Phương pháp giải một số dạng bài tập đại số tuyến tính cơ bản

Các khái niệm ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính trong đại số được giảng dạy trong chương trình Toán đại cương của hầu hết các trường Đại học, Cao đẳng.. Với các lý do trên t

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên cho tôi bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: GVC TS Hoàng Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình nghiên cứu khóa luận Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán – Lý – Tin, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên trong tập thể lớp K52 ĐHSP Toán – Lý

đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2015 Người thực hiện khóa luận

Nguyễn Thị Loan

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn khóa luận 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Giả thuyết khoa học 1

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Đóng góp của khóa luận 2

8 Cấu trúc của khóa luận 2

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Không gian vectơ 3

1.2 Ánh xạ tuyến tính và ma trận 4

1.2.1 Ánh xạ tuyến tính 4

1.2.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 6

1.2.3 Hạng của ma trận ánh xạ tuyến tính 7

1.2.4 Ma trận khả nghịch 8

1.2.5 Ma trận chuyển cơ sở 9

1.2.6 Các phép toán trên các ma trận 10

1.3 Định thức 11

1.3.1 Phép thế và dấu của phép thế 11

1.3.2 Ánh xạ đa tuyến tính và ánh xạ đa tuyến tính thay phiên 12

1.3.3 Định thức 13

1.3.4 Định thức với hạng của ma trận, hạng của một hệ vectơ 17

1.4 Hệ phương trình tuyến tính 17

1.4.1 Định nghĩa 17

1.4.2 Hệ Crame 19

1.4.3 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 20

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 21

2.1 Dạng bài tập về ma trận 21

2.1.1: Tìm hạng của ma trận 21

2.1.2: Tìm ma trận nghịch đảo 22

2.1.3 Một số bài tập trong các đề thi Olympic 24

2.1.4 Bài tập tự luyện 28

2.2 Dạng bài tập về định thức 30

2.2.1 Khai triển định thức bằng cách áp dụng định lý Laplace 30

2.2.2 Khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột 30

2.2.3 Đưa về dạng tam giác 31

2.2.4 Một số bài tập trong các đề thi Olympic 32

2.2.5 Bài tập tự luyện 35

2.3 Dạng bài tập về giải hệ phương trình 37

2.3.1 Hệ phương trình tổng quát 37

2.3.2 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 41

2.3.3 Một số bài tập trong các đề thi Olympic 42

2.3.4 Bài tập tự luyện 45

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

số tuyến tính được xây dựng như nội dung cơ sở, nền móng của Toán học cao cấp

Các khái niệm ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính trong đại số được giảng dạy trong chương trình Toán đại cương của hầu hết các trường Đại học, Cao đẳng Đây cũng là nội dung quy định của Hội Toán học Việt Nam trong kì thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc và quốc tế (IMC)

Với các lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu “ Phương pháp giải một số dạng bài tập đại số tuyến tính cơ bản”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các khái niệm và phương pháp giải một số bài toán về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng hợp các kiến thức cơ bản về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính

Phương pháp giải một số bài toán đại số tuyến tính cơ bản: các bài toán về

ma trận, định thức, cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát, thuần nhất

4 Giả thuyết khoa học

Nếu hiểu và nắm vững phương pháp giải một số dạng bài tập về ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính sẽ giúp cho sinh viên giải được các bài tập cơ bản của Đại số tuyến tính, qua đó có thể vận dụng để giải được các bài toán trong các đề thi Olympic

2

5 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết và bài tập về phương pháp giải một số dạng bài tập đại số tuyến tính cơ bản

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích tổng hợp các kiến thức

- Nghiên cứu, tích lũy kinh nghiệm bản thân, trao đổi với giáo viên hướng dẫn

7 Đóng góp của khóa luận

Là tập tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên yêu thích môn đại số ở trường Đại học Tây Bắc

8 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận bao gồm: phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chương và phần kết luận

Phần nội dung bao gồm các chương sau:

Chương 1 Các kiến thức cơ bản

Chương 2 Phương pháp giải một số dạng bài tập đại số tuyến tính cơ bản

K mà các phần tử được kí hiệu: x, y, z, Giả sử trên V có hai phép toán:

- Phép toán trong, kí hiệu: + : V V V

8 1.αα, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của K còn gọi là vô

hướng

Phép toán " + " gọi là phép cộng vectơ, phép toán "." gọi là phép nhân vô hướng với vectơ Để cho gọn, dấu "." nhiều khi lược bỏ, thay cho x.α ta viết xα Khi K , thì V được gọi là không gian vectơ thực Khi K , thì V được gọi

là không gian vectơ phức

4

1.1.2 Ví dụ

1) Tập hợp các vectơ ("tự do") trong không gian với các phép toán cộng vectơ và nhân vectơ với một số thực trong chương trình toán Phổ thông Trung học là một không gian vectơ thực

2) Tập K[x] các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường K với phép cộng đa thức và nhân đa thức với phần tử thuộc trường K là một K – không gian

vectơ

3) Tập số phức với phép cộng số phức và nhân số phức là một không gian vectơ Trong khi đó cùng với phép cộng và nhân số phức với một

số thực là – không gian vectơ

4) Tập các số thực với phép cộng số thực và nhân số thực với số hữu tỉ

là một – không gian vectơ

1.1.3 Một số tính chất cơ bản

Cho K – không gian vectơ V ta có các tính chất sau:

1) Phần tử trung hoà 0của phép cộng vectơ nói trong tiên đề 2 là duy nhất

và được gọi là vectơ không

2) Phần tử đối α gọi là vectơ đối của α

3) Quy tắc chuyển vế: từ α β γ  suy ra α γ β 

4) Luật giản ước: từ α β γ β   suy ra α γ

5) 0.α0, ở đây 0 là phần tử không của trường K, còn 0 là vectơ không

Nếu W = V thì ánh xạ tuyến tính f : VV đƣợc gọi là tự đồng cấu của

không gian vectơ V

Nếu tự đồng cấu f : VVlà song ánh thì f đƣợc gọi là phép biến đổi

tuyến tính của không gian vectơ V

1.2.1.2 Ví dụ

1) Giả sử V, W là hai K - không gian vectơ

Ánh xạ : V W;  0, Vlà ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không

2) Ánh xạ đồng nhất id : Vv V,   , Vlà ánh xạ tuyến tính (Tổng quát hơn với mọi k K ánh xạ k.id : Vv V, k , V cũng là ánh xạ tuyến tính)

3) Gọi V = [x] là - không gian vectơ các đa thức một biến với hệ số

6

c) f (   ) f ( )

1.2.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính

1.2.2.1 Định nghĩa

Giả sử V, W là những K - không gian vectơ hữu hạn chiều,   ( , ,1 n)

là một cơ sở của V,   ( , ,1 m) là một cơ sở của W, f : VW là một ánh xạ

tuyến tính Khi đó nếu:

đƣợc gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong (hay đối với) các cơ sở  và 

Chú ý: Vì  một là cơ sở của W nên các thành phần aij đƣợc xác định duy nhất, do đó ma trận A đƣợc xác định duy nhất

1.2.2.2 Ví dụ

1) Giả sử id : Vv Vlà đồng cấu đồng nhất của K – không gian vectơ V

và   ( , ,1 n) là một cơ sở bất kỳ của V Khi đó:

là (a1i, a2i, , ami) nghĩa là tọa độ của vectơ cột thứ i trong ma trận A Do đó hạng f = hạng (f( ), f( ), , f(1 2 n)) = hạng của vectơ cột của ma trận A

1.2.3.1 Định nghĩa

Hạng của ma trận A, kí hiệu: hạng A, là hạng của hệ vectơ cột của nó (khi

xem mỗi vectơ cột đó là một phần tử của K m

)

8

1.2.3.2 Định lý

Hạng của ma trận A bằng cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A

Chú ý: Nếu A là ma trận của đồng cấu f thì Hạng A = Hạng f

B Mat(n, K) : A.B = In

c) Giả sử V là K - không gian vectơ n chiều Khi đó tập các ma trận

vuông cấp n của tự đồng cấu f :VV (trong K) làm thành một nhóm đối với phép nhân ma trận kí hiệu: GL(n; K)

cos t sin t cos t sin t 1 0

sin t cos t sin t cos t 0 1

Cho A aij , nếu det A0 thì A khả nghịch và ma trận nghich đảo A1

của A đƣợc tính bởi công thức sau:

a Quy tắc nhân ma trận với một số

Muốn nhân ma trận A với một số k ta chỉ việc nhân số k mới mọi thành phần của A

b Quy tắc nhân hai ma trận

Muốn tìm thành phần cik của ma trận tích AB ta phải lấy mỗi thành phần

Khi n > 1, cặp số (không thứ tự) phân biệt {i,j} {1, 2, , n} gọi là một

nghịch thế của σ nếu i – j và σ(i) σ(j) trái dấu, tức là nếu

i j

0σ(i) σ(j)

Phép thế σ gọi là chẵn hay lẻ tuỳ số các nghịch thế của chúng là chẵn hay

lẻ

12

Dấu của phép thế σ kí hiệu sgn(σ ), đƣợc định nghĩa bởi:

1sgn

{i, k} với mọi k thoả mãn i k j 

{l, j} với mọi l thoả mãn i 1 j 

gọi là đa tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với từng thành phần (trong

V V V   ) Khi đó ta còn nói η là ánh xạ p - tuyến tính từ V đến W

Khi W = K thì η gọi là một dạng p - tuyến tính thay phiên trên V

1.3.2.2 Ví dụ

a) Ánh xạ không: V V V   W

α ,α , ,α1 2 p 0

là p - tuyến tính

13

b) Trong chương trình hình học trung học, gọi E3là tập các vectơ trong không gian, (  1, 2, 3) là các vectơ đơn vị trên các trục toạ độ Đề Các vuông góc Nếu:

4') Hệ αα ,α ,α1 2 n là cơ sở của V khi và chỉ khi D α , ,αε 1 n0

1.3.3.2 Định thức con và phần bù đại số

a Định nghĩa

Giả sử D là định thức cấp n

Ta gọi định thức M của ma trận vuông cấp k (1   k n) gồm các phần tử

nằm ở giao ở k dòng và k cột tùy ý của định thức D là một định thức con cấp k

của định thức D

Đặc biệt định thức con cấp n của D chính là D, định thức con cấp 1 của D

là một phần tử tùy ý của D

Ta gọi định thức con bù của định thức con M trong định thức D là định

thức con M’ thu đƣợc từ D bằng cách xóa đi k dòng và k cột lập nên định thức con M

Ta gọi phần bù đại số của phần tử aij là: Aij  ( 1) Mi+j ij, trong đó Mij là định thức con bù của aij

b Cách tính định thức

Định lí 1 (Về sự khai triển định thức theo một dòng hay một cột)

Cho D là một định thức cấp n Giả sử a , ,ai1 in là các phần tử nằm trên dòng thứ i của D Khi đó:

15

D = a A + + a A Trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij

Định lí 2 (Định lí Laplace)

Giả sử trong định thức D đã chọn k dòng (hoặc k cột) (1   k n) Khi đó định thức D bằng tổng của tất cả các tích của các định thức con cấp k lập đƣợc trên k dòng (hoặc k cột) đó với phần bù đại số của chúng

4) det (B.A) = detB.detA, A, B  Mat(n, K)

5) A khả nghịch khi và chỉ khi det A 0 (Vậy A khả nghịch khi và chỉ khi nó không suy biến) Do đó GL(n, K) = {AMat(n, K)| detA 0}

17

1.3.4 Định thức với hạng của ma trận, hạng của một hệ vectơ

1.3.4.1 Định nghĩa

Cho A Mat(mn, K) Hạng của ma trận A, kí hiệu hạng A, là hạng của

hệ vectơ cột (xem mỗi vectơ cột là một vectơ thuộc K m) của nó

Cho A Mat(mn, K) Ma trận vuông cấp p + 1 có được từ A do xoá đi một số dòng và một số cột gọi là ma trận vuông con cấp p + 1 của A Nếu xoá thêm một dòng, một cột nữa thì được ma trận vuông con cấp p của A bao bởi ma

trận vuông con cấp p + 1 vừa xét

1.3.4.2 Định lí

Hạng của ma trận A bằng cấp p của ma trận vuông con không suy biến mà

mọi ma trận vuông con cấp p + 1 bao nó đều suy biến

gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát (gồm m phương trình, n ẩn số)

Trong đó aij, bi cho trước (j 1, n;i 1, m  ) thuộc K, xj (j 1, n ) là các ẩn số, aij

gọi là những hệ số, bi gọi là hệ số tự do

xxxx

Định nghĩa: Hai hệ phương trình tuyến tính cùng có số ẩn số n gọi là

tương đương nếu các tập nghiệm của chúng (coi là tập con của K n

Nếu: - Đổi chỗ hai phương trình của hệ;

- Nhân một phương trình của hệ với k 0 thuộc K;

- Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính của các phương trình còn lại

19

thì ta được một hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ đã cho

1.4.2 Hệ Crame

1.4.2.1 Định nghĩa

Hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn số mà ma trận các hệ số

của nó không suy biến gọi là một hệ Crammer

5z

+ Hệ chỉ có nghiệm tầm thường nếu detA 0

+ Hệ có nghiệm không tầm thường khi detA 0

+ Tổng hai nghiệm x1x2 cũng là nghiệm của hệ (2); kx ,kx1 2 cũng là nghiệm của hệ (2)

+ Nếu y ,y1 2 là hai nghiệm của hệ (1) thì y1y2 là nghiệm của hệ (2) + Tập các nghiệm của hệ (2) lập thành một không gian vectơ

1.4.3.4 Định lí (Kronecker – Capelli hay Gauss)

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát n ij j i

1) Đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau

2) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) với cùng một số khác 0 3) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) với cùng một số rồi cộng vào thành phần cùng cột (dòng) trong một dòng (cột) khác

Chú ý: Ta cũng có thể áp dụng bài toán tìm hạng của ma trận vào bài toán

tìm cơ sở của không gian vectơ sinh bởi hệ vectơ

2.1.2.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp

Ví dụ: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để tìm ma trận nghịch đảo của ma

Ta viết hai ma trận A và I liền nhau Mỗi khi thực hiện một phép biến đổi

sơ cấp nào trên A thì cũng thực hiện phép biến đổi ấy trên I

n 0 nrank(EA )rank(EA)rank(EA)rank(2E)n

Từ đó ta suy ra đƣợc điều phải chứng minh

Bài 3 (Olympic 1995) Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho A13A Tính

n

1

31A3

n n

AB+BA =0 Thậy vậy, khi đó

AB+BAA(AXXA)(AXXA)A=A XAXA +AXAXA 0 Vậy ma trận B cần tìm là B = AX – XA, với X là ma trận vuông cấp 3 tùy

ý

2.2.2 Khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột

Cho định thức D cấp n có các thành phần là a Với mỗi ij i1,2, ,n ta đều có: i1 i1 i2 i2 in in n ij ij

j=1

Da A a A   a A a A (A là phần bù đại số của ij a ) ij

Ta nói đó là cách khai triển định thức theo dòng thứ i

32

Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột ta đƣa về ma trận tam giác

Khi thực hiện các phép biến đổi, định thức thay đổi theo quy tắc sau:

i) Định thức đổi dấu khi thay đổi hai dòng hoặc hai cột cho nhau (tính chất này đƣợc gọi là tính chất thay phiên)

ii) Định thức đƣợc nhân với α K khi ta nhân một dòng hay một cột với

2.2.4 Một số bài tập trong các đề thi Olympic

Bài 1 (Olympic 1993) Cho hai ma trận thực vuông đồng cấp A và B Giả thiết

Ta nhân (-1) vào cột n + i và cộng vào cột i (i 1, n ) thì định thức không

thay đổi, do đó det M A B B

Ta lại nhân (+1) vào hàng n + i và cộng vào hàng i (1 i n  ) thì định thức

không thay đổi, do đó det M 0 B+ A

det Mdet (B A)det (B A)( 1)  

Do det (AB)0 và det (AB)0 nên detM0

Bài 2 (Olympic 1998) Gọi M là tập hợp tất cả các ma trận vuông cỡ

*

n n (n  ) có các phần tử là 1 hoặc ( 1) Cho B M có det B0

Chứng minh rằng tồn tại A M sao cho det A  detB

Trong đó A có tổng các phần tử trên cùng một hàng đều lớn hơn hoặc bằng 0, tổng các phần tử trên cùng một cột đều lớn hơn hoặc bằng 0

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1: Nếu B có tính chất nhƣ của A yêu cầu thì B = A

Trường hợp 2: Nếu B có hàng (cột) nào đó có tổng âm Ta nhân hàng

(cột) đó với ( 1) Rõ ràng sau một lần thực hiện phép nhân với ( 1) của hàng (cột) có tổng âm ta thu đƣợc ma trận mới: