tiếp tuyến cảu dồ thị hàm số

toàn bộ những kiến thức liên quan đến tiếp tuyến cảu dồ thị hàm số.theo chính sách đổi mới cách thi 2017 toán theo hình thức trắc nghiệm...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Kiến thức bản: Cho (C) đồ thị hàm số y  f ( x) điểm M  x0 ; f ( x0 )   (C ) Tiếp tuyến với (C) điểm M có phương trình là: y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) (1) ►Chú ý: 1) Cơ phương trình (1) tiếp tuyến phụ thuộc vào x0 hoành độ tiếp điểm vì: có x0 ta thay x0 vào f(x) f’(x) để tính f(x0) f’(x0) 2) Điểm M gọi tiếp điểm Bài toán 1: Cho biết tiếp điểm (hoặc hoành dộ tiếp điểm) tiếp tuyến Cách giải: + Tìm đại lượng theo x0 công thức (1) phần kiến thức nêu + Áp dụng công thức (1) nêu Ví dụ 1: Cho đồ thị (C) hàm số y = x2 - 4x +3 Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành Giải: + PTHĐGĐ (C) với trục hoành ( y = 0): x2  x    x  1, x  (hoành độ tiếp điểm) Vậy có hai tiếp điểm M(1; 0) N(3; 0) + Ta có: y '  x   y '(1)  2; y '(3)  + Tiếp tuyến với (C) điểm M(1; 0) có phương trình: y   2( x  1)  y  2 x  + Tiếp tuyến với (C) điểm N(3; 0) có phương trình: y   2( x  3)  y  x  Vậy phương trình hai tiếp tuyến cần tìm là: y  2 x  2; y  x  Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) hàm số y  x3  x2  x  a) Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành b) Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = Giải: Ta có: y '  3x  x  Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm tiếp tuyến có phương trình: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 (1) a) Khi M  (C ) Ox y0 = x0 nghiệm phương trình: x3  x2  x    x  ; y’(2) = 6, thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y  6( x  2) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ b) Khi M  (C ) Oy x0 =  y0  y(0)  4 y '( x0 )  y '(0)  , thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y  x  c) Khi x0 nghiệm phương trình y”= Ta có: y” = 6x – 88 2 2 y” =  x    x   x0  y0  y     ; y '( x0 )  y '    27 3 3 100 thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y  x  27 Bài toán 2: Cho biết hệ số góc k tiếp tuyến Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k Cách giải 1: (Dùng ý nghĩa hình học đạo hàm) + Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ tiếp điểm x0 + Viết phương trình tiếp tuyến điểm M  x0 ; f ( x0 )  Cách giải 2: (Dùng biểu diễn hình học để diễn tả tiếp tuyến) (không cần tìm x0) + Tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng: y  kx  b (T ) ; (K biết; ta phải tìm b) + Lý luận (T) tiếp xúc với (C) để tìm b ►Chú ý: Khi giải toán ta dùng cách cách tùy theo kỷ học sinh Thông thường giải cách phải giải phương trình f’(x) = k để tìm tìm hoành độ tiếp điểm, phương trình f’(x) = k khó giải giải dễ dàng nghiệm xấu ta nên dùng cách Ví dụ 3: Cho đồ thị (C): y  2x 1 đường thẳng (d): y  3x  Viết phương trình tiếp x 1 tuyến với (C) song song với (d) Giải: + Tiếp tuyến song song với (d) nên y’ = -3 (hai đường thẳng song song có hệ số góc tung độ gốc khác nhau) , ( x  1) ( x  1)2 Vậy ta có:   3  ( x  1)2   x  0; x  ( x  1) + Do y '   + Tại x = y = -1 nên phương trình tiếp tuyến là: y   3( x  0)  y  3x 1 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ + Tại x = y = nên phương trình tiếp tuyến là: y   3( x  2)  y  3x  11 Cả hai tiếp tuyến tìm thỏa mãn điều kiện song song với (d) Vậy có hai phương trình tiếp tuyến với (C) cần tìm là: y  3x 1; y  3x  11 Ví dụ 4: Cho đồ thị (C): y  x  x (d ) : y   x  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với (d) Giải: + Tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có phương trình dạng: y  x  b (T ) ;  b  1  x2  x  x  b  + (T) tiếp xúc với (C) nên:  x  2   x  2x (1) (2) ; x 0, x  x  x 1  x  1  (2)  x   x  x      x  3 3 4( x  x)  ( x  1) 3x  x    x    (1)  b  x  x  x  b       3x  x  x    1  3    b  2  (vì : x  x  1) Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  x   Bài toán 3: Cho biết tiếp tuyến qua điểm A( ;  ) cho trước (hoặc A điểm phải tìm) Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A( ;  ) Cách giải 1: + Tiếp tuyến có phương trình dạng: y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) , (với x0 hoành độ tiếp điểm) + Tiếp tuyến qua A( ;  ) nên   f ( x0 )  f '( x0 )(  x0 ) (*) + Giải phương trình (*) để tìm x0 suy phương trình tiếp tuyến Cách giải 2: + Tiếp tuyến qua A( ;  ) nên có phương trình dạng: y    k ( x   ) (T ) ; (tìm k) + Lý luận (T) tiếp xúc với (C) để tìm k suy phương trình tiếp tuyến >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ 5: Cho đồ thị (C): y  x3  3x  , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2; -1) Giải cách 1: Ta có: y '  3x  Gọi M  x0 ; x03  3x0  1 tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 )  3x02  Phương trình tiếp tuyến với (C) M  : y   x03  3x0  1  (3x02  3)( x  x0 )  qua A(-2;-1) nên ta có: 1   x03  3x0  1  (3x02  3)(2  x0 )  x03  3x02    x0   y0  1  ( x0  1)( x02  x0  4)     x0  2  y0  1 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:  : y  1;  : y  x  17 Giải cách 2: Gọi  tiếp tuyến (C) thỏa mãn qua A(-2;-1) có hệ số góc k  có phương trình dạng: y   k ( x  2)  y  kx  2k   x3  3x   kx  2k  (1)   tiếp tuyến (C) nên hệ sau có nghiệm:   3x   k (2) Thay k (2) vào (1) được: x   k  x3  3x   (3x  3) x  2(3x  3)   x3  3x      x  2  k  Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:  : y  1;  : y  x  17 Ví dụ 6: Cho đồ thị (C): y  x  x  đường thẳng (d): x = Tìm điểm A thuộc (d) cho từ A kẽ hai tiếp tuyến với (C) hai tiếp tuyến vuông góc với ►Chú ý: Đây ví dụ tiếp tuyến qua điểm A A điểm cần tìm Giải: + Vì điểm A  (d ) : x  nên ta đặt A(1; a); y’ = 2x – + Tiếp tuyến với (C) có phương trình dạng: y  ( x02  x0  2)  (2 x0  2)( x  x0 ) , (x0 hoành độ tiếp điểm) + Vì (T) qua A(1; a) nên: a  ( x02  x0  2)  (2 x0  2)(1  x0 )  x02  x0  a  (*) Theo Vi-ét (*) cho: x1  x2  x1 , x2  a + Để qua A(1; a) có hai tiếp tuyến với (C) hai tiếp tuyến vuông góc với (*) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa: y '( x1 ) y '( x2 )  1   x1   x2    1  x1 x2  4( x1  x2 )    4a     a  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4 Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ + Điều kiện (*) có hai nghiệm phân biệt là:  '   a     :  3   Vậy điểm A cần tìm A 1;  2x 1 điểm I (1;2) Tìm điểm M x 1 đồ thị (C) cho tiếp tuyến với (C) M vuông góc với đường thẳng IM Ví dụ 7: Cho đồ thị (C) hàm số y  Giải: Điểm M cần tìm thuộc (C) nên tọa độ có dạng M  x0 ; y0  với y0  x0  ; x0  1 x0   3  ,  y'   ( x0  1)  ( x  1)   2x 1   3  Đường thẳng IM có VTCP IM   x0  1;     x0  1;  , suy đường thẳng x0  x0      Tiếp tuyến với (C) điểm M có hệ số góc k  y '( x0 )  ( x0  1) Tiếp tuyến với (C) M vuông góc với đường thẳng IM khi: k.k’ = -1  x0  1   y0   3 3     ( x  1)   x      0 ( x0  1)2 ( x0  1)  x0  1   y0   IM có hệ số góc k’ =     Vậy có hai điểm M (C) cần tìm có tọa độ là: M 1  3;2  ; M 1  3;2   Ví dụ 8: Cho đồ thị (C): y  x3  x2  x  a) Chứng minh đồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc với b) Chứng minh rẳng tiếp tuyến với (C) tiếp tuyến điểm có hoành độ x0 có hệ số góc nhỏ nhất, x0 nghiệm phương trình y” = ►Chú ý: Có thể chứng minh (C) hai tiếp tuyến có hai tiếp tuyến hai tiếp tuyến không vuông góc với Giải: a) Ta có y '  3x2  x   0, x (vì :  '    0) Suy không tồn x1; x2 hai nghiệm phương trình y’ = để thỏa mãn: y '( x1 ) y '( x2 )  1 Chứng tỏ đồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc với >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ  x0 1 Vậy tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x0  y '     3 + Tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x y '( x)  3x2  x  Đặt g ( x)  3x2  x  Hàm số g(x) xác định với x thuộc R b) + Ta có: y "  x  ; y "   x    x  Ta có: g '( x)  x  2; g '( x)   x  Bảng biến thiên: x g’(x) 3 - - + g(x) + + + Từ bảng biến thiên ta thấy tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x0 (Với x0 nghiệm phương trình y” = 0) có hệ số góc nhỏ Ví dụ 9: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y  x3  3x  cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Giải: + Gọi A(a; a3  3a  2) , B(b; b3  3b  2) , a  b hai điểm phân biệt (C) + Ta có: y '  3x  nên tiếp tuyến với (C) A B có hệ số góc là: y '(a)  3a  y '(b)  3b2  + Tiếp tuyến A B song song với khi: y '(a)  y '(b)  3a   3b2   (a  b)(a  b)   a  b (vì a  b  a  b  0) + AB   AB  32  (a  b)2  (a3  3a  2)  (b3  3b  2)   32 2  (a  b)2  (a3  b3 )  3(a  b)   32  (a  b)2  (a  b)(a  ab  b )  3(a  b)   32  (a  b)2  (a  b)2 (a  ab  b )  3  32 , thay a = -b ta được: 4b2  4b2  b2  3  32  b2  b2  b2  3    b6  6b4  10b2   2 b   a  2  (b2  4)(b4  2b2  2)   b2     b  2  a  - Với a  2 b   A(2;0) , B(2;4) - Với a  b  2  A(2;4) , B(2;0) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (2; 0) (2; 4) 2x 1 cho tiếp tuyến x 1 (C) A B song song với độ dài đoạn AB = 10 Ví dụ 10: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y  Giải: x 1     Gọi A  a;2   , B  b;2   cặp điểm đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu toán a 1  b 1  Với điều kiện: a  b, a  1, b  1 Ta có: y '  nên hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B là: ( x  1) 3 y '(a)  y '(b)  (a  1) (b  1) 3 Tiếp tuyến A B song song khi: y '(a)  y '(b)   (a  1) (b  1)2 a   b  a  b    a  b  (1) (do a  b )  a   b   a  b  Hàm số viết lại: y     AB  10  AB  40  (a  b)      40  b 1 a 1 2     2  (2b  2)      40  4(b  1)     40 ( thay a (1) )  b  b    b 1 (b  1)2  b    b   1  (b  1)4  10(b  1)      b    b   3  (b  1)  2 b   a  2 b  2  a   b   a  4  b  4  a  Cặp điểm A B cần tìm có tọa độ là: (2;5) (0; 1) ; (2;1) (4;3) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: Cho đồ thị (C) hàm số: y  x2  x  , viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẽ từ điểm A(2; -6) Giải: + Tiếp tuyến (T) qua A(2; -6) có phương trình dạng: y   k ( x  2)  y  kx  2k   x  x   kx  k  (1) + (T) tiếp xúc với đồ thị (C) nên:  (2) 2 x   k + Thay (2) vào (1) ta có: x  x   (2 x  4) x  2(2 x  4)   x2  x    x   Với x   k  2(2  3)   nên tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  3x   - Với x   k  2(2  3)   2 nên tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  2 3x   Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  3x   ; y  2 3x   - x  đường thẳng (d) qua điểm I(1; -1), có hệ x 1 số góc m Tìm giá trị tham số m để (d) (C) cắt hai điểm phân biệt A, B Khi chứng minh tiếp tuyến với (C) A B song song với Bài 2: Cho (C) đồ thị hàm số: y  Giải: * Tìm giá trị tham số m để (d) (C) cắt hai điểm phân biệt A, B: + (d) qua I(1; -1) có hệ số góc m nên (d): y   m( x  1) hay y  mx  m  x  + Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C):  mx  m  x 1   x   (mx  m  1)( x  1) , (x = nghiệm phương trình)  mx2  2mx  m   (1) + (d) cắt (C) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt Vậy ta phải có: m  a  m    m0    3m  m  m(m  3)  Vậy m  (d) (C) cắt hai điểm phân biệt A, B * Chứng minh tiếp tuyến với (C) A B song song với nhau: + Gọi xA , xB hoành độ điểm A, B xA , xB nghiệm phương trình (1) 2m   x A   xB + Theo Viets ta có: xA  xB  m 3 3  y '( xA )  y '(2  xB )     y '( xB ) + Ta có: y '  2 ( x  1) (2  xB  1) (1  xB ) ( xB  1)2 Từ y '( xA )  y '( xB ) chứng tỏ tiếp tuyến với (C) A B song song với >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y  đường thẳng (d): y  3x  x2 giao điểm (C) với x 1 Giải: + Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C): x2  3x   x   (3x  2)( x  1) (x = nghiệm phương trình) x 1  3x2  x   x  ( y  2)  x  ( y  4) Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) M2(2; 4) 3 + Ta có: y '  ( x  1) + Tại tiếp điểm M1(0; -2) y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3x  + Tại tiếp điểm M2(2; 4) y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3x  10 Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y  3x  y  3x  10 Bài 4: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y  x3  3x  , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y  x  17 Giải: Tiếp tuyến  (C) song song với (d) nên có phương trình dạng: y  x  b , b  17 Vì  tiếp tuyến (C) nên hệ sau có nghiệm: 3    x  3x   x  b b  x  12 x   x   b  15    x   x     x  2  b  17   Vì điều kiện b  17 nên ta nhận kết quả: x   b  15 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y  x  15 Bài 5: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y  tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x  y  2010  x  x , biết tiếp Giải: 1 (d) có phương trình: y   x  402 nên (d) có hệ số góc - 5 Gọi  tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k  k  1  k  (do   (d )) Ta có: y '  x  x nên hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: x3  x   x3  x    ( x  1)( x  x  5)   x    x   y  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ  9 Vậy tiếp điểm M có tọa độ M 1;   4 11 Tiếp tuyến có phương trình: y   5( x  1)  y  x  4 11 Tóm lại: Tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y  x  Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y  2x  , biết x 1 khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến lớn Giải:  2a   Gọi  tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm M  a;  ,  M  (C )   a 1  4 Ta có: y '   y '(a)  ,  a  1 ( x  1) (a  1)2 2a  Vậy  : y   ( x  a)  x  (a  1) y  2a  4a   (*) a  (a  1) 4(1)  (a  1) 2  2a  4a  a 1 d  I;     (a  1) 4  (a  1) Ta có:  (a  1)4  22  (a  1)2   2.2(a  1)2   (a  1)4  2.2(a  1)2  a   d  I;  a 1  Vậy d  I ;   lớn d  I ;   = a 1 a   a   22  (a  1)2    Cả hai giá trị thỏa mãn a   a   2  a  3 + Với a = thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: x  y    x  y   + Với a = -3 thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: 4x  y  28   x  y   Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x  y   ; x  y   x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp 2x  tuyến cắt trục hoành , trục tung tương ứng điểm A, B thỏa mãn  OAB vuông cân gốc tọa độ O Bài 7: Cho (C) đồ thị hàm số: y  Giải: Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Tiếp tuyến với (C) M phải thỏa mãn song song với đường thẳng y = x y = -x >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 nên tiếp tuyến với (C) M có hệ số góc là: y '( x0 )   0 (2 x  1) (2 x0  1)2 Vậy tiếp tuyến với (C) M song song với đường thẳng d: y = -x 1 Do đó:   1  (2 x0  1)2  ; ( x0   không nghiệm phương trình) (2 x0  1)  x0    x0   y0  Vậy có hai tiếp điểm là: M1 (0;1) , M (1;0)    x0   1  x0  1  y0  + Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d + Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y   x  1; y   x  Ta có: y '   2x  , cho tiếp x 1 tuyến cắt trục hoành , trục tung tương ứng điểm A, B thỏa mãn 4.OA = OB Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y  Giải: Gọi  tiếp tuyến với (C) tiếp điểm M  x0 ; y0  , ( x0  1) OB  Vậy tiếp tuyến có hệ số góc -4 OA 4 Ta có: y '  nên tiếp tuyến với (C) M có hệ số góc là: y '( x0 )  0 ( x  1) ( x0  1)2  x0   y0  2 Do đó: : Thỏa mãn x0  1   ( x0  1)    x    y  ( x0  1)  Vậy có hai tiếp điểm là: M (0; 2) , M (2;6) + Tại điểm M(0; -2) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 4x – + Tại điểm M(-2; 6) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 4x + 14 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  x  ; y  x  14 Vì  OAB vuông O nên t anA  Bài 9: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y  2x , biết khoảng x2 cách từ điểm I(-2; 2) đến tiếp tuyến 2 Giải: 2a   Gọi M  a;  tiếp điểm, a  2 gọi  tiếp tuyến với (C) M  a2 4  y '(a)  Ta có: y '  ( x  2) (a  2) 2a : y  ( x  a)   x  (a  2)2 y  2a  (a  2) a2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ a2 d  I;    2  8(a  2)  16  (a  2)  (a  2)    16  (a  2)4  a    a   2  a   a  4 : thỏa mãn a  2 Thay giá trị a vào (1) thu gọn ta tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x  y  0; x  y 8  Bài 10: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y   x3  3x cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Giải: + Gọi A(a; a3  3a ) , B(b; b3  3b2 ) , a  b hai điểm phân biệt (C) + Ta có: y '  3x  x nên tiếp tuyến với (C) A B có hệ số góc là: y '(a)  3a  6a y '(b)  3b2  6b + Tiếp tuyến A B song song với khi: y '(a)  y '(b)  3a  6a  3b2  6b  3(a  b)(a  b)  6(a  b)   a  b    a   b (vì a  b  a  b  0) + AB   AB  32  (a  b)2  (a3  3a )  (b3  3b2 )   32  (a  b)2  (a3  b3 )  3(a  b2 )   32  (a  b)2  (a  b)(a  ab  b2 )  3(a  b)(a  b)   32  (a  b)2  (a  b)2 (a  ab  b )  3(a  b)   32  (a  b)2  (a  b)2 (a  ab  b2 )  3(a  b)   32 ; thay a = – b ta được: (2  2b)2  (2  2b) (2  b)  (2  b)b  b2    32  (1  b)2  (1  b)2 (b2  2b  2)2    (1  b)2  (1  b)2 (1  b)  3   Đặt t  (1  b)2  , ta có phương trình theo t là: t  t (t  3)2    t  6t  10t    (t  4)(t  2t  2)   t  b  1  a  Vậy  b    b  2   b   a  1 - Với a  b  1  A(3;0) , B(1;4) Với a  1 b   A(1;4) , B(3;0) Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (3; 0) (1; 4) Bài 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y  x 1 cho tiếp tuyến x 1 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12 Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Giải: x 1     Gọi A  a;1   , B  b;1   cặp điểm đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu toán a 1   b 1   Với điều kiện: a  b, a  1, b  2 Ta có: y '  nên hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B là: ( x  1) 2 2 y '(a)  y '(b)  (a  1) (b  1) 2 2 Tiếp tuyến A B song song khi: y '(a)  y '(b)   (a  1) (b  1)2 a   b  a  b    a  b  (1) (do a  b ) a    b  a   b    2   2 AB   AB  20  (a  b)      20  a 1 b 1  Hàm số viết lại: y      2   (2b  2)      20  4(b  1)     20 ( thay a (1) )  b  b    b 1  (b  1)2  b    b   1  (b  1)  5(b  1)      b    b   2  (b  1)  2 b   a  b   a   b   a  1  b  1  a  Cặp điểm A B cần tìm có tọa độ là: (0; 1) (2;3) ; (1;0) (3;2) Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  3x  điểm M(x0;y0) thỏa mãn y’(x0) = >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 2: Cho đường cong (C): y  x  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y  x  Bài 3: Cho đường cong (C): y  x  3x  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;-1) Bài 4: Cho đường cong (C): y  2x  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp x 2 tuyến qua điểm A(-2;0) Bài 5: Cho hàm số y  x  m (Cm) x  Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ -1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng d : 5x  y  Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến  đồ thị (C) hàm số y  x  x  3x điểm có hoành độ x0 thỏa mãn f "( x0 ) chứng minh  tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ 2x x 1 Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích Bài 7: Cho hàm số: y = y  2x 1 có đồ thị (C) điểm I(1; 2) Tìm điểm M thuộc (C) cho x 1 tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Bài 8: Cho hàm số y  x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) 2x 1 điểm thuộc (C) có tọa độ số nguyên Bài 9: Cho (C) đồ thị hàm số: y  x 1 Tìm điểm trục tung mà từ x 1 điểm kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) Bài 10: Cho (C) đồ thị hàm số: y  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 [...]... trình tiếp tuyến là: y = 4x – 2 + Tại điểm M(-2; 6) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 4x + 14 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  4 x  2 ; y  4 x  14 Vì  OAB vuông tại O nên t anA  Bài 9: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y  2x , biết khoảng x2 cách từ điểm I(-2; 2) đến tiếp tuyến đó bằng 2 2 Giải: 2a   Gọi M  a;  là tiếp điểm, a  2 và gọi  là tiếp. .. trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1) Bài 4: Cho đường cong (C): y  2x  5 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp x 2 tuyến đi qua điểm A(-2;0) 1 3 Bài 5: Cho hàm số y  x 3  m 2 1 (Cm) x  2 3 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng d : 5x  y  0 1 3 Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị. .. (1;0) và (3;2) Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3x  3 tại điểm M(x0;y0) thỏa mãn y’(x0) = 0 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 3 1 2 4 3 Bài 2: Cho đường cong (C): y  x 3  x 2  2 x  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):... tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM Bài 8: Cho hàm số y  x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại 2x 1 những điểm thuộc (C) có tọa độ là số nguyên Bài 9: Cho (C) là đồ thị hàm số: y  x 1 Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi x 1 điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị (C) Bài 10: Cho (C) là đồ thị hàm số: y  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán... tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d + Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y   x  1; y   x  1 Ta có: y '   2x  2 , sao cho tiếp x 1 tuyến cắt trục hoành , trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn 4.OA = OB Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: ... đồ thị (C) của hàm số y  x 3  2 x 2  3x tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn f "( x0 ) và chứng minh rằng  là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất 2x x 1 Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và 1 tam giác OAB có diện tích bằng 4 Bài 7: Cho hàm số: y = y  2x 1 có đồ thị (C) và điểm I(1; 2) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho x 1 tiếp tuyến của (C)...Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 1 nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là: y '( x0 )   0 2 (2 x  1) (2 x0  1)2 Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x 1 1 Do đó:   1  (2 x0  1)2  1 ; ( x0   không là nghiệm phương trình) 2 (2 x0  1) 2  2 x0  1  1  x0  0  y0  1 Vậy có hai tiếp điểm là: M1 (0;1) , M 2 (1;0) ... 4) Bài 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y  x 1 sao cho tiếp tuyến của x 1 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12 Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 5 Giải: 2 x 1 2   2   Gọi A  a;1   , B  b;1   là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán a 1... gọn ta được các tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x  y  0; x  y 8  0 Bài 10: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y   x3  3x 2 sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 Giải: + Gọi A(a; a3  3a 2 ) , B(b; b3  3b2 ) , a  b là hai điểm phân biệt trên (C) + Ta có: y '  3x 2  6 x nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt... (C) của hàm số: y  Giải: Gọi  là tiếp tuyến với (C) tại tiếp điểm M  x0 ; y0  , ( x0  1) OB  4 Vậy tiếp tuyến có hệ số góc là 4 hoặc -4 OA 4 4 Ta có: y '  nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là: y '( x0 )  0 2 ( x  1) ( x0  1)2  x0  0  y0  2 4 Do đó: : Thỏa mãn x0  1  4  ( x0  1) 2  1   2 x   2  y  6 ( x0  1) 0  0 Vậy có hai tiếp điểm là: M (0; 2) , M (2;6)