Bỏch Khoa Online Giao lu - Hc hi - Chia s kinh nghim ca cỏc th h sinh viờn Bỏch Khoa hutonline.net -203- Phần Các nguyên lý học Cùng với hai vấn đề nghiên cứu phơng trình vi phân chuyển động định lý tổng quát động lực học; nguyên lý học trình bày dới cho ta phơng pháp tổng quát khác giải có hiệu nhanh gọn nhiều toán động lực học hệ không tự Các nguyên lý học phần sở học giải tích Căn vào nguồn lợng đặc điểm kết cấu hệ, học giải tích sử dụng công cụ giải tích toán học để thiết lập phơng trình vi phân chuyển động tìm cách tích phân phơng trình Trong phần giới thiệu số vấn đề học giải tích cụ thể thiết lập phơng trình vi phân chuyển động cho hệ không tự nêu lên số tính chất mà ta không sâu vào phơng pháp tích phân phơng trình Chơng 14 Nguyên lý di chuyển 14.1 Các khái niệm hệ Để làm sở cho việc thiết lập nguyên lý học trớc hết nêu số khái niệm hệ không tự 14.1.1 Liên kết phân loại liên kết 14.1.1.1 Cơ hệ không tự Cơ hệ không tự tập hợp nhiều chất điểm mà chuyển động chúng lực tác dụng vị trí vận tốc chúng bị ràng buộc số điều kiện hình học động học cho trớc -20414.1.1.2 Liên kết phân loại liên kết Liên kết điều kiện ràng buộc chuyển động lên chất điểm hệ không tự Các biếu thức toán học mô tả điều kiện ràng buộc gọi phơng trình liên kết Dạng tổng quát phơng trình liên kết viết : fi(rk,vk,t) j = m ; k = n j số thứ tự phơng trình liên kết k số thứ tự chất điểm hệ Phân loại liên kết Căn vào phơng trình liên kết ta phân loại liên kết thành : liên kết dừng hay không dừng ,liên kết giữ hay không giữ , liên kết hình học hay động học Nếu liên kết mà phơng trình không chứa thời gian t gọi liên kết dừng Ngợc lại phơng trình liên kết chứa thời gian t gọi liên kết không dừng hay hữu thời Nếu liên kết mà phơng trình mô tả đẳng thức ta gọi liên kết giữ hay liên kết hai phía Nếu liên kết có phơng trình mô tả bất đẳng thức gọi liên kết không giữ hay liên kết phía Nếu liên kết có phơng trình không chứa vận tốc v gọi liên kết hình học hay liên kết hô nô nôm Ngợc lại liên kết có phơng trình chứa yếu tố vận tốc v gọi liên kết động học hay không hô nô nôm Sau nêu vài thí dụ loại liên kết Cơ cấu biên tay quay OAB biểu diễn hình (14-1) có phơng trình liên kết : xA2 + yA2 = r2 ; (xB + xA)2 + yA2 = l2 ; yB = Các phơng trình liên kết thể liên kết dừng, giữ hô nô nôm -205Bánh xe bánh kính R lăn không trợt đờng thẳng (hình 14-2) có phơng trình liên kết : y0 R ; VP = ; Liên kết liên kết dừng, không giữ không hô nô nôm Vật A treo vào đầu sợi dây vắt qua ròng dọc cố định B Đầu dây đợc lại liên tục theo thời gian Giữ cho vật dao động mặt phẳng oxy thẳng đứng (hình 14-3) Phơng trình liên kết đợc viết : xA2 + yA2 = l2(t) ; zA = Liên kết không dừng, không giữ hô nô nôm y y A P(t) M R O B A x C P B Hình 14.1 Hình 14.2 Hình 14.3 14.1.2 Toạ độ suy rộng Toạ độ suy rộng thông số định vị hệ Ký hiệu toạ độ suy rộng qj ; qj đo đơn vị độ dài, đơn vị góc quay, điện lợng Nếu số toạ độ suy rộng đủ để xác định vị trí hệ ta gọi toạ độ suy rộng đủ Nếu số toạ độ d thừa nghĩa vợt số toạ độ cần thiết để xác định vị trí hệ gọi toạ độ d Số toạ độ d đợc liên hệ với biểu thức dạng : fi(qk,qk,t) gọi phơng trình liên kết -206Cơ cấu tay quay truyền biểu diễn hình 14-1 chọn q1 = q2 = q1 q2 có phơng trình : rsinq1 - lsinq2 = Nếu chọn q1 = xA q2 = yA q1 q2 có phơng trình : q12 + q22 = r2 ; q1 = Rcosq3 14.1.3 Di chuyển hệ Di chuyển di chuyển vô nhỏ hệ vị trí xét sang vị trí lân cận mà hệ thực phù hợp với liên kết đặt liên hệ Để phân biệt với di chuyển thực dr ta ký hiệu di chuyển r r r Nếu gọi rk rk' véc tơ định vị chất điểm thứ k hệ vị trí r r r xét vị trí lân cân rk = rk rk' ta có : fj(rk',vk',t) - fj(rk,vk,t) = (j = m) Với định nghĩa ta thấy di chuyển thực khác với di chuyển chỗ : r Di chuyển thực d r phụ thuộc vào lực tác dụng điều kiện đầu liên kết đặt lên hệ di chuyển phụ thuộc vào liên kết đặt lên hệ mà Chính di M r chuyển thực có di chuyển có nhiều Đối với hệ chịu liên kết dừng di chuyển thực trùng với số di chuyển Trong cấu Hình 14.4 tay quay truyền (hình 14-1) di chuyển hệ tập hợp véc tơ rA rB thoả mãn điều kiện liên kết nh sau : Hình chiếu lên AB rA hình chiếu lên Ab rB Chất điểm đặt lên mặt cong (hình 14-4) có r di chuyển tập hợp véc tơ r tiếp tuyến với mặt cong vị trí xét -20714.1.4 Bậc tự hệ Di chuyển hệ có nhiều nhiên mức đọ nhiều có hạn chế Trong số di chuyển hệ có hay số m di chuyển sở Các di chuyển lại đợc biểu diễn qua di chuyển sở nói Các di chuyển sở độc lập tuyến tính với thông số định vị hệ tức số toạ độ suy rộng đủ Ta goi số di chuyển sở hệ số bậc tự m hệ Trong cấu tay quay truyền rõ ràng số bậc tự m = 1, chọn hay làm di chuyển sở Số bậc tự hệ cao mức độ tuỳ ý di chuyển lớn xác định số bậc tự hệ biểu thức : m = r - s Trong r số toạ độ d s số phơng trình liên kết 14.1.5 Liên kết lý tởng - Lực suy rộng 14.1.5.1 Liên kết lý tởng Nếu tổng cộng nguyên tố phản lực liên kết di chuyển hệ triệt tiêu liên kết đặt lên hệ đợc gọi liên kết lý tởng r Gọi N k phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk; rk véc tơ di chuyển chất điểm theo định nghĩa ta có : n r N k =1 k r rk = (14-1) Trong thực tế cần bỏ qua lực ma sát tính đàn hồi vật thể tạo thành hệ đa số hệ thoả mãn biểu thức vsf nh chúng chịu liên kết lý tởng Khi phải kể đến lực ma sát tính đàn hồi vạt thể ta dùng dợc khái niệm liên kết lý tởng nhng phải xem lực ma sát tính đàn hồi vật thể tác dụng lên hệ nh hoạt lực Vật rắn tuyệt đối tự hệ chịu liên kết lý tởng -208Quả ta xét cặp chất điểm M, N vật lực tác dụng tơng hỗ chúng F, F' với F = -F' Gọi r r' véc tơ di chuyển chất điểm M, N, ta có : ( ) r r r r r r r ' r' = + = r + r ' N r F r F r F k k k =1 Theo động học vật rắn ta có : r r r r r = r ' + MN nghĩa : r r ' = MN Véc tơ MN có độ lớn không r r r r r r đổi nên MN = r r ' vuông góc với F Cuối suy F.(r r ' ) = , ( ) r r hay N k rk = , điều chứng tỏ vật rắn tự hệ chịu liên kết lý tởng n k =1 Hai vật rắn có bề mặt trơn nhẵn tiếp xúc với tạo thành hệ chịu liên kết lý tởng Cũng dễ dàng nhận thấy hai vật rắn có bề mặt trơn nhẵn tiép xúc với tạo thành hệ chịu liên kết lý tởng Dây mềm không dãn vắt qua ròng rọc bỏ qua trợt dây bỏ qua ma sát ổ trục hệ chịu liên kết lý tởng 14.1.5.2 Lực suy rộng Xét hệ N chất điểm, có m toạ độ suy rộng đủ q1q2 qm Biểu thức tổng công hoạt lực di chuyển hệ viết: n r r a A = k Fka rk n k =1 (a) k =1 r Trong Fka tổng hoạt lực tác dụng lên chất điểm Mk ; rk di chuyển chất điểm Mk vị trí xét r r Biểu diễn véc tơ định vị r k di chuyển r k qua toạ độ suy rộng ta có : r r rk = rk (q1q , .q m ) ; -209- r r r rk rk rk r rk = q + q + q q 1 q 2 q m m Thay kết vào biẻu thức (a) ta đợc N k =1 A ak r r r r rk rk rk = Fk q + q + q m q q m k =1 q N r r r N r N r r a rk r r = Fk q + Fka k q + Fka k q m q q q m k =1 k =1 k =1 N n Q1q1 + Q q + Q n q n = Q jq j j=1 r a rrk Đại lợng Q j = Fk đợc gọi lực suy rộng tơng ứng với toạ độ q j k =1 N suy rộng qj Ta có định nghĩa : Lực suy rộng Qj ứng với toạ độ suy rộng qj đại lợng vô hớng biểu thị hệ số biến phân tơng ứng biểu thức tổng công hoạt lực tác dụng lên hệ di chuyển hệ Bản chất vật lý lực suy rộng phụ thuộc vào chất vật lý toạ độ suy rộng tơng ứng Chẳng hạn ta thờng gặp : Toạ độ suy rộng qj độ dài Qj lực; góc quay Qj mô men lực ; qj điện lợng Qj điện qj điện Qj điện lợng Trong thực hành để xác định lực suy rộng Qj ta có phơng pháp sau Cho hệ di chuyển với qj biến phân khác toạ độ suy rộng cho không, sau tính công lực di chuyển đố hệ Theo định nghĩa ta có : N n k =1 j=1 A ak = Q jq j Vì biến phân q qj triệt tiêu nên biểu thức viết đợc : -210N n k =1 j=1 A ak = Q jq j Từ suy biếu thức xác định lực suy rộng Qj ; N Qj = A k =1 a k q j Thí dụ 14.1 : Xác định lực suy rộng tơng ứng với toạ độ suy rộng hệ lắc vật lý kép biểu diễn hình (14-5) Cho biết trọng lợng lắc P đặt điểm C1, Chứng từ lắc ; Độ dài lắc Bài giải : Chọn toạ độ suy rộng đủ hệ góc nh hình vẽ Gọi lực tơnh ứnh Q1, Q2 Trớc C1 A P1 hết xác định Q1, ta cho hệ di chuyển cho y = Công hoạt lực P1, P2 di x O C2 P2 Hình 14.5 chuyển tính đợc : A k= = = P sin , P2 l sin 11 ; a k 3Pl l sin 11 = Q11 Suy : Q1 = 3Pl l sin Để tính Q2 cho hệ di chuyển với = Khi có lắc AB di chuyển công hoạt lực di chuyển : N A k =1 a k 1 = P2 sin = P sin = Q 2 Suy : Q = P sin -21114.2.1 Nguyên lý di chuyển Khi hệ chịu liên kết dừng lý tởng điều kiện cần đủ để cân vị trí xét tổng công hoạt lực di chuyển hệ vị trí đạng xét không N r r a A = F k ka rk = k =1 Trớc hết ta chứng minh điều kiện cần Xét hệ chịu liên kết dừng lý tởng Giả sử vị trí xét hệ can Ta phải chứng minh điều kiện cần có r Fka rk = Thật vậy, hệ cân nên chất điểm Mk hệ cân r r Nếu gọi Fka N k hoạt lực phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm khảo sát ta có : r r Fka + N k = r Cho hệ di chuyển vị trí xét gọi rk di chuyển chất điểm Mk ta viết : r r r r Fka rk + N k rk = Viết cho hệ, nghĩa cho k tiến từ đến N sau cộng vế với vế biểu thức đợc : N r N r r r Fka rk + N k rk = k =1 k =1 r r N k rk = cần phải có N Vì liên kết lý tởng nên k =1 r r Fka rk = Sau chứng minh điều kiện đủ N Giả thiết hệ thoả mãn điều kiện r F r k =1 k k = ta phải chứng minh điều kiện đủ hệ tự cân vị trí xét Thật hệ thoả mãn điều kiện mà không cân chứng tỏ phải khởi động vị trí xét Nh biến thiên hệ phải dơng dT > Theo định lý động ta có :