MỘT số bài TOÁN về hệ HAI vật gắn với lò XO

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ HAI VẬT GẮN VỚI LÒ XO M1 k M2 O xur(+) P1 uuur Fdh ur P2 uuur Fdh' Bài Cho hệ vật dao động hình vẽ Hai vật có khối lượng M1 M2 Lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể có phương thẳng đứng ấn vật M thẳng đứng xuống đoạn x0 = a thả nhẹ cho dao động Tính giá trị lớn nhỏ lực mà lò xo ép xuống giá đỡ Để M2 không bị nâng lên khỏi mặt giá đỡ x0 phải thoả mãn điều kiện gì? Lời giải ur uuur P1 ; Fdh Chọn HQC hình vẽ ur Các uuurlực tác dụng vào M1 gồm: P1 + Fdh = - Khi M1 VTCB ta có: Chiếu lên Ox ta được: Mg P1 − Fdh = ⇔ M g − k.∆l = ⇒ ∆l = k (1) ur uuur r P1 + Fdh = ma - Xét M1 vị trí có li độ x, ta có: Chiếu lên Ox ta được: P1 − Fdh = ma ⇔ M g − k (∆l + x ) = ma (2) k k mx " = − kx ⇒ x "+ x = ω2 = m m Thay (1) vào (2) ta có: Đặt , ta có x = A.cos(ωt + ϕ ) x "+ ω x = Có nghiệm dạng Vậy M1 dao động điều hoà ϕ ϕ ω - Khi t = ta có : x = x0 = a = A cos ; v = v0 = - A .sin = Suy ω= ϕ = 0; A = a ; k M1 x = a.cos(ω.t ) Vậy phương trình là: ur uuu'r ur P + Fdh = F - Dựa vào hình vẽ ta có lực ép xuống giá đỡ là: Chiếu lên Ox ta có: F = M g + k (∆l + x ) ⇒ FMax = M g + k ( ∆l + a ) Lực đàn hồi Max x = +A = +a ⇒ FMin = M g + k (∆l − a ) Lực đàn hồi Min x = -A = -a ≥0 Điều kiện để M2 không bị nâng lên khỏi giá đỡ Fmin M g + k ∆l Fmin = M g + k (∆l − a ) ≥ ⇒ a ≤ k Bài lắc lò xo dao động điều hòa mặt phẳng nằm ngang với chu kì T = 2π (s), cầu nhỏ có khối lượng m1 Khi lò xo có độ dài cực đại vật m1 có gia tốc -2(cm/s2) vật có khối lượng m2 (m1 = 2m2) chuyển động dọc theo trục lò xo đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với m1 có hướng làm lo xo bị nén lại Vận tốc m2 trước va chạm cm/s Quãng đường vật nặng sau va chạm đến m1 đổi chiều chuyển động là: A 3,63cm B cm C 9,63 cm D 2,37cm Giải: Gọi v vận tốc m1 sau va chạm, v2 v2’ vận tốc vật m2 trước sau va chạm: v2 = 2cm/s; Theo định luật bảo toàn động lượng động ta có: m2v2 = m1v + m2 v2’ (1’) => m1v = m2 (v2 – v2’) (1) m2 v22 m1v m2 v 2' = + 2 (2’) => m1v2 = m2 (v22 – v2’2) (2) Từ (1) (2) ta có v = v2 + v’2 (3) 2m v 2v = =2 m1 + m2 v2 – v’2 = m1v/m2 v2 + v’2 = v => v = cm/s Gia tốc vật nặng m1 trước va chạm a = - ω A, với A biên độ dao động ban đầu 2π =1 T Tần số góc ω = (rad/s), Suy - 2cm/s2 = -A (cm/s2) -> A = 2cm Gọi A’ biên độ dao động lắc sau va chạm với m2 Quãng đường vật nặng sau va chạm đến đổi chiều s = A + A’ v2 (2 3) ω2 Theo hệ thức độc lâp: x0 =A, v0 = v -> A’2 = A2 + = 22 + =16 => A’ = (cm) => S = A + A’ = 6cm Chọn đáp án B Bài Một lắc lò xo dao động điều hòa mặt phẳng nằm ngang với chu kì T = 2π (s), cầu nhỏ có khối lượng m1 Khi lò xo có độ dài cực đại vật m1 có gia tốc -2(cm/s2) vật có khối lượng m2 (m1 = 2m2) chuyển động dọc theo trục lò xo đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với m1 có hướng làm lo xo bị nén lại Vận tốc m2 trước va chạm cm/s Khoảng cách hai vật kể từ lúc va chạm đến m1 đổi chiều chuyển động là: A 3,63cm B cm C 9,63 cm D 2,37cm Giải: Gọi v vận tốc m1 sau va chạm, v2 v2’ vận tốc vật m2 trước sau va chạm: v2 = 2cm/s; Theo định luật bảo toàn động lượng động ta có: m2v2 = m1v + m2 v2’ (1’) => m1v = m2 (v2 – v2’) (1) m2 v22 m1v m v '2 = + 2 2 (2’) => m1v2 = m2 (v22 – v2’2) (2) Từ (1) (2) ta có v = v2 + v’2 (3) 2m v 2v = =2 m1 + m2 3 v2 – v’2 = m1v/m2 v2 + v’2 = v > v = cm/s; v’2 = cm/s(vật m2 bị bật ngược lại) Gia tốc vật nặng m1 trước va chạm a = - ω2A, với A biên độ dao động ban đầu 2π =1 T Tần số góc ω = (rad/s), Suy - 2cm/s2 = -A (cm/s2) -> A = 2cm Gọi A’ biên độ dao động lắc sau va chạm với m2 v2 (2 ) ω2 2 Theo hệ thức độc lâp: x0 =A, v0 = v => A’ = A + = 22 + =16 > A’ = (cm) Thời gian chuyển động vật m2 từ lúc va chạm với m1 (ở vị trí x0 =A = 2cm) trí đến m1 đổi chiều chuyển động lần (ở vị trí biên A’) (T/12 + T/4) = T/3 = 2π/3(s) → Trong thời ≈ gian vật m2 coi chuyển động thẳng s2 = v’2.2π/3 =2 π/3 3,63cm Khoảng cách hai vật d = s2 + A + A’ = 9,63cm Chọn đáp án C Bài Một lò xo có độ cứng k = 16N/m có đầu giữ cố định đầu gắn vào cầu khối lượng M =240 g đứng yên mặt phẳng nằm ngang Một viên bi khối lượng m = 10 g bay với vận tốc vo = 10m/s theo phương ngang đến gắn vào cầu sau cầu viên bi dao động điều hòa mặt phẳng nằm ngang Bỏ qua ma sát sức cản không khí Biên độ dao động hệ A 5cm B 10cm C 12,5cm D.2,5cm Giải: Va cham mềm nên động lượng hệ vật ( M m) bảo toàn: mv0 = (m+M) V Suy vận tốc hệ vật lúc va chạm: mv0 0, 01.10 0,1 = = = 0, 4m / s = 40cm / s ( m + M ) 0, 01 + 0, 240 0, 25 v= k 16 = = 8rad / s (m + M ) (0, 01 + 0, 24) Hệ vật dao động với tần số góc ω = Vì hệ nằm ngang nên biên độ dao động tính theo công thức: v2 v 402 A2 = x + = + = = 100 ω ω 16 Vậy biên độ dao động: A = 10cm Chọn B Bài Một vật có khối lượng m1 = 1,25 kg mắc vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 200 N/m, đầu lò xo gắn chặt vào tường Vật lò xo đặt mặt phẳng nằm ngang có ma sát không đáng kể Đặt vật thứ hai có khối lượng m2 = 3,75 kg sát với vật thứ đẩy chậm hai vật cho lò xo nén lại cm Khi thả nhẹ chúng ra, lò xo đẩy hai vật chuyển động phía Lấy hai vật cách xa đoạn là: 4π − π2 2π − =10, lò xo giãn cực đại lần 4π − A (cm) B 16 (cm) C (cm) D Giải: Khi thả nhẹ chúng ra, lúc hai vật đến vị trí cân chúng có vận tốc: k 200 A = = 40.8 = m1 + m 1, 25 + 3,75 (cm) v = vmax = ωA = 16π (cm/s) Sau đó, vật m1 dao động với biên độ A1 , m2 chuyển động thảng (vì bỏ qua ma sát) xa vị trí cân với vận tốc v = vmax Khi lò xo dãn cực đại độ dãn A1 áp dụng định luật bảo toàn cho hệ hai vật: 2 kA = kA1 + m v 2max 2 W = W + W2 → m A = A12 + v max k m 3,75 ⇒ A12 = A − v 2max = 64.10−4 − 256 π2 10 −4 k 200 = 64.10-4 – 48-4 = 16.10-4 → A1 = 4.10-2m = 4cm T1 Quãng đường vật m2 kể từ rời vật đến vật biên ứng với thời gian t = là: m1 1, 25 2,5 −1 16π .2π = 8π = 8π 6, 25.10−3 = 8π 10 k 200 π s = vmaxt = = 2π (cm) Khi lò xo giãn cực đại lần hai vật cách xa đoạn là: L = s – A = 2π – (cm) Chọn C Bài Hai vật A B có khối lượng kg có kích thước nhỏ nối với sợi dây mảnh nhẹ dài10cm, hai vật treo vào lò xo có độ cứng k = 100N/m nơi có gia tốc trọng trường g =10m/s2 Lấy π2 =10 Khi hệ vật lò xo vị trí cân đủ cao so với mặt đất, người ta đốt sợi dây nối hai vật vật B rơi tự vật A dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Lần vật A lên đến vị trí cao khoảng cách hai vật bằng: A 80cm B 20cm C 70cm D 50cm Giải: Tại vị trí cân trọng lực tác dụng lên vật A cân với lực đàn hồi ⇔ (mA + mB ) g = Fdh ⇔ Fdh = 2mg PA + PB = Fđh (coi mA = mB = m) Khi người ta đốt dây vật A chịu tác dụng lực đàn hồi trọng lực vật A Lực tác dụng lên vật A lúc là: F = Fđh – PA = 2mg – mg = mg Lực gây cho vật gia tốc a Vật vị trí biên nên a gia tốc cực đại F mg g = =g=A = 0,1m m m ω2 F = ma → a = ω2 →A = Khi đốt dây vật A từ vị trí thấp đến vị trí cao nhât nửa chu kì T 10 ∆t = = (s) g (∆t )2 = 0,5m Cũng khoảng thời gian vật B rơi tự quãng đường: S = A + l + s = 80cm Vậy khoảng cách A B lúc : D = Chọn A ∆l’ O’ -A’ A x Bài Hai vật A B dán liền mB=2mA=200g, treo vào lò xo có độ cứng k =50 N/m Nâng vật lên đến vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên L0=30 cm buông nhẹ Vật dao động điều hoà đến vị trí lực đàn hồi lò xo có độ lớn lớn , vật B bị tách Tính chiều dài ngắn lò xo A 26 cm, B 24 cm C 30 cm D.22 cm ( mA + mB ) g ∆l = = 0, 06m = 6cm k Giải: Khi treo vật độ giãn lò xo: Biên độ dao động hệ lúc A = cm Lực đàn hồi lò xo lớn độ dài lò xo lmax = 36 cm Khi vật B tách hệ dao động điều hoà với vị trí cân m g ∆l ' = A = 0, 02m = 2cm k Biên độ dao động lắc lò xo lấn sau A’ = 10cm Suy chiều dài ngắn lò xo lmin = 30 –(10-2) = 22cm Chọn đáp án D Bài Một lắc đơn gồm cầu m = 200g treo vào sợi dây không giãn có khối lượng không đáng kể Con lắc nằm yên vị trí cân vật khối lượng m = 300g bay ngang với vận tốc 400cm/s đến va chạm mềm với vật treo m Sau va chạm hai vật dính vào chuyển động Lấy g = 10 m/s2 Độ cao cực đại mà lắc đạt A 28,8cm B 20cm C 32,5cm D 25,6cm Giải : Gọi v vận tốc hai vật sau va chạm Va chạm mềm dùng định luật bảo toàn động lượng m2v2=(m1+m2)v m2 v2 0,3.400 ↔v= = = 240cm / s m1 + m2 0,3 + 0,2 Áp dụng định luật bảo toàn cho vị trí: Vị trí va chạm vị trí cao 1 2,4 (m1 + m2 )v = (m1 + m2 ) gh → h = v = = 0,288 m = 28,8cm 2g 2.10 Bài Một lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật M có khối lượng 400g lò xo có hệ số cứng 40N/m dao động điều hòa xung quanh vị trí cân với biên độ 5cm Khi M qua vị trí cân người ta thả nhẹ vật m có khối lượng 100g lên M (m dính chặt vào M), sau hệ m M dao động với biên độ 5cm 2cm 2cm A B 4,25cm C D Giải: k m Vận tốc M qua VTCB: v = ωA = A = 10.5 = 50cm/s Mv 0, 4.50 = M+m 0,5 Vận tốc hai vật sau m dính vào M: v’ = Cơ hệ m dính vào M: W = 5cm kA '2 = 40cm/s = (M + m)v '2 M+m k => A’ = v’ 0,5 40 =40 Bài 10: Cho hệ lắc lò xo lò xo có độ cứng 100N/m, vật nặng có khối lượng m2 = kg = m1 = 1kg g = p = 10 m / s , người ta treo vật có khối lượng m1 sợi dây ( ) Khi hệ cân người ta đốt dây nối Chọn chiều dương hướng lên, mốc thời gian lúc hệ bắt đầu chuyển động Số lần vật qua vị trí lò xo không biến dạng theo chiều dương kể từ lúc vật qua vị trí cân lần thứ đến thời điểm t = 10s A 19 lần B 16 lần C 18 lần D 17 lần ∆l = (m1 + m2 ).g (1 + 2).10 = = 0,3m k 100 Giải: Độ giãn lò xo treo vật: = 30cm m1.g 1.10 ∆l1 = = = 0,1m = 10cm k 100 Độ giãn lò xo treo vật m1: Khi đốt dây nối : -Suy biên độ dao động vật m1: A = 20cm k 100 ω= = = 10rad / s m1 p2 rad / s -Tần số góc dao động vật m1 : = 2π 2π π = = s s ω 10 π -Chu kỳ dao động vật m1 : T= = -Chọn chiều dương hướng lên, mốc thời gian lúc hệ bắt đầu chuyển động PT dao động vật m1 : x=20cos(10t+ π) cm thời gian từ lúc đầu đến lúc vật qua vị trí cân lần thứ T/4 Hay ta viết lại PT PT dao động vật m1 kể từ lúc vật qua vị trí cân lần thứ : x=20cos(10t- π/2) cm Sau thời gian t= 10s = 5π.T =15,7 T Dễ dàng thấy Số lần vật qua vị trí lò xo không biến dạng( x=10cm) theo chiều dương kể từ lúc vật qua vị trí cân lần thứ 16 lần Đáp án B Bài 11: Con lắc lò xo có độ cứng k = 200N/m treo vật nặng khối lượng m1 = 1kg dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A= 12,5cm Khi m1 xuống đến vị trí thấp vật nhỏ khối lượng m2 = = 0,5kg bay theo phương thẳng đứng tới cắm vào m1 với vận tốc 6m/s Xác định biên độ dao động hệ hai vật sau va chạm Giải: + Dùng định luật BTĐL tính vận tốc hệ sau va chạm 2m/s k 20 ω'= = rad / s m1 + m2 + Tần số góc hệ : = + Độ dãn lò xo có m1 cân : + Độ dãn lò xo có m1 m2 cân : + Như sau va chạm hệ vật có tọa độ : A ' = x12 + + Biên độ dao động là: v2 ω2 = 20cm Bài 12: Hai vật A, B dán liền m B=2mA=200g, treo vào lò xo có độ cứng k=50N/m Nâng vật lên đến vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên l 0=30cm buông nhẹ Lấy g=10m/s Vật dao động điều hòa đến vị trí lực đàn hồi lò xo có độ lớn lớn nhất, vật B tách Tính chiều dài ngắn lò xo A 26 B 24 C 30 D 22 Giải: Độ biến dạng ban đầu hệ vật VTCB ( m + mB ) g = (0,2 + 0,1)10 = 0,06m = 6cm ∆l = A k 50 Nâng vật lên đến vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên l0=30cm buông nhẹ Do A = 6cm m g 0,1.10 ∆l ' = A = = 0,02m = 2cm k 50 Độ biến dạng lúc sau vật vật B tách l = l0 + ∆l '− A = 30 + − = 26cm Chièu dài ngắn lò xo Đáp án A Bài 13: Một lò xo có khối lượng không đáng kể, hệ số đàn hồi k = 100N/m đặt nằm ngang, đầu giữ cố định, đầu lại gắn với chất điểm m1 = 0,5 kg Chất điểm m1 gắn với chất điểm thứ hai m = 0,5kg Các chất điểm dao động không ma sát trục Ox nằm ngang (gốc O vị trí cân hai vật) hướng từ điểm cố định giữ lò xo phía chất điểm m1, m2 Tại thời điểm ban đầu giữ hai vật vị trí lò xo nén 2cm buông nhẹ Bỏ qua sức cản môi trường Hệ dao động điều hòa Gốc thời gian chọn buông vật Chỗ gắn hai chất điểm bị bong lực kéo đạt đến 1N Thời điểm mà m2 bị tách khỏi m1 π π π s s s s 10 10 A B C D kr Fñh r F12 r F21 • O • x • -A m2 m1 Giả sử thời điểm thời điểm vật m2 bắt đầu rời khỏi m1 ly độ hai vật x F21 − Fñh = m1a1 ⇒ F21 = Fñh + m1a1 = kx − m1ω x Áp dụng định luật II Niu-tơn cho m1, ta có: F21 F21 ⇒x= = = = 0,02 m = 2cm k 100 k − m1ω k − m1 100 − 0,5 m1 + m2 0,5 + 0,5 Theo toán: Vậy vật m2 bị bong khỏi m1 vật vị trí biên dương m1 + m2 π T T π T = 2π = ∆t = ∆t = = (s ) k 2 10 Thời gian cần tìm: , với (s) Vậy Chọn đáp án D Bài 14: Một lắc lò xo đạt mặt phảng nằm ngang gồm lò xo nhẹ có đầu cố định, đầu gắn với vật nhỏ có khối lượng m Ban đầu vật m giữ vị trí để lò xo bị nén cm Vật M có khối lượng nửa khối lượng vật m nằm sát m Thả nhẹ m để hai vật chuyển động theo phương trục lò xo Bỏ qua ma sát Ở thời điểm lò xo có chiều dài cực đại lần đầu tiên, khoảng cách hai vật m M là: A cm B 4,5 cm C 4,19 cm ` D 18 cm Giải: Khi hệ vật chuyển động từ VT biên ban đầu đến VTCB: CLLX (m + M = 1,5m): vmax = k Aω = A 1,5m * Khi đến VTCB, hai vật tách khỏi m bắt đầu chuyển động chậm dần, lúc M chuyển động thẳng với vận tốc vmax + Xét CLLX có vật m (vận tốc cực đại không thay đổi): k A k A ⇒ A' = = cm A' ω ' = A' 1,5m 1, 1,5 m vmax = = + Từ tách (qua VTCB) đến lò xo có chiều dài cực đại m đến vị trí biên A’, thời k π T ' 2π π ω'= = ω 1, ⇒ ∆t = ∆t = = = m ω.2 1,5 4ω ' 2ω ' gian dao động ; với Trong thời gian này, M được: ω A π 4,5π = cm ω.2 1,5 1,5 s = vmax.∆t = ⇒ Khoảng cách hai vật: ∆d = s - A’ ≈ 4,19 cm Giải cách 2: Ban đầu m M dính lắc lò xo gồm (k, m M) có biên độ A = cm k A m+M ωA vận tốc hệ VTCB vm = = từ VTCB trở m chuyển động chậm dần M chuyển động với vm Khi M tách khỏi m m vm A , m+M ω Khi M tách khỏi m: Ta có lắc lò xo (k, m): có biên độ A’ = = thời gian m từ VTCB đến VT lò xo dãn cực đại lần đầu tiên: π m π m A k m+M t = T’/4= Suy quãng đường mà M thời gian trên: s=vmt= π m A( − 1) m+M khoảng cách từ m đến M d = s – A’ = với M = m/2 Thay số= d = 4,19 cm.Đáp án C Bài 15 Một vật nhỏ khối lượng m = 200g treo vào sợi dây AB không dãn treo vào lò xo có độ cứng k = 20N/m hình vẽ Kéo lò xo xuống VTCB đoạn 2cm thả không vận tốc ban đầu Chọn gốc toạ độ VTCB m, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc thả Cho g = 10m/s2 Chứng minh m dao động điều hoà Viết phương trình dao động ( Bỏ qua khối lượng lò xo dây treo AB Bỏ qua lực cản không khí ) Tìm biểu thức phụ thuộc vào thời gian lực căng dây Vẽ đồ thị phụ thuộc Biên độ dao động m phải thoả mãn điều kiện để dây AB căng mà không đứt Biết dây chịu lực căng tối đa Tmax = 3N k A B Bài 16 Một lò xo có độ cứng k = 80N/m Đầu gắn cố định đầu treo vật nhỏ A có khối lượng m1 Vật A nối với vật B có khối lượng m2 sợi dây không dãn Bỏ qua khối lượng lò xo dây nối Cho g = 10m/s2, m1 = m2 = 200g Hệ đứng yên, vẽ hình rõ lực tác dụng lên vật A B Tính lực căng dây độ dãn lò xo Giả sử thời điểm t = 0, dây nối AB bị đứt Vật A dao động điều hoà Viết phương mB k mA J trình dao động vật A.( Chọn gốc toạ độ VTCB A, chiều dương hướng xuống ) Bài 17 Cho hệ dao động hình vẽ.: k = 100N/m; mA = 100g; mB = 200g Thời điểm ban đầu kếo mA xuống đoạn 1cm truyền cho vận tốc 0,3 m/s Biết đoạn dây JB không dãn, khối lượng dây không đáng kể π ≈ 10 Lấy g = 10m/s2, Tính độ biến dạng lò xo VTCB Biết với điều kiện có mA dao động Viết phương trình dao động mA Tìm điều kiện biên độ dao động mA để mB đứng yên [...]...dãn của lò xo 2 Giả sử tại thời điểm t = 0, dây nối AB bị đứt Vật A dao động điều hoà Viết phương mB k mA J trình dao động của vật A.( Chọn gốc toạ độ là VTCB của A, chiều dương hướng xuống ) Bài 17 Cho hệ dao động như hình vẽ.: k = 100N/m; mA = 100g; mB = 200g Thời điểm ban đầu kếo mA xuống dưới một đoạn 1cm và truyền cho nó vận tốc 0,3 m/s Biết đoạn... Thời điểm ban đầu kếo mA xuống dưới một đoạn 1cm và truyền cho nó vận tốc 0,3 m/s Biết đoạn dây JB không dãn, khối lượng dây không đáng kể π 2 ≈ 10 Lấy g = 10m/s2, 1 Tính độ biến dạng của lò xo tại VTCB 2 Biết rằng với điều kiện trên chỉ có mA dao động Viết phương trình dao động của mA 3 Tìm điều kiện của biên độ dao động của mA để mB luôn đứng yên