RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH BẰNG PHƢƠNG PHÁP VÉCTƠ TRONG CHƢƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 10 (CHƢƠNG I, II HÌNH HỌC 10 SÁCH GIÁO KHOA NÂNG CAO )

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - LÊ THỊ THU HÀ LÊ THỊ THU HÀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH BẰNG PHƢƠNG PHÁP VÉCTƠ TRONG CHƢƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 10 (CHƢƠNG I, II - HÌNH HỌC 10 - SÁCH GIÁO KHOA NÂNG CAO ) RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH BẰNG PHƢƠNG PHÁP VÉCTƠ TRONG CHƢƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 10 (CHƢƠNG I, II - HÌNH HỌC 10 - SÁCH GIÁO KHOA NÂNG CAO ) Chuyên ngành: Lý luận phƣơng pháp dạy học toán Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : TS NGUYỄN NGỌC UY THÁI NGUYÊN -2007 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên THÁI NGUYÊN - 2007 http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cám ơn NHỮNG CỤM TỪ VIÊT TẮT TRONG LUẬN VĂN Em xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến thầy giáo - TS Nguyễn Ngọc Uy, Học sinh HS người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt qúa trình thực đề tài Hình học HH Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ : Phương pháp giảng Phương pháp véctơ PPVT dạy toán, Khoa Toán - Tin trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội, thầy cô giáo Sách giáo khoa SGK khoa Toán- Tin Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên Sách tập SBT suốt trình học tập nghiên cứu Trung học phổ thông THPT Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa sau đại học trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu bạn đồng nghiệp trường THPT Bỉm Sơn - Thanh Hóa động viên, giúp đỡ tơi hồn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2007 Lê Thị Thu Hà Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC 1.4.1 Những điều cần lưu ý giảng dạy véctơ HH10-SGK nâng cao 26 1.4.2 Những khó khăn sai lầm học sinh lớp 10 giải tốn hình học phẳng PPVT 28 1.5 Kết luận chương 32 Chƣơng XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC 10 THEO HƢỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PPVT 33 2.1 Những kiến thức véctơ chương trình HH10-SGK nâng cao 34 2.2 Quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT 37 2.3 Hệ thống tập 40 2.3.1 Những kiến thức bổ trợ để xây dựng hệ thống tập 40 2.3.2 Những dụng ý sư phạm xây dựng hệ thống tập 46 2.3.3 Chứng minh điểm thẳng hàng 46 2.3.4 Chứng minh hai đường thẳng vng góc 60 2.3.5 Chứng minh đẳng thức véctơ 72 2.3.6 Các tốn tìm tập hợp điểm 81 2.3.7 Ứng dụng véctơ vào đại số 93 2.4 Kết luận chương 96 Chƣơng THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM 97 3.1 Mục đích thử nghiệm sư phạm 97 3.2 Nội dung thử nghiệm 97 3.3 Tổ chức thử nghiệm 110 3.3.1 Chọn lớp thử nghiệm 110 3.3.2 Tiến trình thử nghiệm 110 3.4 Đánh giá kết thử nghiệm 110 3.5 Kết luận chương 114 KẾT LUẬN CHUNG 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO 116 Trang MỞ ĐẦU Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN TRONG VIỆC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP BẰNG PPVT 1.1 Lý luận dạy học giải tập toán 1.1.1 Mục đích, vai trị, ý nghĩa tập tốn trường phổ thơng 1.1.2 Vị trí chức tập toán 1.1.3 Dạy học phương pháp giải toán 1.1.4 Bồi dưỡng lực giải toán 10 1.2 Kỹ giải toán vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 13 1.2.1 Kỹ 13 1.2.2 Kỹ giải toán 14 1.2.3 Đặc điểm kỹ 14 1.2.4 Sự hình thành kỹ 15 1.2.5 Một số kỹ quy trình giải tốn phương pháp véctơ 17 1.2.5.1 Diễn đạt quan hệ hình học ngôn ngữ véc tơ 17 1.2.5.2 Phân tích véc tơ thành tổ hợp véctơ 18 1.2.5.3 Kỹ biết cách ghép số véctơ tổ hợp véctơ 20 1.2.5.4 Biết khái quát hóa số kết để vận dụng vào toán tổng quát 21 1.3 Nội dung chương trình HH10-SGK nâng cao 21 1.3.1 Nhiệm vụ HH10-SGK nâng cao 21 1.3.2 Những ý giảng dạy HH10-SGK nâng cao 22 1.3.3 Mục đích u cầu PPVT chương trình HH10- SGK nâng cao 25 1.4 Những khó khăn sai lầm học sinh lớp 10 giải toán hình học phẳng PPVT 26 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tính sáng tạo Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực mục MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài đích dạy học tốn trường phổ thơng Dạy giải tập tốn cho học sinh có Trong giai đoạn nay, khoa học cơng nghệ có bước tiến tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú cho nhảy vọt, việc đào tạo người không nắm vững kiến thức mà học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ vận dụng kiến thức vào cịn có lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng tiềm lực khoa học kĩ tình mới, có khả phát giải vấn đề, có lực độc thuật đất nước lập suy nghĩ, sáng tạo tư biết lựa trọn phương pháp tự học tối ưu Nghị hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành trung ương Đảng Cộng Thực tiễn dạy học cho thấy: Việc sử dụng phương pháp véctơ nghiên cứu hình học, học sinh có thêm công cụ để diễn đạt, suy Sản Việt Nam (khóa VII, 1993) rõ: “Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải huớng vào đào tạo người luận để giải toán, tránh ảnh hưởng khơng có lợi trực giác Đây lao động, tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thường gặp, dịp tốt để học sinh làm quen với ngơn ngữ tốn học cao cấp Thế qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nước dân giàu, việc sử dụng không thành thạo phương pháp làm học sinh gặp nhiều nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh.” khó khăn lúng túng, hạn chế tới kết học tập Nghị hội nghị lần thứ II Ban chấp hành trung ương Đảng Cộng Với lí trên, tơi chọn đề tài nghiên cứu "Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh phương pháp véctơ, chương trình hình học Sản Việt Nam (khóa VIII, 1997), tiếp tục khẳng định: “Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp 10” (Chương I,II - Hình học 10 - Sách giáo khoa nâng cao ) Giả thuyết khoa học dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, Nếu hướng dẫn học sinh cách tìm lời giải tốn theo bước đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, lược đồ Pôlya xây dựng hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ sinh viên đại học” giải toán cho học sinh PPVT chương trình hình học 10, đồng thời Như vậy, quan điểm chung đổi phương pháp dạy học khẳng có biện pháp sư phạm phù hợp góp phần phát triển lực giải định, cốt lõi việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT tốn cho học sinh Giúp học sinh khắc sâu kiến thức học, phát huy tính chủ làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập động, tính tích cực việc tiếp thu kiến thức góp phần nâng cao chất thụ động lượng dạy học trường THPT Trong việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT, việc dạy giải tập toán trường phổ thơng có vai trị quan trọng vì: Dạy tốn trường phổ thơng dạy hoạt động tốn học Việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc vận dụng bốn bước giải tập toán theo lược đồ Pôlya vào giải tập theo PPVT, nhằm rèn luyện kỹ giải tốn hình học phẳng PPVT, qua phát triển lực giải tốn cho học sinh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đồng thời đề xuất số biện pháp dạy học nhằm nâng cao lực giải CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN TRONG VIỆC DẠY toán cho học sinh THPT HỌC GIẢI BÀI TẬP BẰNG PPVT Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn vấn đề nghiên cứu 1.1 Lý luận dạy học giải tập toán - Xây dựng hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ giải tốn cho học 1.1.1 Mục đích, vai trị, ý nghĩa tập tốn trƣờng phổ thơng sinh PPVT chương trình hình học 10, góp phần đổi phương pháp dạy học tập trường phổ thơng Pơlya cho “Trong tốn học, nắm vững mơn tốn quan trọng nhiều so với kiến thức túy mà ta bổ sung nhờ - Thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi đề tài sách tra cứu thích hợp Vì trường trung học Phƣơng pháp nghiên cứu trường chuyên nghiệp, ta không truyền thụ cho học sinh kiến thức - Phương pháp nghiên cứu lý luận: + Nghiên cứu số tài liệu lý luận dạy học, giáo dục học, tâm lý học, nghiên cứu SGK chương trình THPT, giáo trình phương pháp giảng dạy toán + Nghiên cứu sách báo, tạp chí liên quan đến dạy học hình học phẳng định, mà quan trọng nhiều phải dạy cho họ đến mức độ nắng vững môn học Vậy muốn nắm vững môn tốn ? Đó biết giải tốn” [25, tr.82] a Mục đích: Một mục đích dạy tốn trường phổ thông là: Phát triển học sinh lực phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh PPVT - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: biến tri thức khoa học nhân loại tiếp thu thành kiến thức + Tổng kết kinh nghiệm q trình cơng tác thân, học tập tiếp thân, thành công cụ để nhận thức hành động đắn lĩnh thu kinh nghiệm đồng nghiệp Trao đổi trực tiếp với học sinh, giáo viên giảng dạy để tìm khó khăn vướng mắc học sinh giải tập chủ đề tìm biện pháp khắc phục vực hoạt động học tập sau Làm cho học sinh nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kỹ tốn học phổ thơng bản, đại, phù - Phương pháp thử nghiệm sư phạm hợp với thực tiễn có lực vận dụng tri thức vào tình Bố cục luận văn cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập Mở đầu Chƣơng Cơ sở lý luận thực tiễn việc dạy học giải tập môn khoa học khác b Vai trị: Tốn học có vai trị lớn đời sống, khoa học PPVT Chƣơng Xây dựng hệ thống tập hình học 10 theo hướng rèn luyện kỹ giải toán PPVT cơng nghệ đại, kiến thức tốn học cơng cụ để học sinh học tốt môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu lĩnh vực Các-Mác Chƣơng Thử nghiệm sư phạm nói “Một khoa học thực phát triển sử dụng phương Kết luận pháp tốn học”[5, tr.5] Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Mơn tốn có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực trí tuệ - Chức dạy học như: phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa Rèn luyện - Chức giáo dục phẩm chất, đức tính người lao động như: tính cẩn thận, - Chức phát triển xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo - Chức kiểm tra c Ý nghĩa: Các chức hướng tới việc thực mục đích dạy học: Ở trường phổ thơng giải tập tốn hình thức tốt để củng cố, hệ - Chức dạy học: Bài tập tốn nhằm hình thành củng cố cho học sinh thống hóa kiến thức rèn luyện kỹ năng, hình thức vận dụng kiến tri thức, kĩ năng, kĩ xảo giai đoạn khác trình dạy học thức học vào vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào vấn đề mới, - Chức giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh hình thức tốt để giáo viên kiểm tra lực, mức độ tiếp thu giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niền tin phẩm khả vận dụng kiến thức học chất đạo đức người lao động Việc giải tập tốn có tác dụng lớn việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ góp phần giáo dục, rèn luyện người học sinh nhiều mặt Việc giải tốn cụ thể khơng nhằm dụng ý đơn mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt nêu 1.1.2 Vị trí chức tập tốn a Vị trí: "Ở truờng phổ thơng, dạy tốn dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh xem giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Các tập tốn trừơng phổ thơng phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực tốt nhiệm vụ dạy học toán - Chức phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển lực tư cho học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tụê hình thành phẩm chất tư khoa học - Chức kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết dạy học, đánh giá khả độc lập học toán, khả tiếp thu, vận dụng kiến thức trình độ phát triển học sinh Hiệu việc dạy tốn trường phổ thơng phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác thực cách đầy đủ chức có tác giả viết sách giáo khoa có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá thực dụng ý tác giả lực sư phạm trường phổ thơng Vì vậy, tổ chức có hiệu việc dạy giải tập toán học 1.1.3 Dạy học phƣơng pháp giải tốn có vai trị định chất lượng dạy học tốn”.[13, tr.201] Trong mơn tốn trường phổ thơng có nhiều tốn chưa có b Các chức tập tốn khơng có thuật giải khơng có thuật giải tổng quát để giải tất Mỗi tập toán đặt thời điểm trình dạy học tốn Chúng ta thơng qua việc dạy học giải số chứa đựng cách tường minh hay ẩn tàng chức khác toán cụ thể mà truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm Các chức là: việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho tốn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dạy học giải tập tốn khơng có nghĩa giáo viên cung cấp cho học -Tìm thêm cách giải khác (nếu ) sinh lời giải toán Biết lời giải tốn khơng quan trọng làm -Khai thác kết có tốn để giải toán Để làm tăng hứng thú học tập học sinh, phát -Đề xuất toán tương tự, tốn đặc biệt khái qt hóa tốn triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, Cơng việc kiểm tra lời giải tốn có ý nghĩa quan trọng phương pháp tìm lời giải cho toán Trong nhiều trường hợp, kết thúc tốn lại mở đầu cho Theo Pơlya, phương pháp tìm lời giải cho tốn thường tiến hành theo bước sau: tốn khác Vì "Cần phải luyện tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng, tốn Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn có đặt điều kiện tốn địi hỏi phải biện luận Việc kiểm tra lại lời giải Để giải toán, trước hết phải hiểu toán có hứng yêu cầu học sinh thực cách thường xuyên” [13, tr.212] thú với việc giải tốn Vì người giáo viên phải ý gợi động cơ, kích thích trí tị mị, hứng thú cho học sinh giúp em tìm hiểu toán cách tổng quát Tiếp theo phải phân tích tốn cho: -Đâu ẩn, đâu kiện Sau ví dụ sử dụng bước giải tốn Polya để chứng minh Ví dụ: (Bài 89-tr 52- SBT HH10 - Nâng cao ) Cho điểm M nằm đường tròn (O) ngọai tiếp tam giác ABC Kẻ đường thẳng MA, MB, MC, chúng cắt đường trịn A’, B’, -Vẽ hình, sử dụng kí hiệu thích hợp (nếu cần) -Phân biệt thành phần khác điều kiện, diễn đạt điều kiện dạng cơng thức tốn học khơng? C’.Chứng minh S A, B , C , S ABC  R  MO  (*) MA.MB.MC 2 Giải: Bước 2: Xây dựng chương trình giải “Phải phân tích toán cho thành nhiều toán đơn giản Phải huy động kiến thức học( định nghĩa, định lí, quy tắc ) có liên quan đến điều kiện, quan hệ đề toán lựa chọn số kiến thức gần gũi với kiện tốn mị mẫm, dự đốn kết Xét vài khả xảy ra, kể trường hợp đặc biệt Sau đó, xét tốn tương tự khái qt hóa tốn cho”[13, tr.210] Bước 1: Tìm hiểu toán Gv: Nhận xét vế đẳng thức (*) Hs: -Vế trái chứa yếu tố diện tích SA,B,C,, SAB C -Vế phải chứa yếu tố M/(O); tích độ dài cạnh MA, MB, MC Ta có: B C A B M/(O)= MA MA'  MB.MB '  MC.MC '  MO  R Bước 3: Thực chương trình giải Bước 2: Xây dựng chương trình giải Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải Gv: Để biến đổi vế trái thành vế phải, phải sử - Kiểm tra lại kết quả, xem lại lập luận trình giải dụng cơng thức tính diên tích tam giác để chuyển - Nhìn lại tồn bước giải, rút tri thức phương pháp để giải dần từ yếu tố diện tích sang yếu tố độ dài ? O C’ M A’ B’ loại tốn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hs: SABC= 10 Ví dụ cung cấp cho học sinh số kỹ vận dụng công AB.BC.CA A' B'.B' C '.C ' A' ; SA’B’C’ = ; 4R 4R Gv: Để chuyển dần từ yếu tố độ dài cạnh tam giác ABC, tam giác A’B’C’ độ dài cạnh MA, MB, MC,  M/(O) phải làm ? (MA.MA’=  M/(O) Làm tương tự với hình học 1.1.4 Bồi dƣỡng lực giải tốn Hs: Phải tìm mối liên hệ chúng cách xét tam giác đồng dạng: MAB ~ MB' A'  thức tính phương tích điểm đường trịn làm tập A' B' MA' MA.MA'   AB MB MA.MB Bài tập toán nhằm phát triển tư cho học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tuệ Vì vậy, q trình dạy học người thầy giáo phải trọng bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh Năng lực giải toán khả = R2- MO2 ) thực bước phương pháp tìm lời giải tốn Pơlya B' C ' C ' A' , (*) chứng minh , BC CA Rèn luyện lực giải tốn cho học sinh rèn luyện cho họ khả Bước 3: Trình bày lời giải thực bốn bước theo phương pháp tìm lời giải tốn Pơlya A' B'.B' C '.C ' A' AB.BC.CA -Hs: SA’B’C’ = ; S ABC  4R 4R Điều phù hợp với phương pháp dạy học phát giải vấn S A' B '.B ' C '.C ' A'  A'B 'C '  (**) S ABC AB.BC CA Mặt khác: đề theo xu hướng đổi phương pháp dạy học giáo dục nước ta Một điểm đáng ý là: "Trong q trình giải tập tốn, cần MAB ~ MB' A' nên:  M/(O) A' B' MA' MA.MA' R  MO     AB MB MA.MB MA.MB MA.MB Tương tự khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho tốn Mọi cách giải dựa vào số đặc điểm kiện, tìm nhiều cách giải luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận vấn đề theo nhiều B' C ' R  MO C ' A' R  MO ( ***)  ;  BC MB.MC CA MC.MA khía cạnh khác nhau, điều bổ ích cho việc phát triển lực tư Thay (***) vào (**) ta điều phải chứng minh Mặt khác, tìm nhiều cách giải tìm cách giải hay nhất, đẹp Bƣớc 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải ”[13, tr.214] Gv: Bài toán cịn cách giải khác khơng ? Ví dụ 1: Cho điểm A, B, C, D, E, F chứng minh rằng: Hs: Có thể chứng minh vế phải vế trái cách sử dụng công AD  BE  CF  AE  BF  CD (1) thức tính M/(O), sử dụng tam giác đồng dạng để chuyển dần từ yếu tố độ dài cạnh, M/(O) yếu tố diện tích tam giác A’B’C’ diện tích tam Để giải tốn này, học sinh thường nghĩ đến cách dùng phép toán véc tơ để chứng minh vế phải vế trái có lời giải sau:       Lời giải 1: Ta có (1)  AD  AE  CF  CD  BF  BE giác ABC  ED  DF  EF  EF  EF Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 12 Vậy đẳng thức (1) chứng minh Gọi G trọng tâm tam giác ABC thì: Lời giải 2: Biến đổi vế trái GA  GB  GC  O Ta có:       GM  GN  GP  GC  CM  GA      AN  GB  BP        GA  GB  GC  SC  CQ  QS     OO  O AD  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF = AE  BF  CD  ED  FE  DF  = AE  BF  CD (Vì ED  FE  DF  FD  DF  FF  O ) Lời giải 2: AE  BF  CD  AD  DE  BE  EF  CF  FD  AD  BE  CF  DE  EF  FD GG '  GA  AN  NG ' (Vì DE  EF  FD  O ) Nhận xét: Trong lời giải cho thấy lời giải thứ đơn giản nhất, cần biến đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh tương đương với đẳng thức véctơ cơng nhận Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P điểm xác định sau: GG '  GB  BP  PG ' GG '  GC  CM  MG '       3GG '  GA  GB  GC  AN  BP  CM  NG '  PG '  MG '     O  CA  AB  BC  O  O  G  G' Vậy tam giác ABC, tam giác MNP có trọng tâm MB  3MC , NC  3NA, PA  3PB Chứng minh hai tam giác ABC tam giác MNP có trọng tâm Lời giải 3: Gọi G trọng tâm tam giác MNP GM  GN  GP  O Để giải toán học sinh thường nghĩ đến cách chứng minh tính chất điểm BC, CA AB Q R B  12 AC  CB  BA = GN  GP  GM  A MB  3MC  CM  SC Ta có: GA  GB  GC  GN  NA  GP  PB  GM  MC  N Lời giải 1: Gọi S, Q, R trung PA  3PB  BP  RB  QS -Gọi G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC  O -Gọi G’ trọng tâm tam giác MNP G ' M  G ' N  G ' P  O Ta có: = AD  BE  CF NC  NA  AN  CQ  Vâỵ G trọng tâm tam giác MNP Lời giải 3: Biến đổi vế phải: trọng tâm tam giác có lời giải sau:   C M S = O O  O Suy G trọng tâm tam giác ABC Nhận xét: Trong lời giải nêu trên, lời giải thứ ngắn gọn tự nhiên nhất, vận dụng tính chất trọng tâm tam giác để chứng minh P Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 14 Trong trình tìm lời giải tốn theo bảng gợi ý Pơlya có hiệu quả, đặt học sinh trước ý nghĩ tích cực, chẳng hạn như: - Bạn gặp toán lần chưa ? Hay bạn gặp toán dạng khác ? Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành sở kỹ Muốn hình thành kỹ năng, đặc biệt kỹ giải toán cho học - Bạn có biết tốn có liên quan khơng ? Có thể dùng định lý hay cơng thức để giải ? sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh nắm vững tri - Có thể sử dụng kết toán khác vào việc giải toán hay thức, có kỹ sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Góp phần thực khơng? đưa toán tương tự toán tổng quát nguyên lý nhà trường phổ thông là: “Học đơi với hành, giáo dục kết tốn cho không ? hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội” 1.2 Kỹ giải toán vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh “Kỹ giải toán khả vận dụng tri thức toán học để giải 1.2.1 Kỹ “Kỹ khả vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn Trong đó, khả hiểu là: sức có (về mặt đó) để thực việc gì”[3, tr.548] Theo tâm lý học, kỹ khả thực có hiệu hành động theo mục đích điều kiện xác định Nếu tạm thời tách tri thức kỹ để xem xét riêng tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc khả “biết”, kỹ thuộc phạm vi hành động, thuộc khả “biết làm” Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm phần tập toán (bằng suy luận, chứng minh)”[5, tr.12] Để thực tốt môn toán trường THPT, yêu cầu đặt là: “Về tri thức kỹ năng, cần ý tri thức, phương pháp đặc biệt tri thức có tính chất thuật tốn kỹ tương ứng Chẳng hạn: tri thức kỹ giải tốn cách lập phương trình, tri thức kỹ chứng minh toán học, kỹ hoạt động tư hàm ”[13, tr.41] Cần ý tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có yêu cầu rèn luyện kỹ khác 1.2.3 Đặc điểm kỹ thông tin kiến thức túy phần kỹ năng” Kỹ nghệ thuật, khả vận dụng hiểu biết người để đạt mục đích Kỹ cịn đặc trưng thói quen định cuối kỹ khả làm việc có phương pháp “Trong tốn học, kỹ khả giải toán, thực chứng minh nhận Kỹ toán học quan trọng nhiều so Khái niệm kỹ trình bày chúa đựng đặc điểm sau: - Bất kỹ phải dựa sở lý thuyết kiến thức Bởi vì, cấu trúc kỹ là: hiểu mục đích - biết cách thức đến kết hiểu điều kiện để triển khai cách thức - Kiến thức sở kỹ năng, kiến thức phản ánh đầy đủ thuộc tính chất đối tượng, thử nghiệm thực tiễn tồn với kiến thức túy, so với thơng tin trơn”.[25, tr.99] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.2.2 Kỹ giải tốn http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 89 90  3MG  ( BC  CA2  AB )  3MG  (a  2a  a )  ( MA  MB )  MC  MA  MB  MC  MI  MC  ( I trung điểm AB) MC 2 MI Do MA  MB  MC  3MD   Theo kết 1, M thuộc đường trịn Apơlơniut đường kính GF,  MD  MG  a 2  MD  MG  ( a 2)  MD  MG  DG G trọng tâm tam giác ABC, F đỉnh hình bình hành ACBF d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp, G trọng tâm tam giác ABC MB2+MC2-2MA2=0 Ta có: 4a Vậy M thuộc đường thẳng vng góc với BD G  ( MO  OB )  ( MO  OC )  2( MO  OA)   MO (OB  OC  2OA)  Cách 2:  MO (OA  OB  OC  3OA)  Goi O giao điểm AC BD Tacó:  MO (3OG  2OA)   MO AG   MO  AG MA  MB  MC  3MD  ( MO  OA)  ( MO  OB)  ( MO  OC )  3( MO  OD) 2 Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua O, vuông góc với AG e) Gọi O tâm tam giác ABC, ta có:  MO(OA  OB  OC  3OD ) MA  MB  MC  3.MO  8MO.OD  MA  MB  MC  2( MA.MB  MB.MC  MA.MC )  MO a2 (1)  8MO.OD   a  MO.OD  Mặt khác: MA  MB  MC  3MO  OA  OB  OC  3MO  a Suy ra: MA.MB  MB.MC  MA.MC  3MO  a2 Gọi H hình chiếu M lên BD, ta có: HO.OD  Do đẳng thức cho tương đương với: 3.MO  Vậy M thuộc đường thẳng vng góc với BD H xác định a 5a   OM  a 2 HO  Tập hợp điểm M đường tròn tâm O, bán kính a A Bài D a2 6.OD O Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có: MA2  MB  MC  3MG  GA2  GB  GC G b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có: O  3MG BC  3a  MG BC  a (1) G B B A ( MA  MB  MC )(MC  MB)  3a a) cách Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên a2 a2  HO  6.OD C http://www.lrc-tnu.edu.vn D C Dựng hình bình hành GBCE E Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 91 92 -Nếu k > IA2+IB2+IC2+ID2 tập hợp điểm M đường tròn tâm I, (1)  MG.GE  a  GM GE  a      GM GE cos(GM , GE )  a   GM cos   a   GM cos 1  a  GH  a bán kính: R M -Nếu k = IA2+IB2+IC2+ID2  MI   MI   M  I Tập hợp H điểm M điểm I 1 Suy H điểm đối xứng với E qua G Vậy tập hợp điểm M đường thẳng  -Nếu k < IA2+IB2+IC2+ID2 tập hợp điểm M tập rỗng (ỉ ) G  qua H song song với AB IJ          ( MA  MB)  ( MA  MB)  ( MC  MD)  ( MC  MD)  IJ d) E Bài MA.MB  MC.MD   4MI  AB  4MJ  CD  IJ Theo giả thiết ta có:  4MI  4MJ  AB  CD  IJ (2) AM  k AB; CN  k CD; (0  k  1) Goi O trung điểm IJ, ta có: (2)  2( MI  MJ )  2( MI  MJ )  AB  CD  IJ Gọi P, Q trung điểm AC BD Ta có: PI  1 ( AM  CN )  k ( AB  CD); (1) 2 A PQ  ( AB  CD); (2)  8.MO  AB  CD  MO  B M I Q thẳng hàng Vì (0  k  1) nên I thuộc đoạn D P N R= C AB  CD Bài A Trên Ox, Oy lấy điểm A1, B1 cho: PQ Vậy tập hợp trung điểm I đoạn a.OA1=b.OB1= MN đoạn PQ Bài      c) Gọi I trọng tâm tứ giác ABCD nên: IA  IB  IC  ID  Vì I trung điểm AB nên: OI  MA2  MB  MC  MD  k  ( MI  IA)  ( MI  IB )  ( MI  IC )  ( MI  ID )  k  MI  k  ( IA  IB  IC  ID ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên AB  CD Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm O, bán kính: Q Từ (1) (2) suy PI  k PQ Chứng tỏ P, I, Ta có: k  ( IA  IB  IC  ID ) http://www.lrc-tnu.edu.vn  A1 I O B 1 OA OB (OA  OB)  ( OA1  OB1 ) 2 OA1 OB1 a.OA b.OB ( OA1  OB1 ) a.OA1 b.OB1  a.OA.OA1  b.OB.OB1 x B1 y (Vì a.OA1=b.OB1  ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 93 94 Trước hết ta biến đổi biểu thức dấu bậc hai: Vì a.OA+b.OB =  I, A1, B1 thẳng hàng Vậy I thuộc đường thẳng A1B1 cố định x  x   ( x  1)  1; x  x   ( x  1)  2.3.7 Ứng dụng véctơ vào đại số Ta chọn a  ( x  1;1); b  (1  x;1); c  (2;2) Có tốn mà việc giải phương pháp thơng thường gặp nhiều khó khăn, chí có khơng thể tìm cách giải, lại dễ Rõ ràng a  b  c   a  b  c  2  dàng cho ta lời giải ngắn gọn giải PPVT Từ đó, ta thấy ứng dụng đa dạng PPVT giải tốn mà đề khơng diễn đạt “ngơn ngữ” véctơ Để thấy điều đó, xét vài ví dụ sau Dấu xảy véctơ a; b phương  x    x  x  Ví dụ 3: Với số thực x, y Chứng minh rằng: ( x  y)(1  xy)  Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức y  x    x Hướng dẫn giải: ( x  1)   ( x  1)   2 Hướng dẫn giải: Đây toán “thuần túy” đại số, đề khơng có “bóng dáng” véctơ, nhiên tốn giải PPVT sau: Bất đẳng thức biến đổi thành: ( x  y)(1  xy) (1  x )(1  y ) 2x  y 2y 1 x2 1 ( )( )( )( ) 1 1 x2 1 y2 1 y2 1 x2 Đặt u  ( x  3;  x ), v  (1;1) Suy u  ( x  )  (  x )   3; v  (1  1)  Ta lập véctơ Ta có: u.v  x    x Và sử dụng bất đẳng thức Vì (1  x) (1  y) 2 u v  1 y2 2y 2x  x ; ) a( ; ) , b( 2 1 y2 1 y2 1 x 1 x a.b  a b u.v  u v  x    x  Vậy giá trị lớn y ymax= , u, v phương  cos2A- cos2B+ cos2C < x3 6 x   x3 6 x  x  1 Ví dụ 2: Chứng minh Hướng dẫn giải: x  x   x  x   2 , nghiệm với x Bài toán lượng giác giải PPVT sau: Gọi O tâm đường ngoại tiếp tam giác ABC, O’ điểm đối xứng với Hướng dẫn giải: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ví dụ 4: Cho tam giác nhọn ABC.Chứng minh rằng: O qua AC http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 95 96 Khi       OA  OC  OB  OO '  OB  BO '      (OA  OC  OB)  BO '           OA  OB  OC  2OA.OC  2OA.OB  2OBOC  BO '   3R  R (cos B  cos A  cos 2C )  BO '  b  - Trường hợp a   c  Vì b, c vng góc với a , nên b, c phương theo điều kiện thứ hệ điều kiện mà véctơ phải thỏa mãn, ta có: c  2b c  2b Ta xét  R (cos A  cos B  cos 2C )  3R  cos A  cos B  cos 2C  c  2b x   2x  y  2 z   y  z 2 Hệ phương trình cho ta nghiệm x=0, y  , z   thử lại kết Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  x  xy  y  yz    x  x  y  yz  4( x  y )  4( y  z )  ( x  1)  (2 z  1)  vào hệ phương trình đầu thỏa mãn  x   2 x  y 2 z   2 y  z Ta xét c  2b   Từ hệ phương trình ta suy x   Hướng dẫn giải: 2y 1 2y 1 ,z  2 Thay biểu thức vào phương trình Ta có: x(x+y)+y(y+z)=0  10 y  y   x  xy  y  yz   x( x  y )  y ( y  z )  2 Phương trình vơ nghiệm Trường hợp thứ hai vô nghiệm x  x  y  yz   x( x  1)  y (2 z  1)  2.4 Kết luận chƣơng Từ vế trái hai phương trình đầu hệ, ta thiết lập véctơ a( x; y); b( x  y; y  z ); c( x  1;2 z  1) Qua chương xây dựng hệ thống tập điển hình từ đơn giản đến phức tạp phân dạng hầu hết dạng tập bản, thường gặp chương trình tốn THPT Hệ phương trình ban đầu tương đương với véctơ phải thỏa mãn: Hệ thống tập với kỹ giải toán cần thiết như: Chuyển tốn sang ngơn ngữ véc tơ, phân tích véc tơ thành tổ hợp véc a.b    a.c   2 b  c tơ, kỹ biết cách ghép số véctơ tổ hợp véctơ…đã giúp học sinh dễ nhận dạng tìm cách giải cho tốn cụ thể, giúp học sinh có -Ta xét trường hợp a   x  0, y  Thay kết vào phương trình thứ hệ ta z   Tóm lại x  y  0, z   nghiệm hệ phương trình ban đầu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hứng thú học tập môn tốn, góp phần phát triển lực giải tốn Sự phân dạng tập tạo điều kiện cho học sinh tùy theo lực, trình độ chủ động, sáng tạo học tập, nghiên cứu chủ đề véctơ chương trình HH10 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 97 98 CHƢƠNG THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM -Biết ứng dụng PPVT giải tốn HH phẳng 3.1 Mục đích thử nghiệm sƣ phạm Thử nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đưa ra, để dạy học sinh sử dụng PPVT việc giải toán HH chương I, II lớp 10 THPT 3.2 Nội dung thử nghiệm * Tiến hành dạy tiết chữa tập chứng minh đẳng thức véctơ, ba điểm thẳng hàng chương véctơ SGK - HH10- nâng cao, xuất năm 2006 tác giả Văn Như Cương làm chủ biên * Bài dạy thử nghiệm tiết tập "Tích véctơ với Chuẩn bị phương tiện dạy học Thực tiễn: HS học tính chất véctơ với số, tính chất điểm thẳng hàng, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, biết cách biểu thị véctơ qua véctơ không phương Phương tiện: Chuẩn bị bảng kết hoạt động Gợi ý PPDH: Cơ dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua hoạt động điều khiển tư duy, đan xen hoạt động nhóm ( chia lớp làm nhóm) Tiến trình học hoạt động a) Các tình học tập số” Hoạt động 1: Kiểm tra cũ * Sau giáo án cụ thể hai tiết dạy này: Tiết BÀI TẬP VỀ TÍCH CỦA MỘT VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ ( Tiết bài:Tích véctơ với số) Về thái độ: - Cẩn thận, xác Mục tiêu Về kiến thức: - Nắm phương pháp chứng minh đẳng thức véctơ, vận dụng để giải số toán khác điều khiển giáo viên Hoạt động3: Hoạt động theo nhóm, tiến hành vận dụng quy trình bước giải tập HH PPVT để giải toán Hoạt động 4: HS độc lập tiến hành tìm lời giải tập theo quy trình bước giải tập HH PPVT, có hướng dẫn điều khiển giáo viên Về kĩ b) Tiến trình học Thành thạo kĩ năng: Kiểm tra cũ -Chuyển tốn sang ngơn ngữ véctơ Hoạt động -Phân tích véctơ thành tổ hợp véctơ Bài1 Chứng minh điểm I trung điểm đoạn thẳng AB -Biết cách ghép số véctơ tổ hợp véctơ   -Biết khái quát hoá số kết để vận dụng vào toán tổng quát Về tư duy: - Hiểu quy trình bước giải tốn HH PPVT - Biết quy lạ quen Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hoạt động 2: HS độc lập tiến hành tìm lời giải tập có hướng dẫn http://www.lrc-tnu.edu.vn  với điểm M bất kì, ta có MA  MB  2MI Bài Cho tam giác ABC trọng tâm G Chứng minh với điểm M     bất kì, ta có MA  MB  MC  3MG Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 99 100 Hoạt động HS Hoạt động giáo viên *Nghe hiểu nhiệm vụ *Giao nhiệm vụ cho HS, theo *Trình bày kết dõi hoạt động HS * Chỉnh sửa hồn thiện (nếu có) *Chính xác hóa kết HS gọi lên bảng *Đánh giá kết quả, ý     MA  MB  MC  MD           MG  GA  MG  GB  MG  GC  MG  GD       4MG  (GA  GB  GC  GD)     4MG  O  4MG      Suy MG  MA  MB  MC  MD   *Quan sát dự đoán để đưa câu trả lời sai lầm thường gặp * Cho HS nhận xét đẳng *Quan sát đẳng thức vừa thức véctơ vừa chứng minh trên, đặt chứng minh trên, dự đoán để đưa vấn đề: “Nếu cho tứ ABCD, ta có *Nghe hiểu nhiệm vụ câu trả lời *Suy nghĩ để rút quy trình bước giải tập HH PPVT: Bước 1: Chọn véctơ sở Bước 2: Chuyển tốn sang ngơn ngữ véctơ Bước 3: Trình bày lời giải Bước 4: Kết luận đánh giá kết đẳng thức véctơ nào?” Bài Hoạt động 2: HS độc lập tiến hành tìm lời giải tập có hướng dẫn điều khiển giáo viên Bài Cho tứ giác ABCD Ln có điểm G cho      GA  GB  GC  GD  O Điểm G gọi trọng tâm điểm A, B, C, D (hay trọng tâm tứ giác ABCD) Chứng minh      MG  MA  MB  MC  MD (*) với M điểm   Hoạt động HS Hoạt động giáo viên *HS độc lập tiến hành chứng minh *Giới thiệu ln có điểm *Thơng báo cho giáo viên hồn thành G có tính chất nhiệm vụ trên.(Việc chứng minh xem *Trình bày kết tập nhà) -Ta có *Giao nhiệm vụ theo dõi hoạt động HS, hướng dẫn cần thiết *Đánh giá kết hoàn thành nhiệm vụ HS, sửa chữa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài 4: Cho hệ điểm hữu hạn A1 , A2 , An Chứng minh rằng: a) Có điểm G cho     GA1  GA2   GAn  Điểm G gọi trọng tâm hệ điểm cho b) với điểm M ta có:     MA1  MA2   MAn  nMG *Độc lập giải 4b *Quan sát đưa câu trả lời: Kết 1,bài 2,bài3 trường hợp đặc biệt ứng với n=2, n = 3, n=4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên kịp thời sai lầm *Yêu cầu HS quan sát, tìm mối liên hệ đẳng thức vừa chứng minh 2, 3.Đặt vấn đề: "Cho hệ điểm hữu hạn A1 , A2 , An , ln có điểm G cho     GA1  GA2   GAn  , với điểm M bất kì, ta có đẳng thức véctơ nào?” *Hướng dẫn HS phân tích cách giải tốn theo bước sau: Bước 1:Tìm hiểu nội dung tốn: tìm mối liên hệ véctơ đẳng thức phải chứng minh với giả thiết toán Bước 2: Xây dựng chương trình giải Bước 3: Thực chương trình giải Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải *Gợi ý để HS rút quy trình bước giải tập HH PPVT *Yêu cầu HS vận dụng quy trình bước giải tập HH PPVT vào giải tập (Bài tập 4a xem tập nhà, cho HS tập tương tự 4b) * Yêu cầu HS nhận xét kết 1, 2,bài 3, 4” -Lưu ý HS quy trình bước giải toán HH PPVT http://www.lrc-tnu.edu.vn 101 102 Hoạt động 3: Hoạt động theo nhóm, tiến hành vận dụng quy trình  bước giải tập HH PPVT để giải toán     tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh a.IA  bIB  cIC  O Hoạt động giáo viên *Đọc đầu bài, vận dụng quy trình *Giao nhiệm vụ, theo dõi hoạt động bước giải tập HH PPVT để HS, hướng dẫn cần thiết nghiên cứu cách giải  - Có thể hƣớng dẫn nhƣ sau: bước quy trình bước giải Hỏi: “Có thể biểu diễn véctơ    IC theo hai véctơ IA, IB không ?    Bước  1: Phân tích véctơ IC theo (hoặc véctơ IA IB theo hai véctơ véctơ IA, IB cách dựng hình tập HH PPVT: có Hỏi: "Có nhận xét phương IC  IB '  IA '   IB   IA  véctơ IC với Điều phải chứng minh tương đương   véctơ IA, IB ” với việc xác định số  ,  phương nên   AC IB ' b   IB A1B c Tương tự    BC IB ' a   IA B1 A c Bước Kết luận:     Vậy a.IA  bIB  cIC  O *Chú ý cách giải khác *Độc lập tiến hành giải toán sử dụng phương pháp phân tích véctơ *Thơng báo kết cho giáo viên theo véctơ không phương để hồn thành nhiệm vụ giải ví dụ khơng?” *Chính xác hóa kết (ghi lời giải *Nhận xác hóa kết của tốn) HS hoàn thành nhiệm vụ A *Đánh giá kết hoàn thành nhiệm B1 B’ vụ HS Chú ý sai lầm C Hoạt động 4: HS độc lập tiến hành tìm lời giải tập theo quy trình bước giải tập HH PPVT, có hướng dẫn điều khiển giáo viên Có thể tổng qt hố 5, ta toán sau: - Từ nhận xét trên, nêu vấn đề: "Có thể A1 hướng cịn lại” bình hành IA’ CB’ Bước2: Ta     B  (tính chất phân giác ) suy nghĩ trả lời dựa theo bước 1, cần phải chứng minh I IB ' khơng ý IB Bước 3:Trình bày lời giải:   Goị giao điểm tia AI, BI, đến hướng véctơ IB IB ' ) CI với BC, CA, AB *Hướng dẫn HS tìm lời giải khác A1,B1,C1 Dựng hình bình hành IA’CB’ ta có có (xem tập nhà)      *Lưu ý HS quy trình bước giải IC  IB '  IA '   IB   IA Vì hai véctơ IB ' IB ngược tốn HH PPVT -Dựa vào gợi ý giáo viên, HS Cho HS nhận xét đẳng thức véctơ C1  từ IB '   IB    Bài 5: Cho tam giác ABC với cạnh AB= c, BC= a, CA= b Gọi I Hoạt động HS (rất nhiều học sinh mắc sai lầm sau: thường gặp Bài Cho tam giác ABC Gọi Sa, Sb, Sc theo thứ tự diện tích tam giác MBC, MCA, MAB với M điểm nằm tam giác ABC     Chứng minh rằng: Sa MA  Sb MB  Sc MC  O Hoạt động HS Hoạt động giáo viên *Nghe hiểu nhiệm vụ -Quan sát trả lời câu hỏi giáo viên *Giao nhiệm vụ cho HS, theo dõi hoạt động, hướng dẫn cần thiết - Có thể hƣớng dẫn nhƣ sau: A B’ Hỏi: “Về mặt hình thức có nhận H B1 C1 xét đẳng thức véctơ I M 6?” C  A1 B Bước 1: Phân tích véctơ MC theo Từ xác định bước 1, bước   quy trình bước giải tập véctơ MA MB A’ A’ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 103 104 HH PPVT *Đánh giá kết hoàn thành nhiệm vụ HS Sửa chữa kịp thời sai lầm *Hướng dẫn HS tìm lời giải khác cho 6(xem tập nhà) Bước 2: *Yêu cầu HS nhận xét kết      toán M trùng với tâm đường Ta có MC  MA '  MB '   MA   MB Điều phải chứng minh tương đương tròn nội tiếp tam giác ABC *Gợi ý HS nhà tìm tịi tiếp kết với việc xác định 2số  ,  toán thay đổi *HS độc lập tiến hành chứng minh *Thông báo cho giáo viên hoàn M trùng với trọng tâm tam giác ABC, tam giác ABC thành nhiệm vụ * Lưu ý HS quy trình bước giải *Trình bày kết tốn HH PPVT Bước 3:Trình bày lời giải Goị giao điểm tia AM, BM, CM với BC, CA, AB A1,B1,C1 Dựng hình bình hành MA’CB’ ta có      MC  MA '  MB '   MA   MB   Vì hai véctơ MA MA ' ngược hướng nên   S S BC MA ' CH     MBC   a MA B1 A AI S MAB Sc 3.Củng cố Câu hỏi 1: Để chứng minh đẳng thức véctơ có chứa tích véctơ với số phải sử dụng tính chất HH gì? (- Sử dụng tính chất tích véctơ với số Sử dụng tính chất trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, biết biểu thị véctơ qua véctơ không phương…) Câu hỏi 2: Cho tam giác ABC Gọi P, Q trung điểm cạnh AB, AC.Hãy chọn cặp giá trị m, n cột phải thích hợp với đẳng thức cột trái (a)    AP  mAB  nAC 1 m   n=1 (b)    PQ  mAB  nAC m (c)    BQ  mAB  nAC m=-1 n  (d)    PC  mAB  nAC m n=0 2 1 n  2 4.Bài tập nhà: - Tìm cách giải khác cho 5, học Tươngtự *Bài 23, 24, 25, 27 (SGK trang 24)  Sb S  S  Vậy MC   a MA  b MB Sc Sc Sc      Sa MA  Sb MB  Sc MC  O   *Bài 16, 18, 24,25, 33, 38(SBT trang 8,9,11) Bước -Chú ý cách giải khác - Nhận xét: Cho M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta kết Chú ý: Nếu khơng cịn đủ thời gian để tiến hành hết hoạt động 4, giáo viên có hướng dẫn HS 6,và xem tập nhà Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 105 Tiết 106 BÀI TẬP VỀ TÍCH CỦA MỘT VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ (Tiết bài: Tích vơ hướng véctơ với số) Hoạt động3: Rèn luyện kỹ chứng minh điểm thẳng hàng Hoạt động 4: Hoạt động theo nhóm, tiến hành vận dụng quy trình bước giải tập HH PPVT để giải tập chứng minh điểm thẳng hàng Mục tiêu Về kiến thức: - Nắm phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng, b) Tiến trình học Kiểm tra cũ vận dụng để giải số toán khác Hoạt động Về kĩ -Câu 1: Phát biểu quy trình bước giải tốn HH PPVT? Thành thạo kĩ năng: -Câu 2:Phát biểu điều kiện cần đủ để điểm M, N, P thẳng hàng? -Chuyển tốn sang ngơn ngữ véctơ Giáo viên đặt vấn đề: Ngoài điều kiện cần đủ để điểm M, N, P -Phân tích véctơ thành tổ hợp véctơ thẳng hàng mà biết cịn điều kiện cần đủ khác -Biết cách ghép số véctơ tổ hợp véctơ không để điểm M, N, P thẳng hàng? -Biết khái quát hoá số kết để vận dụng vào toán tổng quát 2.Bài mới: Về tư duy: - Hiểu quy trình bước giải tốn HH PPVT Hoạt động 2: HS độc lập tiến hành tìm lời giải tập theo quy trình - Biết quy lạ quen bước giải tập HH PPVT Về thái độ: - Cẩn thận, xác Bài 1.Cho điểm ABC - Biết ứng dụng PPVT giải toán HH phẳng Chuẩn bị phƣơng tiện dạy học 2.1 Thực tiễn: HS học tính chất véctơ với số, tính chất điểm thẳng hàng, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, biết cách biểu thị véctơ qua véctơ không phương    IA  tIB  (1  t ) IC với điểm I’ ta có:    I ' A  tI ' B  (1  t ) I ' C    b) Chứng tở rằng: IA  tIB  (1  t ) IC điều kiện cần đủ để điểm A, B, C thẳng hàng 2.2 Phương tiện: Chuẩn bị bảng kết hoạt động 2.3 Gợi ý PPDH: Cơ dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua hoạt động điều khiển tư duy, đan xen hoạt động nhóm (chia lớp làm nhóm) Tiến trình học hoạt động a) Các tình học tập Hoạt động 1: Kiểm tra cũ Hoạt động 2: HS độc lập tiến hành tìm lời giải tập theo quy trình bước giải tập HH PPVT Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên a) Chứng minh có điểm I số t cho http://www.lrc-tnu.edu.vn Hoạt động HS Hoạt động giáo viên *Độc lập tiến hành giải theo quy trình bước giải tốn HH PPVT *Thơng báo cho giáo viên hồn thành nhiệm vụ *Trình bày kết *Chỉnh sửa hồn thiện (nếu có) *Ghi nhận kiến thức *Giao nhiệm vụ, theo dõi hoạt động HS, hướng dẫn cần thiết *Đánh giá kết hoạt động HS, sửa chữa kịp thời sai lầm * Lưu ý HS quy trình bước giải toán HH PPVT - Lưu ý học sinh điều kiện cần đủ để điểm A, B, C thẳng hàng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 107 108 Hoạt động 3: Rèn luyện kỹ chứng minh điểm thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD.Hai điểm M,N thay đổi cạnh AB, CD AM CN cho gọi P,Q trung điểm đường chéo AC,BD, I  MB CD trung điểm MN Chứng minh điểm P, I, Q thẳng hàng Hoạt động HS *Đọc đầu bài, vận dụng quy trình bước giải tập HH PPVT để nghiên cứu cách giải *Phân tích đề đưa câu trả lời:   - Bước 1: Chọn vectơ AB, CD làm véctơ sở - Bước 2: Điều phải chứng minh P,I,Q thẳng hàng tương đương với việc   véctơ PI , PQ phương, nghĩa   số thực k cho PI  k PQ A M Q D B I tốn k= P N *Trình bày kết Bước 3: Theo giả Hoạt động giáo viên * Giao nhiệm vụ, theo dõi hoạt động HS, hướng dẫn cần thiết -Có thể hƣớng dẫn nhƣ sau: gợi ý để HS xác định bước1, bước theo quy trình bước giải tốn HH PPVT *Đánh giá kết hoạt động HS, sửa chữa kịp thời sai lầm *Hướng dẫn cách giải khác có(việc giải theo cách khác coi tập nhà) *u cầu HS có nhận xét kết * Lưu ý học sinh quy trình bước giải tốn hình học PPVT *Lưu ý HS phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng C thiết     AM  k AB, CN  kCD O  k  1 ta có: Hoạt động 4:: Hoạt động theo nhóm, tiến hành vận dụng quy trình bước giải tập HH PPVT để giải tập chứng minh điểm thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC đều, có tâm O, M tam giác ABC có hình chiếu xuống cạnh BC, CA, AB tương ứng P,Q,R Gọi K trọng tâm tam giác PQR Chứng minh M,O,K thẳng hàng Hoạt động HS *Đọc đầu bài, vận dụng quy trình bước *Giao nhiệm vụ theo dõi giải tập HH PPVT để nghiên cứu hoạt động HS, hướng dẫn cách giải cần thiết *Phân tích đề đưa câu trả lời, -Có thể hƣớng dẫn nhƣ sau: sau xác định: - Bước1: Chọn véctơ Cho học sinh nhận xét:   MP, MQ,MR làm véctơ sở   +“Véctơ MK , MO phân - Bước 2: Điều phải chứng minh tích theo véctơ ?” M,N,K thẳng hàng tương đương với việc + Nêu vấn đề: "Nếu từ M ta   véctơ MO, MK phương dựng đường thẳng song *Độc lập tiến hành giải toán song với cạnh tam giác *Thông báo kết cho Giáo viên ABC (như hình vẽ )thì ta Ta có:      PI  ( AM  CN )  k ( AB  CD )(1) 2    PQ  ( AB  CN )(2)   Từ (1) (2)  PI  k PQ hay P,I,Q thẳng hàng  O  k  1 nên I thuộc hoàn thành nhiệm vụ kết ? Có thể biểu diễn *Chính xác hóa kết quả(ghi lời giải  MP  MQ  MR  theo véctơ toán)    MA, MB, MC không?” A *Nhận xét: k  ta kết B 28b-SGK http://www.lrc-tnu.edu.vn HS hoàn B2 Q R C2 thành nhiệm vụ B1 M A1    *Nhận xác hóa kết C1 đoạn PQ *Chỉnh sửa hồn thiện (nếu có) Bước 4: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hoạt động giáo viên P A2 C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên *Đánh giá kết hoàn thành nhiệm vụ HS Chú ý http://www.lrc-tnu.edu.vn 109 110 sai lầm thường gặp 3.3 Tổ chức thử nghiệm *Đưa lời giải (ngắn gọn 3.3.1 Chọn lớp thử nghiệm Qua M kẻ B1C2 // BC; B1  AC; C2  AB nhất) cho lớp - Vì đối tượng thử nghiệm học sinh lớp đại trà nên chọn hai Qua M kẻ C1 A2 // AC; C1  AB; A2  BC * Hướng dẫn cách giải khác lớp 10C3 lớp thử nghiệm,10C4 lớp đối chứng (Năm học 2006-2007) có(việc giải theo cách trường THPT Bỉm Sơn - Tỉnh Thanh Hoá Học lực hai lớp tương khác coi tập nhà)          MP  MQ  MR   MA1  MA2  MB1  MB1  MC1  MC2  * Lưu ý HS quy trình bước đương, lớp 10C3 có 44 học sinh, lớp 10C4 có 48 học sinh, giáo viên dạy thử - Bước 3: Qua M kẻ: A1 B2 // AB; A1  BC ; B2  AC  MB1 B2 , MC1C2 , MA1 A2       MA  MB  MC   MO  2  Vậy MK      MP  MQ  MR  MO   giải tốn hình học nghiệm cô giáo Trịnh Thị Hà giáo viên trường PTTH Bỉm Sơn Giáo viên dạy lớp thử nghiệm giáo viên dạy lớp đối chứng PPVT 3.3.2 Tiến trình thử nghiệm: *Đặt vấn đề: “Có thể tổng - Dạy thử nghiệm tiến hành vào học kỳ I năm học 2006- 2007 Suy ra: M, O, K thẳng hàng quát hoá toán ta - Các tiết dạy thử nghiệm tiến hành sau sau thống mục -Bước 4: Kết luận đánh giá kết tốn đích, u cầu, nội dung giáo viên dạy thử nghiệm Sau tiết dạy thử Bài Cho tam giác ABC, G trọng tâm Việc chứng minh xem nghiệm lớp, trao đổi rút kinh nghiệm kịp thời với giáo tam giác ABC qua điểm M tuỳ ý tập nhà, yêu viên giảng dạy nhằm chuẩn bị tốt cho tiết dạy sau mặt phẳng tam giác ABC dựng đường cầu HS có nhận xét kết - Ở lớp đối chứng, giáo viên giảng dạy bình thường khác thẳng song song với GA, GB, GC chúng tam giác ABC Việc dạy thử nghiệm đối chứng tiến hành theo tiến trình giảng dạy tương ứng cắt BC, CA, AB A1,B1,C1 đều.” nhà trường Chứng minh M,G, G1 thẳng hàng với G1 3.4 Đánh giá kết thử nghiệm trọng tâm tam giác A1B1C1 Có nhận 3.4.1 Đánh giá nội dung xét điểm G1 - Việc thay phương pháp giảng tập, bổ sung câu hỏi, tập 3.Củng cố vào giảng làm cho học trở nên phong phú, sinh động, phù hợp Câu hỏi: Phương pháp chứng minh điểm A, B, C (thỏa mãn điều kiện với đặc điểm nhận thức học sinh Các câu hỏi, tập bổ sung phát huy khai thác tính tích cực học tập học sinh, đồng thời làm xác định) thẳng hàng? 4.Hướng dẫn tập nhà cho học sinh nắm kiến thức kỹ giải tốn hình học phẳng -Các tập: * 28b, 28c (SGK trang 24) PPVT cách chắn, có khả vận dụng chúng vào việc giải *19a, 20a, 22 (SBT trang 8) tập tốn hình học phẳng, thơng qua bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh -Bài tập thêm: Bài học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 111 112 3.4.2 Đánh giá phƣơng pháp dạy học thử nghiệm 3.4.4 Kết kiểm tra Thông qua dạy học thử nghiệm, dựa nội dung phương pháp * Đề kiểm tra (thời gian 45 phút) xây dựng giáo án, giáo viên làm quen với việc dạy học sinh giải tốn hình học phẳng PPVT, tích luỹ kinh nghiệm sử dụng, khai thác hệ thống câu hỏi, tập cách hợp lý Qua giáo viên dạy thử nghiệm phát hạn chế kiến thức kỹ 1.Mục tiêu 1.Về kiến thức: - Hiểu vận dụng quy trình bước giải tốn HH PPVT vào giải tập HH - Hiểu vận dụng kỹ năng: chuyển toán sang ngơn ngữ véctơ, giải tốn HH PPVT học sinh Từ đó, thơng qua dạy giải phân tích véctơ thành tổ hợp véctơ, biết cách ghép số véctơ tổ tập với cách đặt câu hỏi gợi mở thích hợp, giáoviên giúp học sinh tìm hợp véctơ vào giải tập HH cách giải tập hình học phẳng PPVT Về kỹ năng: Giải toán HH chứng minh đẳng thức véctơ, Tuy nhiên, việc giải toán HH phẳng PPVT vấn đề HS, giáo viên cần ý bố trí thời gian hợp lý cho dạng tập để đạt yêu cầu giảng dạy lớp, đồng thời hướng dẫn cho học sinh cách làm tập nhà để rèn luyện kỹ chứng minh điểm thẳng hàng 3.Về tư thái độ: biết quy lạ quen, tích cực làm kiểm tra Nội dung Phần A Trắc nghiệm khách quan.(3,5 điểm) Câu 1: Cho đoạn thẳng AB với trung điểm I Xác định tính đúng-sai 3.4.3 Đánh giá khả tiếp thu kiến thức học sinh đẳng thức sau: Việc sử dụng lợp lý phương pháp, lôi ý, tìm tịi học sinh, dạy trở nên sinh động hấp dẫn HS hứng thú nhanh tập mẫu số tập khác PPVT lời giải lại ngắn gọn sáng sủa so với phương pháp tổng hợp Với kiến thức kỹ hình thành vậy, học sinh hồn tồn làm tập HH tổng (d) AB  2IB ; Câu 2: Cho tam giác vng cân OAB có OA=OB=a Độ dài véctơ 2OA  OB bao nhiêu? Hãy chọn kết đúng: (a) a; (b) a+a ; Điều khích lệ học sinh phấn khởi, tự tin, chủ động tích cực học tập Sau đợt thử nghiệm, học sinh thấy u thích mơn tốn hơn, có hứng thú giải toán HH PPVT http://www.lrc-tnu.edu.vn (c)a ; (d)2a ; Câu3: Cho tam giác ABC Gọi A’ trung điểm cạnh BC G trọng tâm tam giác ABC Hãy điền vào hợp giải PPVT Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (b) 2IA  IB ; (c) BI  AB ; chóng làm quen với việc giải tốn HH phẳng PPVT Dưới hướng dẫn giáo viên, nhiều học sinh giải tập dạng với (a) IA  BA ; chữ Đ đẳng thức đúng, chữ S đẳng thức sai (a) GA  2GA' (b) AA'  GA (c) GB  GC  2GA' (d) (GB  GC )   A' A Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 113 114 Câu 4: Gọi M, N trung điểm đường chéo AC, BD tứ giác ABCD Xác định tính - sai mệnh đề sau: Kết kiểm tra: Lớp 10C3 10C4 (a) MB  MD  AB  CD ; (b) MB  MD  AD  CB ; Sĩ số 44 48 Điểm