Bài giảng về phương trình bất phương trình

.Khái niệm ptr 1 ẩn số Là một đk đợc thiết lập dạng: fx = gx Với fx và gx là 2 biểu thức hàm số biến x, trong ptr nó là đối tợng cha biết trớc gọi là ẩn số mà ta cần tìm kiếm giải thoát

A.Mở đầu:

1.Những điều phải nói ngay:

Chả phải nói riêng bài toán về phơng trình(ptr) hay bất phơng trình(bptr),trớc bất

kỳ bài toán nào mà bạn phải tiếp cận và giải quyết nên trải qua 3 câu hỏi kinh

điển sau:

(H1) Có những đối tợng đặc biệt nào xuất hiện trong bài toán của chúng

ta ?

(H2) Các đối tợng đó cóliên quan gì đặc biệt với nhau?

(H3) Cần sử dụng công cụ gì để khai thác quan hệ đã khám phá trên?

2.Bản chất bài toán ptr, bptr Khi quan trắc cuộc sống với nhiều đối t-ợng con ngời nảy sinh các sự so sánh giá trị có 2 lối rẽ trong t duy con ngời khi

so sánh

1) Khẳng định sự chênh lệch giá trị giữa các đối tợng đã quan trắc khẳng định này

có tính đúng sai minh bạch tạo nên các đẳng thức và bất đẳng thức

2)Thiết lập các điều kiện so sánh và kiếm tìm giá trị của đối tợng thay đổi làm thỏa mãn sự so sánh đã thiết lập đó Sự so sánh đợc thiết lập ra ko kèm theo khẳng định

mà là để tạo ra các mục tiêu (đk) tìm kiếm tạo nên các phơng trình bất phơng trình

.Khái niệm ptr 1 ẩn số

Là một đk đợc thiết lập dạng:

f(x) = g(x)

Với f(x) và g(x) là 2 biểu thức (hàm số) biến x, trong ptr nó là đối tợng cha biết trớc gọi là ẩn số mà ta cần tìm kiếm (giải thoát) khỏi những ràng buộc để thỏa mãn

sự so sánh

.Chú ý

+Nếu thay dấu ”=” bởi các dấu ss khác ta có các bptr

+Nếu có nhiều đk ss đợc thiết lập (cùng với có thể xuất hiện nhiều đối tợng tìm kiếm) đồng thời ta có các hệ (ptr và bptr)

Những lý lẽ phía trên của tôi hy vọng giúp các bạn không bao giờ hàm hồ mà

phát biểu rằng ptr hay bptr này là đúng hay sai cả mà chỉ có các đẳng thức hay bất

đẳng thức sai mà thôi

+C¸c t×nh huèng x¶y ra víi 1 ptr (bptr):

th1: Vô No (ko tìm đợc giá trị thỏa đk thiết lập so sánh)

th2: Có duy nhất 1 gtrị tìm đợc thỏa mãn

th3+ : Tìm đợc nhiều thậm chí vô số

+Về nghiệm của ptr :

đó là giá trị tìm thấy của ẩn số thỏa đảm sự so sánh trong ptr bạn hãy nhớ trớc khi

ss đối tợng ss cần phải ”sống đợc” đã Và đó là lý do cần xác lập sự tồn tại của các biểu thức bị bế đi mà ss

Với hệ ptr nhiều ẩn số No của nó phải là 1 bộ giá trị đồng thời làm thỏa mãn sự

ss thiết lập, tôi phải nói vậy vì đôi khi tôi thấy rằng có bạn đi kl 1 hệ bậc nhất 2 ẩn

có 2 No !

3.Bàn về sự so sánh

phép so sánh xuôi phép so sánh ngợc

>

<

phép so sánh ngợc phép so

á sánh xuôi

+Các cấu trúc đợc thiết lập nên để so sánh với nhau chính là các biểu thức (hàm số)

mà biến số chính là giá trị cha biết trớc (cần tìm kiếm) gọi là ẩn số Các biểu thức ấy

chẳng qua là các công thức liên kết lại từ các phép toán cơ bản Vì thế về cơ bản công việc giải phơng trình là giải thoát ẩn số khỏi những ràng buộc rắc rối

đã đợc thiết lập, sự giải thoát ấy ắt hẳn phải đi kèm việc biến đổi ”tác động” vào

đối tợng đa về hình thức dễ khai thoát hơn(cơ bản)

+Không phải lúc nào cũng có thể (hay là cũng nên) tìm kiếm (giải thoát) trực tiếp ẩn số, có thể với 1ptr( bptr ) quá cồng kềnh ta nên tìm kiếm 1 đối tợng trung gian chứa ẩn số trực tiếp := ẩn số phụ, hệt nh ngời ta tìm vàng (ẩn số trực tiếp), thực ra là tìm ”quặng chứa vàng” (ẩn số phụ) rồi từ quặng mà đãi ra vàng 10.Cũng phải nói ngay là chẳng phải cứ đá quặng nào cũng đãi ra vàng,vì thế nếu

đặt ẩn số phụ thì phải đặt điều kiện cho ẩn phụ

+Cũng cần nhớ rằng do có các sự so sánh giá trị := sự đánh giá Thế nên không

đợc quên rằng đôi khi việc tìm kiếm (giải thoát) phải cần tới các kỹ năng đánh giá

để cá biệt hóa điều kiện so sánh

Tóm lại :

Có 3 giải pháp cơ bản trớc 1 ptr( bptr)

phép toán xuôi phép toán ngợc

-(

Ê

Ơ cos(:::) arccos(:::)

sin(::) arcsin(:::)

a(:::) loga (:::)

phép toán ngợc phép toán xuôi

(gp1)B: Biến đổi các đối tợng có mặt theo những mục đích sau:

(+)Đa về các hình thức căn bản

(+)Xuất hiện đối tợng thể hiện chung (ẩn số phụ)

(+)Bắt nhân tử

(gp2)a: Tìm ra đối tợng thể hiện chung để đặt ẩn phụ với mục đích làm đơn giản kết cấu (đặc biệt chú ý điều này với bài toán có tham số)

(gp3)d:Đánh giá tơng thích các đối tợng có mặt để cá biệt hóa sự so sánh Cần phải nắm đợc điều này nếu muốn xác định mục đích bài toán cũng

nh hình thành các phơng án giải

4.Sự giải thoát khỏi các phép toán

Do các cấu trúc đợc thiết lập nên để so sánh là các biểu thức (hàm số) mà các hàm số sơ cấp của chúng ta lại là các quy tắc dới hình thức các công thức cho tơng ứng giá trị đợc hình thành trên các phép toán cơ bản (quy tắc định trị cơ bản) Ta

đã biết các phép toán cơ bản nh sau:

Bảng 2:

n :::

Các phép toán tác động trực tiếp vào biến số đó cộng với các phép hợp hàm số giúp hình thành nên các lớp hàm số sơ cấp sau:

1,Hàm đa thức

2,Hàm phân thức

3,Hàm vô tỷ

4,Hàm lợng giác

5,Hàm số mũ và logarit

6,Các hàm tổng hợp từ cả 6 phép trên

Trong việc giải ptr(bptr) bạn cần nắm chắc điều này để có đợc hệ thống về các hình thức ptr(bptr) và ý tởng (giải pháp) cơ bản về kỹ năng xử lý

Ví dụ1:

Giải phơng trình:

2:p3x Ă Ă 3:2 p3 x Ă 1 = 1:

Trớc khi bắt đầu lời giải cần có những nhận xét sau:

Có:

căn bậc 2 (liên quan: đến phép lũy thừa bậc2) và bậc 3 (nghĩ đến phép lũy thừa bậc 3) của những lợng bậc nhất (rất dễ hóa giải nhờ phép nhân chia cho hằng số

và phép cộng trừ)

Tạo quan hệ:

(p3xĂ2)2 = 3x - 2

(p3

x

1)3 = x - 1

Ă

3(x - 1) - (3x - 2) = -1 (p3x 2)2 - 3(p3

x

1)3 = 1 (*)

3p3

x

1 + 1

Nh vậy nếu rút bớt 1 đối tợng căn vd: p3x Ă 2 = Ă

2 ta tìm ra đối tợng thể hiện chung (ẩn số phụ) (p3 x Ă 1) = t đem thay vào (*) để có

ptr $ Ă4t3 + 3t2 + 2t Ă 1 = 0 đây là 1ptr bậc 3 nhng có no đặc biệt t = 1

—————-Phải nói luôn nhợc điểm của chơng trình phổ thông hiện tại khi vắng mặt hai

”2 viên thuốc giải” cho 2 phép toán lợng giác đó là phép lấy arccos và arcsin

chả khác nào đẻ con gái ra (những đứa con gái siêu việt) rồi để nó ế chồng! Phá mất sự hài hòa của cấu trúc

4.Về bài toán có tham số

Xin quay lại sự ví von việc giải ptr nh là đi tìm vàng, sự kiếm tìm không chỉ phụ thuộc cách thức, công nghệ tìm kiếm mà còn phụ thuộc nhiều yếu tố Giải phơng trình cũng thế, trong những điều kiện thực tế khác nhau một đối tợng sẽ

có những giải pháp kiếm tìm và giải thoát khác nhau Việc đó không chỉ phụ thuộc

đối tợng trực tiếp (ẩn số) ta đi tìm mà còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố, những yếu

tố phụ gia (giống nh chất xúc tác trong phản ứng điều chế chất hóa học) có thể

cha tờng minh giá trị (cũng nh một biến số trong biểu thức hàm đợc thiết lập

so sánh) nhng ta không coi nó là ẩn số (vì có phải mục đích là đi tìm nó đâu!) mà gọi là tham số và ứng với mỗi tình huống đặc biệt xảy đến với tham số tình huống

và điều kiện giải thoát lại khác đi buộc ta phải luận xét tờng minh (quá trình biện luận) Vì lý do trên tôi nghĩ về bản chất

tham số là:

số tham gia vào sự thiết lập so sánh trong phơng trình có thể gây đến những giải pháp khác nhau cho việc tìm kiếm ẩn số

Xin đặt mình vào xúc cảm của một ngời chỉ huy một trận đánh khi gặp bài toán biện luận nói riêng hay có tham số nói chung Hãy đặt ra những chữ ”nếu” có lý (một cách tự nhiên) cho những tình huống xảy đến cho trận đánh ”giải thoát của

bạn”; đó thực chất là một quá trình diễn dịch các ý tởng giải thoát Tôi nhận thấy

có những câu hỏi thờng diễn ra tự nhiên với mình nh sau :

(B1) Bây giờ sẽ tấn công thế này nhng lỡ thì sao? vậy nên xét

(B2)Nếu (điều kiện) thuận lợi cho phép ”tấn công kia” không xảy ra thì sao? (chọn cáh tấn công khác tránh đi cạm bẫy đã nhận ra hay điều kiện không cho phép vừa nhận ra)

(B3) Quay lại (B1)

Cứ thế quá trình luận xét vét hết đợc các tình huồng xảy đến để cuối cùng cho

ta một kết luận tổng hợp

Nói chung tôi hơi khó hiểu là 1 số hs rất ngán việc giải và biện luận ptr, bptr

có tham số mong bạn hãy bình thản hơn thì tốt Thực ra loại bài tập này cần ở bạn phẩm chất của 1 bác nông dân Nó ko khó nhng rắc rối vì những suy luận vụn vặt kiểu vét cạn, ngày còn hs tôi thờng đối diện với nó nh thể cần đi qua một con

đờng ma lầy vậy Còn bạn hãy xuất phát việc ”giải và biện luận” từ thuật giải và khi nào cái tham số đáng ghét kia ngăn cản tính có lý của giải thuật thì ta sẽ vật nó

ra mà mổ xẻ và xem xét vậy thôi!

VD1:

Giải biện luận với m là tham số ptr:

m + x = 1 + m2 x

—————

ptr (m 1) = (m2 1)x

Nếu

$

m2

Ă

1 = 0 (m

Ă 1)(m + 1) = 0 m = 1 hoặc m = 1

m = 1 ptr $0x = 0 nhận R: tập nghiệm

m = 1 ptrĂ $0x =Ă2: vô nghiệm

Nếu m2

1 = 0 m = 1 và -1 ptr x = m Ă 1

$

m2 1

x =

$

m + 1

Vậy:

+Với m = 1 tập nghiệm ptr là R

+Với m = Ă1 ptr vô nghiệm

+Víi m = 1 vµ -1 ptr cã nghiÖm duy nhÊt x = 1

m + 1

Cũng phải nói thêm là khi dùng kỹ năng đặt ẩn số phụ giải phơng trình (bptr)

có tham số bạn cần đặt điều kiện cho ẩn số phụ kẻo không cái điều kiện ”tởng bở”

mà bạn luận ra cho nghiệm của phơng trình không xác thực

VD3:

Tìm tham số m để phơng trình:

cos2 xĂ2m:cosx + 1 = 0 có 2 ngiệm phân biệt x2 (0; ẳ )

2

————–

Tai nạn xảy đến là đặt cosx = t rồi thì ptr có ngiệm ptr t2 2m:t + 1 = 0 có 2ngiệm phân biệt (thậm chí 2nghiệm phân biệt (0; ẳ )

2 2

lời giải đúng phải là:

đặt cosx = t 2 (0; 1) khi x (0; ẳ ) mà với mỗi t (0; 1) thì cosx = t sẽ sinh ra duy nhất đúng 1 n0 x ẳ

2

(0; ) 2 2 Vậy nên để ptr đề ra có ngiệm nh yêu cầu ptr t2 2m:t + 1 = 0 có 2ngiệm phân biệt t 2 (0; 1) đến đây bạn hãy xem lại VD$2

Ă

Từ VD3 có thể rút ngay ra một bài học là:

Trong việc xử lý việc có nghiệm (hay luận xét số các nghiệm) một phơng trình

có tham số mà ta đặt ẩn số phụ:

(+)đặt điều kiện cho ẩn số phụ theo điều kiện của ấn số gốc, công việc này chính là tìm miền giá trị của hàm t = p(x) : ẩn phụ trên miền x thỏa điều kiện ẩn số

(+) Muốn xét số nghiệm cần xét cả tính cảm sinh nghiệm x từ nghiệm t của phơng trình ẩn phụ (phép giải ngợc)

B Một số giải pháp chi tiết:

Hãy xem lại bảng(2) các phép toán cơ bản để hiểu ý tởng hình thành các kỹ năng cơ bản mà tôi bày ra sau đây

1 Phơng trình (bptr) bậc nhất:

Tôi xem trọng loại này khi dạy cho h/s mất căn bản (phần nhiều trong những

đứa trẻ từng ngồi trớc tôi ) không phải vì nó dễ mà vì nó báo động đợc cho chúng

điều chúng đã mất

1.1,Khái niệm:

Là bài toán liên quan tới điều kiện so sánh với các biểu thức hình thành bởi 3phép toán (+),(-) và (.) với hằng số (các hàm bậc nhất)

1.2,Điều cơ bản cần biết:

(-)sự giải thoát:

(xem bảng 2)

(-)luật lệ:

Nhớ là (+) và (-) thì vô t nhng (:) thì cần số chia (mẫu số phân thức) = 06

2.Phơng trình đa thức bậc cao hơn 1:

Đây là nền tảng cho các thể loại ptr hay bptr có thể giải đợc sau này

1.1,Khái niệm:

Là bài toán liên quan tới điều kiện so sánh với các biểu thức hình thành bởi 3phép toán (+),(-) , (.) với hằng số và các hàm lũy thừa bậc tự nhiên(các hàm đa thức) 2.2,Điều cơ bản cần biết:

(-)Sự giải thoát:

Tìm cách phân tích triệt để đa thức về tích các nhân tử bậc nhất và bậc 2 vô nghiệm

(-)Luật lệ:

(+)Cần nắm vững các kiến thức về tam thức bậc 2

(+)Kỹ năng phân tích nhân tử gồm

(kng0)Cách nhẩm nghiệm môt đa thức bậc lớn hơn 2 (mò ra giá trị làm đa thức triệt tiêu )

(kng1)Định lý Bơzu:

Nếu đa thức P(x) có nghiệm là c (tức là P(c) = 0) thì P(x) có nhân tử (x - c),

(nghĩa là P(x) = (x - c).Q(x) với Q(x): đa thức )

(kng2): 2 Dạng phân tích cơ bản của 1 tam thức bậc 2 gồm phân tích chính tắc

và phân tích nhân tử

(+)Phơng pháp xét dấu bằng bảng và trục đan dấu