Phương trình lượng giác-Phạm Trọng Thu

Trang 1

PHAM TRONG THU

TOAN NANG CAO | LƯỢNG GIAC |

PHAN PHUONG TRINH LƯỢNG GIÁC_- TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

«BOI DUONG HOC SINH KHÁ GIỎI LỚP 10, TI ' 12 | e LUYỆN THỊ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHO THONG

NHÀ XUẤT BẢN DAI-HOC SU PHAM

Trang 2

PHAN I MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP Chủ đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẲN NHỚ' - - tia tử Nhóm 1: Phương trình tượng giác cơ 7 bản Dạng Cách giải

‹ Nếu TT wick oo aahibo os

, ‹ Nếu |m| <1 :Ta có: sinX=meo| X= x0 +k2m - _ X=a+k2n - với sing = m - (cs me yo acim ae|-5: | keZ - sinX =m Ta -| „ Nếu |m| > ¡ thì phương trình vô nghiệm ˆ NI -T _ X= a+k2x

‹ Nếu |m| <1 ZTa có: cosX=m ©>| XE _ tên ;

với cosơ =m (có thể lấy a = arccosm, a < [0; 7] )

Ta cé: tanX =m & X=a+ka, keZ

với tana = m( sẽ thể ấy ø~ scam, ac{-F: ) cos m keZ tanX =m Tac6:coX =m @ X=a+ka,keZ coX =m | véicota =m (có thể iy a = arccotm,a-€ (0; 7)) Lưu ý:

» Trong bài toán, đơn vị cung (góc) cần thống nhất

Vi dy: x = 60° +k 180” là cách viết đúng, còn x= =3tk 180° là cách viết sai ° Khi giải phương trình lượng giác có chứa hàm tang hoặc hàm côtang ta phải

đặt điểu kiện, -chẳng hạn cott xác định khi œ=z kx,kc Z; tanu xác định khi u#2+kn,k€Z Tu : „ Khi giải phương trình lượng giác ta l?ôn liôn chú ý đặt điều kiện tơn tại bài tốn Trường hợp đặc biệt :

cosu =0 cu =2 +km,k€Z | simu =0 > x =ka,k eZ cosu =1 ©> u = k2m,keZ.- sinu =I1<>u =2 +k2m,k €Z:

Trang 3

cost = -1ou= n+k2a,k eZ: | sinn=-lou= -21 k2r,ke Z cotu =0 ©œu =2 + km, k €Z tanh =0 cu = km, k€Z,

Nhóm 2 : Tuỳ theo phương trình lượng giác đã cho mà ta thực hiện các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa phương trình cần giải

Trang 4

Ví dụ 4 Giải phương trình sin4x = sil + 3) (®) Giải 4x=x++k2H 3x = 4 kon X=+ đ)â `_ _© Ầ© - sron-(x+ 8) tan 5x ont kon -|X=—+—— = 3 3 15 Vậy nghiệm của a phương trìnhC) là x + a cz Ví dụ 5 Giải phương trình cot(x +30°) = cot > (0 | Giải: x +30° #k 180° 0 nã | VÀ vo én: x#—230” +k 180 k _ Piểu kiện Sa xr 360° (hae) (*) <> x +30° =2+k 180° <> 2x +60" ax+k 360° _— @x=-60°+k.3600,keZ, Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = 60" +k 360°, k eZ -_ Ví dụ 6 Giải phương trình sin2x —sin2xcosx = 0 (*) Giải sin2x =0 2x=kn cosx =1 x=k2m

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x =k eZ:

()© sin2x(1~eos)=0©| coxa A, keZ -_Ví dụ 7 Giải và biện luận phương trình sinx = 2m —1(*) _—_ Giải | ` _¬ 2m-1>1 m>l

„Trường hợp 1: Bm-Il>I< [2m11 [mo

Trang 5

Ví dụ 8 Tìm m để phương trình sil x + *| =m cónghiệm x € (s;}: Giải 3m - - + -‹V0<x<Š ` <x + <— 4 `4, sóc V2 *) .“>——<sin| X+— |<S] "> 4 Ls “ « Phương trình đã cho có nghiệm _xe[ 5) wii PB st 2 V2 «l<m<42 Nhóm 2 Ví dụ 9 Giải phương trình cos”x = Bs +2 (ay Giải l+cos2x _ 3 + 2 2-5 3

Trang 6

`z£ k2n 5x = 4 k2n X=—+— ©| - 2 © 10 3 ,keZ K=-+k2n: x.=-+k2 2 2 T1 k2 Vv ậy nghiệm của (*) h *) là X=——+——; x io’ 5 x =—“ +k2 5 a, ke keZ Ví dụ 12 Giải phương trình sin” 2 +cos* 2 = ; Œ)- Giải Đặt a =sin°T và b=cos' 2 =>a+b=l

sin’ ~ + cost ~ =a? + b? =(a +b)* —2ab =1-1 sin’ 2 2 |

(*) <> 1—Ssin?x => €2 sin®x =14¢ cos =0c>x=7 +kn, keZ ,

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = x +kn, keZ Ví dụ 13 Giải phương trình : cos10x +2cos” 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos? 3x (*) ne Giai ,

(*) <>-cos10x + 1+ cos8x = cosx + 2cosx(4cos° 3x — 3cos3x) <> cos10x + 1+ cos8x = cosx + 2cosxcos9x

<> cosl10x + 1+ cos8x = cosx + cos10x + cos8x © cosx =l ©x = K2n, ke Z Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = k2z, k e 7 (2 — Ä3)cosx ¬—nn : \2 #4 Ví dụ 14 Giải =1 2cosx — Ì Giải 1 -

Điều kiện : cosx # 3 ôâx + + k2n,k cZ

CYS "“= 43 3)cosx — họ cox -*)| = 2cosx — 1

Trang 7

_ Ví dụ 15 Xác định m để phương trình: men| SE — x] + (2m — 1)sin(7x— X): +m —7= 2e05{ x - at (*) CÓ đựng: một nghiệm x c lễ =| “Giải:

Phương trình (*) viết lại

msinx + (2m —1)sinx + 5m —7 = 2sinx <> 3m —1)sinx = 7-5m (1) „ Nếu m = 1: (1) © 0sinx =2 ¬ TF Phương trình(*) vô nghiệm - “ LK Nếu m#l: (1) sinx =—-—™ 2) 3(m -1) Đặt t = sinx, (2) viết lai :t = ;ảm ¬"- ¬te Ee se] 3(m ~—1) " 6 | 2

Nhìn vào đường tròn lượng giác :

Trang 8

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Nhóm † ˆ

Bài tập 1 Giải các phương trình:

a) sin2x = 2 b) cos{ x + H = _— c) tan(x —30°) 8 Bài tập 2 Giải các phương trình:

a) tan{x-2] + cotx =0 7 , b)sin?4x sin? 3x2 ]-0

c) reo cos{ x _ al J2=0 ~ d)tanx? =-], e

Bài tập 3 Giải và biện luận các phương trình:

_ 8)(2m —1)cosx = mcosx — 5 b) 4tanx —m = (m +1)tanx Bài tập 4 | a) Tìm m để phương trình cos2x =m ~1 có nghiệm x e (= 2) pytim dé x) 3m - LŒ)cónghiệm x<|0 z Nhom 2

Bài tập 5 Giải các phương trình :

8) COSXCOS7X = c0s3xXcos5x cóc _b) |eosx|==

c) gin? x = 2242 4 d)sin® x + cos’ x = — 16

e) sin® x + cos® x = cos” 2x + f) 2cos3x + V3sinx + cosx = 0 g) cos? x cos3x + sin’ x sin3x = 2 hb) sin xcosx + cos’x = vn l

%Ì T xÌ k) cos| x + *) + co x4 = = co + *) :

3 6 4

Bai tap 6 X4c dinh m để phương trình sinŠx + cos”x = m có nghiệm Bài tập 7 Giải các phương trình:

:4 4

sin x+cos x 1 : 3(sinx + tanx

—————=~(tanx + cotX) b) 3¢sinx + tanx) _ 2cosx = 2 sin2x 2 tanx — sinX W

‘ Ị 2(cosx —sinx

c) 2tanx + cotx =x/3 + - = 2( : ) sin2x ` tanX +CcOfX cotx —l sinx — sin2x 1+cos”x ¬ I+sin |

®)——————- =3 —————-— tan’x sinx = — +tan’x

COSX — COS2X 2(1 — sinx)

Trang 9

Bai tập 8 Giải biện luận phương trình (3m — 2) cos 2x +4msin’ x+m =0 ĐẦU

Bài tập 9 Cho phương trình ` sơ (2+ m)sn(x + %)- -(3m + 2)cos(2# — x) + m — 2 =0 (*) _ 8) Xác định m để (*) có nghiệm _,b) Xác định r m để (*) có đụng ba nghiệm x e| 2:28], s D HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Nhóm 1 Bài tập 1 Quy ước gọi phương trình đã cho là œ® 1 2x=——+k2x x= tke - 0)(*)<osinds =sin|~ 5 Ìe A © 5, ` keZ mt Qx=n+ nikon 4 |x =ytke 8 % 5W m a: % A+ Qa + ken b) (*) © cos ÄX+—~ |=~C0S— =C0S——~ © " 5 ‘ 3, 6 xX+—=-—+k2z x=^ + k2 | 2 ,keZ - UR / x= + kan c) Diéu kién:x 4 120° +k 180°, keZ v3 Ta có: tanQx ~ 30”) = ` =tan30” œ x =60 +k 1809, k€Z,

Bài tập 2 Quy ước gọi phương trình đã cho là (*), |

| a) Điều kiệnx # + ke : x # k#t ,keZ

Trang 10

4x =3 —2 + kỜm X=——+k2r ()© ,keZ $x=w~|3x~5 ]+kớn -4 ken 1 7 - + k2n , “31 7 (2)© On ,keZ, Ra, +ken n kn *) có ngh mx=—^ +ke X=-+— keZ = @) 06 nghiÂ ga 7 Pie (1) )(9)â <> , 1 Fcos{x-%|=-B rian cos{ x] = 7 +k (2) 2 4 4 4 -2 [e(* -4)-3 aan 4) 4 1 t0eengenS| 152" #ekco keZ 4 “70 % Lúc đó: (1) © x= <> + n2 hoặc x= — 17 + HZH (neZ)

| Lý luận giống (1) => (2) có nghiệm © k= 0ˆ

Lúc đó Q)eox= A+ ndn hoặc x=—15 + n2x (neZ.) |

Trang 11

Tóm lại :

‹ =4<m<6thì (*)vơnghệm -

« m< -4 hoặc m >6 thì (*) có nghiệm x=+@+ k2r, keZ b) Ta có: 4tanx —m =(m + ])tanx ©6- m)tanx =m (*)

em = 3:(*) vô nghiệm

, đặt — — =tano

—m 3—m_ :

Ta có: (*) ©x=@+kx,keZ

_ Bai tập 4 Quy ước gọi phương trình đã cho là (*)

a) Tac6:xe[ 2,28) 2 2xe( 2:28) =>-1<cos2x<0 © 4194) "\2"2 -

em #3:(*) © tanx=

(*)66 nghigm xe [ 5: ]khi~I <m~I<0©10<m <1 b)Tacó:xe|0 Blox + lễ: 2) 2% csin{x+4 :)* 1 2 4 14 4 2 4 V2 42 +2 6 (*) có nghiệm xe |0:5 [khi 52 <3m—1 <i© <m<— eZ <3" Nhóm 2 _ | -

Bài tập 5 Quy ước gọi phương trình đã cho là (*)

a)(đ) â 2 (eosBx +coĐ6x) = 5 (0088 + COS2X) ©

Trang 12

e) Cách giải tương tự câu c Dap s6 x= 7 < keZ HC Ố x-—=z~3x+k2m HN \<o cos(x -*) = cos(m— 3x) @ - Xca=-+3x + k2 ` _—1 km = 3 2 ,keZ x=—-km 3 7 +

g) Thế cos”x = mm sin x = Tn vào phương trình đã cho và rút gọn lại ta được 3cos2x + cos6x = V2 (1) > " 3 (1) < 3cos2x + 4cos° 2x —3cos2x = 42 <> cos’ 2x = v2 = (= 4 \2) | 1 TL T1 © cos2x =—= =C0S— © X=‡+— + ka, k Z 2 -Rđâ = + 1+ coo = = 2 Pi 2x levi S232 =2 tk x=g +m,k€Z 4.2 8 k) (1) 29 200s{ x4 1s * co cos{x+%)(2e08-%—1)=0 o> cos{ x4 3" =0©x=2 +kn, keZ | ¬ Bài tập 6 | | 3 3 1- cos4x "8m „m=sin §x +cos° =1 h2 2x= In —3— ‘<> cos4x = 8m =5 1à

« Phương trình đã cho có nghiệm @-Is

_a) Điều kiện: sin2x#0x = 1 - 2 ane ° Ỷ 1 : 2 ` L—sin 2x lí sinx - cosx 1->sin 2x 1 (*)<— == + > = sin2x 2 <> sin2x =0

Vậy phương trình (*) vô nghiệm

COSX sinx sin2x sin2x

Trang 13

b) Diéu kién : sin2x +0Ðxz ke sinx ) so 1 SINX + —— | 3l1+——— ——- = 2(1+cosx) ©—>—————~ i cosk ~e= = =SỈNX == —] COSX COSX 1+ , «+ 2U + cosx) = 2(1+cosx) << 1 —cosx : l—cosx = 2(1.+ cosx) 1 21m =2<©>coSX =——=COS—— 2 3 c>x=+T + kên,keZ, c) Điều kiện: sin2x z0 ˆ 2sinx + COSX - 34 Œ)<© - - — <> sinx(sinx — V3co0sx) =0 COSX SinX SinXCOSX ~~ : o tanx = V3 _©x=+kmkeZ sinx =0 (loại) - sinx # Ö; cosx +0 đ) Điều kiện tanx + cotx # 0; cotx #1 V2(cosx—sinx) —~ đ)â 1 = ( COSX | ) <5 sinxcosx = V2sinx sinxcosx sinx

<> sinx = 0 hodc cosx = v2 (loại)

Vậy phương trình (*) vônghiệm

e) Điều kiện:cos2x # cosx

(9) X2 sosax— Lsin2x =ÝŠ cosx — Lginx <2 cos 2x+= = Cos xi `2 2 2 2 6 6 Ì2x+`=x+^+k2x _ |x =k2z (loai) ad -„ si Fe m kon ,k€Z -‡2x+— =-(x+—)+k2z ORG ( s) — 9.3 > 3 TS " sinx # | ge £) Điều kiện : < cosx #0 x #— + ku,k e Z cosx # 0 ‘ ¬ I+cos? 2(1—-sinx) a) x 1+sinx | = + tan?x(1 +sinx) Co 2 sin’x cos?x

<> 1+cos?x =1—sin?x +2- -(1-sin’x)

Trang 14

Bài tập 8 Quy ước gọi phương trình đã chơ là (*)

- *)©(3m-2)cos2x + 4ủ =ơ +m=éâ (2m)cos2x = 3m

„ Giải tương tự Bài tập 3a -

- Dap số:

ˆ #m< —1 hoặc m >> thi (*) vô nghiệm `

+ -l<m <7 thì () có nghiệm x = +@ + km, k€Z (vi cosa =F e m

Bài tập 9 Quy ước gọi phương trình đã cho là (*) a) (*) © —( + m)cosx —(3m +2)cosx + m ~ 2 = Ö <> 4m +1)cosx =m—2(1) - »m =~1:(1) © 0.cosx = —3 => (*) vonghiém om#-—1:(1) & cosx = mo2 4m+l) _ m—2 m<~2 (*) cónghiệm <> (2) có nghiệm > —l <— <1i© 2 a _ #(m+]) mes b) Dat t = cosx | | Vảixe|~5:2n|=teI-iN

Nhìn đường tròn lượng giác ta thấy : _

Trang 15

Chi dé 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI

_ VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẨN NHỚ_ _ | Nhóm ii Phương trình lượng giác bậc hai ¡đổi với một hàm số lượng giác Dạng Cách giải .=® Đặtt=sinX,|l|<1 -

asin?X + bsinX +c =0(a #0) | »Tacó:at? + bt+c=0(1), gidi (1) tim

nghiệm t ( nếu có), suy ra nghiệm X - Datt =cosX, |t|<1 - Ta có: at? + bt+c=0 (2), giải (2) tìm nghiệm t (nếu có), suy ra nghiệm X “` acos2X + bcosX +c =0(a # 0) _.} eĐặtt=tanX,teR ˆ

atan2X + btanX +c =0(a #0) | « Ta có:at + bí +c = 0 (3), giải (3) tìm

_ nghiệm t( nếu có), Suy ra nghiệm X — | «Đặtt=cotX,teR

acot2X + bcotX +c=0(a #0) | « Ta có:at + bt +c = 0(4), giải (4) m

` nghiệm t( nếu có), suy ra nghiệm X

Nhóm 2 : Tuỳ theo phương trình lượng giác đã cho mà ta thực

Trang 17

Giải Đặt t =cosx, |tÌ<1 Với xe|0 ÿ|>tel0 1] a 7 _[r=te[0; 1 Ta có: 2t ~ (m +2)t+m =0 |, _ m, t=— 2 - Để (*) có đúng hai nghiệm x e È H thì 5 e[0; 1)>mc[0; 2) Ví dụ 7 Xác định m để phương trình 2sin”2x —3sin2x +m —I = 0(*) có _ đúng hai nghiệm thuộc E zl Giai - Đặt t = sin2x Với xe E | =>2x€ È H =>te[0; 1}

Phương trình (*) có thể viết lại ~2t? + 3t+1=m(1)

(*) có đúng hai nghiệm thuộc Ề *| khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng hai nghiệm te [0; 1] ° Xét hàm số g(t) = —2t? +3t+1 trên doan [0; 1] - g()= -Á4t+3, g()= 0et=2 ‹ Bảng biến thiên: - ee 17 cà

« Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 2 < m < § thỏa mãn để bài

_ Chú ý: Bài giải Ví dụ 7 được sử dụng phương,pháp xét chiều biến thiên, để

sử dụng được phương pháp này thành thạo ta cần Học nhớ :

+ Cách xét tính đơn điệu của hàm số, cách tìm cực trị của hàm số

+ Cách tìm giá trị lớn nhất của ham f(x) wén tập xác định D(max f(x) xeD tim gid tri nhỏ nhất của hàm f(x) trên tập xác định Ð (min f(x))

xeD

Trang 18

Định lí: Cho f(x) xác định và liên tục trên D, giả sử tổn tại max đen f(x) Ta có:

Phương trình f{x)= œ có nghiệm + min f(x) < <œ< max f(x)

(Độc giả tim đọc quyển sách MỘT 6 PHUONG PHAP CHUNG MINH BAT ĐẰNG : THỨC & TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐẠI SỐ tác giả PHAM TRỌNG THƯ ) _ Nhóm 2 | Ví dụ 8 Giải phương trình cos2x +3sin x — 2 = 0(*) Giai đâ1- 2sin?x + 3sinx — 2= 0© 2sin?x — 3sinx.+ l =0 x==+k2x sinx = 1 x =| l1 x<>|x=—-+tk2x ,keZ sinx = — = sin— 6 2 6 5x - 5 then 6 Vậy nghiệm của phương trình là x số + k2n, X == +k2n, x= 2 +k2n.-

Ví dụ 9 Tìm nghiệm của phương trình

Trang 19

Vay nghiém của phương trình (*) là x=; x= * Ví dụ 10 Giải phương trình (sin2x + ^l3cos2x)? -5 = coo 2-2 (*) _ Giả _ SI2X+ V3cos2x = a ier + Poa) = 2 sin 25In2x + coSC cos2x] = 2e0s{ 2x -s] 6 (*) <> 4cos? (2x -š]-ea[> -§] 5=0 1 |e[2x~Z)=ơ an â2xZ=m+ k2n <>x= l2 +kmẽ, keZ — la») qc) Moai) o + Vậy nghiệm của phương trình (*9 là x= > + kn, k € Z Ví dụ 11 Giải phương trình cos” 3x cos2x = cos’ x = 0(*) Giai

(*) <> C + cos6x)cos2x — —(l+cos2x) =0 <© cos6xcos2x — l= 0

ot 2 + (cos8x +cos4x)—Í =0 © 2cos” 4xT—l+cos4x —- 2 =0

c© 2cos”4x + cos4x— 3 = 0 © cos4x = 1 hoặc cos4x = -Š (loai) coax akin x=, keZ

Trang 20

(*) © 12cos?2x ~ lócos2x + 3 =0 = cos2x = 8—v28 =cos2@ ' <> 2x=+29+k2n ©x=+0+km,keZ | Ve 12 Vậy nghiệm của (*) là x= +@ + km, k eZ.với 'cos20@= 8 Ví dụ 13 Xác định của m để phương trình A(sin*x + cos*x) — 4(sin®x + cos°x)— sin?4x =m (*®) có nghiệm 7 a -_ Giải

Ho a(t si 2x]-4[I Sin’ = aa =m

Trang 21

sinx'=-2<-I(loati) |x==+k2m |

1 a = 6 ,keZ

SIPX =— =SIn— - 2- 6 x= 7t + ken

Vaoy nghieom cuỷa phửụng trỡnh (*) laứ x = at k2n; x= = + k2n , ke Z 2 sin2x Œ).- | Ví dụ 15 Giải phương trình cotx — tanx + 4sin2x = Giải A ta ot kt | ow Điều kiện: sin2x # 0 © x # >" keZ COSX sinx

* oH - + 4sin2x =— ; 2(cos x = sin’ x) + 4sin2x = — 2(cos*x—sin’x) , :2

SỈnX COSX SỈI2X 2sinX.cOSX _ SIR2X 2cos2x on + 4sin2x = — sin2x sin2x > 2cos2x + 4(1— cos? 2x) = 2 <> 2cos”2x -— cos2x -1=0 ©>2cos2x + 4sin22x=2- " & cos2x = ¬5 = so hoặc cos2x = 1 đoại) c2x= + + kÐn œx=+5 +km, ke, Vậy nghiệm của phương trình (Œ9)làx= + +ka, ke Z Ví dụ 16 Cho phương trình sin“x + (sinx — 1)” =m

ˆ a) Giải phương trình (*) khi m =; b) Xác định m để (*) có nghiệm xe lễ: | 2 Giải Đặt t = sinx ai cóc 2 * 1 4 1 4c Phương trình (*) trở thành ( + 2] +( -2] =m Khai triển và rút gọn ta được: 229 +3 tọ =m (1)

a) Khi m =—: 2 +3 =0€>t =0 sinx =7 =sin=©| z„

8 : ? 6 x=-+k2m

ni | |

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = at k21;x = = +k2a,k eZ

Trang 22

b) Với Z<x<Z ` <sinx<1=te|0; 1 ` 6 2 2 2] ‹ Xét hàm số g()= 2 +3” + trên đoạn lở 1 -ø(0= 214 +3) - g(0=0<©t=0 ‹ Bảng biến thiên: g(Ð øŒ)

Phương trình (*) có nghiệm xe E | c> phương trình (1) có nghiệm t se |

‹ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với SỀ <m <i thỏa mãn để bài

Trang 23

Ví dụ 18 Xác định của m để phương trình cos”x +(m — 4)cosx -2m +4 =0 (*) có đúng hai nghiệm x e - zi an] Giải -

(*) © (cosx — 2)(cosX + m —2) = 0 © cosx = 2—m hoặc cosx = 2 >1(loại)

Đặt t = cosx, với xe l-š an] =[ «|: ;|

Nhìn đường tròn lượng giác ta thấy: (® có đúng hai nghiệm x e l-š: an] t=1 2-m=l đl_~tôt<4|-I42-m<1 2 2 m=l 2ôm<3 2 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Nhóm 1 Ộ

Bài tập 1 Giải các phương trình:

a) 2cos”x — 3cosx + =0 b) cot?x — 2cotx + I= =0

Cc) V3tan?x -(l+ V3)tanx +1=0 đ)4sin?x— 243- V2)sinx = V6 0 e) 4cos2x —2(x/3 — 1)cosx = V3 =0

Bài tập 2 Giải và biện luận (m - 1)tanˆx ~ (m — 3)tanx —m —3 = 0

Bài tập 3 Cho phương trình cos°x +(1— m)cosx + 2m —6 =0 (*) Xác định m để (*) cé nghiệm - Bài tập 4 Cho phương trình cosˆx — Gm +1)cosx + 6m —2 = 0 (*) Xác định m để (*) & 7] có nghiệm x e| —; — 2 2 Bài tập 5 Cho 4cos? 2x - 4cos2x — 3—3m =0 (*) Tim m dé (*) có nghiệm Nhóm 2

-Bài tập 6 Giải các phương trình: | a) cos’x + sinx +1 =0 ` b) cosx —cos2x =+

€) cos2x =1+ cos4x 7 ` # co = cos? =

Trang 24

g) 2cosxcos2x = 1+ cos2x + cos3x h) sin3x + cos2x = 2(sin2xcosx — 1) _k) 2(cos!2x — sin* 2x) + cos8x — cos4x = 0

Bài tập 7 Giải các Phương h trình: a) 2cos(2a — 2x) + cos? — - * -10003{ 3 _ x] — m -iu(S — x| - 2 2 2 2 2Ơ : b) doos{ ~x]xès[2x+ 5 Ì=Š e sin* + cost * = > —2sinx 3 3) 2 © 2 2 2- d) sin®x + cos*x = ~sin2x _ e@)sinfx+ COS”X = :

' Bài tập 8 Giải các phương trình: |

a) 3sin? 2x + 8sin?x — I1 — 3cos2x =0 b) coax(2sinx +32)+2sin?x -3 =| sin2x 1+ sin2x sinx +2 2cos4x c) ———— = 1 d) cotx = tanx + l+cos2x sin2x 6 e) 1 + = = 2 p 2603 x +sin'x) SỈnXCOSX _ o

cosx sin2x sin4x _ 2—2sinx To

(ĐỀ thi Đại học khối A năm 2006) : c4 4 : g) cos2x + 3cot2x + sin4x =2 h) Sin X+CoS X _ 1 co2x~ cot2x — cos2x s _5Ssn2x 2 8sin2x " x k) tanx + cosx — cos2x = sim I + tanxtan ;) 4X x sin’ 3 +cos* — T via tan)! ——Xx | tan) +x 4 4 7 ) 5 sim + oes ee | =cos2x + 3, x € (0; 2x) i) 1+ 2sin2x -_ Bài tập 9 Cho phương trình 2(sin*x + cos*x) + cos4x + 2sin2x + m = 0 (*) Xác định m để (*) có ít nhất một nghiệm x e la 3

Bài tập 10 Tìm a để phương trình I + 3cos”2x = 4asin2x (*) có nghiệm ˆ

Bài tập 11 Cho phương trình 3 +2cos2x — 8cos? 5 =3k (*) Tìm tất cả các giá trị

nguyên dương k để (*) có nghiệm

Trang 25

Bài tập 14 Cho phương trình 4(3m + 2)sin= — (m— 1)cosx +m—-7=0(*) | ai tgp 2 Xác định m để (*) có đúng hai nghiệm x E 2| : Bai tap1 5 Cho phương trình cos2x + 2(1 + 2m)sinx = 4m + 3 (*) Xác định m để @® có nghiệm xe |? | BỊ Bài tập 16 Cho phương trình sin20x - ®)— "SINC — om) = keo ~ xc ) xác định a để (*) có nghiệm x # kx,k € Z Bài tập 17 Giải các phương trình : a a) cos?x + 37 = COSX + —— cos xX „ COSX : ¬ b) cos”x+— 5 =1{cosx- Jn cos’ x cosx ¢) cos2x + 5 = 2(2 — cosx)(sinx ~ cosx)

D HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Nhóm 1 Bài tập 1 a) Đặt t =cosx, Its <1 t=1 x=k2n {= meee 1l b) Đặt t=cotx,teR

Ta có: Ủ ~2L+1= 0 1= 1= cotx = coL 2 có XS + km, keZ,

©) Điều kiện :x # + kak eZ

Phương trình đã cho có dạng : atanˆx + btanx + c = 0 Ta thấy: a + b+c =A/3~(1+A3)+1=0

os m

tanx =1 | x=—+km `

Trang 26

d) Dat t = sinx, It] <1 Ta có: 4t? -2(V/3 -V2)t-V6=0 (1) At = (V3 — V2)? + 4V6 = (V3 + V2)" x= t+ k2n, ae sinx = =sin2 + 4 x=^” + k2n do & , keZ -|t=- a |sm=sa[- “| lx=-Ễ+k2x : 2 4): 4 x= “+ k2m 4 có sa x=+C+k2m e) Cách giải tương tự Bài tập 1d Đáp số | - c ,keZ kat +k2n Bai tap 2 Dat t =tanx, x Z2 tkm, keZ Ta có phương trình (m—1)t -(m~3)t-m~—3=0(1) „Nếu m = 1:1) 9t =2 = tang c9 X= ọ+kx,ke€Z eNéu m #1: Biét s6 A= 5m? +2m-—3 : 3 + (*) có nghiệm khi A >0 © m <-] hoặc m >„ * œ+nz Suy ra :Nghiệm của (*) là là B+ nt m~3~Í5m? +2m ~3 nine} tana = =—————ẽ |" ,neZ ; tan = 2(m-l), 2(m - 1)

+ Phương trình (*) v6 nghiém khi -1<m< ý

Bài tập 3 Phương trình có nghiệm khi 2 < m < 4 Bài tập 4 Đặt t=cosx, || <1 | ep a, —3_-ne.-|t=3m-l - Ta có: U -(đm +l)L+6m 2=0 | S21 doạ) Với xe|5: ]>te[~I:0) 2 2 Do a6 : Phuong trinh đã cho có nghiệm <= -1<3m-1<0 <© 0<m <5 Bai tap 5 Dat t =cos2x, |t|<1

Phương trình (*) có thể viết lại 4t -4t— 3= 3m (1)

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm t‹ te[-l 1] - Xét ham s6 g(t) = 4t? -4t —3 én doan [-1; 1]

Trang 27

- g(t) = 8t—4, g()=0œt=7

- Lap bang biến thiên và dựa vào bắng ta được kết quả -5 <m<

Nhom 2

a)(*) © I—sinÊx + sinx + ï = 0 © sinˆx — sinx —2 = 0

Ww

b) (*) © 2cosx ~2(2cos?x —1) = © 4cos”x -2cosx ~ ] = 0 1-45 COSX = — +5 1 cosx = ——— = cos 4 x=+a+ k2n keZ =cosa * =#B+k2x ` €)(*) <> cos2x = 2cos?2x c> cos2x( 2cos2x —1) =0 cos2x = 0 xa, ke = cos2x = — = cos— 1 xel + 2 kez 2 3 x=‡d— = tke d)(*) <> 2cos? =- 1 = 5 > 4cos* — ax Hog -3=0 4x — cos =I cos— = —— =Ccosp X= + 364 - tan e) (*) <> 2cos”x —1—3cosx = 2(1 + cosx) © 2cos2x ~ 5cosx — 3 = 0 cosx=—-L=cọs2* 2 ~ 9 7 "3 oxst +k keZ, cosx = 3 > I (loai) 1 / 1 l—cos2x \'

(C9) © 2 (cos6x + cos4x) = 2 (cos6x +cos2x)+4—3 ——

<> cos4x = 4cos2x +5 ©> 2cos?2x — l = 4cos2x + 5

<> 2cos” 2x — 4cos2x ~6 =0 <> cos2x = -1 hoặc cos2x =3>1 ox= Stk kez

`

Trang 28

g) (*) © cos3x + cosx = 1+ cos2x + cos3x <> cosx = 2cos2x Tt x=—+kft €> cosx =0 hoặc cosx == =cos c© keZ x=+ ~+k2x 3

h)(*) © sin3x +! —2sinˆx = sin3x +sinx-2 = 2sinˆx +sinx —3 = 0

k) (*) <> 2(cos? 2x — sin? 2) 1+ 2cos? 4x ~ — cos4x = 0

©2cos4x +2cos” 4x —1— cos4x = 0 = 2cos* 4x +cos4x — =0

<> cos4x = -1 hoặc cos4x == = cost

4x = + k2m xe ;

1 4x ot 4 kon? 3 x= +đ—+— x kn °K EZ

- 12 2 Bài tập 7 Quy ước gọi phương trình da cho 1a (*)

a) (*) <> 2cos2x + 1+ cosx —10co “(§-x}- a 7205 -x]

2 2 2.2 2

©>4(1— 2sin?x) + l+ cosx —20sinx — 17 = cosx

Trang 29

-)đ)â 1— 2 sẺ2x = ~ su2x ©3sin?2x +sin2x—~4=0

<>sin2x =1 hoặc sìn2x = _ <~1(loại) ©x = 7+ ke, keZ

e) Dat {eran sasha | |

VT =a" + bt =(@? + b?)? - 20°b? =[(a +b)? - 2b]

=(I—2ab)? —2a”b” =2a”b” ~ 4ab + I

=glsinxeosx} f- (2sinxcosx)’ 4+1= sin" 2x —sin?2x +1 (*) <> sin‘ 2x — 8sin? 2x + 7=0 Dat t=sin?2x,0<t<1 2 —2a?b2 -cos4x- Tact :t? -84+7=0= t= 1 => LOS _¡

eo oust = “Leo x= 4 keZ,

(*) <> (1 —cos? 2x) + 4(1 — cos2x) — l 1— 3cos2x =0

` ‘cos2x =—-1 (loại)

<> 3c0s’ 2x + 7cos2x +4=00 cosax =~ (loai) _ 4

_ Vậy phương trình (*) v6 nghiém.: |

b) Didu kiện:sin2x # —1cox#—-4+ka, keZ

co 2oos'x —Weosx +2= 02 cost ="? hoặc cosx = V2 >I (loai)

x= tk _

o| 4 c<>x=—+k2m,keZ

x= 4 + k2z (loại)

) Dida kiga: #7 +kx, k eZ

(#) <> sinx +2 = 2008’x = 2(1—sin?x) <> 2sin?x + sinx = 0

sinx=Q -~ x=km |

| a roe eo in ,keZ

- _d) Điều kiện :sin2x # 0 <> cos2x ¥ +1

Trang 30

cosx sinx cos4x 2 2

sinX COSX SỈnXCOSX

e) Điều kiện: sin4x z 0 c> JSIn2x #0 cos2x #0

(*) => 1 + 1 1

S 2sinxcos2x R cost = ;

COSX sin2x ~ sindx cos2x

<> 2sinxcos2x = 2sin?x <> 1 —2sin?x = sinx (do sinx + 0 ¬ sinx = —l (loại do cosx # 0) <> 2sin’x + sinx -1= 1-00) 1 1L- sinx= =Sin 6 x= 4k2n c© 5x 6 ,keZ - =—+k2r 6 , x#—+k2n P Điều kiện :4/2~—2sinxz0e>4 4 keZ 3x ‘ X#—+k2n 4 (*)© 1 —sin” 2] ~2sin2x =0<>3sin22x +sin2xT—4 =0 ˆ Si, 4 1 | © sin2x = | hoặc sin2x =—_ < =ldoại) © x =7 + km, K € Z : s wa 37 sac | Sosdnh voi điều kiện => x =~ + kaa, k €Z k

g) Điều kiện : cot2x # cos2x và sin2x z 0 <> x # ` keZ

Trang 31

h) Điều kiện: sin2x z 0: | _ 1.3 1——sinˆ2x 1 c0s2x 1 | ơ.- cos `) 1 (#)<â ef-s = Xcos2x -+ 5sin2x ~ 2 sin2x - - 8sin2x 5 2 8 « 4cos?2x — 20cos2x + 9 =0 =c0s2x =2 =cosE : oxatetkykeZ ° cosx #0 k) Điêu kiện : K cos~ z0 x cof 2-5) sinx sin 2) 1 COSX Tacó: -LlanX tanŠ =1+ xX Jo & _€OSXCOS ~ €OSXCOS —

- j) Điều kiện -x] n= + x)* 0 cos = -s| cos| = + x| #0 NG) ay 4 4) .¬ TL cos +cos2x 0K eee kez 2 2 4 2 Ta thấy : (E-}+ [E+x]=2 un *—1}=cof *+1] - 4 1 ` đ#đ)â 1 > sin’x = cos*x © I~>(=eosx) = cos“x o COS”x =1 © sinx = 0 © x = km, k e Z nt x#-—+knz p Diéu kiện :sin2x ¢ —+=sin Ale 12 ke Z 2: & 6 ẹ 714 : xX#—*+kR J12 - me Ta có: VT = 5(sinx + 2sin2xsinx + cos3x +sin3x) 1+2sin2x _ 5(sinx + COSX — Cos3x + cos3x + sin3x) = 5cosx _ i+ 2sin2x

x=+ kom ke Vixe(O; 2m) x= Fix ae,

3 3 3

34

Trang 32

Bai tap 9 in " -

Thế sin“x + cos*x = 1 =< sin? 2x, cosax = =]-2sin? 2x vào œ® ta được

phương trình: 3sin?2x — 2sin2x =m + 3 ()

Đặt t =sin2x, xe|b ;| = te[0; 1}; a

Phương trình (1) có thể viết lại 3t? —2t =m +3 (2)

(*) ít nhất một có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) ít nhất một nghiệm te [0; 1} Xét hàm sé g(t) = 3t -2t trên đoạn [0; 1, g)= 6t~2 - Bang biến thiên: ‹ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 3s m+3<lâ ơ <m<-2, tha mãn để bài Bài tập 10 ®) <> 14+3(1-sin 29x) = 4asin2x > 3sin? 2x- + 4asin2x —4 = 0- Đặtt =sin2x,t| <1 Ta có : 3.+ 4at=4 =0 (1) 4-30 4t

(*) có nghiệm khi và chỉ khi phương tinh 2=”!

Trang 34

Bai tap 13 (1) <> sinx(2cosx — 4) =0.< sinx =0

: sinx =0

Trang 35

«Dua vao bang bién thién thấy <m < = thi (*) cénghiém x € E an Bai tap 15 ơ (đ)<>l- 2sin x+2(1+ 2m)sinx = 4m +3 &© sin’x — sinx + 1 = = 2m(sinx ~ 1) (yo - + Đặt t =sinx Su : Với xe _ x >te a 4 6 2 tt—t+l {_ˆ (I) —— = 2m (*) có nghiệm x e |-# 4 khi và_ t—t+1 chỉ khi phương trình =2m - có nghiệm te [#3 t? ° Xét hàm số ø()= = Ent trén doan |- : 2 — >g(0= aH 00 0C>L=0 hoặc t2 ° Bảng biến thiên: t, 0 g(t) a(t) › “sẽ - Dua vao bang biến thiên thấy — _—— nh ms-~ sứ (*) có nghiệm x «| Ị- -3, H Bai tap 16 |

(*) <> sin(2x — 2m) —sin(3x ~ 5a) = of’ -2m- x}

ˆ ©sinx[2cosx + 3— 4(1— cos2x)— a]= 0S, 2x +2cosx—= a (*) có nghiệm x # kx, keZ khi va chi khi ar? +2t - 1= a (đặt t= COSX) CÓ

nghiệm te ( - =1; 1)

Trang 36

.- Xét hàm số g()= At? 42t ~1 trên khoảng ( ~1;1 ` sẽ -g(@)= 8L+2; g(@= 0et=~Z Bing bién thién: £0 at) |

«Dựa vào bang bién thiên ta thấy -1<® <a<5 thì ®) có nghiệm x # + km, ke eZ -_ Bài tập 17 Quy ước gọi phương trình đã cho là @

a) Diéu kiện: x #2 tkn, keZ, 1 lL Đặt t= cosx +———, \t|>2 => cos? x+—> =t?-2 cosx ‘cos’x Ta có: t—t—2= 0 ©t=2 hoặc t = —l (loại) -(=2960814+-T— 22C cotx= lox=k2a,keZ COSK b) Didukign sx #4 +k, kez, Đặt t = cosx — => cos*x+—— =0.42 ,„ COSX - COS x Ta cé: t? -2t+I= 0©t=l=cosx— ~cosx -1= 0= cose == ox - Sts keZ -

Trang 37

Chủ đề 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinX VA cosX

A KIEN THUC CAN NHG

Nhóm T1: Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sinXvàcosX | 1 Dạng : asinX + bcosX =c (*) (a? + bŸ z0 2 Cách giải Cách I -Kiém tra: + Nếu a +b? <c? thi (*)-v6 nghiệm + Nếu a? + bỶ >cˆ thì (*) có nghiệm „Sau khi (*) có nghiệm, ta chia hai vế của (*) cho va? + bŸ Đặt = COS®, | b =sino a’ +b? a+b? € a’ +b? cos E -(X+ ®|= we (1) e Gidi (1) tim X Cách 2 |

.Kiểm tra: > = 2 +kn, ke Z hay X =x+ k2w, k €Z có phải là nghiệm

của (*) không, nếu phải thì ghỉ nhận e Khi x #+ kÐn, k € Z đặt tan sin(X + @) = (1) (*) trở thành: 2 Thế sok ge? 08K =" +t + vào (*) ta được phương trình bậc hai mà ẩn là t: (c+ b)tŸ —2at+c—b= 0Œ) ‹ Giải (1) Om t > tìm X

Nhóm 2: Sử dụng công thức biến đổi lượng giác thích hợp để đưa „

Trang 38

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

a) sinx — 43 3cosx =1 (1) _ b) Scosx + 3sinx =4/2 (2) _ Giai 8) (1) có dang asinX + beosX = c vớia=l,b=-v3,c= 1,X= x Ta cé6: a’ +b’ =4,c’ =1 Ta thay: a? +b? >c? = (1) có nghiệm Chia hai vế của (1) cho Va’ +b” =2, ta duge: 1 3 1 T1 „TẾ —SINX — —~- COSX = — & SINXCOS — COSXSIN — = ak 1 xa Ka x= +k2n eosin{ x2) sin «> 3 6 âđ| 2 ,keZ 6 | xB 3 ag maken |x=- “¿k2 6 6 |

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x= 2 +k2n; x -2 +k2z2z,k eZ

b) (2) có dang asinX + beosX =c với a =3, b =5, c=4V2, X =x Ta có:a” + bŸ =34, c° =32 Ta thấy:a” + bŸ > c” > (2) có nghiệm

Chia hái vế của @ cho Va? +b? = J34, ta dude: 4° s ae COSX + pe "vn (*) Đặt cosọ =—— Fa" ing = Te e|0 3) k= +arccos (*) > cos(x - = | T9 +kÐn, k€Z, Ví dụ 3 Tìm: m để phương trình V2si 2sinx + mcosx = m — 42 2 (*) cd nghiệm Giải " >(m- 42? <> 24m? >m? _2fIm +2 m>0

Ví dụ 4 Tìm nghiệm của phương trình cos7?x — - /3sin7x =—J2° 2 (*)

Trang 39

2x 5x k2w 6 2 5 23k 6 5 tt ———<—<——-— ` 5 84 7 7 5Š 84 7- 7 84 217 6x keZ keZ Do —<x<—— => >> 7 2“ lim m2n _ 6n 2.11 2m: 6 5 84 7 7 5 84 7 7 84 | (meZ meZ - fPRsascst _ keZ k=2 o <>|m=l 7 il 11 ———< 3—-— +5 24- 24 - meZ _53n 35m 59m

Vậy nghiệm của phươn trình *)lä x==——;X=——;X= y nghiệ phương (*) ga 84 84

Ví dụ 5 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

-_ 8) SÏnX + mCOSX = 1—m (1)

b) (2m + 1)sinx + 2m - 1)oosx = 2m? + (2) ¬"

_Giãi

a) Cách I Thay <= + ke, keZhay x= n+k2m, keZ vao (1).Ta có: VT(1) = 0-— m =—m,nên (1) không có nghiệm x = x+ k2m, ke Z Sóc _ - Đặtt= tan” Ta có:(1) trở thàn h: 7 +m 1-t? =l-m 2 1+t +e) © 2t+m-—mt? =1+t?-m-mt? © t? ~2t +l—2m =0 (*) -« A'=1—(1-2m)=2m ` A '=0<>m=0 - Bảng xét dấu A' m | ~œ on +0 ‘A | ~ OO +

_„ Nếu m <0 thì A' <0=(*) vô nghiệm — (1), vô nghiệm ˆ

‹ Nếu m =0 thì A'= 0= C9 có nghiệm kép t =t =—” =1

a

=0) cổ nghiệm =2 +kn hay x= 2 +kÐm,k€Z, ¿

‹ Nếu m >0 thì A' >0 =.(*) có nghiệm t =1— 2m hoặc t = 1+ 2m

Trang 40

Tóm lại:

‹ Nếu m <0 thì (1) vô nghiệm

„ Nếu m= =0 thì () có nghiệm x =a† k2x,kcZ

- Nếu m > 0 thi (1) có nghiệm là

X = 2arctan(1—J2m )+ kon, x= 2arctan(1 +^/2m )+ k2n, keZ Cach 2 (1) có dạng asinX + beosX = c với a = 1,b=m,c= 1— m, X= x Lập bắng xét dấu A =aŸ + bỶ —c “ ~ -d- my <2m m |—œ " 0 ` +œ | A | ~ 0 +

‹ Nếu m<0 thì A<0=>3Ÿ + bỶ <c? >(1) vô nghiệm

5ò Nếu m=0: Œ) SmElexr2 thêm k€ếc, ‹ Nếu m >0 thì A >0 a? +bˆ >c? = (1) có nghiệm Chia hai vế của phương tanh cd cho Natt | | 2 sinx + COSX = (*) Vin +i Tiến "mm

m = COSO, = sing, —==== = cosa

Ter Tes Tea

(*) © cos(x —@0) = cosơ © x= @ + + k2 hoặc x = =0-u+k2n,keZ Ta được: Đặt b) (2) có đạng asinX + bcosX = c; với a = 2m + 1, b = 2m ~ Ì,c = 2m? + X=x.Tacó: ca? +bˆ =(2m + LÝ +(2m~ 1 =8m? +2 2 °c vole +3] =4m +6m” 2,2 | 2 ee" ; (2) có nghiệm ca? +b 2c eo 4m 2m +2 <0 2m? -5) <0 œ2m2~ =0 c>m2=Leœm=+2 sa 2 4 2

Voi m=>: Q)<o sink =1e9 x= 7 +k2m, keZ

Định dạng
Số trang	192
Dung lượng	5,21 MB