Chủ đề 5: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH –HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Các bước giải toán cách lập hệ phương trình: Bước : Lập hệ phương trình(phương trình) 1) Chọn ẩn tìm điều kiện ẩn (thông thường ẩn đại lượng mà toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết 3) Lập hệ phương trình, (phương trình)biểu thị mối quan hệ lượng Bước : Giải hệ phương trình, (phương trình) Bước : Kết luận toán Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, đường sông có tính đến dòng nước chảy) Bài 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc đầu Bài 2: Một người xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trước Sau quãng đường AB người tăng vận tốc thêm 10 km/h quãng đường lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đường, biết người đến B sớm dự định 24 phút Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngược từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngược Bài 4: Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngược 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngược dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngược dòng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngược dòng Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng (toán vòi nước) Bài tập 1: Hai vòi nước chảy đầy bẻ nước 3h 45ph Nếu chảy riêng rẽ , vòi phải chảy đầy bể ? biết vòi chảy sau lâu vòi trước h Giải Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy đầy bể x ( x > , x tính ) Gọi thời gian vòiớau chảy chảy đầy bể y ( y > , y tính ) 1 vòi đầu chảy x ( bể ) vòi sau chảy y ( bể ) 1 hai vòi chảy x + y ( bể ) (1) 15 Hai vòi chảy đầy bể 3h 45ph = h 15 Vậy hai vòi chảy 1: = 15 ( bể ) ( 2) 1 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình x + y = 15 Mất khác ta biết chảy vòi sau chảy lâu vòi trước tức y – x = Vậy ta có hệ phương trình 1 y x + = 15 y–x=4 x (a) x 1 y 10 4 x 14 x 60 2 x x 30 x x x 2,5 x 2,5 y x y x y x y x (b) y 1,5 Hệ (a) thoả mãn đk ẩn Hệ (b) bị loại x < Vậy Vòi đầu chảy đầy bể h Vòi sau chảy đầy bể 10 h Bài tập 2: Hai người thợ làm công việc Nếu làm riêng rẽ , người nửa việc tổng số làm việc 12h 30ph Nếu hai người làm hai người làm việc Như , làm việc riêng rẽ công việc người thời gian ? Giải Gọi thời gian người thứ làm riêng rẽ để xong nửa công việc x ( x > ) Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc y ( y > ) Ta có pt : x + y = 12 (1) thời gian người thứ làm riêng rẽ để xong công việc 2x => người thứ làm x công việc Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc 2y => người thứ hai làm y công việc 1 1 y hai người làm công việc nên ta có pt : x + = Từ (1) (2) ta có hệ pt : (2) 15 x x y 12 x 1 15 1 y y x y Vậy làm việc riêng rẽ công việc người làm 10 người làm Bài tập 3: Hai tổ niên tình nguyện sửa đường vào xong Nếu làm riêng tổ làm nhanh tổ Hỏi đội làm xong việc ? Giải Gọi thời gian tổ 1sửa xong đường x( ) ( x ≥ ) Thời gian tổ sửa xong đường x + ( ) Trong tổ sửa x ( đường ) Trong tổ sửa x (con đường ) Trong hai tổ sửa (con đường ) Vậy ta có pt: x + 1 x = 4( x 6) x x ( x 6) x x 24 x1= 6; x2 = -4 X2 = - < , không thoả mãn điều kiện ẩn Vậy tổ sửa xong đường hết ngày tổ sửa xong đường hết 12 ngày Bài tập 4: Hai đội công nhân làm đoạn đường Đội làm xong nửa đoạn đường đội đến làm tiếp nửa lại với thời gian dài thời gian đội đã làm 30 ngày Nếu hai đội làm 72 ngày xong đoạn đường Hỏi đội làm ngày đoạn đường ? Giải Gọi thời gian đội làm x ngày ( x > ) thời gian đội làm việc x + 30 ( ngày ) Mỗi ngày đội làm x ( đoạn đường ) Mỗi ngày đội làm 2( x 30) ( đoạn đường ) Mỗi ngày hai đội làm 72 ( đoạn đường ) 1 Vậy ta có pt : x + 2( x 30) = 72 Hay x2 -42x – 1080 = / = 212 + 1080 = 1521 => / = 39 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < không thoả mãn đk ẩn Vậy đội làm 60 ngày , đội làm 90 ngày Bài 5: Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch thời gian Đội phải trồng 40 , đội phải trồng 90 Đội hoàn thành công việc sớm ngày so với kế hoạch Đội hoàn thành muộn ngày so với kế hoạch Nếu đội làm công việc thời gian thời gian đội làm đội làm trông thời gian đội làm diện tích trồng hai đội Tính thời gian đội phải làm theo kế hoạch ? Giải Gọi thời gian đội phải làm theo kế hoạch x ( ngày ) , x > Thời gian đội làm x – ( ngày ) Thời gian đội làm x + ( ngày ) 40 Mỗi ngày đội trồng x (ha) 90 Mỗi ngày đội trồng x (ha) 40 Nếu đội làm x + ngày trồng x (x + 2) (ha) 90 Nếu đội làm x - ngày trồng x (x - 2) (ha) Theo đầu diện tích rừng trồng dược hai đội trường nên ta có pt: 40 90 x (x + 2) = x (x - 2) Hay 5x2 – 52x + 20 = / = 262 – 5.20 = 576 , / = 24 26 24 26 24 x1 = = 10 ; x2 = x2 < , không thoả mãn đk ẩn Vậy theo kế hoạch đội phải làm việc 10 ngày Bài 6:(197/24 – 500 BT chọn lọc ) Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm họ làm 25% công việc Hỏi người làm công việc xong Giải: Gọi x , y số người thứ người thứ hai làm xong công việc ( x > , y > ) Ta có hệ pt 1 x 3 x 1 y 16 x 24 y 28 y Bài : ( 198/24 – 500 BT chọn lọc ) Hai vòi nước chảy vào bể không chứa nước sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy , vòi thứ chảy bể Hỏi vòi chảy đầy bể ? Giải : Gọi x , y số vòi thứ , vòi thứ hai chảy đày bể ( x>0,y>0) Ta có hệ pt 1 x 2 x 1 3 x y y x 10 y 15 2 x y y x = 10 , y = 15 thoả mãn đk ẩn Vậy vòi thứ chảy 10 , vòi thứ hai chảy 15 Bài tập ( 199/24 - 500 BT chọn lọc ) Hai người dự định làm công việc 12 xong Họ làm với người thứ nghỉ , người thứ hai tiếp tục làm Do cố gắng tăng suất gấp đôi , nên người thứ hai làm xong công việc lại 3giờ 20phút Hỏi người thợ làm với suất dự định ban đầu xong công việc nói ? ( Đề thi chuyên toán vòng tỉnh Khánh hoà năm 2000 – 2001 ) Giải: Gọi x , y thời gian người thợ thứ người thợ thứ hai làm xong công việc với suất dự định ban đầu Một người thứ làm x (công việc )