b Viết phương trình tổng quát của đường cao CH của tam giác ABC H thuộc đường thẳng AB.. c Viết phương trình đường tròn C có tâm là điểm C và tiếp xúc với đường thẳng AB.. b Tính diện tí
Trang 1Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
Câu 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 0), B(1; 6), C(3; 2).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB
b) Viết phương trình tổng quát của đường cao CH của tam giác ABC (H thuộc đường thẳng AB) Xác định tọa độ điểm H
c) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm là điểm C và tiếp xúc với đường thẳng AB
Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 0), B(1; 6), C(3; 2).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB
32
b) Viết PTTQ của đường cao CH của ∆ABC (H thuộc đường thẳng AB)
• Đường cao CH đi qua C(3; 2) và nhận uur AB (2;6)= làm VTPT
⇒ PTTQ: 2(x− +3) 6(y− =2) 0 ⇔ x+3y− =9 0
• H là giao điểm của AB và CH ⇒ Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ PT:
13
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d có phương trình: 3x−4y+ =1 0.
(C): x2+y2−2x+4y− =4 0
a) x2+y2−2x+4y− = ⇔ −4 0 (x 1)2+ +(y 2)2=9 nên tâm I(1; 2)− , bán kính R = 3.
b) Vì tiếp tuyến ∆ // d: 3x−4y+ =1 0 nên PTTT ∆ có dạng: 3x−4y C+ =0,C≠1
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là ∆1: 3x−4y+ =4 0,∆2: 3x−4y−26 0=
Câu 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(–1; 2), B(3; –5), C(–4; –9).
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trang 2Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(–1; 2), B(3; –5), C(–4; –9).
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
AB=(4; 7),− AC= − −( 3; 11),BC= − − ⇒( 7; 4) AB2 =65, AC2 =130,BC2=65
AB 65,AC 130;BC 65
b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
• Diện tích tam giác ABC là S 1AB BC 65.65 65
• Bán kính R = AC 130
2 = 2c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm I của AC ⇒ I 5 7;
d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC
e) Tính đường cao AH
Cho ∆ABC có µA=600, AC = 8 cm, AB = 5 cm
Câu 5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(–1; 2), B(3; –5), C(4; 7).
a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác
ABC
b) Tính diện tích tam giác ABK
c) Viết phương trình đường thẳng qua A và chia tam giác thành 2 phần sao cho diện tích phần chứa B gấp 2 lần diện tích phần chứa C
d) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Tìm tâm và bán kính của đường
Trang 3• AH đi qua A(–1; 2) nên phương trình AH là 3(x+ −1) 19(y− =2) 0 hay 3x−19y+41 0= .
b) Tính diện tích tam giác ABK
−+
d) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Tìm tâm và bán kính của đường tròn này
Gọi I(x;y), R là tâm và bán kính của đường tròn
=
Trang 4Câu 6 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ): (x−1)2+ −(y 2)2=8
a) Xác định tâm I và bán kính R của (C )
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, song song với đường thẳng d: x – y – 1 = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) vuông góc với ∆
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ): (x−1)2+ −(y 2)2 =8
a) Tâm I(1; 2) , bán kính R = 2 2
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, song song với đường thẳng d: x – y – 1 = 0
•∆// d nên phương trình ∆ có dạng x y C 0− + = (C ≠ –1)
•∆ đi qua I nên có 1 2− + = ⇔ =C 0 C 1 ⇒ PT ∆ − + =:x y 1 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) vuông góc với ∆
•Tiếp tuyến ∆1vuông góc với ∆ nên PTTT có dạng x y D 0+ + =
Vậy PT các tiếp tuyến cần tìm: x y+ + =1 0, x y+ − =7 0
Câu 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác có A(1; 4), B(4; 6), C 7;3
2
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B
b) Viết phương trình đường tròn đường kính AC
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác có A(1, 4), B(4, 6), C 7;3
Vậy tam giác ABC vuông tại B
b) Viết phương trình đường tròn đường kính AC
Câu 8 Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5)
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A
b) Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC
c) Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 10
Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5)
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A
•A(1;2),VTPT BC:uuur=(1;8)⇒PT đường cao kẻ từ A là x− +1 8(y− = ⇔ +2) 0 x 8y− =17 0
Trang 5• Tâm B(2; –3), Phương trình AC: x 1 y 2 3x 2y 1 0
Vậy phương trình đường tròn đó là (x−2)2+ +(y 3)2 =13
c) Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 10
Giả sử ∆∩Ox M m= ( ;0),∆∩Oy N= (0; )n uur AB (1; 5)= − , MN uuur= −( m n; ).
Câu 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(0; 9), B(9; 0), C(3; 0)
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua C và vuông góc với AB
c) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(0; 9), B(9; 0), C(3; 0)
a) Tính diện tích tam giác ABC
Ta có: B(9; 0), C(3; 0) nằm trên trục hoành, A(0; 9) nằm trên trục tung
⇒ BC = 6, ∆ABC có độ đường cao AH = d A Ox( , ) 9= .
c) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
• Gọi I a b( ; ) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 10 Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(– 1; 3) và C(– 3; –1).
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Viết phương trình đường trung trực ∆ của đọan thẳng AC
c) Tính diện tích tam giác ABC
Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(– 1; 3) và C(– 3; –1)
a) Viết phương trình đường thẳng AB
• ABuuur= −( 2;2) 2( 1;1)= − ⇒VTPT nr=(1;1) ⇒ Phương trình AB: x y 2 0+ − =
b) Viết phương trình đường trung trực ∆ của đọan thẳng AC
Trang 6Câu 11 Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 7 Tính:
a) Diện tích S của tam giác
Câu 12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(0; 8), B(8; 0) và C(4; 0)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc với AB
b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC
c) Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó
A(0; 8), B(8; 0) và C(4; 0)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc với AB
• (d) qua C(4;0) và nhận uur AB (8; 8)= − làm VTPT
⇒ ( ) : 8.(d x− −4) 8.(y− = ⇔ − − =0) 0 x y 4 0
b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC
• PT đường tròn (C) ngoại tiếp ∆ABC có dạng x2+y2+2ax+2by c+ =0,a2+b2− >c 0
Câu 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(–2; 1), B(1; 4), C(3; –2)
a) Chứng tỏ rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và song song với BC
c) Viết phương trình đường trung tuyến AM của ΔABC
d) Viết phương trình của đường thẳng đi qua trọng tâm G của ΔABC và vuông góc với BC
Trang 7Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(–2; 1), B(1; 4), C(3; –2)
b) (d) đi qua A(–2; 1) và nhận BC (2; 6) uuur = − làm VTCP
Câu 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(1; 4), B(–7; 4), C(2; –5).
a) Chứng tỏ A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
b) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C
c) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(1; 4), B(–7; 4), C(2; –5).
a) Chứng tỏ A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
• AB uur= −( 8;0), AC uuur= −(1; 9) ⇒ AB AC uur uuur, không cùng phương ⇒ 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác
b) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C
• Gọi I(a; b), R là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:
• Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (x+3)2+ +(y 1)2 =41
c) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC
• Đường cáo AH đi qua A(1; 4) và nhận 1 1(9; 9) (1; 1)
Trang 8d) Tính độ dài đường cao BH.
Cho tam giác ∆ABC có b = 4,5 cm , góc µA=300 , µC=750
Câu 17 Cho hai đường thẳng ∆: 3x+2y− =1 0 và ∆′: − +4x 6y− =1 0.
a) Chứng minh rằng ∆ vuông góc với ∆'
52( 4) 6
Trang 9Câu 18
a) Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(–3; 4), C(2: –1) và M là trung điểm của AB Viết
phương trình tham số của trung tuyến CM
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2+y2−4x+6y− =3 0 tại M(2; 1)
a) Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(–3; 4), C(2: –1) và M là trung điểm của AB Viết
phương trình tham số của trung tuyến CM
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2+y2−4x+6y− =3 0 tại M(2; 1)
• Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), uuurIM =(0; 4)
⇒ Phuơng trình tiếp tuyến của (C) tại M là: y 1 0− =
Câu 19 Cho ∆ABC với A(2, 2), B(–1, 6), C(–5, 3)
a) Viết phương trình các cạnh của ∆ABC
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của ∆ABC
c) Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác vuông cân
Cho ∆ABC với A(2; 2), B(–1; 6), C(–5; 3)
a) Viết phương trình các cạnh của ∆ABC
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của ∆ABC
• Đường cao AH đi qua A(2; 2) và có một VTPT là BCuuur= − −( 4; 3)
⇒ Phuơng trình đường cao AH là: −4(x− −2) 3(y− = ⇔2) 0 4x+3y−14 0=
Hoặc trình bày như sau :
uuur
uuur uuuruuur ⇒∆ABC vuông tại B ⇒ đường cao AH cũng là cạnh AB.c) Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác vuông cân
5( 4; 3)
uuur uuur uuur
Câu 20 Cho đường thẳng d có phương trình 3x−4y m+ =0, và đường tròn (C) có phương trình: (x−1)2+ −(y 1)2 =1 Tìm m để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) ?
Cho đường thẳng d: 3x−4y m+ =0, và đường tròn (C): (x−1)2+ −(y 1)2 =1
• Đường tròn (C) có tâm I(1;1) và bán kính R = 1
Trang 10Câu 21 Cho tam giác ABC biết A(1; 4); B(3; –1) và C(6; 2).
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, CA
b) Lập phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM
Cho tam giác ABC biết A(1; 4); B(3; –1) và C(6; 2)
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, CA
• uuurAB=(2; 5)− ⇔ pt AB: 5(x− +1) 2(y− = ⇔4) 0 5x+2y− =13 0
•uuurAC=(5; 2)− ⇔ pt AB: 2(x− +1) 5(y− = ⇔4) 0 2x+5y−22 0=
b) Lập phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM
• Trung điểm của BC là 9 1;
b) Viết phương trình đường tròn tâm I(2; 0) và tiếp xúc với trục tung
a) Giả sử M(a; 0) ∈ (Ox) Ta có
Câu 23 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 3), B(2; 7), C(–3: 8)
a) Viết phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A
b) Viết phương trình đường tròn có tâm A và đi qua điểm B
c) Tính diện tích tam giác ABC
Cho tam giác ABC có A(4; 3), B(2; 7), C(–3: 8)
a) BCuuur= −( 5;1) ⇒ PT đường cao AH: −5(x− + − = ⇔4) (y 3) 0 5x y− − =17 0
b) Bán kính đường tròn R = AB = (2 4)− 2+ −(7 3)2 = 20
Phương trình đường tròn: 2 2
(x−4) + −(y 3) =20c) PT đường thẳng BC: x 2 y 7 x 5y 37 0
3 2 8 7
Trang 11Toạ độ chân đường cao H là nghiệm của hệ: x y x
Câu 25 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–3; 0), C(2; 3)
a) Viết phương trình đường cao AH và trung tuyến AM
b) Viết phương trình đường tròn có tâm A và đi qua điểm B
c) Tính diện tích tam giác ABC
Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–3; 0), C(2; 3)
a) • uuurBC=(5;3) ⇒ PT đường cao AH: 5(x− +1) 3(y− = ⇔2) 0 5x+3y− =11 0
Câu 26 Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5 Tính cosB = ?
Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5 Tính cosB = ?
• Ta có BC2= AB2+AC2⇒ góc A vuông nên B AB
BC
3cos
5
Trang 12Câu 27
a) Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 0) và tiếp xúc với trục tung
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2+y2−6x+4y+ =3 0 tại điểm M(2; 1) c) Cho tam giác ABC có M(1; 1), N(2; 3), P(4; 5) lần lượt là trung điểm của AB, AC,
BC Viết phương trình đường thẳng trung trực của AB?
a) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 0) và tiếp xúc với trục tung
• (C) có tâm I (1; 0) thuộc trục hoành và tiếp xúc với trục tung nên có bán kính R = 1 Vậy phương trình đường tròn (C) là (x−1)2+y2 =1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2+y2−6x+4y+ =3 0 tại điểm M(2; 1)
• Tâm I(3; 2)− Tiếp tuyến tại M(2; 1) nhận IM ( 1;3) uur = − làm VTPT
⇒ phương trình tiếp tuyến là − − +(x 2) 3(y− =1) 0 ⇔ x−3y+ =1 0
c) Cho tam giác ABC có M(1; 1), N(2; 3), P(4; 5) lần lượt là trung điểm của AB, AC,
BC Viết phương trình đường thẳng trung trực của AB?
• Đường trung trực của AB qua M(1; 1) và vuông góc với NP nên có VTPT là
NP (2;2)= ⇒
uuur
phương trình trung trực của AB là 2(x− +1) 2(y− = ⇔ + − =1) 0 x y 2 0.
Câu 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm, điểm A ( ) 1;4 và 1
2
2;
a) Chứng minh rằng ∆ OAB vuông tại O;
b) Tính độ dài và viết phương trình đường cao OH của ∆ OAB;
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ OAB
a)Ta cã : OA 1;4 , OB 2;
21Suy ra: OA.OB 1.2 4 0
Vậy tam giác OAB vuông tại O
b) Tính độ dài và viết phương trình đường cao OH:
Trang 13c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB:
Do tam giác OAB vuông tại O, nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm I của cạnh AB, ta có:
Câu 29 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1 ; 0) và B(-2 ; 9).
1) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B.
2) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2 ; 7) và tiếp xúc với đường thẳng ∆
x− + −y =
Câu 30 Trong mặt phẳng tọa oxy cho ∆ ABC với A ( 6; 2), B (1 ; 4), C (3 ;-1)
a) Viết phương trình đường thẳng BC và trung tuyến BM
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm G và vuông góc với BCc) Tính diện tích tam giác ABC
d) Viếtphương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B,C
Trang 14132.26.5
2
+
−+
BC= 29
S ∆ABC =
2
2129.29
212
277
432
ON
OM Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định
Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy
Suy ra Ot cố định Gọi I là giao điểm MN với tia Ot
Ta chứng minh I cố định
*S OMN OM.ON.sinMON
2
=+
(2
Từ (1) và (2) suy ra:
ON OM
ON OM
32013
2012)
11(3
1
=+
5
:
d Đường thẳng d đi qua giao điểm của d1 và d2cắt hai tia Ox, Oy lần
lượt tại A và B Viết phương trình đường thẳng d sao cho 2
Trang 151 Viết phương trình đường thẳng d sao cho 2
• Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 ⇒ (3;1).
• Giả sử A (a;0) và B(0;b) với a,b>0 thì đường thẳng d có phương trình
1
=+
b
y a
x
Vì ∈ ⇒ 3+1 =1
b a d I
411
.4
.4
b a OB
OA OB
OA
OB OA S
2 2
1112
2 + ≥
⇒
b a
• Min
5
22
103
103
113
b
a b
a b a Khi đó đường thẳng d có phương trình 3x+y−10=0
Trang 16Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, có G là trọng tâm
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Do OA = OB = OC = R và GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0 nên:
2 Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB là nhỏ nhất
1 Gọi H là hình chiếu của B trên ∆, ta có: BH ≤ AB
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H ≡ A Khi đó ∆ là đường thẳng qua A và vuông góc với AB
PTTQ: 3x - 5y - 31 = 0
2 Kiểm tra A và B cùng phía với d
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d
Trang 17Gọi H là giao điểm của d’ và d Tọa độ H = (-1; 1).
H là trung điểm của AA’ nên A’ có toạ độ A’(-4; 7)
Đường thẳng A’B có VTCP uuuurA B' =(0; 2)− nên có VTPT nrA B' =(1;0)
Bài 35 Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đường thẳng d :
x – 2y – 3 = 0 Tìm điểm M thuộc d sao cho MA uuur + 2 MB uuur - 3 MC uuur
CB
H
A'D
1) Gọi A’ là điểm sao cho AA’ là đường kính dễ có BHCA’ là hình bình hành Do đó AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA
Trang 18Vậy cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C
Câu 37 Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 4x + 3y + 5 = 0 và
+ Vậy phương trình đường thẳng ∆là: 4x + 3y + 7 = 0 và 4x + 3y -3 = 0
Câu 38 Cho ∆ABC có A(0;6), B(1;1), C(5;4).
a)Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tâm giác∆ABC
b)Tìm điểm A’ đối xứng A qua BC
Gọi đường trung trực của AB là d1 Gọi M là trung điểm
1
M AB
Ta có: AB=( )1;7
Phương trình đường thẳng d1 qua M, nhận ABlàm véc-tơ pháp tuyến là:
01770
2
57
+
72150
5
20
10
017
7
y
x y
x
y
x