Bài tập Phương trình vi phân và cách giải

Searchr fb :Tài Li u WRU I H C TH Y L I ******* h c t t Toán 4A Facebook : Tài Li u WRU S T Liên h : 01659592156 Searchr fb :Tài Li u WRU BÀI T P TRANG 23 Bài 5: y’ = y + 2e +)y’ = e )’ =e - =e + e e e ; y=e - e Thay vào pt ta có e + e =e - e + e e + e + e = e +  e + e = e + V yy=e - e e e (T/M) nghi m c a pt Bài7 y’’-2y’+2y=0 +)TH1 :y= e ; y = e cosx ; y e sinx Searchr fb :Tài Li u WRU y’ = e + e cosx’ = e cosx - e sinx y’’=( e cosx )’-(e sinx)’ = e cosx - e sinx - e sinx - e cosx =- e sinx Thay vào pt ta có - e sinx - 2( e cosx - e sinx) + 2e cosx = - e sinx - e cosx + 2e sinx) + 2e cosx=0 (t/m) V y y = e cosx ngi m c u pt +)TH2: y y e e sinx sinx + e sinx’ = e cosx + e sinx y = e cosx + e sinx + e cosx - e sinx =2e cosx Thay vào pt ta có: 2e cosx ậ 2( e cosx + e sinx) + e sinx =0 2e cosx ậ 2( e cosx - e sinx + e sinx =0 V yy (t/m) e sinx nghi m c a pt Bài : , y’ + 2xy = ; y= Searchr fb :Tài Li u WRU +) y’ = = y = Thay vào pt ta có: + 2.x V y y= =0 (t/m) nghi m c a pt Bài 10: x + xy’ ậy =lnx ; y +) TH1 y= x ậ lnx x lnx ; y = ậ lnx +) y’ = x’ ậ(lnx)’ =1+)y’’ = 1’ ậ ( Thay vào pt ta có: x ) - (x-lnx) = lnx 1 + x -1 ậx +lnx ậlnx =0 (t/m) V y y=x-lnx nghi m c a pt Searchr fb :Tài Li u WRU +)TH2 y = ậ lnx ậ (lnx)’ =- +) y = )’ = +)y Thay vào pt ta có: x ( ) - ( ậ lnx ) = lnx ) + x.( -  +1- ậ lnx =0 (t/m) - 1- V y y = ậ lnx nghiejm c a pt Bài 11: x y’’ + 5xy’ +4y = ; y +)TH1 : y ;y = +)y’ = +)y’’= Thay vào pt ta có x  - + 5x( + ) +4 =0 =0 (t/m) Searchr fb :Tài Li u WRU V yy +)TH2: y = +)y’= = +)y’’ = = Thay vào pt ta có: x  + =>y = nghi m c a pt + 5x +4 + =0 =0 (t/m) BÀI T P TRANG 34 Bài : = x ; y(2) =1 Dùng pp phân li bi n s ta có dy = x  dy = dx x dx y= +c i u ki n ban đ u y(2) =1 Searchr fb :Tài Li u WRU 1= Bài : +c => c=1 v y nghi m c a pt y = =x x ; +1 y(-4)=0 Dùng pp phân li bi n s ta có: dy = x x x x dx  dy = x x d x +C = x y= dx  dy = +C i u ki n ban đ u : y(-4)=0 0= + C => C = V Y PT CÓ NGI M : y = x Bài 7: = ; y(0) =0 Dùng pp phân li bi n s ta đ dy =  + dy = c:  y = 10arctanx +C +đi u ki n ban đ u :y(0) =0 thay vào ta đ c: Searchr fb :Tài Li u WRU = 10arctan0 +C =>C=0 V Y PT CÓ NGI M : y =10arctanx = xe Bài 10: ; y(0)=1 Dùng pp phân li bi n s ta đ dy = xe  =>I = x e + tính I = xe =  e c: dy = e xe u x ,đ t dv e * = x e  - e du v +C dx e =I y= e i u ki n ban đ u y(0) = Thay vào * ta đ c: 1= e => C=2 V y nghi m c a pt : y = e BÀI T P TRANG 71 + xy =0  Bài 2: Dùng pp phân li bi n s ta đ dy = xy  = c: xy = xy Searchr fb :Tài Li u WRU  y= = x +C =ysinx  Bài :  = = ln|y| = -cosx +C  y = e Bài : = xy = x y  Dùng pp phân li bi n s ta đ = x  y = y = y= Bài :  x = C c: x x +C x = xsecy  = 2x cosydy =2xdc Searchr fb :Tài Li u WRU Dùng pp phân li bi n s ta đ cosydy = siny = x c: xdc + C  y = arcsin(x + C) Bài 10 :  x = x = y y dx  Dùng pp phân li bi n s ta đ =  = = c:  = +C 1+x =1+y+c y = x - c Bài 12: y.y’ = x (y +1) y  = x (y +1) = xdx Dùng pp phân li bi n s ta đ = xdx   ln|y +1| = c: + c  y +1 = e = xdx 10 Searchr fb :Tài Li u WRU  X(t) = c X (t) + c X (t) =c BÀI : +c ; a v d ng ma tr n : X’ = XÉT pt đ c tr ng ]=0  =0 - ( 2 X + 20 = +16 =  = V i   V =[ ].x = => ] G i X(t) nghi m ph c t X(t) = v = ng ng v i t ,v = 53 Searchr fb :Tài Li u WRU = = = + X (t) = +X (t) =  X(t) = c X (t) + c X (t) =c c c Xét u ki n ban đ u  c c +c c c c  c c Bài 11 54 Searchr fb :Tài Li u WRU ; a v d ng ma tr n : X’ = XÉT pt đ c tr ng  ]=0 =0 ( 1 X +4=0 -2 =0  = V i   V =[ ].x = => ] G i X(t) nghi m ph c t ng ng v i ,v X(t) = + X (t) = 55 Searchr fb :Tài Li u WRU +X (t) =  X(t) = c X (t) + c X (t) =c c c c c Xét u ki n ban đ u  c c c  c c BÀI T P TRANG 121 Bài 1: X’ = X XÉT pt đ c tr nG  =0 ( 2+ 8+2 +4 ]=0 +1=0 + +1=0 56 Searchr fb :Tài Li u WRU  +6 +9=0  =0 = -3 ( B I 2) V i  ].v = =>   b = -aType equation here V= = + A I Ch n , =  A A  = => VTR :V = = = I I = =  = +  X(t) = c X (t) + c X (t) =c +c 57 Searchr fb :Tài Li u WRU c c c Bài 2: X’ = c X XÉT pt đ c tr nG  ]=0 =0 ( 3- +1=0  =0 =2 ( B I 2) V i  ].v = => b=a  V= + A  A Ch n , A = = I => VTR :V = = = I = I =  =  = 58 Searchr fb :Tài Li u WRU +  X(t) = c X (t) + c X (t) =c c c +c c c 59 Searchr fb :Tài Li u WRU PH N II : C U TRÚC THI GI A K CÂU 1(3,5đ) + ptvp PHÂN LY BI N S + ptvp THU N NH T,D NG TH v = ax + by + c + ptvp toàn ph n CÂU (3,5đ) + ptvp C P + ptvp BERNULLY CÂU (3đ) + ptvp C P GI M C P C + ptvp h s h ng ,k t h p toán giá tr ban đ u Cách gi i toán c b n hay g p D ng 1: ph ng trình vi phân có d ng bi n s phân ly Cách làm :phân tích cho x dx v v ,y dy v v sau tích phân v rút x ho c y VD: = x Dùng pp phân li bi n s ta có dy = x  dy = dx x D NG : Ph dx  y = +c ng Trình Vi phân đ ng c p 60 Searchr fb :Tài Li u WRU Nh n bi t : y’ = (*) Cách gi i: đ t u = y’ = u’.x + u  thay vào (*) ta đ  x => y = u.x (u hàm n c a x) c u’.x + u = f(u) = f(u) - u Gi i theo pt có bi n s phân ly D NG 3: +)ph ng trình vi phân n tính thu n nh t y’ + p y = Cách gi i: nghi m y = c +)ph ng trình vi phân n tính không thu n nh t y’ + p y = q cách gi i 1:pt có nghi m t ng quát: [(q y= ) dx ] cách gi i :gi i theo ví d : y’ + 3y = 2x e ) � + 3y = 2x e  xe í =e e + 3y e Nhân v v i  Dx [ y e =e ta đ = 2x e =2x e c: (PTVPTT c p =e e tích phân v : y e = x dx 61 Searchr fb :Tài Li u WRU  y e =x + c y = D NG 4: ph ng trình bernoully: y’ + p cách gi i:chia c v cho y’ +p đ t:Z=  Z’ = ( Z’ = (   y’ ta đ c: =q (*) y’ ) ) y’ thay vào (*) ta đ = D ng : ph y = q +p c: Z = q ng trình vi phân toàn ph n M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 Cách gi i+ ch ng minh ptvp toàn ph n = +t n t i F(x,y) th a mãn B c1+tìm F = B c 2+ có C M x y =g N xy =N x y - M xy N xy +C +C 62 Searchr fb :Tài Li u WRU C  N xy - = =h F(x,y) = g +C ).dy +h +C ng trình vi phân c p khuy t x D NG 6:ph Cách gi i :đ t p = y’ => p’ = = p.dp Thay vào pt ban đ u tìm p sau tìm y D ng 7: ph ng trình vi phân c p khuy t y : Cách gi i :đ t p = y’  y’’ = p Vd: xy’’ + y’ = 4x (khuy t y) D ng : khuy t c x y D NG 9: ph ng trình vi phân c p thu n nh t y’’ + y’ + q(x) y = Cách gi i : Tìm ph ng trình đ c tr ng r2 + r + q(x) = TH1: pt đ c tr ng có nghi m phân bi t  Y = c1 + c2 v i r1 ,r2 nghi m c a pt TH2: pt đ c tr ng co nghi m kép  Y = c1 + c2 x 63 Searchr fb :Tài Li u WRU TH3:pt đ c tr ng có nghi m ph c r = a + bi  Y = eax (c1 cosbx + c2 sinbx ) D NG 10: ph ng trình vi phân n tính c p không thu n nh t y’’ + y’ + q(x) y = f(x) V i nghi m y = yc + yp +v i yc yp � CÁCH GI I : tìm pt đ c tr ng nh pt thu n nh t TH1: f(x) có d ng eax.pn(x) Tìm pt đ c tr ng +a không nghi m c a pt đ c tr ng => yp= eax.A(x) +a nghi m c a pt đ c tr ng => yp = x eax A(x) +a nghi m kép => yp = x2 eax A(x) TH2: f(x) có d ng : Pn(x)cos + Qn(x)sin Tìm pt đ c tr ng : + i  +) i  nghi m c a pt đ c tr ng Yp = x [A(x)cos + B(x)sin ] không nghi m c a pt đ c tr ng Yp = A(x)cos TH3 : f(x) có d ng “ + B(x)sin [ P n(x)cos + Qn(x)sin ]” Tìm pt đ c tr ng: +) không nghi m c a pt đ c tr ng: 64 Searchr fb :Tài Li u WRU  Yp = [A(x)cos + B(x)sin ] không nghi m c a pt đ c tr ng: +)  Yp = [A(x)cos + B(x)sin D NG 11 : BI N THIÊN H NG S ] LAPLACE y’’ + p(x).y’ + q(x).y = f(x) có yc = c1y1(x) + c2y2(x) có nghi m riêng b i yp = u1(x)y1 + u2(x)y2 v i u1(x) , u2(x) nghi m c a hpt: u y u y gi i theo pp th ,kh nh bình th ng D ng 12 : h pt vi phân n tính + ph ng pháp kh Rút y = +ph thay vào pt (2) ng pháp toán t vi phân D = Hpt Có x = => tìm pt đ c tr ng = > xp => xp’ D NG 13 : MA TR N 65 Searchr fb :Tài Li u WRU Cách gi i: B1: tìm pt đ c tr ng |A ậ I| = => Thay vào (A ậ I)x = => x ( x véc t riêng) +Giá tr riêng X’ = AX V véc t riêng ng v i giá tr  X(t) = v nghi m t m th ng CÁC TH c a ma tr n TH1,pt đ c tr ng |A ậ I| = có đ VD: nghi m th c phân bi t => d ng ma tr n Xét pt đ c tr ng |A ậ I| = = > Thay vào (A ậ I)x = +v i  T => ng t v i    =- ] ] => w2 =[ X1 = w1 X2 = w2 X(t) = X1 + X2 TH2 : Pt đ c tr ng có nghi m ph c  = ch n w1 =[ X(t) = v = (a+ bi) ( a.cosqt - b.sinqt ) + i [ V i X1= = p + qi (a.sinqt + b.cosqt) ( a.cosqt - b.sinqt ) 66 Searchr fb :Tài Li u WRU X2= [  (a.sinqt + b.cosqt) X(t) = X1 + X2 67 [...]...Searchr fb :Tài Li u WRU y= e Bài 14  ( = )dy = ( Dùng pp phân li bi n s ta đ y + dy = =x+ )dx c: dx +c Bài 18: y’ = 1  + = (1+  =  )- (1+ ) =1 + = (1+ ) (1- ) dx Dùng pp phân li bi n s ta đ c:  arctany = =  y =tan( -x +c -x +c) Bài 22 11 Searchr fb :Tài Li u WRU =4 yậy ; y(1) = -3 +) theo đ bài :  =(4 =4 yậy =(4 ậ1) y ậ1)dx Dùng pp phân li bi n s ta đ c: dx  ln |y| = = y=... ln(-y) Thay vào (*) ta có :  -3= -3= y=  ln(-3) = c  c =-ln3 = Bài 25 x = y ;y(1) = 1 ta có: x = y x = Dùng pp phân li bi n s ta đ y + yx = y c: 12 Searchr fb :Tài Li u WRU dx =  ln|y| = + ln|x| + c (*) Theo gi thi t y(1)=1 >0 ln|y|=ln|y| lân c n t i đi m 1 :y > 0 Thay vào (*) ta có : + ln|1| + c  c = -1 ln|1| = + ln|x ậ 1  ln|y| = y= y= Bài 27:  ; y(0) = 0 e dy = 6 e Dùng pp phân li bi... dx c d x + c) (*) i u ki n ban đ u y(0) = 0 Thay vào (*) ta đ c: 13 Searchr fb :Tài Li u WRU  0 = ln(3 e + c) => c = -2 =>y = ln(3 e - 2) Bài 28 = cos y 2 ; y(4) = Theo đ bài 2  = cos y 2 = tany = tany = =cos y.dx +c +c y = arctan( + c) (*) i u ki n ban đ u : y(4) = Thay vào (*) ta đ = arctan( c: + c) => c = -1  y = arctan( - 1) Bài t p trang 89 Bài 3: y’ + 3y = 2x e  + 3y = 2x e (PTVPTT c p... e  Dx [ y e ta đ = 2x e =e c: e =2x tích phân 2 v : y e =  y e x dx =x y = + c Bài 6: Xy’ +5y = 7  + = 7x =e x Nhân 2 v v i x + ; y(2) = 5 (PTVPTT c p 1) e =e x = 7x x =e ta đ c: =x 15 Searchr fb :Tài Li u WRU  x +  Dx [ y x x =7 x =7 x tích phân 2 v : y x =  y x y = x dx =x + c (*) i u ki n ban đ u : y(2) = 5 Thay vào (*) ta đ c: c = 32 5 =  y= bài 7 : 2xy’ + y = 10  +  2x = =e + y = 10... cosx tích phân 2 v : y y y = = = cosx dx + c c 22 Searchr fb :Tài Li u WRU đi u ki n ban đ u: y(2 ) = 0  0=  c =0 y = c bài 22 : y’ = 2xy + 3x e 2xy = 3x e  =e e  Dx [ y e y(0) = 5 (PTVPTT c p 1) x x e e Nhân 2 v v i  ; =e 2xy e = 3x ta đ =e = 3x e e c: tích phân 2 v : y e y e y = = x dx =x + c đi u ki n ban đ u : y(0) = 5 5= => c =5 23 Searchr fb :Tài Li u WRU y = Bài t p trang 114 Bài 2 :... Thay vào * ta đ x +v =   c: +v x = =  = ln |x| + c Hay: = ln |x| + c 24 Searchr fb :Tài Li u WRU  y = x ln x c Bài 8: y’ = xy +  = ( chia 2 v cho + +đ t v = => (*) =  y =x.v  Thay vào (*) ta đ x +v c: x +v = v +  x =  =  = ln |x| + c v = -ln(-ln |x| + c) Hay: = -ln(-ln | | + c)  y = - x.ln(c - ln | | ) 25 Searchr fb :Tài Li u WRU Bài 10: xy  = +3 = +đ t v = (*) => =  y =x.v  x +v Thay vào... Hay:  = 26 Searchr fb :Tài Li u WRU y = Bài T p Trang 198 Bài 1 : y’’ ậ 4y = 0 +ta có pt đ c tr ng -4=0 r= 2 =>nghi m t ng quát : y(x) = + Bài 3 : y’’ + 3y’ ậ 10y = 0 +ta có pt đ c tr ng r r =>nghi m t ng quát : y(x) = - 3r = 0  + Bài 5 : y’’ + 6y’ + 9y = 0 +ta có pt đ c tr ng - 6r + 9= 0  = = -3 =>nghi m t ng quát : y(x) = 27 Searchr fb :Tài Li u WRU Bài 6 : y’’ + 5y’ + 5y =o +ta có pt đ c tr... + =  Dx [ y ta đ = c: =5 tích phân 2 v : = y y  y = y = dx x +c bài 11 : xy’ + y = 3xy ;  =3xy ậ y  =y(3x ậ 1) y(1) = 0 (3x ậ 1)  =  - (3 ậ =e )y = 0 (PTVPTT c p 1) e =e = e 17 Searchr fb :Tài Li u WRU Nhân 2 v v i - (3 ậ e  e  e  Dx [ y ta đ = e )y e - (3 e =0 e =0 c: )y =0 tích phân 2 v : y  y e = = dx +c y = đi u ki n ban đ u : y(1) = 0 => c = 0 y = Bài 16 : y’ = (1 - y)cosx ;  =... Li u WRU  e + ycosx e  Dx [ y e tích phân 2 v : y e = y e  y e = e y = = cosx e cosx e = e = cosx e dx +c đi u ki n ban đ u : y( d sinx =22= => c=1  y= bài 18: xy’ = 2y + cosx x - 2y = cosx  - y= cosx =e cosx e =e = 19 Searchr fb :Tài Li u WRU Nhân 2 v v i  - y  Dx [ y ta đ = = c: cosx = cosx tích phân 2 v : y  y y= = cosx dx = sinx +c sinx +c ) bài 19 : y’ + ycotx = cosx + ycotx = cosx... cosx sinx  Dx [ y sinx tích phân 2 v : = cosx sinx 20 Searchr fb :Tài Li u WRU y sinx = cosx sinx dx  y sinx =  y sinx = cosx d sinx + c y = bài 20 : y’ = 1+ x +y +xy   ; y(0) = 0 =( 1+ x ) + y( x + 1 ) =  = x x dx y Dùng pp phân li bi n sô ta đ  ln |y+1| = x + c: x dx +c  y +1 = e  y =e i u ki n ban đ u : y(0) = 0 => c=0 21 Searchr fb :Tài Li u WRU =>y =e Bài 21 xy’ = 3y + cosx ; x =