PHẦN 9 tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

www.TOANTUYENSINH.com PHẦN TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 9.1 Tìm tọa độ điểm Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A  4;1;3 đường thẳng x 1 y 1 z    Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A vuông góc với 2 đường thẳng d Tìm tọa độ điểm B thuộc d cho AB  27 Đường thẳng d có VTCP ud   2;1;3 d: Vì  P   d nên  P  nhận ud   2;1;3 làm VTPT Vậy PT mặt phẳng  P  : 2  x    1 y  1   z  3   2 x  y  z  18  Vì B  d nên B  1  2t;1  t; 3  3t  AB  27  AB  27    2t   t   6  3t   27  7t  24t   t   t   13 10 12 Vậy B  7; 4;6  B   ; ;   7  7 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;0;0) đường thẳng d x  y 1 z 1   Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A có phương trình vuông góc với đường thẳng d Từ suy tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc A lên đường thẳng d +) d có VTCP u  1; 2;1 +) (P) qua A(-1;0;0) có VTPT n  u  1; 2;1 có pt : x + 2y + z +1 = +) H giao điểm (d) (P) nên tọa độ H nghiệm hệ pt x   x  y 1 z 1       y  1 Vậy H(1;-1;0)   x  y  z   z   Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;-1;4), B(0;1;0) x đường thẳng : 2t y t , z t t Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vuông góc với đường thẳng tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho tam giác ABM vuông M Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com (2; 1;1) a) * Mp(P) có vtpt n a *Ptmp(P) là: 2x – y + z - = *Xét ptgđ đt mp(P) 4t – 1(1-t) + (4 + t) - = * Gọi N gđ cần tìm Thay t = vào đt ta N(2 ; ; 5) t = b) Ta có M nên tọa độ M(2t ; 1- t ; + t) Vì tam giác ABM vuông M nên ta có t=0 AM BM AM BM t= 2 13 ) 3 * Vậy ta có hai điểm M cần tìm M(0;1;4), M( ; ; Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1;0;3), C(0;2;1) Lập phương trình mặt cầu đường kính AB tìm tọa độ điểm H chân đường cao kẻ từ A tam giác ABC Tìm tọa độ tâm I mặt cầu I(0;-1;2), bán kính mặt cầu: R  Phương trình mặt cầu (S): x  ( y  1)2  ( z  2)2  Giả sử H(x;y;z), AH  (x 1; y 2; z1), BC  (1; 2; 2), BH  ( x  1; y; z  3) AH  BC  AH BC   x  y  z  5 2 x  y  2 23 BH phương BC   , Tìm H(  ; ; ) 9 y  z  Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2;5;1 mặt phẳng ( P) : x  y  z  24  Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc A mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784 tiếp xúc với mặt phẳng (P) H, cho điểm A nằm mặt cầu  x   6t  Gọi d đường thẳng qua A vuông góc với (P) Suy ra: d :  y   3t  z   2t  Vì H hình chiếu vuông góc A (P) nên H  d  ( P) Vì H  d nên H   6t;5  3t;1  2t  Mặt khác, H  ( P ) nên ta có:   6t     3t   1  2t   24   t  1 Do đó, H  4; 2;3 Gọi I , R tâm bán kính mặt cầu Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Theo giả thiết diện tích mặt cầu 784 , suy 4 R  784  R  14 Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) H nên IH  ( P )  I  d Do tọa độ điểm I có dạng I   6t;5  3t;1  2t  , với t  1 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:    6t     3t   1  2t   24  t   14  d ( I , ( P ))  14 2    (2)    t  3  t   AI  14    2  t  2 2    6t    3t    2t   14 Do đó, I  8;8;  1 Vậy, mặt cầu ( S ) :  x  8   y  8   z  1  196 2 Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC) *Từ phương trình đoạn chắn suy pt tổng quát mp(ABC) là:2x+y-z-2=0 *Gọi H hình chiếu vuông góc O l ên (ABC), OH vuông góc với (ABC) nên OH // n(2;1;1) ; H   ABC  Ta suy H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t= 1 suy H ( ; ; ) 3 3 3 *O’ đỗi xứng với O qua (ABC)  H trung điểm OO’  O ' ( ; ; ) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x đường thẳng d : x y y z z Tìm tọa độ giao điểm (P) d; tìm tọa độ điểm A thuộc d cho khoảng cách từ A đến (P) x   t  Ta có phương trình tham số d  y  1  2t  z  t  I  d  ( P )  Ta có phương trin ̀ h: (2  t )  (1  2t )  (t )    t  1  I (1;1;1) Ta có A  d  A(2  t; 1  2t; t ) (2  t )  (1  2t )  (t )  2t  Khi đó, ta có d ( A;( P))   12  12  12 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com t  4   t     t  Khi đó t  4  A(2;7; 4); t   A(4; 5; 2) Vâ ̣y d ( A;( P))   2t  Câu Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;  4; 0) , B (0; 2; 4) , C (4; 2; 1) Tính diện tích tam giác ABC tìm tọa độ điểm D trục Ox cho AD  BC Tính diện tích tam giác ABC AB; AC    18; 7;  24 S 18   24  494 Tìm tọa độ điểm D trục Ox cho AD  BC Gọi D(x; 0; 0) Ta có AD  BC ( x )2 42 02 42 02 32 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z   hai điểm A 1; 3;0  , B  5; 1; 2  Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng  P  cho MA  MB đạt giá trị lớn Kiểm tra thấy A B nằm khác phía so với mặt phẳng  P  Gọi B '  x; y; z  điểm đối xứng với B  5; 1; 2  Suy B '  1; 3;  Lại có MA  MB  MA  MB '  AB '  const Vậy MA  MB đạt giá trị lớn M , A, B ' thẳng hàng hay M giao điểm đường thẳng AB ' với mặt phẳng  P  A B’ P M B x  1 t  AB ' có phương trình  y  3  z  2t  x  1 t t  3  y  3  x  2    Tọa độ M  x; y; z  nghiệm hệ   z  2t  y  3  x  y  z    z  Vậy điểm M  2; 3;6  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 9.2 Phương trình đường thẳng Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A(7;2;1), B( 5; 4; 3) mặt phẳng (P ) : 3x 2y 6z Viết phương trình đường thẳng AB chứng minh AB song song với (P)  x   12t  + Đường thẳng AB qua A, VTCP AB   12; 6; 4 có PTTS  y   6t  z   4t   x   12t  y   6t  + Xét hệ phương trình  CM hệ VN z   t  3 x  y  z   Câu Trong khoâng gian Oxyz cho đđường thẳng (d1) : thẳng (d2) : x2 y z 3   đường 2 2 x 1 y 1 z    Tìm tọa độ giao điểm của( d1 )và ( d2).Viết phương 2 1 trình đường thẳng (d) đối xứng (d1) qua (d2) Tọa độ giao điểm I(1;2;-1) Trên (d1) lấy M1(2;0;-3).tọa độ hình chiếu M1lên (d2) H( 22 34 11 ; ; ) 7 15 20 4 đường thẳng (d) qua I có VTCP IM  ( ; ; ) 7 15  x  1 t  20 PTTS(d):  y   t (t  )    z  1  t  13 17 16 ; ; ) 7 Điểm đối xứng M1 qua (d2) M’1( Câu Trong không gian oxyz cho điểm A(0;2;2) Viết phương trình đường thẳng   x  2    ; đồng thời cắt d :  y  t qua A vuông góc đường thẳng d1 : 2 z   t  Giả sử  cắt d B(-2;t;1+t) x 1 Nguyễn Văn Lực y2 z Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Ta có AB   2; t  2; t  1 Đường thẳng d1 có VTCP u   3; 2;   vuông d1  AB.u   t   AB   2;1;   x  2u  Vậy  qua A có VTCP AB   2;1;  có PTTS:  y   u  z   2u  Câu Viết phương trình đường thẳng  qua A  3; 2; 4  , song song với mặt phẳng  P  : 3x  y  3z   cắt đường thẳng  d  : x  y  z 1   2 Ta có nP  3; 2; 3 Giả sử B(2 + 3t ; –4 – 2t ; + 2t) giao điểm  d Khi AB  1  3t; 2  2t;5  2t  , AB ||  P   AB  nP  AB.nP   t  Vậy B(8; 8;5) AB  5; 6;9 Vậy phương trình đường thẳng    : x 3 y  z    6 Câu Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vuông góc đường thẳng (d) x y 1 z 1   mặt phẳng (P): x + y – z +1 =0  x  2t  PTTS d :  y  1  t  z   3t  Thay x, y, z phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 2t – +t – – 3t + =  Phương trình vô nghiệm  d // (P) Lấy điểm A(0; 1;1)  d x  t  Gọi  đường thẳng qua A vuông góc với mp(P)   :  y  1  t z   t  Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng (P)  H    (P) Thay x, y, z phương trình  vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 1 2 t – + t – + t + =  t   H ; ;  3 3 Gọi d’ hình chiếu d lên mặt phẳng (P)  d ' qua H song song với d Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  x   2t    d ' : y    t  z   3t Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x 1 y 1 z 1 x 1 y  z 1     ; d2: mặt phẳng (P): x - y - 2z + = Viết 1 1 phương trình tắc đường thẳng , biết  nằm mặt phẳng (P)  cắt hai đường thẳng d1 , d2 Gọi A = d1(P) suy A(1; ; 2) ; B = d2  (P) suy B(2; 3; 1) Đường thẳng  thỏa mãn toán qua A B Một vectơ phương đường thẳng  u  (1;3; 1) Phương trình tắc đường thẳng  là: x 1 y z    1 Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  : x 1 y  z    2 mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + = Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P), qua M(2; 2; 4) cắt đường thẳng () Đường thẳng () có phương trình tham số: Mặt phẳng (P) có VTPT n  (1; 3; 2) Giả sử N(1 + 3t ;  2t ; + 2t)    Để MN // (P)  x  1  3t   y   2t t   z   2t  MN n   t   MN  (3t  3; 2t ;2t  2) N(20; 12; 16) Phương trình đường thẳng cần tìm : x2 y2 z4   7 Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x3 y 9 z 6 d: mặt phẳng (P): Lập phương trình đường   2 3 thẳng nằm mặt phẳng (P), vuông góc với d cách d khoảng 238 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Gọi chứa Giả sử H Hạ HK , Vậy góc AKH nhọn góc (P) (Q) Và HK đoạn vuông góc chung d nên Do (Q) vuông góc với d nên (Q) có dạng: Với Với Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng  P  : x  y  z   , mặt phẳng (Q) : 2x  y  2z   đường thẳng D: x 2 y 3 z 4   Tìm điểm M thuộc D , N thuộc mặt phẳng (P) cho 1 1 MN vuông góc với mặt phẳng (Q) MN = VTPTn Q  (2;1; 2) M  D  M   t;3  t;  t  MN   Q   MN  kn Q   2k; k; 2k   N  2k  t  2; k  t  3; 2k  t   N   P   k  t  3 MN   k   k  1 k   t  4 : M  6; 1;0  ; N(8;0; 2) k  1  t  2 : M  4;1;  ; N  2;0;  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 9.3 Phương trình mặt phẳng Câu Trong không gian Oxyz , cho điểm A( 3;2; 3) hai đường thẳng d1 : x -1 y + z - x - y -1 z - = = = = d : 1 -1 a/ Chứng minh d1 d2 cắt b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 d2 Tính khoảng cách từ A đến mp(P) a/  d1 qua điểm M1(1; 2; 3) , có vtcp u1 (1;1; 1)  d2 qua điểm M (3;1;5) , có vtcp u2 (1;2; 3)  Ta có [u1, u2 ] M1M 1 1 1 ; 1 ; (5; 4;1) (2; 3;2)  Suy ra, [u1, u2 ].M1M 5.2 4.3 1.2 , d1 d2 cắt b/ Mặt phẳng (P) chứa d1 d2  Điểm (P): M1(1; 2; 3)  vtpt (P): n [u1, u2 ] (5; 4;1)  Vậy, PTTQ mp(P) là: 5(x 1) 4(y 2) 1(z 3) 5x 4y z 16  Khoảng cách từ điểm A đến mp(P) là: 5.( 3) d (A,(P )) ( 3) ( 4) 16 42 42 42 gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  S  : x  y  z  x  y  z   mặt phẳng (α) : x - 2y + 2z + = Câu Trong 4.2 2 không mặt cầu a Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu (S) tới mặt phẳng (α) b Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) a (S) có tâm I(2;-1;-2) bán kính R=4 Do d(I,(  ))=1 b Viết phương trinh mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) Vì mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) nên pt (β) có dạng x-2y+2z+D=0 Ta có d(I, (β))=R Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  D 4  D  12  D  12  Vậy (β) có pt x-2y+2z+12=0 x-2y+2z-12=0 Câu Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;3;  1 , B   1;1;3 đường thẳng d có phương trình x y 1 z  Viết phương trình mặt phẳng trung trực   1 đoạn AB tìm điểm C đường thẳng d cho CAB tam giác cân C Tọa độ trung điểm M đoạn AB: M  0; 2; 1 , AB    2;  2;  Mặt phẳng trung trực (P) đoạn AB qua M, nhận n  1; 1;   làm VTPT nên có phương trình: x  y    z  1   x  y  z  CAB cân C  CA  CB  C   P   x y 1 z     C   6; 4;  1 Vậy C giao điểm d với (P), tọa độ C nghiệm:  1 x  y  2z   Câu S  : Trong không gian với hệ tọa x  y  z  x  y  z   , đường thẳng d : độ Oxyz, x y 1 z    1 cho mặt cầu a Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) b Viết phương trình đường thẳng qua tâm mặt cầu (S), cắt vuông góc với đường thẳng d d có vtcp u  (1; 2; 1) , (S) có tâm I(2;-1;-2) bán kính R=4 Vì (P) vuông góc với d nên (P) nhận u  (1; 2; 1) làm vtpt Do pt (P) có dạng x+2y-z+D=0 Mặt khác (P) tiếp xúc với (S) nên ta có  D  2   4  D  2  Vậy pt (P) x+2y-z-2+ =0 x+2y-z-2- =0  xt  Pt d viết dạng tham số  y   2t  z  2t  d(I,(P))=R 2 D Gọi d’ đt cần tìm,và H(t ;1+2t ;2-t) giao điểm d d’ Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Ta có IH  (t  2;  2t;  t ) Và IH u  t-2+2(2+2t)-(4-t)=0t=1/3 Vậy H(1/3 ;5/3 ;5/3) Do d’ qua điểm I(2;-1;2) H(1/3 ;5/3 ;5/3)  x   5t Vậy pt đt cần tìm  y  1  8t  z  2  11t  Câu Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A 1;1;1 , B  2;1;0  , C  2;0;  Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm B, C cách A khoảng lớn Lập luận để mặt phẳng cần tìm mặt phẳng cần tìm mặt phẳng qua BC vuông góc với (ABC) n ABC    BC , AB   1; 2;1 BC   0; 1;2 , AB  1;0; 1 Vectơ pháp tuyến (ABC) là: Suy VTPT   : n   BC , n ABC     5; 2;1 Pt   : 5 x  y  z   Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 1; 1;  , B  3;0; 4  mặt phẳng (P) : x  y z   Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng (P) AB   2;1; 6  vtcp đường thẳng AB  x   2t  Ptts AB:  y  1  t  z   6t  t  R  Gọi M giao điểm AB (P) Khi M 1  2t; 1  t;  6t  M  (P)  1  2t    1  t     6t     t  4   M  ;  ;1 3  Vtpt nQ    AB, n P     10; 10; 5  Q  : x  y  z   Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – = mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = (Q) chứa Ox  (Q): ay + bz = Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính (Q) qua tâm I Suy ra: –2a – b =  b = –2a (a  0)  (Q): y – 2z = Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;2), B(0; 0;2) đường thẳng d : x y z 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với d phương trình mặt cầu có tâm B, tiếp xúc với (P) Véc tơ phương d u  (2; 2;1) (P)  d  (P) nhận u  (2; 2;1) véc tơ pháp tuyến  Phương trình (P) : 2( x  2)  2( y  1)  ( z  2)   2 x  y  z   Gọi (S) mặt cầu tâm B, có bán kính R Ta có (S) tiếp xúc với (P) nên ta có R  d (B;(P))   phương trình mặt cầu (S): x  y  ( z  2)  Câu Trong không gian Oxyz ,cho điểm M(0;2;0) hai đường thẳng d1 ; d2 có x 1 y  z 1 x  y 1 z   ; d2 :   Viết phương trình mặt phương trình: d1 : 2 2 phẳng (P) qua M , song song với trục Ox , cho (P) cắt hai đường thẳng d1 ; d2 A, B cho AB = Giả sử có mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu đề A  d1  A 1  2t ;2  2t ; 1  t  B  d  B   2l ; 1  2l ; l  AB   2(l  t )  2; 2(l  t )  3;(l  t )  1 l  t  1 AB  9(l  t )  22(l  t )  14    13 l  t    Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com *l  t  1  AB   0; 1;0   VTPT n( P )   AB; i   (0;0;1) Pt mặt phẳng (P): z = ( loại (P) chứa Ox) *l  t  13 / 1  8 1 4    AB   ; ;   VTPT n ( P )   AB; i    0;  ;  9  9   Pt mặt phẳng (P): - y + z + = ( thỏa đề nhận) Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z   mặt phẳng (P): x + y + z + 2015 = a) Xác định tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu (S) Viết phương trình đường thẳng qua I vuông góc với mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) tiếp xúc (S) (S): x  y  z  x  y  z   (P): x + y + z + 2015 = a) (S) có tâm I(1; -2; 3) R = x   t (D) qua I(1; -2; 3) có VTCP u = (1; 1; 1;) có ptts :  y  2  t z   t  b) (Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = (D  2015) d  I ,  Q     D  2  Vậy (Q) : x + y + z 2   Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : x 1 y  z x 3 y z 2 Tìm tọa độ giao điểm      :   3 5 viết phương trình mặt phẳng (P) cho đường thẳng  hình chiếu vuông góc đường thẳng  lên mặt phẳng (P) Viết lại   dạng tham số Giải hệ phương trình tìm giao điểm A(3; 0; 2) Đường thẳng  có VTCP u1   2; 3;2 Đường thẳng  có VTCP u2   6; 4; 5 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Gọi (Q) mặt phẳng chứa 1 ,  (Q) có VTPT n  u1 , u2   (7; 22; 26) Vì  hình chiếu vuông góc đường thẳng  lên mặt phẳng (P)  (P) chứa  ( P)  (Q) Do (P) qua A có VTPT n1   n , u2   (214;191; 104) (P) có phương trình là: 214 x  191 y  104 z  850  Câu 12 Trong không gian Oxyz cho điểm A  2;3;0  , B  0;1   , C 1, 4, 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa B, C song song với đường thẳng OA Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC n  BC  1;3;1  n   BC ; OA   3; 2; 3 n  OA   2;3;0   P  :   x     y  1   z    Theo đề mặt phẳng (P) có VTPT  mp(P)có VTPT n qua B suy  3x  y  3z    AB, AC    4;0; 4   S ABC  2   2S 4 22 d  A, BC   ABC   BC 11 11 Câu 13 Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; -2; -2) mặt phẳng  P : x  y  z 1  a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mp (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, vuông góc với mp (P) biết mp (Q) cắt hai trục Oy, Oz điểm phân biệt M N cho OM = ON a) Vì (S) có tâm A tiếp xúc (P) nên bán kính (S) R = d(a, (P)) = (S) là: ( x  3)  ( y  2)  ( z  2)  Vậy pt 64 b) Gọi nQ VTPTcủa (Q), n P = (1;-1;-1) VTPT (P) Khi nQ  nP Mp(Q) cắt hai trục Oy Oz M  0; a;0  , N  0;0; b  phân biệt cho a  b  OM = ON nên a  b    a  b  + a = b MN   0; a; a  Nguyễn Văn Lực u  0; 1;1 nQ  u => nQ  u , nP    2;1;1 Khi mp Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com (Q): x  y  z   M  0; 2;0  ; N  0;0;  (thỏa mãn) + a = - b MN   0; a; a  u  0;1;1 nQ  u => nQ  u , nP    0;1; 1 Khi mp (Q): y  z  M  0;0;0  N  0;0;0  (loại) Vậy  Q  : x  y  z   Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d có phương trình x 1 y z 1   Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH  HI => HI lớn A  I Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H  d  H (1  2t ; t ;1  3t ) H hình chiếu A d nên AH  d  AH u  (u  (2;1;3) véc tơ phương d)  H (3;1;4)  AH (7;1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =  7x + y -5z -77 = Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình x2  y  z  x  y  z   Lập phương trình mặt phẳng ( P) chứa truc Oy cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn có bán kính r  (S ) : x2  y  z  x  y  z    ( x  2)2  ( y  3)2  ( z  1)2  16  ( S ) có tâm I (2; 3;1) bán kính R  ; trục Oy có VTCP j  (0;1;0) Gọi n  (a; b; c) VTPT mp(P) , ( P) chứa Oy  n  j  b   n  (a;0; c) (a  c  0) Phương trình mp(P): ax  cz  (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kinh r   d  I ,( P)  R  r   2a  c a c 2   4a  4ac  c  4a  4c c   3c  4ac    3c  4a Vậy phương trình mp(P) : x  3x  z  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 16 Trong không gian với ̣ to ̣a đô ̣ Oxyz, cho điể m M(1;-1;1) và hai đường x y 1 z x y 1 z    thẳng (d ) :  (d ') :  Chứng minh: điể m M, (d), (d’) 2 3 cùng nằ m mô ̣t mă ̣t phẳ ng Viế t phương trình mă ̣t phẳ ng đó *(d) qua M (0; 1; 0) có vtcp u1  (1; 2; 3) (d’) qua M (0;1; 4) có vtcp u  (1; 2;5) *Ta có u1; u   (4; 8; 4)  O , M1M  (0; 2; 4) Xét u1; u  M1M  16  14   (d) (d’) đồng phẳng *Gọi (P) mặt phẳng chứa (d) (d’) => (P) có vtpt n  (1; 2; 1) qua M1 nên có phương trình x  2y  z   *Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ ta có đpcm Câu 17 Cho mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z   a) Xác định tọa độ tâm I bán kính r mặt cầu (S) b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu M(1;1;1)  2 a  2 a   2b  b      a.Từ phương trình mặt cầu ta có:   2 c  8 c   d   d  Tọa độ tâm I(1; -3; 4) Bán kính: r    16   Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu M nên IM vuông với mp IM  (0; 4; 3) Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM  (0; 4; 3) có phương trình: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )   0( x  1)  4( y  1)  3( z  1)   y  3z   Câu 18 Trong không gian to ̣a đô ̣ Oxyz cho hai điể m A(1; 1; 1), B(2; 2; 2), mă ̣t phẳ ng (P): x + y  z + = và mă ̣t cầ u (S): x2 + y2 + z2  2x + 8z  = Viế t phương trình mă ̣t phẳ ng (Q) song song với đường thẳ ng AB, vuông góc với mă ̣t phẳ ng (P) và cắ t (S) theo mô ̣t đường tròn (C) cho diêṇ tích hình tròn (C) bằ ng 18 Mp(Q) // AB, (Q)  (P), cắ t (S) theo đường tròn có bán kính Ta có x2 + y2 + z2  2x + 8z  =  (x 1)2 + y2 + (z +4)2 = 24 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Suy (S) có tâm I(1 ; ;  4), bán kính R = Go ̣i n P , nQ lầ n lươ ̣t là vecto pháp tuyế n của mp(P), mp(Q) Ta có n P = (1; 1; 1), AB = (1; 3; 1), [ n P , AB ] = (4;  2; 2)  nQ  AB (Q ) / / AB  nên có thể cho ̣n nQ = [ n P , AB ] (Q )  ( P)  nQ  n P Ta có  Hay nQ = (2; 1; 1) Suy pt mp(Q): 2x  y + z + d = Go ̣i r, d lầ n lươ ̣t là bán kính của (C), khoảng cách từ tâm I của (S) đế n mp(Q) Ta có diêṇ tích hình tròn (C) bằ ng 18 nên r2 = 18 Do đó d2 = R2  r2 = 24  18 =  d = Ta có d =  |d 2| =  d = hoă ̣c d =  Từ đó, có mp là (Q1): 2x  y + z + = 0, (Q2): 2x  y + z  = Mp(Q) có pt có thể chứa AB Kiểm tra trực tiế p thấ y A(1; 1; 1)  (Q1) nên AB // (Q1); A(1; 1; 1)  (Q2) nên AB  (Q2) KL: pt mp(Q): 2x  y + z + = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 9.4 Phương trình mặt cầu Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0; 3), B(2; 0; 1) mặt phẳng ( P) : x  y  z   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường thẳng AB, bán kính 11 tiếp xúc với mặt phẳng (P) Đường thẳng AB qua A(0;0;-3) có VTCP AB  (2;0; 2)  x  2t  Nên phương trình tham số đường thẳng AB là:  y   z  3  2t  Gọi I tâm mặt cầu I(2t;0;-3+2t) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi: d ( I ;( P))  11  6t   3  2t   11  11  t   4t   22  4t   22     4t   22 t   13  t   I (9;0;6) Phương trình mặt cầu ( S ) : (x  9)  y  (z  6)  44 13 t    ( I  13;0; 16) Phương trình ( S )  (x  13)  y  (z  16)  44 Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 1;1;1), B(5;1; 1), C (2;5;2), D(0; 3;1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm điểm D, tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).Viết phương trình mp tiếp diện với mặt cầu (S) song song với mp(ABC) Ta có AB (6; 0; 2) , AC (3; 4;1) vtpt mp(ABC): n [AB, AC ]  PTTQ mp(ABC): 8(x 8x 1) 12y ; 12(y 1) 24(z 24z 2x 6 ; 3 1) 3y (8; 12;24) 6z 6.1 14 - Mặt cầu (S ) có tâm D, tiếp xúc mp(ABC) Tâm mặt cầu: A(0; 3;1)  Bán kính mặt cầu: R d (D,(ABC )) 2.0 3.( 3) 22 ( 3)2 62  Phương trình mặt cầu (S ) : x (y 3)2 (z 1)2  Gọi (P) tiếp diện (S ) song song với mp(ABC) (P) có phương trình 2x Nguyễn Văn Lực 3y 6z D (D Ninh Kiều – Cần Thơ 1)  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  Vì (P) tiếp xúc với (S ) nên d(I ,(P )) 2.0 R 3.( 3) 2 15 D 14 15 D 15 D  Vậy, phương trình mp(P) cần tìm là: 2x 14 14 3y 6z D 6.1 ( 3) D (loai) D 29(nhan) 29 Trong không gian với hệ tọa độ ÕOxyz , cho đường thẳng y 3 z6 hai mặt phẳng  P  : x  y  2z   ,  Câu : x  1 Q  : x  y  z   Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm thuộc  đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng  P  , Q  Gọi I tâm mặt cầu  S  , I  t;3  t; 6  t  d  I ;( P)   5t  12 , d  I ;(Q )    t  2  I  2;1; 4  , R  5t  , theo giả thiết  5t  Mặt cầu  S  :  x     y  1   z    5t  12 2 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3;2) , đường thẳng d: x 1 y  z   mặt phẳng ( P) : x  y  z   Tìm tọa độ giao điểm d 1 2 với (P) viết phương trình mặt cầu (S) qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P)  x  1  2t  d có phương trình tham số  y   t  z  2t  Gọi B  d  (P) , B  d nên B(1  2t;4  t ;2t ) Do B  (P ) nên 2(1  2t )  2(4  t )  2t    t   B(7;0;8) Gọi I tâm mặt cầu (S), I thuộc d nên I (1  2a;4  a;2a) Theo (S) có bán kính R  IA  d ( I , ( P ))  (2  2a)  (a  1)  (2  2a)   9a  2a   Nguyễn Văn Lực 2(1  2a)  2(4  a)  2a  22  22  12 4a  16 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 35 13 +) Với a   I  (1;3;2), R   ( S ) : ( x  1)  ( y  3)  ( z  2)  16 35 83 87 70 116 +) Với a    I    ; ; ; R  13 13  13 13 13   9(9a  2a  9)  (4a  16)  65a  110a  175   a  1; a   2 83   87   70  13456   (S ) :  x     y     z    13   13   13  169  Câu Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mp(P): x + y + z – = hai đường thẳng d1 : x 1 y  z 1   ; 1 d2 : x  y 1 z 1   Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d 1, tiếp xúc với d2 cắt mp(P) theoo đường tròn có bán kính r = ,biết tâm mặt cầu có cao độ dương d2 qua A(2;1;-1) có vtcp ud  1;2;5  I  d1  I  1  2t ; 2  t ;1  t   AI   2t  3; t  3;  t  ,  AI , ud    7t  19; 11t  17;3t  3  AI , ud  179t  658t  659     d I ,d   2 30 ud  d2 tiếp xúc với (S) nên d I ,d  d I , P    179t  658t  659 R  R(1) 30 2t   2t   4t  20t  34 4t  20t  34   R   R  (2)  Ta có: R  d  r  R    3   t  179t  658t  659 4t  20t  34  319 Từ (1) (2), ta có:   139 t  458 t  319    t  30  139 599 41 180  Suy ra: I(1;-1;0) (nhận) I  ; ;  (loại zI > 0)  139 139 139  2  Với I(1;-1;0)  R    S  :  x  1   y  1  z  2  I ,P 2 Kết luận: phương trình mặt cầu cần tìm  S  :  x  12   y  12  z  Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) mặt phẳng  P  : x – y  z   Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) tìm tọa độ giao điểm mặt cầu với trục Ox Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com +) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính R  d ( A, ( P))  1  22  12  22 2 +) Phương trình mặt cầu là: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = +) Tọa độ giao điểm mặt cầu trục Ox nghiệm hệ pt: ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  1)  x     y   x   z   +) Các giao điểm: M (2  2;0;0), N (2  2;0;0) Câu Trong không gian với hệ trục 0xyz, cho hai điểm A(1; -2; 3), B(-1; 0; 1) mặt phẳng (P): x + y + z + = Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (P) viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng AB, bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) + Gọi H hình chiếu vuông góc A lên (P), AH   x  1; y  2; z  3 x   t AH có ptts :  y  2  t z   t  + H  AH nên H 1  t; 2  t ;3  t  Mặt khác: H∈ (P) nên suy ra:  t   t   t    t  2 Vậy H(-1;-4;1)  x   2t + Đường thẳng AB có ptts :  y  2  2t  z   2t  +Gọi I tâm mặt cầu (S): I  AB  I(1  2t ; 2  2t ;3  2t ) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) có bán kính R=1 nên : d(I,(P))=1 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  t     2t     t    3 Vậy có hai phương trình mặt cấu cần tìm :  x 5     y 4      z 3    1  2 x    y    z    Câu Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A(1;1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2) A'(2; 2; 1) Tìm tọa độ đỉnh B', C' viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, A' - Do ABC.A'B'C' hình lăng trụ nên BB '  AA '  B '  2;3;1 Tương tự: CC '  AA '  C '  2; 2; 2 - Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm dạng x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0, a  b  c  d  Do A, B, C A' thuộc mặt cầu (S) nên:  2a  2b  2c  d  2a  4b  2c  d    2a  2b  4c  d  4a  4b  2c  d  3  a  b  c     6  d   9  6 - Do phương trình mặt cầu (S): x  y  z  3x  y  3z   Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;-3), B(4;3;-2), C(6;-4;-1) Chứng minh A, B,C ba đỉnh tam giác vuông viết phương trình mặt cầu tâm A qua trọng tâm G tam giác ABC Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Ta có: AB(2; 2;1); AC (4; 5; 2)    AB; AC không phương  A; B; C lập 5 thành tam giác Mặt khác: AB.AC  2.4  2.(5)  1.2   AB  AC suy ba điểm A; B; C ba đỉnh tam giác vuông Vì G trọng tâm tam giác ABC nên G(4;0; -2) Ta có: AG  Mặt cầu cần tìm có tâm A bán kính AG  nên có pt: ( x  2)2  ( y  1)  ( z  3)  Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 1; 0); B(1; 0; 2); C(2;0; 1), D(-1; 0; -3) Chứng minh A, B, C, D đỉnh hình chóp viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ta có AB  (0; 1;2); AC  (1; 1;1); AD  (2; 1;  3)  AB , AC   1; 2;1 ;  AB , AC  AD  7     Do  AB , AC  AD  7  , nên véc tơ AB , AC , AD không đồng phẳng suy A, B, C, D đỉnh hình chóp Gọi phương trình mặt cầu có dạng x  y  z  2ax  2by  2cz  d  ( với a  b  c  d  )  2a  2b  d  2  a  c  d  5  Do mặt cầu qua điểm A, B, C, D nên ta có hệ   a  c  d  5  2a  6c  d  10 31 50 Giải hệ suy a  ; b  ; c  ; d   14 14 14 31 50 Vậy phương trình mc là: x  y  z  x  y  z   7 7 Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3;0;  , B 1;0;0  Viết phương trình mặt cầu đường kính AB tìm điểm M tia Oy cho MA  MB 13 + Gọi  S  mặt cầu có đường kính AB I trung điểm AB Ta có I  1;0;2 , AB  Khi mặt cầu  S  có tâm I có bán kính R   x  1 AB  2 nên có phương trình  y   z  2  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com + M  Oy  M  0; t;0  MA  MB 13   3   t  2  42  12   t   02 13  25  t  13 1  t   t  1 Với t   M  0;1;0  t  1  M  0; 1;0  Câu 12 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P  : x  y  2z   hai điểm A 2; 0; 0 , B  3; 1;2  Viết phương trình mặt cầu S  tâm I thuộc mặt phẳng  P  qua điểm A, B điểm gốc toạ độ O Giả sử I  x, y, z  Ta có I  P   x  y  2z   1 x  y  2z  2  Do A, B,O  S   IA  IB  IO Suy  x  x  y  2z   x    Từ (1) (2) ta có hệ x  y  2z   y  2  I 1; 2;1 x  z      Bán kính mặt cầu (S) R  IA  Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x  1  y    z  1  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 [...]... (2), ta có:   1 39 t  458 t  3 19  0   t  30 3  1 39 599 41 180  Suy ra: I(1;-1;0) (nhận) hoặc I  ; ;  (loại do zI > 0)  1 39 1 39 1 39  2 2  Với I(1;-1;0)  R  6   S  :  x  1   y  1  z 2  6 2 2  I ,P 2 2 Kết luận: phương trình mặt cầu cần tìm là  S  :  x  12   y  12  z 2  6 Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng  P  : 2 x – y...  7t  19; 11t  17;3t  3 2  AI , ud  179t 2  658t  6 59     d I ,d   2 2 30 ud 2  d2 tiếp xúc với (S) nên d I ,d  d I , P   2  179t 2  658t  6 59 R  R(1) 30 2t  5 3 2  2t  5  4t 2  20t  34 4t 2  20t  34 2  3  R   R  (2)  Ta có: R  d  r  R    3 3  3  t  1 179t 2  658t  6 59 4t 2  20t  34 2  3 19 Từ (1) và (2), ta có:   1 39 t  458 t  3 19  0  ... t )  1 l  t  1 AB  9( l  t )  22(l  t )  14  1   13 l  t   9  2 Nguyễn Văn Lực 2 Ninh Kiều – Cần Thơ  093 3.168.3 09 www.TOANTUYENSINH.com *l  t  1  AB   0; 1;0   VTPT n( P )   AB; i   (0;0;1) Pt mặt phẳng (P): z = 0 ( loại vì (P) chứa Ox) *l  t  13 / 9 4 1  8 1 4    AB   ; ;   VTPT n ( P )   AB; i    0;  ;  9 9  9 9 9   Pt mặt phẳng (P): -... thì (P) có phương trình 2x Nguyễn Văn Lực 3y 6z D 0 (D Ninh Kiều – Cần Thơ 1)  093 3.168.3 09 www.TOANTUYENSINH.com  Vì (P) tiếp xúc với (S ) nên d(I ,(P )) 2.0 R 3.( 3) 2 2 15 D 14 15 D 15 D  Vậy, phương trình mp(P) cần tìm là: 2x 14 14 3y 6z D 6.1 2 ( 3) 2 6 D 1 (loai) D 29( nhan) 29 2 0 Trong không gian với hệ tọa độ ÕOxyz , cho đường thẳng y 3 z6 và hai mặt phẳng  P  : x  2 y  2z  6  0... c    2  6  d  6  9  6 - Do đó phương trình mặt cầu (S): x 2  y 2  z 2  3x  3 y  3z  6  0 Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;-3), B(4;3;-2), C(6;-4;-1) Chứng minh rằng A, B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông và viết phương trình mặt cầu tâm A đi qua trọng tâm G của tam giác ABC Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  093 3.168.3 09 www.TOANTUYENSINH.com 2 4... 2;1; 4  , R  5t  8 3 , theo giả thiết 3  5t  8 3 2 3 Mặt cầu  S  :  x  2    y  1   z  4   2 5t  12 2 2 4 9 Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3;2) , đường thẳng d: x 1 y  4 z   và mặt phẳng ( P) : 2 x  2 y  z  6  0 Tìm tọa độ giao điểm của d 2 1 2 với (P) và viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P)  x ... trực tiế p thấ y A(1; 1; 1)  (Q1) nên AB // (Q1); A(1; 1; 1)  (Q2) nên AB  (Q2) KL: pt mp(Q): 2x  y + z + 8 = 0 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  093 3.168.3 09 www.TOANTUYENSINH.com 9. 4 Phương trình mặt cầu Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0; 3), B(2; 0; 1) và mặt phẳng ( P) : 3 x  y  z  1  0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng AB, bán... khi và chỉ khi: d ( I ;( P))  2 11  6t   3  2t   1 11  2 11 9  t   4t  4  22 2  4t  4  22     4t  4  22 t   13  2 9 t   I (9; 0;6) Phương trình mặt cầu ( S ) : (x  9) 2  y 2  (z  6) 2  44 2 13 t    ( I  13;0; 16) Phương trình ( S )  (x  13) 2  y 2  (z  16) 2  44 2 Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A( 1;1;1), B(5;1; 1), C (2;5;2), D(0; 3;1) Viết... ;   VTPT n ( P )   AB; i    0;  ;  9 9  9 9 9   Pt mặt phẳng (P): - 4 y + z + 8 = 0 ( thỏa đề bài nhận) Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  2  0 và mặt phẳng (P): x + y + z + 2015 = 0 a) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S) Viết phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) b) Viết phương trình...  y  2  t z  3  t  b) (Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = 0 (D  2015) d  I ,  Q    4  D  2  4 3 Vậy (Q) : x + y + z 2  4 3  0 Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : x 1 y  3 z x 3 y z 2 Tìm tọa độ giao điểm của  1 và  2 và   và  2 :   2 3 2 6 4 5 viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng  2 là hình chiếu vuông góc của đường thẳng

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	0,98 MB