ĐỀ CƯƠNG MÔN TRẮC ĐỊA CAO CẤP

Nhóm 1 : Câu 1 – Câu 4 Câu 1:giải thích và chứng minh các mối quan hệ toán học giữa trọng lực và thế trọng trường Nếu điểm xét M gắn liền với trái đất thì nó sẽ chịu tác dụng của lực hấp dẫn F do toàn bộ vật chất của trái đất gồm khối thạch quyển ,lớp thủy quyển ,bầu khí quyển bao quanh nó gây ra.Điểm xét đó đồng thời chịu lực li tâm P sinh ra do tham gia chuyển động quay ngày đêm quanh trục của trái đất .Tổng hợp của 2 lực như thế sẽ tạo ra một lực mới là trọng lực Hàm thế tương ứng với trọng lực là thế trọng trường và có kí hiệu là W(x,y,z).Thế trọng trường là kết quả tổng hợp của thế hấp dẫn và thế li tâm do trái đất gây ra.Ta co: Xét mối quan hệ giữa thế trọng trường và trọng lực .Ta lấy vi phân toàn phần của thế trọng trường Đem chia cả 2 vế của biểu thức trên cho vi phân khoảng cách theo hướng l bất kì ta co: Lưu ý rằng: ta có thể viết lại ở dạng Dựa trên cơ sở khái niệm về thế ta có Nhưng gx,gy,gz bản chất là các thành phần hình chiếu của véc tơ trọng lực g trên các trục tọa đọ ,tức là `Sau khi thay 2.26, 2.25 vao 2.24 ta nhận được: Biểu thức 2.27 cho thấy đạo hàm của thế trọng trường theo hướng l bất kì chính bằng hình chiếu của trọng lực trên hướng ấy .Điều này cũng chỉ ra tính chất đặc trưng với mức độ khái quát cao hơn của thế trọng trường và trọng lực. Câu 2: Trình bày nội dung ,đặc điểm sự giống và khác nhau giữa dị thường trọng lực chân không và dị thường trọng lực bouguer? Giống nhau: Đều là dị thường trọng lực hỗn hợp Là đặc trưng bằng số cho đọ chênh cao giữa thế trọng trường thực và thế trọng trường chuẩn Khác nhau: Dị thường trọng lực chân không + Được tính theo biểu thức: +Trong đó yO,N là giá trị trọng lực chuẩn trên mặt elipsoid chuẩn tại điểm nằm trên cùng một pháp tuyến hạ từ M được tính theo công thức với vĩ độ M +Dị thường trọng lực chân không tính theo biểu thức + dị thường trọng lực chân không thường để sử dụng vào mục đích trác địa Dị thường trọng lực bouguer + Lớp vật chất nằm giữa điểm xét cắt ngang điểm xét M và mặt biển trung bình được gọi là lớp trung gian.Lực hút của nó được tính theo công thức + Bằng cách loại bỏ ảnh hưởng này khỏi giá trị dị thường trọng lực chân không ta nhận được dị thường trọng lực bouguer + dị thường trọng lực bouguer rất hữu hiệu với các bài toán vật lí

TRẮC ĐỊA CAO CẤPNhóm 1 : Câu 1 – Câu 4

Câu 1:giải thích và chứng minh các mối quan hệ toán học giữa trọng lực và thế trọng trường

-Nếu điểm xét M gắn liền với trái đất thì nó sẽ chịu tác dụng của lực hấp dẫn F do toàn

bộ vật chất của trái đất gồm khối thạch quyển ,lớp thủy quyển ,bầu khí quyển bao quanh

nó gây ra.Điểm xét đó đồng thời chịu lực li tâm P sinh ra do tham gia chuyển động quay ngày đêm quanh trục của trái đất Tổng hợp của 2 lực như thế sẽ tạo ra một lực mới là trọng lực

-Hàm thế tương ứng với trọng lực là thế trọng trường và có kí hiệu là W(x,y,z).Thế trọng trường là kết quả tổng hợp của thế hấp dẫn và thế li tâm do trái đất gây ra.Ta co:

-Xét mối quan hệ giữa thế trọng trường và trọng lực Ta lấy vi phân toàn phần của thế trọng trường

Đem chia cả 2 vế của biểu thức trên cho vi phân khoảng cách theo hướng l bất kì ta co:

Lưu ý rằng: ta có thể viết lại ở dạng

Nhưng gx,gy,gz bản chất là các thành phần hình chiếu của véc tơ trọng lực g trên các trục tọa đọ ,tức là

`Sau khi thay 2.26, 2.25 vao 2.24 ta nhận được:

Biểu thức 2.27 cho thấy đạo hàm của thế trọng trường theo hướng l bất kì chính bằng hình chiếu của trọng lực trên hướng ấy Điều này cũng chỉ ra tính chất đặc trưng với mức

độ khái quát cao hơn của thế trọng trường và trọng lực

Câu 2: Trình bày nội dung ,đặc điểm sự giống và khác nhau giữa dị thường trọng lực chân không và dị thường trọng lực bouguer?

*Giống nhau:

- Đều là dị thường trọng lực hỗn hợp

- Dị thường trọng lực chân không

+Trong đó yO,N là giá trị trọng lực chuẩn trên mặt elipsoid chuẩn tại điểm nằm trên cùng một pháp tuyến hạ từ M được tính theo công thức với vĩ độ M

+Dị thường trọng lực chân không tính theo biểu thức

+ dị thường trọng lực chân không thường để sử dụng vào mục đích trác địa

-Dị thường trọng lực bouguer

+ Lớp vật chất nằm giữa điểm xét cắt ngang điểm xét M và mặt biển trung bình được gọi

là lớp trung gian.Lực hút của nó được tính theo công thức

+ Bằng cách loại bỏ ảnh hưởng này khỏi giá trị dị thường trọng lực chân không ta nhận được dị thường trọng lực bouguer

+ dị thường trọng lực bouguer rất hữu hiệu với các bài toán vật lí

Câu 3: trình bày phương pháp xác lập trọng trường chuẩn ,thế nhiễu và dị thường

độ cao.

-xác định trọng trường chuẩn theo phương pháp laplace

Trong đó p,θ,λlà các yếu tố tọa độ mặt cầu của điểm xét (hình 2.30)

Mỗi hệ số điều hòa trong (2.30)có ý nghĩa vật lý cụ thể ,chẳng hạn biểu

diễn các tích quán tính và xác định hướng của các trục quán tính chủ yếu của trái đất ,phụ thuộc vào sự khác biệt giữa các moomen quán tính của trái đất so với các trục tọa độ x,y trong mặt phẳng xích đạo và đặc trưng cho độ dẹt xích đạo của trái đất :

Trong đó :A,B,C là các momen quán tính của trái đất so với các trục tọa độ x,y,z

Bằng cách đặt gốc tọa độ trùng với tâm quán tính và cho các trục tọa độ trùng với các trục quán tính chủ yếu của trái đất , ta có:

Nếu chỉ tính đến dạng cầu và độ dẹt cực của trái đất và bỏ qua độ dẹt xích đạo cùng các

số hạng bậc cao của chuỗi (2.29)thì thế trọng trường của trái đất có dạng đơn giản hơn như sau:

Trong đó

M là khối lượng của trái đấtBiểu thức trên được lấy làm thành phần chính của thế trọng trường của trái đất ,người ta gọi nó là thế trọng trường chuẩn và kí hiệu là

Tương ứng ta có biểu thức của mặt đẳng thế trọng trường chuẩn ở dangjsferoid mang tên clairaut:

Trong đó:a là bán kính xích đạo

q là tỷ số giữa lực ly tâm và trọng lực trên xích đạo giá trị thế trọng trường chuẩn trên mặt đẳng thế chuẩn được biểu diễn như sau:

Giá trị trọng lực ứng với trọng trường chuẩn được gọi là trọng lực chuẩn và ký hiệu là

Trong đó:n’ là pháp tuyến với mặt đẳng thế chuẩn ,hướng lên phía trên và ngược chiều với trọng lực chuẩn

ở ngay trên bề mặt sferoid clairaut trọng lực chuẩn được xác định theo công thức clairaut:

là giá trị trọng lực chuẩn tại cực và tại xích đạo đại lượng được gọi là độ dẹt trọng lực ,nó liên hệ với độ dẹt cực f theo biểu thức :

-xác lập trọng trường chuẩn dựa trên định lý stokes

Ta chọn mặt đẳng thế S có dạng ellipsoid tròn xoay với bán trục lớn a,bán trục nhỏ b thỏa mãn phương trình:

Kết quả xác định thế trọng trường chuẩn trên cơ sở định lý stokes đối với mặt đẳng thế chuẩn dạng ellipsoid tron xoay (2.39)sẽ cho ta biểu thức sau:

Thế trọng trường chuẩn trên mặt ellipsoid chuẩn:

Trọng lực tại xích đạo trên mặt ellipsoid chuẩn :

Độ dẹt trọng lực :

Độ dẹt cực:

Hệ số

Trong các biểu thức trên là đại lượng xác định như sau:

I2 được gọi là hệ số điều hòa đới bậc hai của thế trọng trường ,nó liên hệ với hệ số điều hòa bậc 2 cấp 0 là C2.0 của thế trọng trường thực trong biểu thức (2.29) theo quan hệ I2=C2.0

Ta có hệ thống trắc địa toàn cầu mới nhất của trái đất là hệ WGS-84 ta có :

Ứn với trái đất có thế trọng trường thực W.Bằng cách khác nhau như đã xét ở mục trên ta

có thể tạo ra được thế trọng trường chuẩn U.Đại lượng chênh khác giữa W và U được gọi

Bài toán nghiên cứu xác định thế trọng trường thực vốn rất cồng kềnh ,phức tạp được quy

về mục tiêu và đối tượng gọn nhệ hơn trên cơ sở biểu thức rút ra từ (2.47)

+ Dị thường độ cao

Ta coi ellipsoid chuẩn được chọn làm mặt đẳng thế chuẩn cơ bản của trái đất đồng thời là ellipsoid thực dụng được lấy làm mặt khởi tính trong trắc địa Khi đó độ cao của điểm xét M trên bề mặt thực của trái đất tính từ mặt ellipsoid chuẩn theo pháp tuyến của nó hạ

từ điểm xét được gọi là độ cao trắc địa và ký hiệu là

Ta hình dung có điểm N ở phía dưới ,cùng nằm trên pháp tuyến với ellipsoid chuẩn hạ từ điểm M trên mặt đất mà tại đó giá trị trọng lực chuẩn bằng giá trị trọng lực thực

Khi đó độ cao trắc địa của N, tức đoạn pháp tuyến Nmo được gọi là độ cao chuẩn của điểm M và ký hiệu là Đoạn MN được gọi là dị thường độ cao và được ký hiệu là

từ hình 2.9 ta có quan hệ:

Điều này có nghĩa là:dị thường độ cao là khoảng chênh giữa độ cao trắc địa và độ cao chuẩn hay là đại lượng cần thêm vào độ cao chuẩn để có được độ cao trắc địa của điểm xét

Dị thường độ cao là một trong các đặc trưng chính của thế nhiễu ,nó được xác định trực tiếp từ thế nhiễu theo định lý Bruns:

R bán kính của trái đất có giá trị trung bình cỡ 6000km thì trên phạm vi trái đất dị thường

độ cao z chỉ đạt giá trị tối đa là 150m.như vậy tức là cùng cỡ với

Câu 4 trình bày nội dung xác định hình dáng kích thước trái đất theo số liệu thiên văn trắc địa

ở dạng khái quát nhất hình dạng toán học của trái đất được xem là khối cầu với bán kính

R Giữa cung S và góc ở tâm y có mối liên hệ

=

Lý thuyết của phương pháp đo cung độ trong trường hợp này được xây dựng trên cơ sở là chiều dài cung kinh tuyến hay cung vĩ tuyến cũng như bất kì cung nào trên mặt ellipsoid đều là hàm số của các yếu tố kích thước và hình dạng của nó và có thể được biểu diễn thông qua tọa độ thiên văn và tọa độ trắc địa của các điểm ở hai đầu cung ,ta có biểu thức:

• Đối với cung kinh tuyến

• Đối với cung vĩ tuyến

 B,L là kí hiệu của tọa độ trắc địa

 là ký hiệu của tọa độ thiên văn

 Chỉ số A ở dưới là ký hiệu chỉ điểm khởi đầu

 Chỉ số 0 ở trên là ký hiệu chỉ giá trị gần đúng của các đại lượng có liên quan

 A,e là bán trục lớn và tâm sai thứ nhất của ellipsoid

 là các số hiệu chỉnh của chúng



Trong trường hợp có nhiều cung kinh tuyến và cung vĩ tuyến ,sẽ được giải quyết theo nguyên lý bình phương nhỏ nhất với các điều kiện:

Khi đó các yếu tố kích thước hình dạng cần tìm của ellipsoid là:

Và tọa độ trắc địa của khởi điểm đầu là :

Tọa độ trắc địa của điểm khởi đầu A đóng vai trò là yếu tố định vị của ellipsoid

Khi có được ellipsoid với bán trục lớn ‘độ dẹt và các yếu tố định vị xác định trong lòng trái đất ta có thể xác định chính bề mặt thực của trái đất theo một dạng đo đạc đặc biệt có tên là đo cao thiên văn dựa trên tọa độ thiên văn và tọa độ trắc địa của các điểm đo ngay trên bề mặt đó theo công thức:

Trong đó

 là phương vị của tuyến đo

 là vi phân khoảng cách nằm giữa hai điểm xét kề nhau trên tuyến đo

 là vi phân chênh cao tính theo phương thẳng đứng giữa chúng (hinh 2.14)

là vi phân độ cao trắc địa giữa hai điểm xét kề nhau Nếu M là điểm xuất phát có độ

cao trắc địa đã biết khi đó dH xác định theo (2.68) giữa điểm M và N liền kề độ cao trắc địa của N sẽ được tính theo biểu thức :

Độ cao trắc địa thường được tách ra thành 2 thành phần

Trong đó một thành phần là độ cao so với mặt geoid và thành phần còn lại là độ cao của mặt geoid so với mặt ellipsoid Thành phần thứa nhất được xác định từ kết quả đo thủy chuẩn và có thể coi là đại lượng đã biết vì vậy bài toán xác định độ cao trắc địa sẽ quy về việc xác định thành phần thứ hai

Ta có dạng đo cao thiên văn để xác định mặt geoid,kết quả nhận được là mặt đất thực cần xác định,

Câu 5: trình bày nội dung xác định hình dáng kích thước trái đất theo số liệu trọng lực

Một trong các đặc trưng cơ bản của trọng lực – phương của nó – đã được lấy làm phương định hướng chủ yếu trong thiên văn và trong trắc địa Độ vĩ ,độ kinh thiên văn được xây dựng trên cơ sở sử dụng phương này Độ lệch giữa phương của véc tơ trọng lực

và phương của pháp tuyến với mặt ellipsoid thực dụng – độ lệch dây dọi thiên văn –trắc địa đã được tính đến trong các phương trình đo cung độ Như vậy ở một mức độ nhất định yếu tố trọng lực đã tham gia vào nhiệm vụ nghiên cứu xác định kích thước, hình dạng trái đất, nhưng mới chỉ đóng vai trò phối hợp thông qua đặc trưng hình học của nó

Ý nghĩa và tác dụng lớn hơn nhiều của trọng lực trong bài toán về kết cấu hình học của trái đất đã được chỉ ra trên cơ sở các công trình nghiên cứu của Clairaut A.K thông qua định lý nổi tiếng của ông về sự thay đổi của giá trị trọng lực trên bề mặt trái đất phụ thuộc vào độ dẹt của nó và vào độ vĩ của điểm xét với 2 biểu thức toán học cơ bản sau:

Chính định lý nói trên được xem là nền móng cho lý thuyết nghiên cứu xác định hình dạng và kích thước trái đất theo số liệu trọng lực Tương ứng ta có phương pháp vật

lý

Phương pháp vật lý để nghiên cứu xác định kích thước , hình dạng trái đất được tiếp tục phát triển và hoàn thiện nhờ các công trình nghiên cứu của Stokes G với định lý cho phép xác định mặt đẳng thế trọng trường của trái đất chỉ dựa vào kết quả đo trọng lực trên mặt nó Trên cơ sở này người ta đã xây dựng lý thuyết nghiên cứu xác định bề mặt đặc trưng xác thực hơn nữa của trái đất là mặt geoid thông qua bài toán Stokes với công thức tính độ cao geoid của Stokes, công thức tính độ lệch dây dọi của Vening-Meinesz theo số liệu trọng lực đo được trên toàn bộ trái đất Độ cao geoid N là khoảng chênh giữa mặt geoid và mặt ellipsoid chuẩn được trọn trước , do vậy nếu biết độ chênh

hg giữa mặt đất thực và mặt geoid trên cơ sở đo thủy chuẩn kết hợp với đo trọng lực dọc tuyến theo độ cao, ta có được khoảng cách H giữa mặt đất thực và mặt ellipsoid chuẩn đã biết

Như ta thấy , theo lý thuyết Stokes hay lý thuyết Molodenski thì phương pháp vật

lý để nghiên cứu xác định kích thước , hình dạng trái đất đều sử dụng số liệu trọng lực được cho trên quy mô toàn cầu nhằm xác định ra một đại lượng đặc trưng hình học quan trọng của trọng trường trái đất là độ cao geoid để rồi cộng them nó vào đại lượng tương ứng đã biết là độ cao mà tính ra độ cao trắc địa

• Đóng vai trò bề mặt toán học tham khảo trong bài toán nghiên cứu , xác định hình dạng trái đất cũng như để đáp ứng các mục đích trắc địa

• Tạo ra trọng trường chuẩn trong bài toán nghiên cứu , xác định thế trọng trường thực của trái đất

 Mục đích vai trò của ellipsoid thực dụng:

• Giống nhau: Phục vụ các mục đích trắc địa

-Xác định , nghiên cứu bề mặt trái đất trên phạm vi cục bộ , trên quy mô quốc gia

Câu 7: trình bày các khái niệm lien quan tới cung pháp tuyến , đường trắc địa vai trò của 3 phương trình vi phân của đường trắc địa?

 Khái niệm liên quan tới cung pháp tuyến là:

• Pháp tuyến với ellipsoid là đường thẳng vuông góc với mặt ellipsoid, luôn giao cắt trục quay của ellipsoid

• Mặt phẳng pháp tuyến là mặt phẳng chứa pháp tuyến với ellipsoid

• Mặt phẳng thẳng đứng thứ nhất là mặt phẳng pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng kinh tuyến

• Góc giữa hướng của cung pháp tuyến và hướng bắc của kinh tuyến tại điểm xét được gọi

là góc phương vị của cung pháp tuyến

 Khái niệm liên quan tới đường trắc địa:

• Đường trắc địa là đường cong không gian ngắn nhất nối 2 điểm cùng nằm trên 1 mặt cong

 Vai trò của 3 phương trình vi phân của đường trắc địa:

Câu8: :trình bày nội dung bài toán trắc địa thuậnvà bài toán trắc địa nghịch trên mặt ellipsoid nêu các nguyên tắc cơ bản khi giải 2 bài toán này?

 Nội dung bài toán trắc địa thuận:

Cho biết độ vĩ B1, độ kinh L1 của điểm A cùng chiều dài s12 và phương vị thuận A12 của đường trắc địa nối điểm A và điểm B, cần xác định độ vĩ B2, độ kinh L2 của điểm B

và phương vị của cạnh BA, tức phương vị ngược A12

 Nội dung của bài toán trắc địa ngược:

Cho biết độ vĩ, độ kinh của 2 điểm A và B là ,B1,L1,B2,L2, cần xác định chiều dài S12, phương vị thuận A12 và phương vị ngược A21 của đường trắc địa với A và B

 Nguyên tắc cơ bản khi giải 2 bài toán này là: được thực hiện trên cơ sở sử dụng các phương trình vi phân của đường trắc địa

Để giải các bài toán trắc địa cơ bản trên ellipsoid, có 2 cách cơ bản là: cách trực tiếp và cách gián tiếp

 Theo cách trực tiếp bài toán thuận được quy về việc giải tam giác cực APB trên mặt ellipsoid với các yếu tố đã biết là cạnhAP=900-B1, AB=s và góc A12

Các yếu tố cần xác định là: cạnh BP=900-B2, góc PBA=3600-A12 và góc APB=lTrong trường hợp bài toán ngược thì các yếu tố đã biết là cạnh PA=900-B1, PB=900-B2 và góc APB=l=L2-L1

Kết quả tam giác nói trên sẽ cho ta các góc PAB=A12, PBA=3600-A21 và cạnh AB=s

 Theo cách gián tiếp ta đặt vấn đề xác định các hiệu độ vĩ(B2 – B1), hiệu độ kinh ( L2 – L1)

và hiệu phương vị ((A21-A12) 1800) của 2 điểm xét để từ đó tính ra tọa độ của điểm

thứ 2 và phương vị trắc địa ngược theo các biểu thức:

Để có thể đóng vai trò bề mặt tham khảo, ellipsoid thực dụng không chỉ cần có các thông

số kích thước, mà phải có vị trí xác định, tức là phải được định vị trong lòng đất Cùng với kích thước thích ứng, các yếu tố định vị cần có của ellipsoid thực dụng sẽ bảo đảm cho nó đạt được sự phù hợp tốt nhất với mặt geoid trên phạm vi vùng xét cho trước của

a) Các yếu tó định vị ngoài

Giả sử M là điểm xét trên bề mặt thực S của Trái đất, và ta có ellipsoid thực dụng với tâm

O, trục quay PP’, vòng xích đạo EmgE’ G là vị trí của đài thiên văn Greenwich

Pháp tuyến với mặt ellipsoid hạ từ M cắt mặt ellipsoid tại Mo và cắt mặt phảng xích đạo tại M’ Mặt phẳng kinh tuyến trắc địa ứng với điểm xét M cắt mặt ellipsoid tạo thành vòng kính tuyến trắc địa PMomP’, còn mặt phẳng kinh tuyến trắc địa với Greenwich cắt mặt ellipsoid tạo thành vòng kinh tuyến trắc địa MGgP’

Khi đó, góc nhị diện hợp bởi các mặt phẳng kinh tuyến trắc địa của M và G (góc gOm) được gọi là độ kinh trắc địa của điểm xét và được kí hiệu là LM; Góc hợp bởi pháp tuyến với mặt ellipsoid hạ từ M và mặt phẳng xích đạo (góc MM’m) được gọi là vĩ độ trắc địa của điểm xét và đước ký hiện là BM; Đoạn pháp tuyến MMo là độ cao trắc địa của điểm xét và được ký hiệu là HM, BM, L M, H M được gọi là ba thành phần tọa độ trắc địa của điểm xét Chúng hoàn toàn xác định vị trí của điểm M dựa trên bề mặt tham khảo là ellipsoid Nếu thay cho điểm M ta có điểm A với vai trò là điểm xuất phát của mạng lưới tọa độ, khi đó tọa độ trắc địa của điểm A là B sẽ được xem là các yếu tố định vị ngoài của ellipsoid