HÌNH HỌC I Bất đẳng thức cực trị Trong chương trình trung học sở bất đẳng thức gặp xoay quanh yếu tố tam giác ba cạnh a, b, c , chu vi p , bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp r , R … yếu tố độ dài đường tròn Để nắm bắt rõ điều này, bổ sung số hệ thức lượng tam giác mà số hệ thức mà bạn chưa gặp chương trình học cấp 2, nhiên hệ thức cấp i) Hệ thức diện tích tam giác 1 abc S = aha = pr = bc sin A = = ( p − a ) = p ( p − a )( p − b )( p − c ) 2 4R ii) Hệ thức hàm số sin, cos, trung tuyến, phân giác trong, phân giác ngoài, đường cao b + c − 2bc cos A = a a = R sin A 2b + 2c − a (1) A 2bc cos la = ( 2) b+c 1 1 + + = hb hc r ma2 = b c l a ma a Trong hệ thức trên, hầu hết quen thuộc với bạn nên chứng minh hệ thức (1) (2) Chứng minh sau Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác ABC tam A giác ABM với góc B ta có 2 a + c − 2ac cos B = b a2 2c + − 2ac cos B = 2ma Trừ hai vế đẳng thức với ta có C 2b + 2c − a B DM ma2 = Đối với hệ thức (2) áp dụng công thức diện tích cho hai tam giác ABD, ACD ta A S ABD = cla sin A S bla sin ACD = 2 1 A Mặt khác S = bc sin A = S ABD + S ACD = la sin ( b + c ) ⇒ la = 2 2bc cos b+c A iii) Một số hệ thức đặc biệt khác Với O điểm mặt phẳng ( OA2 + OB + OC ) = 9OG + a + b + c với G trọng tâm tam giác Chứng minh Áp dụng hệ thức trung tuyến cho tam giác OAD, OGD, OBC , GBC ta O A 2OA2 + 2OD = 4OG + AD 4OM + GD = 2OG + 2OD 2OB + 2OC = 4OM + BC 4GM + BC = 2GB + 2GC G Cộng bốn đẳng thức lại vế theo vế ta có OA2 + OB + OC = 3OG + GA2 + GB + GC (*) B C M Mà từ công thức đường trung tuyến ta dễ dàng suy a + b2 + c2 D GA2 + GB + GC = 2 2 Thế vào (*) ta có ( OA + OB + OC ) = 9OG + a + b + c Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp ta có hệ thức sau R = 9OG + a + b + c ⇒ R ≥ a + b + c (**) Trước hết, có toán điều kiện tương đương để ba số dương ba cạnh tam giác Điều kiện sau: a = y + z a, b, c > ba cạnh tam giác ⇔ ∃ x, y, z > : b = x + z c = x + y Chứng minh Điều kiện cần: x x Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC , đó, x, y, z đoạn biểu diễn hình z Điều kiện đủ: y a + b > c a = y + z z y Với b = x + z ta dễ dàng chứng minh b + c > a ⇒ a, b, c ba c + a > b c = x + y cạnh tam giác Rõ ràng điều kiện đơn giản lại hữu dụng, bạn nhìn bất đẳng thức hình học nhìn đại số không bị ràng buộc yếu tố cạnh tam giác Ta xét vài ví dụ • Các bất đẳng thức chứa yếu tố cạnh tam giác Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh [1] a + b + c < ( ab + bc + ca ) [2] ( a + b + c ) < ( a + b + c ) [3] ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) > 3abc [4] 1 1 1 + + ≥ 2 + + p −a p −b p−c a b c a2 b2 c2 + + ≥ 2(a + b + c) p −a p −b p−c a b c [6] + + ≥ p −a p −b p−c ab bc ca [7] + + ≥ 2(a + b + c) a +b−c b+c −a c+ a−b [8] ( a + b − c )( a − b + c )( −a + b + c ) ≤ abc [5] [9] a b c 3abc + + + b > c điểm O nằm tam giác P, Q, R giao điểm đường thẳng AO, BO, CO với ba cạnh tam giác Ta có OP + OQ + OR < a [6] Nếu M điểm nằm đường phân giác góc C tam giác ABC ( M ≡ C ) MA + MB > CA + CB [7] Nếu tam giác nhọn đặt vào đường tròn bán kính đường tròn không nhỏ bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác [8] Nếu đỉnh tứ giác lồi nằm cạnh khác hình vuông cạnh chu vi không nhỏ 2 • Cực trị hình học [1] Trong tất tam giác có cạnh a đường cao cho trước, tìm tam giác có góc A nhỏ [2] Trong tất tam giác có cạnh AB, AC có độ dài cho trước, tìm tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ [3] Tìm bên ABC điểm O cho tổng bình phương khoảng cách từ điểm đến cạnh tam giác nhỏ [4] Cho góc XAY điểm O nằm góc Hãy kẻ qua đường thẳng cắt từ góc tam giác có diện tích lớn [5] Bên góc nhọn BAC cho điểm M Tìm cạnh AB, AC điểm X , Y cho chu vi tam giác XYM nhỏ [6] Từ điểm M tam giác ABC cho trước hạ đường vuông góc MA1 , MB1 , MC1 xuống đường thẳng BC , CA, AB Với vị trí M a b c ABC đại lượng + + có giá trị nhỏ MA1 MB1 MC1 [7] Cho tam giác ABC cạnh 10 M điểm thỏa mãn MB + MC = Tìm max MA II Các toán “kinh điển” tập Bài toán bướm Qua trung điểm M dây PQ đường tròn , vẽ hai dây cung AB CD Dây AB CD cắt PQ X Y Khi M trung điểm XY Chứng minh A A C U P X D M O C x1 Y V Q P X D B x M x2 y y2 y1 Y O B Q Cách Từ O , vẽ OU , OV vuông góc AD BC Ta có OXUM , OMYV nội tiếp Ta cần có MX = MY ⇔ MOX = MOY Do OXUM , OMYV nội tiếp nên MOX = AUM , MOY = MVC Vậy ta cần chứng minh AUM = CVM Ta có ADM ~ CBM ⇒ AUM ~ CVM ⇒ AUM = CVM ⇒ đpcm Cách Hạ đoạn vuông góc từ X , Y xuống đoạn hình Ta cần chứng minh x = y Đặt MP = MQ = a Từ cặp tam giác đồng dạng Mx1 My1 , Mx2 x x x x2 x1 AX x2 XD My2 , Ax1 Cy2 , Dx2 By1 ta có = , = , = , = y y1 y y2 y2 CY y1 YB x2 x x AX XD PX XQ ( a − x )( a + x ) a − x ⇒ = = = = = = ⇒ x = y (đpcm) y y1 y2 CY YB PY YQ ( a + y )( a − y ) a − y Mở rộng A - M không trung điểm XY mà S M trung điểm RS với P X R, S giao điểm O AC , BD với PQ D Chứng minh F Ta vẽ hai đường vuông góc xuống hai cạnh AC , BD giải hoàn toàn tương tự cách - Với M giao điểm AB CD X ∈ CD, Y ∈ AB E C Y R B A C hai điểm thỏa OX = OY XY ∩ AD, BC = { P, Q} Khi M XY , PQ có trung điểm Khi cho AC , BD ∩ PQ = { R, S} , ta có trung điểm XY trung điểm RS Lưu ý Khi cho X ≡ Y ≡ M ta có toán bướm ban đầu Chứng minh Cách chứng minh giống cách nhiên phức tạp, xin dành cho bạn đọc suy nghĩ Q P X D O Y Q B Điểm Torricelli Cho tam giác ABC có góc không lớn 1200 Tìm điểm M tam giác cho S = MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Lời giải D Dựng hai tam D A AME , ACD hình Khi ta có AMC ~ AED E ⇒ MA + MB + MC M = MB + ME + ED B C ⇒ MA + MB + MC ≥ BD A E M B Đẳng thức xảy ⇔ AMB = BMC = CMA = 1200 Điểm M thoả hệ thức gọi điểm Torricelli Lưu ý Khi tam giác ABC có góc chẳng hạn A > 1200 , ta có S đạt giá trị nhỏ M ≡ A Thật A > 1200 nên A nằm BMED ⇒ MA + MB + MC = BM + ME + ED > BA + AD = BA + AC Đẳng thức xảy ⇔ M ≡ A C