Tiểu luận phương pháp tính

Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG I: GIẢI THEO PHƯƠNG PHÁP THÔNG THƯỜNG I GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GẦN ĐÚNG Bài 1: Phương pháp chia đôi Bài 2: Phương pháp lặp Bài 3: Phương pháp Newton II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Phương pháp Gauss Bài 2: Phương pháp Gauss - Seidel III NỘI SUY VÀ HÀM XẤP XỈ Bài 1: Phương pháp nội suy Lagrange Bài 2: Phương pháp nội suy Newton IV TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 1: Tìm đạo hàm gần phương pháp nội suy Newton Bài 2: Phương pháp hình thang Simson V GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: Giải phương trình vi phân cách khai triển chuổi Taylor Bài 2: Giải phương trình vi phân phương pháp Euler 10 CHƯƠNG II: KIỂM TRA LẠI BẰNG MATHEMATICA 11 KẾT LUẬN 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng LỜI MỞ ĐẦU Các toán ứng dụng vật lý thường không “đẹp” giải theo phương pháp tính Đồng thời với kết thực nghiệm đo đạc cần xử lý từ số liệu ta cần biểu diễn qua hàm toán học nào? từ rút qui luật chung Để giải vấn đề môn phương pháp tính cung cấp cho ta kiến thức công cụ giải toán thực tế Trên sở nhằm chuẩn bị kiến thức bước đầu cho trình nghiên cứu xử lý số liệu trình nghiên cứu vật lý chọn đề tài luận “ Giải số toán giải tích theo phương pháp gần đúng” Trong tiểu luận không đề cập đến lý thuyết phương pháp mà đề cập đến việc giải số toán mà ta thường gặp Đề tài thực theo ý kiến chủ quan cá nhân nên không tránh khỏi sai lầm thiếu sót trình thực nên mong thầy bạn học viên đóng góp ý kiến để đề tài ngày hoàn thiện Qua xin chân thành cảm ơn hướng dẫn Tiến sĩ Võ Thanh Tùng đóng góp ý kiến học viên chuyên ngành vật lý trường đại học khoa học Huế để tiểu luận ngày hoàn thiện Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng NỘI DUNG CHƯƠNG I: GIẢI THEO PHƯƠNG PHÁP THÔNG THƯỜNG I GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GẦN ĐÚNG Bài 1: Phương pháp chia đôi Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần phương trình: f(x) = x4 + 2x3 – x – biết khoảng cách ly nghiệm là: x ϵ [0,1] với sai số không 10-3 Giải: Ta có: f(0)= -1 ; f(1) =1  f(0).f(1) =(-1).1 = -1 < Nên phương trình cho có nghiệm x ∈ [0;1] Áp dụng phương pháp chia đôi Bảng kết quả: an  bn f(xn) Sai số 1.0 1.0000 0.50000 1.000 0.75 -0.5898 0.25000 1.0 1.000 0.875 0.0510 -0.59 0.875 0.051 0.8125 -0.3039 0.06250 0.8125 -0.30 0.875 0.051 0.8438 -0.1356 0.03125 0.8438 -0.14 0.875 0.051 0.8594 -0.0446 0.01563 0.8594 -0.04 0.875 0.051 0.8672 0.0026 0.8594 -0.04 0.8672 0.003 0.8633 -0.0211 0.00391 0.8633 -0.02 0.8672 0.003 0.8653 -0.0093 0.00195 0.8653 -0.01 0.8672 0.003 0.8663 -0.0033 0.00098 n an f(an) bn f(bn) 0.5 -1.19 1.5 9.313 0.5 -1.19 1.0 0.75 -0.59 0.75 xn = 0.12500 0.00781 Áp dụng công thức tính sai số tính sai số n =  b  a  = 0.00098< 0,001 Δxn = 2n1 Vậy nghiệm gần toán là: x = 0.866 Bài 2: Phương pháp lặp Giải phương trình x5- 40x + = 0; x ∈ [0,1], phương pháp lặp với sai số không 10-7 Giải: Ta có: f(0) = 3; f(1) = -36  f(0).f(1) =3.(-36)= -108 < Nên phương trình có nghiệm thuộc [0,1] Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng Ta đưa phương trình cho dạng: x = x5  40 x5  40 Ta thấy g(x) thoả mãn: ≤ g(x) ≤ 1 x4 / ≤ g (x) = ≤ g/(1) = = q < với x ∈ [0,1] 8  x0  0.5  Xây dựng phép lặp với:  xn41  x   n 40 Đặt: g(x) = Lập bảng: Sai số N xn 0.5 0.07656250 6.10-2 0.07500086 2,23.10-4 0.07500079 0,097.10-7 q | x3  x2 | = 0,097.10-7 1 q Vậy nghiệm toán x = 0.07500079 Bài 3: Phương pháp Newton Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần phương trình: f(x) = x - 2x – = biết khoảng cách ly nghiệm là: [1; 1,7], với sai số không 10-3 Giải: Ta có: f(1)= - < 0; f(1,7)= 0,9521 >0 f(x) liên tục [1 ;1,7] f /(x) = 4x3 – ≥ f //(x) = 12x2 > với ∀ x ∈ [1;1,7]; nên chọn x0 = 1,7 phương pháp lặp Newton hội tụ Xây dựng phép lặp Newton:  x0  1,7  xn41  xn1   x  x  n 1  n xn31   Ta có Sai số: 3  x 1,7 f / (x) Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng  m  | f '( x) | 1 X 1,7 | f ( xn ) | | xn4  xn  |  m Lập bảng ta có : | xn  x | Sai số N xn 1.7 1.646062769 0,0164624 1.642944913 5,2612.10-5 Do mức độ sai số không 10-3 nên nghiệm toán là: x = 1,643 II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Phương pháp Gauss  x1  x2  x3   Giải hệ phương trình 2 x1  x2  x3  phương pháp Gauss  x  4x   2  Giải  1 1     A =   b =    1 4   2     Ta có detA ≠ Thực phép biến đổi Gauss để chuyển ma trận tam giác :  1  1   h  2h     1  [A|b] =     1 4 2   1 4 2      1 1 1 1      h 2  h    1    1   2 3   0 11      x1  x2  x3   x1  40     x2  x3    x2  15  x  11  x3  11   Vậy nghiệm toán là: x1 = - 40; x2 = 15; x3 = 11 h1 1 h3 Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng Bài 2: Phương pháp Gauss - Seidel 1,5 x1  0,2 x2  0,1x3  0,4  Giải hệ phương trình 0,1x1  1,5 x2  0,1x3  0,8 phương pháp 0,3x  0,2 x  0,5 x  0,2  Gauss – Seidel Giải 15 x1  x2  x3   Phương trình viết lại sau:  x1  15 x2  x3  9 x  x  15 x  6   15 2    Ta có: A =  1 15 1  6 15    Áp dụng phương pháp Gauss – Seidel ta suy  (m) 2 x2( m1)  x3( m1)  x1  15 (   (m) x1( m )  x3( m1)  x2  ( 15   (m) (m) 6 x2( m )  x3  15 ( 9 x1  ||C||∞ = max(0 + 4) 8) 6) 1 + , + + , 15 + 15 + 0) = 15 15 15 15 Chọn vecto x0 = (0, 0, 0) tìm nghiệm gần đến x(6) Ta có bảng sau: n x1 n  x3 n  x3 n  0.266666667 0.362785185 0.364898818 0.364542125 0.364504536 0.364503666 0.551111111 0.534881975 0.530745366 0.530526732 0.530532664 0.530534267 -0.339555556 -0.403718321 -0.406641144 -0.406514582 -0.406489656 -0.406488492 Vậy nghiệm x1 = 0.364503666, x2 = 0.530534267, x3 = -0.406488492 III NỘI SUY VÀ HÀM XẤP XỈ Bài 1: Phương pháp nội suy Lagrange Cho hàm số f(x) thoả mãn: Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng xi f(xi) -1 Tìm hàm nội suy Lagrange f(x); tính f(3,5) Giải: Áp dụng phương pháp nội suy Lagrange ta có bảng sau ym Dm ym xm Dm x-1 -1 -2 -3 -4 24(x-1) 2 x-2 -1 -2 -3 -6(x-2) x-3 -1 -2 4(x-3) -1 x-4 -1 -6(x-4) x-5 24(x-5) 24  x  1 1 3 x    x  3  x  4 ωm(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) Hàm nội suy Lagrange f(x) cho bởi: n y Ln  x     x   m m  Dm = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)[ 1 + + + ]  x  1  x    x  3  x   521x 1963x 81x3 41x    = 70 24 24 24  f(3,5) = (3,5 – 1)(3,5 – 2)(3,5 – 3)(3,5 – 4)(3,5 – 5)[  1   3,5  1  3,5    ] ≈ 4.21094  3,5  3  3,5   Bài 2: Phương pháp nội suy Newton Cho hàm f(x) bảng xác định số giá trị hàm f(x): x f(x) 1,01 1,09 1,14 1,21 1,28 1,17520 1,30254 1,38631 1,50946 1,21730 Tính gần f(1,134) Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng Giải Áp dụng phương pháp nội suy Newton ta có bảng sai phân: xn f(xn) 1.01 1.1752 f(xn,xn+1) f(xn,xn+1,xn+2) f(xn,xn+1,xn+2,xn+3) f(xn,xn+1,xn+2,xn+3,xn+4) 1.5918 1.09 1.30254 0.6435 1.6754 1.14 1.38631 0.2779 0.6990 -838.6903 1.7593 1.21 1.50946 -226.7243 -42.3786 -4.1737 1.28 1.2173 Theo công thức Newton tiến ta có: f(x) = -1276,04 + 4609,04x -6231,13x2 + 3739,58x3 - 840,31x4 f(1.134) = -1276,04 + 4609,04×1.134 -6231,13×1.1342 + 3739,58×1.1343 840,31×1.1344 Vậy f(1.134) = 1.37398 IV TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 1: Tìm đạo hàm gần phương pháp nội suy Newton Tính giá trị đạo hàm cấp cấp x = 1.1, giá trị hàm cho bảng sau: xi 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 yi = f(xi) 1.266 1.326 1.393 1.469 1.553 1.647 Giải Ta sử dụng phương pháp nội suy Newton tìm hàm y = f(x) Ta có bảng sai phân sau: n Xn f(Xn) 1.266 Δn 𝛥2𝑛 𝛥3𝑛 𝛥4𝑛 𝛥5𝑛 0.06 1.1 0.007 1.326 0.067 1.2 0.002 0.009 1.393 0.076 1.3 -0.001 0.008 1.469 0.084 1.4 -0.003 0.006 0.003 0.002 0.01 1.553 0.094 1.5 1.647 Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng Áp dụng công thức : (1) ( x )  y0  n y0 2 y0  n y0 ( x  x0 )  ( x  x )(x  x )   ( x  x0 ) (x x n1 ) (1) 1!h 2!h2 n!h n h = x2 - x1 = 0,1 Thay giá trị vào (1) ta có: 125 𝑥 f(x) = 𝑥 − + f / (x) = 25 𝑥 − 125 8371 𝑥 − 68449 𝑥 + 108 720 8371 𝑥 68449 𝑥 𝑥3 + − 36 360 3142423 𝑥 − 14758 54000 3142423 + 1125 54000  f (1.1) = 0.6294074074074 / f // (x) = 100 𝑥 − 375 𝑥 + 8371 𝑥 18 − 68449 360  f (1.1) = 0.775 Bài 2: Phương pháp hình thang Simson // 𝟏 𝟏 Cho tích phân: I = ∫𝟎 𝟐 𝒅𝒙 Hãy chia đoạn [0,1] thành n = 10 đoạn 𝒙 +𝟏 tính gần tích phân theo công thức hình thang công thức Simson Giải: Hàm f(x) = 𝑥 +1 ∀ x ∈ [0,1] Chia đoạn [0,1] thành 10 đoạn nên h = 1−0 10 = 0.1 Ta lập bảng: x f(x) 0.1 0.990099 0.2 0.961538 0.3 0.917431 x f(x) 0.7 0.671141 0.8 0.609756 0.9 0.552486 1.0 0.5 0.4 0.862069 0.5 0.8 0.6 0.735294 + Áp dụng công thức bậc thang có: ℎ I = (y0 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + y8 + y9) + y10) I ≈ 0.784981 với sai số: Δ = 0.0004 + Áp dụng công thức Simson có: ℎ I = (y0 + y10 + 2( y2 + y4 + y6 + y8 ) + 4(y1+ y3 + y5 + y7 + y9)) I ≈ 0.785398 với sai số Δ = 0.0005625 V GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: Giải phương trình vi phân cách khai triển chuổi Taylor Cho phương trình vi phân:y’ = x + y với y(0) = Sử dụng khai triển chuổi Talor tìm nghiệm toán tính gần nghiệm x = ± 0.1 x = ± 0.2 Giải a) Tìm nghiệm toán theo khai triển Taylor Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 Học Phần Phương Pháp Tính y = f(x) = f(x0) + 𝑓′ (𝑥0 ) 1! (𝑥 − 𝑥0 ) + GV: TS Võ Thanh Tùng 𝑓′′ (𝑥0 ) 2! (𝑥 − 𝑥0 )2 + ⋯ Theo giả thiết toán: x0 = 0, y0 = f(x0) =  𝑦 (1) (0) = 𝑓 ′ (0) = 𝑦 (2) = 𝑓 ′′ (𝑥) = + 𝑦 (1)  𝑦 (2) (0) = 𝑓 ′′ (0) = 𝑦 (3) = 𝑓 ′′′ (𝑥) = 𝑦 (2)  𝑦 (3) (0) = 𝑓 ′′′ (0) = 𝑦 (4) = 𝑦 (3) = ……… y(n) = y(n-1) = y=1+ 𝑥 1! + 𝑥2 2! 𝑥 𝑥2 3! 1! 2! -2 x3 +… = – x + 2×( + - x3 +… +1 - ) 3! y = 2e – x – x y(-0.1) = 2𝑒 −0.1 + 0.1 − = 0.909675 y(-0.2) = 2𝑒 −0.2 + 0.2 − = 0.837462 y(0.1) = 2𝑒 0.1 − 0.1 − = 1.11034 y(0.2) = 2𝑒 0.2 − 0.2 − = 1.24281 Bài 2: Giải phương trình vi phân phương pháp Euler Cho phương trình vi phân: 𝒚′ = 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 với y(0) = Sử dụng phương pháp Euler tìm nghiệm gần phương trình khoảng [-0.2, 0] bước nhảy h = - 0.05 x = - 0.15 Giải Áp dụng công thức Euler cải tiến ta có: y0 = yn+1 = yn + 𝑘1 +𝑘2 ; k1 = h×f(xn, yn) = - 0.05×f(xn, yn); k2 = h×f(xn + h, yn +k1) =- 0.05×f(xn - 0.05, yn - 0.05×f(xn, yn);) Ta lập bảng tìm giá trị nghiệm gần ứng với bước nhảy h = - 0.05: n xn k1 k2 y(xn) 0 0.002375 -0.05 0.002375 0.004499 0.001187 -0.1 0.004499 0.006371 0.004625 -0.15 0.00637 0.007986 0.010059 -0.2 0.007985 0.009343 0.017238 Từ bảng ta thấy x = - 0.15 y có giá trị 0,010059 Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 10 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng CHƯƠNG II: KIỂM TRA LẠI BẰNG MATHEMATICA Để kiểm tra kết tính toán viết chương trình ngôn ngữ lập trình Mathematica Những chương trình chứa thư mục "Mathematica" Trong thư mục gồm thư mục chứa chương trình theo thứ tự bố cục phần giải theo lý thuyết nêu Một số lưu ý sử dụng chương trình: - Chương trình viết theo Font chữ VNI Window nên chạy chương trình để thuận tiện việc quan sát kết chương trình nên thực sau: + Bôi đen tất cả: Ctrl + A + Chọn: Format/font xuất hộp thoại "Font" chọn font VNI - Times hình - Để kết xác sau lần nên làm sau: chọn Valuation/Quit Kernel/Local xuất hộp thoại Quit Kernel chọn quit để xóa liệu lưu nhớ khỏi ảnh hưởng lần tính sau Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 11 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng - Kết tính toán nằm cuối chương trình sau đường nét đứt - Khi làm việc với chương trình nên thay đổi phần bôi đỏ không nên thay đổi câu lệnh không bôi đỏ dẫn đến kết không xác chương trình không chạy Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 12 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng KẾT LUẬN Trong trình giải toán phương pháp gần thấy phương pháp có ưu nhược điểm riêng Song song với cách giải thông thường tiến hành viết số chương trình Mathematica để kiểm tra tính đắn Đối với phần kiểm tra kết Mathematica viết số chương trình sau: - Giải gần phương trình: phương pháp chia đôi, phương pháp newton - Giải hệ phương trình: giải xác giải gần pháp lặp đơn - Bài toán nội suy: Nội suy hàm theo phương pháp Lagrange Newton - Tính gần tính phân: Phương pháp bậc thang (Truce) phương pháp Simson - Giải phương trình vi phân: Phương pháp Euler cải cải tiến phương pháp Runge - Kutta Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 13 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M.P Cherkasova, Collected Problems in Numerical Method, Translated and edited from the Russian by Dr G.L.THOMAS University of London King's College and Dr R S.ANDERSSEN Computer Center, The Australian National University Canberra, Australia [2] TS Võ Thanh Tùng, Bộ giảng phương pháp, Đại học Khoa học Huế [3] Tạ Văn Dĩnh, Phương pháp tính, Nhà xuất giáo dục, 1999 [4] Trương Vĩnh An - Phạm Văn Hiển - Lê Xuân Trường, Giáo trình phương pháp tính, Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp Hồ Chí Minh [5] Đỗ Thị Tuyết Hoa, Bài giảng môn phương pháp tính, Trường Đại Học Bách Khoa Đà Nẵng [6] Các thông tin phương pháp số mathematica mạng internet Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 14 [...]... phương pháp chia đôi, phương pháp newton - Giải hệ phương trình: giải chính xác và giải gần đúng bằng pháp lặp đơn - Bài toán nội suy: Nội suy hàm theo phương pháp Lagrange và Newton - Tính gần đúng tính phân: Phương pháp bậc thang (Truce) và phương pháp Simson - Giải phương trình vi phân: Phương pháp Euler cải cải tiến và phương pháp Runge - Kutta Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 13 Học Phần Phương. .. Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng KẾT LUẬN Trong quá trình giải các bài toán bằng phương pháp gần đúng tôi thấy mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm riêng Song song với cách giải thông thường tôi tiến hành viết một số chương trình bằng Mathematica để kiểm tra tính đúng đắn của bài Đối với phần kiểm tra kết quả bằng Mathematica tôi viết một số chương trình như sau: - Giải gần đúng phương trình: phương. .. Phương pháp tính, Nhà xuất bản giáo dục, 1999 [4] Trương Vĩnh An - Phạm Văn Hiển - Lê Xuân Trường, Giáo trình phương pháp tính, Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp Hồ Chí Minh [5] Đỗ Thị Tuyết Hoa, Bài giảng môn phương pháp tính, Trường Đại Học Bách Khoa Đà Nẵng [6] Các thông tin về phương pháp số và mathematica trên mạng internet Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 14 ... Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M.P Cherkasova, Collected Problems in Numerical Method, Translated and edited from the Russian by Dr G.L.THOMAS University of London King's College and Dr R S.ANDERSSEN Computer Center, The Australian National University Canberra, Australia [2] TS Võ Thanh Tùng, Bộ bài giảng phương pháp, Đại học Khoa học Huế [3] Tạ Văn Dĩnh, Phương pháp tính, ... tính sau Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 11 Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng - Kết quả tính toán nằm ở cuối chương trình sau đường nét đứt - Khi làm việc với chương trình chỉ nên thay đổi phần được bôi đỏ không nên thay đổi các câu lệnh không được bôi đỏ sẽ dẫn đến kết quả không chính xác hoặc chương trình không chạy được Học viên: Kiều Quang Vũ Khóa 2014 - 2016 12 Học Phần Phương. ..Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng CHƯƠNG II: KIỂM TRA LẠI BẰNG MATHEMATICA Để kiểm tra kết quả tính toán ở trên tôi viết các chương trình bằng ngôn ngữ lập trình Mathematica Những chương trình này được chứa trong thư mục "Mathematica" Trong thư mục