ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2011 - 2012 Bài : Tìm GTLN, GTNN hàm số sau : a Xét hàm số f ( x ) = x + 3x − x − đoạn [ − 4;3] Đạo hàm : x = f ' ( x) = ⇔ x = −3 f (−4) = 13; f (−3) = 20; f (1) = −12; f (3) = 20 Ta có : f ' ( x ) = x + x − 9; f ( x) = −12 ⇔ x = x∈[ − 4;3 ] f ( x) = 20 ⇔ x = ±3 ; Vậy: xmax ∈[ − 4;3 ] b.Bạn đọc tự làm 3π 0; Đạo hàm : f ' ( x) = cos x + cos x 3π 0 < x < 3π x = x = π + k 2π 0 < x < π f ' ( x) = ⇔ cos x + cos x − = ⇔ ⇔ ; ( k ∈ Z ) ⇔ x = cos x = 0,5 x = − π + k 2π cos x = −1 x = π x = π + k 2π f ( x ) = sin x + sin x , c Xét h/s : Lại có : đoạn π 3 3π f (0) = 0; f = ; f (π ) = ; f = 3 f ( x) = Như : x∈min 3π 0; 3 ,đạt x = π f ( x) = ; x∈0; 32π d Xét hàm số : f ( x ) = ln x − ln x − , đoạn Đạo hàm : f ' ( x) = 2 ln x ln x − = − x ln e x ln e x x ; [1; e ] ,đạt x = x = π TXĐ : D = (0;+∞) f ' ( x) = ⇔ x = e Lại có : f(1) = -3 ; f(e) -4 ; f(e3) = Vậy : f ( x) = −4 , [ ] x∈ 1;e3 đạt x = e ; e Xét hàm số : f ( x) = e x + e − x , đoạn f ' ( x) = ⇔ x = max f ( x) = , [ ] x∈ 1;e3 ln ; ln 2 đạt x = e3 Đạo hàm : f ' ( x) = e x − e − x ; 1 f ln = 1; f ( ) = 2; f ( ln ) = 2 f ( x) = Ta lại có : max x∈ ln ;ln f ( x) = , đạt x = ln ; 2 , x = ln2 f Xét hàm số : Đạo hàm : f ' ( x) = − f ( x) = −2 , g Xét hàm số : 2x − x2 f ( x) = x +1 x2 +1 Bài 2: H/số : (x x( x + 1) Lại có : f(-1) = ; f(1) = max f ( x ) = max f ( x) = 2 , x∈[ − 2; ] , đoạn [-1;2] 2 ; f ( x) = đạt x = TXĐ : D = [-1;2] ) + − x( x + 1) x2 +1 = x2 +1 f ' ( x) = ; f(2) = đạt x = -2 ; x2 +1 − x∈[ −1; ] TXĐ : D = [-2;2] ; f ' ( x) = ⇔ x = ( 2) = f x∈[ − 2; ] Đạo hàm : f ( x) = x + − x Lại có : f(-2) = -2 ; Vậy : Vậy: x∈ln 12 ;ln x2 +1 x2 +1 5 = Như : 1− x f ' ( x) = ⇔ x = ; ( x + 1) x + 2 f ( x ) = , x∈[ −1; ] đạt x = -1 ; , x = y= x − 4x + 6x + m − (1) Với m = 1, h/số (1) trở thành : y = Giới hạn ,tiệm cận : f ( x) = x − 4x + 6x 2 lim f ( x) = lim = x − x + x = +∞ x → +∞ x → +∞ 3 TXĐ : D = R f ( x) = −∞ Suy ra, ĐTHS ; xlim → −∞ kg có tiệm cận Đạo hàm : f ' ( x) = x − x + ; x = f ' ( x) = ⇔ x = Bảng biến thiên : x -∞ +∞ f'(x ) + + - f(x) +∞ -∞ Vậy : Hàm số đồng biến khoảng (-∞;1) (3;+ ∞) ; hàm số nghịch biến khoảng (1;3) Hàm số đạt cực đại x = ; yCĐ = H/số đạt cực tiểu x = ; yCT = Bạn đọc tự vẽ Đồ thị hàm số Xét hàm số : y = f ( x) = x − 4x + 6x Có đồ thị h/số (C) TXĐ : D = R Đạo hàm : f'(x) = 2x2 - 8x + Hoành độ tiếp điểm ĐTHS (C) song song với đ/thẳng (d1) : y = 6x - nghiệm phương trình : 2x2 - 8x +6 = có dạng : y - f(4) = 6(x - 4) x = ⇔ x − 8x = ⇔ x = y = 6x - Với x = 4, pttt ĐTHS (C) Với x = 0, pttt ĐTHS (C) có dạng : y - f(0) = 6(x-0) y = 6x x − x + x + m − = ⇔ x − x + x = m − ,có 3 ⇔ < 1− m < ⇔ − < m < 3 ycbt ⇔ pt : PT : x3 − 6x + = k ⇔ pt x3 − 6x + 9x = k x − 4x + 6x = k 3 Như : Với < có nghiệm phân biệt Với nghiệm phân biệt Với 2 3 k > k > ⇔ k < 2 k < 3 nghiệm p/biệt 2 3 k = k = ⇔ k = 2 k = pt x3 − 6x + 9x = k k< 3 pt hay < k < x3 − 6x + 9x = k có có nghiệm Bài : Khi m = 1, h/s trở thành : y = f ( x) = x − x + 2 (*) Bạn đọc tự khảo sát vẽ ĐTHS (*) x − mx + m 2 Xét h/số : y = Đạo hàm : y' = 3x2 - 3mx TXĐ : D = R Để hàm số có cực trị pt : y' = ∆ = 9m > ⇔ m ≠ có hai nghiệm phân biệt Do : ⇔ 3x − 3mx = Giả sử A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) hai điểm cực trị h/số Suy : x1 , x2 hai nghiệm pt : 3x2 - 3mx = Suy : − m3 AB m; m m3 M ;− x = ⇔ x = m Suy A 0; m trung điểm AB Và n(1;1) ; B( m;0) vtcp cuả đ/thẳng :y=x Ycbt m − m = AB ⊥ n ⇔ ⇔ ⇔m=0 m − m M ∈ đ / t : y = x = Tương tự ý 4-Câu Bạn đọc tự làm Bài : (ĐHKTQD-2001) Xét h/s : Giới hạn, tiệm cận : lim f ( x) = lim x →∞ =1 x +1 =1 x−3 y = f ( x) = x →3 TXD : D = R\{3} Suy ra, h/số có tiệm cận ngang đ/thẳng : y lim f ( x) = +∞; lim− f ( x) = −∞ x →3+ x +1 x−3 Suy ra, hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng : x= Đạo hàm : f ' ( x) = −4 =< 0, ∀x ∈ D ( x − 3) Suy ra, h/s y = f ( x) = x +1 x−3 nghịch biến toàn tập xác định Bảng b/thiên x -∞ +∞ f'(x ) _ _ +∞ -∞ f(x) Bạn đọc tự vẽ ĐTHS 2.Pttt (C) x0 = có dạng : y - f(1) = f'(1).(x - 1) hay : y + = -1(x - 1) ⇔ y=x 3.Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến ĐTHS vuông góc với đ/thẳng (d): y = x +2010 ng pt : y' = -1 Từ tìm giá trị x ta viết pttt cần tìm ĐS :có hai pttt thảo mãn (∆ ) : y = − x + 8; ( ∆ ) : y = − x Pttt qua điểm A(5;3) có dạng ( ∆ ): y = k(x - 5) + Đ/thẳng ( ∆ ) tiếp xúc với ĐTHS (C) hệ sau có nghiệm : k 4 x +1 x −3 = − + x − = k ( x − 5) + 1 + x − = − x − − 2k + ⇔ ⇔ ⇔ k = −1 Thay −4 −4 − ( − k + 1) = k =k =k ( x − 3) ( x − 3) ∆ ): vào ta đc ( y = -x + Gọi M ( a; y (a) ) tiếp điểm (C) tiếp tuyến Pttt M (C) có dạng ( ∆ ): y − y (a ) = (∆) : y = −4 ( x − a ) (a − 3) −4 a +1 4a x+ − a − ( a − 3) ( a − 3) Toạ độ giao điểm A ( ∆ ) Ox ng hệ : y = a − 6a − x = − 4x a +1 4a ⇔ y = + − 2 y = a − (a − 3) (a − 3) a − 6a − 0; (a − 3) Diện tích Do S ∆OAB ∆OAB : S ∆OAB = 1/8 nên Vậy a − 6a − ;0 A Tương tự, ta có B ( ) 1 a − 6a − a − a − a − a − = xA yB = = 2 (a − 3) ( a − 3) ( ) a − 6a − ( a − 3) 2 = a − 6a − ⇔ = ±1 a −3 (đ.v.d.t) Giải giá trị a thay vào ( ∆ ) ta pttt 1 Đáp số : Có hai pttt thoả mãn ( ∆ ) : y = − x + ; (∆2 ) : y = − x − Bạn đọc tự vẽ ĐTHS : y= x +1 x−3 (C) Lưu ý : Ta có a, ∀a > y= a = − a, ∀a < Do ĐTHS (C) gồm : Phần từ trục Ox trở lên ĐTHS y= trục Ox qua trục Ox Bài : H/số : y = x − 2(m + 1) x − 3m x +1 , x−3 phần đối xứng phần ĐTHS y= x +1 x−3 Do (Cm) cắt Oy điểm A(0;-3) nên toạ độ A nghiệm pt: y = x − 2(m + 1) x − 3m Thay vào ta có : − = − 2(m + 1).0 − 3m ⇔ m = ⇒ h / sô.( C ) : y = x − x − Bạn đọc khảo sát vẽ ĐTHS (C) y'' = 12x2 - ; y'' = − 16 x− ⇔ 12 x02 − = ⇔ x = (vì x0 > 0) Suy pttt cần tìm : y = ĐS:Với -4