L10 tọa độ mặt phẳng

Phng Phỏp Ta Trong Mt Phng Cõu Trong mt phng Oxy, cho ba im A(1; 0), B(1; 6), C(3; 2) a) Vit phng trỡnh tham s ca ng thng AB b) Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng cao CH ca tam giỏc ABC (H thuc ng thng AB) Xỏc nh ta im H c) Vit phng trỡnh ng trũn (C) cú tõm l im C v tip xỳc vi ng thng AB Trong mt phng Oxy, cho ba im A(1; 0), B(1; 6), C(3; 2) a) Vit phng trỡnh tham s ca ng thng AB x = + t uuur AB = (1;3) PTTS : , t R y = 3t b) Vit PTTQ ca ng cao CH ca ABC (H thuc ng thng AB) uur ng cao CH i qua C(3; 2) v nhn AB = (2;6) lm VTPT PTTQ: 2( x 3) + 6( y 2) = x + 3y = x = + t H l giao im ca AB v CH To im H l nghim ca h PT: y = 3t x + 3y = x = y = H(0; 3) c) Vit phng trỡnh ng trũn (C) cú tõm l im C v tip xỳc vi ng thng AB R = CH = (3) + 12 = 10 (C ) : ( x 3) + ( y 2) = 10 Cõu Trong mt phng to Oxy, cho ng trũn cú phng trỡnh: x + y2 x + 4y = a) Xỏc nh to tõm v tớnh bỏn kớnh ca ng trũn b) Lp phng trỡnh tip tuyn ca ng trũn, bit tip tuyn song song vi ng thng d cú phng trỡnh: x y + = (C): x + y x + y = a) x + y x + y = ( x 1)2 + ( y + 2)2 = nờn tõm I (1; 2) , bỏn kớnh R = b) Vỡ tip tuyn // d: x y + = nờn PTTT cú dng: x y + C = 0, C v d (I , ) = R 3.1 4.(2) + C 32 + 42 C = = C + 11 = 15 C = 26 Vy cú hai tip tuyn tha bi l : x y + = 0, : x y 26 = Cõu Trong mt phng to Oxy, cho A(1; 2), B(3; 5), C(4; 9) a) Tớnh di cỏc cnh ca tam giỏc ABC b) Tớnh din tớch tam giỏc ABC v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc c) Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Trong mt phng to Oxy, cho A(1; 2), B(3; 5), C(4; 9) a) Tớnh di uuu cỏc cnh ca tam giỏc ABC uur r uuur AB = (4; 7), AC = (3; 11), BC = (7; 4) AB = 65, AC = 130, BC = 65 AB = 65, AC = 130; BC = 65 ABC vuụng cõn ti B b) Tớnh din tớch tam giỏc ABC v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc 65.65 65 (vdt) = 2 Din tớch tam giỏc ABC l S = AB.BC = Bỏn kớnh R = AC 130 = 2 c) Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l trung im I ca AC I ; ữ 2 PT ng trũn: x + ữ + y + ữ = 130 Cõu Cho ABC cú àA = 600 , AC = cm, AB = cm a) Tớnh cnh BC b) Tớnh din tớch ABC c) Chng minh gúc $B nhn d) Tớnh bỏn kớnh ng trũn ni tip v ngoi tip tam giỏc ABC e) Tớnh ng cao AH Cho ABC cú àA = 600 , AC = cm, AB = cm a) BC = AB + AC AB AC cos A = 64 + 25 2.8.5 = 49 BC = 2 b) SABC = AB.AC.sin A = 8.5 20 = = 10 (vdt) 2 c) Chng minh gúc $B nhn Ta cú: AB + BC = 74 > AC = 64 $B nhn d) Tớnh bỏn kớnh ng trũn ni tip v ngoi tip tam giỏc ABC R= a BC 7 = = = 2sin A 2sin A 2sin 600 r= S 10 = = p 10 e) Tớnh ng cao AH AH = 2S ABC BC = 2.10 20 = 7 Cõu Trong mt phng to Oxy, cho A(1; 2), B(3; 5), C(4; 7) a) Vit phng trỡnh ng vuụng gúc AH k t A n trung tuyn BK ca tam giỏc ABC b) Tớnh din tớch tam giỏc ABK c) Vit phng trỡnh ng thng qua A v chia tam giỏc thnh phn cho din tớch phn cha B gp ln din tớch phn cha C d) Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip ABC Tỡm tõm v bỏn kớnh ca ng trũn ny Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh A(1; 2), B(3; 5), C(4; 7) a) Vit phng trỡnh ng vuụng gúc AH k t A n trung tuyn BK ca tam giỏc ABC uuur 19 K Trung im AC l ; ữ BK = ; ữ = (3; 19) 2 2 Chn VTPT cho AH l (3; 19) AH i qua A(1; 2) nờn phng trỡnh AH l 3( x + 1) 19( y 2) = hay x 19y + 41 = b) Tớnh din tớch tam giỏc ABK 2 BK = ữ + + ữ = 370 BK = 370 19( x 3) + 3( y + 5) = Phng trỡnh BK l hay 19x + 3y 42 = 19 + 42 55 = di AH l AH = d ( A, BK ) = 361 + 370 2 Din tớch tam giỏc ABK l SABK = BK AH = 370 55 55 = (vdt) 370 c) Vit phng trỡnh ng thng qua A v chia tam giỏc thnh phn cho din tớch phn cha B gp ln din tớch phn cha C Gi s M ( x; y) BC cho S ABM = 2S ACM Vỡ cỏc tam giỏc ABM v ACM cú chung ng cao nờn BM = 2MC uuur uuur uuur uuur x = 2x Vy BM = MC , BM = ( x 3; y + 5), MC = (4 x;7 y ) y + = 14 y 11 11 x = M ;3 ữ y = x +1 y = x 14 y + 31 = Phng trỡnh AM l: 11 32 +1 d) Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip ABC Tỡm tõm v bỏn kớnh ca ng trũn ny Gi I(x;y), R l tõm v bỏn kớnh ca ng trũn x= IA2 = IB ( x + 1)2 + ( y 2)2 = ( x 3)2 + ( y + 5)2 x 14 y = 29 2 2 2 10 x + 10 y = 60 IA = IC ( x + 1) + ( y 2) = ( x 4) + ( y 7) y = I ; ữ 2 2 49 29 R = + 1ữ + ữ = + = 4 2 Vy phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l: 2 58 29 , cú tõm I ; v bỏn kớnh R= ữ x + y ữ ữ = 2 2 Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Cõu Trong h trc ta Oxy, cho ng trũn (C ): ( x 1)2 + ( y 2)2 = a) Xỏc nh tõm I v bỏn kớnh R ca (C ) b) Vit phng trỡnh ng thng qua I, song song vi ng thng d: x y = c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C ) vuụng gúc vi Trong h trc ta Oxy, cho ng trũn (C ): ( x 1)2 + ( y 2)2 = a) Tõm I(1; 2) , bỏn kớnh R = 2 b) Vit phng trỡnh ng thng qua I, song song vi ng thng d: x y = // d nờn phng trỡnh cú dng x y + C = (C 1) i qua I nờn cú + C = C = PT : x y + = c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C ) vuụng gúc vi Tip tuyn vuụng gúc vi nờn PTTT cú dng x + y + D = 1+ + D D = = ( D + 3)2 = 16 D = 12 + 12 Vy PT cỏc tip tuyn cn tỡm: x + y + = 0, x + y = v d (I , ) = R Cõu Trong mt phng Oxy, cho tam giỏc cú A(1; 4), B(4; 6), C 7; ữ a) Chng minh rng tam giỏc ABC vuụng ti B b) Vit phng trỡnh ng trũn ng kớnh AC Trong mt phng Oxy, cho tam giỏc cú A(1, 4), B(4, 6), C 7; ữ a) Chng minh rng tam giỏc ABC vuụng ti B uur uuur uur uuur 9 uur uuur BA = (3; 2), BC = 3; ữ BA.BC = (3).3 + (2) ữ = + = BA BC Vy tam giỏc ABC vuụng ti B b) Vit phng trỡnh ng trũn ng kớnh AC 169 Tõm I 4; 11 ữ, R2 = IA2 = (1 4)2 + 11 ữ = 16 2 Phng trỡnh ng trũn ng kớnh AC l ( x ) + y 11 ữ = 169 16 Cõu Trong mt phng Oxy, cho ABC vi A(1; 2), B(2; 3), C(3; 5) a) Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng cao k t A b) Vit phng trỡnh ng trũn tõm B v tip xỳc vi ng thng AC c) Vit phng trỡnh ng thng vuụng gúc vi AB v to vi trc to mt tam giỏc cú din tớch bng 10 Trong mt phng Oxy, cho ABC vi A(1; 2), B(2; 3), C(3; 5) a) Vit phnguuu trỡnh tng quỏt ca ng cao k t A r A(1;2), VTPT : BC = (1;8) PT ng cao k t A l x + 8( y 2) = x + 8y 17 = b) Vit phng trỡnh ng trũn tõm B v tip xỳc vi ng thng AC Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh x y = 3x y + = , 3.2 2.(3) + = 13 Bỏn kớnh R = d (B, AC ) = 9+4 Tõm B(2; 3), Phng trỡnh AC: Vy phng trỡnh ng trũn ú l ( x 2)2 + ( y + 3)2 = 13 c) Vit phng trỡnh ng thng vuụng gúc vi AB v to vi trc to mt tam giỏc cú din tớch bng 10 uur uuur Gi s Ox = M (m; 0), Oy = N (0; n) AB = (1; 5) , MN = ( m; n) x y + = nx + my mn = m n Din tớch tam giỏc MON l: S ABC = m n = 10 mn = 20 uuuur uuur Mt khỏc MN AB MN AB = m 5n = m = 5n m = 10 m = 10 T (1) v (2) n = hoc n = Phng trỡnh l: x 5y + 10 = hoc x 5y 10 = Phng trỡnh MN: (1) (2) Cõu Trong mt phng ta Oxy, cho im A(0; 9), B(9; 0), C(3; 0) a) Tớnh din tớch tam giỏc ABC b) Vit phng trỡnh ng thng d i qua C v vuụng gúc vi AB c) Xỏc nh ta tõm I ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Trong mt phng ta Oxy, cho im A(0; 9), B(9; 0), C(3; 0) a) Tớnh din tớch tam giỏc ABC Ta cú: B(9; 0), C(3; 0) nm trờn trc honh, A(0; 9) nm trờn trc tung BC = 6, ABC cú ng cao AH = d ( A, Ox ) = 2 Vy SABC = BC AH = 6.9 = 27 (vdt) b) uuurVit phng trỡnh ng thng d i qua C v vuụng gúc vi AB AB = (9; 9) = 9(1; 1) phng trỡnh ng thng d l x y = c) Xỏc nh ta tõm I ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Gi I (a; b) l tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC IA2 = IB (0 a)2 + (9 b)2 = (9 a)2 + (0 b)2 a = I (6;6) 2 2 2 b = IA = IC (0 a) + (9 b) = (3 a) + (0 b) Ta cú: Cõu 10 Cho tam giỏc ABC cú A(1; 1), B( 1; 3) v C( 3; 1) a) Vit phng trỡnh ng thng AB b) Vit phng trỡnh ng trung trc ca an thng AC c) Tớnh din tớch tam giỏc ABC Cho tam giỏc ABC cú A(1; 1), B( 1; 3) v C( 3; 1) a)uuu Vit AB r phng trỡnh ng thng r AB = (2;2) = 2(1;1) VTPT n = (1;1) Phng trỡnh AB: x + y = b) Vit phng trỡnh ng trung trc ca an thng AC Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Trung im AC l M(1; 0) uuur r AC = (4; 2) = 2(2;1) VTPT n = (2;1) Phng trỡnh : x + y + = c) Tớnh din tớch tam giỏc ABC d (C , AB) = 2 = 2; AB = (2)2 + 22 = 2 S ABC = 2.2 = Cõu 11 Cho tam giỏc ABC cú a = 5, b = 6, c = Tớnh: a) Din tớch S ca tam giỏc b) Tớnh cỏc bỏn kớnh R, r c) Tớnh cỏc ng cao ha, hb, hc Cho tam giỏc ABC cú a = 5, b = 6, c = Tớnh: a) p= a + b + c 18 = = p a = 4; p b = 3; p c = 2 S = p( p a)( p b)( p c) = 9.4.3.2 = 6 (vdt) b) S = pr r = c) = S 6 = = p S= abc abc 5.6.7 35 R= = = 4R 4S 24 24 2S 12 2S 2S 12 = , hb = = 6, hc = = a b c Cõu 12 Trong mt phng to Oxy, cho im A(0; 8), B(8; 0) v C(4; 0) a) Vit phng trỡnh ng thng (d) qua C v vuụng gúc vi AB b) Vit phng trỡnh ng trũn (C) ngoi tip tam giỏc ABC c) Xỏc nh to tõm v bỏn kớnh ca ng trũn ú A(0; 8), B(8; 0) v C(4; 0) a) Vit phng trỡnh ng thng (d) qua C v vuụng gúc vi AB uur (d) qua C(4;0) v nhn AB = (8; 8) lm VTPT (d ) : 8.( x 4) 8.( y 0) = x y = b) Vit phng trỡnh ng trũn (C) ngoi tip tam giỏc ABC PT ng trũn (C) ngoi tip ABC cú dng x + y + 2ax + 2by + c = 0, a2 + b2 c > 16b + c = 64 a = b = Vỡ A, B, C thuc (C ) nờn ta cú h 16a + c = 64 c = 32 (tho iu kin) 8a + c = 16 phng trỡnh ca (C ) l x + y 12 x 12 y + 32 = c) Xỏc nh to tõm v bỏn kớnh ca ng trũn ú Tõm I (6,6) v bỏn kớnh R = 62 + 62 32 = 40 Cõu 13 Trong mt phng to Oxy, cho im A(2; 1), B(1; 4), C(3; 2) a) Chng t rng A, B, C l nh ca mt tam giỏc b) Vit phng trỡnh ng thng (d) i qua A v song song vi BC c) Vit phng trỡnh ng trung tuyn AM ca ABC d) Vit phng trỡnh ca ng thng i qua trng tõm G ca ABC v vuụng gúc vi BC Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Trong mt phng to Oxy, cho im A(2; 1), B(1; 4), C(3; 2) uur uur uuur AB = (3;3) uuu r AB, AC khụng cựng phng A, B, C l nh ca mt tam a) Ta cú: AC = (5; 3) giỏc uuur b) (d) i qua A(2; 1) v nhn BC = (2; 6) lm VTCP Phng trỡnh ng thng (d): x + y = 3x + y + = uuur c) M l trung im ca BC M(2; 1) Trung tuyn AM i qua M v nhn AM = (4; 0) lm VTCP Phng trỡnh AM: 0( x + 2) + 4( y 1) = y = Phng trỡnh ca : x ữ 6( y 1) = x y + = uuur d) To trng tõm G ;1ữ ng thng i qua G v nhn BC = (2; 6) lm VTPT Cõu 14 Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 4), B(7; 4), C(2; 5) a) Chng t A, B, C l nh ca mt tam giỏc b) Vit phng trỡnh ng trũn qua im A, B, C c) Vit phng trỡnh ng cao AH ca tam giỏc ABC Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 4), B(7; 4), C(2; 5) a) uur Chng t A,uuu B, C l nhuur cauuu mt tam giỏc r r AB = (8; 0), AC = (1; 9) AB, AC khụng cựng phng im A, B, C to thnh mt tam giỏc b) Vit phng trỡnh ng trũn qua im A, B, C Gi I(a; b), R l tõm v bỏn kớnh ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC, ta cú: AI = BI (a 1) + (b 4) = (a + 7) + (b 4) 16a = 48 a = I(3;1) 2 2 AI = CI (a 1) + (b 4) = (a 2) + (b + 5) 2a 18b = 12 b = R = AI = (3 1)2 + (1 4)2 = 41 Phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l ( x + 3) + ( y + 1) = 41 c) Vit phng trỡnh ng cao AH ca tam giỏc ABC uuur ng cỏo AH i qua A(1; 4) v nhn BC = (9; 9) = (1; 1) lm VTPT nờn phng 9 trỡnh ng cao AH l 1( x 1) 1( y 4) = x y + = Cõu 15 Cho ABC cú a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm a) Tớnh din tớch ABC b) Tớnh gúc àB ( àB tự hay nhn) c) Tớnh bỏn kớnh ng trũn ni tip v ngoi tip tam giỏc ABC d) Tớnh mb , ? Cho ABC cú a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm a) Tớnh din tớch ABC a + b + c 13 + 14 + 15 = = 21 p a = 8, p b = 7, p c = 2 Vy din tớch tam giỏc ABC l : S = p( p a )( p b)( p c) = 21.8.7.6 = 84 (vdt) Na chu vi ABC l p = Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh b) Tớnh gúc àB ( àB tự hay nhn) AB = 64 2 2 AC = 82 AB + BC > AC nờn gúc B nhn BC = 162 c) Tớnh bỏn kớnh ng trũn ni tip v ngoi tip tam giỏc ABC abc abc 13.14.15 1365 R= = = 8,13 4R 4S 4.84 168 S 84 S = pr r = = = p 21 d) Tớnh mb , ? S= 2a + 2c b 2.132 + 2.152 142 = = 148 mb = 37 4 S 2.84 168 = = S = a.ha = a 13 13 mb2 = Cõu 16 Cho tam giỏc ABC cú b =4 ,5 cm , gúc àA = 300 , àC = 750 a) Tớnh cỏc cnh a, c b) Tớnh gúc àB c) Tớnh din tớch ABC d) Tớnh di ng cao BH Cho tam giỏc ABC cú b = 4,5 cm , gúc àA = 300 , àC = 750 a) Tớnh cỏc cnh a, c = 1800 (300 + 750 ) = 750 ABC cõn ti A b = c = 4,5 cm B b sin A 4,5.sin 300 = 2,34(cm) sin B sin 750 b) Tớnh gúc àB = 750 a= c) Tớnh din tớch ABC 2 2 2 Din tớch tam giỏc ABC l S = bc sin A = (4,5) sin 30 = (4,5) = 5, 0625 (vdt) d) Tớnh di ng cao BH Ta cng cú din tớch S = 2S AC.BH BH = = 2, 25 (cm) b Cõu 17 Cho hai ng thng : x + y = v : x + y = a) Chng minh rng vuụng gúc vi ' b) Tớnh khong cỏch t im M(2; 1) n ' Cho hai ng thng : x + y = v : x + y = r r a) cú mt VTPT l n = (3; 2) cũn cú mt VTPT l n = (4;6) r ur n.n ' = 3.(4) + 2.6 = 12 + 12 = ' b) d ( M , ') = | 4(2) + 6(1) 1| (4) + 62 Toỏn Tuyn Sinh Group = 15 52 www.facebook.com/groups/toantuyensinh Cõu 18 a) Cho tam giỏc ABC cú A(3; 1), B(3; 4), C(2: 1) v M l trung im ca AB Vit phng trỡnh tham s ca trung tuyn CM b) Lp phng trỡnh tip tuyn ca ng trũn (C): x + y x + y = ti M(2; 1) a) Cho tam giỏc ABC cú A(3; 1), B(3; 4), C(2: 1) v M l trung im ca AB Vit phng trỡnh tham s ca trung tuyn CM uuuur 2 M 0; ữ CM = 2; ữ = (4; 7) x = + 4t , t R y = 7t Phng trỡnh tham s ca CM l b) Lp phng trỡnh tip tuyn ca ng trũn (C): x + y x + y = ti M(2; 1) uuur ng trũn (C) cú tõm I(2; 3), IM = (0; 4) Phung trỡnh tip tuyn ca (C) ti M l: y = Cõu 19 Cho ABC vi A(2, 2), B(1, 6), C(5, 3) a) Vit phng trỡnh cỏc cnh ca ABC b) Vit phng trỡnh ng thng cha ng cao AH ca ABC c) Chng minh rng ABC l tam giỏc vuụng cõn Cho ABC vi A(2; 2), B(1; 6), C(5; 3) a) Vit phng trỡnh cỏc cnh ca ABC x y2 = x + 3y 14 = x y2 = x + y 16 = PT cnh AC: x +1 y = x y + 27 = PT cnh BC: + PT cnh AB: b) Vit phng trỡnh ng thng cha ng cao AH ca ABC uuur ng cao AH i qua A(2; 2) v cú mt VTPT l BC = (4; 3) Phung trỡnh ng cao AH l: 4( x 2) 3( y 2) = x + 3y 14 = Hoc trỡnh by nh sau : uuur uuur uuur AB = (3; 4) AB.BC = ABC vuụng ti B ng cao AH cng l cnh AB uuur BC = (4; 3) c) Chng minh rng ABC l tam giỏc vuụng cõn uuur uuur uuur AB = (3; 4) AB.BC = uuur ABC vuụng cõn ti B BC = (4; 3) AB = BC = Cõu 20 Cho ng thng d cú phng trỡnh x y + m = , v ng trũn (C) cú phng trỡnh: ( x 1)2 + ( y 1)2 = Tỡm m ng thng d tip xỳc vi ng trũn (C) ? Cho ng thng d: x y + m = , v ng trũn (C): ( x 1)2 + ( y 1)2 = ng trũn (C) cú tõm I (1;1) v bỏn kớnh R = Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh d tip xỳc vi (C) d ( I , d ) = R m = = m = 32 + (4) m = 4+ m Cõu 21 Cho tam giỏc ABC bit A(1; 4); B(3; 1) v C(6; 2) a) Lp phng trỡnh tng quỏt ca cỏc ng thng AB, CA b) Lp phng trỡnh tng quỏt ca ng trung tuyn AM Cho tam giỏc ABC bit A(1; 4); B(3; 1) v C(6; 2) a)uuu Lp phng trỡnh tng quỏt ca cỏc ng thng AB, CA r AB = (2; 5) pt AB : 5( x 1) + 2( y 4) = x + y 13 = uuur AC = (5; 2) pt AB : 2( x 1) + 5( y 4) = x + y 22 = b) Lp phng trỡnh tng quỏt ca ng trung tuyn AM 2 Trung im ca BC l M ; ữ uuuur 7 2 1.( x 1) + ( y 4) = x + y = l AM = ; ữ = (1; 1) AM cú VTPT l (1; 1) nờn phng trỡnh tng quỏt ca AM Cõu 22 a) Cho ng thng d: x + y = Tỡm to im M thuc trc honh cho khong cỏch t M n d bng b) Vit phng trỡnh ng trũn tõm I(2; 0) v tip xỳc vi trc tung 3+ a= 2a = | 2a | =4 a) Gi s M(a; 0) (Ox) Ta cú d ( M , d ) = +1 2a = a = 3+ Vy cú hai im tha bi l M ;0 ữ hoc M ;0 ữ b) ng trũn cú tõm I(2; 0) v tip xỳc vi trc tung nờn cú bỏn kớnh R = PT ng trũn: ( x 2) + y = Cõu 23 Trong mt phng Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(4; 3), B(2; 7), C(3: 8) a) Vit phng trỡnh ng cao ca tam giỏc ABC k t nh A b) Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm A v i qua im B c) Tớnh din tớch tam giỏc ABC Cho tam giỏc ABC cú A(4; 3), B(2; 7), C(3: 8) uuur a) BC = (5;1) PT ng cao AH: 5( x 4) + ( y 3) = x y 17 = b) Bỏn kớnh ng trũn R = AB = (2 4)2 + (7 3)2 = 20 Phng trỡnh ng trũn: ( x 4) + ( y 3)2 = 20 c) PT ng thng BC: x y7 = x + 5y 37 = Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh 61 x= 61 84 x + 5y 37 = To chõn ng cao H l nghim ca h: 5x y 17 = 13 H ; ữ 84 13 13 y = 13 2 BC = (3 2)2 + (8 7)2 = 26 , AH = 61 ữ + 81 ữ = 26 13 Din tớch tam giỏc ABC: 13 13 1 26 BC AH = 26 = (vdt) 2 13 Cõu 24 Cho tam giỏc ABC cú AB = 5, AC = 7, BC = Tớnh di ng trung tuyn BM = ? BM = BA2 + BC AC 2.52 + 2.82 129 129 = = BM = 4 Cõu 25 Trong mt phng Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(1; 2), B(3; 0), C(2; 3) a) Vit phng trỡnh ng cao AH v trung tuyn AM b) Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm A v i qua im B c) Tớnh din tớch tam giỏc ABC Cho tam giỏc ABC cú A(1; 2), B(3; 0), C(2; 3) uuur a) BC = (5;3) PT ng cao AH: 5( x 1) + 3( y 2) = x + y 11 = uuuur ; ữ = (3;1) 2 2 PT trung tuyn AM: ( x 1) 3( y 2) = x 3y + = b) Bỏn kớnh R = AB R = AB = (3 1) + (0 2) = 20 PT ng trũn: ( x 1) + ( y 2) = 20 Trung im BC l M ; ữ AM = c) PT ng thng BC: x +3 y0 = x 5y + = 2+3 30 14 x = 17 14 39 x 5y = To chõn ng cao H l nghim ca h: 5x + 3y = 11 39 H ; ữ 17 17 y = 17 2 BC = (2 + 3)2 + (3 0)2 = 34 , AH = 14 1ữ + 39 ữ = 34 17 Din tớch ABC: S ABC = 17 17 1 34 BC AH = 34 = (vdt) 2 17 Cõu 26 Cho tam giỏc ABC cú AB = 3, AC = 4, BC = Tớnh cosB = ? Cho tam giỏc ABC cú AB = 3, AC = 4, BC = Tớnh cosB = ? Ta cú BC = AB + AC gúc A vuụng nờn cos B = Toỏn Tuyn Sinh Group AB = BC www.facebook.com/groups/toantuyensinh Cõu 27 a) Vit phng trỡnh ng trũn tõm I(1; 0) v tip xỳc vi trc tung b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca ng trũn x + y x + y + = ti im M(2; 1) c) Cho tam giỏc ABC cú M(1; 1), N(2; 3), P(4; 5) ln lt l trung im ca AB, AC, BC Vit phng trỡnh ng thng trung trc ca AB? a) Vit phng trỡnh ng trũn (C) cú tõm I(1; 0) v tip xỳc vi trc tung (C) cú tõm I (1; 0) thuc trc honh v tip xỳc vi trc tung nờn cú bỏn kớnh R = Vy phng trỡnh ng trũn (C) l ( x 1)2 + y = b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca ng trũn x + y x + y + = ti im M(2; 1) uur Tõm I (3; 2) Tip tuyn ti M(2; 1) nhn IM = (1;3) lm VTPT phng trỡnh tip tuyn l ( x 2) + 3( y 1) = x 3y + = c) Cho tam giỏc ABC cú M(1; 1), N(2; 3), P(4; 5) ln lt l trung im ca AB, AC, BC Vit phng trỡnh ng thng trung trc ca AB? uuurng trung trc ca AB qua M(1; 1) v vuụng gúc vi NP nờn cú VTPT l NP = (2;2) phng trỡnh trung trc ca AB l 2( x 1) + 2( y 1) = x + y = Cõu 28 Trong mt phng ta Oxy cho hai im, im A ( 1;4 ) v B 2; ữ: a) Chng minh rng OAB vuụng ti O; b) Tớnh di v vit phng trỡnh ng cao OH ca OAB ; c) Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip OAB uuur uuur a)Ta có : OA = ( 1;4 ) , OB = 2; ữ uuur uuur Suy ra: OA.OB = 1.2 + ữ = y Vy tam giỏc OAB vuụng ti O b) Tớnh di v vit phng trỡnh ng cao OH: A 17 Ta có : OA= + = 17; OB= + ữ = 2 2 2 85 AB = ( 1) + ữ = 12 + ữ = 2 H O Do tam giỏc OAB vuụng ti O nờn ta cú: x -1/2 B 17 OA.OB = 17 = 85 = OH.AB = OA.OB OH = AB 85 85 uuur Do OH AB nờn ng cao OH nhn vect AB lm vect phỏp tuyn, ta cú: 17 uuur AB = 1; ữ uuur AB = 1; ữ lm vect phỏp Vy phng trỡnh ca ng cao OH i qua O(0;0) v nhn tuyn l: Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh (x 0) - (y 0) = x y = 2x 9y = c) Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc OAB: Do tam giỏc OAB vuụng ti O, nờn tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc OAB l trung im I ca cnh AB, ta cú: x A + xB = x I = 2 y = yA + yB = I 2 Bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc OAB l: R = AB 85 = Vy phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc OAB l: 2 85 x ữ + y ữ = 16 Cõu 29 Trong mt phng Oxy cho hai im A(1 ; 0) v B(-2 ; 9) 1) Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng i qua hai im A v B 2) Vit phng trỡnh ng trũn (C) cú tõm I(2 ; 7) v tip xỳc vi ng thng uuur r 1) + ng thng cú VTCP AB = 3(1;3) VTPT n = (3;1) r + ng thng i qua A(1 ; 0) nhn vect phỏp tuyn n = (3;1) nờn cú PT: 3( x 1) + 1(y 0) = 3x + y = x a) 2) + Pt ng trũn cú tõm I(a;b) v bỏn kớnh R cú dng ( + ( y b) = R2 + Vỡ ng trũn cú tõm I(2; 7) v tip xỳc vi : 3x + y -3= nờn ta cú bỏn kớnh 3.2 + R = d ( I , AB ) = = 10 +1 x 2) + Kt lun: Phng trỡnh ng trũn cn tỡm l: ( + ( y ) = 10 Cõu 30 Trong mt phng ta oxy cho ABC vi A ( 6; 2), B (1 ; 4), C (3 ;-1) a) Vit phng trỡnh ng thng BC v trung tuyn BM b) Vit phng trỡnh ng thng (d) i qua trng tõm G v vuụng gúc vi BC c) Tớnh din tớch tam giỏc ABC d) Vitphng trỡnh ng trũn i qua im A, B,C a) BC (2;-5) n BC = (5;2) phng trỡnh cnh BC: 5x + 2y- 13 = phng trỡnh cnh BM: x+ y = b) ng thng (d) i qua trng tõm G v vuụng gúc vi BC , nhn BC lm vộc t phỏp Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh tuyn BC (-2;5) (d) :6x-15y + 5= c) AH= d(A;BC)= 5.6 + 2.2 13 +2 2 = 21 29 BC= 29 S ABC = 21 21 29 = 29 d) phng trỡnh ng trũn (c) i qua im A,B,C l (c) : x + y 43 27 32 x y+ =0 7 ã Cõu 31 Trong mt phng, cho go c xOy = 600 M, N lahai iờm lõn lt thay ụi trờn hai tia Ox vaOy cho: 1 2012 + = Chng minh ng thng MN luụn i qua OM ON 2013 im c nh Goi Ot latia phõn giac cua goc xOy Suy Ot cụinh Goi I lagiao iờm MN vitia Ot Ta chng minh I cụinh * S OMN = OM ON sin MON OM ON (1) 1 * S OMN = S OMI + S ONI = OM OI sin MOI + ON OI sin NOI 2 1 = (OM + ON ).OI sin 300 = (OM + ON ).OI (2) OM + ON = T(1) va(2) suy ra: OI 3OM ON 1 2012 = ( + )= I cụinh OM ON 2013 = OM ON sin 600 = Cõu 32 Trờn mt phng vi h ta Oxy cho hai ng thng d1 : x y = v d : x + y 17 = ng thng d i qua giao im ca d1 v d ct hai tia Ox, Oy ln lt ti A v B Vit phng trỡnh ng thng d cho AB nh nht S 2OAB Cho tam giỏc ABC cú trng tõm G Gi A1, B1, C1 ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca G xung cnh BC, AC, AB Chng minh rng: uuur uuur uuuur r a GA1 + b GB1 + c GC1 = (vi a=BC, b=AC, c=AB) Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh AB Vit phng trỡnh ng thng d cho nh nht S OAB Gi I l giao im ca hai ng thng d1 v d I (3 ; 1) Gi s A(a ; 0) v B(0 ; b) vi a, b > thỡ ng thng d cú phng trỡnh x y + = Vỡ I d + = a b a b AB OA + OB = = 4. + Ta cú 2 2 S OAB OA OB OB OA = + b a p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú 1 1 (3 + ) + + = + 10 a b b a b a 2 10 AB 2 + =1 a = Min = a b S OAB 3a = b b = 10 Khi ú ng thng d cú phng trỡnh x + y 10 = uuur uuur uuuur r Chng minh rng: a GA1 + b GB1 + c GC1 = (Vi a=BC, b=AC, c=AB) uuur uuur uuuur r uuur uuur uuuur a GA1 + b GB1 + a GC1 = ( a GA1 + b GB1 + a GC1 ) = uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur a GA12 + b GB12 + c Gc12 + 2a 2b GA1.GB1 + 2a 2c GA1.GC1 + 2b 2c GB1.GC1 = (*) h h , GB1 = b , GC1 = c , aha = bhb = chc = 2S , 3 uuur uuur GA1.GB1 = GA1.GB1.cos(180 C ) = GA1.GB1.cosC , -2ab.cos C = c a b uuur uuuur GA1.GC1 = GA1.GC1.cos(1800 B ) = GA1.GC1.cosB, -2ac.cos B = b a c uuuur uuur GC1.GB1 = GC1.GB1.cos(1800 A) = GC1.GB1.cosA, -2cb.cos A = a b c Ta cú: GA1 = VT(*) = S a S b S c 4S (c a b ) S (b a c ) 4S ( a c b ) + + + + + =0 9 9 9 L iu phi chng minh Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Bi 33 Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn tõm O bỏn kớnh R, cú G l trng tõm Chng minh rng: GA2 + GB + GC = (a + b2 + c ) R OG = a + b2 + c2 Cú : GA2 + GB + GC = (ma2 + mb2 + mc2 ) b2 + c a2 c2 + a b2 a + b2 c = + + ữ 4 2 a +b +c = Cú: uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = (OG + GA) + (OG + GB ) + (OG + GC ) uuur2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur = 3OG + GA + GB + GC + 2OG (GA + GB + GC ) uuur uuur uuur r Do OA = OB = OC = R v GA + GB + GC = nờn: 3R = 3OG + GA2 + GB + GC hay 3R 3OG = GA2 + GB + GC = R OG = a + b2 + c2 a + b2 + c2 Bi 34 Trờn mt phng to Oxy cho hai im A(2; -5), B(-4; 5) v ng thng d: x 2y + = Vit phng trỡnh ng thng i qua im A cho khong cỏch t B n l ln nht Tỡm im M trờn d cho MA + MB l nh nht Gi H l hỡnh chiu ca B trờn , ta cú: BH AB ng thc xy v ch H A Khi ú l ng thng qua A v vuụng gúc vi AB PTTQ: 3x - 5y - 31 = Kim tra A v B cựng phớa vi d Gi A l im i xng ca A qua d Cú: MA + MB = MA + MB AB ng thc xy A, M, B thng hng Suy M l giao im ca ng thng AB vi d Gi d l ng thng qua A v vuụng gúc vi d d cú PTTQ: 2x + y + = Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Gi H l giao im ca d v d Ta H = (-1; 1) H l trung im ca AA nờn A cú to A(-4; 7) uuuur r ng thng AB cú VTCP A ' B = (0; 2) nờn cú VTPT n A ' B = (1;0) PTTQ ng thng AB: x + = To giao im M ca AB v d l nghim ca h phng trỡnh: y + = x = 11 M(-11; -4) x y + = y = Bi 35 Cho tam giỏc ABC vi A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) v ng thng d : uuur uuur uuur x 2y = Tỡm im M thuc d cho MA + MB - 3MC t giỏ tr nh nht Cho tam giỏc ABC vi A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) v ng thng d : x 2y = Tỡm im M thuc d cho uuur uuur uuur Q = MA + MB - 3MC t giỏ tr nh uuur uuur uuur Gi M(2y+3 ; y) d Khi ú MA + 2MB - 3MC = (2y ; y+21) uuur uuur uuur MA + MB - 3MC = (2 y - 5) + ( y + 21) = y + 22 y + 466 Q t giỏ tr nh nht y = Vy M( - 11 11 ;) 5 Bi 36 Cho tam giỏc ABC cú gúc nhn, cú H l trc tõm, gi R l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip 1) Chng minh rng: AH = 2R.cosA 2) Chng minh rng: cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C A O H B D C A' 1) Gi A l im cho AA l ng kớnh d cú BHCA l hỡnh bỡnh hnh Do ú AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh 2) cos A + cos B + cos C = (cos A + cos B + cos B + cos C + cos C + cos A) C A- B A B- C B C- A = sin cos + sin cos + sin cos 2 2 2 A- B C C A- B C Ê vỡ C nhn nờn 00 < < 600 ị 2cos > ị cos < 2cos Ta cú cos 2 2 B- C A cos < 2cos 2 Tng t ta cú C- A B cos < 2cos 2 cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C Vy Cõu 37 Vit phng trỡnh ng thng song song vi ng thng d: 4x + 3y + = v cỏch im M(1, -2) mt khong bng + Phng trỡnh ng thng song song vi 4x + 3y + = cú dng: \ 4x + 3y + C = ( c ) + Cỏch im M(1; -2) mt khong bng nờn ta cú + C = C = | + C | =1 + C = C = + Vy phng trỡnh ng thng l: 4x + 3y + = v 4x + 3y -3 = d ( M , ) = Cõu 38 Cho ABC cú A(0;6), B(1;1), C(5;4) a)Tỡm ta tõm I ca ng trũn ngoi tip tõm giỏc ABC b)Tỡm im A i xng A qua BC 2 Gi ng trung trc ca AB l d1 Gi M l trung im AB M ; Ta cú: AB = (1;7 ) Phng trỡnh ng thng d1 qua M, nhn AB lm vộc-t phỏp tuyn l: x + y + = x + y + 17 = Gi d2 l ng trung trc ca AC, N l trung im ca AC N ;1 Ta cú AC = ( 5;10 ) Phng trỡnh ng thng d2 qua N, nhn AC lm VTPT l: 5 x + 10( y + 1) = x + 10 y = 2 Tõm I ca ng trũn ngoi tip ABC l giao im ca d1 v d2 Ta tõm I l nghim ca h: 15 x = x + y + 17 = 10 x + 20 y = y = Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh K AH BC AH = ( x H ; y H + 6) BC = ( xH 1; y H 1) AH BC AH BC = xH + y H = 18 (1) A,B,C thng hng BH , BC cựng phng xH yH = x H + y H = (2) x H = T (1), (2) y H = Vỡ A i xng vi A qua BC H l trung im AA A(-6;2) Bi 39 Trong mt phng Oxy , cho A( ; 2) , B( ; 4) , C( -5; -2) 1) Vit phng trỡnh ng trung tuyn AM ca tam giỏc ABC 2) Vit phng trỡnh ng trũn (C ) i qua im A , B v tõm I thuc ng thng : 7x + 3y + = 3) Hóy xột xem im C nm , nm trờn hay nm ngoi ng trũn (C) A( ; 2) , B( ; 4) , C( -5; -2) 1) Vỡ M l trung im ca BC nờn M( -1; 1) uuuur Vect ch phng ca ng thng AM l AM = (2; 1) r Suy : Vect phỏp tuyn ca ng thng AM l n = (1; 2) Vy phng trỡnh tng quỏt ca ng thng AM l : 1( x 1) - 2( y 2) = x 2y + = 2) : 7x + 3y + = Gi pt ca ng trũn (C) l : x2 + y2 2ax 2by + c = A( 1; 2) (C) 1+4 -2a -4b + c = -2a 4b + c = -5 (1) B(3 ; 4) (C) + 16 6a 8b + c = -6a 8b + c = -25 (2) Tõm I(a; b) 7a + 3b + = 7a + 3b = -1 (3) T (1), (2), (3) ta cú h phng trỡnh : 2a 4b + c = 6a 8b + c = 25 7a + 3b = (Nu HS ch ỳng c phng trỡnh thỡ cho 0,25) a = b=9 c = 23 Vy pt ca ng trũn (C) l : x2 + y2 + 8x 18y + 23 = 3) ng trũn (C) cú tõm I(-4 ; 9), bỏn kớnh R = 74 M : IC = 122 Vỡ IC > R nờn im C nm ngoi ng trũn (C) Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Cõu 40 1) Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AB = a ; BC = a v gúc ãABC = 450 Tớnh di ng chộo AC v din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD 2) Trong mt phng Oxy, cho ba im A(1;2), B(5;2), C(1;-3) a) Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng BC b) Vit phng trỡnh ng trũn tõm A tip xỳc vi ng thng BC ã 1) AC = AB2 + BC2 2AB.BC.cosABC = a2 = a ã Shbh = 2.SABC = AB.BC.sin ABC = a.a 2.sin 450 = a (vdt) 2) uuur uuur a) BC i qua B(5;2) cú VTCP: BC = ( 4; ) VTPT : nBC = ( 5; ) pt : ( x ) ( y ) = hay 5x - 4y -17 = b) R=d(A; BC)= 20 400 ; pttrũn: (x 1)2 + (y 2)2 = 41 41 Cõu 41 Cho tam giỏc A BC cú A B = a, BC = a , Aã BC = 30 Tớnh theo a di cnh A C v khong cỏch t im B n ng thng A C A C = A B + BC - 2A B A BC cos Aã BC = a2 ị AC = a o a2 A B BC sin B = o K BH vuụng gúc vi A C ti H Ta cú: o o S A BC = d (B , A C ) = BH = ìS A BC AC = a Cõu 42 Trong mt phng Oxy , cho ng thng D : 3x - 4y - 15 = v cỏc im A (2; - 2) , B (- 6; 4) 1) Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng d i qua hai im A v B Tỡm ta giao im ca hai ng thng D v d 2) Vit phng trỡnh ng trũn (C) cú ng kớnh A B Chng minh D l tip tuyn ca (C) uuur r 1) Ta cú A B = (- 8;6) vuụng gúc vi n = (3; 4) r Vỡ d qua A (2; - 2) v cú v.t.p.t n = (3; 4) nờn d cú phng trỡnh l 3(x - 2) + 4(y + 2) = hay 3x + 4y + = Ta giao im ca hai ng thng D v d l nghim ca h pt ỡù 3x - 4y - 15 = ù ùù 3x + 4y + = ợ ổ 13 17 ữ ữ ( x;y ) = ỗ ỗ ; Ta giao im cn tỡm l ữ ữ ỗ ố ứ Toỏn Tuyn Sinh Group ổ 13 17 ữ ỗ ữ ỗ ; ữ ữ ỗ ố ứ www.facebook.com/groups/toantuyensinh AB = 2) (C) cú tõm l trung im I (- 2;1) ca on A B v cú bỏn kớnh r = Phng trỡnh ca (C) l: (x + 2) + (y - 1) = 25 Ta cú d (I , D) = 3x I - 4y I - 15 + (- 4) = 3(- 2) - 4.1 - 15 + (- 4) = Vỡ d (I , D) = r nờn D l tip tuyn ca (C) r Cõu 43 Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng qua M(2;1) nhn vecto u = (2;3) lm vecto ch phng r Ta cú n = (3; 2) l vecto phỏp tuyn 0,25 im r Phng trỡnh ng thng qua M(2;1), nhn n = (3; 2) l vecto phỏp tuyn 3(x-2) -2(y -1) = x y = 0,5 im Vy 3x 2y -4 = l ng thng cn tỡm 0,25 im Cõu 44 Vit phng trỡnh ng trũn ng kớnh AB vi A(2;-1), B( 0;3) Vit phng trỡnh ng trũn ng kớnh AB vi A(2;-1), B( 0;3) Tõm I(1 ;1) 0,25 im Bỏn kớnh r = 0,25 im Phng trỡnh ng trũn ( x 1) + ( y 1) = 0,5 im 2 Cõu 45 Cho tam giỏc ABC cú A(1; 1), B( 1; 3) v C( 3; 1) a) Vit phng trỡnh ng thng AB b) Vit phng trỡnh ng trung trc ca an thng AC c) Tớnh din tớch tam giỏc ABC Cho tam giỏc ABC cú A(1; 1), B( 1; 3) v C( 3; 1) a)uuu Vit AB r phng trỡnh ng thng r AB = (2;2) = 2(1;1) VTPT n = (1;1) Phng trỡnh AB: x + y = b) Vit phng trỡnh ng trung trc ca an thng AC Trung im AC l M(1; 0) uuur r AC = (4; 2) = 2(2;1) VTPT n = (2;1) Phng trỡnh : x + y + = c) Tớnh din tớch tam giỏc ABC d (C , AB) = 2 = 2; AB = (2)2 + 22 = 2 S ABC = 2.2 = Toỏn Tuyn Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh