PHẦN 7 tọa độ mặt PHẲNG

www.TOANTUYENSINH.com PHẦN TỌA ĐỘ MẶT PHẲNG 7.1 Tọa độ đỉnh tam giác Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A(3; 2) có tâm đường tròn ngoại tiếp I(2; 1) điểm B nằm đường thẳng d có phương trình: x  y   Tìm tọa độ đỉnh B, C Tìm tọa độ đỉnh B, C Ta có: IA  (1; 3)  IA  10 Giả sử B(b, b  7)  d  IB  (b  2, b  6)  IB  2b  16b  40 I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  IA  IB  IA2  IB2  b   B(5; 2)  10  2b2  16b  40  b2  8b  15     b   B(3; 4) Do tam giác ABC vuông A  I(2; 1) trung điểm BC ▪ Với B(5; 2)  C(1; 0) ▪ Với B(3; 4)  C(1; 2) Vậy tọa độ đỉnh B, C là: B(5; 2),C(1; 0) B(3; 4),C(1; 2) Câu Cho tam giác ABC Đường phân giác góc B có phương trình d1 : x  y   , đường trung tuyến kẻ từ B có phương trình d2 :4x  y   Đường thẳng chứa cạnh AB qua điểm M (2; ) , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC R  Tìm tọa độ đỉnh A x  y   x   4 x  y   y 1 Gọi M' điểm đối xứng với M qua d1 , M ' ( ; 0) Do AB qua B M nên có pt: x  y   BC qua M' B nên có pt: 2x + y – 2.1  1.2   sin   = Gọi  góc đường thẳng AB BC suy cos  5 5 Tọa độ B nghiệm hệ  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Từ định lý sin tam giác ABC R  A  AB, C  BC  A(a; AC sin ABC  AC  3 a a  c  a  4c ; ) ); C (c;3  2c) , trung điểm AC N ( a  4c    N  d2   a  5; c  2    a  c      AC  (c  a)      a  3, c     Khi a = ta A(5; -1) Khi a = -3 ta A(-3; 3) Đs: A (5; -1), A (-3; 3) Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I  2;1 thỏa mãn điều kiện AIB  90 Chân đường cao kẻ từ A đến BC D  1; 1 Đường thẳng AC qua M  1;  Tìm tọa độ đỉnh A, B biết đỉnh A có hoành độ dương AIB  90  BCA  45 BCA  135 Suy CAD  45  ADC cân D Ta có DI  AC Khi phương trình đường thẳng AC có dạng: x  y   A  2a  9; a  , AD  8  2a; 1  a  a  AD  40  a  6a      A 1;5 (n) a  Phương trình BD : x  y   Phương trình BI: 3x  y   B  BI  BD  B  2; 2  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I  ;  , tâm đường tròn nội tiếp J (1; 0) Đường phân giác góc  16  BAC đường phân giác góc ABC cắt K (2; 8) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ dương Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I  ;  , tâm đường tròn nội tiếp J (1; 0) Đường phân giác góc BAC  16  đường phân giác góc ABC cắt K (2; 8) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ dương Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com A I -4 J -2 10 12 14 16 18 20 -1 B -2 C -3 -4 H -5 -6 -7 K -8 Gọi giao điểm AK đường tròn (I) H Xét tam giác BHJ có HJB  JAB  JBA (góc tam giác JAB)  JAC  JBC ( AJ, BJ đường phân giác)  CBH  JBC (nội tiếp chắn cung CH đường tròn (I))  HBJ Suy tam giác HJB cân H, HJ=HB HJB  HBJ (1) Lại có BJ, BK thứ tự phân giác phân giác góc ABC nên tam giác BKJ vuông B Suy HJB  HKB  900  HBJ  HBK (2) Từ (1) (2) suy HKB  HBK hay tam giác HBK cân H, HJ  HB  HK , H trung điểm JK, hay H  ; 4  Tương tự HJ  HC  HK 2  Ta có IH  0;   ; HJ   ;  16 65     B, C thuộc đường tròn (I;IH) (H; HJ) nên tọa độ B, C nghiệm hệ: 2  3    65   x     y      2  16   16   x  5; y  2     x  2; y  2  B (5; 2), C (2; 2)    x   y    16      2  AH qua J K nên phương trình đường thẳng AH là: x 1 y    8x  y    8  Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với AH, d có véc tơ pháp tuyến n  2HJ  1; 8 , phương trình đường thẳng d là: x  y   Gọi M giao điểm x  y 1  x    M (1;0)  J 8 x  y   y  d AH, tọa độ M nghiệm hệ:  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com M trung điểm AH nên A  ;  Kết luận: A  ;  , B(5; 2), C (2; 2) 2  2  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A có AC 2AB Điểm M (2; 2) trung điểm cạnh BC Gọi E điểm thuộc cạnh AC cho EC 3EA , điểm K giao điểm AM BE Xác định tọa ; 5 độ đỉnh tam giác ABC , biết điểm E nằm đường thẳng d : x 2y Kẻ MI  AC I BD  MI D Khi ta có tứ giác AIDB hình vuông có M, E trung điểm C BC, AI Do ta có BE  AM K  18   véc tơ pháp tuyến BE KM   ;   5  M I D F E K A B hay n  (1; 3)  phương trình BE : x  3y   Ta có E  BE  d : x  2y    E (2;2) AD  BI , ME đường trung bình AID nên suy BI  ME F(2 ; 0) trung điểm ME  phương trình BI : y  ; B  BE  BI  B (4;0)  C (8; 4) (vì M(2; -2) trung điểm BC) Ta có BI  4FI  tọa độ điểm I(4; 0)  tọa độ điểm A(0; ) (vì I(4; 0) trung điểm AC) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B, BC  2BA Gọi E, F trung điểm BC, AC Trên tia đối tia FE lấy điểm M cho FM  3FE Biết điểm M có tọa độ  5; 1 , đường thẳng AC có phương trình 2x  y   , điểm A có hoành độ số nguyên Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC C E M F I B A Gọi I giao điểm BM AC Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Ta thấy BC  2BA  EB  BA, FM  3FE  EM  BC ABC  BEM  EBM  CAB  BM  AC Đường thẳng BM qua M vuông góc với AC BM : x  2y   Toạ độ điểm I nghiệm hệ 13   x   2x  y    13 11   12   8 4    I ;  IM   ;  , IB   IM   ;   B 1; 3   5   5  5   x  2y    y  11  1 5 Trong ABC ta có     BA  BI BI BA BC 4BA 8 4 Mặt khác BI        , suy BA  BI  2     Gọi toạ độ A  a,3  2a  , Ta có 2  a 3 BA    a  1    2a    5a  26a  33    a  11  2 Do a số nguyên suy A  3; 3 AI   ;   5 Ta có AC  5AI   2;4  C 1;1 Vậy A  3; 3 , B 1; 3 , C 1;1 2 2 Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H  2; 4  , AB  10 M  8;1 trung điểm cạnh AC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết  CH  : x  y  10  tung độ đỉnh A nhỏ tung độ đỉnh B Trực tâm H  2; 4  , AB  10 , M  8;1 trung điểm AC  CH  : x  y  10  , y A  yB Gọi N trung diểm BC suy pt MN : 3x + y – 25 = C  CH suy  3c  10; c  M , N trung điểm AC,BC nên A   3c;  c  N thuộc M N , MN  AB  10 suy N  9; 2  , N  7;   B   3c; 4  c  đk y A  yB nên nhận   B   3c;8  c   N  7;    B   3c;8  c  c  H trực tâm suy AH  BC  20c  50c    c    A  6;  , B  4;8  , C 10;0  Tìm     11   35  A  ; , B  ; ,C ;   2   2   2  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhận trục hoành làm đường phân giác góc A, điểm E  3; 1 thuộc đường thẳng BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x  y  x  10 y  24  Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết điểm A có hoành độ âm Đường tròn ngoại tiếp có tâm I(1;5) Tọa đôi điểm A nghiệm hệ K B E x  y2  2x  10y  24  x  x  4    y  y  y  Do A có hoành độ âm suy A(-4;0) Và gọi K(6;0),vì AK phân giác góc A nên KB=KC, C A KI  BC IK  5;5 vtpt đường thăng BC  BC : 5  x  3   y  1    x  y   Suy tọa độ B, C nghiệm hệ I x  y2  2x  10y  24  x  x      y   y  2  x  y   Vây A(-4;0), B(8;4), C(2;-2) A(-4;0), C(8;4), B(2;-2) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M   ;  trung 2   điểm cạnh AB, điểm H(-2; 4) điểm I(-1; 1) chân đường cao kẻ từ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C 2 + IM  ( ; ) Ta có M  AB; AB  IM nên đường thẳng AB có pt: 7x – y + 33 = + A  AB  A(a;7 a  33) Vì M trung điểm cạnh AB nên B( - a – 9; - 7a – 30) Ta có: HA  HB  HA.HB   a  9a  20   a = -4 a = -5 + Với a = - 4, ta có A( -4;5), B(-5;-2) Ta có: AC  BH nên AC có phương trình: x + 2y – = C  AC  C (6  2c; c) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com IA  IC  (7  2c)  (c  1)  25 c   C (4;1)  c   C (4;5)(loai ) + Với a = -5, ta có A(-5;-2), B(-4;5) Ta có: AC  BH nên AC: 2x – y + = C  AC  C (t ; 2t  8) t  1  C (1;6) t  5  C (5; 2)(loai) 2 Từ IA=IC  (t  1)  (2t  7)  25   Câu 10 Trong mă ̣t phẳ ng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Đường thẳ ng d song song với BC cắ t các ca ̣nh AB, AC lầ n lươ ̣t ta ̣i M và N cho AM  CN Biế t rằ ng M(–4; 0), C(5; 2) và chân đường phân giác của góc A là D(0; –1) Haỹ tìm to ̣a đô ̣ của A và B Go ̣i D' là điể m ca ̣nh BC cho CD' = MN A Ta có MNCD' là hình bình hành  MD' = CN = AM   AMD' cân ta ̣i M N   MD'A =  MAD' = D'AC M  AD' là phân giác của góc A  D' trùng D CA qua C và C B song song MD D  CA có vectơ chỉ phương là MD = (4; –1) x   4t  AC:  y   t A  AC  A(5 + 4a; – a)  MA = (9 + 4a; 2– a) Ta có MA = MD  (9 + 4a)2 + (2 – a)2 = 17  17a2 + 68a + 85 – 17 =  a = –2 Vâ ̣y A(–3; 4) MA = (1; 4)  AB: x4 y   4x – y = –16 ; DC = (5; 3)  BC: x y 1   3x –5y=5 4x  y  16 Do đó B:  3x  5y  Nguyễn Văn Lực x  5  y  4 Vâ ̣y B(–5; –4) Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường cao AH,  17  phân giác BD trung tuyến CM Biết H (4;1); M  ;12  phương trình   đường thẳng BD: x + y – = Tìm tọa độ đỉnh A tam giác ABC Gọi H’ đối xứng H qua phân giác BD H '  AB HH '  BD  ptHH ' : x  y  c  H (4;1)  HH '  c  Vậy pt HH’: x –y + = Gọi K giao điểm HH’ BD , tọa độ K thỏa hệ:  x  y  5  K (0;5)  x  y  K trung điểm HH’  H '(4;9) 3  MH '   ; 3   1; 5  5   quaH '  4;9  AB :   VTPT n   5;1 Pt AB: 5x + y – 29 = 5 x  y  29 B giao điểm AB BD  tọa độ B thỏa hệ   B(6; 1) x  y   4  M trung điểm AB  A  ;25  5  Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn C  : x  y  3x  y   Trực tâm tam giác ABC đoạn BC  Tìm tọa độ điểm A, B , C biết điểm A có hoành độ dương y x -8 -6 -4 -2 -5 Gọi tâm đường tròn (C) I  ;  A(x;y) suy 2 2 AH (2  x;2  y ) M trung điểm BC Học sinh tính AH   x  y  x  y   kết hợp với A thuộc đường tròn (C) nên ta có hệ phương trình 2  x  y  4x  y   Giải hệ ta (x;y)=(0;3) (loại);Hoặc(x;y)=(1;4) (Nhận)  2  x  y  x  y    Suy toạ độ A(1;4) ,chứng minh AH  IM Từ AH  IM ta tính M(2;3/2) Do (BC ) vuông góc với IM nên ta viết phương trình (BC): x-2y+1 =0 x= 2y-1 thay vào phương trình đường tròn (C) ta y 1 x    y  x  2 y  12  y  3(2 y  1)  y    y  y     Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Suy toạ độ B(1;1) , C(3;2) B(3;2) , C(1;1) Vậy A( 1;4), B(1;1) , C(3;2) A( 1;4), B(3;2) , C(1;1) Câu 13 Cho ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC , G trọng tâm điểm D  7; 2  điểm nằm đoạn MC cho GA  GD Tìm tọa độ điểm A, lập phương trình AB, biết hoành độ A nhỏ AG có phương trình y x -8 -6 -4 -2 -5 x  y  13  Ta có d  D; AG   3.7   2   13   1 2  10 3x-y-13=0 B N G M D(7;-2) C A ABM vuông cân  GA  GB  GA  GB  GD Vậy G tâm đường tròn ngoại tiếp ABD  AGD  ABD  900  GAD vuông cân G Do GA  GD  d  D; AG   10  AD2  20; Gọi A  a;3a  13 ; a   a  5(loai) 2 AD  20   a     3a  11  20   a  Vậy A  3; 4  Gọi VTPT AB nAB  a; b  cos NAG  cos  nAB , nAG   Mặt khác cos NAG  NA  AG 3a  b a  b 10 NM 1  3NG  10 NA2  NG 9.NG  NG 3a  b b    6ab  8b    Từ (1) (2)  2 10 a  b 10 3a  4b Với b  chọn a  ta có AB : x   0;  2 Với 3a  4b chọn a  4; b  3 ta có AB : x  y  24  Nhận thấy với AB : x  y  24  d  D; AB   4.7   2   24 16    d  D; AG   10 (loại) Vậy AB : x   Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 7.2 Tọa độ đỉnh tứ giác Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu  7 H  ; , vuông góc A lên đường thẳng BD  5  điểm M(1; 0) trung điểm cạnh BC phương trình đường trung tuyến kẻ từ A tam giác ADH có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Gọi N, K trung điểm HD AH  NK // AD NK  AD Do AD  AB  NK  AB Mà AK  BD  K trực tâm tam giác ABN Suy BK  AN (1) Vì M trung điểm BC  BM  BC Do NK // BM NK  BM   BMNK hình bình hành  MN // BK (2) Từ (1) (2) suy MN  AN  phương trình MN có dạng: x  y  c  M(1; 0)  MN  1  7.0  c   c   phương trình AM là: x  y    1 N  MN  AN  N  ;   5  Vì N trung điểm HD  D(2; 1) Mà 8 6 HN   ;   5 5 Ta có: Do AH  HN  AH qua H nhận n  (4; 3) VTPT  phương trình AH là: 4x  3y   Mà A  AH  AN  A(0, 3) 2  2(1  x B ) x  2   AD  2BM    B  B(2; 2) 4  2(0  y B )  yB     Ta có: Vì M trung điểm BC  C(0; 2) Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật là: A(0; 3), B(2; 2),C(0; 2), D(2; 1) Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm E(2; 3) thuộc đoạn thẳng BD, điểm H(-2; 3) K(2; 4) hình chiếu vuông góc điểm E AB AD Xác định toạ độ đỉnh A, B, C, D hình vuông ABCD Ta có: EH : y   Nguyễn Văn Lực  AH : x    EK : x    AK : y   Ninh Kiều – Cần Thơ  A  2;   0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng cần tìm với (C1) (C2) M N Gọi M ( x; y )  (C1 )  x2  y  13 (1) Vì A trung điểm MN nên N (4  x;  y ) Do N  (C2 )  (2  x)2  (6  y)2  25 (2)  x    y   x  y  13 17  Từ (1) (2) ta có hệ  ; )    x   17  M( 2  5 (2  x)  (6  y )  25    y   Đường thẳng cần tìm qua A M có phương trình: x  y   Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với AB//CD có diện 1 tích 14, H ( ;0) trung điểm cạnh BC I ( ; ) trung điểm AH Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương D thuộc đường thẳng d: x  y   Vì I trung điểm AH nên A(1;1); Ta có: AH  13 Phương trình AH là: x  y   Gọi M  AH  CD H trung điểm AM Suy ra: M(-2; -1) Giả sử D(a; 5a+1) (a>0) Ta có: ABH  MCH  S ABCD  S ADM  AH d ( D, AH )  14  d ( D, AH )  28 13 Hay 13a   28  a  2(vì a  0)  D(2;11) Vì AB qua A(1;1) có 1VTCP MD  (1;3)  AB có 1VTPT n(3; 1) nên AB có Pt là: 3x  y   Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com A B I H D Nguyễn Văn Lực C Ninh Kiều – Cần Thơ M  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 7.4 Bài toán góc, khoảng cách Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d : mx  y  m   đường thẳng  : x  y   ; điểm B(-3; 2) Gọi H hình chiếu B d Xác định tọa độ điểm H biết khoảng cách từ H đến đường thẳng  nhỏ Ta có phương trình d : mx  y  m    ( x  1)m  ( y  4)  Suy d qua điểm cố định A(1; 4), mà BH vuông góc với d nên suy H thuộc đường tròn (C) đường kính AB Gọi I tâm (C) Ta có pt (C): ( x  1)  ( y  3)  Gọi d’ đường thẳng qua I vuông góc với  Khi d’ có pt: x  y   Tọa độ giao điểm d’ (C) nghiệm hệ phương trình : 2 x  y   y  y 1 Khi d’ cắt (C) M (0;5); M (2;1)     2  x  2 ( x  1)  ( y  3)   x  Ta có d (M1 , )  19 Vậy H trùng với M (2;1) ; d ( M , )  5 Câu Trong mă ̣t phẳ ng to ̣a đô ̣ Oxy cho điể m A(1;1) đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng  cho đường thẳng AB  hợp với góc 450 x   3t có vtcp u  (3; 2) y  2  2t *  có phương trình tham số  *A thuộc   A(1  3t ; 2  2t ) *Ta có (AB;  )=450  cos(AB; u )   AB.u AB u  15 t   13 13 32 22 32 *Các điểm cần tìm A1 ( ; ), A2 ( ;  ) 13 13 13 13  169t  156t  45   t  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C): 2  x  1   y  1  25 điểm M (7,3) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A,B cho MA = 3MB Đường tròn (C) có tâm I(1;1) bán kính R = Ta có IM = 10  R  M nằm đường tròn (C) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Gọi H trung điểm AB mà MA = 3MB  B trung điểm MH 2 2   IH  MH  40 IH  4BH  40 Ta có :   2 2 IH  BH  25 IH  BH  25    IH2  20  IH  Đường thẳng d qua M(7;3) có VTPT n(a;b) với a  b  : a(x  7)  b(y  3)   ax  by  7a  3b  a  b  7a  3b Ta có: IH  d(I,d)  2 a  b2  3a  2b  a  b  a b 2  2a  3ab  2b  2 b  a    a  2b  d : x  2y  13   a  2b  d : 2x  y  11  Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + = Tìm điểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600 (C) có tâm I(3;0) bán kính R = Gọi M(0; m)  Oy Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA MB   AMB  600 (1)   AMB  1200 (2) Vì MI phân giác AMB nên: (1)  AMI = 300  MI  IA  MI = 2R  sin 30 (2)  AMI = 600 hai điểm M1(0;  MI  7) IA sin 600 M2(0;   MI = 3 m2    m   R m2   3 Vô nghiệm Vậy có 7) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có phương trình AB, AC x  y   0, x  y   , điểm M 1;  thuộc đoạn thẳng BC Tìm tọa độ điểm D cho tích vô hướng DB.DC có giá trị nhỏ Gọi vec tơ pháp tuyến AB, AC , BC n1 1;2 , n2  2;1 , n3  a; b  Pt BC có dạng a  x  1  b  y    , với a  b  Tam giác ABC cân A nên     cos B  cos C  cos n1 , n3  cos n2 , n3  a  2b a  b2  2a  b a  b2 Nguyễn Văn Lực  a  b  a  b Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Với a  b Chọn b  1  a   BC : x  y    B  0;1 , C   ;  , không thỏa mãn 3   M thuộc đoạn BC Với a  b Chọn a  b   BC : x  y    B  4; 1 , C  4;7  , thỏa mãn M thuộc đoạn BC Gọi trung diểm BC I  I  0;3    BC BC  Ta có DB.DC  DI  IB DI  IC  DI  4 Dấu xảy D  I Vậy D  0;3 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 7.5 Tính diện tích tam giác Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) đường thẳng  : x  y   Tìm  hai điểm A B đối xứng qua I(2;5/2) cho diện tích tam giác ABC bằng15 + Gọi A(a; S ABC  3a  16  3a )  B (4  a; ) Khi diện tích tam giác ABC 4 AB.d (C   )  AB +Theo giả thiết ta có a    3a  AB   (4  2a)     25   a     Vậy hai điểm cần tìm A(0;1) B(4;4) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao AH có phương trình x  y  10  đường phân giác BE có phương trình x  y   Điểm M (0;2) thuộc đường thẳng AB cách đỉnh C khoảng Tính diện tích tam giác ABC Gọi N điểm đối xứng M qua phân giác BE N thuộc BC Tính N(1; 1) Đường thẳng BC qua N vuông góc với AH nên có phương trình 4x − 3y – = B giao điểm BC BE Suy tọa độ B nghiệm hệ pt: 4 x  y    B(4;5)   x  y 1  A E M(0;2 ) I B N C H Đường thẳng AB qua B M nên có phương trình : 3x – 4y + = A giao điểm AB AH, suy tọa độ A nghiệm hệ pt: 3x  y    A(3;  )   3x  y  10  Điểm C thuộc BC va MC = suy tọa độ C nghiệm hệ pt: Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com C (1;1)  x  1; y  4 x  y       31 33   31 33 2 C  ;  x  ; y   x  ( y  2)  25 25    25 25  Thế tọa độ A C(1; 1) vào phương trình BE hai giá trị trái dấu, suy A, C khác phía BE, BE phân giác tam giác ABC Tương tự A C  31 33  ;  A, C phía với BE nên BE phân giác  25 25  tam giác ABC BC = 5, AH  d ( A, BC )  49 49 Do S ABC  (đvdt) 20 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : 2x  y 1  điểm A  1;  Gọi M giao điểm  với trục hoành Tìm hai điểm B, C cho M trung điểm AB trung điểm N đoạn AC nằm đường thẳng  , đồng thời diện tích tam giác ABC y A N C x M B 2 x  y   1   M  ;0  2  y  Tọa độ M:  x 1   B  2;   y   Giả sử B  x; y  , M trung điểm AB nên  Giả sử C  x; y  , ta có:  x 1 y  N   2       S  BC d A ;    ABC  4   x  2   y  2  2 x  y  x   x  y     2 x    x     y    80 5 x  20 x  60  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com ĐS: B  2;   , C  6;  10  C  2;  Câu Trong mp(Oxy) cho điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) : x  y   cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích Viết phương trình đường AB: x  y   AB  Viết phương trình đường CD: x  y  17  CD  17 Điểm M thuộc  có toạ độ dạng: M  (t;3t  5) Ta tính được: d ( M , AB)  13t  19 ; d ( M , CD)  11t  37 17 Từ đó: S MAB  S MCD  d ( M , AB) AB  d ( M , CD).CD  t  9  t  7  Có điểm cần tìm là: M (9; 32), M ( ; 2) Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C1 ) : ( x  1)  ( y  1)  có tâm I đường tròn (C ) : ( x  4)  ( y  4)  10 có tâm I , biết hai đường tròn cắt A B Tìm tọa độ diểm M đường thẳng AB cho diện tích tam giác MI1 I Tìm tọa độ diểm M Phương trình đường thẳng d qua điểm A B (trục đẳng phương) d :x y40 Đường thẳng I1 I  qua tâm I I I I  : x  y  M ( m;  m)  d S MI 1I  d M , ( I I .I I  m  4, m  Vậy : M (4; 0) M ( 0; 4) Câu Cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có tâm I diện tích 100 Khoảng cách từ I đến (P) Chứng minh (P) cắt (S) theo đường tròn, tính diện tích hình tròn Theo công thức tính diện tích mặt cầu, ta có Smc  4 R2  100  R  Vì d ( I ,( P))   R nên (P) cắt (S) theo đường tròn (C) Gọi H, r thứ tự tâm bán kính đường tròn (C), ta có r  R  IH  52  32  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vậy diện tích hình tròn (C) là: S =  r  16 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : x  y   A(  4; 8) Gọi E điểm đối xứng với B qua C, F(5;  4) hình chiếu vuông góc B đường thẳng ED Tìm tọa độ điểm C tính diện tích hình chữ nhật ABCD Ta có C  d : x  y   nên C(t; –2t – 5) Ta chứng minh điểm A, B, C, D, F nằm đường tròn đường kính BD Do tứ giác ABCD hình chữ nhật AC đường kính đường tròn trên, nên suy AFC  90  AC  AF  CF Kết hợp với gt ta có phương trình: (t  4)2  (2t  13)2  81  144  (t  5)2  (2t  1)2  t  Từ ta C(1; –7) Từ giả thiết ta có AC // EF, BF  ED nên BF  AC, C trung điểm BE nên BF cắt vuông góc với AC trung điểm Suy F đối xứng với B qua AC, suy ∆ABC = ∆AFC  S ABC  S AFC  S ABCD  S AFC  75 (đvdt) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 7.6 Viết phương trình đường tròn Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường thẳng d: x+y=0 d’: x-y=0 Gọi (C) đường tròn tiếp xúc với d A,cắt d’ điểm B,C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (C) biết diện tích tam giác ABC A có hành độ dương Ta thấy đường tròn (C ) đường tròn ngoại tiếp tam giác vông ABC,có đường kính AC Điểm A thuộc d nên A(a;-a ) (a>0) +Đường thẳng AB qua A vuông góc với d’ có pt: x+ y+2a=0  a  Do B giao điểm AB với d’ B   ;  a 3   + Đường thẳng AC qua A vuông góc với d có pt: x- y-4a=0 Do C giao điểm AC với d’ C  2a; 2a  -1 Ta lại có S ABC = AB.BC     =>a=  Vậy A  ; 1 , C   ; 2       3 Do đường tròn (C ) có tâm I   ;   trung điểm AC bán kính  2 R=IA=1 2   3  Vậy pt của( C):  x    y   1 3    Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x  y   , d2: x  y –  tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 điểm C thuộc d2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do B  d1 nên B(m; – m – 5), C  d2 nên C(7 – 2n; n) Do G trọng tâm ABC nên  PT đường tròn ngoại tiếp 2  m   2n  3.2 m  1  B(–1;   3  m   n  3.0 n  83 17 338 0 ABC: x  y  x  y  27 27 –4), C(5; 1) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (S), có A C đối xứng qua BD Phương trình AB: y – = 0; phương trình BD: 3x  y   Viết phương trình đường tròn (S) biết diện tích tứ giác ABCD xA > 0, y A  yD Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com +B giao điểm AB BD, tìm B(0; 2) +Tính góc hai đường thẳng AB BD 600 +Ta có BD đường trung trực dây cung AC nên BD đường kính +Tam giác ABD vuông A có ABD  600  AD  AB +Ta có S ABCD  2SABD  SABD   AB AD  AB   AB  2 +Ta có A  AB  A  a;2 , a  0, AB   a;0   a  AB    02   a  (a  0) suy A  2;  +Ta có D  BD  D  d ; 3d   , AD   d  2; 3d   d  1 d  Nên AD  AB   d     3d    4d  4d     2     D 1;   Suy  Vì yA < yD nên chọn D 2;   D 2;      + Đường tròn (S) có tâm I 1;   , bán kính IA  nên có phương trình:  x 1    y 32  Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d1 : x  y   ; d : x  y  d3 : 3x  y   Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d3, cắt d1 A B, cắt d2 C D cho tứ giác ABCD hình vuông Gọi I(a; 3a – 2) Vì ABCD hình vuông  d(I, AB) = d(I, CD) = d  7a - 10 = 7a -  a =  I(1;1)  d = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Bán kính: R = d =  pt(C):  x - 12 +  y - 12 = 18 Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x  y   hai đường tròn: (C1 ) : x2  y  x  y  23  ; (C2 ) : x2  y  12 x 10 y  53  Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với đường tròn (C1 ) tiếp xúc với đường tròn (C2 ) +) (C1 ) có tâm I1 (3; 4) , bán kính R1  ; (C2 ) có tâm I1 (3; 4) ,bán kính R2  2 +) Gọi I tâm, R bán kính đường tròn (C) I  d  I (a; a  1) +) (C) tiếp xúc với (C1 )  II1  R  R1 (1) +) (C) tiếp xúc với (C2 )  II  R  R2  R  II  R2 (2) +) TH1: R  R1 , (1)  R  II1  R1 , từ (1) (2) ta có: II1  R1  II  R2  (a  3)2  (a  3)   (a  6)  (a  6)  2  a   I (0; 1); R   PT đường tròn (C): x  ( y  1)  32 +) TH2: R  R1 , (1)  R  R1  II1 , từ (1) (2) ta có: R1  II1  II  R2   (a  3)  (a  3)  (a  6)  (a  6)  2  a   a  36  (vô ng) +) KL: … Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có A(4; 6), phương trình đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh C x  y  13  x  13 y  29  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC - Gọi đường cao trung tuyến kẻ từ C CH CM Khi Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com CH có phương trình x  y  13  , CM có phương trình x  13 y  29  2 x  y  13   C (7;  1) 6 x  13 y  29  - Từ hệ  - AB  CH  n  u AB CH  (1, 2)  pt AB : x  y  16   x  y  16   M (6; 5)  B (8; 4) 6 x  13 y  29  - Từ hệ  - Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x  y  mx  ny  p  52  4m  6n  p  m  4  - Vì A, B, C thuộc đường tròn nên 80  8m  4n  p   n  50  m  n  p   p  72   2 Suy pt đường tròn: x  y  x  y  72  hay ( x  2)  ( y  3)  85 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d 1: x – 2y + = 0, d2 : 4x + 3y – = Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I d 1, tiếp xúc d2 có bán kính R =  x  3  2t , I  d1  I (3  t ; t ) y  t d1:  d(I , d2) =  11t  17  10  t   t= 27  21 27   I1  ;  11  11 11  27 , t 11 11 2 21   27   (C1 ) :  x     y    11   11    19  19   7  ;  (C ) :  x     y     t =  I  11 11   11   11 11   2 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3; 4), đường thẳng d : x  y   đường tròn (C ) : x  y  x  y   Gọi M điểm thuộc đường thẳng d nằm đường tròn (C) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B tiếp điểm) Gọi (E) đường tròn tâm E tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn (E) có chu vi lớn Đường tròn (C) có tâm I (2;1) , bán kính R  Do M  d nên M (a;1  a ) Do M nằm (C) nên IM  R  IM   (a  2)  (a)   2a  4a   (*) Ta có MA  MB  IM  IA  (a  2)  (a)   2a  4a  Do tọa độ A, B thỏa mãn phương trình: ( x  a)  ( y  a  1)  2a  4a   x  y  2ax  2(a  1) y  6a   (1) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Do A, B thuộc (C) nên tọa độ A, B thỏa mãn phương trình x  y  x  y   (2) Trừ theo vế (1) cho (2) ta (a  2) x  ay  3a   (3) Do tọa độ A, B thỏa mãn (3) nên (3) phương trình đường thẳng  qua A, B +) Do (E) tiếp xúc với  nên (E) có bán kính R1  d ( E, ) Chu vi (E) lớn  R1 lớn  d ( E ,  ) lớn 11 Nhận thấy đường thẳng  qua điểm K  ;  2  Gọi H hình chiếu vuông góc E lên   d ( E, )  EH  EK  10 Dấu “=” xảy H  K    EK Ta có EK    ;  ,  có vectơ phương u  (a; a  2)  2 Do   EK  EK.u    a  (a  2)   a  3 (thỏa mãn (*)) Vậy M  3;4 điểm cần tìm Câu Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (C): đường tròn (C’) tâm M(5;1) biết (C’) cắt (C) A, B cho AB= lớn Viết pt bán kính Từ pt đường tròn (C) Tâm I(1;-2) R= Đường tròn (C’) tâm M cắt đường tròn A, B nên AB trung điểm H AB Nhận xét : Tồn vị trí AB (hình vẽ) AB, A’B’ chúng có độ dài Các trung điểm H, H’ đối xứng qua tâm I nằm đường thẳng IM Ta có : IH’=IH= Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Mà nên MH=MI-HI= ; MH’=MI+IH’= loại) Vậy (C’) : =43 Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình d1 : x  y   0, d : 3x  y   tam giác ABC có diện tích trực tâm I thuộc d1 Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ giao điểm d1 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết điểm I có hoành độ dương Gọi M  AI  BC Giả sử AB  x( x  0), R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC x2 x2  3 x2 4 -Do tam giác ABC nên S ABC  -Do tam giác ABC nên trực tâm I tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác 1 3 3 Giả sử I (2a  2; a)  d1 (a  1) ABC  r  IM  AM  Do d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên d (I ; d2 )  r  3(2a  2)  3a  99  62 a  1(l )    3a       a  Suy I (2; 2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính R  AM  3  phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC : ( x  2)  ( y  2)  Giao điểm đường thẳng (d1 ) (C ) nghiệm hệ phương trình: x  y     2 ( x  2)  ( y  2)  Vậy giao điểm (d1 ) ( d ) E (2  Nguyễn Văn Lực 4 ;2  ), F (2  ;2  ) 15 15 15 15 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 [...]... c   0 2 c  7( t / m) 2  5c  48c  91  0   13 c  (loai ) 5   (c  1) Suy ra: C (7; 7) => E(4;4) Pt BD: x+y−8=0, pt BC:x 7= 0 ⇒B (7, 1)⇒D(1 ,7) Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là điểm đối xứng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD.Tam giác BDM 2 2 nội tiếp đường tròn (T) có phương trình:  x  4    y  1  25 Xác định tọa độ các đỉnh của...  6 y  72  0 hay ( x  2)  ( y  3) 2  85 Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d 1: x – 2y + 3 = 0, d2 : 4x + 3y – 5 = 0 Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I trên d 1, tiếp xúc d2 và có bán kính R = 2  x  3  2t , I  d1  I (3  t ; t ) y  t d1:  d(I , d2) = 2  11t  17  10  t   t= 27  21 27   I1  ;  11  11 11  27 7 , t 11 11 2 2 21   27   (C1... Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang OABC (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng 6, OA song song với BC, đỉnh A  1;2  , đỉnh B thuộc đường thẳng  d1  : x  y  1  0 , đỉnh C thuộc đường thẳng  d 2  : 3x  y  2  0 Tìm tọa độ các đỉnh B, C OA : 2 x  y  0 OA BC  BC : 2 x  y  m  0  m  0  x  y 1  0 x  1 m   B 1  m; m  2   2 x  y  m  0 y  m  2   B Tọa độ. ..  0 b b b 2 b    2 2 2   a 171  2 975 86a  171 ab  86b  0 (loai do a,b  Z) 86  a   171 a  86  0  b  172 b   b  a + Với  2 , chọn a = 2, b= -1   : 2 x  y  1  0 b a 1 + Với  , chọn a = 1, b= 2   : x  2 y  12  0 b 2 Có hai có hai đường thẳng thỏa điều kiện bài toán là 2x–y+1=0, x+2y–12 = 0 Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  : y  2  0 và... IA 0  MI = 2R  sin 30 (2)  AMI = 600 hai điểm M1(0;  MI  7) IA sin 600 và M2(0;   MI = 2 3 3 m2  9  4  m   7 R m2  9  4 3 3 Vô nghiệm Vậy có 7) Câu 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có phương trình AB, AC lần lượt là x  2 y  2  0, 2 x  y  1  0 , điểm M 1; 2  thuộc đoạn thẳng BC Tìm tọa độ điểm D sao cho tích vô hướng DB.DC có giá trị nhỏ nhất Gọi... 2x-y -7= 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2 Gọi I là tâm đường tròn đường kính AM thì I là trung điểm A B AM I MIN  sd MN  2MBN  900 Dễ thấy M E Điểm C  d: 2x-y -7= 0 C(c;2c -7) H Họi H là trung điểm của MN =>H(11/2; 9/2) N Phương trình đường thẳng  trung trực của MN đi qua H và vuông góc với MN là d: x-5y+ 17= 0 D C Điểm I => I(5a - 17; a)... (4; 4) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm C Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com trên đường thẳng  sao cho tam giác ABC vuông tại B Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  : y  2  0 và các điểm A(0;6), B (4; 4) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng  sao cho tam giác ABC vuông tại... luận A  1;5 B  3; 1 , D  5;3 Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D ; AB = AD , AD < CD ; B(1;2) ; phương trình đường thẳng BD : y =2 Biết rằng đường thẳng d : 7x-y-25 = 0 cắt các cạnh AD,CD lần lượt tại M,N sao cho BM vuông góc với BC và tia BN là tia phân giác của MBC Tìm tọa độ đỉnh D có hoành độ dương Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên... , CD).CD  t  9  t  7 3 7  Có 2 điểm cần tìm là: M (9; 32), M ( ; 2) 3 Câu 5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C1 ) : ( x  1) 2  ( y  1) 2  4 có tâm là I 1 và đường tròn (C 2 ) : ( x  4) 2  ( y  4) 2  10 có tâm là I 2 , biết hai đường tròn cắt nhau tại A và B Tìm tọa độ diểm M trên đường thẳng AB sao cho diện tích tam giác MI1 I 2 bằng 6 Tìm tọa độ diểm M Phương trình đường... 3t  6  2 2  3 2  10t 2  44t  34  0 t  1  17 16    17  A  ;    loai, A 1; 4   t / m t  5  5 5  Làm tương tự cho điểm B, với M là trung điểm của BC x 3 2 5 1   M  ;  2 2 2 2  C 1; 2  Gọi I là tâm của hình vuông Từ đó BM   I 1;1  D  2;1 Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5 ;7) nằm trên cạnh BC Đường tròn đường kính AM cắt BC