3_CD3_Phuong trinh luong giac

Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Đơn vị đo góc cung: Độ: 180 o Góc 10  góc bẹt 180 y x O Radian: (rad) 1800   rad Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung ) thơng dụng: 00 Độ Radian 30  45  600  900  120 2 135 3 150 5 180  II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghĩa: (tia ngọn) y 360 2 y (điểm ngọn)   B   O x x O (tia gốc) t M  t A (điểm gốc) (Ox , Oy )    k 2 (k  Z) AB    k 2 Đường tròn lượng giác:     k2 Số đo số cung lượng giác đặc biệt: AM y M A  B  C  D  A, C  B, D  2k   2k   2k -   2k k   k B C O  x A D  61 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN y III Định nghĩa hàm số lượng giác: x' u B u' Đường tròn lượng giác:  A: điểm gốc  x'Ox : trục cơsin ( trục hồnh )  y'Oy : trục sin ( trục tung )  t'At : trục tang  u 'Bu : trục cotang t 1 C R 1 O  A 1D x  Định nghĩa hàm số lượng giác: t' y' Trên đường tròn lượng giác cho  AM   Gọi P, Q hình chiếu vng góc M x'Ox y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu Ta định nghĩa: t y t a Định nghĩa: Trục sin Trục cotang U B u' M Q t  x' O P u  T  sin   OQ x tan A  Trục cosin 1 y' cos  OP  AT cot   BU Trục tang t' b Các tính chất :  Với  ta có : 1  sin   hay sin  1  cos   hay cos     k  cot  xác định   k c Tính tuần hồn  tan  xác định   sin(  k 2 )  sin  cos(  k 2 )  cos  tan(  k )  tan  cot(  k )  cot  (k  Z ) 62 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' B 2/3 /3 /2 u /4 /2 3/4 /2 5/6 x'  /3 /6 /3 1/2  1/2 - /2 - /2 -1/2 -1 /2 /2 x A (Điểm gốc) O  -1/2 -/6 - /2 - /3 -/4 - /2 -1 -1 -/3 -/2 y' Góc 00 Hslg sin  cos  tan  cot  kxđ 30  3 3 45  2 2 1 t' 60 90 120   2 3 3 2 1  2 kxđ  3  3 - 135 3 2  -1 -1 150 5 3   180 3600  2 0 -1 0 kxđ kxđ  63 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN V Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó cung : Cung đối :  - Cung bù :   - Cung phụ :  Cung   (tổng 0) ( tổng  ) ( tổng  )   :    2 Cung  :     (Vd:   & ,…) (Vd:  2 & ,…) (Vd:  7 ,…) & 6 Cung bù nhau: Cung đối nhau: cos( )  cos  sin( )   sin  tan( )   tan  cot( )   &  ,…) 6  5 (Vd: & ,…) 6 (Vd: cos(   )   cos  Đối cos Bù sin   cot  sin(   )  sin  tan(   )   tan  cot(   )   cot  Cung phụ nhau: Cung  cos(   )  sin(   )  tan(   )  cot(   )  cos(   )  sin(   )  tan(   )  cot(   )  sin   cos   cot Phụ chéo  Hơn sin cos cos trừ sin  tan   :   sin   cos   cot   tan  Cung  : cos(   )   cos  sin(   )   sin  tan(   )  cot(   )  tan cot  Hơn  tang , cotang 64 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN VI Cơng thức lượng giác: Các hệ thức bản: cos2 1  cot 2 = sin2  tan cot = 1  tan2 = cos   sin   sin tan = cos cos cot = sin Cơng thức cộng: cos(   )  cos  cos   sin  sin  cos(   )  cos  cos   sin  sin  sin(   )  sin  cos   sin  cos  sin(   )  sin  cos   sin  cos  tan +tan  tan  tan  tan  tan tan(   ) =  tan  tan  tan( + ) = Cơng thức nhân đơi: cos2    cos 2 sin2    cos 2 cos2  cos2   sin2   cos2     sin   cos4   sin  sin 2  sin  cos  tan 2  tan   tan2  sin  cos   sin 2 Cơng thức nhân ba: cos 3  cos   3cos  cos   cos 3  cos  sin   sin   sin 3 sin 3  3sin   4sin  Cơng thức hạ bậc: cos2    cos 2 ; sin2    cos 2 ; tan2    cos 2  cos 2 65 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Cơng thức tính sin  ,cos  ,tg theo t  tan  : sin   2t ;  t2 cos    t2 ;  t2 tan   2t  t2 Cơng thức biến đổi tích thành tổng :  cos(   )  cos(   ) sin  sin    cos(   )  cos(   ) sin  cos   sin(   )  sin(   ) cos  cos   Cơng thức biến đổi tổng thành tích:     cos 2     cos   cos   2 sin sin 2     sin   sin   2sin cos 2    sin   sin   cos sin 2 sin(   ) tan   tan   cos  cos  sin(   ) tan   tan   cos  cos  cos   cos   cos Các cơng thức thường dùng khác:   cos  sin   cos(  )  sin(  ) 4   cos  sin   cos(  )   sin(  ) 4  cos 4  cos 4 6 cos   sin   cos   sin   66 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN B BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CÁC VÍ DỤ     Ví dụ 1: Cho góc    ;  mà sin   Tính sin       6 Bài giải   ♥ Từ hệ thức: cos2   sin      ;     5   2 Thay (2) vào (1) ta được: sin       Suy ra: cos    1 sin    1 (2)  3    Ví dụ 2: Cho góc    ; 2 mà sin  cos   Tính sin 2   2 Bài giải   1 ♥ Từ sin  cos     sin    sin    2 4  cos   1 sin   1   16 16 ♥ Do   cos      3     ; 2 2   ♥ Vậy sin 2  sin .cos     3    Ví dụ 3: Cho góc   ;  mà cos    Tính tan        4 41 Bài giải  3  92 40 40 ♥ Do   ;   sin    1 cos2    1    tan     41 41 40 1   tan  1  31 ♥ Do tan        40 49   tan  1 Ví dụ 4: Cho  góc mà sin   Tính sin 4  2sin 2  cos  Bài giải ♥ Ta có: sin 4  sin 2  cos   cos 2  1.2 sin 2.cos   cos2 .4sin .cos2  67 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN   225  81 sin   sin   81    16  128 2 Ví dụ 5: Cho  góc mà tan   Tính P  sin  sin   3cos  Bài giải ♥ Vì tan   nên sin   , đó: sin  sin    cot  P  sin   3cos3   cot   cot  tan   1.tan  22  1.2 10    tan   23  11 C PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận Định lý bản: ( Quan trọng ) sinu = sinv cosu = cosv  u = v+k2    u =  -v+k2  u = v+k2    u =  v + k2  u = -v+k2 tanu = tanv  u = v+k cotu = cotv  u = v+k   k ) (u;v  k ) (u;v  ( u; v biểu thức chứa ẩn k  Z ) Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Biến đổi pt cho dạng pt lượng giác biết cách giải b Phương pháp 2: Biến đổi pt cho dạng tích số Cơ sở phương pháp dựa vào định lý sau đây:  A=0 A.B     B=0 A.B.C   A=0   B=0 C=0 68 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG c Phương pháp 3: HĐBM-TỔ TỐN Biến đổi pt dạng đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết :  Phương trình chứa một hàm số lượng giác ( cung khác lũy thừa)  Phương trình có chứa (cos x  sin x ) sinx.cosx Các phương trình lượng giác thường gặp: a Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m (Phương trình lượng giác bản) * Gpt : sinx = m (1)  Nếu m  pt(1) vơ nghiệm  Nếu m  ta đặt m = sin  ta có ( m  R )  x =  +k2 (1)  sinx = sin    x = ( - )+k2 * Gpt : cosx = m (2)  Nếu m  pt(2) vơ nghiệm  Nếu m  ta đặt m = cos  ta có  x =  +k2 (2)  cosx = cos    x =   +k2 * Gpt: tanx = m (3) ( pt ln có nghiệm m  R )  Đặt m = tan  (3)  tanx = tan  x =  +k * Gpt: cotx = m (4)  ( pt ln có nghiệm m  R ) Đặt m = cot  (4)  cotx = cot  x =  +k Các trường hợp đặc biệt: sin x  1  x =  y   k 2  x = k  sin x   x =  k 2 cosx  1  x =   k 2  cosx =  x = + k cos x   x = k 2 B  sinx = C O x A D  69 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN b Dạng 2: a sin x  b sin x  c  a cos2 x  b cos x  c  ( a  0) a tan x  b tan x  c  a cot x  b cot x  c  (Phương trình bậc hai hàm số lượng giác) Cách giải: Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta phương trình : at  bt  c  (1) Giải phương trình (1) tìm t, suy x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) c Dạng 3: a cos x  b sin x  c (1) ( a;b  0) (Phương trình bậc sinx cosx) Cách giải:   Chia hai vế phương trình cho a2  b2 pt a b c (1)  cos x  sin x  a2  b a2  b2 a2  b2 Đặt a a b  cos b a  b2  sin  với    0;2  : (2)  cosx.cos + sinx.sin =  cos(x- ) = (2) c a  b2 Pt (3) có dạng Giải pt (3) tìm x c a2  b2 (3) Chú ý : Pt acosx + bsinx = c có nghiệm  a2  b2  c d Dạng 4: a sin x  b sin x.cos x  c cos2 x  (a;c  0) (1) (Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx) 70 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Cách giải 1:  cos2 x  cos x cos2 x  2 cơng thức nhân đơi : sin x.cos x  sin x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng Áp dụng cơng thức hạ bậc : sin x  Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: a tan x  b tan x  c  Đây pt dạng biết cách giải Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x    k có phải l nghiệm (1) khơng? e Dạng 5: a(cos x  sin x )  b sin x.cos x  c  (1) (Phương trình đối xứng sinx cosx) Cách giải :  Đặt t  cos x  sin x  cos( x  ) với -  t  t2  Do (cos x  sin x )2   sin x.cos x  sinx.cosx=  Thay vào (1) ta phương trình : t2 1 at  b  c  (2)   Chú ý : Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt:  cos( x  )  t tìm x a(cos x  sin x )  b sin x.cos x  c  Ta giải tương tự cho pt có dạng : CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải phương trình sin x  cos x  (1) Bài giải ♥ Ta có:   1   cos 5 x    cos x   2    cos 5 x    cos x  2 (Biến đổi pt bản) 71 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN    x   x  k 2       x   2 x  k 2    k 2 x        k 2  x    14  k    k    k 2  k 2 ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x    , x  14 Ví dụ 2: Giải phương trình sin 3x  cos 3x  2sin x  k    (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  sin x  cos x  sin x 2    sin 3 x    sin x  3 (Biến đổi pt bản)   3 x   x  k 2      3 x     x  k 2     x   k 2     k   4 k 2   x   15 ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x  Ví dụ 3: Giải phương trình cos  4 k 2  k 2, x  + k     15 5x 3x cos  8sin x 1 cos x  2 (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  cos x  cos x  8sin x  2cos x   2cos x  8sin x    4sin 2 x  8sin x    sin x  (Biến đổi pt bậc hai theo sin2x) : phương trình vơ nghiệm 72 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN      x   k 2  x   k    12  sin x   sin x  sin     k   5 5    k 2  x   k 2x   12  ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x   5  k , x  +k k     12 12 Ví dụ 4: Giải phương trình cos x.cos x  sin x  cos x (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  cos x  cos x  sin x  cos8 x  2sin x  sin x 1   sin x     sin x     sin x   x  (Biến đổi pt bậc hai theo sinx)   k 2    x    k 2      sin x    sin x  sin     k      7   k 2 x   ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x  Ví dụ 5: Giải phương trình   7  k 2; x    k 2, x  +k 2 k     6 sin x  2cos x    sin x (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  sin x  2 cos x  2sin x cos x        sin x 2cos x   2cos x       sin x  2 cos x   (Biến đổi pt tích số)  sin x    sin x  : phương trình vơ nghiệm  cos x    cos x   3 3  cos x  cos  x    k 2  k   4 ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x   3  k 2 k    Ví dụ 6: Giải phương trình sin x  cos x   sin x (1) 73 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Bài giải ♥ Ta có: 1  sin x  4cos x  2sin x cos x    sin x  22 cos x 1  (Biến đổi pt tích số)  sin x    sin x  : phương trình vơ nghiệm  cos x 1   cos x     cos x  cos  x    k 2  k    3  ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x    k 2  k      Ví dụ 7: Giải phương trình cos   x  sin x    (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  sin x  2sin x cos x   sin x 1  2cos x  (Biến đổi pt tích số)  sin x   x  k  2 2   cos x   cos x    cos x  cos  x    k 2 3 ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x  k  , x   Ví dụ 8: Giải phương trình sin x  cos x  sin x  2  k 2 k    (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  cos x sin x  cos x    cos x  2sin x  1   cos x   x  (Biến đổi pt tích số)   k  k  x   k      x    k 2     2sin x    sin x    sin x  sin     k      6  7  k 2 x    k  7 ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x   , x    k 2, x   k 2  k     6 Ví dụ 9: Giải phương trình cos x  sin x  sin x (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  cos x  sin x  sin x   cos x  cos x sin x   cos x sin x 1  (Biến đổi pt tích số) 74 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN   k  k  x   k     sin x 1   sin x   x  +k 2 k     k  ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x   , x  +k 2 2  cos x   x  Ví dụ 10: Giải phương trình 1 2sin x cos x   sin x  cos x k    (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  1 sin x sin x  1  sin x    1  sin x 2sin x 1    sin x  1  x    k 2 (Biến đổi pt tích số)  k        x   k 2  x   k    12  2sin x1   sin x   sin x  sin    k   5 5    k 2  x   k 2 x   12    5 ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x    k 2, x   k , x  +k  k     12 12   Ví dụ 11: Giải phương trình  tan x  2 sin  x    4 (1) (Phương trình lượng giác có điều kiện) Bài giải ♥ Điều kiện: cos x   x  ♥ Ta có: 1     k sin x  sin x  cos x  cos x  sin x  cos x  2cos x 1  (Biến đổi pt tích số)   sin x  cos x   tan x  1  x    k k     cos x 1   cos x     cos x  cos  x    k 2  k    3 Đối chiếu điều kiện: nghiệm tìm thỏa điều kiện   ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x    k, x    k 2  k     75 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN D BÀI TẬP Giải phương trình 1) cos x  cos x  sin x  3) cos3 x cos x  2) cos x  cos x  cos x   cos x 4) cos x  tan x sin 3x  5) cos x  sin x  cos x 6) cos x  cos x  sin 3x sin x  7) sin x  cos x  3sin x  cos x   8) sin x  cos x  sin x  cos 9) cos x  8sin x  cos x  10) cos3 x  6sin x      11) 8cos x cos   x  cos   x    3  3   13  12) sin x  sin   x 1   13)  5sin x  cos2 x  14)   cos x 2sin x   cos x  15) 1  s in2x 17) cot x  tan x  s in2x  19) cos2 x  cot x  s in2x sin3 x  sin x x 0 cos x  cos x  0 tan x  16) 5sin x   1  sin x  tan x 18) cos2 x cos x  cos2 x  20) cos2 x  tan x  cos2 x  cos3 x  cos2 x  cos3 x  s in3x  21)  sin x    cos x   s in2x   22) cos3 x  s in3x   3cos x 23) cos x  s in5x   cos5 x  sin x    24) cos2   x   cos x  cos2 x  4    25) s in3x  cos3x  sin  x   3    26) sin  x    sin x  6   x  27) sin x cos x  sin2 x  4sin2      2   5x  9x 28) cos3 x  sin x  2sin2     cos2 4   17  29) sin 2 x  cos2 8x  sin   10 x    30) s in2x  cos2 x  7sin x  cos x  31)   sin  x    3sin x  cos x  4  32) cos6 x  cos x  cos2 x  s in2x  -Hết - 76