ĐỀ THI HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP
HỐN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Có tập X tập A thoả điều kiện X chứa khơng chứa 2 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đơi khác lấy từ tập A khơng bắt đầu 123 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Một học sinh có 12 sách đơi khác nhau, có sách Tốn, sách Văn sách Anh Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ sách dài, sách mơn xếp kề nhau? (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trường hợp sau: Bất học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường với Bất học sinh ngồi đối diện khác trường với (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đơi từ X (chữ số phải khác 0) trường hợp sau: n số chẵn Một ba chữ số phải (ĐH Huế khối A chun ban 1999) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy khơng có đủ màu? (ĐH Huế khối D chun ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh Có cách xếp để phiếu số chẵn ln cạnh nhau? Có cách xếp để phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? (ĐH Huế khối RT chun ban 1999) Người ta viết chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng Có số lẻ gồm chữ số thành? Có số chẵn gồm chữ số thành? (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét số gồm chữ số, có năm chữ số bốn chữ số 2, 3, 4, Hỏi có số thế, nếu: Năm chữ số xếp kề Các chữ số xếp tuỳ ý (ĐH Hàng hải 1999) Có cách xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào ghế dài cho: Bạn C ngồi Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế 10 (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số gồm chữ số khác nhau, cho chữ số có mặt số 11 (ĐHQG HN khối B 2000) Từ chữ số 0, 1, 3, 5, lập số gồm chữ số khác khơng chia hết cho 12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 sách đơi khác có sách Văn, sách Nhạc sách Hoạ Ơng muốn lấy tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F em Giả sử thầy giáo muốn tặng cho học sinh sách thuộc thể loại Văn Nhạc Hỏi có cách tặng? Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, ba loại sách lại Hỏi có cách chọn? 13 (ĐH Huế khối A chun ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác nếu: 1) phải có nữ 2) chọn tuỳ ý 14 (ĐH Huế khối DRT chun ban 2000) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số cho ta lập được: Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số bốn chữ số khác đơi Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số ba chữ số khác đơi Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số ba chữ số khác đơi 15 (ĐH Y HN 2000) Có nhà tốn học nam, nhà tốn học nữ nhà vật lí nam Lập đồn cơng tác người cần có nam nữ, cần có nhà tốn học nhà vật lí Hỏi có cách? 16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta lập số mà số có năm chữ số chữ số khác đơi Hỏi Có số phải có mặt chữ số 2 Có số phải có mặt hai chữ số 17 (ĐH Thái Ngun khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho: Có nam người Có nam nữ người 18 (ĐH Thái Ngun khối D 2000) Từ chữ số 2, 3, tạo số tự nhiên gồm chữ số, có mặt đủ chữ số 19 (ĐH Thái Ngun khối G 2000) Có số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ 20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đơi khác Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ 21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có thẻ trắng thẻ đen, đánh dấu loại theo số 1, 2, 3, 4, Có cách xếp tất thẻ thành hàng cho hai thẻ màu khơng nằm liền 22 (ĐH Sư phạm HN khối A 2000) Có thể lập số gồm chữ số từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần 23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có số khác gồm chữ số cho tổng chữ số số số chẵn 24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho số chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước 25 (HV Kỹ thuật qn 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày, cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người địa điểm B, người thường trực đồn Hỏi có cách phân cơng? 26 (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, có cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghị Hội sinh viên trường cho người có cán lớp 27 (HV Qn y 2000) Xếp viên bi đỏ có bán kính khác viên bi xanh giống vào dãy trống Hỏi: Có cách xếp khác nhau? Có cách xếp khác cho viên bi đỏ xếp cạnh viên bi xanh xếp cạnh nhau? 28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 9? 29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Có số lẻ gồm chữ số khác lớn 500000? 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Với số: 0, 1, 2, 3, 4, thành lập số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, có em nam, em nữ Cơ giáo chủ nhiệm muốn chọn nhóm em để tham dự trò chơi gồm em nam em nữ Hỏi có cách chọn? 32 (ĐH An ninh khối D 2001) Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập số có bảy chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mạt lần 33 (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 học sinh thành hàng dài cho học sinh nam phải đứng liền 34 (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, có nữ nam Có cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ Có cách chọn người mà khơng có q nam 35 (ĐH Giao thơng vận tải 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi lập số gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số 36 (ĐH Huế khối ABV 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần? 37 (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mittinh trường với u cầu có nam nữ Hỏi có cách chọn? 38 (HV Kỹ thuật qn 2001) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh 39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác phải có chữ số 40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) Có thể tìm số gồm chữ số khác đơi một? Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ số đơi khác nhau? 41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập số có chữ số khác mà hai chữ số khơng đứng cạnh nhau? 42 (ĐH Nơng nghiệp I HN khối A 2001) Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có cách xếp để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đổi chỗ học sinh cho ta cách xếp mới) 43 (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số có chữ số mà chữ số đứng vị trí giữa? 44 (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số đơi khác nhau, có mặt chữ số khơng có mặt chữ số 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt khơng q lần (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đơi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A hợp có 20 phần tử Có tập hợp A? Có tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn? (ĐH Thái Ngun khối D 2001) Có số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, Có số có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, mà số nhỏ số 345 (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm cơng tác “Mùa hè xanh” Hỏi có cách chọn học sinh phải có nhất: Hai học sinh nữ hai học sinh nam Một học sinh nữ học sinh nam (ĐH Y HN 2001) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số chẵn có ba chữ số khác khơng lớn 789? (ĐH khối D dự bị 2002) Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 lập số tự nhiên mà số có chữ số thoả mãn điều kiện: sáu chữ số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn vậy? (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau? (CĐ Sư phạm khối A 2002) Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng Từ kết câu 1) suy số giao điểm tối đa tập hợp đường nói 56 (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh 57 (CĐ Xây dựng số – 2002) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác nhỏ 245 58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ chữ số 0, 1, 2, 5, lập số lẻ, số gồm chữ số khác 59 (ĐH khối B 2004) Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng 60 (ĐH khối B 2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ 61 (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn 62 (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm phải có nữ 63 (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số 1, 64 (ĐH khối D 2006) Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc khơng q lớp Hỏi có cách chọn vậy? 65 (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C, chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A học sinh khối C Tính số cách chọn 66 (CĐ Tài – Hải quan khối A 2006) Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần hai chữ số lại phân biệt? 67 (CĐ Xây dựng số khối A 2006) Có số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng tất số 68 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho đường thẳng d1, d2 song song với Trên đường thẳng d cho 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 cho điểm phân biệt Hỏi lập tam giác mà đỉnh tam giác lấy từ 18 điểm cho BÀI GIẢI (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) X ⊂ A X = { 1} ∪ Y 1∈ X ⇔ Y ⊂ { 3,4,5,6,7,8} 2 ∉ X Do số tập X số tập Y tập hợp {3,4,5,6,7,8} Mà số tập Y {3,4,5,6,7,8} là: 26 = 64 Vậy có 64 tập X A chứa khơng chứa 2 Gọi * m số số tự nhiên chẵn gồm chữ số đơi khác lấy từ A * n số số tự nhiên chẵn gồm chữ số đơi khác lấy từ A bắt đầu 123 * p số số tự nhiên thoả mãn u cầu đề Ta cần tính p Hiển nhiên p = m – n • Tính m: Lập số chẵn a5a4a3a2a1 gồm chữ số khác a1, a2, a3, a4, a5 ∈ A, có nghĩa là: Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} → có cách Lấy a2, a3, a4, a5 từ số lại A → có A74 = 7.6.5.4 = 840 cách Do đó: m = 4.840 = 3360 • Tính n: Lập số chẵn 123a2a1 bắt đầu 123; a1,a2∈ A; a1 ≠ a2 Lấy a1 từ {4,6,8} → có cách Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} → có cách Do đó: n = 3.4 = 12 Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Bước 1: Đặt nhóm sách lên kệ dài: 3! cách Bước 2: Trong nhóm ta thay đổi cách xếp đặt sách: Nhóm sách Tốn: 2! cách Nhóm sách Văn: 4! cách Nhóm sách Anh: 6! cách Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có cách xếp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh trường A, có 6! cách xếp em vào chỗ Tượng tự, có 6! cách xếp học sinh trường B vào chỗ Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách Học sinh thứ trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ trường A: có cách chọn học sinh trường B Học sinh thứ hai trường A 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có cách chọn, v.v… Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Xem số chắn hình thức abcde (kể a = 0), có cách chọn e ∈ {0,2,4,6}, số chẵn Sau chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: A74 = 840 Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức Ta loại số có dạng 0bcde Có cách chọn e, A36 cách chọn b, c, d từ X \ {0,e} Vậy có A36 = 360 số chẵn có dạng 0bcde Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả u cầu đề n = abcde * Xem số hình thức abcde (kể a = 0) Có cách chọn vị trí cho Sau chọn chữ số khác cho vị trí lại từ X \ {1}: có A74 cách Như thế: có A74 = 2520 số hình thức thoả u cầu đề * Xem số hình thức 0bcde Có cách chọn vị trí cho Chọn chữ số khác cho vị trí lại từ X \ {0,1}, số cách chọn A36 Như thế: có A36 = 240 số hình thức dạng 0bcde Kết luận: số số n thoả u cầu đề là: 2520 – 240 = 2280 số (ĐH Huế khối A chun ban 1999) Số cách chọn bi số 15 bi là: C15 = 1365 Các trường hợp chọn bi đủ màu là: * đỏ + trắng + vàng: có C24C15C16 = 180 * đỏ + trắng + vàng: có C14C52C16 = 240 * đỏ + trắng + vàng: có C14C15C62 = 300 Do số cách chọn bi đủ màu là: 180 + 240 + 300 = 720 Vậy số cách chọn để bi lấy khơng đủ màu là: 1365 – 720 = 645 (ĐH Huế khối D chun ban 1999) * Xếp phiếu số 1, 2, 3, có 4! = 24 cách * Sau xếp phiếu số vào cạnh phiếu số có cách Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo u cầu đề * Khi nhóm chẵn bên trái, nhóm lẻ bên phải Số cách xếp cho số chẵn 2! cách Số cách xếp cho số lẻ là: 3! cách Vậy có 2.6 = 12 cách * Tương tự có 12 cách xếp mà nhóm chẵn bên phải, nhóm lẻ bên trái Vậy: có 12 + 12 = 24 cách (ĐH Huế khối RT chun ban 1999) Số có chữ số khác có dạng: abcdef với a ≠ Vì số tạo thành số lẻ nên f ∈ {1, 3, 5} Do đó: f có cách chọn a có cách chọn (trừ f) b có cách chọn (trừ a f) c có cách chọn (trừ a, b, f) d có cách chọn (trừ a, b, c, f) e có cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số Vì số tạo thành số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4} * Khi f = (a,b,c,d,e) hốn vị (1,2,3,4,5) Do có 5! số * Khi f ∈ {2, 4} thì: f có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn e có cách chọn Do có 2.4.4.3.2.1 = 192 số Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Gọi 11111 số a Vậy ta cần số a, 2, 3, 4, Do số có chữ số có chữ số đứng liền là: 5! = 120 số Lập số có chữ số thoả mãn u cầu; thực chất việc xếp số 2, 3, 4, vào vị trí tuỳ ý vị trí (5 vị trí lại đương nhiên dành cho chữ số lặp lần) 9! Vậy: có tất A94 = = 6.7.8.9 = 3024 số 5! (ĐH Hàng hải 1999) Xếp C ngồi giữa: có cách Xếp A, B, D, E vào chỗ lại: có 4! = 24 cách Vậy: có 24 cách xếp thoả u cầu Xếp A E ngồi hai đầu ghế: có 2! = cách Xếp B, C, D vào chỗ lại: có 3! = cách Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả u cầu 10 (HV BCVT 1999) * Số số có chữ số khác là: Tuyển tập Đại số tổ hợp A10 Trần Só Tùng 10 − A10 = 9.9.8.7.6.5 = 136080 * Số số có chữ số khác khác là: A69 = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Số số có chữ số khác khác là: A69 − A59 = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vậy số số có chữ số khác có mặt là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 số 11 (ĐHQG HN khối B 2000) * Trước hết ta tìm số số gồm chữ số khác nhau: Có khả chọn chữ số hàng ngàn (khơng chọn chữ số 0) Có A34 khả chọn chữ số cuối ⇒ Có A34 = 4.4! = 96 số * Tìm số số gồm chữ số khác chia hết cho 5: Nếu chữ số tận 0: có A34 = 24 số Nếu chữ số tận 5: có khả chọn chữ số hàng nghìn, có A32 = khả chọn chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số Do có 24 + 18 = 42 số gồm chữ số khác chia hết cho Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm chữ số khác khơng chia hết cho 12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Số cách tặng số cách chọn sách từ có kể thứ tự Vậy số cách tặng A69 = 60480 Nhận xét: khơng thể chọn cho hết loại sách Số cách chọn sách từ 12 sách là: = 665280 A12 Số cách chọn cho khơng sách Văn là: A56 = 5040 Số cách chọn cho khơng sách Nhạc là: A64 A82 = 20160 Số cách chọn cho khơng sách Hoạ là: A36 A39 = 60480 Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 13 (ĐH Huế khối A chun ban 2000) Để có nữ ta phải chọn: * nữ, nam → có C15 cách C30 * nữ, nam → 3 có C15 cách C30 * nữ, nam → có C15 cách C30 * nữ, nam → có C15 C130 cách * nữ → có C15 cách 3 Vậy: có C15 + C15 + C15 + C15 cách C30 C30 C30 C130 + C15 19 Ckn−1 ⇔ n−k +1 n+1 >1⇔k< k Bảng biến thiên: ⇒ Ckn lớn k số tự nhiên lớn khơng vượt q n+1 30 (ĐH Vinh khối DTM 2001) 2001 Ta có: (x + 1)2001 = ∑ Ck2001.xk k =0 2001 ∑ Ck2001.(−x)k (–x + 1)2001 = Cộng lại ta được: (x + 1)2001 + (–x + 1)2001 = k =0 ( 2 4 2000 2000 C2001 = C2001 + x C2001 + x C2001 + + x Cho x = ta được: ( 2 4 2000 2000 C2001 42001 – 22001 = C2001 + C2001 + C2001 + + ) ) 2000 ⇒ C02001 + 32 C2001 + 34 C2001 + + 32000 C2001 = 22000 (22001 − 1) 31 (ĐH Y Dược TPHCM 2001) Đặt ak = Cn2n+k Cn2n−k với ≤ k ≤ n Ta chứng minh rằng: a0 > a1 > … > an (1) Thật vậy, ta có BĐT ak > ak+1 với ≤ k ≤ n – (2) (2n + k)! (2n − k)! (2n + k + 1)! (2n − k − 1)! > ⇔ n!(n + k)! n!(n − k)! n!(n + k + 1)! n!(n − k − 1)! 2n − k 2n + k + > ⇔ ⇔ (2n – k)(n + k + 1) > (n – k)(2n + k + 1) n−k n+k +1 ⇔ 2nk + n > Ta BĐT ⇒ (2) ⇒ (1) ( Do đó: ak = Cn2n+k Cn2n−k ≤ Cn2n Dấu “=” xảy ⇔ k = 32 (ĐH khối A 2002) Từ Cn3 = 5C1n ta có n ≥ ) = a0 n! n! n(n − 1)(n − 2) =5 = 5n ⇔ ⇔ 3!(n − 3)! (n − 1)! Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 40 n = −4 (loại) ⇔ n2 – 3n – 28 = ⇔ n = Với n = ta có: C37 (2 )(2 ) x −1 −x 3 = 140 ⇔ 35.22x–2.2–x = 140 ⇔ 2x–2 = ⇔ x = Vậy n = 7, x = 33 (ĐH khối B 2002) Số tam giác có đỉnh 2n điểm A1, A2, …, A2n C32n Gọi đường chéo đa giác A1A2…A2n qua tâm đường tròn (O) đường chéo lớn đa giác cho có n đường chéo lớn Mỗi hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A 1, A2, …, A2n có đường chéo hai đường chéo lớn Ngược lại, với cặp đường chéo lớn ta có đầu mút chúng đỉnh hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói số cặp đường chéo lớn đa giác A1, A2, …, A2n, tức Cn2 Theo giả thiết thì: (2n)! n! C32n = 20Cn2 ⇔ = 20 3!(2n − 3)! 2!(n − 2)! 2n(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1) = 20 ⇔ ⇔ 2n – = 15 ⇔ n = 34 (ĐH khối D 2002) n Ta có: (x + 1)n = ∑ Cknxk k =0 n Cho x = ta được: 3n = ∑ Ckn 2k k =0 ⇒ 3n = 243 ⇔ n = 35 (ĐH dự bị 2002) n ≥ n ≥ BPT ⇔ ⇔ n - 2n - ≤ n(n - 1)(n - 2) + n(n - 1) ≤ 9n ⇔ ≤ n ≤ ⇔ n = n = 36 (ĐH dự bị 2002) a a a Ta có: k −1 = k = k +1 (1) (1 ≤ k ≤ n – 1) 24 Ckn−1 Ckn Ckn+1 = = 24 n! n! n! = = ⇔ (k − 1)!(n − k + 1)! k!(n − k)! 24 (k + 1)!(n − k − 1)! ⇔ 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)! ⇔ 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k ⇔ 2n + k= 2(n − k + 1) = 9k 11 ⇔ ⇔ 3n −8 9(n − k) = 24(k + 1) k = 11 Để tồn k thoả mãn hệ thức (1), điều kiện có đủ là: 3n – = 2n + ⇔ n = 10 37 (ĐH dự bị 2002) Ta có: (x + 1)10 = x10 + C110 x9 + C10 x + C10 x + + C10 x +1 9 ⇒ (x + 1)10(x + 2) = x11 + C110 x10 + C10 x + C10 x + + C10 x +x + 11 =x + ( C110 ) 10 +2 x ( ( + ( C10 + C110 ) ( )x +( C10 + C10 ) )x + + 9 + C10 + C10 x + C10 10 + C10 x + = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 Vậy a5 = C10 = 672 + 2C10 38 (ĐH khối A 2003) ( ) Ta có: Cnn++14 − Cnn+ = 7(n + 3) ⇔ Cnn++13 + Cnn+ − Cnn+ = 7(n + 3) (n + 2)(n + 3) = 7(n + 3) ⇔ n + = 7.2! = 14 ⇔ n = 12 2! Số hạng tổng qt khai triển là: ⇔ k C12 (x−3 )k (x ) 12−k k = C12 x 60−11k 60 − 11k = ⇔ k = 12! Do hệ số số hạng chứa x8 C12 = = 495 4!(12 − 4)! 39 (ĐH khối B 2003) Ta có: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x + + Cnnxn Ta có: x 60−11k = x8 ⇔ n ⇒ ∫ (1+ x) dx = ∫ ( Cn + Cnx + Cn x 1 2 ) + + Cnnxn dx ⇔ x2 x3 xn+1 n+1 (1+ x) = Cn0 x + C1n + Cn2 + + Cnn ÷ n+1 n + 1 22 − 1 23 − 2n+1 − n 3n+1 − 2n+1 Cn + Cn + + Cn = n+1 n+1 40 (ĐH khối D 2003) ⇔ Cn0 + ) + x10 + C110 x9 + C10 x + C10 x + + C10 x +1 Tuyển tập Đại số tổ hợp Ta có: Trần Só Tùng 42 (x2 + 1)n = Cn0 x2n + C1nx 2n− (x + 2)n = Cn0 xn + 2C1nxn−1 + + Cn2x2n− + + Cnn 22 Cn2xn− + 23 Cn3 xn−3 + + 2n Cnn Dễ dàng kiểm tra n = 1, n = khơng thoả mãn điều kiện tốn Với n ≥ x3n–3 = x2nxn–3 = x2n–2xn–1 Do hệ số x3n–3 khai triển thành đa thức của: (x2 + 1)n(x + 2)n là: a3n–3 = 23.Cn0 Cn3 + 2.C1n.C1n n = 2n(2n2 − 3n + 4) ⇒ a3n–3 = 26n ⇔ = 26n ⇔ n = − (loại) Vậy: n = 41 (ĐH khối D 2003 dự bị 2) Ta có: Cn2Cnn− + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn−3 = 100 ⇔ ⇔ ( Cn2 ) + 2Cn2Cn3 + ( Cn3 ) ( Cn2 + Cn3 ) = 100 = 100 ⇔ Cn2 + Cn3 = 10 n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) + = 10 ⇔ 3n(n – 1) + (n2 – n)(n – 2) = 60 ⇔ (n2 – n)(n + 1) = 60 ⇔ (n – 1)n(n + 1) = 3.4.5 ⇔ n = 42 (CĐ Xây dựng số – 2002) Ta có khai triển: −1 2n (x + 1)2n = C02nx 2n + C12nx 2n−1 + C22nx2n− + + C2n 2n x + C2n Cho x = –1 ta được: −1 2n = C02n − C12n + C2n − C32n + C2n − − C2n 2n + C2n ⇔ 2n−1 2n ⇔ C12n + C32n + + C2n = C02n + C22n + + C2n 43 (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002) x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ Điều kiện: x ≥ x ∈ N x ∈ N x! x! +6 = 9x2 – 14x 2!(x − 2)! 3!(x − 3)! ⇔ x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x2 – 14x PT ⇔ x + x = ⇔ x(x – 9x + 14) – ⇔ x = x = 2 (loại) (loại) ⇔ x = 2 • Cách 1: 2 19 20 20 * Ta có: (1 – x)20 = C020 − C120 x + C20 x − − C19 + C20 x 20 x 20 Cho x = ta có: C020 − C120 + C20 − − C19 20 + C20 = 20 ⇒ C020 + C20 + + C20 = C120 + C320 + + C19 20 20 A = C020 + C20 ; B = C120 + C320 + + C19 + + C20 20 ⇒A=B (1) 2 19 20 * Ta có: (1 + x)20 = C020 + C120 x + C20 x + + C19 + C20 20 x 20 x Đặt: 20 20 Cho x = ta có: C020 + C120 + C20 + + C19 20 + C20 = ⇒ A + B = 220 (2) 220 = 219 (đpcm) • Cách 2: Áp dụng cơng thức Ckn+1 = Cnk −1 + Ckn Cn0 = 1, ta được: Từ (1) (2) suy A = 19 C120 + C320 + C520 + + C17 20 + C20 = 16 17 18 19 = C19 + C19 + C19 + C19 + C19 + C19 + C19 + C19 19 19 = (1 + 1) = 44 (CĐ khối AD 2003) • Cách 1: Ta có: Pn+1 – [nPn + (n – 1)Pn–1 + … + 2P2 + P1] = = (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! = n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! = n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! = (n – 1)![n – (n – 1)] – … – 2.2! – 1! = (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! – … – 2.2! – 1! = … = 2! – 1.1! = Vậy: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – • Cách 2: Chứng minh qui nạp: * Với n = 1, ta có P1 = P2 – ⇔ 1! = 2! – Mệnh đề * Giả sử mệnh đề với n = k (k > 1), tức ta có: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk = Pk+1 – * Ta cần ch minh: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1= Pk+2 – Thật vậy, P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1 = Pk+1 – + (k +1)Pk+1 = (k + 2)Pk+1 – = Pk+2 – (đpcm) 45 (CĐ Giao thơng II 2003) Tuyển tập Đại số tổ hợp Cn0 Trần Só Tùng 44 Cnn Do = = nên ta có: Áp dụng BĐT Cơsi ta có: Cn0C1n Cnn = C1nCn2 Cnn−1 n−1 C1 + Cn2 + + Cnn−1 C1nCn2 Cnn−1 ≤ n ÷ n−1 n Áp dụng khai triển (a + b)n = ∑ Cknakbn−k k =0 với a = b = 1, ta có: Cn0 + C1n + Cn2 + + Cnn = 2n ⇒ C1n + Cn2 + + Cnn−1 = 2n – n−1 n Suy ra: C1C2 Cn−1 ≤ − ÷ (đpcm) n n n n−1 46 (CĐ Giao thơng III 2003) Ta có: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x + Cn3 x3 + + Cnnxn Đạo hàm vế, ta được: n(1 + x)n–1 = C1n + 2Cn2x + 3Cn3 x2 + + nCnnxn−1 Cho x = –1 = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + + (−1)n−1nCnn Vậy S = Ta có: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x + Cn3 x3 + + Cnnxn n ⇒ ∫ (1+ x) dx = (1+ x)n+1 ⇒ n=1 ⇒ 1 ∫ ( Cn + Cnx + Cn x 0 2 ) + Cn3 x3 + + Cnnxn dx 1 1 n n+1 = Cn0 x + C1nx2 + Cn2x3 + + Cnx ÷ n+1 0 n+1 −1 1 n = Cn0 + C1n + Cn2 + + Cn n+1 n+1 Do đó: T = Ta có: Cnn 2n+1 − n+1 + Cnn−1 + Cnn− n ∈ N, n ≥ ⇔ n = 12 = 79 ⇔ n(n − 1) 1+ n + = 79 213 − 13 47 (CĐ Tài kế tốn IV 2003) Vế trái = Ckn− + Cnk −−12 + Cnk −−12 + Cnk−−22 = Ckn−1 + Cnk −−11 = Ckn 48 (CĐ Tài kế tốn IV 2003 dự bị) Vậy: T = Điều kiện: n ∈ Z, n ≥ (2n)! (3n)! ≤ 720 ⇔ (3n)! ≤ 720 BPT ⇔ (n!) n!n! (2n)!n! Ta thấy (3n)! tăng theo n mặt khác 6! = 720 ≥ (3n)! 0 ≤ n ≤ Do đó: BPT có nghiệm n ∈ Z 49 (CĐ Cơng nghiệp HN 2003) 2003 P(x) = (16x – 15)2003 = 2003 = ∑ k =0 ∑ k =0 Ck2003 (16x)2003−k (−15)k Ck2003 (16)2003−k (−15)k x2003−k Các hệ số khai triển đa thức là: ak = Ck2003 (16)2003−k (−15)k 2003 Vậy: S = ∑ k =0 ak = 2003 ∑ Ck2003 (16)2003−k (−15)k = (16 – 15) 2003 k =0 =1 50 (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003) Điều kiện: n ∈ N, n ≥ n! n! +2 = 16n ⇔ n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n PT ⇔ (n − 3)! 2!(n − 2)! n = ⇔ n2 – 2n – 15 = ⇔ n = −3 (loại) vậy: n = 51 (CĐ Nơng Lâm 2003) 15−k k 15 15 k 15 k k k 1 x = C Ta có: + x ÷ = ∑ C15 ÷ ÷ ∑ 15 315 x 3 3 3 k =0 k =0 Gọi ak hệ số xk khai triển: k k ak = 15 C15 ; k = 0, 1, 2, …, 15 Xét tăng giảm dãy ak: k −1 k −1 k k −1 k ak–1 < ak ⇔ C15 < C15 2k ⇔ C15 < 2C15 32 , k = 0, 1, , 15 Từ đó: a0 < a1 < a2 < … < a10 Đảo dấu BĐT ta được: 32 ak–1 > ak ⇔ k > ⇒ a10 > a11 > … > a15 ⇔k< Tuyển tập Đại số tổ hợp 10 Vậy hệ số lớn phải tìm là: a10 = Trần Só Tùng 46 315 C10 15 = 3003 10 315 52 (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003) Ta có: −1 2n−1 2n (1 – x)2n = C02n − C12nx + C22nx2 − C32nx3 + C42nx − − C2n + C2n 2n x 2nx Đạo hàm vế theo x, ta có: –2n(1 – x)2n–1 = −1 2n− 2n−1 = −C12n + 2C22nx − 3C32nx + 4C42nx3 − − (2n − 1)C2n + 2nC2n 2n x 2nx Thế x = vào đẳng thức trên, ta có: −1 2n = −C12n + 2C22n − 3C32n + 4C42n − − (2n − 1)C2n 2n + 2nC2n −1 2n Vậy: 1C12n + 3C32n + + (2n − 1)C2n 2n = 2C2n + 4C2n + + 2nC2n 53 (ĐH khối A 2004) Ta có: [1 + x2(1 – x)]8 = C08 + C18 x (1− x) + C82x (1− x)2 + C38 x6 (1− x)3 + + C84 x8 (1− x)4 + C58 x10 (1− x)5 + C68 x12 (1− x)6 + C78 x14 (1− x)7 + C88x16 (1− x)8 Bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Vậy x8 có số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là: C38 C32 ; C84 C04 Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238 54 (ĐH khối D 2004) k 28−7k 7 −k Ck7 x 12 Ta có: x + ÷ = ∑ Ck7 ( x ) = ∑ 4 ÷ x x k =0 k =0 Số hạng khơng chứa x số hạng tương ứng với k (k ∈ Z, ≤ k ≤ 7) thoả mãn: 28 − 7k =0 ⇔k=4 12 Vậy số hạng khơng chứa x cần tìm là: C74 = 35 55 (ĐH khối A 2005) 2 3 2n+1 2n+1 Ta có: (1 + x)2n+1 = C02n+1 + C12n+1x + C2n +1x + C2n+1x + + C2n+1x Đạo hàm vế ta có: 2n+1 2n (2n + 1)(1 + x)2n = C12n+1 + 2C2n +1x + 3C2n+1x + + (2n + 1)C2n+1x Thay x = –2, ta có: 2 2n 2n+1 C12n+1 − 2.2C2n +1 + 3.2 C2n+1 − + (2n + 1)2 C2n+1 = 2n + Theo giả thiết ta có: 2n + = 2005 ⇒ n = 1002 56 (ĐH khối D 2005) Điều kiện: n ≥ Ta có: Cn2+1 + 2Cn2+ + 2Cn2+ + Cn2+ = 149 (n + 1)! (n + 2)! (n + 3)! (n + 4)! +2 +2 + = 149 2!(n − 1)! 2!n! 2!(n + 1)! 2!(n + 2)! n = ⇔ n2 + 4n – 45 = ⇔ n = −9 (loại) Vậy: n = 57 (ĐH khối A 2005 dự bị 2) 2 3 2n+1 2n+1 Ta có: (1 + x)2n+1 = C02n+1 + C12n+1x + C2n +1x + C2n+1x + + C2n+1x ⇔ 2n+1 Cho x = ta có: 22n+1 = C02n+1 + C12n+1 + C2n +1 + C2n+1 + + C2n+1 Cho x = –1 ta có: = 2n+1 C02n+1 − C12n+1 + C2n +1 − C2n+1 + − C2n+1 ( 2n+1 Lấy (1) – (2) ⇒ 22n+1 = C12n+1 + C32n+1 + + C2n +1 (2) ) 2n+1 ⇒ 22n = C12n+1 + C32n+1 + + C2n +1 = 1024 ⇒ 2n = 10 10 Ta có: (2 – 3x)10 = k 10−k (3x)k ∑ (−1)k C10 k =0 7 Suy hệ số x −C10 58 (ĐH khối D 2005 dự bị 1) +1 Ck2005 ≥ Ck2005 (k ∈ N) Ck2005 lớn ⇔ k k −1 C2005 ≥ C2005 2005! 2005! k!(2005 − k)! ≥ (k + 1)!(2004 − k)! k + ≥ 2005 − k ⇔ ⇔ 2005! 2005! 2006 − k ≥ k ≥ k!(2005 − k)! (k − 1)!(2006 − k)! k ≥ 1002 ⇔ ⇔ 1002 ≤ k ≤ 1003, k ∈ N k ≤ 1003 ⇔ k = 1002 k = 1003 59 (ĐH khối D 2005 dự bị 2) Ta có: 2Pn + An2 − PnAn2 = 12 (n ∈ N, n > 1) 6.n! n! n! − n! = 12 ⇔ (6 − n!) − 2(6 − n!) = (n − 2)! (n − 2)! (n − 2)! 6 − n! = n = n! = ⇔ n! ⇔ ⇔ −2=0 n − n − = n(n − 1) − = (n − 2)! ⇔ 2n! + n = ⇔ n = (vì n ≥ 2) Vậy: n = n = (1) Tuyển tập Đại số tổ hợp 60 (ĐH khối A 2006) Trần Só Tùng 48 n 20 • Từ giả thiết suy ra: C02n+1 + C12n+1 + C2n +1 + + C2n+1 = (1) 2n+1−k Vì Ck2n+1 = C2n =1 , ∀k, ≤ k ≤ 2n + nên: 2n+1 C2n+1 + C12n+1 + C2n +1 + + C2n+1 Từ khai triển nhị thức Newton (1 + 1)2n+1 suy ra: n C02n+1 + C12n+1 + C2n +1 + + C2n+1 = ( 2n+1 2n+1 C02n+1 + C12n+1 + C2n = 22n+1 +1 + + C2n+1 = (1+ 1) từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 ⇔ n = 10 10 7 • Ta có: + x ÷ x 26 Hệ số x k C10 = 10 k (x−4 )10−k ( x7 ) ∑ C10 k =0 k = 10 k 11k − 40 x ∑ C10 k =0 với k thoả mãn: 11k–40 = 26 ⇔ k = 6 Vậy hệ số x26 C10 = 210 61 (ĐH khối B 2006) Số tập k phần tử tập hợp A Ckn Từ giả thiết suy ra: Cn4 = 20Cn2 ⇔ n2 – 5n – 234 = ⇔ n = 18 (vì n ≥ 4) Do k +1 C18 k C18 = 18 − k > ⇔ k < 9, nên: C118 < C18 < < C18 k +1 10 18 ⇒ C18 > C18 > > C18 Vậy số tập gồm k phần tử A lớn k = 62 (CĐ Bán cơng Hoa Sen khối A 2006) ĐK: x ∈ N, y ∈ N*, x ≤ y Từ phương trình thứ hai suy x = Thay vào phương trình thứ ta được: y = 1(loại) y2 – 9y + = ⇔ Vậy: x = 4; y = y = 63 (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006) ĐK: n ∈ N, n ≤ 1 − n = n ⇔ n!(4 − n)! − n!(5 − n)! = n!(6 − n)! n C4 C5 C6 4! 5! 6! n = 15 (loại) ⇔ n2 – 17n + 30 = ⇔ n = Vậy: n = 64 (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006) ) (2) (3) n ∈ N,n ≥ = 211 ⇔ n(n − 1) 1+ n + = 211 n ∈ N,n ≥ ⇔ ⇔ n = 20 n + n − 420 = • Cn0 + C1n + Cn2 (k + 1).Ckn (k + 1)Ckn = Ckn • A1 (k = 1, 2, …, n) (k + 1)! k +1 k! 20 Do đó: với n = 20 ta có: S = C020 + C120 + + C20 = 220 65 (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) Số hạng thứ k + khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = Ckn (−2)k xk = Từ ta có: a0 + a1 + a2 = 71 ⇔ Cn0 − 2C1n + 4Cn2 = 71 n ∈ N, n ≥ n ∈ N, n ≥ ⇔ ⇔ ⇔n=7 n(n − 1) n + 2n − 35 = 1− 2n + = 71 Với n = 7, ta có hệ số x5 khai triển (1 – 2x)n là: a5 = C57 (−2)5 = – 672 66 (CĐ Điện lực TPHCM 2006) n(n − 1)(n − 2) = 13n Ta có: C1n + Cn3 = 13n ⇔ n + n = 10 ⇔ n2 – 3n – 70 ⇔ n = −7 (loại) Số hạng tổng qt khai triển nhị thức là: k k 20− 5k Tk+1 = C10 (x2 )10−k (x−3 )k = C10 x Tk+1 khơng chứa x ⇔ 20 – 5k = ⇔ k = 4 Vậy số hạng khơng chứa x là: T5 = C10 = 210 67 (CĐ Kinh tế TPHCM 2006) • Cách 1: Ta có: 4n+ 4n+ C04n+ + C14n+ + C4n + + + C4n+ = 2 4n+ 4n+1 C04n+ + C4n + + C4n+ + + C4n+ = 2 2n 4n C04n+ + C4n + + C4n+ + + C4n+ = Vậy có: 24n = 256 ⇔ n = 2 2n • Cách 2: Đặt Sn = C04n+ + C4n + + C4n+ + + C4n+ 2 2n Thì Sn+1 = C04n+ + C4n + + C4n+ + + C4n+ 2k Vì C2k 4n+ ≥ C4n+ (0 ≤ k ≤ n) nên Sn+1 > Sn ⇒ dãy (Sn) tăng Tuyển tập Đại số tổ hợp Khi n = S2 = Trần Só Tùng 50 C10 + C10 + C10 = 256 Vậy Sn = 256 ⇔ n = 68 (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006) 20 1 A = x − ÷ x 10 1 + x3 − ÷ x 20 ∑ (−1)k Ck20x20−k ( x−2 ) = = k =0 20 ∑ ( −1) k =0 k Ck20 x20−3k + k + 10 n ( 3) x ∑ (−1)n C10 10−k ( x−1) n n=0 10 ∑ ( −1) n= n n 30− 4n C10 x Xét trường hợp 20 – 3k = 30 – 4n ⇔ 10 – n = 3(n – k) Vì ≤ n ≤ 10 10 – n phải bội số nên n = hay n= hay n= 10 ⇒ có số hạng hai khai triển có luỹ thừa x giống Vậy sau khai triển rút gọn biểu thức A gồm: 21 + 11 – = 29 số hạng 69 (CĐ KT Y tế I 2006) −1 2n−1 2n Ta có: 42n = (1 + 3)2n = C02n + C12n 31 + C22n 32 + + C2n + C2n 2n 2n −1 2n−1 2n 22n = (1 – 3)2n = C02n − C12n 31 + C22n 32 − − C2n + C2n 2n 2n ⇒ ( 2n 42n + 22n = C02n + C22n 32 + + C2n 2n ) ⇒ + = 2.2 (2 + 1) ⇒ (22n – 216)(22n + 216 + 1) = ⇒ 22n = 216 ⇒ n = 70 (CĐ Xây dựng số 2006) Theo khai triển nhị thức Newton ta có: (a + b)n = Cn0an + C1nan−1b + + Cnnbn 2n 2n 15 16 • Với a = 3, b = – ⇒ 2n = (3 – 1)n = Cn0 3n − C1n 3n−1 + + (−1)n Cnn • Với a = 1, b = ⇒ 2n = (1 + 1)n = Cn0 + C1n + + Cnn Vậy: Cn0 3n − C1n 3n−1 + + (−1)n Cnn = Cn0 + C1n + + Cnn 71 (CĐ KT Y tế 2005) ĐK: x ∈ N, x ≥ (x + 1)! x! +3 − 20 < BPT ⇔ 2!(x − 1)! (x − 2)! ⇔ x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < ⇔ 2x2 – x – 10 < ⇔ – < x < Kết hợp điều kiện ⇒ x = 72 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) k Số hạng tổng qt: C15 (−1)k x 45− 2k yk 45 − 2k = 29 ⇒ ⇔k=8 k = 8 Vậy hệ số x29y8 là: C15 = 6435 73 (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Số hạng thứ k + khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = Ckn (−2)k xk Từ ta có: a0 + a1 + a2 = 71 ⇔ Cn0 − 2C1n + 4Cn2 = 71 n ∈ N, n ≥ ⇔ ⇔ n(n − 1) 1− 2n + = 71 n ∈ N, n ≥ ⇔ n = n + 2n − 35 =