Đề thi học sinh giỏi Toán 9

Phòng GD ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎỈ KHỐI 9 Trường THCS Môn: Toán - Năm học: 2007-2008 Thời gian:120 phút(Không kể thời gian giao đề) Bài 1:(2.0điểm) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x - 2 xy 3y 2 x 2008,5+ − + Bài 2:(2,0diểm) Chứng minh rằng: biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x ( với x ≥ 0 ) 3 6 4 2 3. 7 4 3 x A x 9 4 5. 2 5 x − + − = + − + + Bài 3:(2,0điểm) Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x x 1 m+ − = Bài 4:(4điểm) Cho hai nửa đường tròn ( O ) và ( O’ ) tiếp xúc ngoài ở A. Tiếp tuyến chung ngoài TT’có tiếp điểm với đường tròn ( O ) ở T với đường tròn ( O’ ) ở T’, Cắt đường tròn nối tâm OO’ ở S. Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đường tròn cắt TT’ ở M a) Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đường tròn ( O )và ( O’ ). b) Chứng minh: SO.SO’ = SM 2 ST.ST’ = SA 2 c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’tiếp xúc với SM tại M Phòng ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI Trường THCS Môn Toán – Năm học 2007-2008  Thời gian:120 phút(Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0đ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 §Æt x a; y b víi a, b 0, ta cã: P = a 2ab 3b 2a 2008,5 = a 2a b 1 3b 2008,5 = a 2a b 1 b 1 2b 2b 2007,5 = a - b -1 2 b b 2007,5 1 1 a - b -1 2 b b 2007,5 4 2 1 a - b -1 2 b 2 = = ≥ − + − + − + + + − + + + + − + + − +   = + − + + −  ÷     = + − +  ÷   ( ) 2 2 2007 2007 1 V× a - b -1 0 vµ b 0 a, b. 2 3 a b 1 a 2 Nªn P = 2007 1 1 b b 2 2 3 9 x x 2 4 VËy P ®¹t GTNN lµ 2007 1 1 y y 2 2 ≥   ≥ − ≥ ∀  ÷    = + =     ⇔ ⇔   =   =      = =     ⇔ ⇔     = =     Bài 2: (2,0đ) ( ) ( ) 2 3 6 6 2 4 4 *TÝnh: 2 3 2 3 7 4 3 2 5 2 5 9 4 5 *Suy ra: A = 1 − = − = − + = + = + ( 0,5điểm ) ( 0,5 điểm ) ( 0,5 điểm ) ( 0,5 điểm ) ( 1,0 điểm ) ( 1,0 điểm ) ( 1,0 điểm ) Bài 3: (2,0đ) *Xét ba trường hợp: Với x ≤ 0 thì y = -x – x +1 = -2x + 1 Với 0 < x < 1 thì y = x – x + 1 = 1 Với x ≥ 1 thì y = x + x – 1 = 2x -1 Vậy y = 2x 1 nÕu x 0 1 nÕu 0 < x < 1 2x - 1 nÕu x 1 − + ≤     ≥  Đồ thị hàm số : y = x x 1+ − ( 1 điểm ) *Đường thẳng y = m cùng phương với Ox, cắy Oy trên điểm có tung độ m. Dựa vào đồ thị ta kết luận: Nếu m < 1 thì phương trình vô nghiệm. Nếu m = 1 thì phương trình có nghiệm : 0 x 1≤ ≤ . Nếu m > 1 thì phương trình có 2 nghiệm . ( 1 điểm ) Bài 4: (4 điểm ) b) Chứng minh: ∆ SO’M ~ ∆ SMO suy ra: 2 SO' SM hay SO.SO '= SM SM SO = ( 1 điểm ) ∆ SAT~ ∆ ST’A suy ra: 2 ST SA hay ST.ST' = SA SA ST ' = ( 1 điểm ) c) MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ và OO’ MA tại A. Do đó đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A. ( 0,5 điểm ) Gọi M’ là trung điểm của OO’ thì M’M//OT ⇒ SM M’M ở M mà M’M là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’. Do đó đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’ tiếp xúc với SM tại M ( 0,5 điểm ) 1 O -1 1 2 -1 x y T O A M ’ ’ O’ S T’ a) MO, MO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù AMT và AMT’ nên OMO’=90 o Tam giác OMO’ vuông ở M có MA OO’ nên: MA 2 = OA.OA’, Suy ra: MA = OA.OA' R.R'= ( 1 điểm ) ∧ . Phòng GD ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎỈ KHỐI 9 Trường THCS Môn: Toán - Năm học: 2007-2008 Thời gian:120 phút(Không kể thời gian giao đề) Bài 1:(2.0điểm). tại M Phòng ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI Trường THCS Môn Toán – Năm học 2007-2008  Thời gian:120 phút(Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0đ) (