Tiểu luận phương pháp toán lý cao học

Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: HÀM BIẾN PHỨC Bài tập 1: (Bài 14/trang 89 GT Hàm biến phức – Tạ Lê Lợi – Đại học Đà Lạt) Bài tập 2: (Bài 17/trang 89 GT Hàm biến phức – Tạ Lê Lợi – Đại học Đà Lạt) CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài tập 1: (Bài tập 130/trang 59 Chương 2-2 tài liệu Nguyễn Thanh Vũ) Bài tập 2: (Bài tập 212/trang 75 – Chương tài liệu Nguyễn Thanh Vũ) CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG 10 Bài tập 1:(Bài tập V.1 trang 31 Phương trình hyperbolic, tài liệu phương trình vi phân đạo hàm riêng ) 10 Bài tập 2:(Bài tập V.1 trang 31 Phương trình Eliptic- tài liệu phương trình vi phân đạo hàm riêng) 12 Bài tập 3:(Bài tập III.1/ trang 56- chương Phương trình Parabolic- Tài liệu phương trình vi phân đạo hàm riêng) 15 CHƯƠNG V PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE – PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 16 Bài tập 1: (Bài tập 1f trang 99 – Giáo trình toán chuyên đề - Bùi Tuấn Khang) 16 Bài tập 2: (Bài tập 187.f – Trang 63 “Toán A4 - Chương – GV Nguyễn Thanh Vũ – 2008) 18 CHƯƠNG VI: NHÂN XUNG ĐỐI VÀ NHÂN SUY BIẾN 19 Bài tập 1: Giải phương trình sau phương pháp lặp: 19 Bài tập 2: Giải phương trình sau phương pháp đại số: 20 KẾT LUẬN 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 PHỤC LỤC CHƯƠNG TRÌNH MATHEMATICA 25 Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng LỜI MỞ ĐẦU Ngày này, Giải tích toán học có biến đổi mạnh mẽ Trong đó, lĩnh vực số phức, phương trình vi phân không ngừng phát triển có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặt biệt vật lý Nó công cụ giúp nhà vật lý giải toán vật lý Đồng thời với pháp triển vượt bậc công nghệ thông tin, đời nhiều phần mềm toán học ứng dụng Mathematica, MathLab, … giúp kiểm tra xác nghiệm toán, mô tả tượng vật lý, dựng đồ thị,…Trên sở chọn đề tài “Giải số toán giải tích theo phương pháp thông thường phần mềm Mathematica.” để kết thúc học phần môn phương pháp toán lý Trong tiểu luận xin trình bày cách giải toán ứng dụng kết cuối phép biến đổi để tìm nghiệm toán mà không giải chi tiết bước cụ thể Cùng với sử dụng Mathematica để kiểm tra lại nghiệm toán có số có thực với Mathematica có số thực phần mềm vạn giải tất vấn đề thực tế Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: HÀM BIẾN PHỨC (Bài tập phần thặng dư ứng dụng thặng dư.) Bài tập 1: (Bài 14/trang 89 GT Hàm biến phức – Tạ Lê Lợi – Đại học Đà Lạt) Tính thặng dự hàm điểm kì dị hàm: a) z  z  1 z   b)  e z  z  1 Giải: a) f(z) = z  z  1 z    * Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường: Ta xét  z 1  z     z1  1; z2  i; z3   i Vậy hàm f(z) có điểm kì dị cấp là: z1  1; z2   i; z3   i Thặng dư hàm f(z) điểm kì dị (bất thường) xác định sau : + z1 = -1: Res[f(z),z1] = lim  z  z1  f  z  = zlim 1 zz z = z 2 + z2   i Res[f(z),z2] = zlim  z  z2  f  z  = zlim z  2i z  z  1  z  2i    1 i  + z3   i lim Res[f(z),z3] = zlim  z  z3  f  z  = z z 2i z  z  1  z  2i    2i * Cách 2:Giải Mathematica Chương trình tính thặng dư Lệnh nhập: ClearAll[A,B,z,z1,z2,z3];A=z;B=(z+1)(z^2+2); f[z_]:=A/B; sol=Solve[B==0,z]; z1=z/.sol[[1]]; z2=z/.sol[[2]]; z3=z/.sol[[3]]; R1=Residue[f[z],{z,z1}]//FullSimplify; R2 =Residue[f[z],{z,z2}]//FullSimplify; R3 =Residue[f[z],{z,z3}]//FullSimplify; Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Print["Câu a) Cho hàm f(z) = ",f[z], "tính thặng dư điểm kì di (bất thường) nó."]; Print[" _Lời giải "]; Print[" Thặng dự z1=",z1," là: ",R1]; Print[" Thặng dự z2=",z2," là: ",R2]; Print[" Thặng dự z2=",z3," là: ",R3]; Kết quả: b) f(z) = e z  z  1 * Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường: Ta xét  z 12   z1  1; z2  Vậy hàm f(z) có điểm kì dị cấp là: z1  Thặng dư hàm f(z) ta áp dụng công thức: d m1  d 1z m  Res[f(z),z1] = lim m1  z  z1  f  z  = lim( (e )) = - e z 1 dz z  z1 dz * Cách 2:Giải Mathematica Chương trình tính thặng dư Lệnh nhập: ClearAll[z1,z,g,d,R1]; g=E^(1/z); d=(z-1)^2; f[z_]:=g/d; sol=Solve[d==0,z];z1=z/.sol[[1]]; R1=Residue[f[z],{z,z1}]//FullSimplify; Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Print["Câu b) Cho hàm f(z) = ",f[z], "tính thặng dư điểm kì di (bất thường) nó."]; Print[" _Lời giải "]; Print[" Thặng dự z1=",z1," là: ",R1]; Kết quả: Bài tập 2: (Bài 17/trang 89 GT Hàm biến phức – Tạ Lê Lợi – Đại học Đà Lạt) f  z  dz , với: Tính tích phân γ a) f(z) = z  1 với γ: |z| = b) f(z) = sinz z  z  1 z   với γ: |z| =  Giải: f  z  dz f(z) = a) Tính tích phân: γ z  1 với γ: |z| = * Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường Hàm f(z) = z có điểm kì dị tìm từ điều kiện:  z 1   z = ±  1 Theo điều kiện biên toán hai điểm kì dị cấp hai z1 = - z2 = miền |z| = Ta tính tích phân: I =    z2 1 dz theo công thức:  z 1   z 1        d d  z2 1   z2 1  )=0   + lim  I = 2πi(Res[f(z),z1] + Res[f(z),z3]) = 2πi( lim z  z 1 dz dz  Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học    Trang Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng * Cách 2:Giải Mathematica: Chương trình tính tính tích phân sinz z  z  1 z  f  z  dz f(z) = b) Tính tích phân:  γ  với γ: |z| = * Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường Hàm f(z) = sinz có điểm kì dị tìm từ điều kiện: z  z  1  z 1  z  z  1 z     z1 = 0, z2 = - i; z3 = i, z4 = 1, đối chiếu với điều kiện toán |z| = f(z) có điểm kì dị cấp z1 = 0, z2 = - i; z3 = i, z4 = Ta tính tích phân: I =  z  1 dz theo công thức: I = 2πi(Res[f(z),z1] + Res[f(z),z2] + Res[f(z),z3] + Res[f(z),z4]) = 2πi{ lim  z  z1  f  z   zlim  z  z2  f  z   zlim  z  z3  f  z  zz z z sinz sinz sinz + + lim lim z 0 z  z  z i z  z  1 z  i  z  i z  z  1 z  i     lim  z  z4  f  z  } = 2πi{ lim z  z4 + lim z 1   sin 1 sinz 1 1 } = 2πi(0    i  sin  i     i  sin  i   ) 2 z z 1 4  4    = πi.sin[1] -  sin i  = i Sin 1Sinh1  Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Trong Sin[i] = i.Sinh[1] * Cách 2:Giải Mathematica: Chương trình tính tính tích phân CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài tập 1: (Bài tập 130/trang 59 Chương 2-2 tài liệu Nguyễn Thanh Vũ) Tìm nghiệm phương trình sau: y’’ + 3y’ – 10y = 0, y(0) = 1, y’(0) = 3; Giải * Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường: Phương trình đặc trưng: k2 + 3k – 10 =  k1 = 2, k2 = -5 Nghiệm tổng quát R là: y = C1e 2x + C2e-5x   C1  C2 Theo điều kiện ban đầu ta có:   3  2C1  5C2 Vậy nghiệm phương trình là: y = Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học   C1     C     x 5 x 8e  e  Trang Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng * Cách 2:Giải Mathematica:(Code Demo ) Kết giải toán: Bài tập 2: (Bài tập 212/trang 75 – Chương tài liệu Nguyễn Thanh Vũ) Hãy tìm nghiệm hệ phương trình:  x  x  y với x(0) = y(0) =   y  3x  y Giải: * Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường: Ta viết lại hệ phương trình dạng: '  x    x      =  y   2  y  2 Det(A-λI) =     = -12 - (4 – λ ) 2    Khi Det(A – λI) =  12        1  4, 2  + Xét λ = -4, ta có phương trình vecto trị riêng Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng  2m   2     b1      Chọn vecto trị riêng là:          b =    b2     3m   3 + Xét λ = 4, ta có phương trình vecto trị riêng:  2m   2   b1            b =    Chọn vecto trị riêng là:  6   b2    m  2   1 Nghiệm hệ phương trình viết dạng: 4 t 4t  x t    2  1t   2t  x  t   2C1e  2C2e (*)    C1   e  C2   e   4 t 4t  3 1  y t    y  t   3C1e  C2e Thay điều kiện x(0) = y(0) = vào (*) ta tính C1 C2:  C1   Thay C1 C2 vào (*) ta có nghiệm hệ:  C    x  t   e 4t  e 4t   4   y  t   e 4t  e 4t  8  * Cách 2:Giải Mathematica: (code demo) Kết giải toán: Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG (Phương trình hyperbolic, phương trình parabolic, phương trinh eleptic) Bài tập 1:(Bài tập V.1 trang 31 Phương trình hyperbolic, tài liệu phương trình vi phân đạo hàm riêng ) utt  4u xx ,  x   Tìm nghiệm toán u (0, t )  u ( , t )  u ( x, 0)  s inx, u ( x, 0)  2sin x  8sin x t  Giải * Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường: Đặt u(x,t) = X(x).T(t) thay vào phương trình utt = 4uxx thực tách biến tìm nghiệm toán dạng tổng quát:  u(x,t) =  (a cos(2nt) + b sin(2nt))sin(nx) (1) n n n=1 với n ϵ N Trong an bn tìm từ điều kiện sau: an =   u  x, 0 sin  nx  dx bn =  ut  x,  sin  nx  dx n 0 + Tìm an: an =   0, n  sinx.sin  nx  dx =   a1 = an = với n ≥  1, n  + Tìm bn:  bn =  2sinx  8sin2 x  sin  nx  dx  n 0 0, n  1,   2 = [  2sinx.sin  nx  dx  8sin  x  sin  nx  dx =  1, n  2n    2, n    b1 = -1, b2 = 2, bn = với n ≥ Vậy nghiệm toán là: u(x,t) =[cos(2t) – sin(2t)]sinx + 2sin4t.sin2x * Cách 2:Giải Mathematica: (code demo) Vòng lặp For[] cho giá trị n chạy khoảng cho phép giúp lệnh Integrate[] tính giá trị, lệnh Print[] xuất giá trị un(x,t) ứng với giá trị n Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 10 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Kết toán với giá trị a,L, điều kiện biên cụ thể: Nghiệm toán giải chương trình tổng giá trị un theo công thức:  u(x,t) = u n n 1 Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 11 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Bài tập 2:(Bài tập V.1 trang 31 Phương trình Eliptic- tài liệu phương trình vi phân đạo hàm riêng)  u  0,  với Ω mặt tròng tâm O bán kính 2, Γ 2 u |Γ   y  xy Giải toán Diriclet  biên Ω Giải * Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường: Xét toán tọa độ cực x = rcosφ, y = rsinφ Khi phương trình Laplace tọa độ cực viết lại dạng:   u   2u = (1) r  r r  r  r  Điều kiện biên: u |r  R   16sin   32cos sin  = -5 + 8cos2φ + 8cos3φ - 8cosφ (2) Đặt u(r,φ) = Φ(φ).R(r) Sử dụng phương pháp tách biến ta tìm nghiệm toán Dirichlet mặt tròn tọa độ cầu dạng tổng quát sau:  u  r,  u(r,φ) = n n 0   n 0 n 1 r n  An cos  n   Bn sin  n  = A0 + r n  An cos  n   Bn sin  n  (3) = Việc xác định hệ số A0, An, Bn tìm theo hai hướng: * Hướng thứ nhất: Áp dụng công thức khai triển Fourier Tìm hệ số A0, An, Bn theo công thức sau: 2 A0 = An = u |r 2 d 2 0  2  cos  n  u | r 2 d 2 Bn = sin  n  u |r 2 d n = 1,2,3,… 2 0 Khi ta tìm A0, An, Bn sau: + A0 = 2 2   5  8cos2φ   8cos3φ   8cosφ  d = -5 Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 12 Tiểu luận môn phương pháp toán lý + An =  GV: TS Võ Thanh Tùng 2  cos  n  5  8cos2φ   8cos3φ   8cosφ  d  A1 = -8, A2 = 8, A3 = 8, An = + Bn =  2  sin  n  5  8cos2φ   8cos3φ   8cosφ  d =0 Vậy nghiệm (3) toán tọa độ cầu là: u(r,φ) = - - 8rcosφ + 8r 2cos2φ   8r 3cos3φ  (4) Chuyển hệ tọa độ (x,y): u(r,φ) = 8r3(4cos3φ - cosφ) + 8r2(2cos2φ - 1) - 8rcosφ - = 32r3cos3φ + 16r2cos2φ - 24r3cosφ- 8rcosφ - 8r2 -  u(x,y) = 8x3 + 8x2 -8y2 -8x(3x2 + 3y2 +1) - Vậy: u(x,y) = 8x3 + 8x2 -8y2 -8x(3x2 + 3y2 +1) - (5) * Hướng thứ 2: Đồng hệ số hai vế phương trình sau: u(r,0) = ⟺ A0 +  r n 1 n  An cos  n   Bn sin  n   = 5  8cos2φ   8cos3φ   8cosφ  A0 = -5, Bn = 0, A1 = - 8, A2 = 8, A3 = 8, An = Thay giá trị A0, Bn, An, A1, A2, A3 vào (3) ta được: u(r,φ) = - - 8rcosφ + 8r 2cos2φ   8r 3cos3φ  (4') Chuyển sang tọa Oxy ta có: u(x,y) = 8x3 + 8x2 -8y2 -8x(3x2 + 3y2 +1) - * Cách 2:Giải Mathematica: (code demo) Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 13 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Kết toán ứng với điều kiện biên cụ thể: Nghiệm toán giải chương trình tổng giá trị un theo công thức:  u(r,φ) = u n = 5 - r Cos[φ] + r2 Cos[2 φ]+ r3 Cos[3 φ] n 1 Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 14 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Bài tập 3:(Bài tập III.1/ trang 56- chương Phương trình Parabolic- Tài liệu phương trình vi phân đạo hàm riêng) ut  16uxx , t  0, x  Giải toán điều kiện ban đầu:  u ( x, 0)  cos x Giải * Cách 1: Giải theo phương pháp thông thường:  Áp dụng công thức Poison: u(x,t) =  G  a, y  x, t  g  y  dy  Trong đó: G(a,x-y,t) =  u(x,t) =   2a  Đổi biến: z = t e   e 2a πt ( y  x )2 64t g(y) = u(y,0) = cos24x cos ydy = 4a  t  e  ( y  x )2 64t (1  cos8 y )dy (1)  yx  dy = t dz y = x + 8z t t Ta áp dụng điều kiện: 1  u(x,t) = + 2   u(x,t) = 4.42 t Lúc (1) trở thành: u(x,t) =  u(x,t) = ( y  x )2 1 + 2  1 + 2   e   e  16  t  x  z  e [1  cos(8x  64 z t ]8 t dz  2   4 cos zdz  e    e  x sin zdz    z2 cos(8 x  64 z t )dz  z2 [ cos(8 x).cos(64 z t )  sin (8 x)sin(64 z t )]dz   e   z  e cos(8x).cos(64 z t )]dz =  Vậy nghiệm toán là: u(x,t) = (1  e1024t cos8 x) (1  e1024t cos8 x) * Cách 2:Giải Mathematica: (Code Demo) Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 15 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Kết toán với giá trị điều kiện biên hệ số a cụ thể: CHƯƠNG V PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE – PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Bài tập 1: (Bài tập 1f trang 99 – Giáo trình toán chuyên đề - Bùi Tuấn Khang) Tìm ảnh Fourier hàm gốc: f  t   sin2t.e3 t Giải * Cách 1: Giải phép biến đổi Fourier: Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 16 Tiểu luận môn phương pháp toán lý Ta có f  t   sin2t.e3 t GV: TS Võ Thanh Tùng  e   3 i  t  e   3 i t , t 0   2i =   3 i  t  3 i  t e  e ,t   2i Để tìm ảnh f(t) F(ω) sử dụng định nghĩa: 2 F(ω) = =   f t  e dt =  2i 2 =-  it 2i 2 2 e3i 2t  e 3i 2t it e dt +  2i   3i    t  3 i  2  t e  )dt +  (e  2i 2  e  3i 2  t  2  e  e3i 2t  e3i 2t it e dt 2i 3 i     t  dt   1 1        i      i      i      i      Vậy: F(ω) =2i 2 12i    6     = 2 169  10   4             * Cách 2:Giải Mathematica: (Code demo) Kết tính với hàm thực tế: Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 17 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Bài tập 2: (Bài tập 187.f – Trang 63 “Toán A4 - Chương – GV Nguyễn Thanh Vũ – 2008) Tìm nghiệm tổng quát R phương trình: y’’ + 3y’ + 2y = – 2.ex; y(0) = 0, y’(0) = Giải * Cách 1: Giải toán ứng dụng phép biến đổi Laplace: Đặt Y  s    y  t  Ta áp dụng công thức:  y ' t  (s) = s.Y(s) – y(0)  y '' t  (s) = s2.Y(s) – s.y(0) – y’(0) Ta có: 3  2e   y  y  y  x  s 2Y  s   sy    y     sY  s   y    2Y  s    s s 1 s 2Y  3sY  2Y  s 3 s 3 s 3  s  3s  Y  Y s  s  s  1 s  s  1  s  1 s  1 s   s   Sử dụng phương pháp đồng hệ số, ta suy ra: Y s  =      1  s  2s  s   s  Thực phép biến đổi Laplace ngược ta có: y t   1 Y  s   2e x  e2 x   e x 3 Vậy nghiệm toán là: y  t   2e x  e2 x   e x * Cách 2: Giải Mathematica theo phép biến đổi Laplace (code demo) Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 18 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Kết tính với toán cụ thể CHƯƠNG VI: NHÂN XUNG ĐỐI VÀ NHÂN SUY BIẾN (Phương trình tích phân Fredhoml) Bài tập 1: Giải phương trình sau phương pháp lặp: x y(x) = +  y  t  dt Giải: * Cách 1: Giải phương pháp lặp Ta đặt: y0  x  1 Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 19 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng x x 0 Gần bậc 1: y1  x  1   y0  t  dt   dz =  x 1! Lặp lại trình lần nữa, thu gần bậc 2: x x 0 y2  x     y1  t  dt =   1  t  dt = 1 x  x2 x x2 = 1  1! 2! x 1! Tiếp tục trình lặp ta thu gần bậc n là: yn  x   1  x 1! Khi n → ∞ hàm y(x) = 1  x2 xn   2! n! x2 xn    Đây khai triển hàm ex 2! n! Vậy y(x) = ex * Cách 2: Giải Mathematica Bài tập 2: Giải phương trình sau phương pháp đại số: π y(x) = + cos  x  t  y  t  dt (1) Giải: * Cách 1: Giải phương pháp đại số Đặt K(x,t) = cos(x+t) = cosx.cost – sinx.sint (2) Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 20 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng   A = cost y  t  dt (3) B = sint y  t  dt (4) 0 Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được: y(x) = + A.cosx – Bsinx (5) Chuyển y(x) y(t): y(t) = + Acost – Bsint (5’) Thay (5’) vào (3) ta được:     0 0 A = cost 1   Acost –  Bsint  dt = costdt + Acostcost dt + Bcostsintdt = A ⟺ A = (6)     0 0 B = sint 1   Acost –  Bsint  dt = sintdt + Acostsint dt - Bsintsintdt = ⟺B= B (7) 2 Thay (6) (7) vào (5) ta có: y(x) = - sinx 2 * Cách 2: Giải Mathematica Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 21 Tiểu luận môn phương pháp toán lý Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học GV: TS Võ Thanh Tùng Trang 22 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng KẾT LUẬN Tiểu luận trình bày giải số toán giải tích thặng dư, ứng dụng thặng dư, phương trình vi phân bậc hai, hệ phương trình vi phân, toán đạo hàm riêng, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Fourier, phương trình tích phân Fredholm Tuy nhiên tiêu luận dừng lại việc giải đến hai ví dụ loại, không sâu vào trình bày phương pháp giải mà ứng dụng kết cuối toán học để giải toán Đối với việc kiểm tra lại kết toán phần mềm Mathematica xây dựng số chương trình cụ thể để giải số toán như: + Phương trình vi phân tuyến tính bậc + Hệ phương trình trình vi phân bậc + Bài toán truyền nhiệt + Giải phương trình vi phân phép biến đổi Laplace Riêng tập thặng dư, ứng dụng thặng dư, toán Dirichlet, … viết số lệnh để kiểm tra nghiệm toán cụ thể Còn phương trình tích phân giải theo phương pháp thông thường Trong trình thực tiểu luận có nhiều cố gắng thời gian ngắn làm quen với phần mềm Mathematica nên kiến thức phần mềm Mathematica chưa sâu không tránh sai làm thiếu sót Kính mong thầy cô giáo đóng góp ý kiến để đề tài ngày hoàn thiện Học viên thực Kiều Quang Vũ Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 23 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạ Lê Lợi, Giáo trình hàm biến phức, Đại học Đà Lạt [2] Bùi Tuấn Khang, Giáo trình toán chuyên đề, đại học Đà Nẵng, 2004 [3] Nguyễn Thanh Vũ, Toán A4, 2008 [4] Bộ môn giải tích, Phương trình đạo hàm riêng, Hà Nội, 2006 [5] Bùi Hữu Hùng, Nguyễn Công Trí, Đại số tuyến tính với Mathematica tập tập 2, Nhà xuất thống kê [6] Làm quen với phần mềm Mathematica (tài liệu mạng: https://thuvienvatly.vn) [7] Nguyễn Anh Pha, Ứng dụng phép biến đổi Laplace ngôn ngữ lập trình Mathematica 5.1 [8] https://mathworld.wolfram.com/Legendre Diffrential Equation.html [9] Craig Beasley, Laplace Transform in Mathematica, Department of Electrical and Systems Engineering Washington University, 2012 Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 24 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng PHỤC LỤC CHƯƠNG TRÌNH MATHEMATICA Một số chương trình mathematica tạo để phục vụ tiểu luận: Chương 1: - chuong bai tap tinh gia tri thang du.nb - chuong bai tap ung dung thang du tinh tich phan.nb Chuong 2: - chuong he phuong trinh vi phan khong dk bien.nb - chuong he phuong trinh vi phan co dieu kien bien.nb - chuong phuong trinh vi phan bac hai co dieu kien bien.nb -chuong phuong trinh vi phan bac hai khong dieu kien bien.nb Chương 3: - chuong bai toan eleptic.nb - chuong bai toan hypebolic.nb - chuong bai toan parabolic (truyen nhiet).nb Chương 5: - chuong Bien doi Fourier - Bien doi Laplace.nb Chương 6: - Chuong nhan xung doi - nhan doi xung.nb Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 25 [...]... Mathematica Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 21 Tiểu luận môn phương pháp toán lý Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học GV: TS Võ Thanh Tùng Trang 22 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng KẾT LUẬN Tiểu luận trình bày về giải một số bài toán giải tích như thặng dư, ứng dụng thặng dư, phương trình vi phân bậc hai, hệ phương. .. Chuyên ngành Quang học Trang 13 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Kết bài toán ứng với điều kiện biên cụ thể: Nghiệm bài toán giải bằng chương trình là tổng các giá trị un theo công thức:  u(r,φ) = u n = 5 - 8 r Cos[φ] + 8 r2 Cos[2 φ]+ 8 r3 Cos[3 φ] n 1 Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 14 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh... Quang học Trang 18 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Kết quả tính với bài toán cụ thể CHƯƠNG VI: NHÂN XUNG ĐỐI VÀ NHÂN SUY BIẾN (Phương trình tích phân Fredhoml) Bài tập 1: Giải phương trình sau bằng phương pháp lặp: x y(x) = 1 +  y  t  dt 0 Giải: * Cách 1: Giải bằng phương pháp lặp Ta đặt: y0  x  1 Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 19 Tiểu. . .Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Kết quả bài toán với giá trị a,L, điều kiện biên cụ thể: Nghiệm bài toán giải bằng chương trình là tổng các giá trị un theo công thức:  u(x,t) = u n n 1 Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 11 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Bài tập 2:(Bài tập V.1 trang 31 Phương trình Eliptic-... y(x) = ex * Cách 2: Giải bằng Mathematica Bài tập 2: Giải phương trình sau bằng phương pháp đại số: π y(x) = 1 + cos  x  t  y  t  dt (1) 0 Giải: * Cách 1: Giải bằng phương pháp đại số Đặt K(x,t) = cos(x+t) = cosx.cost – sinx.sint (2) Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 20 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng   A = cost y  t  dt (3) B =... demo) Kết quả tính với hàm thực tế: Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 17 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Bài tập 2: (Bài tập 187.f – Trang 63 Toán A4 - Chương 2 – GV Nguyễn Thanh Vũ – 2008) Tìm nghiệm tổng quát trên R của phương trình: y’’ + 3y’ + 2y = 3 – 2.ex; y(0) = 0, y’(0) = 0 Giải * Cách 1: Giải bài toán ứng dụng phép biến đổi Laplace:... hiện tiểu luận có nhiều cố gắng nhưng vì thời gian ngắn và mới làm quen với phần mềm Mathematica nên các kiến thức về phần mềm Mathematica chưa sâu do đó không tránh được những sai làm thiếu sót Kính mong thầy cô giáo đóng góp ý kiến để đề tài ngày hoàn thiện hơn Học viên thực hiện Kiều Quang Vũ Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 23 Tiểu luận môn phương pháp toán lý. .. một số bài toán như: + Phương trình vi phân tuyến tính bậc 2 + Hệ phương trình trình vi phân bậc nhất + Bài toán truyền nhiệt + Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace Riêng đối với các tập về thặng dư, ứng dụng thặng dư, bài toán Dirichlet, … tôi chỉ viết một số lệnh cơ bản để kiểm tra nghiệm đối với bài toán cụ thể Còn đối với phương trình tích phân tôi chỉ giải theo phương pháp thông... )]dz   e   z  e cos(8x).cos(64 z t )]dz = 2  Vậy nghiệm của bài toán là: u(x,t) = 1 (1  e1024t cos8 x) 2 1 (1  e1024t cos8 x) 2 * Cách 2:Giải bằng Mathematica: (Code Demo) Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 15 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng Kết quả bài toán với các giá trị điều kiện biên và hệ số a cụ thể: CHƯƠNG V PHÉP BIẾN... Mathematica, Department of Electrical and Systems Engineering Washington University, 2012 Học viên : Kiều Quang Vũ Khóa: 2014 – 2016 Chuyên ngành Quang học Trang 24 Tiểu luận môn phương pháp toán lý GV: TS Võ Thanh Tùng PHỤC LỤC CHƯƠNG TRÌNH MATHEMATICA Một số chương trình mathematica được tạo ra để phục vụ tiểu luận: Chương 1: - chuong 1 bai tap tinh gia tri thang du.nb - chuong 1 bai tap ung dung thang