S GIO DC O TO THANH HO K THI VO LP 10 CHUYấN LAM SN NM HC 2012 - 2013 CHNH THC ( gm cú 01 trang) Mụn thi : TON (Mụn chung cho tt cỏc thớ sinh) Thi gian lm bi :120 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Ngy thi : 17 thỏng nm 2012 Cõu 1: (2.0 im ) Cho biu thc : a +1 a P = +4 aữ ữ 2a a , (Vi a > , a 1) a +1 a Chng minh rng : P = a Tỡm giỏ tr ca a P = a Cõu (2,0 im ) : Trong mt phng to Oxy, cho Parabol (P) : y = x v ng thng (d) : y = 2x + Chng minh rng (d) v (P) cú hai im chung phõn bit Gi A v B l cỏc im chung ca (d) v (P) Tớnh din tớch tam giỏc OAB ( O l gc to ) Cõu (2.0 im) : Cho phng trỡnh : x2 + 2mx + m2 2m + = Gii phng trỡnh m = Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit Cõu (3.0 im) : Cho ng trũn (O) cú ng kớnh AB c nh, M l mt im thuc (O) ( M khỏc A v B ) Cỏc tip tuyn ca (O) ti A v M ct C ng trũn (I) i qua M v tip xỳc vi ng thng AC ti C CD l ng kớnh ca (I) Chng minh rng: Ba im O, M, D thng hng Tam giỏc COD l tam giỏc cõn ng thng i qua D v vuụng gúc vi BC luụn i qua mt im c nh M di ng trờn ng trũn (O) 2 Cõu (1.0 im) : Cho a,b,c l cỏc s dng khụng õm tho : a + b + c = a b c + + Chng minh rng : a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2 Ht -Lờ Th Nhung Trng THCS Nguyn Vn Tri BI GII CU NI DUNG a a +1 a +4 aữ ữ 2a a a a +1 IM Chng minh rng : P = P = ( P= P= P= ) ( a +1 ) a + a ( )( a +1 ( ) )( a +1 a a + a + a + a + 4a a a ( )( a +1 ) a ) a 2a a 1.0 2a a 4a a = a 2a a a (PCM) Tỡm giỏ tr ca a P = a P = a = a => a a = => a Ta cú + + (-2) = 0, nờn phng trỡnh cú nghim a1 = -1 < (khụng tho iu kin) - Loi 1.0 c = =2 a2 = a (Tho iu kin) Vy a = thỡ P = a Chng minh rng (d) v (P) cú hai im chung phõn bit Honh giao im ng thng (d) v Parabol (P) l nghim ca phng trỡnh x2 = 2x + => x2 2x = cú a b + c = Nờn phng trỡnh cú hai nghim phõn bit c = =3 x1 = -1 v x2 = a Vi x1 = -1 => y1 = (-1)2 = => A (-1; 1) Vi x2 = => y2 = 32 = => B (3; 9) Vy (d) v (P) cú hai im chung phõn bit A v B Gi A v B l cỏc im chung ca (d) v (P) Tớnh din tớch tam giỏc OAB ( O l gc to ) Ta biu din cỏc im A v B trờn mt phng to Oxy nh hỡnh v Lờ Th Nhung Trng THCS Nguyn Vn Tri 1.0 1.0 B A D -1 C AD + BC 1+ DC = = 20 2 BC.CO 9.3 = = = 13,5 2 AD.DO 1.1 = = = 0,5 2 S ABCD = S BOC S AOD Theo cụng thc cng din tớch ta cú: S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO) = 20 13,5 0,5 = (vdt) Khi m = 4, ta cú phng trỡnh x2 + 8x + 12 = cú = 16 12 = > Vy phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x1 = - + = - v x2 = - - = - Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x2 + 2mx + m2 2m + = Cú D = m2 (m2 2m + 4) = 2m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit thỡ D > => 2m > => 2(m 2) > => m > => m > Vy vi m > thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit Lờ Th Nhung Trng THCS Nguyn Vn Tri 1.0 1.0 I C H M N A D K 1.0 B O Ba im O, M, D thng hng: Ta cú MC l tip tuyn ca ng trũn (O) MC MO (1) ã Xột ng trũn (I) : Ta cú CMD = 900 MC MD (2) T (1) v (2) => MO // MD MO v MD trựng O, M, D thng hng Tam giỏc COD l tam giỏc cõn CA l tip tuyn ca ng trũn (O) CA AB(3) ng trũn (I) tip xỳc vi AC ti C CA CD(4) ã ã T (3) v (4) CD // AB => DCO (*) = COA ( Hai gúc so le trong) ã ã CA, CM l hai tip tuyn ct ca (O) COA (**) = COD ã ã T (*) v (**) DOC = DCO Tam giỏc COD cõn ti D ng thng i qua D v vuụng gúc vi BC luụn i qua mt im c nh M di ng trờn ng trũn (O) ã * Gi chõn ng vuụng gúc h t D ti BC l H CHD = 900 H (I) (Bi toỏn qu tớch) DH kộo di ct AB ti K Gi N l giao im ca CO v ng trũn (I) ã CND = 900 NC = NO => COD can tai D Ta cú t giỏc NHOK ni tip ả =O = DCO ã ã ã Vỡ cú H ( Cựng bự vi gúc DHN) NHO + NKO = 1800 (5) ã ã * Ta cú : NDH (Cựng chn cung NH ca ng trũn (I)) = NCH ( ) ã ã ã CBO = HND = HCD DHN Lờ Th Nhung COB (g.g) Trng THCS Nguyn Vn Tri 1.0 1.0 HN OB = HD OC OB OA HN ON ã ã = = M ONH = CDH OC OC HD CD OA CN ON = = OC CD CD NHO ã NHO = 900 M DHC (c.g.c) ã ã ã NHO + NKO = 1800 (5) NKO = 900 , NK AB NK // AC K l trung im ca OA c nh (PCM) Cõu (1.0 im) : Cho a,b,c l cỏc s dng khụng õm tho : a +b +c = 2 Chng minh rng : a b c + + a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2 a b2 ( a + b ) * C/M b : + x y x+ y a b2 c2 ( a + b + c ) v + + x y x x+ y+z 2 Tht vy a b2 ( a + b ) 2 + a y + b x ( x + y ) xy ( a + b ) ( ay bx ) x y x+ y ( ) (ỳng) PCM a b2 c2 ( a + b + c ) p dng ln , ta cú: + + x y x x+ y+z 2 * Ta cú : a + 2b + = a + 2b + + 2a + 2b + , tng t Ta cú: a b c a b c A= + + + + a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2a + 2b + 2b + 2c + 2c + 2a + a b c A + + (1) ữ 1a4+ b +41 b4+2c + 14 4c +4a4+3 B a b c + + a + b +1 b + c +1 c + a +1 a b c 1+ 1+ a + b +1 b + c +1 c + a +1 b c a + + a + b +1 b + c +1 c + a +1 b +1 c +1 a +1 + + a + b +1 b + c +1 c + a +1 Ta chng minh ( b + 1) ( c + 1) ( a + 1) + + ( a + b + 1) ( b + 1) ( b + c + 1) ( c + 1) ( c + a + 1) ( a + 1) 4 4 4 4 44 4 4 4 4 43 2 B * p dng B trờn ta cú: Lờ Th Nhung Trng THCS Nguyn Vn Tri 2 (2) 1.0 ( a + b + c + 3) B ( a + b + 1) ( b + 1) + ( b + c + 1) ( c + 1) + ( c + a + 1) ( a + 1) ( a + b + c + 3) B (3) a + b + c + ab + bc + ca + 3(a + b + c ) + * M: a + b + c + ab + bc + ca + 3(a + b + c) + = 2a + 2b + 2c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + = 2a + 2b + 2c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + ( Do : a + b + c = 3) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + = ( a + b + c + 3) ( a + b + c + 3) a + b + c + ab + bc + ca + 3(a + b + c) + =2 T (3) v (4) (2) Kt hp (2) v (1) ta cú iu phi chng minh Du = xy a = b = c = Lờ Th Nhung Trng THCS Nguyn Vn Tri (4)