Các Chuyên Đề Luyên Thi Vào Lớp 10.HSG Toán 9

Chỉ rõ giới hạn của x để trên đường thẳng đó ta được 3 đoạn thẳng là 3 cạnh của OMN .b Viết phương trình đường Parabol có đỉnh ở O và đi qua M.. Chứng minh đồ thị hàm số trên luôn đi qu

a) Rút gọn A và nêu điều kiện của x để A có nghĩa.

b) Coi A là một hàm số với biến x Vẽ đồ thị hàm số A

Chuyên đề 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1 Giải các phương trình sau đây bằng cách đặt ẩn số phụ thích hợp :

 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2x6  2x y y3  2 64.

 Phân tích biểu thức x2  x xy 2y2  2y thành nhân tử Từ đó giải hệ :

Chuyên đề 3: BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ MIN, MAX

1 Cho a b c, , là độ dài 3 cạnh của tam giác Chứng minh :

12.Cho ABC có các cạnh thỏa mãn : a b c  Chứng minh : a b c  2 9bc

13.Ba số dương a b c , , 2 Chứng minh rằng 3 số a2 b b , 2 c c , 2 a

không đồng thời lớn hơn 1

14.Ba số dương a b c, , thỏa mãn a b c  Chứng minh :

a b  a b  a c  a c15.Cho x y , 0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

18.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của :

2 2

20.Tìm cặp số a b thỏa mãn đẳng thức : ,  a 1.b2  b a 1 sao cho a đạt giá trị lớn nhất

21.Cho P x 6 27, Q x 4  3x3 6x2  9x9

a) Rút gọn biểu thức y P

Q

 b) Tìm x để y có giá trị nhỏ nhất

22.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

2 2

11

x A x

Chuyên đề 4: ĐA THỨC VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

1 Cho

2

5,

     Với giá trị nào của a b, thì

P Q với mọi giá trị của x trong tập xác định của chúng.

c) Chứng minh rằng : A chia hết cho 30

4 Chứng minh rằng : nếu x y, là những số nguyên thỏa mãn điều kiện x2  y2

chia hết cho 3 thì cả x y, đều chia hết cho 3

5 Tìm giá trị của p q, để đa thức x 4 1 chia hết cho đa thức x2  px q

6 Cho đa thức A x  x4  14x3 71x2  154x120 với x 

a) Phân tích A x thành nhân tử. 

b) Chứng minh rằng đa thức A x chia hết cho 24 

7 Cho P x  x1970 x1930 x1890, Q x  x20 x10 1 Chứng minh rằng khi xnguyên thì P x chia hết cho   Q x  

8 Tìm tất cả các số nguyên x để x 2 7 chia hết cho x  2

9 Một đa thức chia cho x  2 thì dư 5, chia cho x  3 dư 7 Tính phần dư của phép chia đa thức đó cho x 2 x 3

10.Cho P x  x4  3x2ax b và Q x  x2 3x4 Với giá trị nào của a b,

thì P x chia hết cho   Q x  

11.Cho biết tổng các số nguyên a a1, , ,2 a chia hết cho 3 Chứng minh rằng : n

A a 13 a23 a3n cũng chia hết cho 3

12.Chứng minh rằng : 7.52n 12.6n

 luôn chia hết cho 19, với mọi số tự nhiên n.

13.Tìm các số nguyên a để biểu thức x a x    1993 3 phân tích được thành

2 đa thức bậc nhất với hệ số nguyên

14.Tìm a b, để phương trình sau có nghiệm là mọi số thực x x, 1,x2

c) Chứng minh rằng P x chia hết cho 120. 

17.Tìm đa thức P x biết rằng khi chia   P x cho   x  1 dư 3; khi chia P x  

cho x 1 dư 3, khi chia P x cho   x 2 1 được thương là 2x và còn dư.18.Cho  

M N Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN.

2 Cho hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là nghiệm của phương trình :

x2  2m1x3m 1 0

a) Tìm m để hình chữ nhật trên tồn tại

b) Gọi C S, theo thứ tự là chu vi và diện tích của hình chữ nhật đó Vẽ đồ thị

biểu diễn sự biến thiên của C S, theo m trên cùng một$hệ tọa độ Hai đồ

thị của C S, có cắt nhau không ?

3 Cho hệ tọa độ Oxy và 2 điểm M2; 2 ,   N4; 8 

a) Viết phương trình ba đường thẳng chứa 3 cạnh OMN Chỉ rõ giới hạn của x để trên đường thẳng đó ta được 3 đoạn thẳng là 3 cạnh của OMN b) Viết phương trình đường Parabol có đỉnh ở O và đi qua M Chứng minh Parabol đó đi qua N

c) Vẽ các đoạn thẳng và Parabol trên cùng một hệ trục tọa độ

4 Cho hệ tọa độ Oxy và 3 điểm A2;5 , B1; 1 ,  C4;9

a) Lập phương trình đường thẳng BC

b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng x2y 7 0; y 3 và BC là những đường thẳng đồng quy

b) Tìm giao điểm còn lại của đồ thị hàm số với trục hoành.

c) Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x  1 0.11.Cho hàm số : y 2m 3x 1

a) Tìm mđể đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 5x3

b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A  1;0.

c) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho và các đường thẳng y1;y2x 5 đồng qui tại một điểm

13.Lập phương trình đường thẳng  d đi qua 2 điểm A 1; 1 và B5;7 Tìm

m để đường thẳng y3x2m 9 cắt đường thẳng  d tại một điểm trên

14.Vẽ đồ thị hàm số : y x  x 2 Từ đó giải phương trình x  2 x 2 15.Chứng minh các đường thẳng có phương trình : y 2m 1x 4m2003luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.

16.Cho parabol  : 1 2

4

P y x và đường thẳng  d :y mx  2m 1a) Vẽ parabol  P Tìm m để  d tiếp xúc với  P

b) Chứng minh rằng  d luôn đi qua một điểm cố định.

17.Cho hàm số y mx 2 2m 2x 3m1 Chứng minh đồ thị hàm số trên luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m Tìm m để đồ thị trên là một parabol Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà không có Parabol nào nói trên đi qua

18.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC Biết phương trình đường thẳng AB

y x ; Phương trình đường thẳng AC: 3x 4y 1 0 và trung điểm cạnh BC là M4;3 Lập phương trình đường thẳng BC.

19.Cho parabol  P y: 3x2 trong hệ tọa độ Oxy Tìm mđể đường thẳng

y x m  cắt  P tại 2 điểm phân biệt A B, sao cho OA OB

20.Tìm miền xác định của hàm số : y x2 5x6 x4  x2

21.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol 1 2

2

y x và điểm I0; 2  và điểm M m ;0 với m 0 là tham số

a) Vẽ parabol đã cho

b) Viết phương trình đường thẳng  d đi qua 2 điểm M I, Chứng minh rằng

 d luôn cắt parabol đã cho tại 2 điểm phân biệt A B, với độ dài AB 4.

Chuyên đề 6: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán chuyển động

1 Hai bến sông A B, cách nhau 126 km Một tàu thủy khởi hành từ A xuôi dòng

về B Cùng lúc đó có một đám bèo trôi tự do cùng chiều với tàu Khi tàu về đến B liền quay trở lại ngay và khi tàu về đến A tính ra hết 16 giờ Trên đường trở về A, khi còn cách A 28 km thì gặp lại đám bèo nói trên Tính vận tốc riêng của tàu thuỷ và vận tốc của dòng nước chảy

2 Lúc 9 giờ sáng một chiếc bè trôi tự do từ A đến B dọc theo bờ sông Cùng lúc đó một chiếc thuyền khởi hành từ B đến A và sau 5 giờ thì gặp chiếc bè Khi về đến A, thuyền quay lại B ngay và về tới B cùng một lúc với chiếc bè.Hỏi thuyền và bè có kịp đến B vào lúc 21 giờ ngày hôm đó hay không ?

3 Hai người đi bộ cùng khởi hành từ C để đi đến A và B (C nằm giữa A B, )

Người thứ nhất đi đến A, người thứ 2 đi đến B Sau khi đến nơi cả hai quay lại ngay và họ gặp nhau ở trung điểm đoạn AB Nếu ngược lại, người thứ nhất đến B và người thứ 2 đến A thì người thứ nhất sau khi đến B quay lại ngay và đuổi kịp người thứ 2 tại A Tính khoảng cách từ C đến A và tỷ số vận tốc của 2 người biết rằng đoạn AB dài 2 km

4 Một người đi từ A đến B rồi quay lại A ngay mất tất cả 3 giờ 41 phút Đoạn đường AB dài 9 km gồm một đoạn lên dốc, tiếp đó là một đoạn đường bằng, cuối cùng là một đoạn xuống dốc Hỏi đoạn đường dài bằng bao nhiêu km, nếu biết vận tốc của người xuống dốc là 4 km/giờ, lúc đi đoạn đường bằng là

5 km/giờ và xuống dốc là 6 km/giờ

5 Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ A đến B Xe thứ nhất trong số thời gian cần thiết để đi hết đoạn đường AB thì nửa thời gian đầu nó đi với vận tốc

50 km/h; nửa thời gian còn lại đi với vận tốc 40 km/h Xe thứ 2 trong nửa đoạn đường đầu nó đi với vận tốc vận tốc 40 km/h; nửa đoạn đường sau nó đi với vận tốc 50 km/h Hỏi 2 xe đó có đi cùng về đến B một lúc không ?

6 Trên tuyến đường ABCx có 2 người cùng khởi hành từ 2 địa điểm B và D

ở địa điểm A khởi hành sau một giờ và đi với vận tốc 48 km/h Biết AB dài

22 km còn BC dài 42 km Hỏi sau bao lâu người đi từ vị trí A sẽ cách đều người đi từ vị trí B C, .

Bài toán công việc

7 Một bể đựng nước có 2 vòi : vòi A đưa nước vào và vòi B tháo nước ra Vòi

A từ khi nước cạn tới khi nước đầy (có đóng vòi B) lâu hơn 2 giờ so với vòi

B tháo nước tù khi bể đầy tới khi bể cạn (có đóng vòi A) Khi bể nước chứa 1/3 thể tích của nó nếu người ta mở cả 2 vòi thì sau 8 giờ bể cạn nước Hỏi sau bao nhiêu giờ riêng vòi A có thể chảy đầy bể ? Sau bao nhiêu giờ riêng vòi B có thể tháo hết nước trong bể ?

8 Hai vòi nước cùng chảy thì sau 5 giờ 50 phút sẽ đầy bể Nếu để hai vòi cùng chảy trong 5 giờ rồi khóa vòi thứ 2 thì phải trong 2 giờ nữa mới đầy bể Tính xem nếu để mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể ?

Các bài toán khác

9 Để chở một số bao hàng bằng ôtô, người ta nhận thấy nếu mỗi xe chở 22 bao thì còn thừa một bao Nếu bớt đi một ôtô thì có thể phân phối đều các bao hàng cho các ôtô còn lại Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô và tất cả có bao nhiêu bao hàng Biết rằng mỗi ôtô chỉ chở được không quá 32 bao hàng (giả thiết mỗi bao hàng có khối lượng như nhau)

10.Mỗi người dán tất cả tem của mình vào một quyển vở Nếu dán 20 tem trên một tờ thì quyển vở không đủ để dán hết số tem Còn nếu mỗi tờ dán 23 tem thì ít nhất một tờ trong quyển vở còn bị bỏ trống Nếu giả sử cũng trên quyển

vở đó mà trên một tờ dán 21 tem thì tổng số tem dán trên quyển vở đó với số tem thực có của người đó là 500 tem Hỏi quyển vở đó có bao nhiêu tờ và số tem người đó có ?

11.Tìm một số gồm ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên trái của một số gồm hai chữ số còn lại, ta được một có ba chữ số lớn hơn số ban đầu 765 đơn vị

12.Một trăm con trâu ăn một trăm bó cỏ Trâu đứng mỗi con ăn năm bó, trâu nằmmỗi con ăn ba bó, trâu già 3 con ăn một bó Tìm số trâu mỗi loại ?

13.Tìm một số có 2 chữ số biết rằng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của

nó thì được thương là 4 và dư là 3 Còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ

số của nó thì được thương là 3 và dư là 5

14.Hai đội cờ thi đấu với nhau Mỗi đấu thủ của đội này phải đấu một ván với mỗi đấu thủ của đội kia Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phương sốđấu thủ của đội thứ nhất cộng với số đấu thủ của đội thứ hai Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ ?

15.Hai đội bóng bàn của hai trường A B, thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải

toàn tỉnh Biết rằng mỗi đấu thủ của đội trường A phải lần lượt gặp các đối thủ của trường B một lần và số trận đấu gấp 2 lần tổng số đấu thủ của 2 đội Tìm số đấu thủ của mỗi trường

16.Trong một cuộc gặp mặt học sinh giỏi có 35 bạn học sinh giỏi văn và toán tham dự Các học sinh giỏi văn tính số người quen của mình là các bạn học sinh giỏi toán và nhận thấy rằng : bạn thứ nhất quen 6 bạn ; Bạn thứ 2 quen 7 bạn ; Bạn thứ 3 quen 8 bạn ; và cứ thế bạn cuối cùng quen tất cả các bạn học sinh giỏi toán Tính số học sinh giỏi văn, giỏi toán Biết rằng không có học sinh nào vừa giỏi văn vừa giỏi toán

17.Trong một buổi liên hoan, một lớp khách mời 15 khách đến dự Vì lớp đã có

40 học sinh nên phải kê thêm một dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải ngồi thêmmột nữa thì mới đủ chỗ ngồi Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số người ngồi như nhau và ngồi không quá năm người Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế18.Một đoàn gồm 50 học sinh qua sông cùng một lúc bằng 2 loại thuyền : Loại thứ nhất, mỗi thuyền chở được 5 em và loại thứ 2 chở được 7 em mỗi thuyền Hỏi số thuyền mỗi loại?

19.Tìm một số N gồm 2 chữ số, biết rằng tổng các bình phương hai chữ số bằng

số đó cộng thêm tích hai chữ số Nếu thêm 36 vào số đó thì được một số có hai chữ số mà các chữ số viết thứ tự ngược lại

Chuyên đề 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 - ĐỊNH LÝ VIÉT

1 Cho phương trình : x2  2m1x m 2 m 1 0

a) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m

b) Chứng minh có một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm số không phụ thuộc m

2 Tìm những giá trị nguyên của kđể biệt thức  của phương trình sau là số chính phương : kx22k  1x k  2 0;  k 0

3 Tìm a để phương trình x4  2a1x2 2a 1 0 có 4 nghiệm phân biệt sao cho khi biểu diễn 4 nghiệm đó lên trục số nó chắn trục số thành 3 đoạn bằng nhau

4 Tìm k để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt :

9 Chứng minh rằng nếu các hệ số a b c, , của phương trình : ax2 bx c 0

a  thỏa mãn điều kiện : 0 2b2  9ac thì phương trình sẽ có nghiệm này 0gấp đôi nghiệm kia

10.Chứng minh rằng nếu m n  p m n,   p với m n p, , là các số dương thì phương trình sau đây vô nghiệm : m x2 2 m2n2  p x n2  2 0

0

x  a a b  a b  a là nghiệm của phươngtrình : x3 3bx 2a 0

12.Tìm giá trị của tham số a để 2 bất phương trình sau đây có đúng một nghiệm chung : a x  2  4 x a x,   1 x 2.

13.Cho 2 phương trình x2 2bx c 0, x2 2cx b 0 Chứng minh rằng nếu

2

b c  thì ít nhất có một trong 2 phương trình trên phải có nghiệm

14.Cho phương trình ax2 bx c  0 a  có nghiệm là 0 x x 1, 2

a) Tính theo a b c, , các biểu thức sau :

b) Cho a m b ; 2 2 m1 ;  c3m4 Tìm hệ thức liên hệ giữa x x 1, 2

không phụ thuộc vào m

15.Chứng minh rằng nếu phương trình ax2bx c  có 2 nghiệm dương thì 0phương trình cx2 bx a  cũng có 2 nghiệm dương.0

16.Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung :

20.Tìm các giá trị của a sao cho 2 phương trình

x  ax a  ax  a x  có nghiệm chung

21.Cho phương trình : m 1x2  2mx m  2 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt x x Khi đó tìm hệ thức 1, 2

liên hệ giữa x x không phụ thuộc vào 1, 2 m Tìm m để phương trình trên có 2

Chuyên đề 8:

CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG CÓ YẾU TỐ CHUYỂN ĐỘNG

1 Cho nửa đường trong đường kính AB2R; OC là bán kính vuông góc với

AB Gọi P là điểm di động trên đoạn OC (P C ) Tia AP cắt đường tròn tại M Tiếp tuyến tại M với đường tròn cắt đường thẳng OC tại D

a) Chứng minh đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

b) Gọi AH là đường cao vẽ từ A của ABC Tìm tập hợp các điểm H c) Dựng ABC vuông có đỉnh A cho trước trên đường tròn, BC là đường kính và chiều cao AH h cho trước

d) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh CM đi qua một điểm cố định Dựng ABC có đỉnh A cho trước trên đường tròn, cạnh BC là đường kính của đường tròn ấy và có trung tuyến CM m cho trước

3 Cho đường tròn tâm O cố định Một đường thẳng d cố định cắt đường tròn

O tại A B, ; M là một điểm chuyển động trên d (ở ngoài đoạn AB) Từ M

kẻ 2 tiếp tuyến MP MN, với đường tròn.

a) Chứng minh đường tròn MNP luôn đi qua một điểm cố định  O

b) Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn MNP 

c) Tìm trên d điểm M sao cho MNP đều

4 Cho đường tròn tâm O đường kính AB 2R Gọi M là điểm thay đổi trên đường tròn Khi M A B, , dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H

Từ A B, vẽ 2 tiếp tuyến AC BD, với đường tròn tâm M vừa dựng.

a) Chứng minh C M D, , nằm trên tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M b) Chứng minh AC BD không đổi, từ đó tính tích AC BD theo CD.

c) Giả sử ngoài A B, , trên đường tròn còn có điểm N cố định Gọi I là trungđiểm của MN, kẻ IP vuông góc với MP Khi M chuyển động thì P

chuyển động trên đường nào ?

5 Gọi A B, là 2 điểm cố định trên đường tròn tâm O, còn điểm M chuyển động

trên cung lớn AB của đường tròn Trên MA lấy MA' 2 a không đổi; Trên

MB lấy MB'b không đổi Chứng minh :

a) MA B' ' luôn bằng chính nó

b) Đường thẳng song song với A B' ' vẽ từ điểm M đi qua một điểm cố định

và đường thẳng A B' ' tiếp xúc với một đường tròn cố định

c) Đường cao MH của MA B' ' đi qua một điểm cố định và trung trực của

' '

A B tiếp xúc với một đường tròn cố định

6 Cho hình vuông EFGH Một góc vuông xEy quay cung quanh đỉnh E Đường thẳng E x cắt đường thẳng FG GH, theo thứ tự tại M N, ; còn đường

thẳng Ey cắt các đường thẳng trên theo thứ tự tại P Q,

a) Chứng minh ENP EMQ, là 2 tam giác vuông cân

b) Gọi R là giao điểm PN QM, ; còn I K, theo thứ tự là trung điểm của

,

PN QM Tứ giác EKRI là hình gì ? Giải thích ?

c) Chứng minh 4 điểm F K H I, , , thẳng hàng Từ đó có nhận xét gì về đường

thẳng IK khi góc vuông xEy quay quanh E ?

7 Cho đường tròn O R có ;  AB là đường kính cố định còn CD là đường kính thay đổi Gọi  là tiếp tuyến với đường tròn tại B Đường thẳng AD cắt 

tại Q, đường thẳng AC cắt  tại P

a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được một đường tròn

b) Chứng minh trung tuyến AI của AQP vuông góc với DC

c) Tìm tập hợp các tâm E của đường tròn ngoại tiếp CPD và tập hợp các trực tâm H của CQP