Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai Cách giải: Rút x theo y hoặc y theo x từ phương trình bậc nhất, thay vào phương trình bậc hai, ta được phương t
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
Cách giải: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ phương trình bậc nhất, thay vào phương trình bậc
hai, ta được phương trình ẩn y (hoặc x) Từ đây tìm được y (hoặc x) và suy ra nghiệm của hệ
phương trình
VD1 Giải hệ phương trình: 22 1 2
19
x y
− =
− + =
VD2 Giải hệ phương trình: 23 6 2
VD3 Giải hệ phương trình: ( ) ( )
2 2 2 1 0
3 32 5 0
Bài tập
Giải các hệ phương trình:
1 22 2 7 0
2 2 4 0
x y
− − =
− + + + =
2 4 2 9 6
3
2
2
12 2 10 0
2
3 1 0
II Hệ đối xứng loại 1
Hệ đối xứng hai ẩn x, y loại 1 là hệ phương trình mà mỗi phương trình của hệ không thay đổi
khi ta thay x bởi y và y bởi x.
Cách giải:
• Đặt S = +x y , P xy= Đưa hệ đã cho về hệ hai ẩn S, P Giải hệ này tìm được S, P.
• Nghiệm x, y của hệ ban đầu là nghiệm của phương trình: t2− + =St P 0
• Điều kiện để có nghiệm x, y là: S2−4P≥0
VD1 Giải hệ phương trình: 3 3 2
26
x y
+ =
+ =
VD2 Giải hệ phương trình:
2
x xy y
+ + =
VD3 Giải hệ phương trình:
( )
7 2 5 2
x y xy
xy x y
+ + =
VD4 Giải hệ phương trình: 30
35
x y y x
x x y y
Trang 2VD5 Cho hệ phương trình: x xy y m2 2 1
1 Giải hệ với m = 2.
2 Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm (x y thỏa mãn ; ) x>0và y>0
VD6 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 2
6
x y m
+ =
+ = − +
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: F =xy+2(x y+ )
VD7 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
( ) ( )
Bài tập
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:
1 2 5 2
7
x y
x xy y
+ =
− + =
42
xy
=
+ + + =
3 2 2 5
5
x y xy
+ =
( ) ( )
5
( ) ( )
Bài 2 Tìm m để hệ 2 2
3 8
x xy y m
Bài 3 Gọi (x y là nghiệm của hệ phương trình:; )
2 1
2 3
+ = + −
Xác định a để xy nhỏ nhất.
Bài 4 Cho hệ phương trình ( )
( )
2
2 1 4
x y
1 Giải hệ phương trình với a = 2.
2 Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
III Hệ đối xứng loại 2
Hệ phương trình hai ẩn x, y là đối xứng loại 2 khi ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình
này trở thành phương trình kia và ngược lại
Cách giải:
• Trừ từng vế hai phương trình cho nhau
• Đưa phương trình kết quả về dạng tích, trong đó có một thừa số là x y− , tức là có
nghiệm x= y Từ đó tìm được các nghiệm còn lại của hệ (nếu có).
Trang 3VD1 Giải hệ phương trình:
2 2
VD2 Giải hệ phương trình:
2 2
13 4
13 4
VD3 Giải hệ phương trình: ( )
( )
2
19 7
Bài tập
Bài 1 Giải các hệ phương trình:
1
2 2
2 2
x y
y x
2
3
3
5 5
3
20 20
Bài 2 Tìm m để hệ
2 2
có nghiệm.
Bài 3 Tìm các giá trị của m để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1
4 4
1
2 3
− = +
IV Hệ phương trình đẳng cấp
Dạng
a x b xy c y d
a x b xy c y d
Có thể giải hệ theo hai cách sau:
Cách 1.
• Giải hệ (I) với x=0
• Xét x≠0 Đặt y tx= và đưa hệ (I) về hệ ẩn x, t Khử x trong hệ này được phương trình
bậc hai theo t.
Cách 2.
• Khử x2 (hoặc y2) ta tính được y theo x (hoặc x theo y) Thay vào một trong hai phương trình của hệ được phương trình trùng phươpng theo x (hoặc theo y).
VD1 Cho hệ phương trình:
2
4
1 Giải hệ với k = 1.
2 Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi k.
VD2 Giải hệ phương trình:
Trang 4VD3 Giải hệ phương trình:
2
x x y y
Bài tập
Bài 1 Giải các hệ phương trình:
1
2
2 3 17
3
4
5
2
3 2 160
6
10 5
x xy
y x y
Bài 2 Chứng tỏ rằng với mọi m∈¡ , phương trình sau luông có nghiệm:
2
3
xy y