Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 42 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
42
Dung lượng
2,94 MB
Nội dung
Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 - oOo - CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG I MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Định lí Pi-ta-go: BC AB2 AC AB2 BC.BH ; AC BC.CH AH BH CH AB.AC BC.AH AH AB AC Cho tam giác ABC vng A có AB = 3cm, BC = 5cm AH đường cao Tính BH, CH, AC AH ĐS: BH 1,8 cm , CH 3,2 cm , AC cm , AH 2,4 cm Cho tam giác ABC vng A có AC = 10cm, AB = 8cm AH đường cao Tính BC, BH, CH, AH ĐS: Cho tam giác ABC vng A có BC = 12cm Tính chiều dài hai cạnh góc vng biết AB AC ĐS: AB 24 13 36 13 (cm ) , AC (cm) 13 13 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Biết BH = 10cm, CH = 42 cm Tính BC, AH, AB AC ĐS: BC 52 cm , AH 105 cm , AB 130 cm , AC 546 cm Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm góc A 600 a) Tính cạnh BC b) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính MN ĐS: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B 600 góc A 900 a) Tính đường chéo BD b) Tính khoảng cách BH DK từ B D đến AC c) Tính HK d) Vẽ BE DC kéo dài Tính BE, CE DC ĐS: Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O AB vẽ tia Ox AB Trên Ox, a lấy điểm D cho OD Từ B kẽ BC vng góc với đường thẳng AD NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a) Tính AD, AC BC theo a b) Kéo dài DO đoạn OE = a Chứng minh bốn điểm A, B, C E nằm đường tròn ĐS: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H Trên HB HC lấy điểm M, N cho AMC ANB 900 Chứng minh: AM = AN HD: ABD ACE AM AC.AD AB.AE AN Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Biết AB 20 AC 21 AH = 420 Tính chu vi tam giác ABC ĐS: PABC 2030 Đặt AB 20k , AC 21k BC 29k Từ AH.BC = AB.AC k 29 Cho hình thang ABCD vng góc A D Hai đường chéo vng góc với O Biết AB 13, OA , tính diện tích hình thang ABCD ĐS: S 126,75 Tính được: OB = 4, OD = 9, OC = 13,5 II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN Định nghĩa: Cho tam giác vng có góc nhọn sin a cạnh đối cạnh kề cạnh đối ; cosa ; tan a ; cạnh huyền cạnh huyền cạnh kề cot a cạnh kề cạnh đối Chú ý: Cho góc nhọn Ta có: sin 1; cos Cho góc nhọn , Nếu sin a sin b (hoặc cos cos , tan a tan b , cot a cot b ) a b Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc Tỉ số lượng giác góc đặc biệt: 300 450 600 sina 2 cos 2 2 tana 3 cota 3 Tỉ số LG NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Một số hệ thức lượng giác tan sin ; cos cot tan2 sin2 cos2 ; cos ; sin cos ; tan a cot a ; cot a sin2 a Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Biết BH = 64cm CH = 81cm Tính cạnh góc tam giác ABC ĐS: Cho tam giác ABC vng A Tìm tỉ số lượng giác góc B khi: a) BC = 5cm, AB = 3cm b) BC = 13 cm, AC = 12 cm c) AC= 4cm, AB=3cm ĐS: a) sin B 0,8 ; cos B 0,6 Cho tam giác ABC vng A, có AB = 10cm AC = 15cm a) Tính góc B b) Phân giác góc B cắt AC I Tính AI c) Vẽ AH BI H Tính AH ĐS: Tính giá trị biểu thức sau: a) cos2 150 cos2 250 cos2 350 cos2 450 cos2 550 cos2 650 cos2 750 b) sin2 100 sin2 200 sin2 300 sin2 400 sin2 500 sin2 700 sin2 800 c) d) sin350 sin 670 cos230 cos550 sin150 sin 750 cos150 cos750 sin300 e) cos2 200 cos2 400 cos2 500 cos2 700 f) sin 200 tan 400 cot 500 cos700 ĐS: a) 3,5 b) c) 0,5 d) e) f) Cho biết tỉ số lượng giác góc nhọn , tính tỉ số lượng giác lại : a) sin a 0,8 b) cos 0,6 c) tan a d) cot a ĐS: a) cos 0,6 b) sin a 0,8 Cho góc nhọn Biết cos sin Tính cota ĐS: Cho tam giác ABC vng C Biết cos A ĐS: tan B 12 13 Tính tan B Rút gọn biểu thức sau: a) (1 cos )(1 cos ) b) sin2 cos2 c) sin sin cos2 d) sin4 cos4 2sin2 cos2 e) tan2 sin2 a tan2 f) cos2 tan2 cos2 ĐS: a) sin2 a b) c) sin3 a d) e) sin2 a f) Chứng minh hệ thức sau: a) cos sin sin cos ĐS: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 b) (sin cos )2 (sin cos )2 4 sin cos Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C a b c sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sin A sin B sin C khơng? BH BH ĐS: a) Vẽ đường cao AH Chú ý: sin A ,sin C AB BC a) Chứng minh: b) khơng III MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c b a.sin B a.cos C ; c a.sin C a.cos B b c.tan B c.cot C ; c b.tan C b.cot B Giải tam giác vng ABC, biết A 900 và: a) a 15cm; b 10cm b) b 12cm; c 7cm ĐS: a) B 420 , C 480 , c 11,147cm b) B 600 , C 300 , a 14cm Cho tam giác ABC có B 600 , C 500 , AC 35cm Tính diện tích tam giác ABC ĐS: S 509cm2 Vẽ đường cao AH Tính AH, HB, HC Cho tứ giác ABCD có A D 900 ,C 400 , AB 4cm, AD 3cm Tính diện tích tứ giác ĐS: S 17cm2 Vẽ BH CD Tính DH, BH, CH Cho tứ giác ABCD có đường chéo cắt O Cho biết AC 4cm, BD 5cm , AOB 500 Tính diện tích tứ giác ABCD ĐS: S 8cm2 Vẽ AH BD, CK BD Chú ý: AH OA.sin500 , CK OC.sin500 Chứng minh rằng: a) Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh b) Diện tích hình bình hành tích hai cạnh kề nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh ĐS: a) Gọi góc nhọn tạo hai đường thẳng AB, AC Vẽ đường cao CH CH AC.sin a NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG I Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m a) Chứng minh tam giác ABC vng b) Tính sin B,sin C ĐS: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH, đường phân giác AD Cho biết HB = 112, HC = 63 a) Tính độ dài AH b) Tính độ dài AD ĐS: a) AH = 84 b) AD 60 Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Biết AH = 5, CH = a) Tính AB, AC, BC, BH b) Tính diện tích tam giác ABC ĐS: a) AB 61 25 , AC 61 , BH 6 b) S 305 12 Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Biết AH = 16, BH = 25 a) Tính AB, AC, BC, CH b) Tính diện tích tam giác ABC ĐS: Cho hình thang ABCD có A D 900 hai đường chéo vng góc với O a) Chứng minh hình thang có chiều cao trung bình nhân hai đáy b) Cho AB = 9, CD = 16 Tính diện tích hình thang ABCD c) Tính độ dài đoạn thẳng OA, OB, OC, OD ĐS: a) Vẽ AE // BD AB = ED AE AC b) S = 150 c) OA 7,2; OB 5,4; OC 12,8; OD 9,6 Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35 ĐS: S = 210 Vẽ BE // AC (E CD) DE BD BE Cho biết chu vi tam giác 120cm Độ dài cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17 a) Chứng minh tam giác tam giác vng b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến cạnh ĐS: a) Tính AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm ABC vng A b) r = 9cm Gọi O giao điểm ba đường phân giác SABC SOBC SOCA SOAB Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Biết A 480; AH 13cm Tinh chu vi ABC ĐS: BC 11,6cm; AB AC 14,2cm Cho ABC vng A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho AD = DE = EC a) Chứng minh DE DB DB DC b) Chứng minh BDE đồng dạng CDB c) Tính tổng AFB BCD ĐS: a) DB2 2a2 DE.DC c) AEB BCD ADB 450 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD BC nhau, đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a a) Tính ĐS: a) sin B cos B sin B cos B 17 b) b) Tính diện tích hình thang ABCD Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với A qua điểm B Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho HE = 2HA Gọi I hình chiếu D HE a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm b) Tính tan IED, tan HCE c) Chứng minh IED HCE d) Chứng minh: DE EC ĐS: a) AB cm , AC 20 16 cm , HC cm 3 b) tan IED tan HCE d) DEC IED HEC 900 Cho tam giác ABC vng A (AB < AC), đường cao AH Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h Chứng minh tam giác có cạnh a h; b c; h tam giác vng ĐS: Chứng minh (b c)2 h2 (a h)2 Cho tam giác nhọn ABC, diện tích Vẽ ba đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) SAEF SBFD SCDE cos2 A cos2 B cos2 C b) SDEF sin2 A cos2 B cos2 C S AEF cos2 A S ABC ĐS: a) Chứng minh b) SDEF SABC SAEF SBFD SCDE Cho ABC vng A có sin C cos B Tính tỉ số lượng giác góc B C ĐS: cos B ; sin B 3 ; sin C ; cos C 2 Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL Chứng minh: a) ANL ABC b) AN BL.CM AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C ĐS: Cho tam giác ABC vng A có C 150 , BC = 4cm a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM Tính AMH , AH, AM, HM, HC 6 b) Chứng minh rằng: cos150 ĐS: a) AMH 300 ; AH 1cm ; AM cm ; HM cm ; HC (cm) b) cos150 cos C CH AC Cho tam giác ABC cân A, có A 360 , BC = 1cm Kẻ phân giác CD Gọi H hình chiếu vng góc D AC a) Tính AD, DC b) Kẻ CK BD Giải tam giác BKC c) Chứng minh cos360 1 ĐS: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho tam giác ABC có AB = 1, A 1050 , B 600 Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = Vẽ ED // AD (D thuộc AC) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt BC F Gọi H hình chiếu A cạnh BC a) Chứng minh tam giác ABE Tính AH b) Chứng minh EAD EAF 450 c) Tính tỉ số lượng giác góc AED góc AEF d) Chứng minh AED AEF Từ suy AD = AF e) Chứng minh AD AF ĐS: Giải tam giác ABC, biết: a) A 90 , BC 10cm, B 750 b) BAC 1200 , AB AC 6cm c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma , đường cao AH = d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma , góc nhọn 470 ĐS: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Gọi E, F hình chiếu H cạnh AB AC a) Giải tam giác vng ABC b) Tính độ dài AH chứng minh: EF = AH c) Tính: EA.EB + AF.FC ĐS: a) AC 3 (cm) , B 600 , C 300 Nguồn tập: Thầy Trần Sỹ Tùng NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 b) AH 3 (cm) c) 27 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 - oOo - CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRỊN I SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRỊN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN Đường tròn Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R Vị trí tương đối điểm đường tròn Cho đường tròn (O; R) điểm M M nằm đường tròn (O; R) OM R M nằm đường tròn (O; R) OM R M nằm ngồi đường tròn (O; R) OM R Cách xác định đường tròn Qua ba điểm khơng thẳng hàng, ta vẽ đường tròn Tính chất đối xứng đường tròn Đường tròn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường tròn Đường tròn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường tròn Cho tứ giác ABCD có C D 900 Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BD, DC CA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường tròn HD: Chứng minh MNPQ hình chữ nhật Cho hình thoi ABCD có A 600 Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường tròn HD: Chứng minh EFGH hình chữ nhật, OBE tam giác Cho hình thoi ABCD Đường trung trực cạnh AB cắt BD E cắt AC F Chứng minh E, F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABD HD: Chứng minh E, F giao điểm đường trung trực tương ứng Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ đường tròn (I) đường kính OA Bán kính OC đường tròn (O) cắt đường tròn (I) D Vẽ CH AB Chứng minh tứ giác ACDH hình thang cân HD: Chứng minh ADO = CHO OD = OH, AD = CH Chứng minh HD // AC Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có C D 600 , CD = 2AD Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn HD: Chứng minh IA IB IC ID , với I trung điểm CD NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh điểm M, N, R S thuộc đường tròn HD: Cho hai đường thẳng xy xy vng góc O Một đoạn thẳng AB = 6cm chuyển động cho A ln nằm xy B xy Hỏi trung điểm M AB chuyển động đường nào? HD: Cho tam giác ABC có đường cao BH CK a) Chứng minh: B, K, H C nằm đường tròn Xác định tâm đường tròn b) So sánh KH BC HD: II DÂY CỦA ĐƯỜNG TRỊN So sánh độ dài đường kính dây Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính Quan hệ vng góc đường kính dây Trong đường tròn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Trong đường tròn: – Hai dây cách tâm – Hai dây cách tâm Trong hai dây đường tròn: – Dây lớn dây gần tâm – Dây gần tâm dây lớn Cho đường tròn (O; R) ba dây AB, AC, AD Gọi M, N hình chiếu B đường thẳng AC, AD Chứng minh MN ≤ 2R HD: Chứng minh bốn điểm A, B, M, N nằm đường tròn đường kính AB MN ≤ AB Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai dây AB CD vng góc với Chứng minh rằng: SABCD 2R2 HD: SABCD AB.CD NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho đường tròn (O; R) dây AB khơng qua tâm Gọi M trung điểm AB Qua M vẽ dây CD khơng trùng với AB Chứng minh điểm M khơng trung điểm CD HD: Dùng phương pháp phản chứng Giả sử M trung điểm CD vơ lý Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? b) Giả sử R 6,5cm, MA 4cm Tính CD c)* Gọi H K hình chiếu M CA CB Chứng minh: MH MK MC 2R HD: a) ACED hình thoi b) CD 12cm c) MH MA.MC MB.MC , MK AC BC Cho đường tròn (O; R) hai dây AB, CD vng góc với I Giả sử IA 2cm, IB 4cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây HD: OH OK 1cm Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai bán kính OA, OB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M, N cho OM = ON Vẽ dây CD qua M, N (M C N) a) Chứng minh CM = DN b) Giả sử AOB 900 Tính OM theo R cho CM MN ND HD: a) Vẽ OH CD H trung điểm CD MN b) Đặt OH = x C minh HOM vng cân HM = x Do CM = MN = ND HC = 3x OM R Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M, N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường tròn đường kính AB) a) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật b) Giả sử CD EF tạo với AB góc nhọn 300 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE HD: a) Vẽ OH CD Đường thẳng OH cắt EF K OH = OK CD = EF b) OH R R HK Vì E 900 nên CF đường kính EF 15R S 15R Cho đường tròn (O) dây CD Từ O kẻ tia vng góc với CD M, cắt (O) H Tính bán kính R (O) biết: CD = 16cm MH = 4cm HD: Cho đường tròn (O; 12cm) có đường kính CD Vẽ dây MN qua trung điểm I OC cho góc NID 300 Tính MN HD: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho điểm A, B, C D theo thứ tự đường tròn (O) cho số đo cung sau: sd AB 400 , sdCD 1200 Gọi I giao điểm AC BD M giao điểm DA CB kéo dài Tính góc CID AMB HD: Cho đường tròn (O) Từ điểm M ngồi (O), ta vẽ cát tuyến MAC MBD cho CMD 400 Gọi E giao điểm AD BC Biết góc AEB 700 , tính số đo cung AB CD HD: Cho đường tròn (O) điểm M ngồi (O) Vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC qua O (B nằm M C) Đường tròn đường kính MB cắt MA E Chứng minh: sd AnC sd BmA sd BkE với AnC , BmA BkE cung góc AMC HD: VI CUNG CHỨA GĨC Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB góc ( 00 a 1800 ) cho trước quỹ tích điểm M thoả mãn AMB a hai cung chứa góc dựng đoạn AB Chú ý: Hai cung chứa góc nói hai cung tròn đối xứng qua AB Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích Đặc biệt: Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường tròn đường kính AB Cách vẽ cung chứa góc – Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB – Vẽ tia Ax tạo với AB góc – Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d – Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa tia Ax AmB vẽ cung chứa góc Cách giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần: – Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H – Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T – Kết luận: Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây MN = R (điểm M cung AN ) Hai dây AN BM cắt I Hỏi dây MN di động điểm I di động đường nào? HD: Chứng minh MON MON 600 AIB 1200 I nằm cung chứa góc 1200 dựng đoạn AB Cho nửa đường tròn đường kính AB dây AC quay quanh A Trên nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa B ta vẽ hình vng ACDE Hỏi: a) Điểm D di động đường nào? b) Điểm E di động đường nào? HD: a) ADB ADC 450 D di động cung chứa góc 450 dựng đoạn AB (nằm nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C) b) Vẽ Ax AB DE cắt Ax F EAF = CAB AF = AB AF cố định AEF 900 E nằm đường tròn đường kính AF Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia đối tia CD lấy điểm F cho CE = CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động cạnh BC HD: Phần thuận: CBF = CDE BMD BME 900 M nằm đường tròn đường kính BD Mặt khác E C M C, E B M B M thuộc cung nhỏ BC Phần đảo: DM cắt BC E, BM cắt DC F CBF = CDE CE = CF Kết luận: Quỹ tích điểm M cung nhỏ BC đường tròn đường kính BD Cho tam giác ABC vng A Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB AC phía ngồi tam giác Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường tròn đường kính AB, N thuộc nửa đường tròn đường kính AC) a) Tứ giác BMNC hình gì? b) Tìm quỹ tích trung điểm I MN cát tuyến MAN quay quanh A HD: a) BMNC hình thang vng b) Gọi K trung điểm BC Quỹ tích điểm I cung DAE đường tròn đường kính AK Cho nửa đường tròn đường kính AB Gọi M điểm cung AB Trên cung AM lấy điểm N Trên tia AM, AN BN lấy điểm C, D, E cho MC = MA, ND = NB, NE = NA Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn HD: ACB ADB AEB 450 C, D, E nằm cung chứa góc 450 dựng đoạn AB Cho tam giác ABC vng A, đường phân giác BF Từ điểm I nằm B F, vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB BC M N Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN cắt đường thẳng AI điểm thứ hai D Hai đường thẳng DN BF cắt E a) Chứng minh bốn điểm A, B, D, E nằm đường tròn b) Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E nằm đường tròn Từ suy BE CE HD: a) ABE ADE B, D thuộc cung chứa góc dựng đoạn AE A, B, D, E (P) b) ACB ADB A, B, C, D (P) (P) (P) có điểm chung A, B, D (P) (P) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BEC BAC 900 Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm C di động (O) Gọi M giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Điểm M di động đường nào? HD: Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, A 500 , AB = 3,5cm HD: Bài tốn có hai nghiệm hình Dựng tam giác ABC biết BC = 4cm, đường cao BD = 3cm đường cao CE = 3,5cm HD: VII TỨ GIÁC NỘI TIẾP Định nghĩa Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn đgl tứ giác nội tiếp đường tròn Định lí Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn tứ giác nội tiếp đường tròn Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn Tứ giác ABCD có hai đỉnh C D cho ACB ADB tứ giác ABCD nội tiếp Chú ý: Trong tứ giác học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường tròn Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) A a (00 a 900 ) Gọi M điểm tuỳ ý cung nhỏ AC Vẽ tia Bx AM, cắt tia CM D a) Tính số đo góc AMD b) Chứng minh MD = MB HD: a) AMD 900 a b) MBD cân MD = MB Cho tam giác ABC khơng có góc tù Các đường cao AH đường trung tuyến AM khơng trùng Gọi N trung điểm AB Cho biết BAH CAM a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp b) Tính số đo góc BAC HD: a) AHN AMN AMHN nội tiếp b) BAC ANM 900 Cho tam giác ABC vng A Điểm E di động cạnh AB Qua B vẽ đường thẳng vng góc với tia CE D cắt tia CA H Chứng minh rằng: a) Tứ giác ADBC nội tiếp NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 b) Góc ADH có số đo khơng đổi E di động cạnh AB c) Khi E di động cạnh AB BA.BE CD.CE khơng đổi HD: a) BAC BDC 900 b) ADH ACB c) Vẽ EK BC KBE ABC BE.BA = BK.BC; KCE DCB CE.CD = CK.CB Cho nửa đường tròn đường kính AB dây AC Từ điểm D AC, vẽ DE AB Hai đường thẳng DE BC cắt F Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCDE nội tiếp b) AFE ACE HD: a) DCB DEB 1800 b) AECF nội tiếp AFE ACE Cho nửa đường tròn đường kính AB Lấy hai điểm C D nửa đường tròn cho AC CD DB Các tiếp tuyến vẽ từ B C nửa đường tròn cắt I Hai tia AC BD cắt K Chứng minh rằng: a) Các tam giác KAB IBC tam giác b) Tứ giác KIBC nội tiếp HD: a) Chứng minh tam giác có hai góc 600 b) BKC BIC 600 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB tia tiếp tuyến Bx nửa đường tròn Trên tia Bx lấy hai điểm C D (C nằm B D) Các tia AC BD cắt đường tròn E F Hai dây AE BF cắt M Hai tia AF BE cắt N Chứng minh rằng: a) Tứ giác FNEM nội tiếp b) Tứ giác CDFE nội tiếp HD: a) MEN MFN 90 b) D CEF 1800 Cho tam giác ABC Hai đường cao BE CF cắt H Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn Xác định tâm O đường tròn b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh năm điểm A, I, F, H, E nằm đường tròn HD: a) BHCD hình bình hành ACD ABD 900 O trung điểm AD b) AIH AFH AEH 900 Cho tam giác ABC Dựng ngồi tam giác tam giác BCD, ACE ABF Chứng minh rằng: a) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác nói qua điểm b) Ba đường thẳng AD, BE, CF qua điểm c) Ba đoạn thẳng AD, BE, CF HD: a) Gọi O giao điểm thứ hai hai đường tròn (ABF) (ACE) AOB AOC BOC 1200 BODC nội tiếp đường tròn (BCD) qua O b) AOB BOD 1800 A, O, D thẳng hàng Tương tự B, O, E thẳng hàng; C, O, F thẳng hàng Ba đường thẳng AD, BE, CF đồng qui c) ABD = FBC AD = CF; ACF = AEB CF = BE Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC BD cắt I Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI Tiếp tuyến đường tròn I cắt AD BC M N Chứng minh rằng: a) MN // CD b) Tứ giác ABNM nội tiếp HD: a) BIN BDC MN // CD b) BAM BNM 1800 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA = 2cm, OB = 6cm Trên tia Oy lấy hai điểm C D cho OC = 3cm, OD = 4cm Nối BD AC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp HD: Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn (O) Từ điểm M tiếp tuyến A, vẽ cát tuyến MBC Gọi I trung điểm BC Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp HD: VIII ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP Định nghĩa a) Đường tròn qua tất đỉnh đa giác đgl đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác đgl đa giác nội tiếp đường tròn b) Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác đgl đường tròn nội tiếp đa giác đa giác đgl đa giác ngoại tiếp đường tròn Định lí Bất kì đa giác có đường tròn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp Tâm hai đường tròn trùng đgl tâm đa giác Tâm giao điểm hai đường trung trực hai cạnh hai đường phân giác hai góc Chú ý: Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh Cho n_ giác cạnh a Khi đó: – Chu vi đa giác: p na (p nửa chu vi) – Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo (n 2).1800 n – Mỗi góc tâm đa giác có số đo 3600 n – Bán kính đường tròn ngoại tiếp: – Bán kính đường tròn nội tiếp: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 1800 n 1800 n a R 1800 2sin n a R.sin a 1800 tan n a 2r.tan r – Liên hệ bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp: – Diện tích đa giác đều: S nar R2 r a2 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Một đường tròn có bán kính R 3cm Tính diện tích hình vng nội tiếp đường tròn HD: a R 2(cm) S 18cm2 Một đa giác nội tiếp đường tròn O;2cm Biết độ dài cạnh 3cm Tính diện tích đa giác HD: R a 1800 2sin n n3 S 3(cm2 ) Cho lục giác ABCDEF, độ dài cạnh a Các đường thẳng AB CD cắt M, cắt đường thẳng EF theo thứ tự N P a) Chứng minh MNP tam giác b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp MNP HD: a) MNP có góc 600 MNP tam giác cạnh 3a b) Ra Cho ngũ giác ABCDE cạnh a Hai đường chéo AC AD cắt BE M N a) Tính tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp ngũ giác b) Chứng minh tam giác AMN CMB tam giác cân c) Chứng minh AC.BM a2 HD: a) r a R 1800 tan a : 2sin 180 0,8 b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác AB BC CD DE EA Dùng định lí góc đường tròn, chứng minh tam giác có hai góc c) ABM ACB AB BM AC BC Cho đường tròn (O; R) Từ điểm A đường tròn (O) vẽ cung AB, AC cho sd AB 300 , sd AC 900 (điểm A nằm cung BC nhỏ) Tính cạnh diện tích tam giác ABC HD: BC R , AC R , AB 2R sin150 , S R2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 sin150 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 IX ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN, CUNG TRỊN Cơng thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn) Độ dài C đường tròn bán kính R tính theo cơng thức: C 2 R C d ( d 2R ) Cơng thức tính độ dài cung tròn Trên đường tròn bán kính R, độ dài l cung n0 tính theo cơng thức: l Rn 180 Cho 3,14 Hãy điền vào bảng sau: Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S 94,2 28,26 HD: Cho đường tròn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC OA Biết độ dài đường tròn (O) 4 (cm ) Tính: a) Bán kính đường tròn (O) b) Độ dài hai cung BC đường tròn HD: Tam giác ABC có AB = AC = 3cm, A 1200 Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp ABC HD: Một tam giác hình vng có chu vi 72cm Hỏi độ dài đường tròn ngoại tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu? HD: Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) tiếp xúc ngồi với A Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B, cắt đường tròn (O) C Chứng minh R R độ dài cung AC nửa độ dài cung AB (chỉ xét cung nhỏ AC, AB) HD: Cho đường tròn đường kính BC R Trên đường tròn lấy điểm A cho AB R Gọi P1, P2 , P3 chu vi đường tròn có đường kính CA, AB, BC Chứng minh rằng: P12 P22 P32 HD: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 bốn nửa đường tròn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường tròn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn HD: Cho nửa đường tròn (O; 10cm) có đường kính AB Vẽ hai nửa đường tròn đường kính OA OB nửa đường tròn (O; 10cm) Tính diện tích phần nằm ba đường tròn HD: Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC Lấy điểm A (O) cho AB < AC Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB AC phía ngồi tam giác ABC Chứng minh diện tích tam giác ABC tổng hai diện tích hai hình trăng khuyết phía ngồi (O) HD: X DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN Cơng thức tính diện tích hình tròn Diện tích S hình tròn bán kính R tính theo cơng thức: S R2 Cơng thức tính diện tích hình quạt tròn Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0 tính theo cơng thức: S R2n 360 hay S lR (l độ dài cung n0 hình quạt tròn) Một hình vng hình tròn có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn HD: Gọi chu vi hình 4a Shv a2 , Sht a2 Sht Shv Chứng minh diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vng hai lần diện tích hình tròn nội tiếp hình vng HD: Gọi độ dài cạnh hình vng a Sngoại tiếp a2 ; Snội tiếp a2 Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bới đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh 6cm HD: Rngoại tiếp a 2sin 180 , Rnội tiếp a tan 180 S 9 (cm2 ) Một tam giác cạnh a nội tiếp đường tròn (O) Tính diện tích hình viên phân tạo thành cạnh tam giác cung nhỏ căng cạnh HD: S a2 a2 12 Tam giác ABC vng A, đường cao AH = 2cm Trên nửa mặt NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 phẳng bờ BC có chứa A ta vẽ ba nửa đường tròn có đường kính BH, CH BC Tính diện tích miền giới hạn ba nửa đường tròn HD: Đặt HB R, HC 2r AH HB.HC 4Rr Rr S Rr (cm2 ) BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG III Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Một góc vng quay quanh O, hai cạnh góc cắt Ax By C D Hai đường thẳng OD Ax cắt E Chứng minh rằng: a) AC.BD R2 b) Tam giác CDE tam giác cân c) CD tiếp tuyến nửa đường tròn (O) HD: a) AOC BDO AC.BD OA.OB R2 b) CDE có CO vừa đường cao, vừa trung tuyến c) Vẽ OF CD FOD = AOE OF = OA = R CD tiếp tuyến (O) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax Trên tia Ax lấy điểm M cho AM R Vẽ tiếp tuyến MC (C tiếp điểm) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BC D a) Chứng minh BD // OM b) Xác định dạng tứ giác OBDM AODM c) Gọi E giao điểm AD với OM, F giao điểm MC với OD Chứng minh EF tiếp tuyến đường tròn (O) HD: a) AOM B BD // OM b) OBDM hình bình hành, AODM hình chữ nhật c) OE = R, FE OE EF tiếp tuyến (O) Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Vẽ đường kính AOC AOD Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) E Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F Chứng minh rằng: a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp c) A tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) tam giác BEF HD: a) ABC ABD 900 b) CED CFD 900 c) Chứng minh FA tia phân giác (hoặc ngồi) góc F, EA tia phân giác (hoặc ngồi) góc E BEF A tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) tam giác BEF Từ điểm A ngồi đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm A C) Gọi H hình chiếu T OA Chứng minh rằng: a) AT AB.AC b) AB.AC AH AO c) Tứ giác OHBC nội tiếp HD: a) ATB ACT AT AB.AC b) AB.AC AH AO AT c) AOC ABH ACO AHB ACO BHO 1800 OHBC nội tiếp NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Vẽ dây AD // BC Tiếp tuyến A B đường tròn cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh rằng: a) AIB AOB b) Năm điểm E, A, I, O, B nằm đường tròn c) IO IE HD: a) AIB sd AB AOB b) ABOI, AOBE nội tiếp c) EIO EAO 900 IO IE Cho hình vng ABCD Trên hai cạnh CB CD lấy hai điểm di động M N cho CM = CN Từ C vẽ đường thẳng vng góc với BN, cắt BN E AD F a) Chứng minh tứ giác FMCD hình chữ nhật b) Chứng minh nam điểm A, B, M, E, F nằm đường tròn Xác định tâm O đường tròn c) Đường tròn (O) cắt AC điểm thứ hai I Chứng minh tam giác IBF vng cân d) Tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt đường thẳng FI K Chứng minh ba điểm K, C, D thẳng hàng HD: a) FDC = NCB FD = CN = CM b) A, B, M, E, F nằm đường tròn đường kính BF O trung điểm BF c) IF IB IF = IB d) IBKC nội tiếp BCK BIK 900 BCK BCD 1800 Cho đường tròn (O) Vẽ hai dây AC BD vng góc với I (điểm B nằm cung nhỏ AC) Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình thang cân b) Tổng diện tích hai hình quạt tròn AOB COD tổng diện tích hai hình quạt tròn AOD BOC (các hình quạt tròn ứng với cung nhỏ) HD: a) BDC ABD AB // CD b) Squạt AOB Squạt COD R2 360 sđ AB sđCD , Squạt AOD Squạt BOC R2 360 sđ AD sđ BC Cho nửa đường tròn đường kính BC = 10cm dây BA = 8cm Vẽ phía ngồi tam giác ABC nửa đường tròn đường kính AB AC a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính tổng diện tích hai hình viên phân c) Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết HD: a) SABC 24(cm2 ) b) Svp 25 24(cm2 ) c) Stk 24(cm2 ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Biết BC = 2cm, A 450 a) Tính diện tích hình tròn (O) b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABC lớn Tính diện tích lớn HD: a) R OB S 2 (cm2 ) b) Svp 2 (cm2 ) c) S ABC lớn A điểm cung lớn BC Khi SABC 1(cm2 ) Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a) Tính số đo góc BMC BNC b) Chứng minh AH vng góc BC c) Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH HD: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R điểm M đường tròn cho góc MAB 900 Kẻ dây MN vng góc với AB H a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Chứng minh MN AH HB c) Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm d) Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F.Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng HD: Cho đường tròn (O; R) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC HD: Từ điểm A ngồi đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh OA BC tính tích OH.OA theo R b) Kẻ đường kính BD đường tròn (O) Chứng minh CD//OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE HD: Từ điểm A ngồi đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE AC CF AB (E AC , F AB ), BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O) HD: Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự E F Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc DOE HD: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM.BN theo R Nguồn tập: Thầy Trần Sỹ Tùng NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 - oOo - CHƯƠNG IV HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU I HÌNH TRỤ Hình trụ Khi quay hình chữ nhật ABOO vòng quanh cạnh OO cố định, ta hình trụ Hai hình tròn (O) (O) nằm hai mặt phẳng song song đgl hai đáy hình trụ Đường thẳng OO đgl trục hình trụ Mỗi vị trí AB đgl đường sinh Các đường sinh vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài đường sinh chiều cao hình trụ Cắt hình trụ mặt phẳng Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với đáy, phần mặt phẳng nằm hình trụ (mặt cắt – thiết diện) hình tròn hình tròn đáy Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục OO mặt cắt hình chữ nhật Diện tích – Thể tích Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h Diện tích xung quanh: Sxq 2 Rh Diện tích tồn phần: Thể tích: Stp 2 Rh 2 R2 V R2h Một hình trụ có bán kính đáy đường cao Khi cắt hình trụ mặt phẳng qua trục mặt cắt hình chữ nhật có diện tích 50cm2 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ ĐS: Sxq 62,5 (cm2 ) , V 62,5 (cm3 ) Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm Tính diện tích xung quanh hình trụ ĐS: Sxq 64 (cm2 ) Một hình trụ có bán kính đáy 3cm Biết diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ ĐS: h R 3(cm) Một hình trụ có diện tích xung quanh 20 cm2 diện tích tồn phần 28 cm2 Tính thể tích hình trụ ĐS: V 20 (cm3 ) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II HÌNH NĨN – HÌNH NĨN CỤT Hình nón Khi quay tam giác vng vòng quanh cạnh OA cố định hình nón A Điểm A đgl đỉnh hình nón Hình tròn (O) đgl đáy hình nón Mỗi vị trí AC đgl đường sinh hình nón Đoạn AO đgl đường cao hình nón C O Diện tích – Thể tích hình nón Cho hình nón có bán kính đáy R đường sinh l, chiều cao h Diện tích xung quanh: Sxq Rl Diện tích tồn phần: Stp Rl R2 Thể tích: V R2h 3 Hình nón cụt S Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng nói mặt phẳng đáy đgl O’ r A hình nón cụt h Hai hình tròn (O) (O) đgl hai đáy Đoạn OO đgl trục Độ dài OO chiều cao O R Đoạn AC đgl đường sinh Diện tích – Thể tích hình nón cụt Cho hình nón cụt có bán kính đáy R r, chiều cao h, đường sinh l Diện tích xung qaunh: Sxq ( R r )l Thể tích: l C V h( R2 Rr r ) Cho tam giác ABC vng C Biết BC = a, AC = b Quay tam giác vng vòng quanh cạnh AC BC, hình nón đỉnh A hình nón đỉnh B Hãy so sánh tỷ số thể tích hai hình nón tỷ số diện tích xung quanh hai hình nón ĐS: V1 S1 V2 S2 Một hình quạt tròn có bán kính 20cm góc tâm 1440 Người ta uốn hình quạt thành hình nón Tính số đo nửa góc đỉnh hình nón ĐS: sin a 0,4 Một hình nón có bán kính đáy 5cm diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích hình nón ĐS: V 100 (cm3 ) Một hình nón có đường sinh dài 15cm diện tích xung quanh 135 cm2 a) Tính chiều cao hình nón b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón ĐS: a) h 12(cm) b) Stp 216 (cm2 ) , V 324 (cm3 ) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 14 cm cm , chiều cao 23 cm a) Tính dung tích xơ b) Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích chỗ ghép) ĐS: a) V 9269 (cm3 ) 9,7 b) S 621,5 (cm2 ) lít Từ khúc gỗ hình trụ cao 15cm , người ta tiện thành hình nón tích lớn Biết phần gỗ bỏ tích 640 cm3 a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ b) Tính diện tích xung quanh hình nón ĐS: a) V 960 (cm3 ) b) Sxq 136 (cm2 ) III HÌNH CẦU Hình cầu Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R vòng quanh đường kính AB cố định hình cầu Nửa đường tròn phép quay nói tạo thành mặt cầu Điểm O đgl tâm, R bán kính hình cầu hay mặt cầu Cắt hình cầu mặt phẳng Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình tròn Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường tròn: – Đường tròn có bán kính R mặt phẳng qua tâm (gọi đường tròn lớn) – Đường tròn có bán kính bé R mặt phẳng khơng qua tâm Diện tích – Thể tích Cho hình cầu bán kính R Diện tích mặt cầu: S 4 R2 Thể tích hình cầu: V R3 Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính cm2 ) số đo thể tích (tính cm3 ) Tính bán kính hình cầu ĐS: R 3(cm) Một hình cầu có diện tích bề mặt 100 m2 Tính thể tích hình cầu ĐS: V 500 (m ) Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH Ta quay nửa đường tròn nội tiếp, nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vng ABH vòng quanh AH, hai mặt cầu hình nón Tính: a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình nón b) Tỉ số thể tích hai hình cầu nói c) Thể tích phần khơng gian giới hạn hình nón hình cẩu ngoại tiếp hình nón NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình học ĐS: R 2r; AH FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a a ; OA a) S1 S2 b) V1 V2 c) V 23 3 a3 216 BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG I Một hình cầu nội tiếp hình trụ Cho biết diện tích mặt cầu 60 cm2 Hãy tính: a) Diện tích tồn phần hình trụ b) Thể tích hình trụ ĐS: a) Stp 90(cm2 ) b) V 30 15 (cm3 ) Tam giác ABC vng A có BC = 2a B 300 Quay tam giác vng vòng quanh cạnh AB ta hình nón đỉnh B Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính AB ĐS: Stp 3 a2 Sc Người ta chia hình tròn (O;12 cm) thành hai hình quạt có số đo cung 1200 2400 Từ hai hình quạt người ta uốn lại thành hai hình nón a) Tính nửa góc đỉnh hình nón b) Tính thể tích hình nón c) Tính tỉ số diện tích tồn phần hai hình nón ĐS: a) Độ dài cung nhỏ 8 (cm) , độ dài cung lớn 16 (cm ) Hình nón tạo hình quạt nhỏ có đường sinh 12 cm chu vi đáy 8 cm R1 4(cm) sin a Hình nón tạo hình quạt lớn có đường sinh 12 cm , chu vi đáy 16 cm 128 2 256 5 V1 (cm3 ) , V2 (cm3 ) 3 b) R2 8(cm) sin b Nguồn tập: Thầy Trần Sỹ Tùng NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 c) S1 64 S2 160 [...]... một cung chứa góc 3 Cách giải bài tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần: – Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H – Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T – Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H NGUYỄN VĂN LỰC 093 3.168.3 09 Hình học 9 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168... của hai hình trăng khuyết ở phía ngồi (O) HD: X DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN 1 Cơng thức tính diện tích hình tròn Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo cơng thức: S R2 2 Cơng thức tính diện tích hình quạt tròn Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0 được tính theo cơng thức: S R2n 360 hay S lR 2 (l là độ dài cung n0 của hình quạt tròn) Một hình vng và một hình tròn... c) Gọi L KB MC, P AB MC OKBI là hình chữ nhật, BLMI là hình vng BLP = KOI LP = OI MP = OM = MC P C d) OM = a Hình vng OMCN cạnh a, cố định AB đi qua điểm C cố định NGUYỄN VĂN LỰC 093 3.168.3 09 Hình học 9 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG II Cho tam giác ABC vng cân tại A Vẽ đường phân giác BI a) Chứng minh rằng đường tròn (I; IA) tiếp xúc với BC b) Cho... chung A, B, D (P) (P) NGUYỄN VĂN LỰC 093 3.168.3 09 Hình học 9 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BEC BAC 90 0 Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm C di động trên (O) Gọi M là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC Điểm M di động trên đường nào? HD: Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, A 500 , AB = 3,5cm HD: Bài tốn có hai nghiệm hình Dựng tam giác ABC biết BC = 4cm, đường... và N thuộc (O) Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO, Q là điểm đối xứng với N qua OO Chứng minh rằng: a) MNQP là hình thang cân b) PQ là tiếp tuyến chung của của hai đường tròn (O) và (O) c) MN + PQ = MP + NQ HD: Nguồn bài tập: Thầy Trần Sỹ Tùng NGUYỄN VĂN LỰC 093 3.168.3 09 Hình học 9 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 - oOo - CHƯƠNG III GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN I GĨC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG 1 Góc ở tâm... Một hình vng và một hình tròn có cùng chu vi Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn 4 HD: Gọi chu vi mỗi hình là 4a Shv a2 , Sht a2 Sht Shv Chứng minh rằng diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vng bằng hai lần diện tích hình tròn nội tiếp hình vng đó HD: Gọi độ dài cạnh hình vng là a Sngoại tiếp a2 2 ; Snội tiếp a2 4 Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bới đường tròn nội tiếp... 2sin 180 3 0 2 3 , Rnội tiếp a 2 tan 180 3 0 3 S 9 (cm2 ) Một tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn (O) Tính diện tích hình viên phân tạo thành bởi một cạnh của tam giác và một cung nhỏ căng cạnh đó HD: S a2 9 a2 3 12 Tam giác ABC vng tại A, đường cao AH = 2cm Trên cùng một nửa mặt NGUYỄN VĂN LỰC 093 3.168.3 09 Hình học 9 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 phẳng bờ BC có chứa... O đường kính AB Gọi H là trung điểm OA Dây CD vng góc với OA tại H a) Tứ giác ACOD là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh các tam giác OAC và CBD là các tam giác đều c) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng d) Chứng minh: CD2 = 4 AH HB HD: a) ACOD là hình thoi NGUYỄN VĂN LỰC 093 3.168.3 09 Hình học 9 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho đường tròn đường kính 10 cm, một đường thẳng... ANM 90 0 Cho tam giác ABC vng tại A Điểm E di động trên cạnh AB Qua B vẽ một đường thẳng vng góc với tia CE tại D và cắt tia CA tại H Chứng minh rằng: a) Tứ giác ADBC nội tiếp NGUYỄN VĂN LỰC 093 3.168.3 09 Hình học 9 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 b) Góc ADH có số đo khơng đổi khi E di động trên cạnh AB c) Khi E di động trên cạnh AB thì BA.BE CD.CE khơng đổi HD: a) BAC BDC 90 0 b) ADH... dây AN và BM cắt nhau tại I Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của góc ACB HD: a) B 300 A 600 C 90 0 b) Chứng minh các tia AN, BM là các tia phân giác của các góc A và B NGUYỄN VĂN LỰC 093 3.168.3 09 Hình học 9 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho tam giác ABC cân tại A ( A 90 0 ) Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E Chứng minh rằng: 1 2 b) CBE BAC a) Tam giác