Khái niệm và tính chất của định thức. Các cách tính định thức. Ứng dụng của định thức trong giải hệ phương trình và tìm ma trận nghịch đảo. Kiểm tra một tập hợp cùng với các phép toán cộng và nhân đã cho có phải là một không gian con hay không? Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận.
Toán 3 Nguyễn Thị Vân BÀI TẬP TOÁN III – BUỔI ( Tài liệu có sai sót chỉnh lí lớp tập) PHẦN 3: + Khái niệm & tính chất định thức + Các cách tính định thức + Ứng dụng định thức giải hệ phương trình tìm ma trận nghịch đảo 1.( 1T287) Khi ma trận cỡ 4×4 có detA = Đs: det(2A) = , det(- A) =1/2, det( A2 ) = , tìm det(2A), det(−A), det(A2) det(A−1) , det( A−1 ) = ( 3T287) Các khẳng định sau hay sai? Hãy giải thích nêu phản ví dụ sai: (a) Định thức I + A + detA (b) Định thức ABC |A||B||C| với A, B, C ma trận vuông (c) Định thức 4A 4|A| (d) Định thức AB − BA không (Thử cho ví dụ.) Đs: sai, đúng, sai, sai a b c Cho d e f = Tính định thức sau dựa vào định thức biết g h i a b 4c a) d e 4f ; a b c+a b) d e f + d ; g h i c) d e f ; g h 4i g h i+g a b c Đs: a) 28 b) c) -7 a b 2c + a d) d e 2f + d g h 2i + g d) 14 ⎡1 3⎤ ( 1T301) Tính định thức A cách tính tổng sáu phần tử: A = ⎢3 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 1⎥⎦ Đs: 12 ( 14T288) Áp dụng phép toán hàng cột để đưa ma trận dạng ma trận tam giác U, Toán 3 ⎡1 ⎢2 tính det ⎢ ⎢− ⎢ ⎣0 Nguyễn Thị Vân 0⎤ 6 1⎥⎥ 0 3⎥ ⎥ 7⎦ Đs: 36 ( 19T289) Tìm định thức U, U −1 ⎡1 ⎤ (a) U = ⎢0 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 3⎥⎦ U : ⎡a b ⎤ (b) U = ⎢ ⎥ ⎣0 d ⎦ (b): ad, 1/ad, (ad)2 Đs: (a): 6, 1/6, 36 ⎡1 ⎢0 − Tính định thức ma trận sử dụng công thức phần phụ đại số: A = ⎢ ⎢3 ⎢ ⎣b ⎤ ⎥⎥ 6⎥ ⎥ − 4⎦ a Đs: 24a + 26b -18ab – 16 ⎡1 ⎢ a −3 Tính định thức ma trận A = ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣2 5⎤ x b ⎥⎥ 5⎥ ⎥ y⎦ Đs: xy + 21b – 35x + 9y Tính định thức a) −5 −4 −9 −3 −5 ; b) 3−3 −2 −5 5 4 ; c) 0 10 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A việc sử dụng công thức phần phụ đại số biết ⎡0 A= ⎢⎢ ⎢⎣ 4 2⎤ 3⎥⎥ 4⎥⎦ Toán 3 Đs: A _1 Nguyễn Thị Vân ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ = −8 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ −4 −2 ⎠ 11 Giải hệ sau quy tắc Cramer a) x + 2y + 4z = 31, b) 2x + 5y - 2z - 14 = 5x + y + 2z = 29, 9x - y + 4z - =0 3x - x - y + 2z +9 =0 y + z = 10 12 Dùng tiêu chuẩn định thức để tìm điều kiện tham số cho ma trận sau khả nghịch ⎛2 ⎜ ⎜3 ⎜1 ⎜ ⎜2 −1 ⎝ 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 1⎟ ⎟ a ⎟⎠ Đs: a ≠ PHẦN 4: + Kiểm tra tập hợp với phép toán cộng nhân cho có phải không gian hay không? + Bốn không gian chủ yếu ma trận: C(A), N(A), C(AT), N(AT) 13 ( 10T146) Tập hợp sau R với phép toán cộng nhân thông thường 3 ! không gian ! ? (a) Mặt phẳng chứa vectơ ( x, y, z ) : x = y (b) Mặt phẳng chứa vectơ ( x, y, z ) : x = (c) Mặt phẳng chứa vectơ ( x, y, z ) : x y z = (d) Tất tổ hợp tuyến tính v = (1, 4, 0) w = (2, 2, 2) (e) Tất vectơ ( x, y, z) : x + y + z = (f) Tất vectơ ( x, y, z ) : x ≤ y ≤ z Đs: * Các tập hợp (a), (b), (d), (e) không gian con; * Các tập hợp (c) (f) không gian Toán 3 Nguyễn Thị Vân ! 14 Cho W tập tất vectơ thuộc ! mà có dạng v = (x + y, x - y + 2z, y, z) Chứng minh 4 W không gian ! 15 Cho W := { ( x1, x2, x3 ) ∈ ! | x1 + x3 = m }, m số thực Tìm m để W không gian Đs: m = 16 Tập hợp W := { ( x1, x2, x3, x4) ∈ ! | x3 = x1 + x2 , x1 = x4 } có phải không gian không gian vectơ ! ? ⎡ 3⎤ 17 Cho A = ⎢ 6⎥ Mô tả không gian cột không gian hàng ma trận A? Từ véc ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1 6⎥⎦ tơ (0,0,6) ∈ C ( A) (-2,2,3) ∈ C ( AT ) Đs: C(A) mặt phẳng không gian với véc tơ phương ( 1, 2, -1) ( 1, 2, 2) , ⎡0 ⎤ ! ⎢ ⎥ v = ⎢0 ⎥ ∈C( A) ⎢⎣6 ⎥⎦ C ( AT ) mặt phẳng không gian với véc tơ phương ( 1, 2, -1) ( - 1, 4, 6) ⎡ −2 ⎤ ! ⎢ ⎥ v = ⎢ ⎥ ∈C( AT ) ⎢⎣7 ⎥⎦ 18 ⎡ 2⎤ Mô tả hình học bốn không gian ma trận B = ⎢0 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 8⎥⎦ ( ) Đs: +) Không gian cột C B = ! ( ) { ( ) } +) Không gian nghiệm N B = x = c1 1,−1,1 ; c1 ∈! đường thẳng có véc tơ phương ( 1, -1, 1) không gian ! +) Không gian hàng C ( BT ) mặt phẳng không gian với véc tơ phương ( 2, 4, 2) Toán 3 Nguyễn Thị Vân ( 0, 1, 1) ( ) { ( ) +) Không gian nghiệm N BT = x = c1 0,−2,1 ; c1 ∈! } đường thẳng có véc tơ phương ( 0, -2, 1) không gian ! HƯỚNG DẪN GIẢI: det A = ⇒ det(2A) = 24 det A = det( A2 ) = (det A) = det(- A) = (−1) det A = , , det( A−1 ) = (det A)−1 = 2 (a) Sai ⎛1 2⎞ ⎟ ⇒ det A = – = - A + I = ⎝3 4⎠ Ví dụ: A= ⎜ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⇒ det (A + I) = 10 – = ≠ det A + ⎝3 5⎠ (b) Đúng det(ABC) = det((AB).C) = det(AB).detC = detA detB detC (c) Sai ⎛1 2⎞ ⎟ ⇒ det A = -2 4A = ⎝3 4⎠ Ví dụ: A = ⎜ (d) Sai ⎛1 2⎞ ⎟, B = ⎝ ⎠ Ví dụ: A = ⎜ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝1 ⎠ ⎛4 8⎞ ⎜ ⎟ ⇒ det(4A) = 56 – 96 = - 40 ≠ 4det A ⎝12 16 ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ , B.A = ⎝ ⎠ ⇒ A.B = ⎜ ⎛1 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝4 6⎠ ⎛2 ⎞ ⎛2 ⎞ ⎟ ⇒ det(AB - BA) = det ⎜ ⎟=-4 ⎝ −2 ⎠ ⎝ −2 ⎠ ⇒ AB – BA = ⎜ a b 4c a b c a) d e f = d e f = 28 g h 4i g h i a b c+a a b c a b a a b c b) d e f + d = d e f + d e d = d e f = g h i+g g h i g h g g h i Toán 3 Nguyễn Thị Vân g h i a b c c) d e f = − d e f = −7 a b c g h i a b 2c + a a b c a b a a b c d) d e f + d == d e f + d e d = d e f = 14 g h 2i + g g h i g h g g h i +) detA = 1.1.1 + 3.3.2 + 3.2.2 – 3.1.3 – 1.2.3 – 1.2.2 = 12 ≠ Các hàng A độc lập +) detB = 1.4.7 + 3.4.6 + 5.4.2 – 5.4.3 – 7.4.2 – 1.6.4 = Các hàng B không độc lập +) det C = 1.1.0 + 1.0.1 + 1.0.1 – 1.1.1 – 0.1.1 – 0.0.1 = -1 Các hàng C không độc lập ⎛1 ⎜ +) det ⎜ ⎜ −1 ⎜ ⎝0 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 6 1⎟ = det ⎜ ⎜0 0 3⎟ ⎟ ⎜ 7⎠ ⎝0 ⎛ −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ −1 −1 ⎟ +) det ⎜ ⎜ −1 −1⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 2⎠ h2 + h1 = h4 + h3 = 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1⎟ = det ⎜ ⎜0 3⎟ ⎟ ⎜ 7⎠ ⎝0 0⎞ ⎟ 1⎟ = 1× × × = 36 2⎟ ⎟ 0 6⎠ ⎛ −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ −2 ⎟ det ⎜ ⎜ −1 −1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1 ⎠ h3 − h2 = ⎛ −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ det ⎜ 0 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1 ⎠ ⎛ −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ −2 ⎟ 1 det ⎜ = × × 3× × = ⎜ 0 −3 ⎟ 24 24 ⎜ ⎟ ⎝0 0 ⎠ ⎛1 6⎞ 1 (a) U = ⎜ ⎟ ⇒ detU = 1.2.3 = ⇒ det U −1 = = ⎜ ⎟ detU ⎜ 0 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛a b ⎞ ⎟ ⇒ detU = ad d ⎝ ⎠ (b) U = ⎜ ⇒ det U −1 = (a, d ≠ 0) ad ⇒ det U = (det U )2 = 36 ⇒ det U = (ad )2 Toán 3 Khai triển Laplace dòng thứ ⇒ detA = (−3).(−1) Nguyễn Thị Vân 2+ ⎛1 a ⎞ ⎛1 a⎞ ⎜ ⎟ ⎟ 2+ ⎜ ⎜ ⎟ + 5.(−1) ⎜ ⎟ ⎜ b −4 ⎟ ⎜b 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 24a + 26b – 18ab – 31 ⎡1 ⎢ a −3 det A = det ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣2 5⎤ ⎡ ⎥ ⎢ x b⎥ a −3 = det ⎢ ⎢1 + 1 5⎥ ⎥ ⎢ y⎦ ⎣ 5⎤ ⎡1 ⎥ ⎢ a −3 x b⎥ = det ⎢ ⎢1 5⎥ ⎥ ⎢ y⎦ ⎣2 5⎤ ⎡0 ⎥ ⎢0 −3 x b⎥ + det ⎢ ⎢1 5⎥ ⎥ ⎢ y⎦ ⎣0 5⎤ x b ⎥⎥ 5⎥ ⎥ y⎦ ⎡1 ⎤ = det ⎢ −3 x b ⎥ = xy + 21b – 35x + 9y ⎢ ⎥ ⎢⎣7 y ⎥⎦ 10 Công thức: A−1 = ⎛ C11 C12 ⎜ C = ⎜ C21 C22 ⎜C ⎝ 31 C32 T i+ j C ; Cij = ( −1) M ij A C13 ⎞ ⎟ C23 ⎟ = C33 ⎟⎠ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎜ −3 −2 ⎟ ⎝ ⎠ detA = C21 + C31 = − 4 −3 ⎞ −3 ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ _1 C = ⎜ −8 ⎟ → A = −8 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ −4 −2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ −4 −2 ⎠ T 11 Cho hệ phương trình tuyến tính n × n : Ax = b Nếu det A ≠ hệ phương trình có nghiệm nhất: xi = det Bi det A (1 ≤ i ≤ n ) Bi nhận từ A thay véc tơ b vào cột thứ i 12 Nếu A có det A ≠ tồn ma trận A khả nghịch hay A có ma trận nghịch đảo Toán 3 ⎛2 ⎜ det ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝ −1 0 ⎞ ⎟ h −h 0 ⎟2 = det 1 ⎟ ⎟ a⎠ ⎛ ⎛1 0 1⎜ 3+ ⎜ = ⎜1 ( −1) det ⎜ 2⎜ ⎜ −1 ⎝ ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜3 ⎜1 ⎜ ⎝ −1 Nguyễn Thị Vân 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 1 ⎟ ⎟ a⎠ ⎞ ⎛1 4+ ⎟ ⎜ ⎟ + a ( −1) det ⎜ ⎟ ⎜1 ⎠ ⎝ ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎟ = a.2 = a ⎟⎟ ⎠⎠ 0 1 det A ≠ ⇔ a ≠ 13 * Các tập hợp (a), (b), (d), (e) với phép toán thỏa mãn hai yêu cầu không gian * Các tập hợp (c) (f) không gian vì: + Nếu lấy hai vectơ (1, 2, 0) (0, 1, 2) tập hợp (c) tổng chúng (1, 3, 2) không thuộc (c) + Nếu lấy vectơ (1, 2, 3) thuộc tập hợp (f) -1(1, 2, 3) = (-1, -2, -3) không thuộc vào (f) 15 W ⊂ ! Để W không gian ! "! ∀ x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈W : x1 + x3 = m, y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈W: y1 + y3 = m thỏa mãn: ! "! x + y ∈W ! c x ∈W (1); ( 2) ! "! Từ (1) x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ): x1 + y1 + x3 + y3 = m → 2m = m → m = ! ( ! ) Thay m = c x = cx1 , cx2 ,cx3 : cx1 + cx3 = c.0 = → c x ∈W ! Ngoài ra, m = ∈W nên W ≠ ∅ Vậy m = W không gian ! 17 +) Không gian cột C(A) tổ hợp tuyến tính cột: ⎡a⎤ ⎡1 ⎤ ⎡2⎤ ⎡3 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ! ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ v = ⎢ b ⎥ ∈C( A) ⇔ v = x1 ⎢ ⎥ + x2 ⎢ ⎥ + x3 ⎢6 ⎥ = x1 ⎢ ⎥ + (2x2 + 3x3 ) ⎢ ⎥ ⎢⎣ c ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣6 ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ Toán 3 Nguyễn Thị Vân C(A) mặt phẳng không gian với véc tơ phương ( 1, 2, -1) ( 1, 2, 2) ⎡0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ! ⎢ ⎥ ! ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ v = ⎢0 ⎥ ∈C( A) v = (−2) ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢⎣6 ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ +) Không gian C ( AT ) tổ hợp tuyến tính hàng: ⎡a⎤ ⎡1 ⎤ ⎡2⎤ ⎡ −1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ −1⎤ ! ⎢ ⎥ ! ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ v = ⎢ b ⎥ ∈C( AT ) ⇔ v = x1 ⎢ ⎥ + x2 ⎢ ⎥ + x3 ⎢ ⎥ = (x1 + 2x2 ) ⎢ ⎥ + x3 ⎢ ⎥ ⎢⎣ c ⎥⎦ ⎢⎣3 ⎥⎦ ⎢⎣6 ⎥⎦ ⎢⎣6 ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣6 ⎥⎦ C ( AT ) mặt phẳng không gian với véc tơ phương ( 1, 2, -1) ( - 1, 4, 6) ⎡ −2 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ −1⎤ ! ⎢ ⎥ ! ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T v = ⎢ ⎥ ∈C( A ) v = (−1) ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢⎣7 ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣6 ⎥⎦ 18 +) Không gian cột C(B) tổ hợp tuyến tính cột: ⎧⎡2 ⎤ ⎡4 ⎤ ⎡2 ⎤ ⎫ ⎡a ⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ 4⎤ ⎡ 2⎤ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ v = ⎢⎢b ⎥⎥ ∈ C ( A) ⇔ v = x1 ⎢⎢0 ⎥⎥ + x2 ⎢⎢ 4⎥⎥ + x3 ⎢⎢ 4⎥⎥ Bên cạnh đó, ⎨ ⎢0 ⎥ , ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ ⎬ độc lập tuyến tính ⎪ ⎢ ⎥ ⎢8 ⎥ ⎢8 ⎥ ⎪ ⎢⎣c ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣8 ⎥⎦ ⎢⎣8 ⎥⎦ ⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭ → C ( B) = !3 ⎡ ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ +) Không gian nghiệm N(B) tập nghiệm Bx = 0: ⎢ 4 ⎥ x2 = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 8 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎡2 0⎤ ⎡2 0⎤ ⎡ x3 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ → ⎢ 4 ⎥ Nên x1 + x2 + x3 = 0; x2 + x3 = Vậy x = ⎢ − x3 ⎥ = x3 ⎢ −1⎥ ⎢⎣ 8 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ { } → N ( B ) = x = c1 (1,−1,1) ; c1 ∈! đường thẳng có véc tơ phương ( 1, -1, 1) không gian ! +) Không gian hàng C ( AT ) tổ hợp tuyến tính hàng: Toán 3 Nguyễn Thị Vân ⎡a ⎤ ⎡ 2⎤ ⎡0 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ 2⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T v = ⎢b ⎥ ∈ C ( A ) ⇔ v = x1 ⎢ 4⎥ + x2 ⎢ 4⎥ + x3 ⎢8 ⎥ = x1 ⎢ 4⎥ + (4 x2 + x3 ) ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣c ⎥⎦ ⎢⎣ 2⎥⎦ ⎢⎣ 4⎥⎦ ⎢⎣8 ⎥⎦ ⎢⎣ 2⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ C ( AT ) mặt phẳng không gian với véc tơ phương ( 2, 4, 2) ( 0, 1, 1) +) Không gian nghiệm N(BT) tập nghiệm BTy = 0: ⎡ 0⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ 4 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 ⎥ → ⎢ 4 ⎥ → ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ y3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 ⎥⎦ ⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ Nên x1 = 0; x2 + x3 = Vậy x = −2 x3 = x3 ⎢ −2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ( ) { } → N BT = x = c1 ( 0,−2,1) ; c1 ∈! đường thẳng có véc tơ phương ( 0, -2, 1) không gian !3 10