) = x = Khi hệ phương trình có ngiệm 4x 9x (0; 2) Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho S = {(0; 1), (1; 2)} xy x 2 2x x y x y 2xy y Câu Giải hệ phương trình (x, y R) (Khối D – 2012) (1) xy x 2 2x x y x y 2xy y Giải hệ phương trình: (2) (2) x²(2x – y + 1) – y(2x – y + 1) = (x² – y)(2x – y + 1) = y = x² y = 2x + Với y = x², (1) trở thành x³ + x – = (x – 1)(x² + x + 2) = x = → y = 1 →y= 1 1 ; 5), ( ; 5) } Vậy hệ phương trình cho có tập nghiệm: S = {(1; 1), ( 2 Với y = 2x + 1, (2) trở thành 2x² + 2x – = x = x 3x 9x 22 y3 3y2 9y Câu Giải hệ phương trình 2 x y x y (x, y R) (Khối A – 2012) x 3x 9x 22 y3 3y2 9y Giải hệ phương trình 2 x y x y (1) (2) (1) (x – 1)³ – 12(x – 1) = (y + 1)³ – 12(y + 1) (3) (2) (x – 1/2)² + (y + 1/2)² = điều kiện có nghiệm –1 ≤ x – 1/2 ≤ –1 ≤ y + 1/2 ≤ hay –3/2 ≤ x – ≤ 1/2 – 1/2 ≤ y + ≤ 3/2 Xét hàm số g(t) = t³ – 12t [–3/2; 3/2] g’(t) = 3(t² – 4) < với t thuộc [–3/2; 3/2] hàm số g(t) nghịch biến [–3/2; 3/2] (3) g(x – 1) = g(y + 1) x – = y + y = x – Thay vào (2) ta x² + x² – 4x + – x + x – = 1/2 x² – 2x + 3/4 = x = 3/2 x = 1/2 Vậy {(3/2; –1/2), (1/2; –3/2)} tập nghiệm phương trình cho Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu Giải bất phương trình: x x 4x ≥ x (Khối B – 2012) Giải bất phương trình: x x 4x ≥ x (1) điều kiện x ≥ x² – 4x + ≥ ≤ x ≤ – x ≥ + Nhận xét x = thỏa mãn bất phương trình (1) x Nếu x > 0: (1) Đặt t = (2) x x 1 x ≥ (2) x x (điều kiện t ≥ 2) 3 t t ≥ 3>t≥5/2 t ≥ – t – t ≤ 2 t (3 t) t≥5/2 Suy t² ≥ 25/4 x + 1/x + ≥ 25/4 4x² – 17x + ≥ x ≥ x ≤ 1/4 Kết hợp điều kiện ta < x ≤ 1/4 x ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = [0; 1/4] U [4; +∞) 2 5x y 4xy 3y 2(x y) Câu 10 Giải hệ phương trình 2 xy(x y ) (x y) (x, y R) (Khối A – 2011) 2 5x y 4xy 3y 2(x y) Giải hệ phương trình sau: 2 xy(x y ) (x y) (1) (2) Phương trình (2) xy[(x + y)² – 2xy] + – (x + y)² = (xy – 1)(x + y)² – 2(xy – 1)(xy + 1) = (xy – 1)[(x + y)² – 2(xy + 1)] = xy = V x² + y² = Với xy = → x = / y Thay vào (1) ta có: / y – 4y + 3y³ – 2(1 / y + y) = 3y4 – 6y² + = y² = y = V y = –1 y = → x = 1; y = –1 → x = –1 Với x² + y² = 2; từ (1) → 5x²y – 4xy² + 3y(2 – x²) – 2x – 2y = 2x²y – 4xy² – 2x + 4y = xy (x – 2y) – (x – 2y) = (xy – 1)(x – 2y) = xy = (đã xét) x = 2y 10 10 y = – 5 10 10 ; Vậy tập nghiệm hệ phương trình S = {(1; 1), (–1; –1), ( ), 5 10 10 ; ( )} 5 Với x = 2y x² + y² = → 5y² = → y = Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 11 Giải phương trình: x x 4 x 10 3x (x R) (Khối B – 2011) Điều kiện: 2 x (*) Khi đó, phương trình cho tương đương: x 2 x 4 x 10 3x (1) Đặt t x 2 x , (1) trở thành: 3t t t t t 0, suy ra: t 3, suy ra: x 2 x x x x , thỏa mãn (*) x 2 x 3, vô nghiệm ( x 2 x với x 2;2 ) Vậy, phương trình cho có nghiệm: x Câu 12 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2x (y 2)x xy m x x y 2m (x, y R) (Khối D – 2011) 2x (y 2)x xy m Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x x y 2m (x x)(2 x y) m hệ phương trình cho tương đương với (x x) (2x y) 2m Đặt u = x² – x; v = 2x – y u.v m u(1 2m u) m u v 2m v 2m u Hệ cho trở thành (1) m(2u + 1) = u – u² (1) (2) (3) u u2 Vì u = x² – x ≥ –1/4 nên (3) m = 2u Xét hàm số f(u) = (u – u²)/(2u + 1) với u ≥ –1/4 f’(u) = 2u 2u (2u 1) ; f’(u) = u = 1 Bảng biến thiên Hệ phương trình cho có nghiệm khi m ≤ Toán Tuyển Sinh Group 2 www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 13 Giải bất phương trình x x 2(x x 1) ≥1 (Khối A – 2010) Giải bất phương trình x x 2(x x 1) ≥1 (1) Điều kiện x ≥ Ta có 2(x² – x + 1) = x² + (x – 1)² + > → – 2(x x 1) Nên (1) x x ≤ – Mặt khác: 2(x x 1) < 2(x x 1) ≤ – x + 2(x x 1) 2[(1 x)2 ( x )2 ] ≥ – x + Từ (2) (3) suy (1) có nghiệm – x = ≤ x ≤ – 2x + x² = x x = x (2) x (3) x ≥ x ≥ 3 (4x 1)x (y 3) 2y Câu 14 Giải hệ phương trình sau 2 4x y 4x (x, y R) (Khối A – 2010) (4x 1)x (y 3) 2y Giải hệ phương trình sau 2 4x y 4x (1) (2) Điều kiện x ≤ 3/4; y ≤ 5/2 phương trình (1) (4x² + 1).2x = (5 – 2y + 1) 2y (3) Xét hàm số g(t) = (t² + 1).t có đạo hàm g’(t) = 3t² + > với số thực t → g(t) đồng biến R (3) g(2x) = g( 2y ) 2x = 2y (4) Từ (4) suy x ≥ y = (5 – 4x²) / Thay vào (2) ta có: 4x² + (5 – 4x²)² / + 4x = (5) Nhận xét x = x = 4/3 không thỏa mãn (5) Xét hàm số h(x) = 4x² + (5 – 4x²)² / + 4x (0; 3/4) h’(x) = 8x – 4x(5 – 4x²) – = 4x(4x² – 3) – 4x < với < x < 3/4 4x → h(x) nghịch biến (0; 3/4); mà h(1/2) = Nên phương trình (5) có nghiệm x = 1/2 Suy y = Vậy (1/2; 2) nghiệm hệ phương trình cho Câu 15 Giải phương trình: 3x x 3x 14x (x R) (Khối B – 2010) Giải phương trình: 3x x 3x 14x (1) Điều kiện: –1/3 ≤ x ≤ (a) phương trình (1) 3x 1 x 3x 14x Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh 3(x 5) x 5 (x 5)(3x 1) 3x x (x – 5)( (2) 3x 1) = 3x x Vì 3x > với –1/3 ≤ x ≤ 3x x Nên (2) x = Vậy phương trình có nghiệm x = Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh