MỤC LỤC Trang Mục lục A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài II.Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Các kiến thức cần nhớ 4 I.1 Định nghĩa I.2 Các tính chất bất đẳng thức I.3 Một số bất đẳng thức thông dụng I.4 Phân tích tìm lời giải II Một số ví dụ III Bài tập tự luyện: 18 C.KẾT QUẢ VẬN DỤNG ĐỀ TÀI 20 D.KẾT LUẬN 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 ĐẶT VẤN ĐỀ Tên đề tài : “Phát triển tư sáng tạo từ tốn giải Hệ phương trình” A I Lí chọn đề tài Qua kỳ thi ĐH- CĐ gần thực tiễn giảng dạy trường THPT Nông Cống I, thấy đa số học sinh lúng túng tốn giải hệ phương trình Bởi lẽ hệ phương trình đa dạng biến hố, địi hỏi học sinh phải có tư linh hoạt, khả phán đoán, nhận dạng với kỹ biến đổi tốt Trong chương trình mơn tốn lớp 10 -THPT SGK giới thiệu dạng hệ có hệ phương trình đối xứng loại Đây dạng hệ thông dụng cần có nhiều phương án lựa chọn để giải Chính vậy, tơi chọn viết đề tài : “ Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại II” nhằm chia sẻ kinh nghiệm thân trình giảng dạy chuyên đề hệ phương trình II Mục đích nghiên cứu : Với mong muốn giúp học sinh nhà trường khám phá đường giải hệ phương trình đối xứng loại Từ thấy vẻ đẹp tốn giải hệ phương trình phát triển tư sáng tạo, trang bị kinh nghiệm, tự tin đối mặt với giải hệ phương trình nói chung III Đối tượng nghiên cứu : Các hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn chương trình tốn THPT theo mức độ đề thi ĐH- CĐ B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Định nghĩa phương pháp giải a) Định nghĩa : Hệ phương trình có dạng : (nghĩa thay , phương trình biến thành phương trình kia) gọi hệ phương trình đối xứng loại b) Phương pháp chung : cộng trừ hai vế để xuất nhân tử chung ( Ví dụ Giải hệ phương trình Giải : Cách Đây hệ phương trình đối xứng loại nên cách thường dùng trừ hai phương trình cho Khi ta có - Với suy Từ ta có nghiệm (0;0), (1/2;1/2) - Với vào phương trình hệ rút gọn ta có 1=0 (vơ lí) Vậy hệ có hai nghiệm (0;0), (1/2;1/2) Cách Cộng hai phương trình ta - Với Thế vào ta nghiệm (0;0) - Với Thế vào hệ ta nghiệm (1/2;1/2) Vậy hệ cho có hai nghiệm Cách Ta thấy (thoả mãn hệ) Vậy (0;0) nghiệm hệ Với Đặt Khi vào hệ rút gọn cho ta hệ Chia phương trình sau cho phương trình đầu ta - Với Ta có suy (loại) - Với (loại) Vậy hệ có hai nghiệm (0;0), (1/2;1/2) Cách (rút thế) Từ phương trình đầu ta có Ta thấy khơng thoả mãn phương trình Với Ta có Thay vào phương trình sau ta có : Giải pt ta Vậy hệ có hai nghiệm (0;0), (1/2;1/2) Bây ta thay đổi hệ cách sau : giữ nguyên phương trình 2, cịn phương trình ta thay y vế phải 2y Ta xem cách cách giải Hệ : Ta thấy cách 1, không cho kết Ta sử dụng cách sau : Với (thoả mãn hệ) Vậy (0;0) nghiệm hệ Với Đặt Khi vào hệ rút gọn cho ta hệ Chia phương trình sau cho phương trình đầu ta Từ thay vào hệ ta nghiệm hệ : Bây ta thay đổi phương trình đầu theo cách khác Hệ : Với hệ cách 1, gặp khó khăn Ta sử dụng cách Với cách ta làm sau : cộng hai vế ta Từ vào phương trình (1) : rút theo ta nghiệm hệ (1;; Với cách Ta muốn rút từ phương trình (1) Ta có (1) Với Với vào (2) suy vơ lí Vậy hệ có hai nghiệm (1;; Bây ta thay đổi phương trình đầu để có hệ sau : Cách Cộng hai phương trình ta Đặt Khi Giải Với Thế vào (2) ta Với vào (2) ta thấy phương trình vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm Cách Rút y từ (1) : (không thoả mãn) Thế vào (2) rút gọn ta : Vậy hệ có nghiệm Cách Ta viết lại hệ sau : Rõ ràng không thoả mãn Với Rút từ (3) vào (4) kết hợp với (4) ta hệ Do Đặt ta Chia hai phương trình ta Với (loại) Với Từ ta có kết luận Nhận xét : với cách giải ta giải hệ tổng quát (với tham số bất kỳ) Ta xét hệ sau : Hệ IV Rõ ràng với hệ cách cộng đại số, đặt ẩn phụ không phát huy tác dụng Ta thử sử dụng cách rút Từ (1) rút y : vào (2) ta phương trình Giải phương trình ta có nghiệm Từ hệ cho có nghiệm Quay trở lại hệ phương trình (I) Bây ta thay đổi phương trình đầu Khi ta có hệ Nếu ta sử dụng cách y từ (1) vào (2) ta phải giải phương trình bậc ba khơng có nghiệm chẵn Đây vấn đề khó khăn học sinh THPT Và rõ ràng ta không sử dụng cách cộng đại số Vậy ta phải sử dụng cách nào? Ta ý hệ cho hệ đẳng cấp bậc hai Do ta sử dụng cách đặt ẩn phụ - Với - Với ĐẶt vào hệ chia hai phương trình ta Thế tìm vào ta hai nghiệm hệ cho Vậy hệ cho có nghiệm (0;0),