Phương pháp giải một số dạng bài tập đại số tuyến tính cơ bản

LỜI CẢM ƠN Lời cho bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: GVC TS Hoàng Ngọc Anh tận tình giúp đỡ hướng dẫn trình nghiên cứu khóa luận Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo Khoa Toán – Lý – Tin, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc tạo điều kiện giúp đỡ suốt trình thực khóa luận Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn sinh viên tập thể lớp K52 ĐHSP Toán – Lý động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ thực hoàn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2015 Người thực khóa luận Nguyễn Thị Loan MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn khóa luận Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Đóng góp khóa luận Cấu trúc khóa luận Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Không gian vectơ 1.2 Ánh xạ tuyến tính ma trận 1.2.1 Ánh xạ tuyến tính 1.2.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 1.2.3 Hạng ma trận ánh xạ tuyến tính 1.2.4 Ma trận khả nghịch 1.2.5 Ma trận chuyển sở 1.2.6 Các phép toán ma trận 10 1.3 Định thức 11 1.3.1 Phép dấu phép 11 1.3.2 Ánh xạ đa tuyến tính ánh xạ đa tuyến tính thay phiên 12 1.3.3 Định thức 13 1.3.4 Định thức với hạng ma trận, hạng hệ vectơ 17 1.4 Hệ phƣơng trình tuyến tính 17 1.4.1 Định nghĩa 17 1.4.2 Hệ Crame 19 1.4.3 Hệ phƣơng trình tuyến tính 20 Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 21 2.1 Dạng tập ma trận 21 2.1.1: Tìm hạng ma trận 21 2.1.2: Tìm ma trận nghịch đảo 22 2.1.3 Một số tập đề thi Olympic 24 2.1.4 Bài tập tự luyện 28 2.2 Dạng tập định thức 30 2.2.1 Khai triển định thức cách áp dụng định lý Laplace 30 2.2.2 Khai triển định thức theo dòng cột 30 2.2.3 Đƣa dạng tam giác 31 2.2.4 Một số tập đề thi Olympic 32 2.2.5 Bài tập tự luyện 35 2.3 Dạng tập giải hệ phƣơng trình 37 2.3.1 Hệ phƣơng trình tổng quát 37 2.3.2 Hệ phƣơng trình tuyến tính 41 2.3.3 Một số tập đề thi Olympic 42 2.3.4 Bài tập tự luyện 45 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Lý chọn khóa luận Nhƣ biết, Toán học phần sống Sự ứng dụng Toán học đóng vai trò ngày quan trọng khoa học kĩ thuật Chính quan trọng trƣờng Đại học Cao đẳng, hầu nhƣ ngành đào tạo, Toán học đƣợc đƣa vào từ năm đầu Trong nội dung chủ yếu Toán học cao cấp nội dung cốt lõi Toán học cao cấp đại số tuyến tính đƣợc xây dựng nhƣ nội dung sở, móng Toán học cao cấp Các khái niệm ma trận, định thức, hệ phƣơng trình tuyến tính đại số đƣợc giảng dạy chƣơng trình Toán đại cƣơng hầu hết trƣờng Đại học, Cao đẳng Đây nội dung quy định Hội Toán học Việt Nam kì thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc quốc tế (IMC) Với lý chọn đề tài nghiên cứu “ Phƣơng pháp giải số dạng tập đại số tuyến tính bản” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm phƣơng pháp giải số toán ma trận, định thức, hệ phƣơng trình tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng hợp kiến thức ma trận, định thức, hệ phƣơng trình tuyến tính Phƣơng pháp giải số toán đại số tuyến tính bản: toán ma trận, định thức, cách giải hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát, Giả thuyết khoa học Nếu hiểu nắm vững phƣơng pháp giải số dạng tập ma trận, định thức hệ phƣơng trình tuyến tính giúp cho sinh viên giải đƣợc tập Đại số tuyến tính, qua vận dụng để giải đƣợc toán đề thi Olympic Đối tƣợng nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết tập phƣơng pháp giải số dạng tập đại số tuyến tính Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích tổng hợp kiến thức - Nghiên cứu, tích lũy kinh nghiệm thân, trao đổi với giáo viên hƣớng dẫn Đóng góp khóa luận Là tập tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên yêu thích môn đại số trƣờng Đại học Tây Bắc Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm: phần mở đầu, phần nội dung gồm chƣơng phần kết luận Phần nội dung bao gồm chƣơng sau: Chƣơng Các kiến thức Chƣơng Phƣơng pháp giải số dạng tập đại số tuyến tính Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp V khác rỗng mà phần tử đƣợc kí hiệu: α,β, γ, trƣờng K mà phần tử đƣợc kí hiệu: x, y, z, Giả sử V có hai phép toán: - Phép toán trong, kí hiệu: + : V  V  V (α,β) α β - Phép toán ngoài, kí hiệu: : K  V  V (x,α) x.α Khi V với hai phép toán xác định nhƣ đƣợc gọi không gian vectơ trường K, hay K – không gian vectơ, hay vắn tắt không gian vectơ tiên đề sau đƣợc thoả mãn với α,β,γ  V với x,y,1 K (α  β)  γ  α +(β  γ) Có phần tử  V cho:  α  α   α Với α  V có α  V cho: α  α  α  α  α  β  β  α (x  y).α  x.α  y.α x.(  )  x.  x. x.(y.α)  (x.y).α 1.α  α , phần tử đơn vị trƣờng K Các phần tử V gọi vectơ, phần tử K gọi vô hướng Phép toán " + " gọi phép cộng vectơ, phép toán "." gọi phép nhân vô hướng với vectơ Để cho gọn, dấu "." nhiều lƣợc bỏ, thay cho x.α ta viết xα Khi K  , V đƣợc gọi không gian vectơ thực Khi K  không gian vectơ phức , V đƣợc gọi 1.1.2 Ví dụ 1) Tập hợp vectơ ("tự do") không gian với phép toán cộng vectơ nhân vectơ với số thực chƣơng trình toán Phổ thông Trung học không gian vectơ thực 2) Tập K[x] đa thức (một biến) với hệ số thuộc trƣờng K với phép cộng đa thức nhân đa thức với phần tử thuộc trƣờng K K – không gian vectơ 3) Tập số phức với phép cộng số phức nhân số phức không gian vectơ Trong với phép cộng nhân số phức với số thực – không gian vectơ 4) Tập số thực với phép cộng số thực nhân số thực với số hữu tỉ – không gian vectơ 1.1.3 Một số tính chất Cho K – không gian vectơ V ta có tính chất sau: 1) Phần tử trung hoà phép cộng vectơ nói tiên đề đƣợc gọi vectơ không 2) Phần tử đối α gọi vectơ đối α 3) Quy tắc chuyển vế: từ α  β  γ suy α  γ  β 4) Luật giản ƣớc: từ α  β  γ  β suy α  γ 5) 0.α  , phần tử không trƣờng K, vectơ không V 6) x.0  7) Từ x.α  suy x = α  8) (xα)  (x)α 1.2 Ánh xạ tuyến tính ma trận 1.2.1 Ánh xạ tuyến tính 1.2.1.1 Định nghĩa Giả sử V, W K - không gian vectơ Ánh xạ f : V  W đƣợc gọi ánh xạ tuyến tính (hay đồng cấu tuyến tính đồng cấu ) với ,  V k  K ta có: i) f(α  )  f(α)  f(β) ii) f(kα) = k f(α) Nếu W = V ánh xạ tuyến tính f : V  V đƣợc gọi tự đồng cấu không gian vectơ V Nếu tự đồng cấu f : V  V song ánh f đƣợc gọi phép biến đổi tuyến tính không gian vectơ V 1.2.1.2 Ví dụ 1) Giả sử V, W hai K - không gian vectơ Ánh xạ  : V  W ;  0,   V ánh xạ tuyến tính gọi ánh xạ không 2) Ánh xạ đồng id v : V  V ,  ,  V ánh xạ tuyến tính (Tổng quát với k  K ánh xạ k.id v : V  V,  k.,  V ánh xạ tuyến tính) 3) Gọi V = [x] thực Ánh xạ đạo hàm: - không gian vectơ đa thức biến với hệ số f: x  x na n x n 1   2a 2x  a a n x n   a1x  a o ánh xạ tuyến tính 1.2.1.3 Tính chất 1) Các điều kiện i), ii) định nghĩa tƣơng đƣơng với điều kiện sau: f (k   l)  k.f ()  l.f (), ,  V, k,l  K 2) Nếu f : V  W ánh xạ tuyến tính thì:  n  n a) f   x i i    x if (i ); i  V, x i  K,i  1,n i=1  i =1 b) f (0)  c) f ()  f () 1.2.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 1.2.2.1 Định nghĩa Giả sử V, W K - không gian vectơ hữu hạn chiều,   (1, , n ) sở V,   (1, , m ) sở W, f : V  W ánh xạ tuyến tính Khi nếu: f (1 )  a11 1  a 21    a m1  m f ( )  a12 1  a 22    a m2  m m hay f( j )= a ij i , j  1,n i =1 f ( n )  a1n 1  a 2n    a mn  m  a11 a12 a a 22 Khi ma trận A = (aịj) =  21    a m1 a m2 a1n  a 2n    a mn  đƣợc gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f (hay đối với) sở   Chú ý: Vì  sở W nên thành phần aij đƣợc xác định nhất, ma trận A đƣợc xác định 1.2.2.2 Ví dụ 1) Giả sử id v : V  V đồng cấu đồng K – không gian vectơ V   (1, , n ) sở V Khi đó: id V (1 )  1  1  0   0 n id V ( )    01  1   0 n id V ( n )   n  01  0   1 n Do ma trận id v sở () là: 1 0 I=    0 0  I đƣợc gọi ma trận đơn vị   1 Ma trận vuông I = (aij) đƣợc gọi ma trận đơn vị 1 i  j a ij   0 i  j 2) Đồng cấu không  : V  W hai K-không gian vectơ V, W với dimV = n, dimW = m có ma trận sở V W ma trận O kiểu (m,n) dƣới đây: 0 0 O   0 0    0 O đƣợc gọi ma trận không, tức ma trận mà phần tử 1.2.3 Hạng ma trận ánh xạ tuyến tính Cho ma trận A  Mat(m  n, K)  a11 a12 a a 22 A = (aij) =  21    a m1 a m2 a1n  a 2n    a mn  Xem A nhƣ ma trận ánh xạ tuyến tính f : Kn  Km sở tắc Khi (1, 2 , , n ) sở tắc Kn tọa độ f() sở tắc Km (a1i, a2i, , ami) nghĩa tọa độ vectơ cột thứ i ma trận A Do hạng f = hạng (f(1 ), f(2 ), , f(n )) = hạng vectơ cột ma trận A 1.2.3.1 Định nghĩa Hạng ma trận A, kí hiệu: hạng A, hạng hệ vectơ cột (khi xem vectơ cột phần tử Km) Khai triển theo dòng n ta đƣợc: a1 a12 a2 a 22 n 1 Dn  (1) (a1  a n )(a  a n ) (a n 1  a n ) a n 1 a n-1 a1n-1 a 2n-1 n-1 a n-1 Hay Dn = (an – a1)(an – a2) (an – an-1)Dn-1 Dùng quy nạp với ý D1 = 1, suy ra: Dn   (a j  a i ) j i c) Viết D dƣới dạng: 1+x1  2+) 1+0 2+x  D 1+0 2+0 1+0 2+0 3+0 3+0 n+0 n+0 n+0 3+x  3+ n+x n  n Tách cột biểu diễn D dƣới dạng tổng định thức ta có: D x1  x  x1  0 x n  n 0 x n  n  1 x  0 x n  n  x1  n x  n   0 n  n  = [(x1  1) (x n  n)] 1     xn  n   x1  d) Cách 1: Áp dụng ví dụ c) đặt xi = x + i Cách 2: Cộng vào cột cột lại đƣa thừa số chung dấu định thức ta có 36 1 x2  D = (x + + + + n) 3 n n n x  x n  n Nhân dòng đầu với -1 cộng vào dòng lại ta có n(n  1)   D x     x n n(n  1)  n 1  x  x   0 x Bài Tính định thức sau: a) D  c) D  5 7 2 4 4 2 7 10 3 3 b) D  5 4 3 5 Hướng dẫn giải a) Khai triển theo dòng cột Trƣớc khai triển theo dòng cột ta dùng tính chất định thức biến đổi để thành phần dòng cột trở thành số nhỏ Khi ta đƣợc D = -5668 b) Tƣơng tự phần a ta đƣợc D = -548 c) D = 2004 2.3 Dạng tập giải hệ phƣơng trình 2.3.1 Hệ phƣơng trình tổng quát 2.3.1.1 Phƣơng pháp dùng định thức 37 Cách giải     Giả sử hạng α1 , ,α n = hạng α1 , ,α n ,β = p, p  n , ta viết hệ phƣơng trình cho dƣới dạng x1 α1   x p αp  β  x p1 αp1   x n α n   Xem xp + 1, , xn  K cho trƣớc α1 , ,α p sở < α1 , ,α n ,β > nên có x1, ,xp thoả mãn đẳng thức Giả sử định thức tạo p tọa độ đầu p vectơ α1 , ,α p khác (tức coi định thức ma trận vuông cấp p góc bên trái A khác 0) vấn đề đƣợc đƣa giải hệ Cramer gồm p phƣơng trình đầu hệ cho p ẩn số: x1, x2, , xp (còn xp +1, , xn coi tuỳ ý cho trƣớc thuộc K) Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình: λx1  x  x  x   x  λx  x  x     x1  x  λx  x   x1  x  x  λx  (I) x1, x2, x3, x4 ẩn, λ tham số Giải Trƣớc hết ta tính ma trận hệ số  λ 1 1 λ 1 1 λ 1 1 λ  (λ  3)  λ3 1 λ3 λ 1 λ3 λ λ3 1 λ 1 λ 1 0 0  (λ  3) λ 1 0 λ 1 λ 1 1 λ 1 1 λ 1 1 λ  (λ  3)(λ  1)3 a) Nếu   3   hệ (1) trở thành hệ Cramer Khi   (  3)(  1)3 38 1  2   1 1 1 1  1 1   1 1  1 1  1 1   1 1 1 1  1 1   (  1)3  (1) 1 1  1 1  1 1   (  1)3 , Tƣơng tự 3    (  1)3 Vậy x1 = x2 = x3 = x4 = 3 b) Nếu   hạng A = hạng Abs = nên hệ (I) có nghiệm Khi hệ (I) tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình: x1 + x2 + x + x4 = từ x1 = – x2 – x3 – x4 = 1(coi x2, x3, x4 tham số) c) Nếu   3 det A =  hạng A < Trong Abs có 3 1 1 1 1 3 1 3  (3  1)3  (4)3   hạng Abs = nên hệ (I) vô nghiệm 2.3.1.2 Phƣơng pháp khử dần ẩn số hay phƣơng pháp Gauss Phương pháp Gauss: (Nhà toán học ngƣời Đức K.F Gauss (1777 - 1855)) Thực vectơ dòng ma trận bổ xung hệ phƣơng trình tuyến tính phép biến đổi sơ cấp nhƣ để đƣa ma trận dạng có phần tử nằm dƣới đƣờng chéo không Ma trận bổ xung sau biến đổi có dạng 39  b11 b12  b 22 0   B 0  0    0 b1p b1n   b 2p b 2n    b pp b pn      Khi đó: +) Nếu hạng A = p  hạng Abs hệ vô nghiệm +) Nếu hạng A = hạng Abs = p = n hệ có nghiệm +) Nếu hạng A = hạng Abs = p < n hệ có vô số nghiệm Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình sau:  x1  5x  3x  20 2x  x  x  3  1)   x  3x  11 4x1  14x  12x  60  x1  x  2x  10 2x  x  x   2)   x1  2x  x  17 3x1  2x  4x  21 Giải Ta biến đổi ma trận bổ sung hệ: 1  1 bs A  0   4 14 1 0 D  11D3 D  34D3   0  0 1 0 D3 D   0  0 1 12 20  1  11 3  DD24  2D 4D1   0 11    60   34 20  1  26 78  D4  3D2    0 11    78 234  0 20  1 11  D1  5D2    0 26 78    0 0 0 3 40 20  7 43  11   24 140  20  26 78  11   0 0 12 35  11  26   0  1 0 D3  26   0  0 0  1 12 35   11  D1 12D3  D  3D3      26  0  0  0  437  26   127  26    26   0  0 0 437   x1   26  127  Vậy hệ có nghiệm  hệ cho tƣơng đƣơng hệ  x  26   x   26  (Kí hiệu chẳng hạn D2 – 2D1 lấy dòng hai trừ dòng nhân với  2; kí hiệu D3 D2 đổi chỗ hai dòng ba hai cho nhau) 2) Ta biến đổi ma trận bổ sung hệ: 1 2 bs A  1  3 10  1 D2  D1  1 2D1 1  DD34  2D    1 17    21 1 10  1  1 3  DD32  DD44   0 3 3    0 1 1 10  1 4  3 2   0 1 Đến thấy hệ vô nghiệm Vì hệ tƣơng đƣơng với hệ  x1  x  2x  10  x    3x  2  x1  Từ phƣơng trình thứ hai thứ ba suy hệ vô nghiệm Chú ý: Có thể dùng việc giải hệ phƣơng trình tuyến tính để tìm ma trận nghịch đảo ma trận khả nghịch A = (aij) (i, j = 1, 2, , n) trƣờng K 2.3.2 Hệ phƣơng trình tuyến tính Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình 41  x1  x  x  3x  2x  x  2x  6x    2x1  x  3x  3x  2x1  3x  x  3x  9x  4 (II) Giải Dễ thấy hệ hạng ma trận hệ số hạng ma trận bổ sung 3, (phƣơng trình cuối phƣơng trình đầu nhân với  cộng với phƣơng trình thứ hai thứ ba) Do hệ (II) tƣơng đƣơng với hệ  x1  x  x  3x   2x1  x  2x  6x  2x  x  3x  3x   (III) Phƣơng trình tƣơng ứng với hệ (III) là:  x1  x  x  3x   2x1  x  2x  6x  (III’) 2x  x  3x  3x   Vì hạng ma trận hệ số hệ (III') 3, số ẩn số: nên số chiều không gian nghiệm hệ (III') Để tìm hệ nghiệm hệ (III') ta lần lƣợt cho x4 = 1, x5 = x4 = 0, x5 = thay vào (III'), giải đƣợc hệ nghiệm hệ (III'): 1  (2,2,1,1,0) 2  (1, 2, 1,0,1) Tìm nghiệm riêng hệ (III), chẳng hạn cho x = x5 = vào (III) giải đƣợc   (1, 2,0,0,0) Vậy nghiệm tổng quát hệ (II)     t11  t 2 2.3.3 Một số tập đề thi Olympic Bài (Olympic 1994) Cho a ij (i, j  1,n) số thực nguyên Hãy giải hệ phƣơng trình 42 1  x1  a11x1  a12 x   a1n x n   x  a x  a x   a x 21 22 2n n 2    x  a x  a x   a x n1 n2 nn n  n Hướng dẫn giải Hệ cho tƣơng đƣơng với hệ  a   11   a  21     a n1      x1        a 22  a 2n   x     (1)            x  n    a n2 a nn   2 a12 a1n Xét P(X) đa thức đặc trƣng ma trận  a ij  n i,j1 Dễ thấy hệ số P(X) 1 nguyên Suy P    Hệ (1) có định thức khác không nên có 2 nghiệm tầm thƣờng Bài (Olympic 1995) Cho số a ij  a ji  0, i,j  1,n Chứng minh hệ phƣơng trình a11x1  a12 x   a1n x n  a x  a x   a x   21 22 2n n   a n1x1  a n2 x   a nn x n  có nghiệm không tầm thƣờng Hướng dẫn giải Đặt A   a ij  Dễ thấy AT  A Nhƣ det A  det AT  det( A)  ()n det A   det A 43 Do det A = Từ suy hệ phƣơng trình cho có nghiệm không tầm thƣờng Bài (Olympic 1996) Chứng minh a  hệ ax  (1  b)y  cz  (1  d)t  a (b  1)x  ay  (d  1)z  ct  b   cx  (1  d)y  az  (b  1)t  c (d  1)x  cy  (1  b)z  at  d luôn có nghiệm  b,c,d  Hướng dẫn giải 1 b c  d   x  a   a x  b  a  y d 1 c   y  b       Hệ cho tƣơng đƣơng với   A   c  d z a b  1  z   c         a   t  d   d  c  b t Ta có A t A  mE , với m  a  (1  b)2  c2  (1  d)2 Vì a  nên A  m2  a  (1  b)2  c2  (1  d)2   0,  b,c,d Suy hệ có nghiệm với b, c, d Bài (Olympic 1997) Giả sử x ,y0 ,z0 số thực cho trƣớc Hãy xác định tất số thực x n ,yn ,zn (n  0,1, ) thỏa mãn hệ phƣơng trình  x n 1   x n  y n  z n   y n 1  x n  y n  z n z  x  y  z n n n  n 1 (n  0,1, ) Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có x n 1  yn 1  2zn Suy zn   x n 1  yn 1  z n 1  zn 1  2zn Dễ dàng chứng minh z n  có dạng z n  α  (2)n β (*) Mặt khác z1  x  y0  z0 44 Thay n = n = vào (*) ta thu đƣợc α Nhƣ z n  x  y0  z  2z  x  y0  +(  2)n   3   Tƣơng tự yn  xn  x  y0  z 2z  x  y0 ,β  3 x  y0  z  2y  x  z  +(  2)n   3   x  y0  z  2x  y0  z  +(  2) n   3   Bài (Olympic 1999) Giải hệ phƣơng trình  x1  2x   nx n   x  2x   nx       x n  2x1   nx n-1  n Hướng dẫn giải Cộng tất phƣơng trình hệ ta đƣợc x1  x   x n  Tiếp theo, trừ phƣơng trình thứ k cho phƣơng trình k – (k < n), trừ phƣơng trình thứ n cho phƣơng trình thứ (x1  x   x n )  n x k  k  (k  1)  xk  x1  x   x n   (k  1,2, ,n  1) n n n (x1  x   x n )  n x n  n   x n   n2 (k  1,2, ,n  1) n 2.3.4 Bài tập tự luyện Bài 1: Giải hệ phƣơng trình sau:  x1  4x  3x  3  a) 3x1  2x  3x  6 5x  6x  9x  10  3x1  3x  3x   x  x  x  2x   b)  2x1  x  4x  x   x1  2x  5x  x  45 Hướng dẫn giải a) Ta biến đổi ma trận bổ sung hệ  4 3  D  D  4  2 5D1  D3 A bs   3 6     6 10   14     4 3   4    14 D  D3 4D1  D   14 12        14 5  0    3  9  5  3  12 3   Hệ cho trở thành hệ tƣơng đƣơng   x  2  x1  4x  3x  3  1   14x  12x  3   x  6x     x   Vậy hệ có nghiệm b) Biến đổi ma trận A  3   1  D1 D2  1  D2 D3  4  D3 D       4   5 1      5 1  3   1   1   6 3   6 3       6 3   0 0       6 3   0 0  D2  2D1 D3  D1 D4 3D1 Hệ cho trở thành hệ tƣơng đƣơng  x1  x  x  2x   x1  x   x  2x hay   3x  6x  3x   x  2x  x 46 Cho x  1, x  ta đƣợc nghiệm riêng: (1,2,1,0) Cho x  0, x  ta đƣợc nghiệm riêng: (1,1,0,1) (1,2,1,0) Hệ nghiệm hệ là:  (1,1,0,1) Bài 2: Giải hệ phƣơng trình  x1  5x  6x  16  a) 2x1  5x  4x  13 3x  7x  8x  24  2x1  x  3x  7x   b) 6x1  3x  x  x  4x  2x  14x  31x  18  Hướng dẫn giải a) Ta biến đổi ma trận bổ sung hệ  5 16   5 16    D1  D2 A bs   4 13     3   7 24   7 24       5 16   5    D1  D3   3    3   6 21  6 21     D  D3  5     3   28    3D  D3 Đến thấy hệ vô nghiệm Vì hệ tƣơng đƣơng với hệ  x1  2x  5  3x1  2x  9x  7x  28  Từ phƣơng trình thứ thứ ba suy hệ vô nghiệm 47 b) Ta biến đổi ma trận bổ sung hệ  1 7  D 3D  1 7    D3  2D1 bs A   3 1    0 8 20 8   2 14 31 18   0 17       1 7  D  D3   0 8 20 8  0 0    Hệ cho trở thành hệ tƣơng đƣơng 2x1  x  3x  7x  2x1  x      x1  8x1  20x  8 x   x   Vậy nghiệm tổng quát hệ là: (x1,2x1  2,1,0) 48 KẾT LUẬN Với nhiệm vụ đặt ra, tổng hợp kiến thức đại số tuyến tính bao gồm: không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, ma trận, định thức, hệ phƣơng trình tuyến tính Trong trình bày cách có hệ thống tƣơng đối đầy đủ khái niệm, tính chất, định lý Trên sở đó, tổng hợp thống kê tập phân chia thành dạng sau: tìm hạng ma trận, tìm ma trận nghịch đảo; khai triển định thức cách áp dụng định lý Laplace, khai triển định thức theo dòng cột, đƣa dạng tam giác; số dạng hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát, hệ phƣơng trình tuyến tính đƣa số tập có đề thi Olympic Từ đó, đƣa phƣơng pháp giải, lấy số ví dụ minh họa tập tự luyện (có hƣớng dẫn giải) Các phƣơng pháp giải đƣợc trình bày cách logic, chặt chẽ khoa học Một số tập có đề thi Olympic, tham khảo số giáo trình ôn thi Olympic kỷ yếu thi Olympic đƣợc trình bày cách đầy đủ, xác có hƣớng dẫn giải Do thời gian có hạn kiến thức chuyên môn tích lũy chƣa sâu, rộng nên khóa luận không tránh khỏi thiết xót Tôi mong nhận đƣợc góp ý thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Mong khóa luận tài liệu tham khảo tốt cho bạn sinh viên ngành sƣ phạm Toán Trƣờng Đại học Tây Bắc 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Tuấn Hoa, 2006, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hƣng, 2002, Đại số tuyến tính, Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Duy Thuận, 2004, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học sƣ phạm [4] Nguyễn Duy Thuận, 2006, Bài tập đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học sƣ phạm [5] Ngô Việt Trung, 2002, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Giáo dục [6] Tài liệu ôn thi Olympic Toán sinh viên [7] Kỷ yếu kì thi Olympic Toán sinh viên lần thứ 22 50